BLOQUE II. DETERMINAS LA PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN E INTEGRAS FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES COMO UNA HERRAMIENTA A UTILIZAR EN LAS

CIENCIAS EXACTAS, SOCIALES, NATURALES Y ADMINISTRATIVAS.

Primero hablaremos de los dos problemas que el Cálculo trata de resolver:1. Dada una función, encontrar su derivada (Derivación). Este es el objeto de estudio del

“Cálculo Diferencial”.2. Dada una derivada encontrar la función de donde proviene (Integración). El estudio de

este proceso se llama “Cálculo Integral”.

Por lo anterior se dice que la integración es el proceso inverso de la derivación.∫ es el símbolo para denotar la operación de encontrar la función general de donde proviene una derivada y se llama “una integral” o “símbolo de integración”.En general así se denota la integración de una función:

∫ f ( x )dx

La diferencial indica la variable en términos de la cual debe aparecer cualquier primitiva o dicho de otra forma, la variable respecto de la cual se realizara el proceso de integración.

Primitiva de una Función e Integral Indefinida.Para comprender estos 2 conceptos, hagamos lo siguiente.Deriva cada función:

f ( x )=x2+5 g ( x )=x2−1500 h ( x )=x2

Solución:f ´ ( x )=2x g ´ ( x )=2 x h ´ ( x )=2 x

Y ahora la pregunta es: ¿Qué función se derivó para obtener 2x? Esta pregunta planteada en lenguaje matemático se representa de la siguiente manera:

∫2 x dxY como se puede observar no se tiene una respuesta exacta, ya que tan solo las funciones f ( x ), g ( x ) y h ( x ) son algunas de las posibles soluciones.A cada una de esas posibles soluciones se les llama primitivas de la función.Y para dar una solución general, clara y valida, se agrega a la integral una constante general, llamada constante arbitraria de integración (que se representa con la letra C), la cual representa cualquier valor constante y a esta se le llama integral indefinida.La integral indefinida de una función agrupa a todas las primitivas de esa función.

Entonces en el ejemplo anterior: ∫2 x dx

Signo de integración Diferencial

Función a integral o integrando

f ( x )=x2+5 (Donde C=5), g ( x )=x2−1500 (Donde C=-1500), h ( x )=x2 (Donde C=0) Son

primitivas de la función y la integral indefinida seria:

∫2 x dx=x2+C

Significado geométrico de la Constante de Integración.

Lo dicho anteriormente significa que todas las funciones que coincidan en su estructura serán primitivas individuales, pero en conjunto forman una integral indefinida.

En la imagen de la derecha se presenta una familia de curvas con la misma gráfica, desfasadas según el valor que tenga la constante de integración C.

En: f ( x )=x2+5 C=5

f ( x )=x2 C=0

f ( x )=x2−2 C=-2

Todas las gráficas representadas son paralelas entre si y cortan al eje de las “y” en el valor exacto de “C”.

Integración.A continuación se mencionan las reglas básicas para integración de funciones algebraicas y trascendentes.

Ejemplo:Calcular las siguientes integrales:

1. ∫5 x4dxSolución:

Aplicando la fórmula 1. ∫5 x4dx=5 x4+1

4+1+C=5 x

5

5+C=5 x5+C

2. ∫ dx

7 x5

Solución:Nota: Para integrar una función en la que la variable se encuentre como denominador, primero debe subirse la variable al numerador cambiando el signo del exponente.

