Integrales Chota

1

Matemática II Ingeniería Civil

HUMBERTO GALVEZJunio – 2015.

Definición: Una función G es una antiderivada de f en

un intervalo I si G'(x) = f(x) para toda x en I.

Ejemplos: Determine las anti derivadas de las

siguientes funciones

ANTIDERIVADAS

Msc. Yober Oblitas Díaz

23)() xxfa 3)() xfb

xxfc 2cos)() xexfd 23)()

Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la

antiderivada más general de f en I es:

F (x)+ C

donde C es una constante arbitraria.

TEOREMA


Definición: El conjunto de todas las antiderivadas se denomina: la Integral Indefinida de f respecto a x, denotada por:

LA INTEGRAL INDEFINIDA


CxFdxxf )()(

Diferencial de x

Símbolo de Integral

Función integrando

Una antiderivada de f

Constante de integración

Ejemplos: Determine las integrales indefinidas de las siguientes funciones.

PROPIEDADES

dxxgxfa )]()([)

ctekdxxfkdxxfkb ,)()(.)

IxcxGdxxfc ,)()()

dxxsenxa )52() 2

dxe

xxb x3

121

)

dxexc x )823cos3() 2


Sea u = u(x) una función integrable, entonces:

FORMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN

cxdx)1

1,1

)21

ncnx

dxxn

n

cea

dxe axax 1)4

caxa

dxaxsen )cos(1

)()5

caxsena

dxax )(1

)cos()6

caxLna

dxaxtg )(sec1

)()7

caxtga

dxax )(1

)(sec)8 2

cuLnudu

)()9

ca

uArctg

aua

du 1)10

22

cau

auLnaau

du

2

1)3

22


A. Integración por Sustitución o Cambio de Variable.

Si u = g(x) es una función diferenciable entonces.

Ejemplos : Determine las siguientes integrales

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

duufdxxgxgf )()()]([

dxxxxLn

2

2

1)1(3

)4

dxesene xx )24()3

dxxx

x14

1)1 4

3

1)2

2x

xdx

dxxe

senxex

x

cos)5


B. INTEGRACIÓN POR PARTES Consideremos u = u(x) y v = v(x) dos funciones diferenciables en la variable

x entonces su producto también es diferenciable. Es decir:

A la expresión (*) se denomina formula de integración por partes

(*)

)(

)(

)(

vduuvudv

vduuvdudv

vduuvdudv

vduudvuvd


Determine las siguientes integrales indefinidas

Ejemplos

xdxx 3cos)1

xarctgxdx)5

xdxarccos)4

xdxsene x 4)6 3

dxexx x)173()2 2

xdxLnx 23)3


C) INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

A) Integrales del tipo: donde

CASOI: “m” o “n” es impar y positivo

Si m es impar, separe un factor de senx. Luego reemplace cualquier factor de sen²x por 1- cos²x y haga la sustitución u = cosx.

Si n es impar, separe un factor de cosx. Luego reemplace cualquier factor de cos²x por 1- sen²x y haga la sustitución u = senx.

EJEMPLOS: Calcular las siguientes integrales

xdxxsen nm cos. Znm ,

xdxxsena 54 cos. ) xdxsenxb 3.cos )


Caso II: m y n son pares y positivos o nulos. En este caso puede utilizar

las identidades.

Con el fin de reducir las potencias en el integrando.

Ejemplos: Calcular

2

2cos12 AAsen

2

2cos1cos2 A

A

dxxsena 4 )(

xdxsenxb 24 .cos)(


B) Integrales del tipo: donde

CASO I: Si m impar y positivo. Separa un factor de secx.tgx. Luego reemplace cualquier factor de tg²x por sec²x - 1 y haga la sustitución u = secx.

Ejemplo: Calcular

CASO II: Si n es par, separe un factor de sec²x. Luego reemplace cualquier sec²x por 1+ tg²x y haga la sustitución u = tgx.

Ejemplo: Calcular

xdxxtg nm sec. Znm ,

xdxxtg 35 sec.

xdxxtg 46 sec.


C) Integrales del Tipo: donde

Estas integrales se tratan de forma similar a las del tipo anterior.

