Integral

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN I. INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE

Problema 1

∫ 999x(x +1)

dx

Haciendo: ⇒ −2

1 1u= =

x xdu dx

−

∫ ∫ ∫x( ) ( )( )2x x= =

2 999 999 999x (x +1) x +1 ( ) +1

1

u1

u

dxdu

dx

− −∫ ∫ ∫

999u ( ) 998x u= =

2 999 999 999x (x +1) 1+u 1+u

1

udu

dx du

Haciendo: w = 9991+u → 998dw =999u du

→ dw 998=u du999

− −∫ ∫x 1 1

= = ln w +C2 999 999 w 999x (x +1)

dx dw

−∫1 999= ln 1+u +C

999 999x(x +1)

dx

−∫1 999= ln 1+( ) +C

999 999x(x +1)

1

x

dx

−∫9991 x +1

= ln +C999 999999x(x +1) x

dx

Problema 2 1

1

+

−∫

xdx

x x

1

1

+

− −−∫ ∫ ∫

x x +1 dx 2 dxdx = = 1+

x 1 x x 1 xx x

Haciendo:

⇒ −− −

2 22 1+ x 12x 1

u = =u 1

También:

⇒−

22 1+ 2x 1

u = −udu2

=−

dx2(x 1)

⇒ − ⇒−

− −22 2udu dx udu dx

2(x 1) = ( ) =

u 1

1

1

+ −

−

−

−

∫ ∫

22

( udu)2x 2dx =2x x +1

2

u 1u

u 1

1

1

+ −

−

−

−∫ ∫

4udu

2 2xdx =

2x x

2

(u 1)

(u)u +1

u 1

1

1

+

− −−∫ ∫

x du2dx = 42 2x x ( )( )

(u )u +1 u 1

1

1

+

−−

−∫ ∫

2x dudx = 4

4x x

u

u 1

Por fracciones parciales:

−−

2

4 2

u A B Cu+D= + +

u+1 u 1u 1 u +1

− −2 2 2u = A(u 1)(u +1)+B(u+1)(u +1)+(Cu+D)(u 1)(u+1)

Si: u = 1 → 1 = 4B → 1

B =4

Si: u = –1 → 1 = –4A → −1

A =4

Si: u = 0 → 0 = –(−1

4) +

1

4 – D →

1D=

2

Si: u=2

→4=( −1

4)(1)(5)+(

1

4)(3)(5)+(2C+

1

2)(1)(3)

→ C = 0

−

−−

2

4 2

1 1 1u 4 4 2= + +

u+1 u 1u 1 u +1

1

1

+

−−

−∫ ∫

2x dudx = 4

4x x

u

u 1

1

1

+

−−

−∫ ∫ ∫ ∫x du du du

dx = +2x x

1 1 1+

4 u+1 4 u 1 2 u +1

1

1

+

−

−−

−∫ ∫ ∫ ∫x d(u+1) d(u 1) du

dx = +2x x

1 1 1+

4 u+1 4 u 1 2 u +1

1

1

+

−− −∫

xdx =

x x

1 1 1ln u+1 + ln u 1 + arctan(u)+C

4 4 2

1

1

+

−

−∫

xdx =

x x

1 u 1 1ln + arctan(u)+C

4 u+1 2

1

1

+ −

−−

−

−

∫

x +1

x x +1x 1dx =x 1x x x +1

x 1

11 1

ln + arctan( )+C4 2

+1

1

1

+ −

−− −

−∫

x x +1 x 1 x +1dx =

x 1x x x +1 x 1

1 1ln + arctan( )+C

4 2+

Problema 3

∫x1+a dx

Haciendo: 2 x x ln a1+a 1+eu = =

⇒��

x ln ae ln a dxxa

2udu=

�

⇒−

−

dx x 2 a ln a ln a2u 1

2udu 2udu= =

(u 1)

=−

∫ ∫x 21+a

2 ln a

2ududx u

(u 1)