∫ dx

7 x5=∫ 1

7 x5dx

Subiendo la variable al numerador: ¿∫ 17 x−5dx

Aplicando la fórmula 1: ¿ x−5+1

7(−5+1)+C

Fórmulas de Integración:

1. ∫ xndx= xn+1

n+1+C donde n≠−1

2. ∫ x−1dx=∫ 1x dx=∫dxx

=ln|x|+C

3. ∫ adx=ax+C4. ∫ dx=x+C5. ∫ sen x dx=−cos x+C

6. ∫cos xdx=sen x+C7. ∫ tan xdx=ln|sec x|+C=− ln|cos x|+C

8. ∫cot x dx= ln|sen x|+C9. ∫ sec xdx=ln|sec x+tan x|+C10. ∫ csc x dx=− ln|csc x+cot x|+C

11. ∫ sec2 x dx= tan x+C12. ∫ csc2 x dx=−cot x+C

13. ∫ sec x tan x dx=sec x+C14. ∫ csc x cot xdx=−csc x+C

15. ∫ exdx=ex+C

Simplificando: ¿ x−4

7(−4)+C= X−4

−28+C

∫ dx

7 x5=−128x−4

3. ∫ 5√x3dxSolución:Nota: Para integrar una función en la que la variable este expresada en radicales, estos deben transformarse a exponentes fraccionarios.

Transformando a exponente fraccionario: ∫ 5√x3dx=∫ x3/5dx

Aplicando la fórmula 1: ¿x

( 35 )+1

( 35 )+1+C

Simplificando: ¿x85

85

+C

¿ 58x8 /5+C

5√ x3dx=5

85√x8+C

4. ∫ 4dxSolución:

Aplicando la fórmula 3: ∫ 4dx=4 x+C5. ∫ 5dxx

Solución:

Subiendo la variable al numerador: ∫ 5dxx =∫ 5x−1dx

Aplicando la fórmula 2 ¿5 ln|x|+C

Por propiedades de logaritmos: ∫ 5dxx =ln|x|5+C

6. ∫ (3x2−5 x−8 )dxSolución:

Aplicando la fórmula 17. ∫ (3x2−5 x−8 )dx=∫3 x2dx−∫5 x dx−∫8dxAplicando la fórmula 1 y 3. ¿ 3x

2+1

2+1−5 x

1+1

1+1−8x+C

Simplificando: ¿ 3x3

3−5x

2

2−8 x+C

∫ (3x2−5 x−8 )dx=x3−52x2−8 x+C

7. ∫ (2 x−5 ) (3 x+2 )dxSolución:

Realizando el producto: ∫ (2 x−5 ) (3 x+2 )dx=∫ (6 x2−11 x−10 )dxAplicando la fórmula 17: ¿∫6 x2dx−∫ 11 xdx−∫10 dxAplicando la fórmula 1 y 3: ¿ 6 x

2+1

2+1−11 x

1+1

1+1−10 x+C

Simplificando: ¿ 6 x3

3−11 x

2

2−10 x+C

∫ (2 x−5 ) (3 x+2 )dx=2x3−112x2−10x+C

8. ∫3 tan x dxSolución:

Aplicando la fórmula 7: ∫3 tan x dx=3 ln|sec x|+CPor propiedades de logaritmos ∫3 tan x dx=ln|sec3 x|+C

En algunos casos de resolución de integrales las formulas anteriores se aplican directamente, pero en algunos otros primero se utilizan identidades trigonométricas para realizar transformaciones en las que si se puedan ocupar después alguna de las fórmulas de integración.Por lo que a continuación se mencionan algunas de las principales identidades trigonométricas.

Principales identidades trigonométricas:

1. cos x=sen xtan x

2. tan x= sen xcos x

3. cot x=cos xsen x

4. sen2 x+cos2 x=15. tan2 x+1=sec2 x

6. sen x= 1csc x

7. tan x= 1cot x

8. sec x= 1cos x

9. 1+cot2 x=csc2 x

Ejemplos:Calcular las siguientes integrales:

1. ∫ sen3 x+sen x cos2 x dxSolución:Utilizando la identidad trigonométrica 4: sen2 x+cos2 x=1Despejando la identidad trigonométrica: cos2 x=1−sen2 xSustituyendo en la integral:∫ sen3 x+sen x cos2 x dx=∫ sen3 x+sen x (1−sen2 x )dxRealizando la multiplicación: ¿∫ sen3 x+sen x−sen3 xdxReduciendo términos: ¿∫ sen xdxIntegrando la nueva función: ¿−cos x+CResultado: ∫ sen3 x+sen x cos2 x dx=−cos x+C

