Integrales de Linea Y Superficie

7/21/2019 Integrales de Linea Y Superficie

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REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIN UNIVERSITARIA,

CIENCIA Y TECNOLOGA.UNIVERSIDAD POLITCNICA TERRITORIAL JOS FLIX RIBAS

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIN EN CONSTRUCCIN CIVIL

INTEGRALES DE LINEA Y DE SUPERFICIE

P.N.F:

Construccin Civil.

Trayecto, Tramo, Seccin:

III, III, A.

Unidad Curricular:

Matemtica Para Ingenieros.

Tutor:

Rosa Uzcategui.

Autores:

Fernndez Jean C. C.I:24.602.967

Padrn Cristina C.I:20.747.455

Barinas, Abril de 2015.


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Contenido

Campos Escalares Y Vectoriales .............................................................................. 3

Concepto De Campo ............................................................................................. 3

Campo Escalar ...................................................................................................... 4

Campo Vectorial .................................................................................................... 4

Clculo Vectorial Infinitesimal. Operadores ............................................................... 5

Derivada De Un Vector Respecto A Un Escalar .................................................... 5

Integracin Respecto A Una Variable Escalar ....................................................... 7

Gradiente De Un Campo Escalar .......................................................................... 7

Divergencia De Un Campo Vectorial ................................................................... 11

Rotacional De Un Campo Vectorial ..................................................................... 12

Laplaciana De Una Funcin Escalar ................................................................... 13

Integrales de lnea .................................................................................................. 13

Integral de lnea de un campo Vectorial. ............................................................. 14

Propiedades de la integral de lnea de un campo vectorial. ............................. 17

Significado fsico de la integral de lnea de un campo vectorial F. ................... 18

Velocidad tangencial promedio de un fluido. .................................................... 19

Integral de lnea de un campo escalar ................................................................. 19

Existencia de la integral. .................................................................................. 20

Integrales de Superficie .......................................................................................... 21

Superficies Parametrizadas: ................................................................................ 21

Producto vectorial fundamental. .......................................................................... 23

El producto vectorial fundamental, considerado como una normal a la superficie............................................................................................................................. 26

Integrales de superficie ....................................................................................... 27

Teorema de Stokes. ............................................................................................ 31


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Campos Escalares Y Vectoriales

Concepto De Campo

Consideremos el campo gravitatorio. Un hecho fundamental de la gravitacin

es que dos masas ejercen fuerzas entre s, existe una interaccin entre ellas. Se

puede considerar esta circunstancia como una interaccin directa entre las dos

partculas de masa, si as se desea. Este punto de vista se llama accin-a-distancia.

Otro punto de vista es el concepto de campo que considera a una partcula de masa

como modificando en alguna forma el espacio que la rodea y formando un campo

gravitatorio. Este campo acta entonces sobre cualquier otra partcula de masacolocada en l, ejerciendo la fuerza de la atraccin gravitacional sobre ella. Por

consiguiente, el campo juega un papel intermedio en nuestra forma de pensar

acerca de las interacciones entre las partculas de masa. De acuerdo con este punto

de vista tenemos en nuestro problema dos partes separadas: En primer lugar est el

campo producido por una distribucin dada de partculas de masa; y segundo, es

necesario calcular la fuerza que ejerce este campo en otra partcula de masa

colocada en l.

Se dice que en una determinada regin del espacio se tiene un "campo

fsico" cuando en ella se presentan u observan propiedades fsicas. Estas

propiedades pueden tener carcter escalar, vectorial o tensorial.

El campo gravitatorio es un ejemplo de campo vectorial, porque en este

campo cada punto tiene un vector asociado con l. Tambin se puede hablar de un

campo escalar, tal como el campo de temperatura en un slido conductor del calor.

El campo gravitatorio que resulta de una distribucin fija de masa es tambin un

ejemplo de campo estacionario, porque el valor del campo en un punto dado nocambia con el tiempo.

El concepto de campo es particularmente til para comprender las fuerzas

electromagnticas entre cargas elctricas en movimiento. Tiene ventajas especiales,

tanto conceptualmente como en la prctica, sobre el concepto de accin-a-distancia.


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El concepto de campo no se usaba en la poca de Newton. Fue desarrollado ms

tarde por Faraday para el electromagnetismo y slo entonces se aplic a la

gravitacin. Hoy da se utiliza el concepto de campo en la descripcin de todas las

interacciones de la Naturaleza.