= =−

− −∫ ∫ ∫

2 2x1+a

2 2ln a ln a

2 u du 2 u 1+1dudx

u 1 u 1

= +

−∫ ∫ ∫

x1+a2ln a

2 dudx du

u 1

−∫

x1+aln a 2

2 1 u adx= u+ ln +C

u+a

−∫

x1+ax x1+a 1+axln a 2 1+a

2 1 adx= + ln +C

+a

Problema 4

∫3x x +1dx

Haciendo: →3 21u = x+ 3u du=dx

−∫ ∫33 3 23x x +1 ( 1) dx = u u (3u du)

−∫ ∫3 33x x +1 ( 1) dx = 3 u u du

−∫ ∫ ∫6 33x x +1dx = 3 u du 3 u du

−∫3 37 43x x +1 u u7 4

dx = +C

−∫3 37/3 4/33x x +1 (x +1) (x +1)7 4

dx = +C

Problema 5

∫xe

x1+ 1+e

dx

Haciendo: →2 x xu =1+e 2udu=e dx

∫ ∫xe 2udu

x 21+ 1+e 1+ u

dx =

∫ ∫xe udu

2x 1+u1+ 1+e

dx =

Haciendo: →2t =1+u 2tdt = du

−∫ ∫

x 2e (t )(2tdt)2

2x t1+ 1+e

1dx =

−∫ ∫xe 24 (t dt

x1+ 1+e

dx = 1)

−∫xe 3t

x1+ 1+e

4dx = 4t+C

3

−∫xe 3( 1+u) 1+u

x1+ 1+e

4dx = 4 +C

3

−x 3 x( 1+ 1+e ) 1+ 1+e4

= 4 +C3

II. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES QUE CONTIENEN UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Problema 1 −

− −∫

(6 2x)

28 4x 4x

dx

− − − −2d(8 4x 4x ) = ( 4 8x)dx

− −

− −∫

1 (28 4 8x)

4 28 4x 4x

= dx

− −

− − − −∫ ∫

1 28 1 ( 4 8x)

4 2 4 28 4x 4x 8 4x 4x

= dx+ dx

− −

− −− −∫ ∫

21 1 d(8 4x 4x )7

4 22 8 4x 4x8 4(x + x+ )

= dx+1 1

4 4

− − −

−∫

1 1 1 27 8 4x 4x4 229 4(x + )

= dx+1

2

− − −

−∫

1 1 27 8 4x 4x82 2( ) (x + )

= dx+3 1

2 2 2

− − −x +

7 1 28 4x 4x8

1

2= arcsen( )+ +C322

− − −7 2x +1 1 28 4x 4x

8= arcsen( )+ +C

2 3

Problema 2

∫2x +7

2x +2x +5dx

2d(x +2x +5) = (2x +2)dx

∫ ∫ ∫2x +2+5 2x +2 5

2 2 2x +2x +5 x +2x +5 x +2x +5= dx= dx+ dx ∫ ∫

2d(x +2x+5) 1

2 2 2x +2x +5 (x+1) +2= +5 dx

2x +2x +51 x+1

=ln ( )+5 arctan( )+C2 2

2x +2x +55 x+1

= ln ( )+ arctan( )+C2 2

Problema 3

−∫

cos x

2sen x 6sen x +5dx

− −2d(sen x 6sen x +5) = (2sen x cosx 6cos x)dx

− −−

−∫

2sen x cos x 6cos x 2sen x cos x

2sen x 6sen x +5

1= dx

6

− −− −

− −∫ ∫

2sen x cos x 6cos x 2sen x cos x

2 2sen x 6sen x +5 sen x 6sen x +5

1 1= dx dx

6 6

Haciendo: u = sen x → du = cos x dx

−−

− −∫ ∫

2d(sen x 6sen x+5) u du+

2 2sen x 6sen x +5 u 6u+5

1 2=

6 6

− −−

∫u du2sen x 6sen x +5 + +C

2u 6u+5

1 1= ln

6 3


− − − −−

u u A B= = +

2 (u 5)(u 1) u 5 u 1u 6u+5

u = A(u – 1) + B(u – 5)

