Interacción electromagnética I. Campo eléctricoInteracción electromagnética I. Campo eléctrico...

Interacción electromagnética

I. Campo eléctrico

Cuestiones y problemas

1. Si entre las dos placas de un condensador plano separadas 3 cm entre sí, existe un campo

eléctrico uniforme de 7.10–4

N/C:

a) ¿Qué fuerza se ejercerá sobre un electrón situado en su interior?

b) ¿Qué aceleración adquiere el electrón?

c) Si el electrón se desplaza, partiendo del reposo, de la placa negativa a la positiva ¿qué

velocidad y qué energía cinética posee al llegar a la placa positiva?

Datos: Masa del electrón: me = 9,109·10–31

kg

Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1,6·10–19

C.

2. Una carga puntual de 4 C se encuentra localizada en el origen de coordenadas y otra de –2

C en el punto (0,4) m. Suponiendo que se encuentran en el vacío, calcular:

a) La intensidad de campo eléctrico en el punto A (6,0) m.

b) El potencial eléctrico en el punto A.

c) La diferencia de potencial entre los puntos A (6,0) m y B (8,0) m.

d) El trabajo necesario para llevar una carga de 3 C desde el punto A al punto B.

Datos: Constante de la ley de Coulomb: K = 9.109 N.m

2.C

–2

3. Entre dos placas planas y paralelas separadas 5 cm, se establece una diferencia de potencial

de 1500 V. Un protón se libera de placa positiva en el mismo instante en que un electrón se

libera de la placa negativa, Determinar:

a) A qué distancia de la placa positiva se cruzan.

b) La velocidad y la energía cinética con la que llegan cada uno de ellos a la respectiva

placa opuesta.

Datos: Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1,6·10–19

C.

Masa del electrón: me = 9,109·10–31

kg

Masa del protón: mp = 1,672.10–27

kg

4. Tenemos un campo eléctrico uniforme, dirigido verticalmente hacia abajo, cuya intensidad

es de 10–11

N/C. Se sitúa un electrón a 10 m de altura sobre el suelo, sometido a la acción del

campo eléctrico y del campo gravitatorio, a) ¿en qué sentido y con qué aceleración se moverá?

b) ¿qué tiempo tardará en llegar al suelo? ¿o no caerá?

Datos: Masa del electrón: me = 9,109·10–31

kg


C.

Gravedad terrestre: g = 9,8 ms–2

5. Se tienen dos cargas eléctricas puntuales de 3 C cada una, una positiva y la otra negativa,

colocadas a una distancia de 20 cm. Calcular la intensidad de campo eléctrico y el potencial

eléctrico en los siguientes puntos:

a) En el punto medio del segmento que las une.

b) En un punto equidistante 20 cm de ambas cargas

Datos: El medio es el vacío. Constante de la ley de Coulomb: K = 9.109 N.m

2.C

–2

6. Si una carga eléctrica negativa se desplaza en un campo eléctrico uniforme a lo largo de una

línea de fuerza bajo la acción de la fuerza del campo:

a) ¿Cómo varía la energía potencial de la carga al pasar ésta desde un punto A a un punto

B del campo?

b) ¿Dónde será mayor el potencial eléctrico del campo en A o en B?

Razona las respuestas.

7. Dos pequeñas esferas iguales, de 5 N de peso cada una, cuelgan de un mismo punto fijo

mediante dos hilos idénticos, de 10 cm de longitud y de masa despreciable. Si se suministra a

cada una de estas esferas una carga eléctrica positiva de igual cuantía se separan de manera

que los hilos forman entre si un ángulo de 60° en la posición de equilibrio. Calcular:

a) El valor de la fuerza electrostática ejercida entre las cargas de las esferas en la posi-

ción de equilibrio.

b) El valor de la carga de las esferas.


2.C

–2

8. Se tienen dos cargas eléctricas iguales y de signo opuesto, de valor absoluto 10–9

C, situadas

en el plano XY, en los puntos (–1, 0) la carga positiva y (1, 0) la carga negativa. Sabiendo que

las distancias están dadas en m, se pide: a) El potencial y el campo eléctrico en los puntos A

(0,1) y B (0,–1), b) El trabajo necesario para llevar un electrón desde A hasta B, interpretando

el resultado.


