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INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

“DISEÑO DE MUROS DE CORTANTE EN EDIFICIOS ALTOS”

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL TITULO DE:

INGENIERO CIVIL

PRESENTA: MARTIN GERARDO LOPEZ OLVERA

ASESOR DE TITULACION: ING. CARLOS MAGDALENO DOMINGUEZ.

MEXICO D.F. 2005

Dedico, con enorme gratitud y cariño este trabajo a mi madre, que con su esfuerzo y

dedicación han hecho posible mi superación y proyecto de vida... gracias. Agradezco al Ingeniero Carlos Magadaleno D., gran amigo, el haber hecho posible con su valiosa asesoria, la realización este trabajo.

Al Instituto Politécnico Nacional, por haberme brindado la oportunidad de obtener una formación profesional.

Índice

Introducción i

Capítulo 1 Muros de Cortante. 1

1.1 Antecedentes. 1

1.2 Importancia de los muros de cortante. 3

1.3 Resistencia a las deflexiones y vibraciones. 6

1.3.1 Cargas por viento. 10

1.3.2 Cargas por sismo. 11

1.4 Tipos de estructuración en edificios. 14

1.5 Estructuración con muros de cortante. 16

1.6 Comportamiento de los muros de cortante. 25

1.6.1 Muros de cortante sin aberturas. 29

1.6.2 Muros de cortante con aberturas. 32

Capítulo 2 Métodos de análisis para muros de cortante. 38

2.1 Interacción entre muros de cortante y marcos rígidos. 38

2.2 Métodos de análisis. 43

2.2.1 Método de la conexión por cortante. 43

2.2.1.1 Esfuerzos en las vigas de conexión. 49

2.2.2 Método del marco equivalente. 53

2.2.2.1 Longitud equivalente. 56

2.2.2.2 Longitud equivalente para un marco con

Aberturas. 61

2.2.3 Método del elemento finito. 64

2.2.4 Método con programas computacionales. 67

Capítulo 3 Uso e interpretación de las N.T.C 2004 del R.C.D.F para

el diseño de muros de concreto reforzado. 77

3.1 Interpretación de los artículos referentes al tema. 77

3.1.1 Condiciones generales para el diseño de muros. 78

3.1.2 Diseño de muros con cargas verticales o excéntricas. 79

3.1.3 Diseño de muros sujetos a flexión en su plano. 81

(NTC) Alcances y requisitos generales. 81

(NTC) Momentos flexionantes de diseño. 83

(NTC) Flexión y flexocompresión. 84

(NTC) Elementos de refuerzo en los extremos de muros. 96

(NTC) Fuerza cortante. 103

(NTC) Muros acoplados. 108

Capítulo 4 Diseño de muros de cortante en edificios. 110

4.1 Descripción de los proyectos. 111

4.1.1 Proyecto I. 111

4.1.2 Proyecto II. 115

4.2 Análisis estructural de los edificios 118

4.2.1 Uso del programa STAAD Pro. 118

4.2.1.1 Introducción de datos. 119

4.2.1.2 Interpretación de resultados. 122

4.3 Diseño de muros. 127

4.3.1 Diseño de muro tipo M-1, ejes C y D proyecto I. 127

4.3.1.1 Muro de planta baja. 127

4.3.1.2 Muro del primer nivel. 134

4.3.1.3 Muro del segundo nivel. 138

4.3.1.4 Muro del tercer nivel. 141

4.3.2 Diseño del muro tipo M-2, ejes 2 y 3 proyecto I. 146




4.3.2.4 Muro del tercer nivel. 164

4.3.2.5 Muro del cuarto nivel. 167

4.3.3 Diseño de muro tipo M-3, ejes A y F proyecto II. 169




4.4 Diseño de vigas de conexión ó acoplamiento. 205

4.4.1 Diseño de vigas de conexión del proyecto I eje 3

tramo C – D. 205

4.4.1.1 Viga del nivel 1. 207




4.4.2 Diseño de vigas de conexión que acoplan los

segmentos del muro M-3, eje A y F en el proyecto II. 216

Conclusiones. 223

Bibliografía. 226

Introducción

En la actualidad se puede apreciar la gran necesidad que se tiene para

aprovechar al máximo los espacios o superficies en donde se planea construir

diversos tipos de estructuras designadas a diferentes usos de nuestra sociedad,

tales como: Vivienda, Comercios, Educación, Salud y diversos Servicios. Esto se

hace difícil ya que en las grandes ciudades como la nuestra es difícil adquirir

terrenos o predios que cuenten con la superficie necesaria para edificar una

construcción que cumpla con todas las necesidades que la sociedad pide, ya que

no basta con tener 2, 3 ó 5 niveles en nuestro edificio para albergar todo un

complejo médico, industrial, centro educativo ó los espacios necesarios para

vivienda. Esto se complica día con día, debido a factores tales como: el elevado

crecimiento demográfico, la falta de planeación urbana, etc.

Parte de lo antes mencionado nos obliga a crear estructuras más eficientes y

seguras que aprovechen al máximo todos los recursos con los que contamos, uno

de ellos y de los más importantes es el espacio o superficie designada para la

construcción, ya que si ésta no es lo suficientemente grande para lo que

planeamos edificar es necesario hacer niveles ó pisos subsecuentes para crear

mas espacios. Una buena solución a este tipo de problemáticas es el uso de

edificios altos, definidos como aquellas estructuras que cuentan con más de 10

niveles ó pisos independientes en un solo cuerpo estructural.

Así, que el incremento en el uso de Edificios Altos de concreto armado o acero,

es necesario contar con un mayor conocimiento de tales estructuras, y en

particular contar con Métodos de Análisis que puedan proporcionar resultados de

mayor precisión para el diseño de estructuras, como el método del Elemento

i

Finito que tiene la capacidad de generar la información de los estados de esfuerzo

y deformación en cualquier punto de la estructura.

Al incrementarse considerablemente la altura de los edificios se vuelve más

importante proporcionar una adecuada rigidez lateral que pueda resistir

elevadas cargas laterales a las que estará sujeto continuamente, tales como

viento ó sismo. Para lograr mayor rigidez una buena solución es el empleo de

Muros de Cortante de Concreto Reforzado, como los empleados para cerrar

áreas de servicio esto es: cubos de escaleras, de elevadores, de luz y otros, de

esta manera el sistema estructural estará formado por Muros y Marcos de

Concreto. Los muros de concreto absorberán un gran porcentaje de la Fuerza

cortante horizontal y son a los que denominamos Muros de Cortante, estos

proporcionan estabilidad lateral contra las fuerzas de sismo y viento. Para el

análisis de una estructura de Marcos de concreto en combinación con muros del

mismo material se han hecho diversos estudios que tratan de describir la

interacción de ambos sistemas. El no conocer el comportamiento real de este tipo

de estructuras conduce a diseños erróneos, que tienen mal comportamiento

causando daños estructurales que pueden resultar peligrosos a sus habitantes y

antieconómicos. Un ejemplo de un diseño antieconómico sería el que resulta de la

simplificación que se hace al considerar que los muros al corte absorben

totalmente las cargas horizontales, y así, analizarlos en voladizo. Los efectos en

los elementos de los marcos pueden ser subestimados si no son considerados los

efectos y deformaciones causadas por la flexión de los muros, razón por la cual es

necesario el uso de Métodos de Análisis que describan la interacción de Muros y

Marcos.

El presente trabajo hace mención de la clasificación, utilización, métodos y

software de análisis y diseño con forme lo estipula el Reglamento de

ii

Construcciones del Distrito Federal en sus Normas Técnicas Complementaria

2004, así como ejemplos prácticos de análisis y diseño de muros de cortante de

edificios altos.

iii

Capítulo 1

Muros de Cortante

1.1.- Antecedentes.

En la estructuración de edificios es común colocar muros, estos pueden ser: de

carga o de relleno según el objetivo para el que sean diseñados, dependiendo del

tipo de material tenemos, muros de concreto y muros de tabique, y estos pueden

ser muros prefabricados o colados en sitio.

En los primeros años de la década de los 1970, se dieron cambios muy importantes

para la industria del concreto, los cuales permitieron que éste cobrara tal importancia

que se lograra en forma inmediata la construcción de edificios con el doble de altura

de los que había hasta ese momento, pasando de alturas de 150 a 300 metros. El

desarrollo de diferentes esquemas de estructuración ha permitido el poder diseñar

y construir edificios cada día más altos. Este factor, aunado con el mejoramiento de

las resistencias que actualmente se pueden obtener en los concretos llamados de

“alta resistencia” y el desarrollo en las técnicas de diseño, ha logrado que en los

últimos 25 años se pueda construir edificios de concreto de 125 niveles y con

alturas del orden de los 500 metros.

Es difícil definir un edificio de gran altura. Se puede decir que un edificio de poca

altura tiene de 1 a 2 ó 3 pisos. Un edificio de altura mediana quizá tiene entre 4 a

15. Por lo tanto, un edificio de gran altura es quizá aquel que tiene por lo menos 15

pisos o más. Aunque los principios del diseño de subsistemas verticales y

horizontales continúan siendo los mismos para edificios bajos, medianos y altos,

cuando un edificio adquiere gran altura, los subsistemas verticales llegan a ser un

2

problema determinante debido a dos razones. Las cargas verticales más altas

requieren columnas, muros y cañones de mayores dimensiones. Pero, más

significativamente, el momento de volteo y las deflexiones cortantes producidas por

fuerzas laterales son mucho mayores y se deben considerar con todo cuidado.

El desarrollo de los edificios altos de concreto no se hubiera logrado sin la

sistematización de nuevas tecnologías que permiten aumentar en forma importante

la resistencia a la compresión del concreto, anteriormente la obtención de concretos

de 300 a 400 Kg/cm2 era casi imposible, en la actualidad en el campo de los edificios

altos es común diseñar con concretos cuyas resistencias son mayores a 400. El

aumento en la resistencia a la compresión del concreto no sólo mejora la

resistencia de los elementos, también disminuye el valor del acortamiento de los

elementos verticales debido a la contracción de la longitud y por lo tanto ya no se

tendrá el problema de acortamientos diferenciales. Al aumentar la resistencia a la

compresión del concreto, también aumenta el módulo de elasticidad, por lo tanto

disminuyen los desplazamientos laterales bajo fuerzas de viento o sismo. El utilizar

concretos de alta resistencia nos permite tener elementos con porcentajes de acero

cercanos al mínimo, lo que redunda en un ahorro en el acero de refuerzo y facilita

el colado de los elementos y de sus conexiones. Además, el uso de concretos de

alta resistencia da como resultado elementos con dimensiones menores y en el

caso de las columnas se obtendrá áreas de piso mayores.

Por su naturaleza, el concreto sufre cambios volumétricos que en edificios mayores

de 40 pisos, pueden representar un problema si no se les evalúa adecuadamente.

El efecto del cambio volumétrico genera problemas como pisos desnivelados, mal

funcionamiento del equipo mecánico y fuerzas adicionales en los elementos de

unión entre columnas, como consecuencia se genera agrietamiento en muros

divisorios, agrietamiento en acabados, rotura de instalaciones y fallas estructurales

en las trabes. La contracción de las columnas se debe principalmente al

acortamiento elástico, a la contracción y al relajamiento de los materiales, los

parámetros principales que influyen en la deformación por contracción y

relajamiento son las características del cemento y la cantidad, así como las

características de los agregados.

3

1.2.- Importancia de los Muros de Cortante. Al incrementarse la altura de los edificios es muy importante proporcionar una

adecuada rigidez lateral para resistir las cargas horizontales debidas a los sismos

y vientos. Esta rigidez puede lograrse de varias maneras, la forma más usual de

proveer rigidez es con el uso de muros internos y externos los cuales también

pueden ser necesarios por razones funcionales, tales como las empleadas para

ubicar áreas de servicios e instalaciones, dentro de ellas están las escaleras,

elevadores, cubos de luz, de aire acondicionado, de instalaciones hidráulicas y

sanitarias etc. Las estructuras entonces estarán formadas por muros y marcos de

concreto, los muros de concreto absorberán un gran porcentaje de fuerza cortante

horizontal y son denominados comúnmente muros de cortante ó muros al corte.

Actualmente en las ciudades grandes como la nuestra, uno de los objetivos en la

construcción de edificios es obtener estructuras altas, esbeltas y resistentes., esto

se ha logrado realizar gracias a las constantes innovaciones para crear nuevos

materiales con mayor resistencia y eficiencia en la construcción de estructuras

capaces de soportar diferentes tipos de solicitaciones de gran magnitud. En edificios,

esto da lugar al empleo de nuevos sistemas estructurales con el fin de obtener

eficiencia funcional al resistir tanto cargas verticales como horizontales.

El empleo de muros rigidizantes o muros de cortante es necesario en edificios de

cierta altura, esto se debe a la necesidad de controlar los desplazamientos laterales

que generan las solicitaciones por sismos y vientos. Por lo que no solamente estos

muros proveen una adecuada seguridad estructural, si no que proporcionan una

gran medida de protección contra daños a elementos no estructurales (cancelaría,

acabados, instalaciones etc.) durante sismos moderados.

Para el análisis de una estructura de muros de concreto en combinación con

marcos se han hecho diversos estudios que tratan de describir la interacción Muro-

Marco. El desconocimiento del comportamiento real de este tipo de estructuras

conduce a diseños erróneos, que bien pueden resultar antieconómicos o también

estructuras que no presenten la adecuada resistencia a efectos de carga lateral,

pudiendo presentar desplazamientos excesivos, molestos para los ocupantes de

4

dichos inmuebles. Un ejemplo de un diseño antieconómico será el que resulte de la

simplificación que se hace al considerar que los muros de cortante absorben

totalmente las cargas horizontales analizándolos en voladizo, así que los elementos

estructurales de los marcos pueden ser subestimados si no son considerados los

efectos y deformaciones causadas por la flexión de los muros , es por tanto

necesaria la utilización de métodos de análisis que describan la interacción de

muros y marcos para obtener resultados confiables de la distribución de fuerzas

cortantes a todo lo alto de la estructura, el comportamiento dinámico de estructuras

con muros y marcos es todavía más compleja, dicha complejidad, está en función

de la distribución de los muros de cortante, estos deben ser localizados de tal

manera que tomen en gran parte el mayor porcentaje cargas de los sistemas de

pisos, puesto que las cargas verticales tienen el efecto de precargar a los muros.

Los muros de cortante en forma simple se pueden considerar como vigas verticales

de concreto reforzado, delgadas y de gran peralte, que funcionan como voladizo

empotrado en la cimentación. Dependiendo del acoplamiento con otros elementos

estructurales pueden tener restricciones al giro en los distintos pisos. Debido a la

sección delgada, pueden presentarse problemas de inestabilidad en la cara de

compresión, sin embargo puesto que las losas en un edificio actúan normalmente

como diafragmas horizontales, proporcionando soporte lateral al muro, la longitud

crítica para efectos de pandeo puede tomarse igual a la altura de un entrepiso.

El muro de cortante, está sujeto a la acción de momentos flexionantes y fuerzas

cortantes, que se originan principalmente por cargas laterales. Actúan también

cargas axiales de compresión, debidas principalmente a las fuerzas gravitacionales.

Es necesario entonces, que el muro esté adecuadamente empotrado a la

cimentación en su base, y que en cada piso se conecte a los demás elementos

estructurales para transmitir las cargas laterales.

Los muros de cortante son miembros peraltados que reciben la carga a través de

diafragmas. En estos elementos, si no existe refuerzo en el alma, la falla se

presenta con un cortante igual o ligeramente mayor que el que da lugar a las

grietas de tensión diagonal. Además, las vigas de gran peralte que se tienen en

5

muros acoplados, por regla general no reciben carga axial, en tanto que en los

muros de cortante, sí ocurre tal efecto.

La distribución de las cargas laterales en los muros de cortante, varía con su altura.

Por ejemplo, para este tipo de cargas, la distribución puede variar desde muy

uniforme en edificios altos, a una carga única concentrada en el muro, en edificios

de poca altura. Por ello, las diferencias en la distribución de la carga lateral,

geometría y proporciones del muro, conducen al criterio que controla el diseño en

muros de poca altura, es su resistencia al corte.

Los subsistemas verticales en un edificio de gran altura transmiten cargas por

gravedad acumulada de un piso a otro y, por tanto, requieren aumentar las

secciones de las columnas y muros para soportar dichas cargas. Los subsistemas

verticales deben transmitir cargas laterales, como las provocadas por viento ó

sismo, hacia los cimientos. Sin embargo, a diferencia de la carga vertical, los

efectos de la carga lateral sobre los edificios no son lineales y aumentan

rápidamente al aumentar la altura por ejemplo, bajo carga de viento, el momento de

volteo en la base del edificio varía aproximadamente al cuadrado de la altura del

edificio, y la deflexión lateral en la parte superior del edificio puede variar a la cuarta

potencia de la altura del edificio, permaneciendo los demás factores iguales. Los

sismos producen un efecto aún mas pronunciado.

Cuando la estructura de un edificio bajo o de mediana altura se diseña en función

de cargas gravitacionales, una propiedad casi inherente es que las columnas, los

muros de tabique y los cubos de escalera o elevador pueden soportar la mayor parte

de las fuerzas horizontales, como en la zona sísmica I del área metropolitana, el

problema es esencialmente de resistencia al corte. Un armado adicional

moderado para marcos rígidos en edificios “bajos” se puede obtener fácilmente

llenando piezas huecas de mampostería sin incrementar el tamaño de las

columnas y vigas, que de otra manera se requeriría para soportar las cargas

verticales.

Desafortunadamente, esto no sucede así con los edificios de gran altura por que el

problema esencial es de resistencia al momento de volteo y la flexión, y no

6

únicamente al esfuerzo cortante. Con frecuencia se tendrá que hacer disposiciones

estructurales especiales y siempre se requerirá aumentar dimensiones para las

columnas, vigas, muros y losas, a fin de hacer al edificio suficientemente resistente

a cargas y deformaciones laterales.

1.3.- Resistencia a las deflexiones y vibraciones.

La cantidad de materiales estructurales requerida en metros cuadrados por piso en

edificios de gran altura excede a la necesaria para un edifico bajo. Los

componentes verticales que soportan la carga por gravedad, como muros,

columnas y cubos, necesitarán ser reforzados sobre la altura total del edificio. Pero

la cantidad de materiales requeridos para resistir las fuerzas laterales es aún más

significativa. En la gráfica de la figura 1.1 se ilustra cómo aumenta el peso del

acero estructural en kilogramos por metro cuadrado de piso, con forme aumenta el

número de pisos a 1 a 100. Nótese que si se usan sistemas estructurales óptimos

con una anchura y distribución adecuados, el material adicional requerido para

resistir la fuerza lateral se puede controlar de tal manera que, aun en edificios de

100 pisos, el peso estructural total puede ser sólo da casi 166 kilogramos por

metro cuadrado, mientras que algunos edificios un poco más bajos requieren

mucho más acero estructural.

Es muy importante controlar los desplazamientos laterales y mantenerlos a un nivel

bajo, de lo contrario tendremos momentos flexionantes adicionales de consideración

que pueden volver incosteable el proyecto. De acuerdo con la evolución de los

sistemas estructurales, la rigidez lateral es la propiedad dinámica que debemos

aumentar para lograr lo antes mencionado.

Con concreto reforzado, la cantidad de material también aumenta conforme el

número de pisos. Pero se observa que el aumento en el peso del material

agregado para resistir carga por gravedad es mucho más fácil de calcular que para

el acero, mientras que para carga de viento el aumento para resistencia de carga

lateral no es mucho mayor, puesto que el peso de un edificio de concreto ayuda a

resistir el volteo. Por otra parte, la masa implícitamente mayor de un edificio de

concreto puede complicar el problema de diseño para fuerzas sísmicas. Una

cantidad adicional de masa en los pisos superiores hará surgir una mayor fuerza

lateral del conjunto bajo la acción de los efectos sísmicos.

Número de pisos20

146.48

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ales

Figura 1.1 Los requerimientos estructurales para la resistencia a cargas

laterales pueden ser muy importantes. (Tomado de “Optimizing Structural Design in Very Tall Building”, Arquitectural Record, Agosto 1982, T.Y. Lin & S.D. Stotesbury Conceptos y Sistemas

Estructurales para Arquitectos e Ingenieros., Pag. 359.)

Las deflexiones laterales y las vibraciones llegan a ser excesivamente significativas

debido a su mayor magnitud a medida que aumenta la altura del edificio. La carga

por el efecto del viento y las fuerzas sísmicas son las dos causas principales de las

deflexiones laterales y las vibraciones. Un tercer factor es la diferencia de

temperatura entre las caras sombreadas y asoleadas, en el interior y el exterior de

un edificio. En la figura 1.2 se ilustra la naturaleza de las deflexiones y vibraciones

producidas por el viento.

7

Dezplazamiento inicial (viento uniforme)

Oscilación causada por las ráfagas

Viento

Figura 1.2 Deflexiones debidas a las cargas por efecto del viento.

Bajo una corriente uniforme de viento, el edificio se flexiona estáticamente hasta

cierto grado, como se ilustra en la figura 1.2, dependiendo esta configuración de la

fuerza del viento y la rigidez del conjunto del edificio. Luego, debido a las ráfagas

de viento, el edificio oscilará como se ve en la figura 1.2. También las deflexiones

modales, que son de menor magnitud, causan vibraciones en un edificio. Estas

deflexiones, oscilaciones y vibraciones se deben limitar por razones tanto de

percepción como operativas. Las deflexiones muy grandes pueden hacer que los

elevadores queden fuera de plomo, o bien, que los pisos del edificio se inclinen

excesivamente. Por tanto, es muy importante proporcionar cierta rigidez. Las

reglas prácticas limitan la oscilación de un edificio en cada pisó a cierta relación

de su altura, como la de 1:1,000 .

Las oscilaciones menores pueden no provocar alteraciones mecánicas, pero sí

causar sensaciones de integridad e incomodidad en los ocupantes. Aunque es

difícil predecir la respuesta humana a tales oscilaciones, en general es

conveniente prever rigidez de un edificio de tal manera que no sean notables.

Los movimientos sísmicos en un edificio son diferentes a los producidos por el

viento. Debido a las fuerzas símicas denominadas de especificación

reglamentaria, se tienen que imponer ciertas limitaciones a los esfuerzos

8

admisibles en la estructura de un edificio. Sin embargo, un edificio expuesto a

terremotos catastróficos se deflexionará mucho más y en cualquier dirección

azarosa. Entonces, el problema consiste en evitar los movimientos de tal

magnitud que produzcan colapso. Las predicciones de tales movimientos en una

estructura de gran elevación constituyen un tema muy complicado, ya que existen

dos modos de vibración, ver figura 1.3.

Oscilación

Oscilacióna) Primer Modo b) Segundo Modo

Figura 1.3 El flexionamiento debido a cargas sísmicas se inicia con el primer

modo, pero incluye al segundo, tercero, etc., movimientos.

También debe observarse que los requisitos para que un edificio alto resista las

fuerzas sísmicas y de viento se pueden contradecir. Un edificio rígido reaccionará

favorablemente al viento, por que su amplitud de vibración es pequeña. Por otra

parte, para un mejor comportamiento sísmico, a menudo es conveniente que el

edificio sea flexible para que esté libre de resonancia con las alteraciones sísmicas

y no se produzcan en él esfuerzos excesivos. Los periodos dominantes de

vibración producidos por macro sismos son del orden de fracciones de segundo,

mientras que un edificio alto y flexible tendrá un período de varios segundos. En

consecuencia, el período del edificio está muy fuera de fase con el período de

sismo, lo cual impide el fenómeno de resonancia sísmica. Cuando el período

fundamental de vibración de un edificio empieza a ser de varios segundos, incluso

los modos más altos inducidos por sismos no estarán en resonancia y, por tanto, la

respuesta sísmica es limitada.

9

10

Lo anterior explica por qué un edificio de gran altura no se puede diseñar

fácilmente para resistir de manera óptima las fuerzas sísmicas y las de viento. Pero

nótese que un edificio sí se puede diseñar para que sea rígido ante la acción del

viento y evitar el daño bajo fuerzas sísmicas de especificación reglamentaria. Con el

fin de resistir temblores catastróficos, se puede permitir que ciertas partes de la

estructura se fracturen en áreas locales, y con ello el período de vibración del

edificio se alargará y se aumentará su amortiguamiento. Por tanto, el edificio podrá

resistir una gran acción sísmica sin que haya falla estructural.

Además de lo anterior, el requerimiento de la ductilidad para el diseño sísmico,

significa que un edificio debe tener una reserva de resistencia plástica, más allá de

los límites de su comportamiento elástico, de tal modo que pueda oscilar con el

sismo, pero no fallar en grado considerable. En el diseño se pueden prever puntos

locales de falla, pero que no dañen la integridad estructural del conjunto.

De esta manera, para diseñar un edificio de gran altura contra cargas por efecto del

viento y sismo, puede ser conveniente establecer un sistema estructural que sea

rígido ante la carga del viento o de terremoto de acuerdo con los reglamentos, pero

esto puede cambiarse por una elasticidad o falla controlada a una respuesta más

dúctil si las fuerzas sísmicas llagan a ser extraordinariamente grandes.

