INTEGRALES DE LNEA

OBJETIVOSComprender y utilizar el concepto de curva suave a trozos.Expresar y evaluar una integral de lnea.Expresar y evaluar una integral de lnea de un campo vectorial.Expresar y calcular una integral de lnea en forma diferencial.

Curvas suaves a trozos (o por partes)

Integrales de lnea

Integrales de lnea de campos vectoriales:

Una de las aplicaciones fsicas ms importantes de las integrales de lnea es la de hallar el trabajo realizado sobre un objeto que se mueve en un campo de fuerzas.

Campo de fuerzas cuadrtico inverso similar al campo gravitatorio del Sol.

Para hallar el trabajo realizado en un campo de fuerzas F considrese un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria C en el campo, como se muestra en la siguiente figura.

Para hallar el trabajo realizado por la fuerza, slo es necesario considerar aquella porcin de la fuerza que acta en la direccin en que se mueve el objeto.

Esto demuestra que en cada punto de C, se puede considerar la proyeccin ( F.T) del vector fuerza F sobre el vector unitario tangenteT. En un subarco pequeo de longitud si, donde el incremento de trabajo es:

Dnde:(xi, yi, zi), es un punto en el subarco i-simo. Por consecuencia, el trabajo total realizado est dado por la integral siguiente.

En cada punto en C, la fuerza en la direccin del movimiento es;(F .T) T.

En la definicin, obsrvese que:

En consecuencia:

Si la orientacin de la curva se invierte, el vector tangente unitario T (t) cambia a -T (t) y se obtiene

Integrales de lnea en forma diferencialOtra forma normalmente utilizada de las integrales de lnea se deduce de la notacin decampo vectorial usada en la seccin anterior. Si F es un campo vectorial de la formaF(x,y) = Mi + Nj y C est dada por r(t) = x(t)i + y(t)j, entonces F.dr se escribe a menudo como Mdx + Ndy.

Esta forma diferencial puede extenderse a tres variables. Los parntesis se omiten amenudo, y se escribe: y y

Ejemplo:Evaluar:

donde C es el arco parablico dado por y=4x-x2 desde (4,0) a (1,3)como se muestraen la figura.

Solucin: En lugar de pasar al parmetro t, se puede simplemente conservar la variable xy escribir:

Entonces, en la direccin de (4,0) a (1,3) la integral de lnea es:

EJEMPLOS DE INTEGRALES DE LNEA1.Halle la longitud de la curva dada por la parametrizacin

La curva es Rectificable:

La longitud ser:

La ecuacin de una curva es y2=x3. Halle la longitud del arco que une (1;-1) a (1 ;1).

Parametrizamos la curva de la forma: x=t2; y = t3 ;(con esta parametrizacin evitamos los radicales). As:

La longitud del arco ser:

EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio 37:Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas F sobre una partcula que se mueve a lo largo de la trayectoria dada.

Parametrizando las curvas suaves:Solucin:

Ejercicio 37:Se obtiene:

Donde:

Ejercicio 37:

Ejercicio 43:

determinar si el trabajo efectuado a lo largo de la trayectoria C es positivo, negativo o cero. Explicar.

Solucin: Siendo R el radio del cuarto de circunferencia.

Ejercicio 43:

El trabajo resultara positivo, por que finalmente depender de la magnitud del radio del cuarto de circunferencia, que esta elevado a un exponente par, el campo de fuerzas es simtrico en consecuencia el trabajo se dispersa solo por el plano XY.