INTEGRALES DE

LÍNEA

Y se define por

Siempre que la integral del segundo miembro exista, bien como integral propia o integral impropia.El punto representa el producto escalar usual de Rn

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DE LÍNEA:Ya que las integrales de línea se definen en función de integrales ordinarias, comparten las mismas propiedades:Linealidad respecto del campo vectorial:

* Linealidad respecto del campo vectorial:

o también denotado,

Por consiguiente encontramos

INTEGRAL DE LINEA DE CAMPOS ESCALARESDefinición:

Sea

Sea C una curva acotada contenida en el dominio de F y parametrizada por el arco:

Definimos la integral del campo escalar F a lo largo de la curva C como:

INDEPENDENCIA DE CAMINOS. CAMPOS CONSERVATIVOS.

Sabemos que, en general, una integral de línea depende no sólo de los extremos A y B sino del camino que los une. Revisemos las siguientes definiciones: Definición 1:Sea S un conjunto de Rn. Decimos que S es conexo si todo par de puntos de S puede unirse mediante un camino regular a trozos conteniendo enteramente en S

Ejemplo

EJEMPLO

Haciendo n= -1 en el ejemplo 1 vemos que la fuerza de gravitación f es el gradiente del campo escalar dado por

Éste es el potencial de Newton.El trabajo efectuado por la fuerza de gravitación al mover la partícula de masa m desde es

En donde . Si los dos puntos están en la misma superficie equipotencial entonces r1= r2 y no se realiza trabajo alguno.

CALCULO DE INTEGRAL DE LÍNEA COMO INTEGRAL DEFINIDA.

En notación vectorial:

CURVAS PARAMETRIZADAS

Definición: Sea I un intervalo de R. una curva en R3 es una aplicación continua defina de la forma:

Donde t recibe el nombre de parámetro.Curvas regulares

Una curva es regular si x’(t), y’(t), z’(t) son funciones en I y no simultáneamente nulas. Una curva es regular a trozos si puede expresarse como unión finita de curvas regulares

Observación: todas las definiciones vistas para curvas en R3

sirven para R2 basta considerar z= 0.

Métodos básicos de parametrización de curvas en el plano

Una curva en el plano viene expresada habitualmente en una de las formas siguientes:

Métodos básicos de parametrización de curvas en el espacio.

En el caso frecuentemente en que la curva venga dada como intersección de dos superficies en forma implícita:

Los pasos a seguir para su parametrización pueden resumirse así:Se aísla, si es posible, una variable de una ecuación y se sustituye en la otra (por ejemplo, z=f(x,y))Se parametriza en el plano coordenado la curva plana que es la proyección de la curva C.Se parametriza la variable aislada.En el supuesto de que pueda aislarse z, la parametrización de C resultaría:

Longitud de una curva

Dada la curva regular

La longitud s del arco de curva C entre los puntos de parámetros a y b resulta ser:

Función longitud de arcoSe define como:

Curvas parametrizadas por el arco

Por definición, una curva está parametrizada por el arco si y solo si:

EJEMPLO 1:

Calcular la masa M de un muelle que tiene forma de hélice cuya ecuación vectorial es

Si la densidad en (x, y, z) es

La integral para calcular M es

Puesto que tenemos

por tanto:

En este ejemplo la coordenada z del centro de gravedad viene dada por

Según la segunda ley del movimiento de Newton tenemos:

Integrando entre a y b obtenemos:

Para este campo de fuerzas el trabajo depende solamente de los puntos extremos a y b y no de la curva que los une. No todos los campos de fuerza tienen esta propiedad. Los que la tienen se llaman conservativos.