1.3.1.- Cargas por viento. La presión del viento sobre la superficie de un edificio depende esencialmente de su

velocidad, la inclinación de la superficie, la forma de está, la protección del viento

proporcionada por otras estructuras y, en menor grado, la intensidad del aire, la cual

decrece con la altitud y la temperatura, y la textura de la superficie. Durante una

tormenta, las velocidades del viento pueden alcanzar valores de hasta 240

kilómetros por hora ó mayores, lo cual corresponde a una presión dinámica de

cerca 300 kilogramos por metro cuadrado. Una presión tan alta como está es

excepcional, y en general, se usan valores de 100 a 150 kilogramos por metro

cuadrado para cargas de viento sobre edificios y para zonas altas de más de 15

metros se debe incrementar y reducir para zonas altas menores de 9 metros, de

acuerdo a ciertos reglamentos.

11

En los reglamentos de construcción a veces se especifica la succión producida

por el viento, pero se sabe que se debe considerar una succión de cuando menos

50 kilogramos por metro cuadrado. Para áreas sometidas a una presión de viento

más alta, por ejemplo de 150 a 250 kilogramos por metro cuadrado, por lo general

se considera un efecto de succión de más o menos la mitad de la presión. Según

la ASCE (American Society of Civil Engineers), se recomienda que para edificios

altos, la carga de viento debe ser de 100 kilogramos por metro cuadrado hasta los

100 metros de altura; para la parte que excede este límite, se debe hacer un

aumento de 13 kilogramos por metro cuadrado por cada 30 metros de aumento de

altura. Además, se recomienda que los techos y muros de edificios se diseñen

para presiones variables positivas y negativas, dependiendo de la pendiente.

1.3.2.- Cargas por sismo.

Las cargas sísmicas se especifican teniendo en la mente dos objetivos básicos.,

Uno es proteger al público de la muerte y de heridas graves y prevenir en los

edificios el colapso y los daños peligrosos cuando se presenta un sismo de

intensidad máxima, el otro es asegurar los edificios contra cualquier daño, excepto

los mínimos, cuando hay un sismo de moderado a severo. Las cargas estáticas

equivalentes se especifican de modo que estos dos objetivos se logren dentro de lo

razonable y sin excesivo costo.

La resistencia sísmica requiere la absorción de energía (o ductilidad) más que

resistencia solamente. Si un edificio tiene la capacidad de flexionarse

horizontalmente varias veces la cantidad prevista bajo la carga de diseño sísmica

básica y mantiene aún su capacidad de soportar carga vertical, entonces podrá

absorber sismos considerablemente más intensos que el sismo de diseño. Si

existe esta ductilidad, se puede prevenir el colapso del edificio incluso si éste está

seriamente dañado. Por lo tanto, además del diseño de carga sísmica, se debe

considerar debidamente la ductilidad y plasticidad de un edificio.

12

Las cargas sísmicas sobre la estructura durante un terremoto, se deben a la inercia

interna producida por aceleraciones del suelo a que está sometida la masa del

sistema. Las cargas reales dependen de los siguientes factores:

1.- La intensidad y carácter del movimiento del suelo determinado por la fuente y su

transmisión al edificio.

2.- Las propiedades dinámicas del edificio, como sus formas modales y períodos de

vibración y sus características de amortiguamiento.

3.- La masa del edificio en su conjunto o de sus componentes.

Los grandes avances en la ingeniería sismológica han aclarado en gran medida

los efectos de los sismos sobre los edificios y esto se refleja en los reglamentos de

diseño sísmico. Sin embargo, aún existen muchas incertidumbres. Entre ellas están

la intensidad probable y el carácter del diseño sísmico máximo, las características

de amortiguamiento de edificios reales, y los efectos de las deformaciones no

elásticas. Pero el estudio más allá de los fundamentos de la ingeniería sísmica y

de su relación con el diseño práctico quedan fuera de los objetivos de esta tesis.

Aquí simplemente se delinearán los factores de diseño básicos.

Por conveniencia en el diseño existen métodos donde un sismo se traduce a una

carga equivalente estática actuando horizontalmente sobre el edificio. Aunque no

es posible predecir el sismo máximo en un lugar, la historia y experiencia junto con

observaciones geológicas han demostrado que los sismos máximos probables

varían en diferentes zonas, y se pueden especificar diferentes cargas de diseño

sísmico.

En el caso del diseño, ya sea con concreto o acero, existen ciertos principios para

proporcionar resistencia adicional para fuerzas y deflexiones laterales en edificios

de gran altura, Como los siguientes:

1.- Aumentar la anchura efectiva (d) de los subsistemas resistentes al momento

actuante. Esto es muy útil por que al aumentar la anchura se reducirá

directamente la fuerza de volteo y se reducirá la deflexión por la tercera potencia

del aumento de la anchura, permaneciendo todo lo demás constante figura 1.4.

Sin embargo, esto requiere que los componentes verticales del subsistema cuyo

ancho se aumentó se conecten adecuadamente para obtener en realidad este

beneficio.

M M

d d

Figura 1.4 La anchura efectiva de una estructura puede variar, afectando

directamente la fuerza de volteo y la deflexión. 2.- Diseñar los subsistemas de tal modo que los componentes estén hechos para

interactuar de la manera más eficiente. Por ejemplo, usar sistemas con cuerdas y

diagonales eficientemente arriostradas, colocar refuerzo para muros en puntos

críticos y optimizar las relaciones de rigidez de los marcos rígidos.

3.- Aumentar la cantidad de material en los componentes resistentes más efectivos.

Por ejemplo, los materiales agregados en los pisos bajos a los patines de las

columnas y vigas de conexión esto reducirá directamente la deflexión de

conjunto y aumentará la resistencia al momento actuante sin aportar más masa en

los pisos superiores donde se agrava el problema sísmico.

4.- Distribuir de tal modo que se tenga la mayor parte de las cargas verticales

apoyadas directamente sobre los principales componentes resistentes al momento

actuante. Esto ayudará a estabilizar el edificio contra tensiones de volteo mediante

la compresión de los principales componentes resistentes al momento actuante.

13

14

5.- El esfuerzo cortante local en cada piso se resiste mejor mediante la colocación

estratégica de muros o el uso de miembros diagonales en un subsistema vertical.

Usualmente, la resistencia de estos esfuerzos cortantes mediante miembros

verticales solamente a flexión es menos económico, ya que para lograr suficiente

resistencia a la flexión en las columnas y las vigas de conexión se requerirá más

material y energía de construcción que mediante el uso de muros o miembros

diagonales.

6.- Crear mega-marcos mediante la unión de grandes componentes verticales y

horizontales, por ejemplo, dos o más cubos de elevador a intervalos de varios

niveles con un subsistema de piso pesado, o mediante el uso de armaduras

maestras de gran peralte.

Todos los edificios de gran altura son esencialmente voladizos verticales apoyados

en el suelo. Si los principios mencionados se aplican juiciosamente, se podrán

obtener esquemas estructurales adecuados mediante muro, núcleos, marcos

rígidos, construcción tubular y otros subsistemas verticales para proporcionar

resistencia y rigidez horizontal.

1.4.- Tipos de estructuración en edificios.

A continuación se indican varios sistemas estructurales óptimos en edificios

dependiendo del número de pisos, para seleccionar un sistema adecuado, es

necesario hacer un estudio comparativo de cantidades de concreto, de acero de

refuerzo y del costo de la mano de obra, que los importes de estos conceptos

pueden definir de forma creíble si el sistema estructural empleado es óptimo o no

para dicha construcción.

1.- Estructuras a base de marcos rígidos, este tipo de sistemas estructurales

generalmente tiende a ser antieconómico para edificios de diez a quince niveles,

con el fin de obtener una rigidez adecuada contra las diversas solicitaciones

laterales es recomendable emplear otro sistema estructural.

15

2.- Estructuras a base de muros de cortante, este sistema estructural que depende

únicamente de muros de cortante para darle resistencia y rigidez lateral, son

factibles para edificios de treinta a cuarenta niveles. Para estructuras más altas las

fuerzas debidas al viento tienden a controlar el diseño, y así el aumento del espesor

en los muros disminuye el área disponible y la eficiencia estructural.

3.- Estructuras a base de marcos y muros de cortante, este sistema estructural ha

sido ampliamente usado para edificios de oficinas, hospitales, vivienda, etc., donde

los muros de cortante pueden colocarse en el área central. Estudios realizados

anteriormente, indican que la rigidez del marco es suficiente para reducir alrededor

de un tercio del valor de los desplazamientos del cantiliver de los muros de cortante

después de la interacción, es recomendable económicamente hablando emplear

estos sistemas en edificios de no más de cincuenta niveles.

4.- Estructuras de forma tubular, esta solución es recomendable para edificios de

más de cincuenta niveles, teniendo ventajas en la planeación del área central y

distribuciones mecánicas debido a la ausencia de muros centrales. También se

recomienda emplear combinaciones de los sistemas estructurales anteriores para

edificios de más de sesenta niveles.

Más adelante en las figuras 1.5, 1.6 y 1.7 se muestran diversos tipos y formas de

estructuración como las antes mencionadas.

Los muros de cortante se pueden clasificar como:

1.- Muros anchos, se consideran muros anchos, los que cuya altura no exceda la

tercera parte de la longitud y su base se encuentre aproximadamente empotrada.

En este tipo de muros, el efecto de la fuerza cortante se considera primaria, los

efectos de flexión pueden ascender del 10 al 15 % para el cálculo de las

deformaciones.

2.- Muros Esbeltos, estos sistemas de muros presentan deformaciones importantes

debidas al esfuerzo cortante y esfuerzo normal generado por flexión, esto es que, los

elementos mecánicos (momentos flexionantes y fuerzas cortantes) contribuyen a la

16

deformación del sistema. La interacción con los marcos de la estructura altera la

rigidez principalmente con los muros superiores.

El sistema estructural total de un edificio se divide básicamente en dos grupos de

subsistemas, vertical y horizontal. Los subsistemas horizontales se deben apoyar

en los subsistemas verticales, que por lo general son esbeltos en una o ambas

dimensiones seccionales y por sí mismos no pueden ser muy estables los

subsistemas horizontales tienen que sujetarlos en su posición.

Los subsistemas horizontales recogen y transmiten las cargas de piso y techo

mediante el flexionamiento, y las cargas horizontales a través de la acción de

diafragma hacia los subsistemas verticales. Los subsistemas horizontales también

pueden servir para conectar los diversos sistemas verticales o sus componentes y

hacerlos trabajar junto con marcos. Hay necesidades arquitectónicas que se deben

considerar junto con las del diseño estructural, al diseñar realmente los subsistemas

horizontales y verticales, se deben incluir los requerimientos de servicio y otras

consideraciones de espacio y distribución. Por lo que en el diseño real, la

concepción horizontal y vertical se debe sintetizar para producir una interacción

eficiente de los subsistemas.

En función de la capacidad de carga de conjunto para transmitir las fuerzas

horizontales y verticales a la cimentación, Existen tres tipos esenciales de

subsistemas verticales en los edificios: 1) Subsistemas de Muros, 2) Cañones

Verticales, 2) Marcos de Viga y Columna Rígida.

1.5.- Estructuración con muros de cortante.

Los Muros son subsistemas estructurales sólidos muy rígidos, en particular de

concreto reforzado, totalmente planos o con aberturas en cada nivel (acoplados y no

acoplados). Usualmente los Cañones se construyen de cuatro muros sólidos o

arriostrados que forman una estructura Tubular que aloja elevadores, escaleras y/u

otros conductos verticales para la ventilación y servicios. Estas estructuras

tubulares tridimensionales pueden constituir por sí mismos elementos verticales

17

muy estables y rígidos. Pueden soportar las cargas tributarias verticales y servir

también como excelentes elementos resistentes a las fuerzas horizontales.

Los subsistemas de Marcos Rígido consisten en componentes verticales lineales

(columnas) conectados rígidamente mediante componentes horizontales rígidos

(vigas comunes o vigas maestras). De este modo, la conexión rígida hace que las

columnas interactúen a flexión para formar un plano relativamente rígido de

resistencia de conjunto a fuerzas verticales y horizontales. También se pueden

crear esquemas estructurales de mega-marco utilizando vigas maestras muy

grandes (mega) para conectar rígidamente grandes cañones a diversos intervalos

de pisos

Los muros exteriores sirven para cerrar la forma de un edificio, los interiores para

dividir los espacios del edificio, ambos pueden servir también como subsistemas

estructurales mayores para soportar las cargas horizontales y verticales. Por lo

general los muros se construyen de mampostería, madera, concreto o acero. En

todos los casos, cuando los muros están sujetos por pisos o techos, pueden

proporcionar excelente resistencia a cargas horizontales en el plano de los muros.

Pero, si son delgados, son relativamente débiles respecto a las fuerzas horizontales

aplicadas en el sentido del grosor de los muros. La mayoría de los muros tienen

varios centímetros de grosor, pero varios metros de anchura, y en cada planta

tridimensional la rigidez de estos muros es proporcional al momento de inercia (I)

de la sección. En resumen, la rigidez de secciones rectangulares de muros varía con

el área por el cuadrado del peralte (d) en el sentido de la acción, para muros que

tienen sección rectangular, I = A d 2 / 12.

Debido a que las cargas horizontales dentro del plano del muro tienen mayor

momento de inercia que cuando dichas cargas actúan perpendicular al muro. En

consecuencia, el potencial de resistencia a fuerzas laterales es alto en el sentido de

la longitud del muro, pero muy bajo a través de su grosor. Por esta razón

usualmente se desprecia la resistencia transversal de los muros a las cargas

horizontales, y se tienen que alinear dos o más muros más o menos

ortogonalmente (en ángulo recto) para proporcionar resistencia a todas las cargas

laterales. Cuando una fuerza actúa en dirección oblicua, se puede resolver en dos

18

componentes vectoriales ortogonales, cada uno de los cuales actuará en el plano

de alguno de los muros y será resistido por éste. Ver figura 1.5.

Cuando se emplean subsistemas de muros resistentes al cortante, lo mejor es que el

centro de la resistencia al cortante ortogonal esté cerca del centroide de las cargas

laterales, tal como éstas se aplican debido a las propiedades de superficie o masa

de la forma del edificio. Si esto no es así, surgirá un problema de diseño de

momento horizontal (Torsión). Nótese que en las figuras 1.5 a y b se ilustran

distribuciones inestables de muros para resistir fuerzas horizontales. En la parte a

los muros no presentan rigidez en la dirección X; y en la parte b, el centroide de

resistencia no coincide con el centro de aplicación de la carga, y casi no hay rigidez

contra la rotación torsional. Las distribuciones de las figuras 1.5 c a f son muy

satisfactorias.

En la figura 1.5 d hay torsión horizontal producida por carga en la dirección X,

pero los dos muros en la dirección Y forman un par que puede proporcionar

resistencia a la torsión y a la rotación. En la figura 1.5 e, la forma tubular ofrece

excelente resistencia a las cargas horizontales en cualquier dirección. La

distribución de la figura 1.5 f no sólo es satisfactoria con respecto a la resistencia

horizontal y a la rotación, si no que tiene la ventaja adicional de permitir que las

esquinas del edificio se muevan por efectos de temperatura , corrimiento y

contracción. El arreglo de la figura 1.5 g constituye un caso raro en que los muros

perpendiculares dan suficiente resistencia a las fuerzas cortantes, pero no así a la

torsión, de hecho es similar a la figura 1.5 b en que el sistema en su conjunto

proporciona escasa resistencia a la torsión respecto a una fuerza horizontal

asimétrica sobre el edificio, como la causada por turbulencias de aire, o bien, en

caso de sismo, por la distribución asimétrica de masa, por lo tanto, la disposición de

la figura 1.5 g no constituye por sí misma un diagrama conveniente. Los muros

curvos de la figura 1.5 h pueden ofrecer buena resistencia lateral en virtud de su

acción de concha, especialmente si los pisos sirven como diafragmas que

rigidizan dicha concha.

Para lograr acción de marco en sentido transversal, los sistemas rígidos de piso o

techo se deben conectar rígidamente a los muros. En este caso, el muro actuará

como una columna ancha en dirección transversal, y el diseño será similar al de un

marco rígido y en la mayoría de los casos, un componente de muro resistente al

cortante se diseñará para ser rígido sólo en su dimensión longitudinal de planta.

Línea de resistencia al esfuerzo cortante

g)

Carga x

Centro de resistencia al cortante

Carga y

c)Y

Carga x

Carga x

Centro de resistencia al

cortante


e)

Carga y

Y

Carga y

Y

Carga x

Suponiendo que no hay resistencia a

a)Y

Carga y

h)

Carga y

X


Carga x X

Y

Carga y Carga y

e

Y Y

Carga y

d)

X

X

f)


Carga x


cortante

Carga x


cortante

X

b)Y

Carga x

X

XX

e

Figura 1.5 Plantas de sistemas estructurales con diversas distribuciones de muros resistentes al corte. (T.Y Lin & S.D. Stotesbury, Conceptos y Sistemas Estructurales

para Arq. e Ing. Pag.227).

Los cañones verticales resistentes al esfuerzo cortante en un edificio actúan como

estructuras tubulares formadas por muros de concreto reforzado que generalmente

tienen una sección transversal rectangular, cuadrada e incluso circular. En

cualquier caso, cuando en un edificio hay un solo cañón, usualmente está situado en

el centro del de la planta, cuando hay más de uno, pueden estar dispuestos en

varios sitios, de preferencia distribuidos simétricamente, como se muestra en la

figura 1.6.

Debido a que los cañones estructurales a menudo funcionan como núcleos de

transporte y servicio vertical, tienen un número más o menos limitado de aberturas

para el sistema de servicio o para acceso de puertas, o bien, cuando están

situados al exterior, posiblemente puertas y ventanas. Para propósitos de diseño de

tubos estructurales, la existencia de estas aberturas se debe considerar

cualitativamente, aunque su efecto sobre el diseño no se puede calcular. Por

19

ejemplo, la resistencia y rigidez de un tubo con una moderada cantidad de aberturas

(menos de 30%) se reducirán en cierta medida si se comparan con uno sin

aberturas. Pero, para propósitos preliminares, ese efecto se puede omitir. Si más

del 60% de la superficie del cañón está abierta, la acción será más bien como la de

un marco tubular, y la resistencia y la rigidez se reducirán proporcionalmente.

e) Tubo (cañón) arriostrado

contra columnas simplemente

apoyadas

b) Tubo (cañón) con pisos en

voladizo

a) Tubo (cañón) y columnas

simplemente apoyadas

d) Tubo (cañón) con columnas suspendidas y

losas en voladizo

c) Tubo (cañón) y columnas

simplemente apoyadas sobre

base reticular

f) Tubo (cañón) y armaduras cortantes

arriostradas

Figura 1.6 Diversas estructuras con núcleos de cañón ó tubos, formados a base de muros de cortante con resistencia al esfuerzo cortante interno. (T.Y Lin & S.D.

Stotesbury, Conceptos y Sistemas Estructurales para Arq. e Ing. Pag.223)

Cuando un cañón es relativamente corto o ancho, con una proporción adimensional

menor que 1 ó 2, la acción estructural dominante es la de un tubo rígido resistente al

corte. Los requerimientos de momento o flexionamiento de este cañón corto

usualmente no determinan el diseño. Cuando la proporción dimensional es más alta

(sobre 3 ó 5 ), entonces las fuerzas cortantes pueden no constituir el criterio de

control, y los requerimientos de flexionamiento pueden determinar el diseño. Para

cañones más esbeltos, con proporciones dimensionales mayores de 5,

definitivamente el flexionamiento tenderá a dominar. Con 7 o más, el problema del

diseño será uno de flexibilidad excesiva y puede necesitar que dos o más cañones

se unan entre sí con conectores pesados para obtener cierta cantidad de acción de

mega-marco de conjunto.

Como conjunto, los cañones son estructuras que comúnmente son

significativamente rígidos y fuertes en cualquier dirección. Por ello, el cálculo de

20

21

fuerzas y esfuerzos producidos en estos cañones es un poco más complicado que

el de los muros, se puede hacer una aproximación utilizando ciertas partes de los

cañones como área resistente al cortante efectivo, y otras como el área resistente

efectiva al momento.

Por lo general, los subsistemas de marco rígido consisten en componentes

verticales lineales (columnas) conectados rígidamente mediante componentes

horizontales rígidos (vigas comunes o vigas maestras). De este modo, la conexión

rígida hace que las columnas interactúen a flexión para formar un plano

relativamente rígido de resistencia de conjunto a fuerzas horizontales y verticales.

Los sistemas de marco rígido han sido aceptados desde hace tiempo para resistir

cargas verticales y laterales. Así como un medio común para el diseño de edificios,

se emplean para construir edificios de baja, mediana y gran altura,

aproximadamente de 70 a 100 niveles. En comparación con los sistemas de muros

resistentes al cortante, estos marcos rígidos proporcionan excelentes posibilidades

para aberturas rectangulares de superficies de muro tanto adentro como fuera del

edificio. También aprovechan la rigidez de las vigas y las columnas que se

requieren para cualquier caso de edificación, pero las columnas se hacen más

fuertes cuando se conectan rígidamente para resistir las fuerzas tanto laterales

como verticales a través de flexionamiento del marco.

Con frecuencia, los marcos rígidos no lo son tanto como la construcción de muro

resistente al corte, y por lo tanto, pueden producir deflexiones excesivas en los

diseños de edificios más esbeltos de gran altura. Pero a causa de su flexibilidad, a

menudo se les considera más dúctiles y, en consecuencia, menos susceptibles de

fallas sísmicas catastróficas, sí se comparan con algunos diseños de muro resistente

al corte.

En la figura 1.7 se ilustran los diferentes sistemas estructurales utilizados en la

actualidad, asociados con su correspondiente rango de altura.

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Inte

racc

ión

Mur

o-M

arco

Tubo

Tubo

en

Tubo

Mod

ulos

de

Tubo

Tubo

con

Con

trave

nteo

en

Fach

ada

Meg

a-C

olum

nas

con

Tubo

Núm

ero

de P

isos

Tipos de estructuras

Figura 1.7 Sistemas estructurales en edificios altos.

Como se observa en la anterior figura los edificios de gran altura con más de 30 ó 40

pisos se pueden diseñar mejor si se utilizan sistemas tubulares para resistir las

fuerzas laterales. Esto dará al edificio mayor resistencia y rigidez en comparación

tanto con el sistema de muro resistente al corte como con el marco rígido. Mediante

el uso eficaz del material de cubiertas verticales, se obtiene un brazo de palanca

máximo entre las fuerzas resistentes.

Una manera natural de construir un sistema tubular sería conectar los muros

exteriores para formar una estructura tubular de conjunto. El tubo puede ser

rectangular, circular o de cualquier otra forma rectangular. Los muros exteriores

pueden tener aberturas para formar ventanas circulares o rectangulares, como se

observan en las fotografías 1 y 2.

Si se desea tener marcos de ventanas rectangulares en el exterior del edificio de

gran altura, esto se puede integrar en un diseño de marco-tubo empleando ya sea

grandes vigas de antepecho para conectar las columnas estrechamente espaciadas,

o bien, grandes montantes de ventana. Sin embargo, debe observarse que cuando

un sistema de marco-tubo se flexiona, como un voladizo vertical apoyado en la base,

22

el efecto de dilatación del marco puede causar un desplazamiento del esfuerzo

cortante significativo entre las columnas soportantes. Por ello, la distribución de

esfuerzos no debe ser lineal y las columnas lejanas al eje neutro se deben esforzar

un poco más que lo que se podría esperar en un supuesto lineal. El desplazamiento

del cortante en un diseño tubular se puede analizar muy bien mediante modernos

programas de computación.

Fotografía 1. Muro de cortante perimetral con tres hileras de aberturas. (Corporativo empresarial. Sta. Fe D.F. México.)

Fotografía 2. Muros de cortante en cubos de elevadores con aberturas en cada

entrepiso y muros perimetrales sin aberturas. (Torres Habitad. Sta Fe D.F. México).

23

24

Aunque en general los muros tubulares con ventanas pequeñas son de concreto, los

sistemas de marco-tubo pueden ser de concreto o de acero. Para acero, a menudo

se emplea el tubo armado o contraventeado (arriostrado). Mediante el

arriostramiento de las columnas exteriores y disponiéndolas en forma tubular, éstas

son muy eficaces para resistir fuerzas laterales, ya que se utiliza toda su extensión

directa (en vez de flexión) para dar resistencia al esfuerzo cortante. La forma y

tamaño de las ventanas están determinados por la situación de las diagonales, pero

permite un porcentaje mayor de aberturas en comparación con los muros tubulares

de concreto.

También se puede hacer un diseño tubular armado o arriostrado de concreto; esto

se logra cerrando ciertos páneles en diferentes niveles, de tal manera que éstos

queden sobre un eje inclinado y formen un miembro inclinado de la armadura.

Aparentemente, está puede ser una solución económica para edificios de concreto

de gran altura.