C.

Permitividad del vacío: 0 = 8,85·10–12

N–1

m–2

C2.

9. ¿Puede existir diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos de una región en la cual la

intensidad de campo eléctrico es nula? ¿Qué relación general existe entre el vector intensidad de

campo eléctrico y el potencial eléctrico?. Razona las respuestas.

10. Dos cargas eléctricas puntuales de valor 2 mC y –2 mC, se encuentran situadas en el plano

XY, en los puntos (0,3) y (0,–3) respectivamente, estando las distancias expresadas en m.

a) ¿Cuáles son los valores de la intensidad de campo en el punto (0,6) y en el punto (4,0)?

b) ¿Cuál es el trabajo realizado por el campo sobre un protón cuando se desplaza desde el

punto (0,6) hasta el punto (4,0)?

Datos: Valor absoluto de la carga del electrón e = 1,6x10–19

C

Permitividad del vacío: 0 = 8,85·10–12

N–1

m–2

C2.

11. Los puntos A, B y C son los vértices de un triángulo equilátero de 2 m de lado. Dos cargas

iguales positivas de 2 mC están en A y B.

a) ¿Cuál es el campo eléctrico en el punto C?

b) ¿Cuál es el potencial en el punto C?

c) ¿Cuánto trabajo se necesita para llevar una carga positiva de 5 mC desde el infinito

hasta el punto C si se mantienen fijas las otras cargas?

d) Responder al apartado anterior c) si la carga situada en B se sustituye por una carga de

–2 mC.

Datos: Permitividad del vacío: 0 = 8,85·10–12

N–1

m–2

C2.

12. Dos cargas puntuales e iguales de valor 2 mC cada una, se encuentran situadas en el plano

XY en los puntos (0, 5) y (0, –5), respectivamente, estando las distancias expresadas en me-

tros.

a) ¿En qué punto del plano el campo eléctrico es nulo?

b) ¿Cuál es el trabajo necesario para llevar una carga unidad desde el punto (l,0) al punto

(–1,0)?

13. Tres cargas positivas e iguales de valor q = 2 C cada una se encuentran situadas en tres

de los vértices de un cuadrado de lado 10 cm. Determine:

a) El campo eléctrico en el centro del cuadrado, efectuando un esquema gráfico en su ex-

plicación.

b) Los potenciales en los puntos medios de los lados del cuadrado que unen las cargas y

el trabajo realizado al desplazarse la unidad de carga entre dichos puntos.

Datos: Constante de la ley de Coulomb en el vacío K = 9 · 109 Nm

2C

2

14. Un electrón es lanzado con una velocidad de 2·106 m/s paralelamente a las líneas de un

campo eléctrico uniforme de 5000 V/m. Determine:

a) La distancia que ha recorrido el electrón cuando su velocidad se ha reducido a 0,5·106

m/s.

b) La variación de la energía potencial que ha experimentado el electrón en ese recorrido.


C.


kg.

15. Se tienen tres cargas situadas en los vértices de un triángulo equilátero cuyas coordenadas

(expresadas en cm) son: A (0,2), B ( √ ,–1), C (√ ,–1). Sabiendo que las cargas situadas en

los puntos B y C son idénticas e iguales a 2 C y que el campo eléctrico en el origen de coor-

denadas (centro del triángulo) es nulo, determine:

a) El valor y el signo de la carga situada en el punto A.

b) El potencial en el origen de coordenadas.


2.C

–2

16. Se crea un campo eléctrico uniforme de intensidad 6·104 N/C entre dos láminas metálicas

planas y paralelas que distan entre sí 2,5 cm. Calcule:

a) La aceleración a la que está sometido un electrón situado en dicho campo.

b) Si el electrón parte del reposo de la lámina negativa, ¿con qué velocidad llegará a la

lámina positiva?

Nota: Se desprecia la fuerza gravitatoria.


C.


kg

17. Un protón se encuentra situado en el origen de coordenadas del plano XY. Un electrón,

inicialmente en reposo, está situado en el punto (2,0). Por efecto del campo eléctrico creado

por el protón (supuesto inmóvil), el electrón se acelera. Estando todas las coordenadas expre-

sadas en m, calcule:

a) El campo eléctrico y el potencial creado por el protón en el punto (2,0).

b) La energía cinética del electrón cuando se encuentra en el punto (1,0).

c) La velocidad y momento lineal del electrón en la posición (1,0).

d) La longitud de onda de De Broglie asociada al electrón en el punto (1,0).


