Aplicación de diferentes metodologías para estimación de curvasIntensidad – Frecuencia – Duración en Colombia

Jaime I. Vélez, Germán Poveda, Oscar Mesa, Carlos D. Hoyos, J. Freddy Mejía, Diana I. Quevedo, Luis F. Salazar, Sara C. Vieira

Posgrado en Aprovechamiento de Recursos Hidráulicos, Universidad Nacional de Colombia, Medellín, Colombia

ResumenDada la importancia que tienen la utilización de las curvas Intensidad - Frecuencia - Duración (IDF) en el cálculo y diseño de obras de ingeniería, se hace un análisis de diferentes metodologías para su estimación utilizando información de 51 estaciones con registros horarios de precipitación ubicadas en los andes tropicales de colombia. Las metodologías utilizadas fueron: ecuaciones paramétricas (Froehlich) en función del período de retorno y la duración de las tormentas; ecuaciones paramétricas (Vargas) en función, además, de la precipitación media anual, la elevación, el número de días con lluvia al año y la lámina máxima de 24 horas de duración; y la teoría de multiescalamiento que consiste en conocer las propiedades que permanecen invariantes ante los cambios de escala en variables como la precipitación. Con esta última metodología los registros evidencian que el coeficiente de variación, esencial para la estimación de las curvas basadas en propiedades de escala, es constante (Cv = 0.25) para los rangos de duraciones de lluvia trabajados (1 a 24 horas). La función de estructura de los registros muestra, para los primeros cuatro momentos, evidencias de escalamiento simple. La ventaja más sobresaliente es que esta teoría nace de bases físicas que proveen una síntesis de los complejos mecanismos que determinan la lluvia. Se hace un análisis general de las anteriores metodologías y la forma de integrar los resultados de la mismas como una base para determinar nuevas expresiones. Estos resultados posibilitan encontrar características que facilitan la estimación de las curvas en lugares con información escasa.

Palabras claves: Escalamiento, ecuaciones paramétricas, curvas IDF, precipitación, duración, tormentas.

Abstract

Because of the importance of the rainfall Intensity - Duration - Frequency curves in the design and calculation of engineering we use different methodologies for their estimation using time series of 51 hourly precipitation stations located in the tropical Andes of Colombia. We use the following methodologies: Parametric equations (Froehlich) in function of a return period and a storm duration, parametric equations (Vargas) in function of, in addition to the above, the mean annual precipitation, the elevation, the number of rainy days in the year and the maximum 24 hours precipitation; and the multiscaling theory that study the properties remaining invariant when scale changes are made in variables like the precipitation. This last methodology shows a constant variation coefficient (Cv = 0.25) for all the durations considered (1 to 24 hours). The structure function shows simple scaling for the first four moments. This last methodology has an excellent advantage. It is based in physical foundations that allow a synthesis of the complex mechanisms that govern rainfall. We make a general analysis of the methodologies above and we integrate their results as a base to determine new expressions. These results make possible to find characteristics that allow the estimation of the curves in places with scarce information.

Keywords: Scaling, parametric equations, IDF curve, precipitation, duration, storms.

1. IntroducciónHoy en día las curvas Intensidad-Duración-Frecuencia (IDF), siguen siendo una de las herramientas más utilizadas en la estimación de caudales de diseño, especialmente en el diseño de obras de drenaje de vías y alcantarillados pluviales en las zonas urbanas y rurales y en la estimación de las tormentas de diseño en sitios donde, debido a la falta de información de caudales, es necesario recurrir a los modelos lluvia escorrentía para el cálculo de los caudales máximos. Las intensidades máximas de la lluvia en distintos intervalos de tiempo en un mismo sitio y con distintas probabilidades de excedencia o períodos de retorno, se resumen en las IDF. La precipitación exhibe una gran fluctuación tanto en el espacio como en el tiempo. Gracias a las nuevas tecnologías para el registro de la precipitación, ha sido posible identificar las características no lineales de este fenómeno y su estructura de variabilidad espacial.

Usualmente las curvas IDF se determinan mediante análisis del mayor número posible de registros pluviográficos pertenecientes a la estación de estudio. En las cartas pluviográficas están consignados los perfiles de cada tormenta, es decir, la profundidad de precipitación acumulada en función del tiempo. El problema que se presenta es la escasez de estaciones que registran información de este tipo, probablemente debido a su alto costo de instalación y mantenimiento. La estimación de curvas IDF a partir de información pluviométrica se presenta como una alternativa para resolver este problema.