El concepto de tubo en tubo proporciona otra excelente alternativa. Debido a su

mayor anchura, el tubo exterior puede resistir fuerzas de volteo en forma muy eficaz;

pero las aberturas requeridas en esté pueden reducir su capacidad para resistir el

esfuerzo cortante, sobre todo en los pisos inferiores. Por otra parte, un tubo interior

puede resistir mejor el esfuerzo cortante del piso, siendo más sólido que el tubo

exterior. Pero los tubos interiores no serán tan efectivos para resistir el momento de

volteo, ya que serán más esbeltos en comparación con el tubo exterior. Esta

combinación de tubo dentro de tubo se puede aplicar tanto a un edificio de acero

como a uno de concreto, o incluso usarla para combinar en un diseño de acero y

concreto. Por ejemplo, un cañón de concreto como tubo interior en combinación con

un tubo exterior de marco rígido de acero puede ser muy eficaz para resistir el

momento flexionante y para dar rigidez cortante suficiente a la estructura como un

todo.

Cuando los edificios son de 50 ó 60 pisos a más, es conveniente investigar el uso de

mega-estructuras, es decir, mega-marcos. Este enfoque ofrece la ventaja de que se

colocarán pisos mecánicos a cada 15 ó 20 pisos, para facilitar la instalación de

acondicionamiento de aire y otros equipos de servicio. Todo de peralte de 1 ó 2

25

pisos de los pisos mecánicos se puede utilizar para construir un subsistema

horizontal muy fuerte y rígido. Esto permite usar vigas muy grandes o armaduras

espaciales conectadas a columnas exteriores muy grandes para dar acción de

mega-marco rígido sobre 15 ó 20 pisos. El mega-marco se puede rellenar con un

marco secundario (mucho más ligero) de diseño estándar.

1.6.- Comportamiento de los muros de cortante. El análisis de estructuras con muros de cortante resulta un poco complejo, es por

eso que se han desarrollado diversos métodos simplificados para su análisis. En

algunos casos, la estructura se supone que es un marco, en otros que se comporta

como un complejo cantiliver, en el cual las vigas horizontales de conexión son

sustituidas por medios continuos con equivalentes pero distribuidas propiedades

estructurales. Estos métodos simplificados han tenido mayor aplicación sobre los

métodos más elaborados debido a la simplicidad y al grado aceptable de

aproximación, para esto se han realizado estudios comparativos entre métodos

simplificados y soluciones más realistas obtenidas por medio del método del

Elemento Finito.

Los métodos de análisis comunes generalmente son aproximados, sin embargo el

uso de métodos como el Elemento Finito usado en programas computacionales de

análisis estructural conducen a resultados de mayor aproximación, que describen

de manera muy precisa la distribución y los valores de las fuerzas horizontales

actuantes con diversas combinaciones de estas, en cualquier elemento que forme

parte de la estructura analizada. Al obtener este tipo de información tan precisa y

detallada, se diseñan estructuras más, eficientes y factibles de construir al ser más

resistentes y económicas, con procesos de construcción innovadores y eficientes.

Como se menciona anteriormente, las necesidades actuales requieren que los

edificios alcancen alturas grandes comparadas con el área que ocupan; debido a

esto, las características de este tipo de obras presentan dos problemas

fundamentales.

1.- Requieren de una rigidez elevada, por lo que se opta emplear muros de cortante

para proporcionar la adecuada rigidez, colocándolos estratégicamente en cubos de

elevadores o escaleras según el diseño y orientación de la estructura.

2.- El Comportamiento de los demás elementos que forman la estructura se ve

afectado por la rigidez que dan los muros de cortante.

Ante este problema el análisis y diseño estructural deberá estar orientado a

conjugar el comportamiento entre ambos elementos estructurales, sobre todo bajo

el efecto provocado por las fuerzas horizontales debidas a los movimientos

sísmicos y de viento. El empleo de muros en edificios debe garantizar la resistencia

para absorber los efectos de las fuerzas a las que quedará sometido.

Principalmente deberán tomarse en cuenta los efectos de rotación y translación. Los

muros de cortante en forma aislada tiene principalmente dos modos de

deformación, que dependen del mecanismo deformante (Flexión o Cortante), como

se muestra en la figura 1.8, el modo de deformación principal es el flexionante, es

decir, como un voladizo vertical tal como en la anterior figura. Sin embargo también

influye la fuerza cortante y el lugar donde es aplicada.

Muro de Cortante Deformacion de Muro en Modo Flexionante

Deformacion de Muro en Modo Cortante

Figura 1.8 Principales modos de deformación en muros de cortante.

Finalmente los desplazamientos debidos a la deformación de la cimentación,

depende de las características mecánicas del suelo. Estos desplazamientos son

definidos por dos componentes:

1.- Uno de translación “d’s” proporcional al cortante en la base del edificio.

26

2.- Uno de rotación y proporcional al momento flexionante base del edificio.

El efecto de translación está dado por la expresión:

sdCsAV '××= (1.1)

CsAVsd×

=' (1.2)

Donde:

V= Esfuerzo cortante en la base de la cimentación.

A= Área de la cimentación del edificio.

Cs= Coeficiente de cortante elástico uniforme.

Los desplazamientos horizontales están en función de la elevación, H y estás son

debidas a la rotación, la expresión siguiente relaciona el efecto.

Hsd ×= δ'' (1.3)

Pero: δ××= CyIM

CyI

M×

=δ

Entonces: HCyI

Msd ××

='' (1.4)

Donde:

M= Momento flexionante en la base.

Cy= Coeficiente de compresión elástica no uniforme.

I= Momento de inercia del área de la sección transversal con respecto a los ejes de

rotación.

De este modo podemos observar que los desplazamientos horizontales des suelo

cuyo efecto final será:

sdsdds ''' ×= (1.5)

En general los desplazamientos totales del cantiliver será la suma de los tres efectos

combinados. dsdtdmd ++=

En donde “dm” y “dt” representan los desplazamientos ejercidos por la flexión y la

fuerza cortante respectivamente, ver figura 1.9 a y en la figura 1.9 b se muestra la

relación que existe entre los desplazamientos provocados por la fuerza cortante y

el momento flexionante; relacionadas por le cociente dt/dm , y la relación H/B

27

aplicadas para diferentes secciones rectangulares sometidas a la sección de

fuerzas horizontales uniformemente distribuidas.

H

dsdtdm

F

B

Figura 1.9 a Desplazamiento de un cantiliver ejercidos por la flexión fuerza cortante. (Pórtland Cement Association, Interacción Estructural en Marcos y Muros de Cortante.

1977, pág. 29)

l

B

l

W H

IwWH

L

W Iw

W HΔ 0

22

+ H θw8EI4

W H

θ

θ

Δ

Modo Cortante

Modo Flexionante

Figura 1.9 b Diferencia de la relación de desplazamiento de muros en cantiliver variando su altura y ancho. (Pórtland Cement Association, Interacción Estructural en Marcos

y Muros de Cortante. 1977, pág. 29)

A menudo las exigencias arquitectónicas requieren aberturas en los muros; ese

efecto altera totalmente su rigidez, por lo que deberá tenerse especial cuidado en

su comportamiento.

28

29

1.6.1.- Muros de cortantes sin aberturas.

Desde el punto de vista geométrico, un muro sin aberturas puede considerarse como

un medio continuo contenido en un plano, para su análisis es necesario modelarlo

en su geometría, material y tipo de cargas. Las hipótesis prácticas se apoyan en lo

siguiente:

1.- El material que los constituye será homogéneo, elástico, lineal e isótropo.

2.- La geometría del muro es tal que posee tres dimensiones; dos relativamente

grandes, contenidas en un plano, y la restante comparativamente más corta en otro

plano.

3.- Considerando los dos puntos anteriores, la idealización corresponderá a un

estado plano de esfuerzos.

4.- Las cargas que soportará estarán contenidas en el plano del muro.

Por considerarse como un elemento en estado plano, los desplazamientos deberán

ser en dos sentidos, vertical y horizontal. Al tomar en cuenta la compatibilidad de

estos desplazamientos, es evidente que tiende a presentarse un giro en el muro. En

la figura 1.10 se presenta un muro sin aberturas apoyado en columnas, donde se

deberá tomar en cuenta los efectos de la parte inferior debido a las cargas laterales.

Los muros de cortante sin aberturas pueden tratarse como voladizos verticales

calculándose la rigidez y los esfuerzos, usando la simple teoría de la flexión.

No siempre es razonable considerar las cimentaciones de los muros de cortante se

terminan al nivel del segundo piso, abajo del cual la fuerza cortante se transmite a

columnas rígidas, cubos de elevadores, etc. Normalmente este cambio no afectará

la distribución de los esfuerzos en el muro, excepto cerca del extremo inferior, pero

puede tener un efecto importante en la rigidez, y, por tanto, alterar la proporción de

carga lateral soportada por el muro. La figura 1.10 ilustrada la manera en que pude

determinarse el efecto de una variación en el piso inferior en la deflexión del

superior.

Δ 0θ

l

Modo Cortante

Modo Flexionantel

B W H

IwW

2W H2

θ

Iw

Δ

HL

W

w8EI + H θW H4

Figura 1.10 Muro de cortante sin aberturas apoyado en columnas. (Pórtland

Cement Association, Interacción Estructural en Marcos y Muros de Cortante. 1977, pág. 31)

En la figura 1.9 b, como ya se indicó, se presentan curvas de comportamiento

considerando la relación ancho altura, en donde se puede observar la influencia y

variación de la deformación por cortante y flexión, para un muro sin aberturas

empotrado el la cimentación.

A continuación se presenta el comportamiento de un muro sin aberturas soportado

por dos columnas. En la figura anterior se muestra el problema, ilustrándose los

desplazamientos angulares y lineales. Así como el desplazamiento total que resulta

de la superposición de dos estados. Así que calcularemos los desplazamientos en

el muro haciendo uso del teorema de las áreas, calculando la desviación tangencial

en el punto “B”.

EIML

EIILLMLLML

62232

2

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=Δ′ (1.6)

Pero:

LMV 2

=

30

EIVL

12

3

=Δ′

EIVL

EIVL

6122

33

0 ==Δ (1.7)

Como:

WHV =

EIWHL6

3

0 =Δ (1.8)

Μ FF

l 2

l

K

EA

K

d

θ

θ d

LEAK = ,

KFd = ,

l

MF = , EA

MLdl

=

Pero:

2

2WHM =

EALWHd

l2

2

= y considerando que θ es muy pequeño, tenemos que 2lθ=d

Entonces tenemos que: EA

LWHl

l

22

2

=θ , y EA

LWH2

2

l=θ

En esta forma substituimos los valores en: θHEW

WH++Δ=Δ

8

4

0 (1.9)

31

1.6.2.- Muros de Cortante con Aberturas.

En muchos problemas sobre muros de cortante es necesario hacer el análisis

tomando en cuenta que a menudo es muy necesario contar con muros de cortante

que tengan aberturas, estas son muy indispensables para cumplir con algunas

necesidades que la estructura requiere, tales como: mejor ventilación, distribución

adecuada de accesos y una buena apariencia. Existe diversas formas de muros con

aberturas, algunas dependen de la ubicación del muro dentro de la estructura y

otras del tipo de cimentación sobre la que este desplantado el muro. En la figura

1.11 se muestran algunas formas de muros con aberturas así como diferentes tipos

de cimentación para dichos muros.

H HHH HHH

Figura 1.11 Muros de cortante con aberturas empotrados en diferentes tipos de cimentación, ya sea una zapata aislada ó corrida, losa de cimentación ó retícula

rígida.

Cuando se presenta el caso en que los muros están constituidos por filas de

aberturas, este efecto altera notablemente la rigidez del muro de cortante, por lo que

se deberá tomar en cuenta dicha discontinuidad, estas filas de aberturas son

normalmente continuas con la altura, excepto en el piso interior, donde se necesitan

a menudo accesos más espaciosos.

32

La figura 1.12 muestra una forma sencilla del problema, es decir, una sola fila

central de aberturas, carga uniformemente distribuida, base fija y propiedades

constantes con la altura.

Muro 2(IC2,AC2)

b

Muro 1(IC1,AC1)

Cl

Wh

H

Espes

or - t

C1 C2

Vigas de conexión disctretas (lb)

Eje

Figura 1.12 Muro de cortante con una sola hilera de aberturas. (Pórtland Cement

Association, Interacción Estructural en Marcos y Muros de Cortante. 1977, pág. 31).

Pueden usarse varios parámetros adimensionales pera definir el comportamiento de

esta estructura. Probablemente el más útil es αH, siendo α un coeficiente en la

ecuación diferencial del método de la conexión por fuerza cortante (descrito mas

adelante) y H, la altura total del muro.

Normalmente αH se define como:

⎢⎣

⎡ ++

+=

21

21

21

2

3 )/12

AAAA

lclchbbHH lα (1.10)

De la figura 1.3.8, también podemos observar que cuando se trata de muros

simétricos se tiene que:

33

lcbctlclc

bctAA

=−

==

−==

321

21

)2

(12

)2

(

Sustituyendo bIhI

b

c

//

=′λ y dacbS =

Obtenemos )111(221

2

ssNH ++=λ

α (1.11)

Donde:

A1 = Área de la columna 1.

A2 = Área de la columna 2.

Ic1 = Momento de inercia de la columna 1.


t = Espesor del muro.

λ’ = Es la relación empleada para muros al corte.

Ic = Momento de inercia de la columna.

Ib = Momento de inercia de la viga.

h = Altura de la columna.

b = Claro libre de la viga.

S = Es la relación b/c.

C = Ancho del muro de cortante.

En caso de que no hubiese aberturas, el desplazamiento en el extremo superior del

muro sometido a fuerza horizontal uniforme sería:

WEl

wH8

4

1 =Δ (1.12)

Donde:

Δ1 = Desplazamiento horizontal en el extremo superior del muro. 12

3tCIw =

Iw = Momento de inercia de la sección transversal del muro.

W = Carga uniformemente distribuida.

34

Para el caso en que los muros están constituidos por una sola hilera de aberturas,

el desplazamiento horizontal en el extremo superior está dado por la relación:

JEIw

WH8

4

2 =Δ (1.13)

Donde

Δ2 = deflexión superior en el muro con una sola hilera de aberturas

))(81()1(

43 Hf

SJ α

μμμ

−−

−= (1.14)

1)1(3)1())((1 2

2

221

2121 ++−

=++

+=SS

AAlclcAA

lμ (1.15)

Donde:



A1 = Area de la sección de la columna 1.

A2 = Area de la sección de la columna 2.

l = Claro de centro a centro de los apoyos de la viga.

J = Factor con el que se obtiene el aumento en la flexión del muro a la presencia de

una fila de aberturas.

Finalmente: 24 )(2

1)cos()(

1)cos()()(HHH

HHHsenHfααα

αααα −+−

= (1.16)

La variación de rigidez del muro de cortante se puede graficar como se muestra en

la figura 1.13, al variar para diferentes valores de S. Dicho comportamiento se

resume en la Tabla No. 1. J es un factor con el que se obtiene el aumento en la

deflexión del muro debido a la presencia de una fila de aberturas. J es igual a 1

cuando no hay aberturas; los valores elevados de J indican que las aberturas tienen

un efecto importante en la rigidez del muro. J es función de tres parámetros

solamente: λ’, N, y S. λ'/N2 y S podrían agruparse, pero αH (que es función de los

tres parámetros) y S es una combinación más útil. En la figura 1.13 se da una gráfica

de J al variar αH para diferentes valores de S.

35

C

oefic

ient

e de

Rig

idez

-J

6420

Sin aberturas

1.0

2.0

3.0

.05

.104.0

18161412108α H

Cb

.206.0

.155.0

.40.30 .50

Valores de S = b/cW H

Δ2

Figura 1.13 Variación de la rigidez del muro de cortante con una sola fila de

aberturas. (Pórtland Cement Association, Interacción Estructural en Marcos y Muros de Cortante. 1977, pág. 31).

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

′= 2

2 1112SS

NHλ

α ec. para graficar.

wHEI

J w 24

8 Δ= ec. para graficar.

Obsérvese lo siguiente en la figura 1.13

1. Para αH > 8 y S < 0.2, el aumento en la deflexión no es grande, es decir, J varía

entre 1 y 1.34.

2. Para αH < 4, una pequeña variación en αH puede producir un cambio importante

en la rigidez. Aun cuando las aberturas sean muy angostas, J es mucho mayor que

1.

36

Ya se había indicado antes que αH acusa el comportamiento de los muros como se

muestra en la tabla 1.

La figura 1.13 y la tabla 1 pueden usarse para obtener indicaciones sobre el efecto

de las aberturas en la rigidez de un muro. Si hay aberturas, normalmente es

recomendable incluir su efecto en el análisis. Por ejemplo, cuando se usa el método

de las componentes de rigidez para un muro con una sola hilera de aberturas y base

empotrada, puede usarse el siguiente valor modificado para Kw:

43

)21(3KH

lclcEKWO+

=

Donde Kwo = rigidez de un muro con aberturas y

])(

1)cos()(

)(31[31 234 HHH

HsenKμαμ

μμ

−+−=

α H Comportamiento

> 8 Se aproxima al del muro sin aberturas. La deformación axial de las

columnas es muy importante en el cálculo de la rigidez

4 - 8 Transición

0 - 4 Dos muros conectados. El comportamiento se aproxima al de un marco

rígido

Tabla 1 Comportamiento de los muros de cortante con una sola línea de aberturas

El estudio de dos muros conectados no por vigas, sino por losas de piso ha

demostrado que éstas pueden tener un efecto importante en la interconexión de los

muros de cortante. Sin embargo, toda la anchura de la losa de piso (entre muros de

cortante paralelos) es efectiva como viga, no debe tomarse como regla general. Hay

que tener cuidado de asegurarse de que la losa tiene resistencia suficiente para

suministrar la rigidez de interconexión.

37

Capítulo 2

Métodos de Análisis para Muros de Cortante

2.1.- Interacción entre muros de cortante y marcos rígidos. Un marco rígido, es un conjunto de columnas y vigas interconectadas, se flexiona

principalmente en modo cortante, como se muestra en la figura 2.1 a. Un muro de

cortante se deforma principalmente en modo flexionante, es decir, como un voladizo

vertical, tal como se ilustra en la figura 2.1 b. Los cubos de elevadores, los de

escaleras, ductos de instalaciones y los muros de concreto reforzado normalmente

trabajan mancomunadamente.

No siempre es fácil distinguir estos dos modos de deformación. Por ejemplo, un

muro de cortante, debilitado por una hilera (o hileras) de aberturas puede presentar

la tendencia a funcionar como marco rígido, como se vio en el capitulo anterior de

muros con aberturas., e inversamente, un marco relleno de muros tiende a

deformarse en modo flexionante. Además, la deformación producida por las fuerzas

de corte en un muro de cortante puede ser más importante que la deformación

debido a los momentos flexionantes, si la relación debida a los momentos

flexionantes, y la relación de la altura con el ancho del muro es por ejemplo menor

que 1.

39

Cuando todas la unidades verticales de una estructura se comportan en la misma

forma bajo el efecto de las cargas laterales, es decir, si todas son marcos rígidos o

todas son muros de cortante, el análisis es comparativamente sencillo; la carga

puede distribuirse a las unidades directamente en proporción a sus rigideces. La

diferencia de comportamiento bajo cargas laterales, en combinación con la rigidez

de las losas de los pisos son la causa de que las fuerzas de interacción no sean

uniformes cuando están presentes muros y marcos, como en la figura 2.1 c, lo que

dificulta más el análisis para el diseño de dichas estructuras.

Para el análisis, normalmente se consideran las losas de los pisos como

completamente rígidas dentro de sus propios planos. Esto significa que no habrá

movimiento relativo entre las unidades verticales en cada nivel de piso. Puede

tomarse en cuenta la deformación del plano de la losa, pero rara vez es importante.

Al flexionarse fuera de su plano, las losas de los pisos contribuyen a la estabilidad

lateral de una estructura funcionando como vigas entre miembros verticales, y por

esto las losas planas, por ejemplo, trabajan eventualmente como si fuesen marcos

rígidos. Sin embargo, la resistencia de las uniones entre las columnas y las losas

planas debe revisarse cuidadosamente si se pretende usarla para resistir fuerzas

laterales.

Refiriéndonos a la torsión y sí la planta de la estructura es asimétrica, o si las

unidades rígidas verticales (muros) están cerca del centro de la estructura deberá

tomarse en cuenta el efecto de la torsión. Algunos reglamentos para tomar en

cuenta el efecto de los sismos requieren que las estructuras resistan una carga de

torsión especificada, aunque la carga lateral aplicada teóricamente no cause

torsión. Un punto muy importante ha notar, es que cuanto más cerca del perímetro

de la estructura se coloquen las unidades que resisten las fuerzas cortantes,

mayor será su efectividad para resistir torsión, normalmente la resistencia a la

torsión la proporcionan al flexionarse las unidades resistentes a las fuerzas

cortantes. La torsión pura de marcos y muros no contribuye apreciablemente a la

rigidez. Sin embargo, la rigidez torsional de este tipo no siempre es despreciable en

los cubos de los elevadores y de las escaleras. La rigidez a la torsión de un tubo

rectangular cerrado de espesor uniforme está dada por la fórmula:

pHtGATK

204

==θθ (2.1)

Donde A0 es el área encerrada por la línea media central, t es el espesor del muro,

G es el módulo de rigidez, p es el perímetro medio, H es la altura del tubo, y T el par

de torsión aplicado. Los tubos como los cubos de los elevadores y de las escaleras

están siempre debilitados por aberturas. Por lo tanto, la fórmula anterior

sobrestimará la rigidez a la torsión, en algunos casos por amplio margen. Sin

embargo, la rigidez a la torsión de este tipo podría ser importante. En efecto, los

marcos son considerablemente menos rígidos que los muros de cortante, y

aunque la magnitud de la carga que reciben está notablemente afectada por la

deformación de las losas de piso, la proporción de la carga total que toman es

pequeña. La conclusión a la que podemos llegar aquí es que si las losas tienen

poco apoyo lateral entre unidades rígidas, las cargas en las unidades intermedias

pueden ser afectadas por la flexibilidad de las losas, así que normalmente es

aceptable la suposición de que las losas de piso son rígidas en su plano.

Como se menciona al inicio de dicho capítulo, los muros de cortante y los marcos

se comportan en forma diferente bajo el efecto de cargas laterales. Los muros de

cortante se deforman en modo flexionante y los marcos rígidos en modo cortante

figura 2.1. Este comportamiento puede expresarse matemáticamente así:

Para un marco, QY’’= W (2.2)

En la que Q es una constante, W la intensidad de la carga aplicada y Y’’ el

desplazamiento nodal donde se aplica la carga. Representados en la figura a.

WY''

Figura a: Fuerza cortante aplicada a un marco.

Para un muro, EIw Y’’ = M = (2.3)

40

Donde E es el modulo de elasticidad, I el momento de inercia y M es el momento

flexionante en el muro, ver figura b.

Y''Mw

Figura b: Momento flexionante generado por fuerza cortante en un muro.

Si se considera un marco que tenga propiedades constantes al variar la altura figura

2.2 a., y si se aplica una carga concentrada en le extremo superior, la forma

flexionada será demostrada con la siguiente ecuación:

( )XIE

PhYC

λ2112

2

+Σ

= (2.4)

Esta ecuación representa una línea recta y satisface la ec. (2.2).

Un muro de cortante de la misma altura y bajo las mismas cargas tomará la forma:

( 323 236

HXHXEIPY

W

+−= ) (2.5)

La ec. (2.5) es para flexión simple y satisface la ec. (2.3). La forma de esta curva de

tercer grado se ilustra en la figura 2.2 b.

41

Como sucede con frecuencia en las estructuras, si un marco se obliga a

reflexionarse de manera que asuma la curva del muro de cortante. La carga para

lograr esto casi tiene que aplicarse en el extremo superior junto con una carga de

sentido contrario en la base, como se ilustra en la figura 2.2 c. El marco tiende a

empujar hacia atrás al muro cerca de la base cuando están interconectados, esto

se puede observar comúnmente cuando se considera el efecto combinado en el

análisis. La observación de que la mayor parte de la carga se aplica cerca del

extremo superior, constituye la base de la suposición de fuerza cortante constante

en el marco.

Y YY

(a) Marco con carga concentrada y

propiedades constantes

(c) Marco con la forma deflexionada del muro

(b) Muro con carga concentrada

-

Iw

P

X

Intensidad de la carga

P

+

Figura 2.2 Marco y muro conectados.

2.2.- Métodos de Análisis

Se describen tres métodos de análisis. El método de la conexión por cortante que

puede considerarse como una forma especial del método del marco equivalente, que

a su vez puede considerarse como forma especial del método basado en los

elementos finitos.

Con respecto al mérito relativo, si el método de la conexión por cortante se adapta al

problema, el análisis puede hacerse a mano con mucha facilidad, en los casos

sencillos usando gráficas, pero con mucho trabajo en los casos más complicados. El

42

43

análisis con computadora por el método de la conexión por cortante puede ser más

eficiente que el análisis por el método del marco equivalente si se dispone del

programa adecuado.

Si existen dudas respecto a la validez de las suposiciones necesarias para el

método de la conexión por cortante, y si se dispone de un programa adecuado para

el marco, entonces debe usarse el método del marco equivalente.

El método del marco equivalente y el de los elementos finitos son muy útiles en la

solución de problemas no convencionales y de gran complejidad, así como en los

medios de investigación.

2.2.1.- Método de la conexión por cortante.