2. ∫1+ tan2 x dxSolución:Utilizando la identidad trigonométrica 5: tan2 x+1=sec2 xQue es lo mismo a: 1+ tan2 x=sec2 xSustituyendo en la integral: ∫1+ tan2 x dx=∫ sec2 xIntegrando la nueva función: ¿ tan x+CResultado: ∫1+ tan2 x dx= tan x+C

Ejercicios propuestos para resolver:Resuelve cada integral indefinida:

1. ∫2√ xdx2. ∫5 x (x+3 )dx

3. ∫ (4 x−5)(2 x−7)3

dx

4. ∫√x (√ x+3)dx

5. ∫ 3√x−5x3√xdx

6. ∫( 2x3 + 3

4 x2−53 x )dx

7. ∫ (3x3+6 x2−12 x+5 )dx8. ∫−3x dx

9. ∫ −5sen x

dx

10. ∫ 3

e− xdx

11. ∫ 4 sen xdx

Determinación de la constante de integración “C” por medio de condiciones iniciales.

La constante “C” se determina para que una integral indefinida se convierta en una función real y se utilizan las condiciones iniciales de la función.

Ejemplos:

1.- Hallar la integral que satisfaga la ecuación dydx

=6 x−8 además de que cuando x=1, se

tenga y=2.Solución:

Integrando la ecuación: ∫ (6 x−8 )dx=6 x1+1

1+1−8x+C

¿ 6 x2

2−8 x+C

¿3 x2−8 x+C

Entonces la función es y=3 x2−8 x+C y sustituyendo las condiciones iniciales de que x=1 y

y=2. 2=3 (1 )2−8 (1 )+C 2=3 (1 )−8+C 2=−5+C C=2+5 C=7

Sustituyendo el valor de C se obtiene la integral pedida: y=3 x2−8 x+7

2.- En una curva especifica la pendiente en el punto (x, y) es igual a2 x+1, además se sabe que el punto (5,-3) pertenece a dicha curva. Con esos datos halla la ecuación de la curva.Solución:Si recordamos, la pendiente de la tangente de una curva está determinada por la derivada de la ecuación de dicha curva, por lo que si deseamos obtener la ecuación de la curva, debemos integrar la función de la pendiente.

Integrando la ecuación de la pendiente: ∫ (2 x+1 )dx=2x1+1

1+1+ x+C

¿ x2+ x+C

La ecuación seria: y=x2+x+C y sustituyendo las condiciones iniciales: (5, -3) donde x=5 y y=−3 −3=52+5+C −3=25+5+C −3=30+C C=−3−30 C=−33

Sustituyendo el valor de C se obtiene la ecuación de la curva pedida: y=x2+x−33

Técnicas de Integración.

Varias integrales no pueden resolverse por la aplicación inmediata de las fórmulas ya revisadas anteriormente por lo que se necesitan métodos más avanzados. Por lo anterior a continuación se presentan algunos de los métodos más usuales de integración.

1. Integración por cambio de variable o método de sustitución.En la resolución de integrales por este método, se elige una parte del integrando como “U” y se obtiene la correspondiente diferencial, luego se ajusta la integral a una o varias de las formulas conocidas.Pasos para resolver por este método:

1. Se elige el término a sustituir por “u”, procurando que este se pueda derivar y que el resultado de la derivada aparezca como una parte de la integral original.

2. Se deriva “u” en términos de x y se despeja “dx”3. Se sustituye el termino elegido en el paso 1 por “u” en la integral original así como el

valor de “dx” obtenido en el paso 2, y se eliminan los términos que tienen x( si esto no se puede hacer, posiblemente se eligió mal el término a sustituir por “u”).