En la última década se han hecho grandes esfuerzos para representar los campos de precipitación. Los mayores desarrollos se han hecho en la modelación de procesos temporales (Waymire y Gupta, 1981). Dentro de estos desarrollos se encuentra los conceptos de escalamiento simple y multiescalamiento los cuales son utilizados para el análisis de varios fenómenos en la hidrología que han permitido ligar las observaciones con las características de los procesos físicos involucrados. El hecho de conocer las propiedades que permanecen invariantes ante los cambios de escala en variables como la precipitación, tiene implicaciones importantes en hidrología, tanto desde el punto de vista teórico como práctico.

2. Datos y metodologíaSe usaron registros de lluvia horaria de 45 estaciones pluviográficas manejadas por el Centro Nacional de Investigaciones del Café, CENICAFÉ y 6 estaciones pluviográficas manejadas por las Empresas Públicas de Medellín. Los períodos de registro oscilan entre 10 y 22 años. Es de resaltar que las estaciones están ubicadas en las zonas cafeteras de Colombia y por tanto tienen un rango altitudinal de ubicación entre los 990 y 2120 m. Dada la resolución temporal de los registros se analizaron las tormentas máximas con duraciones entre 1 y 24 horas.

Ecuaciones paramétricas (Froehlich)Existe una variedad de funciones que se vienen empleando para la representación de las curvas IDF en forma regionalizada (Froehlich, 1995; Vargas, 1998; y Varas, 2000). Froehlich (1995) propuso cuatro expresiones básicas para representar las curvas IDF en varias regiones de los Estados Unidos, ver Tabla 1. Estas ecuaciones están expresadas de forma adimensional, lo cual se consigue dividiendo por la intensidad de lluvia de 1 hora de duración (I1) para un período de retorno dado.

Tabla 1. Tipos de ecuaciones de intensidad-frecuencia-duración

Tipo de ecuación Expresión Parámetros de la ecuación

I a1, b1

II a2 , b2

III a3, b3, c3

IV a4, b4 ,c4

Los parámetros de estas ecuaciones adimensionales no lineales se pueden hallar minimizando la suma de los cuadrados de los errores para los datos considerados. En el presente trabajo se obtuvieron expresiones para los parámetros a1, b1, a2, b2, a3, b3, a4, b4

en las ecuaciones, todas en función de la relación entre las láminas máximas de 24 horas y 1 hora de duración P24-hr,Tr/ P1-hr,Tr.

Otra metodología que se usa para la representación de curvas IDF se basa en una expresión que tiene la forma

(1)

La ecuación (1) es una expresión utilizada en España y es recomendada por la Instrucción de Drenaje Superficial, dependencia del Ministerio de Obras Públicas de

España. En esta, PD(Tr) es la precipitación máxima diaria, es la relación entre la

intensidad máxima de una hora con la intensidad de 24 horas, también llamada coeficiente de torrencialidad.

Ecuaciones paramétricas (Vargas)Vargas (2000), evaluó la aplicabilidad de las principales ecuaciones propuestas por la literatura para generar curvas IDF sobre una amplia región colombiana. En primera instancia, se utilizó la ecuación de Kothyari y Garde (ecuación 2) en forma generalizada

(4.1) . (2)

Luego, se reemplazó el término R224 por el valor promedio anual máximo de precipitación

diaria M

(4.2) (3)

Se proponen modificaciones a la ecuación 3 de tal manera que incluyera un parámetro correspondiente al número de días con lluvia al año N

(4.3) . (4)

Donde a, b, c, d y e son coeficientes determinados por análisis de regresión para las estaciones consideradas.

Finalmente, se adicionan parámetros como la precipitación medial anual PT en mm y la elevación sobre el nivel del mar ELEV en msnm obteniéndose las ecuaciones 5 y 6.