2.C

–2


C.


kg

Constante de Planck: h = 6,626·10–34

J.s

18. Tres partículas cargadas Q1 = +2 C, Q2 = +2 C y Q3 de valor desconocido están situadas

en el plano XY. Las coordenadas de los puntos en los que se encuentran las cargas son Q1:

(1,0), Q2: (–1,0) y Q3: (0,2). Si todas las coordenadas están expresadas en metros:

a) ¿Qué valor debe tener la carga Q3 para que una carga situada en el punto (0,1) no expe-

rimente ninguna fuerza neta?

b) En el caso anterior, ¿cuánto vale el potencial eléctrico resultante en el punto (0,1) de-

bido a las cargas Q1, Q2 y Q3?

Dato: Constante de la ley de Coulomb: K = 9.109 N.m

2.C

–2

19. Dos cargas puntuales de +6 C y –6C están situadas en el eje X, en dos puntos A y B

distantes entre sí 12 cm. Determine:

a) El vector campo eléctrico en el punto P de la línea AB, si AP = 4 cm y PB = 8 cm.

b) El potencial eléctrico en el punto C perteneciente a la mediatriz del segmento AB y

distante 8 cm de dicho segmento.


2.C

–2

20. Un electrón, con velocidad inicial 3xl05 m/s dirigida en el sentido positivo del eje X, pene-

tra en una región donde existe un campo eléctrico uniforme y constante de valor 6xl0–6

N/C

dirigido en el sentido positivo del eje Y. Determine:

a) Las componentes cartesianas de la fuerza experimentada por el electrón.

b) La expresión de la velocidad del electrón en función del tiempo.

c) La energía cinética del electrón 1 segundo después de penetrar en el campo.

d) La variación de la energía potencial experimentada por el electrón al cabo de 1 segun-

do de penetrar en el campo.


C.


kg.

21. Dos cargas eléctricas en reposo de valores q1 = 2 C y q2 = –2 C, están situadas en los

puntos (0,2) y (0,–2) respectivamente, estando las distancias en metros. Determine:

a) El campo eléctrico creado por esta distribución de cargas en el punto A de coordenadas

(3,0).

b) El potencial en el citado punto A y el trabajo necesario para llevar una carga de 3 C

desde dicho punto hasta el origen de coordenadas.


2.C

–2.

22. Dos cargas eléctricas negativas e iguales de valor 3·10–6

C están situadas en los puntos A

(0,2) y B (0,–2) del plano XY. Otras dos cargas iguales Q están localizadas en los puntos C

(4,2) y D (4,–2). Sabiendo que el campo eléctrico en el origen de coordenadas es

, siendo el vector unitario en el sentido positivo del eje X, y que todas las

coordenadas están expresadas en metros, determine:

a) El valor numérico y el signo de las cargas Q.

b) El potencial eléctrico en el origen de coordenadas debido a esta configuración de car-

gas.

Datos: Constante de la ley de Coulomb K = 9.109 N.m

2.C

–2

CNiE /10·4 3

i

23. Una carga puntual de valor Q ocupa la posición (0,0) del plano XY en el vacío. En un pun-

to A del eje X el potencial es V = –120 V y el campo eléctrico es E = –80 i N/C, siendo i el

vector unitario en el sentido positivo del eje X. Si las coordenadas están dadas en metros, cal-

cule:

a) La posición del punto A y el valor de Q.

b) El trabajo necesario para llevar un electrón desde el punto B (2,2) hasta el punto A.

Datos: Valor absoluto de la carga del electrón e = 1,6·10–19

C.

Constante de la ley de Coulomb en el vacío K = 9.109 N.m

2.C

–2

24. Una carga positiva de 2 C se encuentra situada inmóvil en el origen de coordenadas. Un

protón moviéndose por el semieje positivo de las X se dirige hacia el origen de coordenadas.