Si: u = 1 → 1 = –4B → −1

B =4

Si: u = 5 → 5 = 4A → 5

A =4

− − −− −∫ ∫

du du2sen x 6sen x +5 + +Cu 5 u 1

1 1 5 1= ln

6 3 4 4

− − − − −2sen x 6sen x +5 + u 5 u 1 +C1 5 1

= ln ln ln6 12 4

− − − − −2sen x 6sen x +5 + sen x 5 sen x 1 +C1 5 1

= ln ln ln6 12 4

III. INTEGRACIÓN POR PARTES

Problema 1

∫2cos (lnx)dx

Haciendo: u = ln x → du = dx

x → xdu =dx → udx =e du

∫ ∫2 2 ucos (lnx) cos (u)dx = e du . . . (I)

Ahora por integración por partes:

→ − −2w = cos (u) dw = 2cos u sen udu= sen (2u)du

→u udv =e du v =e

− −∫ ∫2 u u 2 ucos (u) cos (u) sen (2u)e du= e e du

∫ ∫��

2 u u 2 ucos (u) cos (u)+ sen (2u)

A

e du=e e du . . . (II)

∫u sen (2u)A = e du

→w = sen (2u) dw = 2cos(2u)du

→u udv =e du v =e

− ∫u usen(2u) 2cos (2u)A = e e du

→ −w = cos (2u) dw = 2sen(2u)du

→u udv =e du v =e

( )− − −∫u u usen(2u) cos(2u) 2sen (2u)A = e e e du

−

∫��

u u usen(2u) cos(2u)+2 sen (2u)

A

A = e e e du

→− −u u u usen(2u) cos(2u) sen(2u) cos(2u)1 1

3A = e e A = e e3 3

. . . (III)

Reemplazando (III) en (II)

−∫2 u u 2 u ucos (u) cos (u)+ sen(2u) cos(2u)

1 1e du=e e e

3 3 . . . (IV)

Reemplazando (IV) en (I):

−∫2 u 2 u ucos (lnx) cos (u)+ sen(2u) cos(2u)+C

1 1dx =e e e

3 3

Pero: u = ln x

−∫2 ln x 2 ln x ln xcos (ln x) cos (ln x)+ sen(2ln x) cos(2ln x)+C

1 1dx =e e e

3 3

−∫2 2cos (ln x) cos (ln x)+ sen(2 ln x) cos(2 ln x)+C

1 1dx = x x x

3 3

Problema 2

∫xe dx

Haciendo: →xexeu= du= dx

2 x

∫ ∫ ∫xexe

2 x dxdx = =2 ln udu

2 x


→du

w = ln u dw =u

→dv = du v =u

∫ ∫ ∫ ∫duxeu

dx=2 ln udu=2 u ln u- u( ) =2 u ln u- du

− − −∫x x x x x xe e e e e edx=2u ln u u+C =2 ln +C =2 x +C

Problema 3

−∫

x arcsenx

21 x

dx


→

−

dxu = arcsen x du =

21 x

− − → − − − − − −

− − −∫ ∫

2xdx 1 2xdx 1 d(1 x ) 1 1 12 21 x 1 x2 2 2 2 2 2 2 41 x 1 x 1 x

dv = v = = = =

− − −

− −∫ ∫

x arcsenx 1 1 dx2 21 x arcsen x 1 x +C2 4 4 21 x 1 x

dx =

− −

−∫ ∫

x arcsenx 1 121 x arcsen x dx+C2 4 41 x

dx =

− −

−∫

x arcsenx 1 x21 x arcsen x +C2 4 41 x

dx =

Problema 4 −

∫x 1

4 xarctan dx


→

− − − −

−

4 x x 14 3x 1 1 x x 1 xu = du = dx

4 2 24x xx 1

1+4 x

1 1

4 4 arctan( )

→

− −

− −

1 x x x 1du= dx

4 3x 1 x x x 11+

( )

4 ( x)x

→

−

− −

x x + xdu= dx

4 3+ x 1 x x 1

x

x 4 (x)

→

− − − −

xdu = dx = dx

4 43 32 x 1 x x 1 x x 1 x 1

x x

4 (x) 4 (2 ) (x)

→

−

− −

du= dx4 3x x 1 x 1

1

8 (2 )

