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1 AREA ENTRE DOS CURVAS Sean ) ( x f y ) ( x g dos funciones continuas en un intervalo b a, de su dominio, y sea ) ( ) ( x g x f para todo elemento b a x , , es decir la grafica de ) ( x f esta por encima de la grafica de ) ( x g en todo el intervalo. El área bajo la curva ) ( x f corresponde a la región sombreada entre la curva y el eje de las equis en el intervalo b a, . El área bajo la curva ) ( x g , corresponde a la región sombreada entre la curva y el eje de las equis en el intervalo b a, . x y f(x) a b x y g(x) a b
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AREA ENTRE DOS CURVAS
Sean )(xf y )(xg dos funciones continuas en un intervalo ba, de su
dominio, y sea )()( xgxf para todo elemento bax , , es decir la grafica
de )(xf esta por encima de la grafica de )(xg en todo el intervalo. El área bajo la curva
)(xf corresponde a la región sombreada entre la curva y el eje de las equis en el intervalo ba, .
El área bajo la curva )(xg , corresponde a la
región sombreada entre la curva y el eje de las equis en el intervalo ba, .
x
y
f(x)
a b
x
y
g(x)
a b
2
El área entre las dos curvas corresponde a la región del plano que esta
comprendida entre las dos curvas en el intervalo ba, .
x
y
g(x)
a b
f(x)
Dicha área obtiene al restar, l área bajo curva )(xf menos el área bajo la curva
)(xg , en el intervalo ba, . Es decir:
)()( xgcurvalabajo
xfcurvalabajo
curvaslasentrebajo AreaAreaArea
Pero como el área bajo la curva )(xf es igual a: b
adxxfA )( y el área bajo
la curva )(xg es b
adxxgA )( se tiene que el área entre las curvas es:
3
b
a
b
adxxgdxxfA )()( , aplicando las propiedades de las integrales definidas
llegamos a; b
adxxgxfA )()( expresión que corresponde al área entre las
dos curvas. Al aplicar la expresión para determinar el área entre dos curvas, conviene recordarla como :
b
adx
eriorCurva
SuperiorCurva
Ainf
Al resolver problemas correspondientes a la determinación del área entre dos curvas, se recomiendan seguir los siguientes pasos.
1) Dibujar las dos curvas en el mismo plano cartesiano y sombrear la región correspondiente al área entre las dos curvas.
2) Determinar los puntos de intersección de las dos curvas, para lo cual igualamos las dos funciones )()( xgxf y resolvemos la ecuación resultante. Las soluciones nos
determinan los extremos del intervalo ba, .
3) Identificar cual es la curva superior y cual la inferior para aplicar la expresión
b
adxxgxfA )()(
EJEMPLO: DETERMINE EL AREA ENTRE LAS CURVAS: 4)( 2 xxf y xxg 42)(
4
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
x
y
f(x)
g(x)
De la grafica observamos que las curvas se intersecan en los puntos para los cuales x= 0 y x = 2. Además la curva de g(x) esta por encima de la de f(x)
Luego, el área es:
5
34
3812
384
32)2(
3
2
442
)()(
32
2
0
32
2
0
2
2
0
2
2
0
A
xxA
dxxxA
dxxxA
dxxfxgA
EJEMPLO: Determine el área entre las curvas xxxf 3)( 2 y
xxxxg 52)( 23 Para visualizar la región a la cual se le debe encontrar el área, realizamos la gráfica.
xxxf 3)( 2 , tiene como grafica una parábola. Para graficarla buscamos los intersectos con el eje de las equis y el vértice: Para los intersectos con el eje equis se tiene que 0)( xf , es decir:
303;0)3(0
30 2
xxxxx
xx
Luego los interfectos son los puntos : 0,0 y 0,3
6
El vértice es:
49,
23
29
49,
23
233
23,
)1(23
2,
2
2
V
abf
abV
Luego la grafica es:
Para la grafica de xxxxg 52)( 23 Buscamos los interfectos con el eje de las equis.