Cuando el protón se encuentra en el punto A, a una distancia del origen de x =10 m, lleva una

velocidad de 1000 m/s. Calcule:

a) El campo eléctrico que crea la carga situada en el origen de coordenadas en el punto A.

b) El potencial y la energía potencial del protón en el punto A.

c) La energía cinética del protón en el punto A.

d) El cambio de momento lineal experimentado por el protón desde que parte de A y por

efecto de la repulsión vuelve al mismo punto A.


2.C

–2

Masa del protón mp = 1,672.10–27

kg. Carga del protón qp =1,6·10–19

C

(Junio 2007, Septiembre 2007, Modelo 2008)

25. Dos partículas con cargas de +1 µC y de –1 µC están situadas en los puntos del plano XY

de coordenadas (–1,0) y (1,0) respectivamente. Sabiendo que las coordenadas están expresa-

das en metros, calcule:

a) El campo eléctrico en el punto (0,3).

b) El potencial eléctrico en los puntos del eje Y.

c) El campo eléctrico en el punto (3,0).

d) El potencial eléctrico en el punto (3,0).


2.C

–2

26. Se disponen dos cargas eléctricas sobre el eje X: una de valor Q1 en la posición (1,0), y

otra de valor Q2 en (–1,0). Sabiendo que todas las distancias están expresadas en metros, de-

termine en los dos casos siguientes:

a) Los valores de las cargas Q1 y Q2 para que el campo eléctrico en el punto (0,1) sea el

vector E = 2x105 j N/C, siendo j el vector unitario en el sentido positivo del eje Y.

b) La relación entre las cargas Q1 y Q2 para que el potencial eléctrico en el punto (2,0) sea

cero.


2.C

–2

27. a) Enuncie el teorema de Gauss y escriba su expresión matemática. b) Utilice dicho teore-

ma para deducir la expresión matemática del campo eléctrico en un punto del espacio debido a

una carga puntual.

28. a) Enuncie el teorema de Gauss y escriba su expresión matemática. b) Tenemos cinco car-

gas eléctricas situadas en cinco puntos cuyas coordenadas se indican a continuación:

Carga –5 C +2 C +3 C –4 C +6 C

Coordenadas (m) (0,0) (0,1) (2,0) (1,1) (1,2)

Calcula el flujo a través de una superficie esférica centrada en el origen y de radio 1,5 m. c)

¿Cuál es mayor, el número de líneas de fuerza que entran en la superficie o el número de lí-

neas que salen?


2.C

–2

29. En el plano x=0 existe una distribución superficial infinita de carga cuya densidad superfi-

cial de carga es 1 = +10–6

C/m2.

a) Empleando el teorema de Gauss determine el campo eléctrico generado por esta distri-

bución de carga en los puntos del espacio de coordenadas (1,0,0) y (–1,0,0).

Una segunda distribución superficial infinita de carga de densidad superficial 2 se sitúa en el

plano x = 3.

b) Empleando el teorema de Gauss determine el valor de 2 para que el campo eléctrico

resultante de ambas distribuciones superficiales de carga en el punto (–2,0,0) sea

.

Nota: Todas las coordenadas están expresadas en unidades del SI.

Dato: Permitividad del vacío: 0 = 8,85·10–12

N–1

m–2

C2.

30. Se disponen tres cargas de 10 nC en tres de los vértices de un cuadrado de 1 m de lado.

Determine en el centro del cuadrado:

a) El módulo, la dirección y el sentido del vector campo eléctrico.

b) El potencial eléctrico.


2.C

–2

31. Una carga de +10 nC se distribuye homogéneamente en la región que delimitan dos esfe-

ras concéntricas de radios r1 =2 cm y r2 = 4 cm. Utilizando el teorema de Gauss, calcule:

a) El módulo del campo eléctrico en un punto situado a 6 cm del centro de las esferas.

b) El módulo del campo eléctrico en un punto situado a 1 cm del centro de las esferas.

Dato: Permitividad del vacío: 0 = 8,85·10–12

N–1

m–2

C2.

(Junio 2008, Septiembre 2008, Modelo 2009)

32. Dos cargas fijas Q1 = +12,5 nC y Q2 = –2,7 nC se encuentran situadas en los puntos del

plano XY de coordenadas (2,0) y (–2,0) respectivamente. Si todas las coordenadas están ex-

presadas en metros, calcule:

a) El potencial eléctrico que crean estas cargas en el punto A (–2,3).

b) El campo eléctrico creado por Q1 y Q2 en el punto A.

c) El trabajo necesario para trasladar un ion de carga negativa igual a –2e del punto A al

punto B, siendo B (2,3), indicando si es a favor o en contra del campo.

d) La aceleración que experimenta el ion cuando se encuentra en el punto A.