El método de conexión por cortante comprende la esquematización de la fila (o filas)

de aberturas en el muro como un medio continuo que proporciona una conexión

elástica para las fuerzas cortantes entre partes adyacentes del muro.

En varios artículos publicados se describe y se dan los desarrollos matemáticos del

método, pero no todos ellos presentan la información más reciente. En algunos

casos, las únicas diferencias consisten en los métodos que se emplean para obtener

una solución, en la notación y en la claridad de la presentación. En esta sección se

describe brevemente el método de la conexión por cortante y se examinan los

puntos importantes de la literatura, con objeto de ayudar al proyectista a encontrar

una solución que se ajuste a su problema.

Se presenta el método de la conexión por cortante para muros con una sola hilera

de aberturas con muros de diferente ancho, se inicia con la idealización de los muros

con aberturas. Las vigas que conectan a los muros son obstruidas por una conexión

continua o láminas separadas a una distancia dx, como se muestra en la figura 2.3.

El análisis consiste en discretizar la estructura en una serie de elementos o láminas

que conectan a los muros formando un medio continuo equivalente.

Algunos resultados obtenidos experimentalmente sobre modelos estructurales han

resultado congruentes con los obtenidos por medio de métodos numéricos,

prácticamente se trata de estudiar una viga en cantiliver y de evaluar los esfuerzos y

deformaciones que sufre, y por consiguiente las fuerzas que se transmitan en las

láminas de conexión.

En la figura 2.3 se observa que el espacio comprendido entre las aberturas

podemos considerarlo como un medio continuo de unión entre dos muros, con un

momento de inercia Ib y un módulo de elasticidad E, las láminas de conexión tienen

como característica (EIb/h) por unidad de longitud.

Se consideran las siguientes hipótesis:

a) Se supone que las láminas constituyen una conexión elástica y continua que

trabaja exclusivamente a fuerzas cortantes puras entre las secciones

adyacentes de los muros.

b) Se supone que existen puntos de inflexión en la línea central de las vigas de

conexión.

c) El momento en el muro, debido a cargas externas se distribuyen a las

secciones del muro en proporción a sus momentos de inercia.

d) Se desprecia la deformación axial de las vigas de conexión.

Con los principios y suposiciones anteriores se llega a una ecuación diferencial

ordinaria de segundo orden que representa al problema en estudio. Para un muro

con una hilera de aberturas, tenemos:

222

2

XTdX

Td βα −=− (2.6)

Donde: ∫=x

qdXT0

q = Fuerza cortante en el medio de conexión por unidad de longitud cortante, siendo

T la integral de la fuerza en el medio continuo de conexión, tomada desde el extremo

superior hasta el extremo inferior del muro.

44

El valor de α2 está dado por la relación: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

21

2

32 12

AAA

IhbIb lα (2.6)

Y Ihb

IbW 11221

3 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= lβ (2.7)

21 III +=

21 AAA +=

Entonces la solución de la ecuación diferencial ordinaria (2.6) es la siguiente:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−+= 22

4 21cosh

cosh12 XXXsen

HHHsenhT ααα

ααα

αβ

(2.8)

Una vez que la T ha sido determinada, la fuerza cortante Qi en cualquier viga de

conexión i, puede ser obtenida por la diferencia de T en dos niveles consecutivos a

una distancia h/2 arriba y debajo de la posición de la viga de conexión.

Conocido Qi se pueden calcular los momentos con: QibM21

= (2.9)

Ver figura 2.4

b

M

Qh/2

h/2

M = (12) Q b

Q

Figura 2.4 Cálculo de momentos en la viga de conexión

En cualquier nivel, la fuerza axial en los muros (tensión o compresión) es igual a T; y

los momentos flexionantes en los muros 1 y 2 están dados por las relaciones:

II

TWXM 12

211 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= l (2.10)

IITWXM 12

212 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= l (2.11)

45

La fuerza tomada por cada muro será proporcional a su rigidez y la valuación entre

los esfuerzos y deformaciones puede ser obtenida semigráficamente como se

expone más adelante.

Para los dos muros en la figura 2.5 a La distribución de esfuerzos finales M1 y M2,

y la fuerza axial T, se traza el diagrama de la figura 2.5 b. Se puede observar que el

esfuerzo máximo se presenta en los extremos de los muros, para el muro 1, se

puede valuar mediante las expresiones:

1

12

11

11

21

AT

ICTWX

AT

ICM

A +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+= lσ (2.12)

1

22

11

21

21

AT

ICTWX

AT

ICM

B +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=+= lσ (2.13)

La distribución de esfuerzos que se presentan en los muros es realmente la

superposición entre las aportaciones de la fuerza axial y los esfuerzos flexionantes,

esto es, considerando lo siguientes datos:

a) Los esfuerzos flexionantes se obtienen suponiendo que los muros actúan

como un solo cantiliver, el eje de las X esta situado en el centroide de ambos,

como muestra la figura 2.5 c.

b) Los esfuerzos lineales se obtienen suponiendo que ambos muros trabajan

independientemente, donde el eje X se encuentra en el centro de cada uno,

como se muestra en la figura 2.5 d.

46

d)

c)

b)

C1 C2

A

a)c.g

MURO 1A

D

c.g

B C

c.gB C

MURO 2D

ESFUERZO FINAL

=

+

ESFUERZOS PROVOCADOS POR LOS CANTILIVERES COMPUESTOS

ESFUERZOS PROVOCADOS POR EL CANTILIVER INDIVIDUALMENTE

Figura 2.5 Superposición de los esfuerzos en muros sujetos a flexión

Suponiendo que k1 es el porcentaje de carga soportada por un muro y k2 es el

porcentaje de carga soportado por el muro compuesto y considerando las dos

distribuciones de esfuerzos, tenemos:

a) Efectos provocados por el cantiliver compuesto. El momento flexionante total

en cualquier sección del muro está dedo por la expresión:

10021 22 KWX ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ (2.14)

Luego entonces los esfuerzos en las fibras extremas del muro pueden valuarse

mediante las expresiones:

10022

12

2 KCA

AI

WXA ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

′=

lσ (2.15)

10022

22

2 KC

AA

IWX

B ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

′=

lσ (2.16)

Donde I’ = Es el momento de inercia del cantiliver compuesto dado por la relación:

22121 l

AAAIII ++=′ (2.17)

Las expresiones presentadas son análogas para el muro 2, esto es: 47

10022

12

2 KCA

AI

WXC ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

′=

lσ (2.18)

10022

22

2 KCA

AI

WXD ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

′=

lσ (2.19)

Donde: 22121 l

AAAIII ++=′ (2.17)

b) Efecto considerando el muro individualmente. Como se mencionó

anteriormente la fuerza axial en las vigas de conexión son despreciadas.

Entonces los momentos flexionantes en los muros 1 y 2 están dados por las

expresiones:

10021 112

1K

IIWXM = (2.20)

10021 122

1K

IIWXM = (2.21)

Los esfuerzos en las fibras extremas en el muro 1 están dados por:

10021 112

1

11 KI

CWXICM

A ==σ (2.22)

10021 122

1

21 KI

CWXICM

B −==σ (2.22)

Para el muro 2 las ecuaciones son análogas.

Obtención del valor K2

La ecuación que establece la correspondencia entre esfuerzos para los cuatro

extremos del muro 1 y 2 se obtiene de la ecuación (2.8) y las expresiones para los

esfuerzos σA, σB, σC, σD, están en:

( )( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=2

2

22 2

1coshcosh

1200HXH

HXH

HXHsenh

HHHsenh

HXH

K αααα

αα

α

(2.23)

Y además: 21 100 KK −=

48

Las proporciones de la distribución de esfuerzos finales pone los muros compuestos

e individuales en cualquier posición son funciones de los parámetros α y de la

relación X/H. La gráfica 2.1 muestra la variación de k2.

k1 (%

de

acci

ón in

divi

dual

del

can

tiliv

er)

k 2 (%

de

acci

ón c

ompu

esta

del

can

tiliv

er)

420 11086

αH

1001614

1.0

2

80

40

0.75

120 0.5

20

60

0

-20

α/H=0.25

160

0.375

200

-60

-100

Gráfica 2.1 Variación compuesta de los factores de K1 y K 2

2.2.1.1.- Esfuerzos en las vigas de conexión.

La fuerza cortante por unidad de altura o longitud en el sistema equivalente de

conexión o láminas está expresada por la ecuación:

31 KHW

dXdTq

μl== (2.24)

Donde:

221

1l

IAAA

+=μ y HX

HHXHsenh

HXH

HHHHsenhK +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

=α

αα

αααα cosh

cosh3

En este caso la fuerza cortante depende de los parámetros μ y α y de la relación

X/H: la relación entre estos valores se puede graficar como se muestra en la Gráfica

(2.2).

49

Κ3

αH=30.3

0.3

0.1

Bas

e

0 0.20.1

0.2

αH=2αH=1

0.50.4 0.80.70.6

K'3810 16

5

Rad

io (1

-X/H

)

0.4

0.5

0.6

4

101.0

1

0.7

0.8

Altu

ra 0.94

16 8 5 2 3

Gráfica 2.2 Variación de los esfuerzos de la viga de conexión. Factor K3

El valor de la fuerza cortante máxima se valúa mediante la relación:

3max1 KHWq ′=μl

(2.25)

Donde es el valor del factor K3K ′ 3 evaluado precisamente donde ocurre el esfuerzo

cortante máximo y se conoce mediante la relación:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−−+

===HHsenhHHHHsenh

HWX

e αααααα

αε

coshcoshlog1 (2.26)

El valor de se traza con línea punteada en la gráfica 2.1. 3K ′

Deflexiones.

50La deflexión que se presenta en cada muro está dada por la relación:

lTWXdX

YdEI −= 22

2

21 (2.27)

Donde Y es la deflexión o desplazamiento en cualquier punto del muro expresada

por la relación dada.

Integrando y sustituyendo las propiedades de frontera la expresión para el

desplazamiento toma el valor:

( )( ) (

( ))

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−−+

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

HHXHXsenhHsenhH

HHX

HX

HX

EIWHY

αααααα

αμμ cosh1cosh

2

1211

21

31

41

21

42

2

24

(2.28)

En particular, el desplazamiento máximo en la parte superior se expresa por medio

de la relación: 4

4

max 81 K

EIWHY = (2.29)

La variación del factor K4 con los parámetros α H y μ se muestran en la gráfica (2.2).

Concluyendo:

El procedimiento del método lo podemos resumir de la siguiente forma:

a) Determinación de las características geométricas de muros y vigas de

conexión como A, I, μ y α H.

b) Cálculo de esfuerzos en cualquier altura de los muros (compuestos e

independientes), obteniendo K1 y K2, este último de la gráfica 2.1. Los

esfuerzos finales se obtendrán usando las ecuaciones (2.15, 2.16 y 2.22).

c) Cálculo de los esfuerzos en las vigas de conexión. Se obtienen las fuerzas

cortantes por unidad de longitud dada por la expresión (2.24), donde se usa la

51

gráfica (2.2). Se obtiene Q como se indico y finalmente el momento

flexionante máximo ya expresado o sea: QbM21

= .

d) Cálculo del desplazamiento máximo en la parte superior del muro, usando la

ecuación (2.29) y la gráfica (2.3) ó el desplazamiento en cualquier altura

usando la expresión (2.28).

μ=1.20.2

0 42α=Η

14

μ=1.0

1086 12

μ=1.1

16

Def

lexi

ón fa

ctor

k4

0.4

0.6

μ=1.4

μ=1.3

1.0

0.8

Gráfica 2.3 Variación de la deflexión K4.

Las curvas son generalmente usadas para cualquier forma que tenga la sección

transversal. Conocidos los esfuerzos podemos conocer los elementos, aun que esto

no sea necesario, ver figura 2.6.

52

bMM

QAQ

A'

X

Figura 2.6 Elementos mecánicos.

2.2.2.- Método del marco equivalente.

El empleo de esté método requiere del uso de programas de computadora y consiste

en incorporar las juntas finitas, es decir, las partes consideradas rígidas. En la figura

2.7 se muestra una idealización de algunos muros como marcos con juntas finitas.

Usando algunos de estos programas es posible analizar la mayor parte de las

formas de los muros de cortante. En particular las variaciones con la altura en el

piso inferior, las condiciones de cimentación, etc. pueden tomarse en cuenta sin

dificultad y sin que haya necesidad de hacer suposiciones simplificadoras que se

requieren cuando se emplea la solución de la conexión por cortante. El efecto de la

carga vertical excéntrica también puede tomarse en cuenta sin dificultad si se

incluyen las deformaciones axiales de la columna.

53

Porción rígida ( junta flexible).

(a)

Miembro flexible del muro.

Contorno del muro.(b) (c) (d) (e)

Figura 2.7 Idealización de marcos con juntas finitas.

Las suposiciones principales que se hacen en este método independientemente de

las correspondientes al comportamiento del material son:

a) Las juntas finitas son completamente rígidas.

b) Las partes flexibles pueden esquematizarse en forma elástica como

elementos lineales que se deforman axialmente por cortante.

Flexibilidad de la junta.- Evidentemente debe existir una región de transición entre

las juntas rígidas y las partes flexibles en la que ninguna suposición constituye un

enfoque adecuado. El efecto de la flexibilidad de la junta entre una viga y la cara de

una columna ha sido tratada por varios autores, Michael D., en su artículo llamado

“The effect of local walls conpled by breams”, recomienda que la longitud efectiva

de la viga se aumente en una cantidad igual a su peralte, con objeto de tomar en

cuenta el efecto de la junta, sin embargo posteriormente se presenta una expresión

para calcular la longitud equivalente.

Esta parece ser una buena corrección cuando la relación del ancho de la columna al

peralte de la viga es mayor de 3. En caso contrario, la corrección debe ser menor

que el peralte de la viga.

54

55

La deformación axial de las vigas puede despreciarse justificadamente, pero se ha

llegado a establecer una serie de programas que facilitan el estudio de este tipo de

estructuras, donde se pueden considerar todos los efectos a los que está sometida.

El uso de programas para computadoras actualmente ha resultado muy eficiente, ya

que cuentan con características de operación sencillas como:

a) Simplicidad y eficiencia.

b) Aplicación a casi todas las estructuras a base de muros sujetos a un esfuerzo

cortante.

c) No hay restricciones en cuanto a que se trate de muros con aberturas o sin

estas.

d) El método del marco equivalente es capaz de analizar cualquier tipo de carga

a la que este sometido el muro.

e) Obviamente, este método puede determinar los elementos mecánicos

provocados por las fuerzas verticales a los que está sometida dicha

estructura.

Cuando hacemos programas de computadora es importante comprobar que la

forma de la estructura no produzca inexactitudes en la solución de las ecuaciones

resultantes.

Esto puede suceder cuando la diferencia en la rigidez en las distintas partes de la

estructura es grande, por ejemplo, cuando se da a ciertos miembros valores finitos

elevados con objeto de simular “rigidez finita” o cuando la estructura es muy

grande. Los malos resultados que se obtienen cuando se comprueba el equilibrio de

la estructura son causa normalmente de un mal comportamiento que esta en

función de un número de errores en las ecuaciones empleadas en los cálculos así

como de la forma de la estructura.

El comportamiento bajo cargas laterales en combinación con la rigidez de las losas

de los pisos provocan que las fuerzas de interacción no sean uniformes cuando

tenemos muros y marcos, lo que dificulta aún más el análisis.

56

Para el análisis normalmente se consideran las losas de los pisos como

completamente rígidos dentro de sus propios planos, puede tomarse la deformación

en el plano de la losa, pero rara vez ésta es importante.

Si la planta de la estructura es asimétrica, o si las unidades rígidas verticales están

cerca de la estructura, deberá tomarse en cuenta el efecto de torsión. Algunos

reglamentos para tomar en cuanta el efecto del los sismos requieren que las

estructuras resistan una carga de torsión especificada aunque la carga lateral

aplicada teóricamente no cause torsión.

2.2.2.1.- Longitud Equivalente.

Las características especiales que presenta una estructuración a base del muro y

marcos interconectados, consiste esencialmente en dos problemas básicos, por una

parte existen elementos de gran rigidez como son los muros, y por otra una

estructuración a base de marcos formados por columnas y losas de rigidez

relativamente muy baja.

A continuación se presenta un método sencillo considerando la influencia que existe

entre un marco y un muro de cortante interconectado, la figura 2.8 muestra el caso

que se expone.

Consideremos un muro rígido A ligado a la columna C por medio de la viga (ó losa)

B, ver figura 2.8 a, sujeto a un sismo, el muro efectúa un giro, mismo que provoca

en el nudo articulado de unión muro-viga un desplazamiento y un giro, que motiva

lógicamente una deformación en la viga B con el subsecuente efecto en el nodo

viga columna.

L

c)M'f

L-L'

M' M''

L'Mf

M'

b) I

Mf

LL'

a) A CB

f) x1

Lequi

M

L'

R1

e) MfEI

d)

L

z

ba c

M''EIM'fEI

L-L' L'

MfEI

MEI

L1 L2

I=∞

L-L' L'

Figura 2.8 Diagramas para determinar el claro equivalente de un marco.

El cambio súbito de sección transversal implica una variación entre los momentos

de inercia y propiedades físicas de cada segmento, son variantes que deberán

tomarse en cuenta en el análisis.

Con el fin de conseguir una distribución de esfuerzos aproximadamente uniforme, la

resistencia del elemento (área y momento de inercia) requiere que siga tanto como

sea posible la misma variación de las fuerzas internas.

Consideramos una viga apoyada en un extremo y empotradas en el otro, con un

tramo de inercia infinita (equivalente al muro rígido) y resto de la inercia real de la

viga B, como se muestra en la figura 2.8 b.

En el punto a existe un desplazamiento y un giro como ocurre en el nodo muro-viga

de la figura 2.8 b. Sea M’ un momento aplicado en el extremo b, momento que existe

en el centro del muro cuando actúan las fuerzas sísmicas. Este momento ocasiona

un momento M’’ en el punto a y un momento Mf en e l extremo c. Una vez que se

hayan determinado al marco idealizado con el claro equivalente, estos momentos M

y Mf serán los aplicados en los extremos de dicho marco.

57

Obteniendo el valor de Mf en función de M, entonces de la figura 2.8 c se tiene:

LMf

LLfM

=−′

; ( LLL

MffM ′−=′ ) (2.30)

De las Figuras (2.8 c) y (2.8 e):

( LLL

MfMfMMM ′−−′′=′−′′=′ ) Por lo tanto ( LLL

MfMM ′−+′=′′ ) (2.31)

Por medio del método de la viga conjugada representamos la figura 2.8 d y haciendo

suma de momentos con respecto al punto z. 0=∑ ZM , tenemos:

032

2231

2=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′−+′

′−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′−+

′′−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′−+′

′′LLLfMMfLLLfMLLLM (2.32)

Sustituyendo la ecuación (2.30) y (2.31) en la (2.32).

( )( )

( )0

32

2231

2=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′−+′

′−−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′−+

′′−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′−+′

′−+′LLL

LLL

MfMfLLLLL

LMfLLL

LLL

MfM

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 032

2

231

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′−+′

′−−−

−′′−+′−−′−−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′−+′⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ′−+′

LLLL

LLMfLMfL

LLLL

MfLLLL

MfLLLL

MfLLLL

LLMfLM

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 02

232

2

22231

2

=′⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′−−

+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′−−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

′−−−

′′−+′−−

−′′−

−′′++

−′−+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

′−+′

LL

LLMfMFL

LL

LLMfMfLLL

LLMfMfLL

LLLMfLLMf

LLLLMfL

LLLMfMLL

LLLMfMLL

LLLMfLM

( ) ( ) ( ) 023

123

22

=′−−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

′−++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

′−+−

LLMfMfLLL

LLMfMLLL

LLMfMfL

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0222

232

32

3321

=′−

+−′′−−′′−

+

++⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′′−+

′′−−

′−

′′−−

′

LLMfMfLLLLMfLLLMf

MLLLLMfLLLMfLMLLLLMfLMfLL

58

( ) ( ) ( ) ( ) 0222226

262

=′−

+−′−

−+′′−

+′

−′

+′′−

−LLMfMfLLLMfML

LLLLMf

LLML

LLMfL

LLLLMf

02236

=−+′

−′ MfLMLLMLMf

2623MfLLMfMLLM

+′

−=+′

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

′−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

′−

2623LLMfLLM

63

623

62

32LL

LLM

LL

LLMMf

′−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′−

=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

−=

MLLLLMf′−′−

=3

23 (2.33)

Una vez obtenido Mf se define el valor del giro en el punto a, figura 2.8 b que es

igual al giro del punto b.

Cargando la viga con el diagrama de momentos entre eI se tiene el arreglo mostrado

en la figura 2.8 e, tomando en momentos con respecto a X tenemos.

032

232 21122

1 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ LLL

EIML

EIMfLLR (2.34)

De la figura 2.8 e 1L

EIM

LEIMf

EIM

=′

+

EIMf

EIM

EILM

L+

′

=1 (2.35)

MfMLML

+′

=1 , luego , 21 LLL +=′ 12 LLL −′=

Sustituyendo L1 tenemos: MfM

LMLL+

′−′=2 , ( )

MfMLMLMfML

+′−′+

=2

MfMLMLMfLML

+′−′+′

=2

59

MfMLMfL

+′

=2 (2.36)

032

2321 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

′

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛+

′

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛+

′+

′

+MfM

MfLMfM

LMMfMLM

EIMMfM

LMf

EIMfMLMfMf

LR

( ) ( )( ) ( ) 0

33236

2

2

23

1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

′+′+

′−

+

′+

MfMLMfLM

MfMLM

MfMLMfEILR

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

033

66 2

22

2

2

2

23

1 =+

′−

+

′−

+

′+

MfMLMfM

MfMLM

MfMLMfEILR

( ) ( ) ( ) ( )( )2

222323

1326

MfMLMfMLMLMfEILR

+

′−′−′+

( ) ( ) ( ) ( )( )2

222323

1 632

MfMEILLMfMLMfLMR

+

′+′−′= (2.37)

Sustituyendo la ecuación (2.33) en (2.37)

( ) ( ) ( )2

2223

23

1

3236

3233

3232

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

′+′−

+

′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′−′−

+′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′−′−

−′=

MLLLLMEIL

LMLLLLMLM

LLLLLM

R

( ) ( ) ( )( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′−′−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′−′−

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−′−′+′⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

′−′−

−′=

22

22

23233

23

1

323

32326

3233

3232

MLLLL

LLLLMMEIL

LLLLLMLMM

LLLLLM

R

( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−′−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′−′−

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′−′−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′+′−

−′

= 2

3

2

1

323

32321

3233

3232

6LLLL

LLLL

LLLL

LLLL

EILLMR (2.38)

Refiriéndose al caso equivalente figura 2.8 f, se tiene que el giro en el extremo “X”

está dado por:EI

MLequi

4=θ (2.39)

Igualando la ecuación (2.38) y (2.39) y despejando Lequi tenemos:

60

2

3

323

32321

323

32332

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′−′−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′−′−

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′−′−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′−′−

+=

LLLL

LLLL

LLLL

LLLL

Lequi (2.40)

2.2.2.2.- Longitud equivalente para un marco con aberturas.

Análogamente al caso anterior, la figura 2.9 representa el caso de un muro con

aberturas, como en la solución presentada para el caso muro-marco, haremos uso

del método de la viga conjugada, partiremos de considerar que un muro con

aberturas puede ser tratado como un marco compuesto por vigas de sección

variable con tramos de rigidez infinita y tramo central con cierta rigidez.

Consideramos dos columnas rígidas ligadas por medio de una viga como muestra la

figura 2.9 a.

Ante la presencia de un sismo, el muro provoca un giro ocasionado por la presencia

del momento M1 dando lugar con esto a la deformación del muro. La figura 2.9 b

ilustra este efecto, así como su idealización.

Igual que en el caso anterior, el cambio repentino de sección varía las propiedades

físicas del elemento por lo que aquí se trata de tomar en cuenta este efecto. Se

considera una viga doblemente empotrada, representada equivalentemente en la

figura 2.9 b.

61

b)M1

a)

I

B

L

I=∞ I=∞L-L'2L'

L-L'2

zM''1M'1

VIGA CONJUGADA

M''1

e) M1

M'1

R1

f)

Figura 2.9 Diagramas para determinar el claro equivalente de un marco con

aberturas.