35.185.14
4114
40112*2
5*2*411
5200520
520
2
2
23
xx
x
xxxxxx
xxx
7
Luego los interfectos son: 0,0 ; 0,35.1 ; 0,85.1 Buscamos los puntos máximos y mínimos:
526)( 2/ xxxg igualando la derivada a cero encontramos los puntos críticos.
76.009.112
124212
120426*2
5*6*422
52602
2
xx
x
xx
Buscamos la segunda derivada y la evaluamos en los puntos críticos.
imoxgimoxg
xxg
max76.0012.112)76.0(*12)76.0(min09.1008.11209.1*12)09.1(
212)(
//
//
//
Punto máximo: 34.2,76.0 ; Punto mínimo 04.4,09.1 la grafica es:
8
Graficando las dos funciones en un mismo plano y sombreando la región entre las dos curvas obtenemos.
9
Ahora buscamos los interfectos de las graficas con el fin de determinar los límites de integración.
2200222
042082
352)()(
2
3
223
xxxxxx
xxxx
xxxxxxfxg
Como nos dieron tres valores para x , entonces calculamos el área entre las
curvas en las los intervalos 0,2 y 2,0
2
0
0
2
)()()()( dxxgxfdxxfxgA
En la primera región, correspondiente al intervalo 0,2 , la curva del g(x) se encuentra por encima de la curva f(x). Siendo el área en esa región igual a:
8168
)2(42
)2(42
82
352
)()(
240
2
24
0
2
3
0
2
223
0
2
A
xxA
dxxxA
dxxxxxxA
dxxfxgA
y en la segunda región , intervalo 2,0 sucede lo contrario , la función f(x) se encuentra por encima de la función g(x) : luego el área queda en la forma:
10
8816
2)2()2(4
24
28
523
)()(
42
2
0
42
2
0
3
2
0
232
2
0
A
xxA
dxxxA
dxxxxxxA
dxxgxfA
Luego, el área entre las dos curvas es:
1688 A
EJEMPLO: Determine el área entre las curvas xxxxf 103)( 23 y
xxxg 2)( 2 f(x)= 3x3 - x2 - 10x g(x)= - x2 + 2x
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-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
f(x)
f(x)
g(x)
g(x)
Buscamos los puntos de intersección de las dos curvas.
2 2 00)2)(2(3
0)4(30123
2103)()(
2
3
223
xxxxxx
xxxx
xxxxxxgxf
Como nos dieron tres valores para x , entonces calculamos el área entre las
curvas en las los intervalos 0,2 y 2,0
12
2
0
0
2
)()()()( dxxgxfdxxfxgA
En la primera región, correspondiente al intervalo 0,2 , la curva del g(x) se encuentra por encima de la curva f(x). Siendo el área en esa región igual a:
122412
)2(64
)2(364
3
123
2103
)()(
240
2
24
0
2
3
0
2
223
0
2
A
xxA
dxxxA
dxxxxxxA
dxxfxgA
y en la segunda región , intervalo 2,0 sucede lo contrario , la función f(x) se encuentra por encima de la función g(x) : luego el área queda en la forma:
121224
4)2(3)2(6
436
312
1032
)()(
42
2
0
42
2
0
3
2
0
232
2
0
A
xxA
dxxxA
dxxxxxxA
dxxfxgA
Luego, el área entre las dos curvas es: 241212 A
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ACTIIVIDAD ENCUENTRE EL AREA ENTRE LAS CURVAS DADAS. A) )1)(3()( xxxf y xxg )(
b) xxxf 2)( 2 y 2)( xxg
c) yyx 22 y 04 yx
d) 22)( xxf y xxg )(
e)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
f(x)=x+4g(x)=x2-2
f)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
f(x)=x+4
g(x)=x2-2
14
g)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
f(x)=2x-x2
g(x)=x2-4x
h)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
f(x)=4x-x2
g(x)=x3-3x2-x+3