C.

Constante de la ley de Coulomb: K = 9.109 N.m

2.C

–2. Masa del ion: M = 3,15·10

–26 kg.

33. Dos cargas puntuales de –3 C y +3 C se encuentran situadas en el plano XY, en los pun-

tos (–1,0) y (1,0) respectivamente. Determine el vector campo eléctrico:

a) En el punto de coordenadas (10,0).

b) En el punto de coordenadas (0,10).

Nota: Todas las coordenadas están expresadas en metros.

Dato: Constante de la ley de Coulomb K = 9.109 N.m

2.C

–2.

34. Una superficie esférica de radio R tiene una carga eléctrica Q distribuida uniformemente

en ella.

a) Deduzca la expresión del módulo del vector campo eléctrico en un punto situado en el

exterior a dicha superficie haciendo uso del teorema de Gauss.

b) ¿Cuál es la razón entre los módulos de los vectores campo eléctrico en dos puntos si-

tuados a las distancias del centro de la esfera r1 = 2 R y r2= 3 R?

(2010 junio y septiembre)

35. a) Enuncie y exprese matemáticamente el teorema de Gauss.

b) Deduzca la expresión del módulo del campo eléctrico creado por una lámina plana, in-

finita, uniformemente cargada con una densidad superficial de carga .

36. Tres cargas puntuales de valores q1 = +3 nC, q2= –5 nC y q3 = +4 nC están situadas, res-

pectivamente, en los puntos de coordenadas (0,3), (4,3) y (4,0) del plano XY. Si las coordena-

das están expresadas en metros, determine:

a) La intensidad de campo eléctrico resultante en el origen de coordenadas.

b) El potencial eléctrico en el origen de coordenadas.

c) La fuerza ejercida sobre una carga q = 1 nC que se sitúa en el origen de coordenadas.

d) La energía potencial electrostática del sistema formado por las tres cargas q1, q2 y q3.


2.C

–2

37. Dos cargas puntuales iguales, de valor 2x10–6

C, están situadas respectivamente en los

puntos (0,8) y (6,0). Si las coordenadas están expresadas en metros, determine:

a) La intensidad del campo eléctrico en el origen de coordenadas (0,0).

b) El trabajo que es necesario realizar, para llevar una carga q = 3x10–6

C desde el punto

P (3,4), punto medio del segmento que une ambas cargas, hasta el origen de coordena-

das.


2.C

–2.

(Junio 2011, Septiembre 2011, Modelo 2011-2012)

38. Considérese un conductor esférico de radio R = 10 cm, cargado con una carga q = 5 nC.

a) Calcule el campo electrostático creado en los puntos situados a una distancia del centro

de la esfera de 5 y 15 cm.

b) ¿A qué potencial se encuentran los puntos situados a 10 cm del centro de la esfera?

c) ¿Y los situados a 15 cm del centro de la esfera?

d) ¿Qué trabajo es necesario realizar para traer una carga de 2 nC desde el infinito a una

distancia de 10 cm del centro de la esfera?

Datos: Constante de Coulomb K = 1/(40) = 9·109 N.m

2.C

–2.

39. Se disponen tres cargas eléctricas puntuales en los vértices

de un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen una longitud L

como indica la figura (L = 1,2 m, q1= q2 = 5 nC, q3= −5 nC).

a) Calcule la fuerza total, , ejercida por las cargas q1 y q2

sobre la carga q3, y dibuje el diagrama de fuerzas de la

carga q3.

b) ¿Cuál sería el trabajo necesario para llevar la carga q3

desde su posición actual al punto P de coordenadas x =

1,2 m, y = 1,2 m?

Dato: Constante de la ley de Coulomb K = 9·109 N m

2 C

-2.