El objeto principal del captulo que sigue es la familiarizacin con un

concepto que resulta ser importante en el desarrollo y comprensin de las teoras

fsicas.

Campo Escalar

Si a cada punto (x,y,z) de una regin del espacio se le puede asociar unescalar V(x,y,z), hemos definido un campo escalar V en esta regin. La funcin V

depende, pues, del punto y por ello se llama funcin escalar de punto.

Si el campo escalar no depende del tiempo se llama estacionario.

Recibe el nombre de superficie equiescalar o isoescalar, el lugar geomtrico

de los puntos del espacio en los que el campo escalar tiene el mismo valor. Las

superficies equiescalares vienen determinadas por la expresin:

V( x, y, z ) = ki (ki es una constante)

Estas superficies no pueden tener puntos comunes por la imposibilidad de

que la funcin escalar en un mismo punto tenga diferentes valores.

Como ejemplos de campos escalares podemos citar el campo de

temperaturas de un slido o el campo de presiones de un gas.

Campo Vectorial

Si a cada punto (x,y,z) de una regin del espacio se le puede asociar un

vector E(x,y,z), queda definido un campo vectorial E en esta regin. La funcin E

depende, pues, del punto y por ello se llama funcin vectorial de punto.


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Si el campo vectorial no depende del tiempo se llama estacionario.

En los campos vectoriales se definen las lneas de fuerza o lneas de campo,como las curvas tangentes en cada punto a los vectores definidos en ellos.

Decimos que un campo vectorial es uniforme cuando tenemos el mismo

valor del vector campo y la misma direccin y sentido en todos los puntos. Un

campo uniforme est representado, evidentemente, por lneas de campo paralelas y

equidistantes.

Como ejemplos de campos vectoriales podemos citar el campo de

velocidades en un fluido, el campo gravitatorio, el campo elctrico y el campomagntico.

Clculo Vectorial Infinitesimal. Operadores

Derivada De Un Vector Respecto A Un Escalar

Si las componentes de un vector son funcin de un escalar u: r = r(u)

e incrementamos u, pasando su valor a u + Du, hallaremos el valor del

incremento en el vector, Dr(u), de la forma:

Dr(u) = r(u + Du) - r(u)


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Si dividimos el vector Dr por Du y pasamos al lmite con Du tendiendo a cero,

obtenemos la derivada de r con respecto al escalar u:

Si las componentes cartesianas del vector r(u) son:

Es inmediato:

En el caso en que r(u) es un vector de mdulo constante, es decir

y derivando respecto a u en ambos lados:


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Es decir:

Que nos dice que r y dr/du son dos vectores perpendiculares, cuando el

mdulo de r(u) no depende de la variable u.

Integracin Respecto A Una Variable Escalar

Gradiente De Un Campo Escalar

En el caso de tener un punto en coordenadas cartesianas calculamos la

derivada parcial respecto a x, mediante la operacin de derivacin considerando


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que slo x es variable y que las otras variables son constantes. As si tenemos una

funcin F (x,y,z):

El grad V es un vector que ndica como vara V en las proximidades de un

punto, el sentido es de mximo crecimiento de la funcin.

Matemticamente, la diferencial de una funcin V(x,y,z) viene dada por:

dV representa la variacin entre dos puntos muy prximos (x,y,z) y (x+dx,

y+dy, z+dz). Teniendo en cuenta la definicin de gradiente:

Donde dr es el vector:

es el vector que une los puntos antes sealados. Asi pues, nos queda que

dV puede expresarse en trminos del vector gradiente como el producto escalar de

los vectores grad V y dr:


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deducimos que, para que exista una mxima variacin del campo, para un

valor fijo |dr| , el coseno del ngulo formado por dr y grad V, debe ser 1 y el ngulo

que forman dichos vectores, nulo:

"El gradiente tiene la direccin de la mxima variacin del campo y va en el

sentido de los valores creciente de V".

Sabemos que en las superficies equiescalares se verifica que:

V(x,y,z) = constante

luego, es evidente que en una superficie equiescalar el campo escalar V no

cambia y por tanto se verificar:

dV = 0

es decir dV = (grad V).dr = 0, luego, el gradiente de la funcin escalar V es

perpendicular a las superficies equiescalares en el punto considerado.


