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Departamento de Ciencias - Cajamarca 1

LA INTEGRAL DOBLE SOBRE REGIONES MS GENERALES

Nuestra meta en esta parte del trabajo consiste en cumplir con dos objetivos: Primero,

deseamos definir la doble integral de una funcin ( , )f x y sobre regiones D ms

generales que un rectngulo; segundo, queremos desarrollar una tcnica para evaluar

este tipo de integrales.

Regiones Elementales

Supongamos que tenemos dos funciones continuas de valor real :[ , ]g a b 1 y

:[ , ]g a b 2 que satisface ( ) ( )g x g x1 2 para toda [ , ]x a b . Sea D una regin en el

plano X Y tal que [ , ]x a b y ( ) ( )g x y g x 1 2 . Esta regin D es llamada y-simple.

A continuacin mostramos varios ejemplos de regiones y-simple.

Las curvas y segmentos de lnea recta que acotan la regin constituyen la frontera de

D, denotada como D . Usamos el trmino y-simple porque la regin es descrita en una forma relativamente simple, usando y como una funcin de x .

Teorema 2: Reduccin a Integral Iterada Si D es una regin y-simple, entonces

2

1

( )

( )( , ) ( , )

b g x

D a g xf x y dA f x y dy dx

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2

Ejemplo 1.- Encontrar el volumen del tetraedro acotado por los planos 0y , 0z ,

0x y 1y x z

Solucin

Observamos que el tetraedro dado tiene una base triangular D cuyos puntos ( , )x y

satisface 1 0x y 0 1y x ; luego, D es una regin y-simple. De hecho

podemos observamos en la siguiente figura

Para cualquier punto ( , )x y en D , la altura de la superficie z por encima de ( , )x y es

1 y x . As el volumen que buscamos esta dado por la integral

1D

y x dA ( )

De nuestra grfica tenemos 1( ) 0x y 2( ) 1x x , tenemos

120 1 0

1 0 10

02 30

11

(1 ) (1 ) (1 )2

(1 ) (1 ) 1.

2 6 6

xx

yD

yy x dA y x dy dx x y

x xdx

Ejemplo 2.- Calcular la integral doble

22R

xy x dA ,

siendo 0 4R y x y x x x : , , ,

Solucin

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Graficando la regin R se tiene:

4

2 2

0

24

2

0

24

3 5 3

0

2 2

22

32

2 2

179 81

x

xR

x

x

xy x dA xy x dy dx

xyx y dx

xx x dx

.

( )

( )

Ejemplo 3. Sea R la regin en el primer cuadrante entre las curvas 12 (1 )y x x e

(1 )y x x . Hallar D

x y dA .

Solucin

Encontrando los puntos de interseccin,

12 (1 ) (1 ) 0 , 1x x x x x x

Ahora, como nuestra regin es una regin y simple, tenemos:

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12 (1 )2

1 12 (1 ) 1

0 (1 ) 0(1 )

3 21

0

2

143 ( 1)

2

143

120

x xx x

x xD x x

yxy dA x y dy dx x dx

x x dx

Ahora describamos a la regin x-simple. Decimos que una regin D es una x-simple si hay

funciones continuas 1h y 2h definidas sobre c d[ , ] tal que D es el conjunto de puntos

satisfaciendo

1 2y c d h y x h y y[ , ] ( ) ( )

donde 1 2

h y y( ) ( ) para todo y c d[ , ] .

El mtodo para tratar las regiones x-simple son completamente anlogas al caso anterior.

Especficamente tenemos lo siguiente

Teorema Integrales iteradas para regiones x-simple Supongamos que D es el conjunto de puntos ( , )x y tal que

1 2y c d h y x h y y[ , ] ( ) ( ) . Si f es continua sobre

D, entonces

2

1

( )

( )( , ) ( , )

d h y

c h yD

f x y dA f x y dx dy

Ejemplo 4.- Sea R el rectngulo 1 4 1 2[ , ] [ , ] y ( , )f x y la funcin definida en R mediante

2 2

0

( ) ,( , )

,

x y y x yf x y

en los demas puntos

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Calcular ( , )R

f x y dx dy

Solucin

1o Graficar el rectngulo R y dentro de ella graficar la relacin 2y x y

20 Ahora integramos:

2 2

2

1

22

1

2

1

2 2

1 1

2

1

0

10

1 1

2

1 1 1 1

6 6

1

6

12

6

y

yR

y

y

y

y

f x y dx dy x y dx dy dx dy

dyx y

dyy y y y

dy dyy y

y

En los demspuntos de R

( , ) ( ) .

[ ]

.

ln

ln

Ejemplo 5.- Calcular cos( )

D

x y dxdy , donde D es un trapezoide limitado mediante

segmentos de rectas de los puntos ( ,0),( , ),( , ),( ,0)2 2 2 2

.

Solucin

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Podemos observar de la grafica que se trata de una regin x-simple. El lado izquierdo esta

dado por la recta 2y x mientras que el lado derecho es 2y x . Luego la

integral a resolver es

2 2

0 2

2 2

20

2

0

cos cos( )

( )

(2 ) ( )2 2

2

y

yD

y

y

x y dA x y dx dy

sen x y dy

sen y sen dy

(

A continuacin mostramos el caso cuando se pueden intercambiar el orden integracin

Ejemplo 6.- Evaluar

21 1 y

R

x - e dy dx ( )

donde R es el conjunto de puntos ( , )x y tal que

1 2 y 0 ln .x y x

Solucin

Podemos simplificar el problema si primero intercambiamos el orden de integracin.

Notemos que la integral es igual a 21 1 y

R

x - e dA ( )

La regin R la podemos observar a continuacin y puede tambin ser descrita como sigue

0 ln2 y e 2.yy x

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As, la integral iterada dada es igual a

ln 2 2 ln 2 2

2 2

0 0

22ln 2

2

0

2ln 22

0

ln 2 ln 22 2 2

0 0

( 1) 1 1 ( 1)

12

12

11 1 (1)

2

y y

y

y y

e e

y

e

yy y

y y y y

x e dx dy e x dx dy

xe x dy

ee e dy

e e dy e e dy

En la primera integral de expresin (1), sustituimos 2yu e , y en la segunda, yv e . Luego,

obtenemos

4 22

1 0

11 1 (2)

4u du v dv

Ambas integrales en la expresin (2) son fcilmente calculadas con tcnicas de una sola

variable. As, para la primera integral tenemos

44

3/2 3/2 3/2

1 1

1 1 11 (1 ) [5 2 ] (3)

4 6 6u du u

La segunda integral es

222 2 2

1 1

11 1 log( 1 )

2

1 12 5 log( 5 2) 2 log( 2 1) (4)

2 2

v dv v v v v

Finalmente, sustraemos la ecuacin (3) de la ecuacin (4) para obtener lo siguiente

3/2 3/21 5 2 12 5 2 log [5 2 ]2 62 1