(4.4) . (5)

(4.5) . (6)

Teoría de escalamiento simple y multiescalamientoSe dice que un fenómeno presenta características de escalamiento simple para la variable aleatoria I, cuando para cada existe una función C() de tal forma que se conserve la relación (Gupta y Waymire,1990)

(7)

La anterior relación es definida como escalamiento simple en sentido estricto, donde

denota igualdad en la distribución de probabilidad, mostrando que la distribución de probabilidad del fenómeno es invariante con respecto a la escala. es el factor de escala, I es una variable aleatoria (Intensidad de la lluvia en este caso particular) y d es el parámetro con el cual se escala I. Puede mostrarse que la función C() puede escribirse como

(8)La expresión (7) implica que los cuantiles también son invariantes con la escala y pueden relacionarse por medio de la expresión

(9)donde q es el q-ésimo cuantil de la variable I. Existe una relación lineal entre el parámetro con el cual se escala y el valor de la variable I correspondiente al q-ésimo cuantil. En el campo logarítmico, para cada cuantil, se obtiene una línea recta con esta ecuación y las pendientes de estas rectas (r). La ecuación (7) implica también, que siempre y cuando los momentos de la variable I existan, éstos también son invariantes con la escala y se relacionan por medio de la expresión

, (10)

con Mr(.) el momento de orden r de la variable I, y con (11)

Las propiedades denotadas por las ecuaciones (7) a (10) definen lo que se conoce como Escalamiento Simple en sentido amplio ya que depende de la existencia de los momentos y es una propiedad más débil que la expresada con la ecuación (7). La ecuación (10) indica una relación lineal el campo logarítmico entre el parámetro con el cual se escala y cada uno de los diferentes momentos de orden r.

En la naturaleza se han encontrado diversos fenómenos en los cuales a pesar de conservarse la relación de los momentos en diferentes escalas en cada orden, no se presenta la relación lineal entre el orden de los momentos y las diferentes pendientes r

de la expresión (10), es decir no se cumple (11). De acuerdo a esto, la expresión (10) puede escribirse como

(12)

donde l(r) es una función que describe el “alejamiento” de los valores de los exponentes de la expresión (10). Las curvas IDF se pueden analizar a partir del escalamiento temporal simple de la precipitación, es decir utilizando la duración como parámetro de escala. Si se supone que existe escalamiento simple y además que existen los diferentes momentos, de las ecuaciones (10) y (11) se obtiene que

(13)

(14)

donde Id y Idref son la intensidad máxima para una duración d y una duración de referencia, respectivamente. Para el caso de escalamiento simple, el coeficiente de variación (CV) es una constante, dada por

. (15)

Si se conoce la función de distribución de los valores extremos de los registros, el valor del exponente de escalamiento() y CV, es posible calcular las intensidades máximas a partir de un valor de referencia conocido (Iref). Suponiendo que los valores extremos de la precipitación siguen una distribución Log-Normal tipo II (LN II), a partir de la teoría del escalamiento simple, la expresión para las IDF queda

. (16)

En la ecuación (16), q es el la inversa de la distribución normal acumulada estándar para una probabilidad de no excedencia q. Las fórmulas utilizadas para la determinación de los intervalos de confianza fueron las siguientes:

(17)

donde:

; estimador insesgado de la varianza.

Resultados y análisis

Ecuaciones paramétricas (Froehlich)Utilizando los datos de intensidad y duración de las estaciones, se obtuvieron las curvas ajustadas de intensidad-frecuencia-duración para 5 períodos de retorno (2.33, 5, 10, 25, 50) suponiendo una distribución lognormal de los eventos máximos para los tipos III y IV (tabla 1) por presentar un mejor ajuste a los datos, igualmente se realizaron ajustes para la ecuación propuesta por la dependencia de obras públicas de España (Ecuación 1). En la Figura 1 se observan las curvas intensidad-frecuencia-duración para la estación Bremen.

Figura 1. Ajuste de curva IDF para la estación Bremen.

Luego se encontró una relación entre el coeficiente de torrencialidad con los diferentes parámetros de las ecuaciones. La relación lineal fue la que mostró un mejor ajuste. Los resultados del ajuste se muestran en la Tabla 2.