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La componente del gradiente V en la direccin de un vector unitario uN es

igual al producto escalar (V).uN y se llama derivada direccional de V en la

direccin del vector uN:

Para una superficie S, determinada por la ecuacin f(x,y,z) = 0, el vector

unitario normal en un punto (x,y,z) viene dado por:

se puede obtener como el producto de un operador, con carcter vectorial,

por un escalar, es decir:


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En resumen, el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial que

tiene las siguientes propiedades:

(1) Sus componentes, en cada punto, son la razn de las variaciones de la

funcin y de la coordenada a lo largo de las direcciones de los ejes en dicho punto.

(2) Su mdulo, en cada punto, es el mximo valor de la variacin de la

funcin con la distancia.

(3) Su direccin es la de mxima variacin.

(4) Su sentido es el de crecimiento de la funcin.

El gradiente es, por tanto, un campo vectorial de punto deducido de un

campo escalar de punto.

Divergencia De Un Campo Vectorial

Sea E(x,y,z) = Exi + Eyj + Ezk, una funcin vectorial definida y derivable en

cada uno de los puntos (x,y,z) de una cierta regin del espacio (E define un campo

vectorial derivable). La divergencia de E, representada por E o div E, viene dada,

en coordenadas cartesianas, por la expresin:

que puede entenderse como el "producto escalar" del operador nabla , ,y

el campo vectorial E, en ese orden, y es un escalar.

La divergencia nos permite caracterizar aquellos puntos del campo vectorial

en que ste, valga la expresin, "se crea o se destruye"; es decir, clasifica los


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manantiales o sumideros del campo. Cuando div E = 0 , no hay fuentes escalares

del campo E , y se dice que el campo vectorial E es solenoidal.

Si no existen "fuentes escalares" del campo ste no podr "nacer" o "morir"

en dichas fuentes, por lo cual las lneas del campo solenoidal son siempre cerradas.

Rotacional De Un Campo Vectorial

Si E(x,y,z) = Exi + Eyj + Ezk, es un campo vectorial derivable, el rotacional de

E, representado por x E o rotE, viene dado, en coordenadas cartesianas, por laexpresin

El rotacional es un vector y puede entenderse como el "producto vectorial"

del operador nabla, , por el campo vectorial E, en ese orden. Cuando x E = 0

(rot E = 0), se dice que el campo vectorial E es irrotacional y esto nos permite decir

que el campo E deriva de una funcin escalar V en la forma:

como veremos ms adelante. El valor del rotacional de un campo vectorial

nos da las "fuentes vectoriales" del campo en cada punto. Si tenemos x E = 0

para todos los puntos, esto nos dice que E no tiene "fuentes vectoriales".


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Laplaciana De Una Funcin Escalar

Sea V(x,y,z) un campo escalar definido y dos veces derivable en cada unode los puntos de coordenadas (x,y,z) de una regin del espacio. La laplaciana de V,

representada por , viene dada, en coordenadas cartesianas, por la

expresin:

La laplaciana de una funcin escalar es un escalar. Anlogamente al

"operador nabla", podemos definir el "operador laplaciano" mediante:

Cuando el campo escalar V tiene derivadas segundas continuas y se cumple

V = 0, entonces se dice que el campo escalar V es un campo armnico.

La ecuacin en derivadas parciales:

recibe el nombre de Ecuacin de Laplace.

Integrales de lnea

La integral de lnea tiene varias aplicaciones en el rea de ingeniera, y una

de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que

posee la integral de lnea de un campo escalar.

En matemtica, una integral de lnea o curvilnea es aquella integral cuya

funcin es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos

dimensiones o del plano complejo, se llama tambin Integral De Contorno.


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Ejemplos prcticos de su utilizacin pueden ser:

El clculo de la longitud de una curva en el espacio; El clculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se

posee una funcin (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la

curva;

tambin para el clculo del trabajo que se realiza para mover algn objeto

a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas

(descritos por campos vectoriales) que acten sobre el mismo.

Integral de lnea de un campo Vectorial.