40. En el punto de coordenadas (0, 3) se encuentra situada una carga, q1 = 7,11·10-9

C y en el

punto de coordenadas (4, 0) se encuentra situada otra carga, q2 = 3,0·10-9

C. Las coordenadas

están expresadas en metros.

a) Calcule la expresión vectorial de la intensidad del campo eléctrico en el punto (4, 3).

b) Calcule el valor del potencial eléctrico en el punto (4, 3).

c) Indique el valor y el signo de la carga q3 que hay que situar en el origen para que el po-

tencial eléctrico en el punto (4, 3) se anule.

d) Indique el valor y el signo de la carga q4 que hay que situar en el origen de coordena-

das para que la intensidad del campo en el punto de coordenadas (4, 3) sea 0.

Dato: Constante de la ley de Coulomb K= 9·109 N.m

2.C

–2.

Aclaración: No es necesario, pero si se desea que en el punto (4, 3) el campo eléctrico en el

apartado d) sea un cero exacto, hay que considerar el valor de q1 como un número periódico,

q1 = (64/9)·10-9

C.

41. En una región del espacio, el flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es

cero.

a) ¿Se puede afirmar que el campo eléctrico es cero en todos los puntos de la superficie?

Razone la respuesta.

b) Si se disponen dos cargas puntuales, una de +2μC colocada en el punto (-1, 0) cm y la

otra de -8 μC en el punto (1, 0) cm, determine el flujo de campo eléctrico que atraviesa

una esfera de radio 2 cm centrada en el origen de coordenadas.

Dato: Constante de la ley de Coulomb K = 9.109 N.m

2.C

-2.

42. Se tienen tres cargas eléctricas situadas en los vértices de un

triángulo equilátero de lado l=0,25 m tal y como se muestra en la

figura. Si q1=q2=5 nC y q3= -5 nC.

a) Dibuje el diagrama de fuerzas de la carga q3 debido a la

presencia de q1 y q2, y calcule el vector fuerza resultante

que experimenta q3.

b) Calcule el trabajo necesario para llevar la carga q3 desde el

punto donde se encuentra a una distancia muy grande (con-

sidere que la distancia es infinita).

Dato: Constante de la ley de Coulomb K= 9.109 N.m

2.C

-2.

Soluciones

2.

a) ( ) ( )

( ) ( ) √ √

( )

( )

√

b)

∑ (

( )

√ )

c) ∑

(

( )

√ )

d) ( )

5. a) Situamos las cargas Q1 y Q2 en los

puntos (–0,1;0) y (0,1;0) respecti-

vamente. El punto equidistante

será A (0,0)

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

∑ (

( )

)

b) Primero hallamos la coordenada y del punto B. Si nos fijamos en el triángulo rectán-

-1

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Q2

E2

E1

ET

Q1 A

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

-0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15

Q2

E2

E1

ET

Q1

E1

E2 ETA

B

0,2 m

gulo Q1AB, aplicando el teorema de Pitágoras:

√ ( ) ( )

√

( ) ( )

( )

( )

∑ (

( )

)

8. a) En el punto A (0,1):

( ) ( )

√ √

√

( ) ( )

√ √

( )

( )

√

∑ (

√ ( )

√ )

En el punto B, el campo sería el mismo, tal como se ve en la figura, y el potencial

también seria 0.

b) . El trabajo conservativo no depende de la trayectoria, sólo depende

de los potenciales inicial y final, y como ambos son nulos el trabajo es cero.

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2

Q2

E2

E1

ET

Q1

E1

E2

ET

A

B

10. a) En el punto A (0,6):

( ) ( )

( ) ( )

( )

En el punto B (4,0):

( ) ( ) √

( ) ( )

( )

b)

∑ (

( )

)

∑ (

( )

)

( )

-5

0

5

10

15

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

Q2

E2

E1

ET

Q1

E1E2ET

A

B

11. a) Situamos las cargas Q1 y Q2 en los puntos A

(–0,1; 0) y B (0,1; 0) respectivamente.

Hallamos la coordenada y del punto C. Si nos

fijamos en el triángulo rectángulo formado

por A, el origen y C y aplicamos el teorema

de Pitágoras:

√ √

( ) (√ ) √

√

√

( ) (√ ) √

√

b) ∑

(

)

c) ∑

(

)

( ) d)

∑ (

)

22. a) Si , las cargas Q han de ser

negativas.

Los campos que crean A y B se anulan

porque son iguales y de sentido contra-

rio.