Tabla 2. Valores de pendiente, intercepto y coeficiente de correlación, para cada parámetro y diferente período de retorno

Parámetro Ajuste 2.33 5 10 25 50Atrans a 0.16 0.11 0.04 0.15 0.02

b 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01R2 0.13 0.01 0.14 0.13 0.22

A2 a 62.20 50.68 50.63 44.98 45.94b -1.13 0.23 0.43 0.85 0.87R2 0.19 0.04 0.08 0.18 0.18

A3 a 96.71 86.25 87.55 82.84 75.72b -3.57 -2.31 -2.17 -1.85 -1.24R2 0.47 0.36 0.37 0.40 0.28

B3 a 1.35 1.37 1.30 1.37 1.17b -0.09 -0.10 -0.09 -0.09 -0.08R2 0.91 0.92 0.94 0.96 0.94

A4 a 98.52 88.75 87.42 81.25 74.26b -3.73 -2.47 -2.19 -1.70 -1.07R2 0.50 0.38 0.37 0.36 0.21

A4 a 1.40 1.45 1.32 1.33 1.17b -0.10 -0.10 -0.09 -0.09 -0.08R2 0.92 0.90 0.91 0.92 0.85

Período de retorno

Ecuaciones paramétricas (Vargas)

Tabla 3. Parámetros ajustados para el conjunto de estacionesEcuación a b c d e f g

3 3.785 0.159 0.712 0.525 0 0 04 3.458 0.159 0.712 0.516 0.025 0 05 2.911 0.159 0.712 0.346 -0.203 -0.282 06 2.266 0.159 0.712 0.274 -0.112 0.326 -0.033

Haciendo uso de los registros de precipitación de las estaciones, se obtuvieron los valores correspondientes a las variables M, N y PT para cada una de éstas y mediante

procesos de optimización, se calcularon los parámetros de (3), (4), (5) y (6), presentados en la Tabla 3.

A partir de los parámetros encontrados, se establecen las expresiones que sirven finalmente para la construcción de las curvas IDF. En la Figura 2, se muestran las curvas IDF calculadas con las expresiones (3), (4), (5) y (6) para la estación El Sireno para los diferentes períodos de retorno estudiados.

Figura 2. Curvas Intensidad-Frecuencia-Duración con base en las ecuaciones (3) y

(4) para la estación El Sireno.

En el proceso de validación de ésta metodología, se construyeron histogramas de frecuencia de los errores relativos porcentuales, determinados a partir de los datos reales de intensidad con una probabilidad de no excedencia asociada a los períodos de retorno contemplados en el estudio y de los valores calculados con cada uno de los modelos ajustados. En la Figura 3, se muestran los errores relativos para la estación El Sireno, se toman los períodos de retorno de 2.33 años (arriba) y 50 años (abajo) con el fin de comparar la sensibilidad de los cuatro modelos en el cálculo de intensidad para diferentes períodos de recurrencia. Se observa que los errores promedios para Tr = 2.33 años son muy bajos (inferiores a 27%), presentándose un incremento significativo de estos en el cambio de período de retorno (Error promedio para Tr =50 años de 52%); Se encontró además sobreestimación en los cuatro modelos, siendo (5) quien presenta el menor error promedio, posiblemente indicando que al introducir la variable PT estos disminuyen, ya que es una variable que condensa gran cantidad información acerca del comportamiento de la lluvia; los errores relativos de (6) siguen en orden de magnitud, mostrando que el ingreso de la variable ELEV aporta ruido en la estimación los valores de intensidad.

Teoría de escalamientoSegún la suposición de escalamiento simple, el valor del exponente puede estimarse a partir de los valores de precipitaciones máximas observadas para las diferentes duraciones. En los análisis realizados por Wilches (2001), se encontró para estaciones de registro pluviográficas ubicadas en Antioquia, que las relaciones de escala no son válidas en todo el rango de duraciones, y que es necesario subdivirlo en dos o más rangos. Pudo observarse que el exponente de escalamiento para las duraciones pequeñas (menores de 2 horas) presenta gran variabilidad y el de duraciones mayores es más estable lo que presupone análisis de escalamiento múltiple y simple, respectivamente.

Figura 3. Errores relativos para la estación El Sireno. (Arriba) Errores para Tr = 2.33; (abajo Errores para Tr = 10 años.

En la Figura 4 se observan los valores de las pendientes de los ajustes en el campo logarítmico entre los primeros cuatro momentos muestrales y las duraciones consideradas (1 a 24 horas). Analizando la función de estructura en la Figura 4 donde el valor de 1 fue tomado del ajuste presentado, y de acuerdo con la teoría de escalamiento simple, en la cual los valores de los momentos varían linealmente con el momento de orden uno, se observa que hasta para momentos de orden 4, los datos se ajustan significativamente a la línea teórica. El cálculo de momentos de mayor orden es muy susceptible de errores debido a la corta longitud de los registros.