Cargando la viga conjugada con el diagrama de momentos flexionantes sobre EI,

tenemos:

Suma de momentos con respecto a z de la figura 2.9 d

( ) 023

2222 1111 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′−

+′′

′′−′+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′−

+′

′′′+LLLLMMLLLLMLEIR

( ) 06

33422 1111 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′−+′

′′−′+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛′′′+

LLLLMMLLMLEIR

( ) 06

322 11

11 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′+′

′′−′+′′′

+LLLMM

LLMLEIR (2.41)

De la figura 2.9 c tenemos:

2

11

LLL

ML

M−

+′

′=

22

11

LLLM

LM

′−+′

=

LLM

LM

′+′

=′ 12

( )L

LLMM

21

1

′+=′ (2.42)

62

Luego:

L

MLL

M 11

2

=′−

′′,

LM

LLM 112

=′−

′′,

( )L

LLMM

21

1

′−=′′ (2.43)

Sustituyendo las ecuaciones (2.42) y (2.43) en (2.41) tenemos:

( )( ) ( )

06

32222

2 11

1

1 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′+′

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′−

−′+

+′

′−

+LLL

LLLM

LLLMLLL

LLM

LEIR

( )0

63

22411111

1 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′+′

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′+−′+

+′′−

+LLL

LLMLMLMLM

LLLLLMLEIR

( )0

63

24111

1 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′+′

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

+′′−

+LLL

LLMLLMLMLEIR

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

123

4

21

21

211

1 =′′+′

+′−′

+L

LLMLLMLMLLMLEIR

( ) ( ) ( )0

12444

31

21

211

1 =′

+′

+′

−′

+LLMLMLMLLMLEIR

( )0

123 3

12

11 =

′+′+

LLMLLMLEIR

( )2

31

21

1 123

EILLMLLMR

′+′−=

( )( )2

321

1 123

EILLLLMR

′+′−= , ( ) θ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′+′−= 2

321

1 43

3 LLLL

EIM

R (2.44)

Luego si: EI

MLequi

4=θ .

Sustituyendo: ( )

( ) EILM

LEILLLM equi

4433 1

2

321 =

+′

La longitud equivalente será: ( )2

32

33

LLLLLequi

′+′=

Conocida la longitud equivalente de las barras dadas por las fórmulas 2.40 y 2.45, la

matriz de rigideces del sistema estructural habrá que afectarla.

Se puede concluir este método resumiéndolo de la siguiente manera:

a) Análisis de muro con aberturas idealizadas como marcos con juntas finitas

como las ilustradas en las figuras (2.7 a, b, e y f).

63

b) Idealizaciones de marcos con juntas finitas pero usando longitudes

equivalentes.

c) Idealización de marcos comunes usando rigideces equivalentes en las trabes.

Stanfford smith ha calculado un momento de inercia equivalente I’ = KI como

función de I.

Donde: ILcI

321 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=′ y

321 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

LcK

Siendo c el semiancho del muro.

La consideración de este coeficiente K tiene la ventaja de permitir el uso de

programas de computadora estándar para el análisis de marcos sin incluir elementos

infinitamente rígidos.

2.2.3.- Método del elemento finito.

El método del elemento finito consiste en subdividir un medio continuo en un cierto

número de elementos, de tal forma que el método consiste en estudiar los diferentes

tipos de elementos finitos. Los elementos que comúnmente se han estudiado son:

elemento barra (problemas unidimensionales), elemento triangular (problemas

bidimensionales) elemento rectangular (placas y muros), elementos volumétricos

(problemas tridimensionales), etc.

Una vez dividida la estructura en cualquiera de estos elementos, o incluso en una

combinación de estos, se determinan las propiedades elásticas y cinéticas a partir

de las cuales se obtienen las ecuaciones necesarias que definirán los elementos

mecánicos.

El desarrollo de los métodos matriciales y numéricos usados en la elaboración de los

diversos programas de computadora para el cálculo estructural nos facilita el análisis

de estructuras complejas. El dominio del manejo de programas estructurales hace

que el análisis de estructuras complejas sea relativamente sencillo.

64

Es de esperarse que el método permita plantear y resolver las ecuaciones que

gobiernan el equilibrio y la continuidad de la estructura, así que con el advenimiento

del método, el de los métodos numéricos, matriciales y el de los programas de

65

cálculo estructural, es relativamente sencillo desarrollar soluciones numéricas

eficientes, de tal forma que se pueda sistematizar su solución.

Dentro las características de la estructura se deben considerar las siguientes:

a) La estructura puede tener cualquier geometría, lo que es factible de

modelar con la combinación de los diferentes tipos de elementos como

vigas, columnas, muros, etc.

b) Cada elemento finito debe estar constituido por un solo material, pero

puede haber tantos materiales como elementos considerados.

c) En el caso de los muros con aberturas, las cargas directas pueden

actuar en cada nudo de la estructura mostrado anteriormente.

d) Las cargas debidas al peso propio del muro se calculan en el programa.

e) Las características de la sección transversal de la viga se especifican

en el programa, así como los cambios de sección debido a las

idealizaciones y suposiciones hechas.

f) Las condiciones de frontera de la viga se considera empotrada.

g) Tiene la opción de calcular las rigideces de piso.

h) Se pueden considerar varias condiciones de carga para una estructura.

i) Finalmente al analizar la estructura , del programa debemos los

siguientes datos:

1. Desplazamientos nodales.

2. Elementos mecánicos de cada barra como fuerza axial, fuerza

cortante y momento flexionante, en los dos extremos de la barra, y

aun incluso en puntos intermedios considerados en algunas

idealizaciones.

3. Diagrama de fuerza cortante y momento flexionante.

4. Esfuerzos en el centroide del elemento finito.

Los muros no son estructuras aisladas, sino que forman parte de edificios. El hecho

de analizarlas por separado implica hipótesis en el análisis de edificios,

especialmente en el caso de solicitaciones sísmicas en donde todos los elementos

de la estructura deberán trabajar en conjunto.

El subdominio del elemento finito debe ser tal que quede limitado en todos sus

puntos nodales, tomando como espesor el del muro. El tamaño de elementos

depende del grado de exactitud deseada. Una de las ventajas de este método es

que los elementos finitos que componen el marco equivalente son bidimensionales y

conectan más de dos puntos nodales; mientras que por ejemplo en el caso del

marco equivalente los elementos son lineales y conectan dos puntos únicamente.

Sin embargo en el caso del marco equivalente se puede usar un programa estándar

de computadora e incluso puede hacerse a mano si fuera preciso.

Normalmente los elementos con esfuerzos planos tienen dos grados de libertad en

los puntos de los nodos, (correspondientes a las transiciones en las direcciones de

las coordenadas) figura 2.10. Pero se ha elaborado un elemento triangular con

esfuerzo plano y 6 grados de libertad por nodo, que en ciertos problemas de muros

de cortante puede ser ventajoso un grado de libertad rotacional en los puntos

nodales.

PUNTOS NODALES

ELEMENTOS RECTANGULARES

REFINAMIENTO DE LA MALLA USANDO CUADRILATEROS Y TRIANGULOS COMO ELEMENTOS

ABERTURAS

ELEMENTO EN FLEXION

Figura 2.10 Idealización del muro con aberturas con elementos finitos.

66

2.2.4.- Análisis con programas computacionales.

Otra forma de analizar estructuras con muros de cortante ó acoplados es el empleo

de programas computacionales, gracias a su gran eficiencia, precisión y rapidez son

la mejor herramienta para la solución de este tipo de problemas analíticos. La

mayoría de ellos emplean el Método del Elemento Finito para la solución de

elementos estructurales de cualquier sección o forma con una amplia capacidad de

discretización, es decir, cada elemento que forme parte de una estructura puede ser

subdividido en elementos finitos de una manera considerable dependiendo de la

precisión de los resultados que se desee.

A continuación se mencionan algunos de los principales programas computacionales

con mayor demanda para el análisis de estructuras:

• SAP2000: PROGRAMA INTEGRADO DE ANÁLISIS Y DISEÑO ESTRUCTURAL.

El programa SAP2000 representa el estado del arte el tema de análisis

tridimensional de estructuras con elementos finitos. SAP2000 es un programa

completamente compatible con Windows 95/98/NT/2000, y ofrece una interfase

gráfica amable además de los últimos avances en procedimientos analíticos.

Este software se consigue en tres diferentes modalidades:

No lineal

Plus

Standard

67

• ETABS: PROGRAMA DE ANÁLISIS Y DISEÑO LINEAL Y NO LINEAL, ESTÁTICO Y DINÁMICO DE EDIFICACIONES.

Sofisticado sistema de análisis 3-D y diseño para estructuras de edificaciones. La

entrada y salida de información, al igual que las técnicas numéricas de solución se

han diseñado específicamente para aprovecharse las características físicas

asociadas a los diferentes tipos de estructuras de edificaciones. ETABS ofrece una

interfase gráfica al estilo de Windows, un modelador y un post-procesador para ver

todos los resultados.

Este software se consigue en dos diferentes modalidades:

No lineal

Plus

• SAFE: PROGRAMA PARA EL DISEÑO DE LOSAS Y SÓTANOS.

SAFE con base en el método de elementos finitos, ofrece exactitud y flexibilidad que

no se pueden obtener con cálculos a mano ó programas similares.

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Métodos tradicionales para el análisis de losas puede llegar a ser fastidioso y

demorados, y a menudo son inaplicables para modelos geométricos muy complejos

ó de cargamentos. SAFE a diferencia de un programa de uso general que maneje

elementos finitos que tenga la capacidad de manejar modelos complejos, ofrece

resultados útiles para el ingeniero estructural, además de ser más cómodo y fácil de

utilizar.

• CADRE Pro

Es un programa Windows™ 98/NT/2000/XP que resuelva estructuras

tridimensionales por el método de elementos finitos. El objetivo fundamental de

CADRE Pro es entender y predecir el comportamiento de estructuras sometidas a

cargas.

Tipos de elementos incluidos:

Vigas de sección constante Vigas de sección variable Vigas articuladas Elementos cable a tensión Resortes Vigas con deformación por cortante Placas triangulares con esfuerzo plano Placas triangulares con esfuerzo plano y esfuerzo fuera del plano. Elementos barra a compresión Elemento de línea (sin propiedades) Elemento de viga con nodos 'offset'

Con estos elementos la mayoría de las estructuras como armaduras, casas,

puentes, torres eléctricas y elementos mecánicos pueden modelarse. CADRE Pro se

adapta fácilmente a cualquier combinación de modelado de vigas y placas para

formar la estructura deseada.

Las vigas articuladas se pueden definir con un grado de restricción desde

totalmente articuladas (libres) hasta totalmente restringidas, y puede especificarse

una rigidez intermedia. La viga con sección variable puede definirse inicialmente con

sólo las propiedades de los extremos y luego dividirse en segmentos manteniendo la

continuidad de la variación de la inercia.

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Elementos placa: CADRE Pro tiene una placa triangular en dos dimensiones para

esfuerzo plano que está especialmente diseñada para integrarse a marcos

estructurales tridimensionales o para soluciones de problemas de dos dimensiones

de esfuerzo plano. Una malla cuadrilateral de placas simulando un muro,

recubrimiento, etc, puede instalarse automáticamente entre 4 nodos seleccionados.

Viga de Caja

Tanque de petróleos con cargas de nieve Placa con orificio sometida a presión.

Figura 2.11 Estructuras discretizadas en elementos finitos.

• Structural Mechanics: Tratamiento simbólico de sistemas de elementos finitos (requiere Mathematica).

Este flexible entorno interactivo dirigido principalmente a profesionales, profesores y

estudiantes del área de la ingeniería permite focalizar nuestro esfuerzo en el diseño

y análisis de elementos estructurales (pudiendo olvidarnos de los detalles

computacionales). Structural Mechanics no representa un remplazo de las caras y

enormes aplicaciones FEA.

70

71

Sin embargo es una aplicación fácil de usar que permite al usuario experimentar,

obtener nuevas ideas o preprocesar problemas antes de volcarnos en un entorno

computacional de modelado de elementos finitos (que generalmente requieren un

consumo computacional y de tiempo mayor). Structural Mechanics requiere

Mathematica 3 o 4 y está disponible para Windows 95/98/Me/NT/2000, Mac OS, Mac

OS X, Linux y la mayoría de plataformas Unix.

• STADD PRO.

STAAD/Pro 2004 es el resultado de más de veinte años de experiencia en

la ingeniería de programas estructurales; por ello y debido a sus altos

estándares de calidad se ha convertido en el programa #1 alrededor del

mundo en el diseño y análisis de estructuras. STAAD/Pro 2004 cubre

todas las necesidades de la oficina de ingeniería de estructuras.

Las facilidades del STAAD/Pro 2002 incluyen Generación de Modelos,

Diseño y Análisis Avanzado de Elementos Finitos.

Características generales del STAAD.Pro 2002: • Análisis en 2D y 3D basado en el

método de las matrices.

• Vigas, cerchas, vigas adelgazadas, conchas/placas. • Generación de carga por

vientos según la ASCE. • Relajamiento de momento.

• Miembros de sólo compresión o tensión. • Totalmente compatible con Windows

2000 y ME. • Introducción de datos compatible con Excel y Lotus 1-2-3.

• Asistente para crear mallas con huecos y superficies curvas.

Diseño del concreto:

• Diseño del concreto según ACI 318 y de zapatas por ACI.

Diseño del acero:

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• Tablas de acero incluyendo AISC y muchas otras más. • Diseño de la soldadura

según AISC-ASD Sólo en STAAD.Pro 2004.

• Nuevos códigos IBC2000, AISI de acero en frío, AASHTO 2000, y códigos de

diseño de soldadura.

• Análisis no lineales de cables.

• P-Delta para placas.

• Módulos de cargas para puentes.

• Calculadora integrada de propiedades de secciones.

Verificación de los resultados:

• Movimiento de doblado y de la fuerza cortante de miembros individuales y de la

estructura completa.

• Animación de deflexión, modo de vibración y esfuerzos de contorno.

• Gráficos de desplazamiento Vs. tiempo, velocidad Vs, tiempo; aceleración Vs.

tiempo para análisis dinámico.

Análisis dinámico:

• Extracción de frecuencia y modo de vibración.

• Espectro de respuesta y análisis histórico.

• Radio de amortiguación para modelos individuales.

• Combinación de cargas estáticas y dinámicas.

Tipos de carga y generación de cargas:

• Cargas en uniones.

• Cargas sísmicas, UBC 1997/AIJ/IS1893.

Adicionalmente STAAD.Pro 2004 le ofrece módulos opcionales en el diseño de

componentes, totalmente integrado con STAAD.etc.

Los cálculos estructurales pueden ser exportados a través del lenguaje CIMSteel a

StruCad para la realización de planos de taller y cortado de piezas con StruCam y

StruCad.

Figura 2.12 Topología de estructuras y representación de esfuerzos en placas.

• StruCad

En StruCad, Ud. crea un modelo tridimensional de la estructura de acero en un

entorno de grillas de simple uso. Ud. puede seleccionar tamaños de miembros de

catálogos de secciones existentes o propias del cliente y generar planos de taller de

estructura metálica.

73

74

Las conexiones pueden ser aplicadas de nuestra amplia librería de programas de

conexiones paramétricas o creadas en el poderoso entorno interactivo de StruCad.

Del modelo Tridimensional Ud. puede crear:

Detalles completos de fabricación

• Plantillas de tamaño natural • Planos de arreglos generales totalmente detallados • Planos de erección • Códigos de corte de piezas para equipos CNC • Lista de materiales totalmente adaptable

• Tricalc10 muros resistentes por elementos finitos.

MADRID (12.04.99) - Arktec acaba de presentar su nuevo programa Tricalc.10, de

cálculo, armado y comprobación de muros resistentes, cuyas principales

características son:

Muros resistentes de hormigón, de ladrillo y de otros materiales, con cálculo y

armado de muros de hormigón y cálculo y comprobación de muros de ladrillo, de

bloques de hormigón y de otros materiales, mediante elementos finitos.

Cálculo conjunto e integrado de los muros resistentes con los demás elementos

de la estructura, como barras de acero y de hormigón, forjados unidireccionales,

reticulares y de losa maciza y zapatas, vigas y losas de cimentación, en un mismo

programa con todas las prestaciones diferenciales de Tricalc.

Huecos interiores en los muros, uniones e intersecciones de muros en cualquier

ángulo, muros con distintos espesores en cada planta y muros con discontinuidades.

75

Cargas según cualquier vector, superficiales, lineales, puntuales y momentos;

cargas de presión del terreno y fluidos y consideración automática del peso propio.

Gráficas de isovalores, con momentos, cortantes, axiles y desplazamientos de los

muros, mediante iso-áreas e iso-líneas.

Planos de despiece de armaduras y cortes transversales con armadura seccionada.

Detalles constructivos en DXF con las uniones entre muros y otros elementos.

Tricalc.10 calcula muros resistentes de hormigón, ladrillo, bloques de hormigón y

otros materiales, de forma conjunta con el resto de la estructura, mediante el método

de los elementos finitos.

La definición se realiza desde cualquier plano o globalmente, indicando las

características del mismo.Es posible modificar la geometría de muros ya definidos,

así como introducir huecos en los mismos.En cualquier momento se puede modificar

el material de un muro determinado.

Los muros resistentes se integran tanto con barras de hormigón como con barras metálicas. La visualización en modo sólido de la estructura muestra la dimensión y material de los muros definidos. En muros resistentes se pueden introducir cargas de diferentes tipos, según cualquier dirección, incluso cargas producidas por terreno y presión de fluidos. Para definir una carga lineal, por ejemplo, se indica su valor, dirección e hipótesis en la que actúa. Se puede definir la carga producida por terrenos especificando el tipo o sus características.

Es posible considerar al mismo tiempo o separadamente la presión hidrostática en el muro. Los esfuerzos, desplazamientos y tensiones de los muros resistentes pueden analizarse mediante listados y gráficas de diferentes tipos. Es posible analizar los desplazamientos en cada punto del muro o visualizarlos de forma gráfica. Con las gráficas de isovalores se obtienen, mediante un código de colores, las tensiones de los muros. Las gráficas pueden visualizarse mediante isoáreas o isolíneas. Tricalc genera planos con despiece de armadura de los muros resistentes de hormigón, de forma conjunta con los planos del resto de la estructura. Los planos de armado contienen la información que se defina por el usuario. Tricalc genera secciones de muros resistentes de la misma forma que los cortes en forjados. Los planos de los muros resistentes se componen junto a los del resto de la estructura.

Figura 2.13 El módulo Tricalc.10 permite calcular muros resistentes de cualquier material por elementos finitos, con cualquier orientación en planta,

incluso con huecos y lados inclinados

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Capítulo 3

Uso e Interpretación de las N.T.C. 2004 del R.C.D.F. para el diseño de Muros de

Concreto Reforzado. De acuerdo a los disposiciones y consideraciones complementarias de los principios

básicos de diseño establecidos en el Titulo Sexto del Reglamento de Construcción para

el Distrito Federal y en las Normas Técnicas Complementarias Para Diseño y

Construcción de Estructuras de Concreto 2004., sobre Criterios y Acciones para el

Diseño Estructural de las edificaciones ubicadas dentro de dicha entidad federativa. Se

hace mención y citado de los artículos ó incisos referentes al tema: 6.5 Muros, que

cumple con el propósito de esta Tesis: Diseño de Muros de Concreto en edificaciones ó

estructuras que dispongan de dicho sistema estructural.

3.1.- Interpretación de los artículos referentes al tema. A continuación se hace mención de todos y cada uno de los incisos que tratan el tema de

Diseño de Muros de Concreto. La secuencia y numeración de los temas es la misma que

manejan las N.T.C. Concreto., complementándolos con las secciones de cada una de las

referencias citadas en dichos incisos, estas secciones están a continuación de donde son

citados y están escritos con diferente tipo de letra. Además se interpretan y se ilustran

gráficamente.

3.1.1.- Condiciones generales para el diseño de muros. 6.5 (N.T.C concreto).- Muros.

En edificios con muros de concreto perimetrales en la cimentación de mucha mayor

rigidez que los superiores, y con losas de sótano que se comportan como diafragmas

rígidos en su plano, la altura total del muro, Hm, y la altura crítica, Hcr , definida en la

sección 6.5.2.2, se medirán desde el piso de la planta baja.

De acuerdo a lo anterior, se define Hm como la altura total del muro medida a partir del nivel de empotramiento o desplante y la restricción de la losa diafragma en la parte superior, y así consecutivamente para los muros en niveles superiores. En la figura 3.1 se ilustra una estructura con muros de cortante y cimentación a base de muros de concreto perimetrales con losas de sótano, mostrando así la ubicación de

Hm y Hcr.

Muro de cortante

Hcr

Hm

Hcr

Hm

N-1

NTN.

Muro de cimentación

Hcr

A'

Muro de cortante

Hm

CORTE A-A'

Hcr

Cim

enta

ción

Losa de cimentación

Hm

Vigas

Losa diafragmaN-2

A

t = espesor del muro

Columnas

Figura 3.1 Estructura con muros de cortante y muro de cimentación rígido.

78

79

3.1.2.- Diseño de muros con cargas verticales o excéntricas.

6.5.1 (N.T.C concreto).- Muros sujetos solamente a cargas verticales

axiales o excéntricas.

Estos muros deben dimensionarse por flexocompresión como si fueran columnas,

teniendo en cuenta las disposiciones complementarias de las secciones 6.5.1.1 y 6.5.1.2.

6.5.1.1 (N.T.C concreto).- Ancho efectivo ante cargas concentradas.

Si las cargas son concentradas, se tomará como ancho efectivo una longitud igual a la de

contacto más cuatro veces el espesor del muro, pero no mayor que la distancia centro a

centro entre cargas.

6.5.1.2 (N.T.C concreto).- Refuerzo mínimo.

Si la resultante de la carga vertical de diseño queda dentro del tercio medio del espesor

del muro y, además, su magnitud no excede de 0.3 f’c Ag, el refuerzo mínimo vertical del

muro será el indicado en la sección 5.7, sin que sea necesario restringirlo contra el

pandeo; si no se cumple alguna de las condiciones anteriores, el refuerzo vertical mínimo

será el prescrito en la sección 6.2.2 y habrá que restringirlo contra el pandeo mediante

grapas.

El diseño de este tipo de muros depende esencialmente de la forma en que actúan sobre el las cargas, es decir, cargas concentradas o uniformemente distribuidas las cuales a su vez pueden ser excéntricas o actuantes en el tercio medio de su espesor. Otro punto importante que se debe tomar en cuenta es la magnitud de dichas cargas, ya que de esto depende el espesor del muro y la volumetría del acero de refuerzo. En la figura 3.2 se muestran muros sujetos a fuerzas axiales concentradas y excéntricas, también un armado del alma del muro con el refuerzo mínimo especificado en la sección 5.7 N.T.C. concreto y la restricción contra el pandeo mediante grapas.

Pandeo lateral (Flexocompresión)

t3 (Tercio medio)

t Grapas # 3 @ 25 cm(Resticción contra pandeo)

As min (5.7 N.T.C. concreto)

t

t

t

t3

Pu (CargaConcéntrica)

Ancho Efectivo

L (Ancho del muro)

Pu (CargaExcéntrica)

(L contacto + 4 t)

PuPu

Figura 3.2 Muros sujetos a fuerzas axiales, localización del ancho efectivo y armado mínimo restringido contra pandeo.

6.2.2 Refuerzo mínimo y máximo La cuantía del refuerzo longitudinal de la sección no será menor que 2/fy (fy en MPa, o 20/ fy, con fy en kg/cm²) ni mayor que 0.06. El número mínimo de barras será seis en columnas circulares y cuatro en rectangulares. El refuerzo mínimo horizontal será el que se pide en la sección 5.7. 5.7 Refuerzo por cambios volumétricos En toda dirección en que la dimensión de un elemento estructural sea mayor que 1.5 m, el área de refuerzo que se suministre no será menor que: Donde:

( )1000660

1

11 +

=xf

xay

s (5.3)

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=

100660

1

11 xf

xay

s

as1= área transversal del refuerzo colocado en la dirección que se considera, por unidad de ancho de la pieza, mm²/mm (cm²/cm). El ancho mencionado se mide perpendicularmente a dicha dirección y a x1; y x1= dimensión mínima del miembro medida perpendicular - mente al refuerzo, mm (cm). Si x1 no excede de 150 mm, el refuerzo puede colocarse en una sola capa. Si x1 es mayor que 150 mm, el refuerzo se colocará en dos capas próximas a las caras del elemento. En elementos estructurales expuestos directamente a la intemperie o en contacto con el terreno, el refuerzo no será menor de 1.5 as1

80

81

Por sencillez, en vez de emplear la fórmula anterior puede suministrarse un refuerzo mínimo con cuantía igual a 0.002 en elementos estructurales protegidos de la intemperie, y 0.003 en los expuestos a ella, o que estén en contacto con el terreno. La separación del refuerzo por cambios volumétricos no excederá de 500 mm ni de 3.5 x1 Debe aumentarse la cantidad de acero a no menos de 1.5 veces la antes prescrita, o tomarse otras precauciones en casos de contracción pronunciada (por ejemplo en morteros neumáticos) de manera que se evite agrietamiento excesivo. También, cuando sea particularmente importante el buen aspecto de la superficie del concreto. Puede prescindirse del refuerzo por cambios volumétricos en elementos donde desde el punto de vista de resistencia y aspecto se justifique. 3.1.3.- Diseño de muros sujetos a flexión en su plano.

6.5.2 (N.T.C concreto).- Muros sujetos a fuerzas horizontales en su plano

6.5.2.1 (N.T.C concreto).- Alcances y requisitos generales

Las disposiciones de esta sección se aplican a muros cuya principal función sea resistir

fuerzas horizontales en su plano, con cargas verticales menores que 0.3 f’c Ag, con

relación L/t no mayor de 70 (donde L es la longitud horizontal del muro y t es el espesor

del muro). Si actúan cargas verticales mayores, la relación L/ t debe limitarse a 40 y se

aplicará lo dispuesto en las secciones 6.5.1 y 2.3. El espesor de estos muros no será

menor de 130 mm; tampoco será menor que 0.06 veces la altura no restringida

lateralmente, a menos que se realice un análisis de pandeo lateral de los bordes del muro,

o se les suministre restricción lateral. En construcciones de no más de dos niveles, con

altura de entrepiso no mayor que 3 m, el espesor de los muros puede ser de 100 mm.