→dv = dx v = x

− − −

∫x 1 x 1

4 4x xarctan dx =(x) arctan

IV. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Problema 1

∫x6csc dx6

Haciendo: u = x

6 →

dxdu =

6 → dx = 6du

∫ ∫ ∫x6 6 4 2csc dx csc u du csc u csc udu6

=6 =6

∫ ∫x6 2 2 2csc dx (1+cot u) csc udu6

=6

∫ ∫x6 2 4 2csc dx (1+2cot u+cot u) csc udu6

=6

∫ ∫ ∫ ∫x6 2 2 2 4 2csc dx csc udu cot u csc udu cot u csc udu6

=6 +12 +6

− − −∫ ∫ ∫x6 2 4csc dx cot u d(cot u) cot u d(cot u)6

= 6cot u 12 6 +C

− − −∫3 5x cot u cot u6csc dx

6= 6cot u 12 6 +C

3 5

− − −∫x x x 6 x6 3 5csc dx cot cot 6 6 6 6

= 6cot 4 +C5

Problema 2

−∫5cos (2x 1)dx

Haciendo: u = 2x – 1 → du = 2dx → du

dx =2

− −∫ ∫ ∫ ∫5 5 4 2 2cos (2x 1) cos u cos u cos u (1 sen u) cos u

1 1 1dx = du= du= du

2 2 2

− −∫ ∫5 2 4cos (2x 1) (1 2sen u+sen u) cos u

1dx = du

2

− −∫ ∫ ∫ ∫5 2 4cos (2x 1) cos u sen u cos u sen u cos u

1 1 1dx = du ( )2 du+ du

2 2 2

− −∫ ∫ ∫ ∫5 2 4cos (2x 1) cos u sen u d(sen u) sen u d(sen u)

1 1dx = du +

2 2

− −∫3 5sen u sen u5cos (2x 1)

1 dx = sen u + +C

2 3 10

− −− − −∫

3 5sen (2x 1) sen (2x 1)5cos (2x 1) (2x 1)1

dx = sen + +C2 3 10

Problema 3

∫7 4tan xsec xdx

Haciendo: u = tan x → 2du = sec x dx

∫ ∫ ∫ ∫7 4 7 2 2 7 2 7 9tan xsec xdx tan x (1+ tan x) sec xdx u (1+u )du (u +u )du= = =

∫8 10 8 10u u tan x tan x7 4tan xsec xdx + +C + +C8 10 8 10

= =

Problema 4

∫ tanx dx

Haciendo: → →⇒2udu 2udu2 2x = arctan ( ) dx = dx =

42 2 1+u1+(u )u = tan x u

− −∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 2 22udu du du du242 2 4 2 2 21+u1+u 1+2u +u 2u (u + 2u+1)(u 2u+1)

u u utanx dx = u =2 =2 =2


− −

2

2 2 2 2(u + 2u+1)(u 2u+1) u + 2u+1 u 2u+1

u Au+B Cu+D= +

−2 2 2u 2u+1 u + 2u+1u =(Au+B)( )+(Cu+D)( )

Si: u = 0 → 0=B+D → −D = B . . . (1)

Si: u = 2 → −2 2

2 2 2 2 +1 2 2 + 2 2 +12= (A +B)( )+(C +D)( )

2 22= A +B+5 C+5D . . . (2)

Si: u = − 2 → − − − − − − −2 22 2 2 2 +1 2 2 + 2 2 +12=( A +B)(( ) ( ) )+( C +D)(( ) ( ) )

− −2 22= 5A +5B+ C+D . . . (3)

Si: u = 2 2 → −2 22 2 2 2 +1 2 2 + 2 2 +18=(A2 +B)((2 ) (2 ) )+(C2 +D)((2 ) (2 ) )

2 28=10A +5B+13 C+13D . . . (4)

Reemplazando (1) en (2): −2 22= A +5 C 4B . . . (5)

Reemplazando (1) en (3): − −2 22= 5A C+4B . . . (6)

Reemplazando (1) en (4): −2 28=10A +13 C 8B . . . (7)

Multiplicando 2 a ambos miembros de (6): − −2 24 = 10A 2 C+8B

V. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Problema 1

2

2 5

4

xdx

x x

−

−∫

Problema 2

−∫

dx

2 2(x 2x +5)

− −∫ ∫

dx dx

2 2 2 2 2(x 2x +5) ((x 1) +2 )=

Haciendo:

φφ →

φ φ φ

−− x 1x 1

2x = 2tan +1

= arctan( )tan =22

dx =2sec d

φ

φ φ φ φ

φ φ− −∫ ∫ ∫ ∫

��

2 2dx dx

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(x 2x +5) ((x 1) +2 ) ((2tan ) +2 ) (4(tan +1))

2sec

2sec d 2sec d= = =

φ φφ φ φ φ φ φ

φ−∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

dx 22 2 2(x 2x +5)

1 d 1 1 1+cos 2 1 1= = cos d = d = d + cos 2 d(2 )

8 8 8 2 16 32sec

φφ φ

φ−∫ ∫

dx

2 2 2(x 2x +5)

1 d 1 1= = + sen 2 +C

8 16 32sec

φ φ −

− −

− −

∫ ��

dx x 1

2 2(x 2x +5) x 1 22 2x 2x+5 x 2x+5

1 1= arctan( )+ (2) sen cos +C

16 2 32

−

− −

−

−∫ 2 2

dx x 1

2 2(x 2x +5)

1 1 x 1 2= arctan( )+ (2)( )( ) +C

16 2 32 x 2x+5 x 2x+5

−−

− −∫

dx x 1

2 2 2(x 2x +5) x 2x +5

1 1 x 1= arctan( )+ ( ) +C

16 2 8

Problema 3

−∫

2 3/2(16 9x )dx

6x

Haciendo:

φ φ

→ φ φ φ

3x 3x

4sen 4x =

sen = = arcsen ( )4 4

dx = cos d3 3

φ

φφ φ φ φ

φ φ

−−∫ ∫ ∫

4sen 2 3/2[16 9( ) ]2 3/2 3 6 3(16 9x ) 4 4(4) cos dx = =

6 6 64sen 6x sen ( )

(3)3 ( )cos d cos d3 3(4)

3

φ φ φ − φ φ−

∫ ∫ ∫2 3/2 5(16 9x ) 4 2 4dx = cot = cot cot

6 2x

(3) 243csc d d( )

16(4)

φ− −

− −∫

2 3/2 5 2 5(16 9x ) cot 16 9xdx = =

6 5x

243 243( )+C +C

16 80 3x( )

Problema 4

− −∫

dx

2 2 1/2(x 2x +1)(x 2x)

− − − − −∫ ∫

dx dx

2 2 1/2 2 2(x 2x +1)(x 2x) (x 1) (x 1) 1

=

Haciendo: φ φ

→ φ φ φ φ

− −

x = +1

sec = x 1 = arcsec (x 1)

sec dx = sec tan d

φ

φ φ φ φφ φ

φφ φ− − − − − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫

��

dx dx

2 2 1/2 2 2 2 2(x 2x +1)(x 2x) (x 1) (x 1) 1 1

tan

sec tan d d= = = = cos d

sec sec sec

φ−

−

− −∫

2dx x 2x

2 2 1/2(x 2x +1)(x 2x)= sen +C = +C

x 1

Problema 5

Calcule ∫dx

senx+cosxmediante la sustitución x = 2arctan u

Haciendo:

→

2= tan

x = 2arctan u2du

dx =xu 1+u

2

− 2

2

1 ucos x =

1+u y

2

2usen x =

1+u

− −

−

− − − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2

2 2 2 2 2

2 2

2du

dx du du d(u 1)1+u= =2 =2 =2senx +cosx 1 u 2u 1 u +2u 2 (u 1) ( 2) (u 1)

+1+u 1+u

−−

− − − −∫

tan

tan

x1+ 2

dx 1 (u 1)+ 2 2 2=2( )ln +C = ( )ln +C

xsenx +cosx 22 2 (u 1) 2 1 22

VI. INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES

Problema 1

−∫

x

2 2(x 1)(x + 4)dx


−−

x

2 2 2(x 1)(x +4)

A B Cx+D= + +

x+1 x 1 x +4

− −2 2x = A(x 1)(x +4)+B(x+1)(x +4)+(Cx+D)(x 1)(x+1)