Figura 4. (izquierda) Gráfico de los primeros cuatro momentos de las lluvias

máximas. Los rombos son los valores muestrales y las líneas continuas los mejores ajustes. r es la pendiente de estas líneas. (derecha) Función de Estructura para los datos. La línea continua representa la ecuación (11) y los símbolos (+) son los resultados muestrales.

Para presentar un resultado confiable estadísticamente, se realizaron estimaciones de los intervalos de confianza para cada estación en particular, con el fin de verificar si es posible rechazar la hipotesis de que las lluvias horarias en el rango analizado (1 a 24 horas) tienen un comportamiento de escalamiento simple o si el escalamiento se puede regionalizar (entre simple o múltiple). Para esto se estimaron los intervalos de confianza del 95%, del ajuste lineal entre cada uno de los momentos y las duraciones. Esto se muestra en la Figura 5, donde se unen los intervalos de confianza por medio de una línea punteada. En esta figura la línea continua indica los valores teóricos de escalamiento

simple. Se busca decidir si los datos obtenidos están dentro de los intervalos de confianza y comprobar la hipótesis de escalamiento simple.

Figura 5. Intervalos de confianza para las regresiones entre los momentos y las duraciones para la estación Blonay.

En la mayoría de las estaciones analizadas los datos obtenidos se encuentran dentro de los límites de confianza. Se concluye que con todos los análisis realizados anteriormente se acepta la hipótesis de escalamiento simple, para efectos de calcular las curvas IDF.

Los resultados anteriores sugieren la utilización del modelo de escalamiento simple, dada la evidencia de los registros en el rango de duraciones utilizados y con el máximo orden de los momentos analizados. Un parámetro necesario para aplicar este modelo es el Coeficiente de Variación (CV). Si se toma la intensidad de 24 horas como la intensidad de referencia, el modelo indica que CV se debe ajustar a la línea de escalamiento simple. Como se observa en la Figura 6, el coeficiente de variación tiene un rango entre 0.18 y 0.30, y dado que este valor es fácilmente afectado tanto por la longitud de los registros como por los aparatos de medición, se consideró usar un valor constante de CV = 0.25 correspondiente al valor medio. Además, CV no presenta ningún rasgo característico con la cota de la estación y con la precipitación media multianual. La Figura 6 muestra también cómo el coeficiente de variación es más disperso para las duraciones menores de 4 horas y se estabiliza para las duraciones mayores. Esto es debido posiblemente a la alta variabilidad de la lluvia para las duraciones menores.

Figura 6. (Izq) Histograma de Frecuencias para Cv. (der) Valores de CV para todas

las duraciones en todas las estaciones.

Si se toma un valor de para cada estación, dado por el ajuste de la serie de registros máximos para todas las duraciones consideradas, utilizando la ecuación (4.10), se observan valores que varían entre –0.84 y -0.80, con un valor medio de –0.83 (Figura 7). El promediado entre todas las estaciones es muy similar al obtenido con la regresión lineal entre las duraciones y el momento de orden 1. En la variabilidad espacial de no se observa ningún patrón carácterístico.

Figura 7. Histograma de Frecuencias del parámetro .

Para la validación de los resultados se aplicó el modelo de escalamiento simple con distribución LNII (ecuación 16) y con los valores de y CV constantes e iguales a -0.83 y 0.25, respectivamente, y la intensidad de referencia de 24 horas. Se compararon los resultados con los obtenidos al aplicar los métodos tradicionales (suponiendo una distribución LNII de las lluvias máximas) para la estación El Jazmín. En la Figura 8 se observan los errores relativos para las curvas IDF en diferentes períodos de retorno. A grandes rasgos se puede observar que los errores relativos aumentan en las mayores duraciones para altos períodos de retorno y las duraciones menores presentan mayores errores debido a la posible presencia de escalamiento múltiple para pequeñas duraciones. Los mayores errores en esta validación son del orden del 25% y, en promedio, se tienen errores del 10 al 15 %. Aquí el error relativo se usa en sentido de comparación entre los resultados que se obtienen por ambos métodos. La teoría de escalamiento contiene una base conceptual y teórica mucho más sólida desde el punto de vista de la física del proceso de precipitación (Over y Gupta, 1994; Lovejoy y Schertzer, 1990; Burlando y Rosso, 1996).