Las componentes según el eje Y de los

campos creados por Q1 y Q2 se anulan

entre sí, sólo quedan las componentes X,

que también son iguales:

( )

| |

| |

√ | |

√

Q =

b) ∑

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2

Q2

E2

Q1

E1

ET

A B

C

(

√

√ )

23. a) Si V<0 la carga es negativa.

| |

| | | |

| |

Sustituimos x en V:

b)

( )

√

( )( ) ( )

El trabajo es en contra del campo.

24. a)

b)

Ep = qV = 1,6·10–19

·1800 = 2,88·10–16

J

c) Ec = ½ mv2 = ½ 1,672·10

–27·1000

2 = 8,36·10

–22 J

d) Cuando el protón vuelva al punto A tendrá la misma energía cinética que al princi-

pio, porque la energía mecánica se conserva, y por tanto su velocidad será la mis-

ma pero de sentido contrario.

( ) = –1,672·10

–24 = 1,672·10

–24

= 3,334·10–24

Kg·m/s

25. a)

⁄

√

√

√

√

También se puede resolver utilizando los vectores

[ ( )] ( ) √ √

√

E1

E1

E2

E2

ET

-1 1 3

q1 = 1 C q2 = -1 C

P

(0,3)

( ) ( ) √( ) √

( )

( )

√

b)

∑

(

√ ( )

√ )

c)

d)

( )

26. a) Las dos cargas han de ser positivas e

iguales para que se anulen las componen-

tes X.

√

√

√

√


( ) ( ) √( ) √

( )

√

[ ( )] ( ) √ √

( )

√

( ) ( )

( )

( )

b) ∑

0

1

2

-2 -1 0 1 2

Q2

E2E1

ET

Q1

28. a) El flujo eléctrico neto a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga

total encerrada por la superficie. n = Qinterior/0

b) Las cargas encerradas por la superficie serán aquellas que estén situadas a una dis-

tancia menor que 1,5 m: Qinterior= –5 + 2 – 4 = –7 C y el flujo será:

n = Qinterior/0 = Qinterior/(1/4K) = –7·10–6·4π·9.10

9 = –7,92·10

5 N.m

2.C

–1

c) Como el flujo es negativo, es mayor el número de líneas que entran que el de las

que salen.

29. a) Elegimos como superficie gausiana un cilindro cuyo eje sea perpendicular al plano

x=0 y cuyas bases (de superficie S) contengan a los puntos (1,0,0) y (–1,0,0). El

flujo neto a través del cilindro será:

∯

∯ ∯

Por otra parte el teorema de Gauss dice que el flujo es igual a la carga encerrada

dividida por 0, como la carga encerrada es igual a ·S tenemos:

b) El campo generado por el plano x=0 en (–2,0,0) será:

Para que salga positivo, la densidad de carga ha de ser negativa:

30 a) Los campos debidos a Q1 y Q3 se anulan

entre sí y el campo total será el debido a Q2

⁄ La dirección es la diagonal del cuadrado y

el sentido alejándose de la segunda carga.

También se puede resolver utilizando los vectores (el punto P es el centro del

cuadrado y sus coordenadas son x=0,5; y=0,5)

( ) ( ) √ √

√

( ) ( ) √ √

√

( ) ( ) √ √

√

| | √

b) ∑

√

31. a) Al ser una distribución de carga esférica el campo eléctrico debe ser radial (con sentido

hacia fuera del centro) y sólo puede depender de la distancia al centro. Para calcular el campo

eléctrico con la ley de Gauss tomamos como superficie gaussiana una superficie esférica de 6

cm de radio. Dado que la dirección del campo eléctrico es perpendicular a la superficie esféri-

ca y el módulo del campo es constante en toda la superficie, el flujo del campo eléctrico a tra-

vés de esta superficie será:

∯

∯ ∯

Por otra parte la ley de Gauss dice que el flujo es igual a la carga encerrada dividida por 0,

como la carga encerrada es igual a la carga total (10 nC) tenemos:

b) El procedimiento es idéntico al del apartado anterior pero ahora la superficie gaussiana es

una superficie esférica de 1 cm de radio, esta superficie no encierra ninguna carga y por tanto

el flujo es nulo y el campo eléctrico también es nulo.