Si: x = 1 → 1 = 10B → 1

B =10

Si: x = –1 → 1 = –10A → −1

A =10

Si: x = 0 → 0 = –4(−1

10) +

4

10 – D →

4D=

5

Si: x=2

→2=( −1

10)(1)(8)+(

1

10)(3)(8)+(2C+

4

5)(1)(3)

→ C = −1

3

− −

−−

x

2 2 2(x 1)(x +4)

1 1 1 4x+

10 10 3 5= + +x+1 x 1 x +4

−−

−−∫ ∫ ∫ ∫

x dx dxdx

2 2 2x +1 x 1(x 1)(x +4)

1 4x+

1 1 3 5dx = + +10 10 x +4

−− −

−∫ ∫

x 5x +12dx

2 2 2(x 1)(x + 4)

1 1 1dx = ln x +1 + ln x 1 + +C

10 10 15 x +4

− −

−∫ ∫ ∫

x 5 2x 12 dxdx +

2 2 2 215(x 1)(x + 4)

1 x 1dx = ln + +C

10 x +1 30 x +4 x +4

− −

−∫ ∫

2x 5 d( ) 4+

2 2 2 5(x 1)(x +4)

1 x 1 x +4 1 xdx = ln + arctan( )+C

10 x+1 30 2 2x +4

−−

−∫

x 1 22 +2 2 5(x 1)(x + 4)

1 x 1 xdx = ln ln x +4 arctan( )+C

10 x +1 6 2

Problema 2

∫2sec x

3 2tan x + tan xdx

Haciendo: w = tan x → 2dw = sec x dx

∫ ∫2sec x dw

3 2 3 2tan x + tan x w +wdx =

Por fracciones parciales: 1

2 2 w+1w (w+1) w

A B C= + +

w

2w1= Aw(w+1)+B(w+1)+C

Si: w = 0 → B=1 Si: w = –1 → C=1 Si: w = 1 → 1 = 2A + 2 + 1 → A = –1

− + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫2sec x dw dw dw dw

3 2 3 2 2w w +1tan x + tan x w + w wdx = =

− − +∫2sec x

Ln Ln3 2tan x + tan x

1dx = w w+1 +C

w

− +∫2sec x

Ln3 2tan x + tan x

1 w+1dx = +C

w w

− +∫2sec x

Ln3 2tan x + tan x

1 tan x+1dx = +C

tan x tan x

Problema 3

−∫

3(x + x 1)

2 2(x +2)dx


−3x + x 1

2 2 2 2 2(x +2) x +2 (x +2)

Ax+B Cx+D= +

−3 2x + x 1 x +2=(Ax+B)( )+Cx+D

Si: x = 0 → –1=2B+D . . . (1) Si: x = 1 → 1 = 3A + 3B + C + D . . . (2) Si: x = –1 → –3 = –3A + 3B – C + D . . . (3) Si: x = 2 → 9 = 8A + 4B + 2C + D . . . (4) Sumando (2) y (3) miembro a miembro: –2 = 6B + 2D → –1 = 3B + D . . . (5) Reemplazando (1) en (5): B = 0 De (1): D = –1 Reemplazando valores de B y D en: (2): 3A + C = 2 . . . (6) Reemplazando valores de B y D en: (4): 8A + 2C = 10 → 4A + C = 5 . . . (7) Reemplazando (6) en (7): A = 3 De (6): 3(3) + C = 2 → C = –7

− − −∫ ∫ ∫

3(x + x 1) 3x 7x 1

2 2 2 2 2(x +2) x +2 (x +2)dx = dx+ dx

−− −∫ ∫ ∫ ∫

3(x + x 1) 3 2x 7 2x

2 2 2 2 2 2 2(x +2) x +2 (x +2) (x +2)

1dx = dx dx dx

2 2

−− −∫ ∫ ∫ ∫

3 2 2(x + x 1) 3 d(x +2) 7 d(x +2)

2 2 2 2 2 2 2(x +2) x +2 (x +2) (x +2)

dxdx =

2 2

−− − −∫ ∫

3(x + x 1) 3 72Ln x +22 2 2 2 2(x +2) x +2 (x +2)

1 dxdx = +C

2 2

Problema 4

7 3

12 4

( )

2 1

x xdx

x x

+

− +∫

Integral

Documents

Transcript of Integral