En el diseño de muros de cortante sujetos a flexión en su plano, es importante saber en cual de las dos condicionantes anteriores entran las características geométricas del muro que se pretende diseñar, ya que, estas son las que rigen el ancho (L) y espesor (t) del muro de acuerdo a la magnitud de las cargas verticales que soportan. Es muy importante tomar en cuenta estas condicionantes antes de iniciar con los procesos de diseño, de no ser así se pueden presentar diversos problemas de resistencia en el muro al analizar la fuerza cortante que soporta la sección y el tener espesores muy esbeltos con anchos demasiado largos puede generar problemas de flexocompresión en los extremos. Para evitar estos

problemas de flexocompresión se pueden emplear elementos laterales de restricción como patines, columnas ó muros. En la figura 3.3 se muestran muros con las dos condicionantes que determinar la geometría de los muros sujetos a fuerzas horizontales en su plano y algunos elementos de restricción lateral en muros.

Hm

Hm

Tipos de restricción la teral en muros de cortante sujetos a flexión en su plano

Alma del muro

Restricción lateral con Patines

Alma del muro

L

Primera condicionante.

t≥13 mm

L / t ≤ 70

Segunda condicionante.

L / t ≤ 40L

Alma del muro

Restricción lateral con Muros

t≥13 mm

Restricción lateral con Columnas

Pu < 0.30 f 'c AgPu

Pu > 0.30 f 'c AgPu

Figura 3.3 Condicionantes para diseño de muros y tipos de restricción lateral.

2.3 Flexocompresión Toda sección sujeta a flexocompresión se dimensionará para la combinación más desfavorable de carga axial y momento flexionante incluyendo los efectos de esbeltez. El dimensionamiento puede hacerse a partir de las hipótesis generales de la sección 2.1, o bien con diagramas de interacción construidos de acuerdo con ellas. El factor de resistencia, FR, se aplicará a la resistencia a carga axial y a la resistencia a flexión. 2.3.1 Excentricidad mínima La excentricidad de diseño no será menor que mm, donde h es la dimensión de la sección en la dirección en que se considera la flexión.

2005.0 ≥h

2.3.2 Compresión y flexión en dos direcciones Son aplicables las hipótesis de la sección 2.1. Para secciones cuadradas o rectangulares también puede usarse la expresión siguiente:

0

1111

RRyRx

R

PPP

P−+

= (2.16)

82Donde:

PR carga normal resistente de diseño, aplicada con las excentricidades ex y ey; PR0 carga axial resistente de diseño, suponiendo ex = ey = 0; PRx carga normal resistente de diseño, aplicada con una excentricidad ex en un plano de simetría; y PRy carga normal resistente de diseño, aplicada con una excentricidad ey en el otro plano de simetría. La ec 2.16 es válida para Los valores de ex y ey deben incluir los efectos de esbeltez y no serán menores que la excentricidad prescrita en la sección 2.3.1.

1.0/ 0 ≥RR PP

Para valores de menores que 0.1, se usará la expresión siguiente: 0/ RR PP

0.1≤+Ry

uy

Rx

ux

MM

MM

Donde: Mux y Muy= momentos de diseño alrededor de los ejes X y Y; y MRx y MRy= momentos resistentes de diseño alrededor de los mismos ejes. Se usará Q=3 en el diseño por sismo de los muros a que se refiere esta sección y que

resistan la totalidad de las fuerzas laterales inducidas. Se adoptará Q=2 cuando el muro

no cumpla con los requisitos para elementos extremos de la sección 6.5.2.4. Si parte de

las fuerzas laterales inducidas por el sismo son resistidas por otras formas estructurales,

como marcos dúctiles o losas planas, se usará el valor de Q prescrito en los Capítulos 7 y

8, correspondientes de estas Normas.

6.5.2.2 (N.T.C concreto).- Momentos flexionantes de diseño

En muros en que Hm/L ≥2, se considerará al momento flexionante de diseño a lo largo de

Hcr con un valor constante e igual al momento Mu obtenido del análisis en la base del

muro. La altura crítica Hcr será igual al menor de L o Mu /4Vu. A partir de la altura del muro,

Hcr, se usará un diagrama de momentos flexionantes lineal tal que sea paralelo a la línea

que une los momentos calculados en la base y en la punta del muro (fig. 6.6). En edificios

con muros perimetrales de cimentación, se considerará el momento flexionante de

magnitud constante a lo largo del primer nivel del sótano y de la altura crítica, Hcr, medida

desde la planta baja hacia arriba.

Considerando lo anterior, cuando la relación Hm/L es menor ó igual que 2, la magnitud del momento último calculado en la base del muro será la mima en toda la altura del muro, con esto se deduce que las secciones de muros comprendidas entre este parámetro menores a 2 serán por lo regular de forma cuadrada y ligeramente rectangular sin presentarse la esbeltez que propicia el pandeo lateral.

83

84

Así que, el área de acero a flexión calculada en la base del muro será la misma en todo lo largo del muro hasta su punta. En el caso contrario, cuando la relación Hm > 2 se presentarán secciones de muros que tienden a ser más altas y esbeltas, siendo estas más susceptibles a las deformaciones por pandeo lateral. Por ello se recurre a determinar una altura crítica Hcr donde se mantenga constante el momento último calculado en la base del muro y lo mismo se aplicará con la distribución del acero, este se mantendrá constante en Hcr y después se hará disminuir conforme el diagrama de momento flexionante. La figura 3.4 muestra los dos casos para la condicionante Hm / L y la forma en que se debe hacer variar el acero a flexión en los elementos extremos del muro.

6.5.2.3 (N.T.C concreto).- Flexión y flexocompresión

a) Resistencia de muros a flexión y flexocompresión

La resistencia a flexión o flexocompresión de muros se puede calcular como si fueran

columnas cumpliendo con las especificaciones de las secciones 2.1 a 2.3, con excepción

de las secciones 2.2.3 y 2.2.5. Con base en un análisis de compatibilidad de

deformaciones, se deberá incluir todo el refuerzo vertical colocado dentro de un ancho

efectivo de los patines (si existen), en los elementos extremos y el alma del muro. Toda

barra de refuerzo tomada en cuenta en el cálculo de la resistencia deberá estar anclada

como lo especifican las secciones 5.1.1, 5.1.2 y 5.1.4.

Para este caso, la resistencia a flexión en muros se determinará a partir de considerarlos como secciones rectangulares sujetas a flexión en su plano y empleando la ecuación 2.5 ó 2.4 (N.T.C. concreto) se obtienen los momentos resistentes en cada sección. Así mismo despejando y sustituyendo al área de acero y el momento actuante respectivamente en las ecuaciones anteriores, obtenemos la cantidad de acero necesaria para contrarrestar la fuerza de flexión actuante. Esto, respetando los parámetros de cuantías mínima y máxima de acero permisibles expuestas en este mismo capítulo.

2.1 Hipótesis para la obtención de resistencias de diseño a flexión, carga axial y flexocompresión

La determinación de resistencias de secciones de cualquier forma sujetas a flexión, carga axial o una combinación de ambas, se efectuará a partir de las condiciones de equilibrio y de las siguientes hipótesis: a) La distribución de deformaciones unitarias longitudinales en la sección transversal de un elemento es plana; b) Existente adherencia entre el concreto y el acero de tal manera que la deformación unitaria del acero es igual a la del concreto adyacente; c) El concreto no resiste esfuerzos de tensión; d) La deformación unitaria del concreto en compresión cuando se alcanza la resistencia de la sección es 0.003; y e) La distribución de esfuerzos de compresión en el concreto, cuando se alcanza la resistencia de la sección, es uniforme con un valor f’’c igual a 0.85f*c hasta una profundidad de la zona de compresión igual a β1c

Hcr

= 1

.50

m ó

Mu/

4Vu

Hm

= 4

.00

m

Muros con relación Hm / L > 2 L = 1.50 m

L = 3.00 m

Hm

= H

cr =

2.2

0 m Acero a flexión

con reducciones

Muros con relación Hm / L ≤ 2

Acero a flexión recto y sin

reducciones

Elementos de refuerzo en los

extremos

Figura 3.4 Distribución del acero a flexión en muros. Donde:

85.01 =β ; si f*c ≤ 28MPa(280 Kg / cm2)

65.0140

05.1*

1 ≥−=cfβ ; si f*c>28 MPa (2.1)

( 65.01400

05.1*

1 ≥−=cfβ ; si f*c>280 Kg /cm2)

c profundidad del eje neutro medida desde la fibra extrema en compresión.

El diagrama esfuerzo–deformación unitaria del acero de refuerzo ordinario, aunque sea torcido en frío, puede idealizarse por medio de una recta que pase por el origen, con pendiente igual a Es y una recta horizontal que pase por la ordenada correspondiente al esfuerzo de fluencia del acero, fy. En aceros que no presenten fluencia bien definida, la recta horizontal pasará por el esfuerzo convencional de fluencia. El esfuerzo convencional de fluencia se define por la intersección del diagrama esfuerzo–deformación unitaria con una recta paralela al tramo elástico, cuya abscisa al origen es 0.002, o como lo indique la norma respectiva de las mencionadas en la sección 1.5.2. Pueden utilizarse otras idealizaciones razonables, o bien la gráfica del acero empleado obtenida experimentalmente. En cálculos de elementos

85

de concreto presforzado deben usarse los diagramas esfuerzo–deformación unitaria del acero utilizado, obtenidos experimentalmente. La resistencia determinada con estas hipótesis, multiplicada por el factor FR correspondiente, da la resistencia de diseño. 2.2 Flexión 2.2.1 Refuerzo mínimo El refuerzo mínimo de tensión en secciones de concreto reforzado, excepto en losas perimetralmente apoyadas, será el requerido para que el momento resistente de la sección sea por lo menos 1.5 veces el momento de agrietamiento de la sección transformada no agrietada. Para valuar el refuerzo mínimo, el momento de agrietamiento se obtendrá con el módulo de rotura no reducido, ff definido en la sección 1.5.1.3. El área mínima de refuerzo de secciones rectangulares de concreto reforzado de peso normal, puede calcularse con la siguiente expresión aproximada.

bdf

fA

y

cs

′=

22.0min, (2.2)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′= bd

ff

Ay

cs

7.0min,

Donde: b y d son el ancho y el peralte efectivo, no reducidos, de la sección, respectivamente. Sin embargo, no es necesario que el refuerzo mínimo sea mayor que 1.33 veces el requerido por el análisis. 2.2.2 Refuerzo máximo El área máxima de acero de tensión en secciones de concreto reforzado que no deban resistir fuerzas sísmicas será el 90 por ciento de la que corresponde a la falla balanceada de la sección considerada. La falla balanceada ocurre cuando simultáneamente el acero llega a su esfuerzo de fluencia y el concreto alcanza su deformación máxima de 0.003 en compresión. Este criterio es general y se aplica a secciones de cualquier forma sin acero de compresión o con él. En elementos a flexión que formen parte de sistemas que deban resistir fuerzas sísmicas, el área máxima de acero de tensión será 75 por ciento de la correspondiente a falla balanceada. Este último límite rige también en zonas afectadas por articulaciones plásticas, con excepción de lo indicado para marcos dúctiles en el inciso 7.2.2.a. Las secciones rectangulares sin acero de compresión tienen falla balanceada cuando su área de acero es igual a

bdff

f

yy

c

600600 1

+′′ β

(2.3)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+′′

bdff

fyy

c

60006000 1β

Donde: f’’c tiene el valor especificado en el inciso 2.1.e, b y d son el ancho y el peralte efectivo de la sección, reducidos de acuerdo con la sección 1.6. En otras secciones, para determinar el área de acero que corresponde a la falla balanceada, se aplicarán las condiciones de equilibrio y las hipótesis de la sección 2.1.

86

2.2.4 Fórmulas para calcular resistencias Las condiciones de equilibrio y las hipótesis generales de la sección 2.1 conducen a las siguientes expresiones para resistencia a flexión, MR. En dichas expresiones FR se tomará igual a 0.9. a) Secciones rectangulares sin acero de compresión

)5.01(2 qqfbdFM cRR −′′= (2.4) o bien

)5.01( qdfAFM ysRR −= (2.5) Donde:

c

y

fpf

q′′

= (2.6)

bdAp s= (2.7)

d ancho de la sección (sección 1.6); d peralte efectivo (sección 1.6); f’’c esfuerzo uniforme de compresión (inciso 2.1 e); y As área del refuerzo de tensión. b) Secciones rectangulares con acero de compresión

( ) ( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ′−′+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −′−= ddfAadfAAFM ysyssRR 2

) (2.8)

Donde:

( )bf

fAAa

c

yss

′′′−

= (2.9)

a profundidad del bloque equivalente de esfuerzos; As área del acero a tensión; A’s área del acero a compresión; y d’ distancia entre el centroide del acero a compresión y la fibra extrema a compresión. La ec. 2.8 es válida sólo si el acero a compresión fluye cuando se alcanza la resistencia de la sección. Esto se cumple si

y

c

y ff

dd

fpp

′′′−

≥′−600

600 1β (2.10)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′′′−

≥′−yy fcf

dd

fpp

60006000 1β

Donde: bdAp s′=′ (2.11)

Cuando no se cumpla esta condición, MR se determinará con un análisis de la sección basado en el equilibrio y las hipótesis de la sección 2.1; o bien se calculará aproximadamente con las ecs. 2.4 ó 2.5 despreciando el acero de compresión. En todos los casos habrá que revisar que el acero de tensión no exceda la cuantía máxima prescrita en la

87

sección 2.2.2. El acero de compresión debe restringirse contra el pandeo con estribos que cumplan los requisitos de la sección 6.2.3. c) Secciones T e I sin acero de compresión Si la profundidad del bloque de esfuerzos, a, calculada con la ec. 2.12 no es mayor que el espesor del patín, t, el momento resistente se puede calcular con las expresiones 2.4 ó 2.5 usando el ancho del patín a compresión como b. Si a resulta mayor que t, el momento resistente puede calcularse con la expresión 2.13.

bffA

ac

ys

′′= (2.12)

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

22adfAAtdfAFM yspsyspRR (2.13)

Donde:

( )y

csp f

tbbfA′−′′

= ;

( )bf

fAAa

c

ysps

′′′−

= :

b ancho del patin; y b’ ancho del alma. La ecuación 2.13 es válida si el acero fluye cuando se alcanza la resistencia. Esto se cumple si

spyy

cs Adb

fffA +′

+′′

≤600

600 1β (2.14)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+′

+′′

≤ spyy

cs Adb

fffA

60006000 1β

d) Flexión biaxial La resistencia de vigas rectangulares sujetas a flexión biaxial se podrá valuar con la ec. 2.17. (6.2.3 Requisitos para refuerzo transversal) 6.2.3.1 Criterio general El refuerzo transversal de toda columna no será menor que el necesario por resistencia a fuerza cortante y torsión, en su caso, y debe cumplir con los requisitos mínimos de los párrafos siguientes. Además, en los tramos donde se prevean articulaciones plásticas no será inferior al prescrito en la sección 6.8. 6.2.3.2 Separación Todas las barras o paquetes de barras longitudinales deben restringirse contra el pandeo con estribos o zunchos con separación no mayor que:

a) 269/ y f veces el diámetro de la barra o de la barra más delgada del paquete (fy, en MPa, es el esfuerzo de fluencia de las barras longitudinales, o y f 850/ , con fy en kg/cm²); b) 48 diámetros de la barra del estribo; ni que c) La mitad de la menor dimensión de la columna.

La separación máxima de estribos se reducirá a la mitad de la antes indicada en una longitud no menor que:

a) la dimensión transversal máxima de la columna;

88

89

b) un sexto de su altura libre; ni que c) 600 mm

Arriba y abajo de cada unión de columna con trabes o losas, medida a partir del respectivo plano de intersección. En los nudos se aplicará lo dispuesto en la sección 6.2.6. (6.2.6 Detalles del refuerzo en intersecciones con vigas o losas) El refuerzo transversal de una columna en su intersección con una viga o losa debe ser el necesario para resistir las fuerzas internas que ahí se produzcan, pero su separación no será mayor y su diámetro no será menor que los usados en la columna en las secciones próximas a dicha intersección. Al menos se colocarán dos juegos de refuerzo transversal entre los lechos superior e inferior del refuerzo longitudinal de vigas o losa. En marcos dúctiles, se aplicará lo dispuesto en la sección 7.4. Si la intersección es excéntrica, en el dimensionamiento y detallado de la conexión deben tomarse en cuenta las fuerzas cortantes, y los momentos flexionantes y torsionantes causados por la excentricidad. Cuando un cambio de sección de una columna obliga a doblar sus barras longitudinales en una junta, la pendiente de la porción inclinada de cada barra respecto al eje de columna no excederá de 1 a 6. Las porciones de las barras por arriba y por debajo de la junta serán paralelas al eje de la columna. Además deberá proporcionarse refuerzo transversal adicional al necesario por otros conceptos, en cantidad suficiente para resistir una y media veces la componente horizontal de la fuerza axial que pueda desarrollarse en cada barra, considerando en ella el esfuerzo de fluencia. 6.2.3.3 Detallado a) Estribos y zunchos Los estribos se dispondrán de manera que cada barra longitudinal de esquina y una de cada dos consecutivas de la periferia tenga un soporte lateral suministrado por el doblez de un estribo con un ángulo interno no mayor de 135 grados. Además, ninguna barra que no tenga soporte lateral debe distar más de 150 mm (libres) de una barra soportada lateralmente. Cuando seis o más varillas estén repartidas uniformemente sobre una circunferencia se pueden usar anillos circulares rematados como se especifica en la sección 5.1.7; también pueden usarse zunchos cuyos traslapes y anclajes cumplan con los requisitos de la sección 6.2.4. La fuerza de fluencia que pueda desarrollar la barra de un estribo o anillo no será menor que seis centésimas de la fuerza de fluencia de la mayor barra o el mayor paquete longitudinal que restringe. En ningún caso se usarán estribos o anillos de diámetro menores de 7.9 mm (número 2.5). Los estribos rectangulares se rematarán de acuerdo con lo prescrito en la sección 5.1.7. b) Grapas Para dar restricción lateral a barras que no sean de esquina, pueden usarse grapas formadas por barras rectas, cuyos extremos terminen en un doblez a 135 grados alrededor de la barra o paquete restringido, seguido de un tramo recto con longitud no menor que seis diámetros de la barra de la grapa ni menor que 80 mm. Las grapas se colocarán perpendiculares a las barras o paquetes que restringen y a la cara más próxima del miembro en cuestión. La separación máxima de las grapas se determinará con el criterio prescrito antes para estribos. La cimentación debe diseñarse para resistir las fuerzas demandadas por los elementos

extremos y el alma. Si el muro posee aberturas, se deberá considerar su influencia en la

resistencia a flexión y cortante (ver las secciones 6.5.2.4 y 6.5.2.5). Se deberá verificar

que alrededor de las aberturas se pueda desarrollar un flujo de fuerzas tal que no exceda

la resistencia de los materiales y que esté en equilibrio con el sistema de acciones o

fuerzas internas de diseño (momentos flexionantes, cargas axiales, fuerzas cortantes).

En muros con patines se acepta considerar un ancho efectivo adyacente al alma del

muro, tanto en el patín a compresión como a tensión, igual al menor de:

1) La mitad de la distancia al paño del alma del muro más cercano; o

2) 0.25 Hm.

La figura 3.5 muestra un muro sujeto a flexión por fuerzas laterales horizontales, con patines como elementos extremos para contrarrestar el efecto del pandeo ó la flexocompresión. Y el flujo o distribución de las fuerzas actuantes y resistentes que se presentan en el muro.

Opcionalmente, la resistencia de muros a flexión en su plano puede calcularse con la ec.

2.15 si la carga vertical de diseño, Pu no es mayor que 0.3FR t L f’c y la cuantía del acero

a tensión As / t d, no excede de 0.008. En esta expresión, As es el acero longitudinal del

muro colocado tal que el brazo z sea el obtenido con el criterio de las ecuaciones 6.10; y d

es el peralte efectivo del muro en dirección de la flexión.

Esta forma opcional de determinar el momento resistente en muros de concreto sujetos a flexión en su plano, es similar a la utilizada en el diseño de vigas diafragma y se emplea la ecuación 2.15 N.T.C. concreto. A diferencia del primer procedimiento para calcular las resistencias de lo muros, este restringe en gran medida el empleo de la ecuación 2.15 y es principalmente por la cuantía de acero (p) que permite, donde (p ≤ 0.008). Ya que la mayoría de los muros de cortante en estructuras de edificios altos son sometidos a resistir grandes magnitudes de cargas horizontales en su plano, conllevando a necesitar elevadas cantidades de acero para resistir la flexión actuante. 2.2.5 Resistencia a flexión de vigas diafragma Se consideran como vigas diafragma aquéllas cuya relación de claro libre entre apoyos, L, a peralte total, h, es menor que 2.5 si son continuas en varios claros, o menor que 2.0 si constan de un solo claro libremente apoyado. En su diseño no son aplicables las hipótesis generales de la sección 2.1. Si la cuantía As /b d es menor o igual que 0.008, la resistencia a flexión de vigas diafragma se puede calcular con la expresión:

ZfAFM ysRR = (2.15)

90

mHz 2.1= si 5.0≤L

Hm

LL

Hz m ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += 14.0 si 0.15.0 <<

LHm

Lz 8.0= si L

Hm≤0.1 (6.10)

Donde, Hm es la altura total del muro, medida desde el empotramiento o desplante hasta

su punta. El área de acero a tensión As no será menor que la obtenida por la ec. 2.2.

Figura 6.6(N.T.C. concreto).- Diagrama de momento flexionante de diseño para muro b) Colocación de refuerzo vertical

En muros con relación Hm/L no mayor que 1.2, el refuerzo vertical para flexión o

flexocompresión que se calcule en la sección de momento máximo se prolongará recto y

sin reducción en toda la altura del muro, distribuido en los extremos de éste en anchos

iguales a (0.25 – 0.1 Hm/L)L, medido desde el correspondiente borde, pero no mayor cada

uno que 0.4Hm.

Si la relación Hm/L es mayor que 1.2, el refuerzo para flexión o flexocompresión se

colocará en los extremos del muro en anchos iguales a 0.15L medidos desde el

correspondiente borde. Arriba del nivel Hcr este refuerzo se puede hacer variar de acuerdo

con los diagramas de momentos y carga axial, respetando las disposiciones de las

secciones 5.1 y 6.5.2.2.

91

5.1 Anclaje 5.1.1 Requisito general La fuerza de tensión o compresión que actúa en el acero de refuerzo en toda sección debe desarrollarse a cada lado de la sección considerada por medio de adherencia en una longitud suficiente de barra o de algún dispositivo mecánico. 5.1.2 Longitud de desarrollo de barras a tensión 5.1.2.1 Barras rectas La longitud de desarrollo, Ld, en la cual se considera que una barra a tensión se ancla de modo que desarrolle su esfuerzo de fluencia, se obtendrá multiplicando la longitud básica, Ldb dada por la ec 5.1, por el factor o los factores indicados en la tabla 5.1. Las disposiciones de esta sección son aplicables a barras de diámetro no mayor que 38.1 mm (número 12).

( ) c

yb

ctr

ysdb f

fdfKc

faL

′≥

′+= 36.0

15.1 (5.1)

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′

≥′+

=c

yb

ctr

ysdb f

fdfKc

faL 11.0

3

Donde as área transversal de la barra; c separación o recubrimiento; úsese el menor de los valores siguientes: 1) distancia del centro de la barra a la superficie de concreto más próxima; 2) la mitad de la separación entre centros de barras.

Ktr índice de refuerzo transversal; igual a snfA yvtr

10; si se usan MPa y mm, (

snfA yvtr

100, Kg/cm2 y cm);

Atr área total de las secciones rectas de todo el refuerzo transversal comprendido en la separación s, y que cruza el plano potencial de agrietamiento entre las barras que se anclan; fyv esfuerzo especificado de fluencia de refuerzo transversal; s máxima separación centro a centro del refuerzo transversal, en una distancia igual a Ld; y n número de barras longitudinales en el plano potencial de agrietamiento. Por sencillez en el diseño, se permite suponer Ktr =0, aunque haya refuerzo transversal. En ningún caso Ld será menor que 300 mm. La longitud de desarrollo, Ld, de cada barra que forme parte de un paquete de tres barras será igual a la que requeriría si estuviera aislada, multiplicada por 1.20. Cuando el paquete es de dos barras no se modifica Ld. 5.1.2.2 Barras con dobleces Esta sección se refiere a barras a tensión que terminan con dobleces a 90 ó 180 grados que cumplan con los requisitos de la sección 5.5, seguidos de tramos rectos de longitud no menor que 12db para dobleces a 90 grados, ni menor que 4db para dobleces a 180 grados. En estas barras se toma como longitud de desarrollo la longitud paralela a la barra, comprendida entre la sección crítica y el paño externo de la barra después del doblez (fig. 5.1). La longitud de desarrollo se obtendrá multiplicando la longitud de desarrollo básica dada por la expresión:

cyb ffd ′/24.0 (5.2)

( )cyb ffd ′/076.0

92

por el factor o los factores de la tabla 5.2 que sean aplicables, pero sin que se tome menor que 150 mm ni que 8 db.