Si se divide la curva C en n subarcos de longitudes , con

, entonces el trabajo realizado por la fuerza para desplazar unapartcula desde el punto hasta el punto se puede aproximar tomando en

cuenta las siguiente consideraciones, al tomar un punto y sabiendo

que es lo suficientemente pequeo, entonces a medida que la partcula se


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mueve de hacia a lo largo de la curva C, este desplazamiento tiene

aproximadamente la misma direccin que , el cual representa el vector

tangente unitario en el punto . De tal manera que el trabajo que ejerce

este campo de fuerza sobre la partcula para moverla de hacia sera el

producto del desplazamiento , por la fuerza ejercida en el punto en la direccin

del desplazamiento, que vendra dado por el vector tangente unitario, esto es:

por tanto el trabajo total que ejerce el campo de fuerza para desplazar la

partcula desde su punto inicial hasta el punto final vendra dado, en forma

aproximada, por la expresin

Para tener una aproximacin ms cercana al valor verdadero del trabajo total

realizado se puede incrementar el nmero de subarcos n en el que se ha dividido la

curva C. Al estudiar el lmite de estas aproximaciones se obtiene el valor exacto del

trabajo total realizado es:

Ahora bien esta interpretacin ha sido desarrollada para el caso en que el

campo vectorial es un campo de fuerza, sin embargo podemos basarnos en este


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desarrollo para definir al integral de lnea de un campo vectorial de la manera que se

presenta a continuacin:

Una manera simplificada para indicar esta integral es denotarla por .

El campo gravitacional es el ejemplo ms conocido como un campo de fuerza.

Sea el campo vectorial definido por

la integral de lnea de un campo vectorial escrita de manera simplificada como

tambin se puede representar en forma cartesiana de la siguiente manera:


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Propiedades de la integral de lnea de un campo vectorial.

Aunque no es una propiedad es importante sealar que pasa cuando se

realiza un cambio en el sentido del recorrido de la curva C. Sea la curva C definida

paramtricamente por , se denota por a la

misma curva pero recorrida en sentido contrario al de C, entonces

Cuando la curva C es una curva cerrada, y sta se recorre de tal manera que

si una persona camina sobre la trayectoria definida por C, la regin encerrada por

sta queda a la izquierda de la persona, se dice que el sentido de recorrido es

positivo, la integral de lnea del campo vectorial F sobre la curva C se denota por

, donde aqu se observa cual es el sentido de recorrido de la curva. Tambin

se puede utilizar la regla de la mano derecha para identificar el sentido de recorrido

positivo de la curva. Para ello, con la mano derecha, colocamos los dedos en la


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direccin del recorrido de la curva, y si el pulgar apunta hacia arriba, esa es la

orientacin positiva de la curva.

Significado fsico de la integral de lnea de un campo vectorial F.

Otra interpretacin fsica de la integral de lnea es cuando la funcin vectorial

V escampo de velocidades de un fluido, el significado que tiene la integral de lnea

es la cantidad de fluido circula a lo largo de la curva C por unidad de

tiempo, en la direccin del vector tangente unitario T, si la curva C es una curva

cerrada, la integral de F sobre esta curva se escribe y se le denomina

como la integral de circulacin de V alrededor d la curva C. Si la funcin V

representa un campo de velocidades de un fluido, la integral de lnea se

interpreta como el flujo que atraviesa a la regin acotada por la curva C por unidad

de tiempo, en la direccin del vector unitario N, y a se le denomina como integral de

flujo de V a travs de C.

En el caso que un campo vectorial continuo B represente un campo

magntico, la integral de lnea representa la cantidad de corriente que

atraviesa la regin R acotada por la curva C, mientras que si la funcin vectorial E

es un campo elctrico continuo sobre alguna regin R, entonces la integral de lnea

de , se interpreta como el flujo del campo elctrico a travs de la regin R.


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Velocidad tangencial promedio de un fluido.

Si una funcin , representa un campo de velocidades de un fluido

en la integral de lnea , donde C es una curva suave o parcialmente

suave, cerrada y recorrida en forma positiva, se puede interpretar como la cantidad

neta de giro del fluido en el sentido de recorrido de la curva C. Se puede aqu

observar lo siguiente: si entonces las partculas del fluido se desplazan

en el sentido de recorrido de la curva; si por el contrario , entonces laspartculas del fluido se desplazan en el sentido contrario al del recorrido de la curva

C y si el campo vectorial V es perpendicular a la curva C, entonces , en

este caso el fluido se dice que es irrotacional. Ahora bien, tambin es posible

determinar la velocidad tangencial promedio de un fluido sobre la curva cerrada C, o

circulacin promedio del campo V sobre la curva C mediante la siguiente integral

En donde S representa la superficie de la regin que est acotada por la

curva cerrada C.

