Area entre dos curvas

Por: Jose A Vega Cotto MBA, MA

Encientre el area entre las curvas

• f (x) = 4 - x 2 and g (x) = x 2 - 4.

• los puntos de intersección son x = -2 y x = 2.

Graficar las dos ecuaciones

• La razón para graficar las dos ecuaciones es ser capaz de determinar qué función es en la parte superior y que es una en la parte inferior. A veces, también puede determinar los puntos de intersección. A partir de este gráfico, es taco que f (x) es la función superior, g (x) es la función inferior, y que los puntos de intersección son x = -2 y x = 2.

f (x) = 4 - x 2 y g (x) = x 2 - 4.

• Si no desea determinar los puntos de intersección gráficamente lo puede resolver algebraicamente o con la calculadora. Para encontrarlos algebraicamente, hay que igualar las ecuaciones.

• 4 - x 2 = x 2 – 4 • -2x 2 = -8 • x 2 = 4 ® • x = -2 o x = 2

Evalue la integral

Proximo paso evaluar la integralRecuerde F (x) – g (x)

Solucion

Fijense en la grafica de las dos funciones

• Se puede notar que se puede utilizar simetría en la creación de la integral. La región es simétrica con respecto tanto a la X y el eje y. Si se hubiera utilizado la simetría del eje, la integral resultante habría tenido límites de 0 y 2, y hubiéramos tenido que tomar 2 veces el área para encontrar el área total. Aquí está esta integral.

Por medio de simetria.

Ejemplo 2

• Encuentra el área entre las curvas x = y ³ y x = y ² que está contenida en el primer cuadrante.

x = y ³ , x = y ²

• Dado que ambas ecuaciones son x en términos de y, que se integrará con respecto a y.

Integrar con respecto Y

• Cuando se integran con respecto a x, tenemos que determinar la función superior y la función inferior. Ahora que estamos integrando con respecto a y, tenemos que determinar cuál de las funciones esta más alejada del eje de y. La función que esta más alejada del eje y es x = y². Así que esa será nuestra curva superior. La curva inferior será la curva que está más cerca del eje y. En este caso, es la función x = y ³.

Igualamos para encontrar los puntos de intersección.

• y 2 = y 3 • y 2 - y 3 = 0• y 2 (1 - y) = 0• y = 0 , y = 1

Por ultimo se evalúa la integral.

Ejemplo 3

• y = x2 -5x + 6• y = 2x

Calcular el área limitada por la curva y = x2 -5x + 6 y la recta y = 2x.

• En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.

• x₁ = 1 x₂ = 6

Calculamos la Integral

Calcule el area entre dos curvas

Calcule el area entre dos curvas

• Solucion• Y=x²-4x-1 • Y=-⅓ x²-1• 6

Calcule el area

Solucion• Area = 2

Calcule el area

Solucion

• Area = 1 ⅓

Calcule el area

Solucion

• Area = 3 ⁵⁄₉

Calcule el area

Solucion

• Area = 2 ₃²̸�

Calcule el area

Solucion

• Area = 9 ⅓

Calcule el area

Solucion

• Area = 3 ⅓

Calcule el area

Solucion

• Area = 8

Calcule el area

Solucion

• Area = 6

Calcule el area

Solucion

• Area = ⅓