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Caso I: Integrando que contiene un término de la forma:

hacer :

Ejemplos: Calcular

xdxxctg nm csc. Znm ,

0 ,22 aua

2,

2 ,

asenu

dx

x

xa

29

1 ) 2425

)xx

dxb


Caso II: Integrando que contiene un término de la forma:

Hacer :

Ejemplos: Calcular

Caso III: Integrando que contiene un término de la forma:

Hacer:

Ejemplos: Calcular

0 ,22 aua

2,

2 ,

atgu

dx

xx

xa

22

23 )

2 2/52

2

)49( )

x

dxxb

0 ,22 aau

2

3,

2,0 ,sec

au

x

dxxa

36 )

2

2/32 )9( )

xx

dxb


Caso I: Todos los factores del Q(x) son lineales y ninguno se repite.

Entonces:

Donde Ai son constantes reales por determinar.

Ejemplos: Calcular

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES EMPLEANDO FRACCIONES PARCIALES

)())(()( 2211 nn bxabxabxaxQ

nn

n

bxa

A

bxa

A

bxa

A

xQ

xP

22

2

11

1

)(

)(

dxxxx

xa

6

1 )

23

dxxxx

xb

)2)(1(

24 )


Caso II: Todos los factores del Q(x) son lineales y algunos se repiten.

Entonces:

Donde Ci son constantes a determinar

Ejemplos: Calcular

nbaxxQ )()(

nn

bax

C

bax

C

bax

C

xQ

xP

)()()(

)(2

21

dx

xx

xxa

2

2

)1(

354 )

dyyyy

yyb

44

8112 )

23

2


Caso III: Todos los factores del Q(x) son lineales y cuadráticos y ninguno se repiten.

Al factor cuadrático del denominador le corresponde la fracción parcial de la forma :

Ejemplos: Calcular

Caso III: Todos los factores del Q(x) son cuadráticos y algunos se repiten. Si la fracción es:

cbxax 2

cbxax

nmx

2

dx

xx

xxa

3

2 252 )

dx

xx

xxxb

23

2 )

24

23

nn

n cbxax

BxA

cbxax

BxA

cbxax

BxA

cbxax

xP

)()()(

)(2

222

222

112


DEFINICION:

Si f es continua en [a,b] y G(x) es una antiderivada de f. Entonces

Ejemplos:

1) Calcula

2) Si la velocidad de un paracaidista esta dado por

Para los primeros 5 segundos de un salto, calcule la distancia recorrida.

b

a

aGbGdxxf )()()(

e

1

Lnxdx

smetv t /)1(30)(

LA INTEGRAL DEFINIDA


Cuando f y g son integrables, la integral definida satisface las siguientes reglas.

1) Orden de integración:

2) Intervalo de ancho cero:

3) Múltiplo constante:

4) Suma y Diferencia:

5) Aditividad:

PROPIEDADES

b

a

,)()(a

b

badxxfdxxf

a

a

dxxf 0)(

b

a

b

a

ctekdxxfkdxxkf )()(

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

b

a

c

a

c

b

dxxfdxxfdxxf )()()(


SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO (TFC)

Si f es continua en [a,b] y F(x) es una antiderivada de f. Entonces

Ejemplos:

1) Calcula

2) Si la velocidad de un paracaidista esta dado por

Para los primeros 5 segundos de un salto, calcule la distancia recorrida.

b

a

aFbFdxxf )()()(

e

1

Lnxdx

smetv t /)1(30)(


ÁREA DE REGIONES PLANAS

CASO I: Consideremos una función continua en el intervalo [a,b] y además . El área de la región R limitada por la curva el eje X y las rectas verticales x = a y x = b esta dado por la expresión:

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

)(xfy ],[ ,0)( baxxf

)(xfy

b

a

dxxfRA )()(


Ejemplos:

1) Calculemos el área de la región R limitada por las graficas de:

2) Calculemos el área de la región R limitada por las graficas de:

.0 ,5 ,0 ,9

61

2

xxyxx

y

. ,0 , exyLnxy


CASO II: Consideremos dos funciones continuas en el intervalo [a,b] tal que . El área de la región R limitada por las curvas y las rectas verticales x = a y x = b esta dado por la expresión:

gf ,],[ ),()( baxxgxf

)( ),( xgyxfy

b

a

dxxgxfRA )]()([)(


Ejemplos:

1) Determina el área de la región R limitada por las graficas de las ecuaciones:

2) Calcular el área de la región R señalada en la figura adjunta.

3) Calcular el área de la región R limitada por las graficas de las ecuaciones:

02 ,06 22 yxxyxx

2 ,2 xyxy


Integrales Chota

Documents

Transcript of Integrales Chota