Figura 5.1 Longitud de desarrollo de barras con dobleces 5.1.3 Longitud de desarrollo de barras a compresión La longitud de desarrollo de una barra a compresión será cuando menos el 60 por ciento de la que requeriría a tensión y no se considerarán efectivas porciones dobladas. En ningún caso será menor de 200 mm. 5.1.4 Vigas y muros 5.1.4.1 Requisitos generales En vigas y muros con cargas en su plano, la fuerza de tensión a la que se refiere la sección 5.1.1, se valuará con el máximo momento flexionante de diseño que obra en la zona comprendida a un peralte efectivo a cada lado de la sección. Los requisitos de la sección 5.1.1 y del párrafo anterior se cumplen para el acero a tensión, si:

a) Las barras que dejan de ser necesarias por flexión se cortan o se doblan a una distancia no menor que un peralte efectivo más allá del punto teórico donde, de acuerdo con el diagrama de momentos, ya no se requieren. b) En las secciones donde, según el diagrama de momentos flexionantes, teóricamente ya no se requiere el refuerzo que se corta o se dobla, la longitud que continúa de cada barra que no se corta ni se dobla es mayor o igual que Ld + d. Este requisito no es necesario en las secciones teóricas de corte más próximas a los extremos de vigas libremente apoyadas. c) A cada lado de toda sección de momento máximo, la longitud de cada barra es mayor o igual que la longitud de desarrollo, Ld, que se define en la sección 5.1.2. d) Cada barra para momento positivo que llega a un extremo libremente apoyado, se prolonga más allá del centro del apoyo y termina en un doblez de 90 ó 180 grados, seguido por un tramo recto de 12db o 4db, respectivamente.

93

El doblez debe cumplir con los requisitos de la sección 5.5. En caso de no contar con un espacio suficiente para alojar el doblez, se empleará un anclaje mecánico equivalente al doblez.

5.1.4.2 Requisitos adicionales Los siguientes requisitos deben respetarse además de los anteriores:

a) En extremos libremente apoyados se prolongará, sin doblar, hasta dentro del apoyo, cuando menos la tercera parte del refuerzo de tensión para momento positivo máximo. En extremos continuos se prolongará la cuarta parte. b) Cuando la viga sea parte de un sistema destinado a resistir fuerzas laterales accidentales, el refuerzo positivo que se prolongue dentro del apoyo debe anclarse de modo que pueda alcanzar su esfuerzo de fluencia en la cara del apoyo. Al menos la tercera parte del refuerzo negativo que se tenga en la cara de un apoyo se prolongará más allá del punto de inflexión una longitud no menor que un peralte efectivo, ni que 12db , ni que un dieciseisavo del claro libre.

94

5.1.5 Columnas En las intersecciones con vigas o losas las barras de las columnas serán continuas y en su caso cumplirán con las disposiciones de las secciones 7.4.5 u 8.2.b.2. Las barras longitudinales de columnas de planta baja se anclarán en la cimentación de manera que en la sección de la base de la columna puedan alcanzar un esfuerzo igual al de fluencia en tensión multiplicado por 1.25. En columnas que deban resistir fuerzas laterales accidentales, se supondrá que se cumple el requisito de la sección 5.1.1, si la longitud de desarrollo de toda barra longitudinal no es mayor que dos tercios de la altura libre de la columna. 5.1.6 Anclajes mecánicos Cuando no haya espacio suficiente para anclar barras por medio de doblez, se pueden usar anclajes mecánicos. Estos deben ser capaces de desarrollar la resistencia del refuerzo por anclar, sin que se dañe el concreto. Pueden ser, por ejemplo, placas soldadas a las barras, o dispositivos manufacturados para este fin. Los anclajes mecánicos deben diseñarse y en su caso comprobarse por medio de ensayes. Bajo cargas estáticas, se puede admitir que la resistencia de una barra anclada es la suma de la contribución del anclaje mecánico más la adherencia en la longitud de barra comprendida entre el anclaje mecánico y la sección crítica. Elementos típicos en los que pueden ser necesarios los anclajes mecánicos son las vigas diafragma y las ménsulas. 5.1.7 Anclaje del refuerzo transversal El refuerzo en el alma debe llegar tan cerca de las caras de compresión y tensión como lo permitan los requisitos de recubrimiento y la proximidad de otro refuerzo. Los estribos deben rematar en una esquina con dobleces de 135 grados, seguidos de tramos rectos de no menos de 6db de largo, ni menos de 80 mm. En cada esquina del estribo debe quedar por lo menos una barra longitudinal. Los radios de doblez cumplirán con los requisitos de la sección 5.5. Las barras longitudinales que se doblen para actuar como refuerzo en el alma deben continuarse como refuerzo longitudinal cerca de la cara opuesta si esta zona está a tensión, o prolongarse una longitud Ld más allá de la media altura de la viga si dicha zona está a compresión.

95

96

5.1.8 Anclaje de malla de alambre soldado Se supondrá que un alambre puede desarrollar su esfuerzo de fluencia en una sección si a cada lado de ésta se ahogan en el concreto cuando menos dos alambres perpendiculares al primero, distando el más próximo no menos de 50 mm de la sección considerada. Si sólo se ahoga un alambre perpendicular a no menos de 50 mm de la sección considerada, se supondrá que se desarrolla la mitad del esfuerzo de fluencia. La longitud de un alambre desde la sección crítica hasta su extremo no será menor que 200 mm. 5.2 Revestimientos Los revestimientos no se tomarán en cuenta como parte de la sección resistente de ningún elemento, a menos que se suministre una liga con él, la cual esté diseñada para transmitir todos los esfuerzos que puedan presentarse y que dichos revestimientos no estén expuestos a desgaste o deterioro. Cuando sean necesarios los elementos extremos a que se refiere la sección 6.5.2.4, el

refuerzo por flexión se colocará en dichos elementos independientemente de la relación

Hm/ L.

La relación Hm/L define las dimensiones en las que será distribuido el acero determinado por la flexión o flexocompresión a la que esta sujeto el muro, es importante mencionar que cuando se tengan áreas de acero mayores que las requeridas por los elementos extremos el armado de estos extremos se hará con la mayor área de acero determinada según sea el caso.

c) Restricción contra pandeo del refuerzo vertical

El refuerzo cuyo trabajo a compresión sea necesario para lograr la resistencia requerida

debe restringirse contra el pandeo con estribos o grapas que cumplan con las

disposiciones de la sección 6.2.3.

6.5.2.4 (N.T.C concreto).- Elementos de refuerzo en los extremos de muros

Se evaluará la necesidad de suministrar elementos de refuerzo en las orillas de muros de

conformidad con lo dispuesto en los incisos 6.5.2.4.a o 6.5.2.4.b (fig. 6.7). Los elementos

de borde deberán satisfacer el inciso 6.5.2.4.c. En muros con patines se usará un ancho

efectivo del patín igual a la definida en el inciso 6.5.2.3.a.

El concepto elementos de refuerzo ó elementos de borde se refieren propiamente a la concentración del acero necesaria para contrarrestar los esfuerzos de tensión y

compresión que se presentan en el muro, la distribución de este acero dependerá básicamente de las características geométricas del muro: ancho, altura, espesor y modo de deformación originados por las cargas.

97

)

a) Los requisitos de este inciso son aplicables a muros o segmentos de muro continuos,

desde la base de la estructura hasta la punta del muro y que estén diseñados para

formar una articulación plástica bajo flexión y carga axial. Se entiende por segmento

de un muro a la porción de éste entre aberturas o entre una abertura y un borde

vertical. Los muros o segmentos que no satisfagan lo anterior se deberán diseñar

según el inciso 6.5.2.4.b.

Se deberá suministrar elementos extremos en las zonas a compresión del muro, o

de un segmento de muro, si:

( HQLc

/600 Δ≥ (6.11)

Donde

QΔ/Η no deberá ser menor que 0.007. H será la altura total del muro, o la altura del

segmento, según corresponda;

c profundidad del eje neutro calculada a partir de las hipótesis de la sección

2.1 y que corresponde al momento resistente (momento resistente de diseño con

factor de resistencia unitario) cuando el muro se desplace una cantidad QΔ. La

carga axial es la carga axial de diseño consistente con la combinación de cargas y

fuerzas que produzca el desplazamiento lateral QΔ ; y

QΔ corresponde al desplazamiento inelástico producido por el sismo de diseño.

Ver figura 3.5.

El hecho de que (c ) sea mayor que el cociente ( )HQLc

/600 Δ≥ , depende

esencialmente de la relación que exista entre QΔ y H, entonces se deduce que será

necesario emplear elementos extremos de acuerdo al inciso “a”: si existen

desplazamientos inelásticos muy grandes y si la geometría del muro es muy esbelta

a tal grado que después de verificar la relación QΔ/H se obtengan valores mayores a

0.007.

Cuando se necesiten elementos extremos según la ec. 6.11, el refuerzo de ellos se

extenderá verticalmente en la altura crítica, Hcr (sección 6.5.2.2), medida a partir de

la sección crítica (fig.6.7).

ΔQ

Detalle "A" Modo de deformación en aberturas

Flujo de esfuerzos al rededor de la abertura

C T

M actuante

T

C

Detalle A (Abertura)

Alzado

Corte A-A' Si σmáx.= F/A ext., y si F = Po Entonces F = Po = σmáx. X A ext.

Area del elemento extremo (A ext.)

Alma del MuroExtremo Extremo

σmàx (Esfuerzo máximo de compresión)

ExtremoExtremo

σmàx (Esfuerzo máximo de compresión)

A A'

TensiónTensión

Compres iónCompresión

Eje

M actuante

Entrepiso

Entrepiso

F

F

Alma del Muro

Elemento extremo

Elemento extremo

Elemento extremo

C

Figura 3.5 Comportamiento de los esfuerzos y desplazamientos en un muro con

aberturas bajo flexión en su plano.

En edificios con muros perimetrales de cimentación mucho más rígidos que los

superiores, los elementos de refuerzo en los extremos se extenderán en la altura

del primer entrepiso del sótano.

b) En muros o segmentos de muro no diseñados de acuerdo con el inciso 6.5.2.4.a, se

deberán suministrar elementos de refuerzo en las orillas del muro y en bordes de

aberturas donde el esfuerzo de compresión en la fibra más esforzada exceda de

0.2f’c bajo las cargas del diseño incluyendo el sismo. Los elementos de refuerzo

pueden interrumpirse en las zonas donde el máximo esfuerzo de compresión

98

calculado sea menor que 0.15f’c. Los esfuerzos se calcularán con las cargas de

diseño, usando un modelo elástico lineal y las propiedades de secciones brutas.

Los modelos elásticos lineales se emplean en el análisis y diseño de estructuras por medio de programas computacionales, es decir, consiste en la modelación de una estructura con las mismas propiedades y características geométricas de una estructura que se pretenda estudiar su comportamiento mediante la aplicación de diferentes fuerzas actuantes. La ventaja de emplear programas computacionales para analizar y diseñar estructuras, es la acción de poder manipular la mayor parte de las variables: cargas, secciones de elementos, propiedades de los materiales, normatividad de diseño, unidades, grados de libertad en los nodos, etc. Y así obtener los elementos mecánicos (momentos, cortantes, esfuerzos) de cualquier forma estructural sujeta a diferentes combinaciones de cargas.

El elemento extremo se dimensionará como columna corta para que resista, como

carga axial, la fuerza de compresión que le corresponda, calculada en la base del

muro cuando sobre éste actúe el máximo momento de volteo causado por las

fuerzas laterales y las cargas debidas a la gravedad, incluyendo el peso propio y las

que le transmita el resto de la estructura. Se incluirán los factores de carga y de

resistencia que corresponda.

Las columnas cortas son elementos estructurales que se diseñan únicamente para soportar cargas axiales, es decir, esfuerzos de compresión ó tensión actuantes en el eje vertical del elemento. El diseño de columnas cortas queda exento de aplicarse cuando se tengan cargas excéntricas ó horizontales que generen momentos flexionantes. El dimensionamiento de los extremos de muros se hará considerando el área transversal determinada mediante el producto del espesor por el ancho

efectivo del extremo (inciso 6.5.2.4 c.1), considerando la ecuación AP y ×= σ0 , el

área del extremo del muro (A) y el esfuerzo máximo a compresión ó tensión

actuante (σy) en la base del muro se calculará la fuerza (P0) de diseño. Ver figura 3.5.

c) Cuando se requieran elementos de refuerzo en los extremos de muros y bordes de

aberturas, según los incisos 6.5.2.4.a o 6.5.2.4.b, se deberá cumplir

simultáneamente que (fig. 6.7):

99

1) El elemento de refuerzo se extienda en una distancia a partir de la fibra extrema

en compresión al menos igual al mayor de (c – 0.1L) y c/2;

2) En muros con patines, el elemento de refuerzo abarque el ancho efectivo del

patín a compresión (inciso 6.5.2.3.a) y se extienda al menos 300 mm dentro del

alma;

3) El elemento extremo cuente, a todo lo largo, con el refuerzo transversal mínimo

que se especifica en el inciso 7.3.4.c para elementos a flexocompresión, con

excepción de la ec. 7.4; 7.3.4. b) Se suministrará el refuerzo transversal mínimo que se especifica en el inciso 7.3.4.c en una longitud en ambos extremos del miembro y a ambos lados de cualquier sección donde sea probable que fluya por flexión el refuerzo longitudinal ante desplazamientos laterales en el intervalo inelástico de comportamiento. La longitud será la mayor de: 1) La mayor dimensión transversal del miembro; 2) Un sexto de su altura libre; o 3) 600 mm. En la parte inferior de columnas de planta baja este refuerzo debe llegar hasta media altura de la columna, y debe continuarse dentro de la cimentación al menos en una distancia igual a la longitud de desarrollo en compresión de la barra más gruesa. 7.3.4.c) Cuantía mínima de refuerzo transversal 1) En columnas de núcleo circular, la cuantía volumétrica de refuerzo helicoidal o de estribos circulares, ps, no será menor que la calculada con las ecs. 6.3. 2) En columnas de núcleo rectangular, la suma de las áreas de estribos y grapas, Ash, en cada dirección de la sección de la columna no será menor que la obtenida a partir de las ecs. 7.3 y 7.4. donde bc es la dimensión del núcleo del elemento a flexocompresión, normal al refuerzo con área Ash y esfuerzo de fluencia fyh (fig. 7.4).

cyh

c

c

g sbff

AA ′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 13.0 (7.3)

cyh

c sbff ′

09.0 (7.4)

4) La separación del refuerzo transversal no exceda la menor de:

– La mitad del espesor del muro;

– Seis veces el diámetro de la barra longitudinal más gruesa; o

– 150 mm;

5) El refuerzo transversal del elemento se continúe dentro de la cimentación

cuando menos en una distancia igual a la longitud de desarrollo de la barra

100

longitudinal más gruesa o del paquete de barras longitudinales más gruesas del

elemento extremo, con excepción de que el elemento extremo termine en una

zapata o losa de cimentación, caso en que el refuerzo transversal se extenderá 300

mm dentro de la cimentación. Ver figura 3.6

6) El refuerzo horizontal de muros se ancle en los núcleos confinados de los

elementos extremos de manera que pueda alcanzar su esfuerzo de fluencia; y

7) Las uniones soldadas o con dispositivos mecánicos cumplan con lo especificado

en las secciones 7.1.6 ó 7.1.7.

Figura 7.3 Detallado de elementos a flexocompresión de marcos dúctiles

7.1.6 Uniones soldadas de barras a) Las uniones soldadas de barras deberán cumplir con la sección 5.6.1.3. No se deberán usar en una distancia igual a dos veces el peralte del elemento medida desde el paño de la columna o de la viga, o a partir de las secciones donde es

101

probable que el refuerzo longitudinal alcance su esfuerzo de fluencia como resultado de desplazamientos laterales en el intervalo inelástico de comportamiento del marco. b) No se permite soldar estribos, grapas, accesorios u otros elementos similares al refuerzo longitudinal requerido por diseño. 7.1.7 Dispositivos mecánicos para unir barras a) Se aceptarán dos tipos

1) El Tipo 1 deberá cumplir los requisitos de la sección 5.6.1.3; y 2) El Tipo 2, además de cumplir con la sección 5.6.1.3, deberá ser capaz de alcanzar la resistencia especificada a tensión de la barra por unir.

b) Los dispositivos mecánicos del Tipo 1 no se deberán usar en una distancia igual a dos veces el peralte del elemento medida desde el paño de la columna o de la viga, o a partir de las secciones donde es probable que el refuerzo longitudinal alcance su esfuerzo de fluencia como resultado de desplazamientos laterales en el intervalo inelástico de comportamiento del marco.

c) Se podrán usar los dispositivos mecánicos Tipo 2 en cualquier lugar.

Acero de refuerzo transversal anclado en el alma del muro

LdLd

Ld. min 300 cm.

Acero de refuerzo en el alma del muro

Acero de refuerzo en los extremos

Alma del muro

ExtremosExtremos

Desp

lante

de m

uro

Zapata corrida

Cime

ntació

n

Zapata

Contra Trabe

N.T.N.

Proyección de losa de cimentación

Figura 3.6 Colocación del acero para el desplante del muro y el confinamiento del acero a flexión.

d) Cuando no se requieran elementos de refuerzo como los indicados en los incisos

6.5.2.4.a a 6.5.2.4.c, se deberá satisfacer que:

1) Si la cuantía del refuerzo longitudinal del muro colocado en el entrepiso es

mayor que 2.8/fy, en MPa (28/ fy, en kg/cm²), se deberá colocar refuerzo

102

transversal que cumpla con el inciso 7.3.4.d y que se extienda una distancia a partir

de la fibra extrema en compresión al menos igual al mayor de (c – 0.1L) y c/2. La

separación máxima del refuerzo transversal no excederá de 200 mm.

2) Excepto cuando la fuerza cortante de diseño Vu en el plano del muro sea menor

que:

cfAcm

*083.0 ; si se usan mm2 y Mpa

( )cfAcm*26.0 ; si se usan cm2 y Kg/cm2

el refuerzo horizontal que termine en los bordes de un muro sin elementos de

refuerzo, deberá rematarse mediante un doblez que rodee el refuerzo longitudinal

extremo del muro (fig. 6.7). Acm es el área bruta de la sección de concreto,

calculada como el producto del espesor por la longitud del muro. Ver figura 3.7

Opcionalmente, el refuerzo longitudinal extremo del muro se podrá confinar con

estribos en forma de letra U, que tengan el mismo diámetro y separación que el

refuerzo horizontal. Estos estribos se extenderán hacia el alma del muro cuando

menos en una distancia igual a la longitud de traslape medida desde la cara interna

de las barras longitudinales extremas reforzadas transversal-mente. Ver figura 3.7

Ancho del muro

ee

Ancho del muro

LTLT

Figura 3.7 Refuerzo horizontal del muro cuando no existen elementos de refuerzo

en los extremos.

6.5.2.5 (N.T.C concreto).- Fuerza cortante. a) Fuerza cortante que toma el concreto 103

La fuerza cortante, VcR, que toma el concreto en muros se determinará con el criterio

siguiente:

1) Si la relación de altura total a longitud, Hm/L del muro o H/ L del segmento no

excede de 1.5, se aplicará la ecuación 6.12

LtcfFV RcR ××= *27.0 (6.12)

( )LtcfFV RcR ××= *85.0

2) Si Hm/L es igual a 2.0 o mayor, se aplicarán las expresiones 2.19 ó 2.20 en las

que b se sustituirá por el espesor del muro, t; y el peralte efectivo del muro se tomará

igual a 0.8L. Cuando Hm/ L esté comprendido entre 1.5 y 2.0 puede interpolarse

linealmente.

3) En muros con aberturas, para valuar la fuerza cortante que toma el concreto en

los segmentos verticales entre aberturas o entre una abertura y un borde, se tomará

la mayor relación altura a longitud entre la del muro completo y la del segmento

considerado.

b) Fuerza cortante que toma el acero del alma

El refuerzo necesario por fuerza cortante se determinará a partir de las ecs. 6.13 y 6.14,

respetando los requisitos de refuerzo mínimo que se establecen en 6.5.2.5.c.

La cuantía de refuerzo paralelo a la dirección de la fuerza cortante de diseño, pm, se

calculará con la expresión. Ver figura 3.8

cmR

cRum AfyF

VVP××

−= (6.13)

y la del refuerzo perpendicular a la fuerza cortante de diseño, pn, con:

104

( 0025.05.25.00025.0 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= m

mn P

LHP ) (6.14)

Donde: ts

APm

vmm = ;

tsAP

n

vnn = ;

sm, sn = separación de los refuerzos paralelo y perpendicular a la fuerza cortante de

diseño, respectivamente;

Avm = área de refuerzo paralelo a la fuerza cortante de diseño comprendida en una

distancia sm; y

Avn = área de refuerzo perpendicular a la fuerza cortante de diseño comprendida en una

distancia sn. Ver figura 3.8

No es necesario que la cuantía de refuerzo pn por fuerza cortante sea mayor que pm. Si la

relación Hm/L no excede de 2.0, la cuantía pn no debe ser menor que pm.

Las barras verticales deben estar ancladas de modo que en la sección de la base del

muro sean capaces de alcanzar su esfuerzo de fluencia. Ver figura 3.8

105

Ancho del muro

Pn Pm

PmPn

LdLd

Entrepiso

Entrepiso

Hme

Alma del muro ExtremoExtremo

Figura 3.8 Colocación del refuerzo en el alma del muro, acero paralelo y

perpendicular a la fuerza cortante.

c) Refuerzo mínimo, separación y anclaje del refuerzo

Las cuantías de refuerzo pm y pn no serán menores de 0.0025.

El refuerzo se colocará uniformemente distribuido con separación no mayor de 350 mm

(fig. 6.7). Se pondrá en dos capas, cada una próxima a una cara del muro, cuando el

espesor de éste exceda de 150 mm, o el esfuerzo cortante medio debido a las cargas de

diseño sea mayor que cf *19.0 en MPa (o cf *6.0 en kg/cm²); en caso contrario, se

podrá colocar en una capa a medio espesor.

Todas las barras horizontales y verticales deben estar ancladas de modo que sean

capaces de alcanzar su esfuerzo de fluencia.

106

Figura 6.7 Detallado de muros

107

d) Limitación para Vu En ningún caso se admitirá que la fuerza cortante de diseño, Vu, sea mayor que

cfAF cmR*63.0 (6.15)

( )cfAF cmR*2

e) Aberturas Se proporcionará refuerzo en la periferia de toda abertura para resistir las tensiones que puedan presentarse. Como mínimo deben colocarse dos barras de 12.7 mm de diámetro (número 4), o su equivalente, a lo largo de cada lado de la abertura. El refuerzo se prolongará una distancia no menor que su longitud de desarrollo, Ld, desde las esquinas de la abertura. Ver figura 3.9 Se deberá revisar la necesidad de suministrar refuerzo en un extremo según los incisos 6.5.2.4.a o 6.5.2.4.b. Las aberturas deben tomarse en cuenta al calcular rigideces y resistencias. f) Juntas de colado Todas las juntas de colado cumplirán con las secciones 14.3.10 y 2.5.10.

A s m in = 2 V a `# 4(en cada bo rde de la abertu ra )

Ld

Ld

A bertu ra en m uro

A ncho de l m u ro Figura 3.9 Colocación del acero mínimo en los bordes de aberturas.

6.5.2.6 (N.T.C concreto).- Muros acoplados. Todas las reglas señaladas anteriormente serán válidas para los segmentos de muros que formen parte de muros acoplados destinados a resistir fuerzas laterales en su plano.

108

Las vigas de acoplamiento se diseñarán y detallarán según lo especificado en la sección 6.1.4.5. 6.1.4.5 Vigas diafragma que unen muros sujetos a fuerzas horizontales en su plano (vigas de acoplamiento) El refuerzo de vigas diafragma con relaciones L/ h no mayores de 2, que unen muros sujetos a fuerzas horizontales inducidas por el sismo, constará de dos grupos de barras diagonales dispuestas simétricamente respecto al centro del claro, según se indica en la fig. 6.5. Se supondrá que cada grupo forma un elemento que trabajará a tensión o compresión axiales y que las fuerzas de interacción entre los dos muros, en cada viga, se transmiten sólo por las tensiones y compresiones en dichos elementos. Para determinar el área de acero longitudinal de cada diagonal Asd, se despreciará el concreto y se usará la ec. 6.1.

bdfFsenfAFV cRysdRu*78.02 ≤= θ (6.1)

( )bdfFsenfAFV cRysdRu

*5.22 ≤= θ Donde Asd área total del refuerzo longitudinal de cada diagonal; y θ ángulo que forma el elemento diagonal con la horizontal. El ancho de estas vigas será el mismo que el espesor de los muros que unen. Cada elemento diagonal constará de no menos de cuatro barras rectas sin uniones. Los lados de los elementos diagonales, medidos perpendicularmente a su eje y al paño del refuerzo transversal, deberán ser al menos iguales a b/2 para el lado perpendicular al plano de la viga (y del muro) y a b/5 para el lado en el plano de la viga. Cada extremo del elemento diagonal estará anclado en el muro respectivo una longitud no menor que 1.5 veces Ld, obtenida ésta según la sección 5.1.2. Si los muros que unen tienen elementos extremos de refuerzo diseñados según los incisos 6.5.2.4.a o 6.5.2.4.b, la longitud de anclaje del refuerzo diagonal se podrá reducir a 1.2 veces Ld. Las barras de los elementos diagonales se colocarán tan próximas a las caras de la viga como lo permitan los requisitos de recubrimiento, y se restringirán contra el pandeo con estribos o hélices que, en el tercio medio del claro de la viga, cumplirán con los requisitos de la sección 6.2.3. En los tercios extremos, la separación se reducirá a la mitad del que resulte en el central. Los estribos o el zuncho que se use en los tercios extremos se continuarán dentro de cada muro en una longitud no menor que L/8, a menos que el muro cuente con los elementos de refuerzo extremos que se tratan en la sección 6.5.2.4. En el resto de la viga se usará refuerzo vertical y horizontal que en cada dirección cumpla con los requisitos para refuerzo por cambios volumétricos de la sección 5.7. Este refuerzo se colocará en dos capas próximas a las caras de la viga, por afuera del refuerzo diagonal.