Integral de lnea de un campo escalar


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Existencia de la integral. Est asegurada, ya que el integrando es una

funcin acotada en [a,b] y continua salvo, a lo sumo, en un nmero finito de puntos

para los que ni siquiera concretamos el valor que toma en ellos dicha funcin. De

hecho, si hacemos una particin del intervalo [a,b] de

forma que, para k = 1,2,...,n, la restriccin de al subintervalo [tk1,tk] seade clase

C1 , podemos escribir

Obteniendo una suma finita de integrales de funciones continuas.Resaltamos que al campo escalar f slo se le exige estar definido y ser continuo

sobre la curva recorrida por el camino de integracin. Habitualmente f tendr

propiedades de regularidad mucho mejores, siendo por ejemplo diferenciable en un

abierto que contenga a la curva .

Casos particulares. En el caso n = 3, tendremos

donde x son las ecuaciones

paramtricas del camino . En el caso n = 2 tendremos solamente:

Ejemplo.

Consideremos el campo escalar f definido en R3 por

y el camino helicoidal dado por:


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En este caso tenemos claramente

y tambin

con lo cual

Interpretacin.

Cuando el campo escalar que se integra es constantemente igual a 1 sobre

la curva recorrida, la integral de lnea coincide obviamente con la longitud del

camino. A partir de aqu podemos intuir, muy informalmente, otras situaciones ms

generales.

En el caso n = 2, si el campo escalar f no toma valores negativos, podemos

interpretar la integral de lnea como el rea de un muro construido tomando como

base la curva recorrida por el camino y con altura variable, de forma que, para

cada t [a,b], la altura del muro en el punto (t) es precisamente f (t) . Esta idea

generaliza obviamente la interpretacin de la integral simple de una funcin positiva

como el rea comprendida bajo la grfica de la funcin.

Para n = 2 o n = 3, tambin podemos interpretar que sobre la curva

recorrida por tenemos una distribucin lineal de masa (pensemos por ejemplo en

un cable con la forma de dicha curva), de manera que f (t) es la densidad lineal en

el punto (t). La integral de lnea nos da entonces la masa total.

Integrales de SuperficieSuperficies Parametrizadas:

Puede imaginarse la integral de superficie como el equivalente en dos

dimensiones a una integral de lnea siendo la regin de integracin una superficie en


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lugar de una curva. Antes de estudiar las integrales de superficie, tenemos que

ponernos de acuerdo en lo que es una superficie.

Hablando sin precisin, una superficie es el lugar de un punto que se mueve

en el espacio con dos grados de libertad. En la parte de Geometra analtica del

Volumen 1 vimos dos mtodos para expresar analticamente un tal lugar. Uno es la

representacin implcita en el que se considera una superficie como un conjunto de

puntos (x, y, z) que satisfacen una ecuacin de la forma F(x, y, z) = O. Algunas

veces podemos despejar en la ecuacin una de las coordenadas en funcin de las

otras dos, por ejemplo z en funcin de x e y. Cuando eso es posible obtenemos una

representacin explcita dada por una o varias ecuaciones de la forma z = f(x, y).Por ejemplo, una esfera de radio 1 y centro en el origen tiene la representacin

implcita . Al despejar z se obtienen dos soluciones,

, La primera es la representacin

explcita de la semiesfera superior y la segunda la de la inferior. Existe un tercer

mtodo de representacin de superficies que es ms til en el estudio de las

mismas; es la representacin paramtrica o vectorial por medio de tres ecuaciones

que expresan x, y, z en funcin de dos parmetros u y v:

Aqu el punto (u, v) puede variar en un conjunto conexo bidimensional T en

el plano uv, y los puntos (x, y, z) correspondientes constituyen una porcin de

superficie en el espacio xyz. Este mtodo es anlogo al de la representacin de una

curva en Ea mediante tres ecuaciones con un parmetro. La presencia de los dos

parmetros en las ecuaciones anteriores, permite transmitir dos grados de libertad al

punto (x, y, z), como sugiere la figura anterior. Otro modo de expresar la misma idea

consiste en decir que una superficie es la imagen de una regin plana T por medio

de la aplicacin definida por dichas ecuaciones. Si introducimos el radio vector r que

une el origen a un punto genrico (x, y, z) de la superficie, podemos combinar las

tres ecuaciones paramtricas


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Representacin paramtrica de una superficie.

en una ecuacin vectorial de la forma

sta es la llamada ecuacin vectorial de la superficie. Existen, naturalmente,

muchas representaciones paramtricas de la misma superficie. Una de ellas puede

obtenerse siempre a partir de la forma explcita z = f(x, y) tomando X(u, v) = u, Y(u,

v) = v, Z(u, v) = f(u, v). Por otra parte, si es posible eliminar u y v en las ecuaciones

paramtricas -por ejemplo, si podemos resolver las dos primeras ecuaciones (de las

tres primeras mostradas) respecto a u y v en. funcin de x e y y sustituimos en la

tercera- obtenemos la representacin explcita z = f(x, y).