Tr = 2.33

d (horas)

0

2

4

6

8

10

Err

or r

ela

tivo

(%

)

1 6 12 18 24

Tr = 10

d (horas)

0

5

10

15

20

Err

or r

ela

tivo

(%

)

1 6 12 18 24

Tr = 50

d (horas)

0

5

10

15

20

25

30

Err

or r

ela

tivo

(%

)

1 6 12 18 24

Figura 8. Errores relativos entre los valores del modelo y el método tradicional en la estación El Jazmín para períodos de retorno de 2.33, 10 y 50 años.

Para efectos prácticos hemos encontrado la expresión (18) para evaluar la intensidad de la lluvia para cualquier período de retorno y cualquier duración en el rango de 1 a 24 horas

(18)

Donde:Iq,d : Intensidad (mm/h) para la duración d(horas) y el período de retorno q (años)I24 : Intensidad de 24 horas (mm/h)q : inversa de la distribución normal acumulada estándar para una probabilidad de no excedencia q.CV : Coeficiente de Variación = 0.25d24 : Duración de referencia = 24 horas :Valor del exponente de escalamiento = -0.83

Las curvas IDF estimadas a partir de la ecuación (18) para las estaciones Alban y Arturo Gómez se presentan en la Figura 9.

Figura 9. Curvas IDF obtenidas a partir de la teoría de escalamiento simple para las estaciones Alban y Arturo Gómez

Se hizo el ajuste de las ecuacione tipo II, III y IV del método de Froehlich considerando los valores de c2, c3 y c4 constantes e iguales a 0.83 (valor obtenido por el método de escalamiento simple). Al realizar un proceso de optimización de estos exponentes se observa que los valores c2, c3 y c4 son cercanos al valor escogido y no varían considerablemente inclusive para períodos de retorno altos. Igualmente se observan valores cercanos a 0.83 para el exponente c en el método de Vargas.

ConclusionesPara el método de las ecuaciones paramétricas de Vargas, la utilización de la ecuación (6) no es conveniente ya que la inclusión de la elevación no representa un aporte significativo en los estimados de intensidades. Aunque los modelos (3), (4) y (5) son de gran utilidad y proveen buenas estimaciones de intensidades de lluvia en zonas desprovistas de información, cabe resaltar que para la calibración de estos se requiere de información de precipitación horaria de mejor resolución espacial, con el objetivo de calcular con mayor confiabilidad las variables M, N y PMA requeridas y de tener mejor cobertura en el territorio nacional.

Por el metodo de Froehlich se ha encontrado que el coeficiente de torrencialidad tiene una variabilidad espacial similar a la distribución de la precipitación media anual. Se debe explorar la relación que existe entre estas dos variables.Los registros evidencian que el coeficiente de duración, escencial para la estimación de las curvas basadas en propiedades de escala, es constante para los rangos de duraciones de lluvia trabajados. La función de estructura de los registros muestra, para los primeros cuatro momentos, evidencias de escalamiento simple. A partir de estas consideraciones, se trabajó con la expresión para la las curvas IDF basada en escalamiento simple y la función de distribución Log-Normal tipo II para representar la probabilidad de las lluvias máximas, la cual usa como variables independientes el promedio de la intensidad de la lluvia para 24 horas de duración, el período de retorno y la duración. Este modelo de escalamiento simple muestra resultados satisfactorios al reproducir curvas IDF basadas en métodos tradicionales. La ventaja más sobresaliente de la teoría de escalamiento es que esta nace de bases físicas que proveen una síntesis de los complejos mecanismos que determinan la lluvia. Se obtiene un modelo más simple y de parsimonia que el obtenido con los modelos heurísticos que actualmente se usan para la determinación de las curvas IDF. El obtener un valor del exponente de la duración muy similar en los tres métodos, a pesar de que parten de suposiciones diferentes, indica la estabilidad del mismo y hace pensar que está relacionado con la fisica de los procesos determinante de las tormentas. Estos resultados son una herramienta útil para la práctica en la ingeniería donde se requiera el cálculo de tormentas extremas cuyas duraciones de interés estén dentro de las rangos aquí trabajadas.

Agradecimientos: A Cenicafé (Centro de investigaciones del café) y a las Empresas Públicas de Medellín, por facilitarnos la información de las estaciones de precipitación.

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