Integrales

7/17/2019 Integrales

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Breve historia de las integrales.

El origen del cálculo integral se remonta a la época de Arquímedes (287-212 a.C.) matemáticogriego de la antig!edad que o"tu#o resultados tan importantes como el #alor del áreaencerrada por un segmento para"$lico. %a deri#ada apareci$ #einte siglos después pararesol#er otros pro"lemas que en principio no tenían nada en com&n con el cálculo integral. Eldescu"rimiento más importante del cálculo in'initesimal (creado por arro *eton + %ei"ni,)es la íntima relaci$n entre la deri#ada + la integral de'inida a pesar de a"er seguido caminosdi'erentes durante #einte siglos. na #e, conocida la cone/i$n entre deri#ada e integral(teorema de arro) el cálculo de integrales de'inidas se ace tan sencillo como el de lasderi#adas.

El concepto de Cálculo + sus rami'icaciones se introdu0o en el siglo 333 con el gran desarrolloque o"tu#o el análisis matemático creando ramas como el cálculo di'erencial integral + de#ariaciones.

Integrales indefinidas.

%a idea de la integral inde'inida supuso un paso más en el camino de la a"stracci$nemprendido por las matemáticas modernas. Con ella la integral de0$ de re'erirse &nicamente aun modo de determinar las áreas que 'orman cur#as + rectas para asumir la condici$n de'unci$n en sí suscepti"le de 'ormar parte de ecuaciones + descripciones de modelos en el granmarco de las teorías del análisis matemático.

Primitivas.

4ada una función ' (/) se dice que la 'unci$n 5 (/) es primitiva de ella si se #eri'ica que 5 (/)6 ' (/). %a operaci$n consistente en o"tener la primiti#a de una 'unci$n dada sedenomina integración que es la in#ersa de la derivación.

4e esta de'inici$n se desprende que la 'unci$n ' (/) posee in'initas primiti#as +a que si 5 (/) esprimiti#a de ' (/) tam"ién lo será cualquier otra 'unci$n de'inida como (/) 6 5 (/) C siendoC un #alor constante.

El con0unto de todas las primiti#as de una 'unci$n ' (/) dada se denomina integralindefinida de la 'unci$n + se denota genéricamente como9

%as primiti#as de una 'unci$n 'orman una 'amilia de cur#as despla,adas #erticalmente unas deotras. Así la 'unci$n ' (/) 6 / tiene in'initas primiti#as que di'ieren en una constante tal como semuestra a la dereca.



:ropiedades de las primiti#as.

Aplicando las propiedades de la deri#aci$n es posi"le determinar algunas propiedades

comunes de la integraci$n. %as siguientes propiedades de linealidad sir#en paradescomponer integrales complicadas en otras más sencillas9

• %a integral de la suma (o di'erencia) de dos 'unciones es igual a la suma (odi'erencia) de las integrales de cada una de ellas.

• %a integral del producto de una constante por una 'unci$n es igual al producto de la

constante por la integral de la 'unci$n.

Tabla de integrales inmediatas.

En la ta"la siguiente se resumen las reglas de integraci$n de algunas 'unciones comunes. Engeneral se llama integrales inmediatas a las que se deducen directamente de esta ta"la + delas propiedades de linealidad de la integraci$n.



Propiedades de las integrales.

•

%a integral conser#a las desigualdades. Es decir si tenemos dos 'unciones ' + gintegra"les en un inter#alo ;a "< + '(/)=g(/) en cada punto / del inter#alo entonces> a " '(/)d/= > a " g(/)d/.

• %a integral es aditi#a respecto del inter#alo. Es decir si ' es una 'unci$n acotada en uninter#alo ;a"< + c es un punto entre a + " entonces ' es integra"le en ;a "< si + s$lo silo es en cada uno de los en los inter#alos ;a c< + ;c "<? + además> a " '(/)d/6 > a c '(/)d/ > c " '(/)d/.

• %a integral de la suma es la suma de las integrales. Es decir si ' + g son dos 'unciones

integra"les de'inidas en el inter#alo ;a "< entonces 'g es integra"le en ;a "< +> a " '(/)g(/)d/6 > a " '(/)d/ > a " g(/)d/.

• %a integral de un n&mero por una 'unci$n es el producto del n&mero por la integral de la'unci$n. Es decir si ' es una 'unci$n integra"le en un inter#alo ;a "< + @ es un n&meroreal entonces @ es integra"le en ;a"< + > a " @'(/)d/6@ > a " '(/)d/.

Integrales por cambio de variable.

El método de integraci$n por sust i tuc i$n o cam"io de #ar ia"le se "asa en lader i#ada de la 'unci$n compuesta.

:ara cam"iar de #ar ia" le ident i ' i camos una par te de lo que se #a a in tegrar con una nue#a #ar ia"le t de modo que se o"tenga una integral más senci l la .

Integrales por parte.

E l m ét od o d e i nt eg ra ci $n p or p ar te s p er mi te c al cu la r l a i nt eg ra l d e u nproducto de dos 'unciones apl icando la '$rmula9

%as 'unciones logarí tmicas arcos + pol in$micas se el igen como u .

%as 'unc iones e/ponenc ia les + t r igonomét r icas de l t ipo seno + coseno seel igen como v' .

Integrales definidas.

%a integral de'inida es un concepto utili,ado para determinar el #alor de las áreas limitadas por cur#as + rectas. 4ado el inter#alo ;a "< en el que para cada uno de sus puntos / se de'ine una

'unci$n ' (/) que es ma+or o igual que B en ;a "< se llama integral de'inida de la 'unci$n entre



los puntos a + " al área de la porci$n del plano que está limitada por la 'unci$n el e0e ori,ontal + las rectas #erticales de ecuaciones / 6 a + / 6 ".

%a integral de'inida de la 'unci$n entre los e/tremos del inter#alo ;a "< se denota como9

Propiedades de la integral definida.

%a integral de'inida cumple las siguientes propiedades9

• Doda integral e/tendida a un inter#alo de un solo punto ;a a< es igual a cero.

• Cuando la 'unci$n ' (/) es ma+or que cero su integral es positi#a? si la 'unci$n es

menor que cero su integral es negati#a.• %a integral de una suma de 'unciones es igual a la suma de sus integrales tomadas

por separado.

• %a integral del producto de una constante por una 'unci$n es igual a la constante por la integral de la 'unci$n (es decir se puede sacarF la constante de la integral).

• Al permutar los límites de una integral ésta cam"ia de signo.

• 4ados tres puntos tales que a G " G c entonces se cumple que (integraci$n atro,os)9

• :ara todo punto / del inter#alo ;a "< al que se aplican dos 'unciones ' (/) + g (/)tales que ' (/) H g (/) se #eri'ica que9



REPÚBLIC B!LI"RI# $E "E#E%&EL

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E$&CCI)# (&PERI!R

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TERRIT!RIL +!(* #T!#I! #%!,TE-&I

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Profesor/ Bachilleres/ Adriana Iartíne, Al#arado Edgar C.3. 2J.J82.KJL

ara,arte %eonardo C.3. 2J.M1M.82N 5ernánde, Oerd+s C.3. 2N.7LL.K8J

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