4. Se integra la nueva función5. Se sustituye el valor de “u” por términos de x.

Ejemplos:Resolver las siguientes integrales por sustitución:

1. ∫ ( x+1 )

√ x2+2 x+3dx

Solución:

Nota: Generalmente la “u” no incluye exponentes fuera de un polinomio. Sería

un error grave hacer u=(x2+2 x+3 )1 /2, pues esto complica el procedimiento

Ejercicios propuestos para resolver.En cada caso, calcular la función con las condiciones iniciales dadas:

1. f ´ ( x )=24 x2−30x en (0,11)2. f ´ ´ ( x )=15+6 x−3+15x−4 en (1,7)3. f ´ ( x )=16 x3−30 x−8 en (2,-5)

4.dydx

=−3 x cuando x=2 y y=1

5.- Se sabe que el punto (2,-3) pertenece a una curva, además en cualquier punto (x, y) de la curva la pendiente de la recta tangente es -3x+2. Con esto determina la ecuación de la curva.

1.- Elección de “u”: u=x2+2 x+3

2.- Se deriva “u”: dudx

=2 x+2

Se despeja dx: dx=du2 x+2

= du2(x+1)

3.- Se sustituye en la integral original: ∫ (x+1)√u ( du

2(x+1))4.- Se integra la función: ¿

12∫

du

√u

¿12∫ u

−1 /2du

¿12 ( u(−12 )+1

(−12 )+1 )+C

¿ 12 ( u

1/2

1/2 )+C

¿u1 /2+C=√u+C

5.- Se sustituye la “u” por términos en x: ∫ ( x+1 )

√ x2+2 x+3dx=√x2+2 x+3+C

2. ∫cos3 x sen xdx Solución:1.- Elección de “u”: u=cos x

2.- Se deriva “u”: dudx

=−sen x

Se despeja dx: dx=−dusen x

3.- Se sustituye en la integral original: ∫u3 sen x (−dusen x )4.- Se integra la función: ¿−1∫u3du

¿−1( u3+13+1 )+C

¿−1( u44 )+C ∫cos3 x sen xdx=−1

4u4+C

5.- Se sustituye la “u” por términos en x: ∫cos3 x sen xdx=−14cos4 x+C

3. ∫(sec 2 x etanx)dx

Solución:

1.- Elección de “u”: u=tan x

2.- Se deriva “u”: dudx

=sec2 x

Se despeja dx: dx=du

sec2 x

3.- Se sustituye en la integral original: ∫ ( sec2 xeu )( du

sec 2 x )4.- Se integra la función: ∫ eudu ¿eu+C

5.- Se sustituye “u” por términos en x: ∫(sec 2 x etanx)dx=e tanx+C

2. Integración por partesLa siguiente fórmula que se llama “formula de integración por partes” resulta útil en la resolución de muchas integrales trascendentes, es decir, trigonométricas, logarítmicas y/o exponenciales.

∫udv=uv−∫ vduEsta fórmula permite que se conviertan algunas integrales aparentemente complejas en integrales mucho más simples, siguiendo tres reglas sencillas:

1. u debe ser una función fácil de derivar, y2. dv debe ser una expresión fácil de integrar

3. ∫ v du debe ser más sencilla que ∫udv

Ejemplos:Resolver las siguientes integrales por partes:

Ejercicios propuestos para resolver.Resuelve cada integral por sustitución o cambio de variable:

1. ∫ x2 tan x3dx2. ∫ sen (5 x−1 )dx

3. ∫ ex dxex−5

4. ∫ x dx

x2−1

5. ∫ ln x2x dx6. ∫ sen x ecos xdx

7. ∫ ( x−4 )dx

√4 x2−32 x−18. ∫ sec

2 xtan x

dx

9. ∫cos 5x sen 5x dx10. ∫5 x √5 x2−12dx

1. ∫ x sen x dxSolución:Elegimos a “u” y a “du”: u=x dv=senx dxDerivamos e integramos:Derivar: u=x

dudx

=1

du=dx

Integrar: dv=sen x dx v=∫ sen x dx v=−cos x+C

Tomando la fórmula de integración por partes: ∫udv=uv−∫ vduSustituimos con los valores hallados:

∫ x sen x dx=( x ) (−cos x )−∫ (−cos x )dx

¿−xcos x+∫cos xdx ¿−xcosx+sen x+C

Resultado: ∫ x sen x dx=−xcosx+sen x+C

1. ∫3 x sen2 x dxSolución:Elegimos a “u” y a “dv”: u=3x dv=sen2 x dxDerivamos e integramos:Derivar: u=3x

dudx

=3

du=3dx

Integrar: dv=sen2 x dx v=∫ sen 2x dx v=

−12cos2 x+C

Tomando la fórmula de integración por partes: ∫udv=uv−∫ vduSustituimos con los valores hallados:

∫3 x sen2 x dx=(3 x )(−12 cos2 x)−∫(−12 cos2 x)(3 dx) ¿−

32xcos 2x−∫−3

2cos2x dx

¿−32xcos 2x+ 3

2∫cos2 x dx

¿−32xcos 2x+ 3

2 ( 12 sen2 x)+C

¿−32xcos 2x+ 3

4sen 2x+C

Resultado: ∫3 x sen2 x dx=−32xcos 2x+ 3

4sen2x+C

2. ∫ x3 cos x dxSolución:

Nota: Para estos ejercicios se tomara en cuenta lo siguiente:

∫ eax dx=1a eax+C

∫cos ax dx=1a senax dx

Elegimos a “u” y a “dv”: u=x3 dv=cosx dxDerivamos e integramos:

Derivar: u=x3

dudx

=3 x2

du=3 x2dx

Integrar: dv=cosx dx v=∫ cosx dx v=sen x+C

Tomando la fórmula de integración por partes: ∫udv=uv−∫ vduSustituimos con los valores hallados:

∫ x3 cos x dx=(x3 ) (sen x )−∫ ( sen x )(3 x2dx )

¿ x3 sen x−∫3 x2 sen x dx Nota: Aquí se puede observar que la integral resultante ∫ v du, aunque es más fácil que la

original, no se puede resolver directamente, por lo que debe resolverse nuevamente por partes. Este proceso se puede hacer tantas veces como sea necesario.Por lo que ahora se va a tomar la integral que falta resolver, que se encuentra sombreada en este ejercicio:

∫3 x2 sen x dx Elegimos a “u” y a “dv”: u=3x2 dv=sen x dxDerivamos e integramos:

Derivar: u=3x2

dudx

=6 x

du=6 xdx

Integrar: dv=sen x dx v=∫ sen x dx v=−cos x+C

Tomando la fórmula de integración por partes: ∫udv=uv−∫ vduSustituimos con los valores hallados:

∫3 x2 sen x dx=(3 x2 ) (−cos x )−∫(¿−cos x)(6 x dx)¿

¿−3 x2 cos x−∫−6 x cos x dx Y nuevamente que la integral resultante no se puede resolver directamente, por lo que vuelve a hacer por partes. Y se toma la integral que esta sombreada de color verde:

∫−6x cos x dx Elegimos a “u” y a “dv”: u=−6 x dv=cos x dxDerivamos e integramos:Derivar: u=−6 x

dudx

=−6

du=−6dx

Integrar: dv=cos x dx v=∫ cos x dx v=sen x+C

Tomando la fórmula de integración por partes: ∫udv=uv−∫ vduSustituimos con los valores hallados:

∫−6x cos x dx=(−6 x ) (sen x )−∫ (sen x )(−6 dx)

¿−6 xsen x−∫−6 senx dx

¿−6 x sen x+6∫ sen x dx ¿−6 x sen x+6 (−cos x )+C ¿−6 x sen x−6cos x+C Y ahora tenemos que unir todo, por lo que vamos a tomar a la integral desde el inicio:

∫ x3 cos x dx=x3 sen x−∫3 x2 sen xdx ¿ x3 sen x−(−3 x2 cos x−∫−6 x cos x dx ) ¿ x3 sen x+3 x2 cos x+∫−6 x cos xdx

¿ x3 sen x+3 x2 cos x+¿Resultado: ∫ x3 cos x dx=x3 sen x+3x2 cos x−6 x sen x−6cos x+C

Aplicaciones en Administración y en Economía.En economía se manejan los siguientes conceptos: ingresos, costos y utilidad. A la razón de cambio de cada una de ellas se le llama, respectivamente, ingreso marginal, costo marginal y utilidad marginal.Estos valores marginales se obtienen a partir de una función que represente, por ejemplo, los ingresos. Si se deriva la función de ingreso, se obtiene el ingreso marginal.Y a partir de un dato marginal, se obtiene la función original.

Ejemplos de aplicación:1.- El costo marginal de producir chicles está dado por c ´ ( x )=0.002 x+0.01 donde x es el número de bolsas con 100 chicles producidas. Para producir un millón de chicles, el costo totales de $125,100.00.a) ¿Cuál es la función de costo?b) ¿Cuánto costara producir 25,000 bolsas de chicles? Solución:a)Costo marginal: c ´ ( x )=0.002 x+0.01Función de costo c ( x )=∫ (0.002 x+0.01 )dx

Ejercicios propuestos para resolver.Resuelve cada una de las siguientes integrales por partes:

1. ∫ x ex dx2. ∫3 x2 sen5 x dx3. ∫ x ln x dx4. ∫ x4 cos x5dx5. ∫ x3 cos x2dx6. ∫2 x2 e−2 xdx7. ∫ ex

2

x3dx

¿ 0.002x1+1

1+1+0.01 x+C

¿ 0.002x2

2+0.01x+C

Respuesta: c (x )=0.001 x2+0.01 x+C

Condiciones iniciales: 1,000,000 de Chicles Costo total: 125,100.001bolsa

100chicles= x bolsas1,000,000chicles

x bolsas=(1bolsa)(1,000,000chicles)

100chicles x bolsas=10,000bolsas Sustituimos en la función encontrada:

c (x )=0.001 x2+0.01 x+C

125100=0.001 (10 ,000 )2+0.01 (10,000 )+C 125,100=100,000+100+C 125,100=100,100+C C=125,100−100,100 C=25,000 Sustituimos el valor de C en la función encontrada:

c ( x )=0.001 x2+0.01 x+25,000b) Costo de producir: 25,000 bolsas de chicles, por lo que x=25,000c ( x )=0.001(25,000)2+0.01(25,000)+25,000 c ( x )=625,000+250+25,000 c ( x )=650 ,250 Respuesta: $650,250

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

*Libros:-Calculo integral con enfoque en competencias.

Escalante Pérez Lorenzo.

Editorial Book Mart. Primera edición. Noviembre de 2012, México.

Matemáticas 6. Calculo integra.

Ortiz Cedano Arturo y Fox Rivera Guillermo.

Editorial nueva imagen. México, 2007

*Páginas de internet:

- http://www.lavirtu.comeniusimgenius420075adjuntos_fichero_137910.pdf.pdf/

- https://cdn.fbsbx.com/hphotos-xfp1/v/t59.2708-21/11128012_1601975423420161_1280881743_n.docx/Tabla-de-integrales-inmediatas-o-indefinidas.docx?oh=78f8f9c05527f247e5832b208f6f8e25&oe=5560DE9C&dl=1

- https://cdn.fbsbx.com/hphotos-xtp1/v/t59.2708-21/11247448_1601975386753498_718255390_n.pdf/u-14.pdf?oh=d912f775930a8e558c26866e276af5ac&oe=556091EC&dl=1