Producto vectorial fundamental.Consideremos una superficie representada por la ecuacin vectorial

Si X, Y, Y Z son derivables en T podemos considerar los dos vectores y


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El producto vectorial se denominar producto vectorial fundamental

de la representacin r. Sus componentes pueden expresarse como determinantes

jacobianos. En efecto, tenemos,

Si (u, v) es un punto en T en el cual son continuas y el

producto vectorial fundamental no es nulo, el punto imagen r (u, v) se llama punto

regular de r, Los puntos en los que no son continuas o bien ar/au

se llaman puntos singulares de r. Una superficie r(T) se llama

regular si todos sus puntos son regulares. Toda superficie tiene ms de una

representacin paramtrica. Algunos de los ejemplos que luego se comentan ponen

de manifiesto que un punto de una superficie puede ser regular para una

representacin y singular para otra. Seguidamente explicamos el significado

geomtrico de los conceptos de puntos regulares y singulares.


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Consideremos en T un segmento rectilneo horizontal. Su imagen por r es

una curva (llamada u-curva) situada en la superficie r(T). Para v fija, imaginemos

que el parmetro u represente el tiempo. El vector es el vector velocidad de

esta curva. Cuando u se incrementa en , un punto situado al principio en r(u, v)

se desplaza a lo largo de una u-curva una distancia aproximadamente igual a

puesto que representa la velocidad a lo largo de la u-curva.

Anlogamente, para u fija un punto de una v-curva se desplaza en el tiempo

una distancia aproximadamente igual a . Un rectngulo en T que tenga

un rea se convierte en una porcin de r(T) que aproximaremos por un

paralelogramo determinado por los vectores y .. El rea del

paralelogramo determinado por es el mdulo de su

producto vectorial

Por consiguiente la longitud del producto vectorial fundamental puede

imaginarse como un factor de proporcionalidad de las reas. En los puntos en los

que este producto vectorial es nulo el paralelogramo degenera en una curva o en un

punto. En cada punto regular los vectores y determinan un plano que

tiene el vector x como normal. En la prxima seccin demostraremos

que x es normal a toda curva regular en la superficie; por esta razn

el plano determinado por y se llama plano tangente a la superIicie.

La continuidad de y implica la continuidad de x ; esto.

a su vez, significa que el plano tangente se mueve con continuidad en una superficie

regular. As vemos que la continuidad de y evita la presencia de


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aristas o puntas en la superficie; la no anulacin de x evita los

casos degenerados antes citados.

El producto vectorial fundamental, considerado como una normal

a la superficie.

Consideremos una superficie paramtrica regular r(T), y sea C* una curva

regular en T. La imagen C = r(C*) es entonces una curva regular situada en la

superficie. Demostraremos que en cada punto de C el vector X esnormal a C. Supongamos que C* est descrita por una funcin a definida en un

intervalo [a, b], por ejemplo sea

Entonces la imagen de la curva e est representada por la funcin

compuesta

Queremos demostrar que la derivada p'(t) es perpendicular al vector

X cuando las derivadas parciales y estn calculadas en (U(t),

V(t). Para calcular p'(t) derivamos cada componente de p(t) mediante la regla de la

cadena (teorema 8.8) para obtener

donde los vectores gradientes V' X, V'Y, Y V'Z estn calculados en (U(t), V(n). La

ecuacin anterior puede escribirse en la forma


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estando calculadas las derivadas y en (U(t), V(t)). Ya que y

son perpendiculares en cada punto al producto vectorial X or/ov , lo

mismo ocurre con p'(t). Esto demuestra que X es normal a e, como

queramos probar. Por esta razn, el vector X se denomina normal a

la superficie r(T)o En cada punto regular P de r(T) el vector X es

distinto de cero; el plano que pasa por P y tiene este vector como normal se llama

plano tangente a la superficie en P.