32. a)

( ) ( ) √( ) ( ) ( )

∑

( )

b)

( )

( )

( )

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Q2

E2

E1

ET

Q1

+

c) ( ) ( )

( ) ( ) √

∑

( )

( ) ( )

El trabajo es a favor del campo.

d) ( )

33.

a)

También se puede resolver utilizando los vectores [ ( )] ( )

( )

( ) ( )

b)

( )

⁄

√

√

-5

0

5

10

15

20

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14Q2

E2

E1

ET

Q1

E1 E2ET

A

B

√

√


[ ( )] ( ) √ √

( )

√

( ) ( ) √( ) √

( )

√

34. a) Al ser una distribución de carga esférica el campo eléctrico debe ser radial (con

sentido hacia fuera del centro) y sólo puede depender de la distancia al centro.

Para calcular el campo eléctrico con la ley de Gauss tomamos como superficie

gaussiana una superficie esférica de radio r > R. Dado que la dirección del campo

eléctrico es perpendicular a la superficie esférica y el módulo del campo es cons-

tante en toda la superficie, el flujo del campo eléctrico a través de esta superficie

será:

∯

∯ ∯

Por otra parte la ley de Gauss dice que el flujo es igual a la carga encerrada dividi-

da por 0, como la carga encerrada es igual a la carga Q tenemos:

b)

( )

( )

35. a) El flujo neto a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga encerrada

por la superficie.

∮

b) Escogemos como superficie gaussiana un cilindro en forma de caja con su eje per-

pendicular al plano y con su centro en el plano. Por simetría, el campo E debe ser

perpendicular al plano como se muestra en la figura. Cada base del cilindro es para-

lela al plano y tiene un área A.

∮ ∮ ( )

∮ ( )

Por otra parte:

36.

a) ( ) ( )

( ) ( ) √

( )

( )

( ) ( )

b) ∑

(

( )

)

c) ( )

d) ∑

( ( )

( )

)

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2 3 4 5

q2

E2

q1

E1

E3 q3

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Q2E2

E1

ET

Q137. a)

( )

( )

b) ( ) ∑

(

√( ) ( )

√( ) ( ) )

( ) ∑

(

√( ) ( )

√( ) ( ) )

( )

38. a) En una distribución de carga esférica el campo eléctrico es radial (con sentido hacia

fuera del centro) y sólo depende de la distancia al centro. Para calcular el campo

eléctrico utilizaremos la ley de Gauss y tomaremos como superficie gaussiana una

superficie esférica de 5 cm de radio concéntrica con el conductor. Dado que la direc-

ción del campo eléctrico es perpendicular a la superficie esférica y el módulo del

campo es constante en toda la superficie, el flujo del campo eléctrico a través de esta

superficie será:

∯

∯ ∯

Por otra parte la ley de Gauss dice que el flujo es igual a la carga encerrada dividida

por 0, como la carga encerrada es nula, el flujo es nulo y el campo eléctrico tam-

bién:

Para r = 5 cm, E=0

Para r = 15 cm, la carga encerrada por la superficie gaussiana es la carga total:

b)

c)

d) ( )

El trabajo necesario será 9·10-7

J.

39. a) Coordenadas de las cargas:

q1 (0,0), q2 (1,2;0), q3 (0;1,2)

( ) ( )

( )

( ) ( )

√

( )

( )

b) ∑

√

∑

√

( )

40.

a)

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-0,5 0 0,5 1 1,5

q2

F13

FT

q1

q3 F23

-1

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8

q2

E2

E1

ET

q1

b) ∑

(

)

c)

√

d)

41. a) El flujo eléctrico es:

Si es cero puede deberse a que el campo sea cero o a que el campo sea paralelo a la

superficie y por tanto perpendicular al vector normal, y en este segundo caso el

campo no tendría por qué ser cero.

b) La esfera encierra en su interior las dos cargas, por lo tanto aplicando el teorema de

Gauss:

( )

42.

a)

( )

( ) ( √ )

( )

b) Potencial en el punto en el que se encuentra:

∑

(

)

Potencial a una distancia infinita:

( )

( ) Hay que realizar un trabajo de

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

-0,2 -0,1 0 0,1 0,2

q2

F23

F13

FT

q1

q3

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