Integrales de superficie

En muchos aspectos, las integrales de superficie son anlogas a las

integrales de lnea. Definimos las integrales de lnea mediante una representacin

paramtrica de la curva. Anlogamente, definiremos las integrales de superficie en

funcin de una representacin paramtrica de la superficie. Demostraremos luego

que en ciertas condiciones generales el valor de la integral es independiente de la

representacin.


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Los ejemplos que siguen ilustran algunas aplicaciones de las integrales de

superficie.

Ejemplo 1. rea de una superficie. Cuando f = 1, la ecuacin de la integral

de superficie se transforma en:

As pues, el rea de S es igual a la integral de superficie . Por este

motivo, el smbolo dS se llama algunas veces elemento r(T) de rea de la

superficie, y la integral de superficie se lee integral de f r(T) respecto al

elemento de rea, extendida a la superficie r(T).

Ejemplo 2. Centro de gravedad. Momento de inercia. Si el campo escalar f

se interpreta como la densidad (masa por unidad de rea) de una lmina delgada

adaptada a la superficie S, la masa total m de la superficie se define por la frmula

Su centro de gravedad es el punto determinado por las frmulas

El momento de inercia . de S alrededor de un eje L viene dado por


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donde representa la distancia de un punto genrico (x, y, z) de S a

la recta L. Como ejemplo, determinemos el centro de gravedad de la superficie de

una semiesfera uniforme de radio a. Utilicemos la representacin paramtrica:

en la que . En este ejemplo la densidad f es

constante, pongamos f = c, y la masa m es c veces el rea de S. Debido a

la simetra, las coordenadas e del centro de gravedad son 0. La coordenada

viene dada por

Ejemplo 3. Flujo de fluido a travs de una superficie. Imaginemos que un

fluido es una coleccin de puntos llamados partculas. A cada partcula (x, y, z)

asignamos un vector V (x, y, z) que representa su velocidad. Este es el campo de

velocidad de la corriente. El campo de velocidad puede o no cambiar con el tiempo.

Consideraremos tan slo corrientes estacionarias, esto es, corrientes para las que la

velocidad V (x, y, z) depende nicamente de la posicin de la partcula y no del

tiempo.

Designemos con p(x, y, z) la densidad (masa por unidad de volumen) del

fluido en el punto (x, y, z). Si el fluido es incompresible la dentidad p ser constante

en todo el fluido. Para un fluido compresible, tal como un gas, la densidad puede

variar de un punto a otro. En cualquier caso, la densidad es un campo escalar


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asociado a la corriente. El producto de la densidad por la velocidad la

representamos por F; esto es,

Este es un campo vectorial llamado densidad de flujo de la corriente. El

vector F(x, y, z) tiene la misma direccin que la velocidad, y su longitud tiene las

dimensiones

Dicho de otro modo, el vector densidad de flujo F (x, y, z) nos dice cunta

masa de fluido circula por el punto (x, y, z) en la direccin de V (x, y, z), por unidad

de rea y de tiempo. Sea S = r(T) una superficie paramtrica simple. En cada punto

regular de S designemos con n el vector unitario" normal que tenga el mismo

sentido que el producto vectorial fundamental. Esto es,

El producto escalar F' n representa el componente del vector densidad de

flujo en la direccin de n, La masa de fluido que pasa a travs de S en la unidad de

tiempo en la direccin de n se define con la integral de superficie


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Teorema de Stokes.El resto de este captulo est especialmente dedicado a dos

generalizaciones del segundo teorema fundamental del Clculo a las integrales de

superficie. Se conocen, respectivamente, con las denominaciones de Teorema de

Stokes y Teorema de la divergencia. El teorema de Stokes es una extensin directa

del teorema de Green el cual establece que

en donde S es una regin plana limitada por una curva cerrada e recorrida ensentido positivo (contrario al de las agujas del reloj). El teorema de Stokes relaciona

una integral de superficie con una integral de lnea y puede enunciarse as:

Ejemplo de superficie a la que es aplicable el teorema de Stokes.


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Demostracin. Para demostrar el teorema basta establecer las tres frmulas

siguientes,

La suma de esas tres ecuaciones nos da la frmula del teorema de Stokes.

El plan de la demostracin consiste en expresar la integral de superficie

como una integral doble sobre T. Entonces se aplica el teorema de Green para

expresar la integral doble sobre T como una integral de lnea sobre r. Por ltimo,

demostramos que esta integral de lnea es igual a fc P dx. Escribamos

y expresemos la integral de superficie sobre S en la forma

Integrales de Linea Y Superficie

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