109

Figura 6.5 Refuerzo de una viga diafragma que une muros sujetos a fuerzas horizontales en su plano

110

Capítulo 4

Diseño de muros de Cortante en Edificios. 4.1.- Descripción de los proyectos.

En este capítulo se presentan dos proyectos arquitectónicos de edificios con once

niveles destinados al uso habitacional, los cuales arquitectónicamente son similares

pero estructuralmente diferentes, como el tema centran esta enfocado esencialmente al

diseño de muros de concreto reforzado, cada proyecto tiene una estructuración a base

de marcos y muros de concreto con distribuciones diferentes, esto con la finalidad de

obtener diversos tipos de muros de cortante para su diseño.

El diseño estructural de los edificios se llevo a cabo por medio del programa para

análisis estructural STADD. Pro 2003, herramienta útil y eficaz en la obtención de los

elementos mecánicos a los cuales están sujetas dichas estructuras. Una vez obtenidos

los datos del análisis se procedió al diseño estructural de los muros de cortante,

elaborado en base a lo estipulado por las Normas Técnicas Complementarias para el

Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto. 2004 del R.C.D.F. Incluyendo

también el diseño de elementos estructurales ligados al comportamiento y uso de los

muros de cortante: vigas de conexión (vigas de acoplamiento) y elementos de refuerzo

en los extremos.

111

4.1.1.- Proyecto I Edificio de 11 niveles para uso habitacional, estructura de concreto reforzado

clasificada según el R.C.D.F. como “B” y ubicada en zona sísmica III, con coeficiente

sísmico igual a 0.40, factor de comportamiento sísmico igual a 3 y factores de carga

igual a 1.40 y 1.1 para carga gravitacional y sísmica respectivamente.

La planta baja del edificio esta destinada para ubicar cajones de estacionamiento, en

los pisos del 1 al 10 se ubicaran 4 departamentos por nivel los cuales a su vez tendrán:

2 recámaras, 1 sala comedor, 1 baño completo, cocina y zotehuela., así como se

muestra en el plano arquitectónico de la figura 4.1. El nivel 11 estará destinado para la

azotea y cuarto de máquinas.

Estructuración a base de marcos y muros de cortante colocados simétricamente,

formados por columnas, trabes, muros y losas de concreto reforzado clase I, f´c = 250

Kg/cm2, fy = 4200 Kg/cm2. Los muros divisorios de los departamentos son de

mampostería cubiertos con mortero cemento arena y yeso, los pisos y muros de baños

estarán cubiertos de loseta y azulejo respectivamente, todos los techo serán de falso

plafón de tablaroca y la toda la cancelaría de aluminio con cristal de 13 mm.

Los muros de cortante formarán el cubo de servicios donde se encuentran ubicados los

elevadores y las escaleras, estarán desplantados desde la cimentación hasta el nivel

11, formando segmentos de muro en cada entrepiso de 3.20 m en planta baja y 2.60 m

en los niveles siguientes, con un espesor de 20 cm y estarán conectados entre

aberturas por vigas de conexión o de acoplamiento con sección de 20 x 60 cm. Los

marcos formaran el resto de la estructura con columnas perimetrales de 40 x 60 y 40 x

40 cm, columnas centrales de 80 x 50 cm y trabes de 30 x 60 cm que soportaran losas

de 10 cm de espesor. Ver el planos de la figura 4.2. y 4.3.

112

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B C D E

* Coeficiente sismico = 0.40

PLANO ESTRUCTURALCORTE A-A'

TESIS PROFESIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA Y

ARQUITECTURA

MARTIN GERARDO LOPEZ OLVERA

" DISEÑO DE MUROS DE CORTANTE EN EDIFICIOS ALTOS "

T - 1

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Plano.

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* Carga total (C.M + C.V. ) distribuida sin factorizar en losa de azotea = 720 Kg/ m2

* Carga total (C.M + C.V. ) distribuida sin factorizar en losa de entrepiso = 940 Kg/ m2

T - 1

C-3

C-3

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T - 1

C-3

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C-3

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C-3

C-3

* Acero fy= 4200 Kg/ cm2* Concreto clase I, f'c=250 Kg/cm2

* Estructura del grupo "B" segun R.C.D.F.

M-1= Muro de Cortante (1) esp. 20cmM-2= Muro de Cortante (2) esp. 20cm

C-1 = Columna de 40 x 40 cmC-2 = Columna de 40 x 60 cmC-3 = Columna de 60 x 40 cmC-4 = Columna de 80 x 50 cm

T-2 = Viga de 60 x 20 cm

T - 1

T - 1

C-3

T - 1

C-3

* Factor de carga = 1.4* Zona Sismica III

Notas Generales.

T - 1

C-3

C-3

T - 1

T-1 = Viga de 60 x 30 cm

Simbologia.

Croquis de Localización.

FUbicación.

Proyecto.

Calle: 3 , Num. 41Col. Valentin Goméz FariasDel. Venustiano CarranzaC.P. 15010. Distrito Federal

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Calle 2

Calz. Ignacio Zragoza

Calle 4

PROYECTO I"EDIFICIO PARA DEPARTAMENTOS"

Figura 4.2 Plano Estructural (corte) Proyecto I.

115

4.1.2.- Proyecto II Edificio de 11 niveles para uso habitacional, estructura de concreto reforzado

clasificada según el R.C.D.F. como “B” y ubicada en zona sísmica III, con coeficiente

sísmico igual a 0.40, factor de comportamiento sísmico igual a 3 y factores de carga

igual a 1.40 y 1.1 para carga gravitacional y sísmica respectivamente.

La planta baja del edificio esta destinada para ubicar cajones de estacionamiento, en

los pisos del 1 al 10 se ubicarán 4 departamentos por nivel los cuales a su vez tendrán:

2 recámaras, 1 sala comedor, 1 baño completo, cocina y zotehuela., así como se

muestra en el plano arquitectónico de la figura 4.4. el nivel 11 estará destinado para la

azotea y cuarto de máquinas.

Estructuración a base de marcos y muros de cortante colocados simétricamente,

formados por columnas, trabes, muros y losas macizas de concreto reforzado clase I,

f´c = 250 Kg/cm2, fy = 4200 Kg/cm2. Los muros divisorios de los departamentos son

de mampostería cubiertos con mortero cemento arena y yeso, los pisos y muros de

baños estarán cubiertos de loseta y azulejo respectivamente, todos los techo serán de

falso plafón de tablaroca y toda la cancelaría de aluminio con cristal de 13 mm.

Para este proyecto tenemos una diferente estructuración con muros de cortante, aparte

de contar con los muros que forman el cubo de servicios, se colocaran muros laterales

de 20 cm de espesor desplantados desde la cimentación hasta el nivel 11 en los ejes A

y F con aberturas simétricas para ubicar ventanas y vigas de conexión con sección de

20 x 60 cm que unen los segmentos de muro en cada entrepiso, el segmento de muro

correspondiente a la planta baja será completamente cerrado sin aberturas ni vigas de

conexión como las que se encuentran en los segmentos del nivel 1 al 10. Los muros de

cortante que forman el cubo de servicios donde se encuentran ubicados los elevadores

y las escaleras, estarán desplantados desde la cimentación hasta el nivel 11.

116

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118

Formando segmentos de muro con espesor de 20 cm en cada entrepiso de 3.20 m en

planta baja y 2.60 m en los niveles siguientes y estarán conectados entre aberturas por

vigas de conexión o de acoplamiento con sección de 20 x 60 cm. Los marcos formarán

el resto de la estructura con columnas perimetrales de 40 x 60 cm, columnas centrales

de 80 x 50 cm y trabes de 30 x 60 cm que soportaran losas de 10 cm de espesor. Ver

el plano de la figura 4.5.

En este proyecto únicamente se hará el diseño del muro tipo M-3 que se encuentra en

los ejes A y F de la figura 4.5, ya que en el proyecto I se hará el diseño de los muros M-1 y M-2 (figura 4.2) que forman el cubo de servicios y aunque la estructuración es

diferente y se obtengan diferentes valores en el análisis, para el diseño de dichos

muros el proceso de diseño será el mismo que se exponga para el proyecto I.

4.2.- Análisis estructural de los edificios. Como se menciono anteriormente en el capitulo 2, existe una gran variedad de

programas de cómputo para realizar el análisis y diseño de diversos tipos de estructuras

de dimensiones considerables, gracias al uso de estos programas que procesan

grandes cantidades de información podemos analizar y diseñar edificios que consten

de múltiples elementos estructurales: columnas, trabes, losas, muros y otros elementos.

Para el análisis de los edificios a los que hace referencia los proyectos I y II, utilizamos

el programa de análisis y diseño estructural STAAD.Pro. A continuación se describe el

uso del programa para la introducción e interpretación de la salida de datos que arroja

el software.

4.2.1.- Uso del programa STAAD.Pro.

STAAD.Pro, se puede manipular de una manera amigable y fácil, ya que trabaja en

ambiente Windows con iconos y ventanas fáciles de distinguir e interpretar. Sería

bastante amplio describir todas las funciones y aplicaciones que tiene dicho programa,

así que para fines prácticos solo describiremos el procedimiento empleado para el

análisis de los edificios del proyecto I y II.

119

4.2.1.1.- Introducción de datos. Paso 1.- Crear un archivo nuevo especificando el tipo de dimensión en la que se desea

elaborar el modelo estructural, para este caso se realizará en el espacio (space), esto

significa que tendremos coordenadas en X, Y y Z., de la misma manera se

seleccionarán las unidades de longitud y fuerza que deseamos utilizar (pulgadas,

milímetros, centímetros, metros, etc. y Kilogramos, toneladas, pounds, newtons, etc.).

Paso 2.- Elegir un prototipo de estructura similar a la que se pretende analizar, con la

finalidad de apoyarnos en ella y facilitar la elaboración de la topología de nuestra

estructura, modificando las dimensiones de largo, ancho y altura. Logrando con ello una

estructura similar a la nuestra con las mismas dimensiones y número de elementos que

la forman. Ver figura 4.6.

Figura 4.6 Topología de la estructura del proyecto I.

120

Al centro de la figura observamos la topología completa de la estructura, con igual

número de elementos estructurales, a la izquierda se muestran la numeración de

nodos, vigas, columnas y placas de las que consta nuestra estructura.

Paso 3.- Después de tener la topología completa, procedemos a asignar propiedades a

cada uno de los elementos estructurales, aquí es donde definimos las medidas que

tienen las diferentes secciones de los elementos (ancho, peralte, espesor, etc.) y las

propiedades de los materiales que lo forman (concreto, acero, aluminio, etc.). En la

figura 4.7 observamos la estructura del edificio del proyecto I con propiedades ya

asignadas.

Figura 4.7 Edificio con propiedades asignadas.

Paso 4.- El siguiente paso es la asignación de cargas, ya que el objetivo es idealizar el

comportamiento de los muros bajo cargas sísmica, no solo cargaremos la estructura

con cargas gravitacionales si no también con cargas sísmicas en los cuatro sentidos de

121

la estructura obtenidas en base a un análisis símico de fuerzas cortantes y repartidas

según la rigidez de la estructura. Las cargas gravitacionales y sísmicas se colocaran

de forma independiente para después hacer una combinación con las más

representativas en magnitud. La figura 4.8 muestra la estructura con cargas ya

aplicadas, las cargas gravitacionales de los entrepisos se colocaran distribuidas en los

tableros de las losas y las cargas sísmicas se aplicaran en los nodos que se

encuentren en las caras de la estructura sujetas a la fuerza sísmica.

Conjuntamente a este paso procedemos a asignar el tipo de soportes sobre los que

deberá estar desplantada la estructura, como todos los desplantes de las columnas

deben estar empotrados entonces elegiremos soportes con restricción en todas las

direcciones de posible movimiento.

Figura 4.8 Edificio con cargas asignadas.

Paso 5.- Una vez que se tiene la estructura totalmente declarada con medidas,

propiedades de elementos, soportes, cargas y dependiendo del tipo de análisis que se

122

desee obtener se giran las instrucciones para correr el programa y obtener los

resultados.

4.2.1.2.- Interpretación de resultados.

Después que el programa procesa el análisis de la estructura, obtenemos una

diversidad de información que se clasifica de la siguiente manera:

Para (Beam) vigas y columnas proporciona tres tipos de resultados:

1.- Fuerzas (Forces). *Fuerza Axial en X (Kg) -Fx-

*Fuerza Cortante en Y (Kg) -Fy-

*Fuerza Cortante en Z (Kg) -Fz-

*Momento Torsionante en X (Kg-m) -Mx-

*Momento Flexionante en Y (Kg-m) -My-

*Momento Flexionante en Z (Kg-m) -Mz-

2.- Esfuerzos (Stresses). *Esfuerzos de esquina (Corner stress) (Kg/cm2)

*Esfuerzos Máx. de compresión y Tensión (Kg/cm2)

3.- Gráficas (Graphs). *Gráfica de momentos flexionantes en Z (Kg-m)

*Gráfica de fuerza cortante en Y (Kg)

*Gráfica de fuerza cortante en X (Kg)

Para (Nodes) nodos se obtienen dos tipos de información:

1.- Desplazamientos. *Desplazamiento horizontal y vertical en X, Y y Z

en (cm).

*Desplazamiento rotacional rX, rY, y rZ en radianes

2.- Reacciones. *Fuerzas Cortantes en Fx, Fy, y Fz (Kg)

*Momentos flexionantes Mx, My y MZ (Kg-m)

123

En el análisis de placas (plates), es donde se obtienen los resultados del

comportamiento de losas y muros estos se dan de la siguiente manera:

Esfuerzos y momentos flexionantes en el contorno de la placa:

• Esfuerzo normal SQx (Kg/cm2)

• Esfuerzo normal SQy (Kg/cm2)

• Esfuerzo normal de membrana Sx (Kg/cm2) (σx)

• Esfuerzo normal de membrana Sy (Kg/cm2) (σy)

• Esfuerzo cortante de membrana Sxy (Kg/cm2) (τxy)

• Momento flexionante Mx (Kg-m/m)

• Momento flexionante My (Kg-m/m)

• Momento torsionante Mxy (Kg-m/m)

Para simplificar la interpretación de los momentos y cortantes que actúan en el contorno

de las placas observemos la figura 4.9, donde se muestra la distribución y forma de

actuar de dichas fuerzas.

Sx

SySxy

x

yz

MxyMxy

Myx

Myx

SQxSQx

SQy

SQy

MxMy

Superficie Superior

Superficie Inferior

Figura 4.9 Convención de signos para fuerzas en las placas.

124

La idealización en la topología de los muros de cortante que se presentan en los

proyectos I y II, está elaborada a base de una discretización de segmentos de muro en

elementos finitos, representados por diversas placas que lo forman ver figura 4.10.

Figura 4.10 Discretización de los segmentos de muros en elementos finitos.

Los resultados antes mencionados que se obtienen del análisis de las placas que

forman los segmentos de muro son los necesarios para el diseño de estos, sin embargo

como los elementos que tratamos de diseñar son estructuras sujetas a fuerzas

horizontales, es decir, fuerzas que provocan flexión en su plano, las cuales son las que

producen mayores deformaciones en estas estructuras. Para poder obtener los

elementos mecánicos que se producen por la acción de estas fuerzas, se debe tomar

en cuenta los resultados de los Esfuerzos Normales y Cortantes de Membrana σy y τxy

respectivamente aplicando la siguiente deducción:

125

Como σy (esfuerzo normal) y τxy (esfuerzo cortante) representan esfuerzos actuantes

en las superficies laterales de las placas (ver figura 4.9), y lo que interesa deducir son

el Cortante Vu y Momento Flexionante Mu que producen dichos esfuerzos en el plano

del muro ó placa, entonces para deducir esto se puede apoyar uno en las siguientes

ecuaciones:

IYMu

y×

=σ (a)

bIQVu

xy ××

=τ (b)

Si decimos que Sy = σy y Sxy = τxy entonces se puede sustituir y despejar las

ecuaciones (a) y (b) de la siguiente manera:

YI

M yu

×=

σ (4.1)

QbI

V xyu

××=

τ (4.2)

Donde:

Mu = Momento último del segmento de muro a flexión en su plano.

Vu = Cortante del segmento de muro.

I = Momento de inercia del segmento de muro 12

3LbI ×=

Y = c, que es la distancia del eje neutro de la sección a la fibra extrema a compresión.

b = Espesor del muro.

Q = Momento de primer orden ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×=

42LLtQ

La figura 4.11 muestra los diagramas de esfuerzos σy y τxy en una sección de un muro a

flexión. No en todas las secciones de muros sujetos a flexión muestran los mismos

diagramas de esfuerzos, esto debido, a que lo esfuerzos varían con la intensidad de

carga y altura de la sección. Para el caso de los esfuerzos τxy tomaremos el máximo

promedio que se presente en la base del muro, según los valores dados por cada una

de las placas que formen la franja de la base del muro. Y para los esfuerzos σy

tomaremos los máximos que se presenten en las placas laterales de la franja base del

126

segmento de muro, la figura 4.11 muestra la distribución de esfuerzos σy en segmentos

de muros, de acuerdo al tipo de color que presenten las placas es la intensidad del

esfuerzo. Con lo antes expuesto es posible hacer el diseño de los muros o segmentos

de muros, solo quedaría por mencionar que para el diseño de vigas de conexión o de

acoplamiento la interpretación de resultados arrojados por el análisis es mas sencilla, ya

que directamente podemos observar los valores y gráficas de fuerzas cortantes y

momentos flexionantes a las que están sujetas dichos elementos.

Planta del muro

τ xy max. promedio

Diagrama de Esfuerzos Cortantes τxy

−σy

σ y

Diagrama de Esfuerzos Cortantes σy

t=d

Figura 4.11 Diagramas de esfuerzos σy y τxy en un muro a flexión.

Franja de placas en la base del muro





Esfuerzos σy de tensión en la base del muroEsfuerzos σy de compresión en la base del muro

Figura 4.11 Distribución de esfuerzos σy en el muro de cortante M-1

127

4.3.- Diseño de muros. 4.3.1.- Diseño de muro tipo M-1, ejes C y D proyecto I. 4.3.1.1.- Muro de plata baja. Datos:

Hm = 320 cm

L = 430 cm

t = b = 20 cm

σy último = 161.42 Kg/cm2 x 1.1 (F.C) = 177.56 Kg/cm2

τxy último = 20.75 Kg/cm2 x 1.1 (F.C) = 22.83 Kg/cm2

f´c = 250 Kg/cm2, f*c = 200 Kg/cm2, f´´c = 170 Kg/cm2

fy = 4200 Kg/cm2

I = 132´511,667 cm4

Pu = 155,049 Kg

Aplicando las ecuaciones 4.1 y 4.2 obtenemos que:

cmKgcm

cmcmKgM u −′=′×

= 00.147,436910215

´667,511213/56.177 42

Kgcm

cmcmcmKgVu 00.892,13000.250,462

2000.667,511213/83.223

42

=×′×

=

• Cálculo del momento resistente MR para los armados de los extremos del muro.

Tomando en cuenta lo estipulado en las N.T.C. Concreto incisos: 6.5.2.1 y 6.5.2.3 a, la

resistencia a flexión en muros sujetos a fuerzas horizontales en su plano se puede

calcular con la siguiente ecuación:

( )qdFAFM ySRR 5.01 −= (4.3)

esto, si cAgfPu ′< 3.0 y la relación 70<tL

PU =155,049 Kg < 0.30 x 250 Kg/cm2 x 20 cm x 430 cm = 645,000 Kg… Bien

128

430 cm / 20 cm = 21.50 < 70 … Bien

Donde:

FR = Factor de resistencia estipulado en N.T.C. concreto, para flexión: 0.90

AS = Área de acero a flexión.

fy = Fluencia del acero.

P = AS/db porcentaje de acero.

q = (P x fy) / f´´c

d = Peralte efectivo de la sección de muro sujeto a flexión, ver figura 4.12.

• Obtención del peralte efectivo.

De acuerdo con lo estipulado en la N.T.C. concreto inciso 6.5.2.3 b, referente a la

colocación del refuerzo vertical a flexión: “ En muros con relación Hm/L no mayor que

1.2, el refuerzo vertical para flexión o flexocompresión que se calcule en la sección de

momento máximo se prolongará recto y sin reducción en toda la altura del muro,

distribuido en los extremos de éste en anchos iguales a (0.25 – 0.1 Hm / L) L, medido

desde el correspondiente borde, pero no mayor que 0.4 Hm”.

Como Hm/L = 320 cm / 430 cm = 0.74, entonces de acuerdo a esto y la figura 4.12

determinamos que el peralte efectivo es la distancia del centroide del acero a flexión y

la fibra extrema a compresión.

Ancho del extremo = ( )[ ] cm50.75430430/3201.025.0 =− < cm00.12820.340.0 =× …Bien

Peralte efectivo: d =3.92

Distancia para distribuir el acero a flexión en los extremos

Centroide del acero a flexión.

Planta del muro Figura 4.12 Determinación del peralte efectivo en muro M-1 P.B.

129

Por lo tanto el peralte efectivo de la sección del muro será: d=3.92

Para el cálculo de MR se debe proponer As, así que se calculará el área de acero

mínimo Asmin, de acuerdo a la fórmula 4.4 expuesta en las N.T.C. concreto inciso 2.2.1

bdfy

cfAs

´7.0min = (4.4)

( )( ) 2min 66.2039220

420025070.0 cmAs =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×=

0026.039220

66.20 2

=×

=cmcm

cmP

064235.0/170

/42000026.02

2

=×

=cmKg

cmKgq

( )[ ] cmKgcmcmKgcmM R −=×−××=∴ 88.938,629´29064235.05.01392/420066.2090.0 22

Como MU > MR entonces se debe proponer una mayor área de acero hasta lograr que

se invierta la condicionante anterior:

Si con AS =20.66 Cm2 tenemos que MR = 29´629,938.88Kg-cm

Entonces para MU = 109´436,147.00 Kg-cm se tendrá un AS ≈ 86 cm2

Con esta área de acero se calcula el momento resistente:

0109694.039220

86 2

=×

=cmcm

cmP

27100084.0/170

/42000109694.02

2

=×

=cmKg

cmKgq

( ) cmKgcmcmKgcmM R −=×−×××= 875,163´11027100084.050.01392/42008690.0 22

Como MR>MU entonces se toma como óptima el área de acero = 96 cm2 para armar

cada extremo del muro, sin antes comprobar que no pase del máximo permisible de

acuerdo con la ecuación 4.5. Expuesta en las N.T.C. concreto inciso 2.2.2

130

bdfyfy

cfAsb6000

6000´´ 11

+=

β (4.5)

( )( ) 222

2

66.158392206000/4200

85.06000/4200

/170 cmcmKgcmKg

cmKgAsb =+

×= > 86 cm2 …Bien

Por lo tanto se procede armar el extremo del muro con AS = 86 cm2 ver figura 4.13.

Proponiendo Var. # 8, con as = 5.07 cm2; determinamos el numero aproximado de

varillas :

86cm2/5.07cm2 = 16.96 piezas

Para fines prácticos y de diseño se usarán 18 Var. # 8.

Planta del muro

Figura 4.13 Armado a flexión de los extremos del muro M-1 P.B.

• Cálculo del acero transversal en los extremos.

El acero transversal de los extremos del muro se determino a partir de lo estipulado en

las N.T.C. concreto incisos 6.5.2.4 c y 7.3.4 c y de la ecuación 4.6, como se muestra a

continuación:

Sbcf

cfAA

Ayhc

gsh

´130.0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−> (4.6)

Donde:

Ash-1 = Área del acero trasversal paralelo al espesor del muro.

131

Ash-2 = Área del acero perpendicular al espesor del muro.

Ag = Área de bruta de la sección.

Ac = Área del núcleo de concreto confinado.

f´c = Esfuerzo máximo de compresión del concreto.

fyh = Esfuerzo de fluencia del acero transversal.

S = Separación teórica del acero trasversal.

bc = Ancho del núcleo de concreto confinado por el acero transversal, ver figura

la figura 4.13.

Ash-1 = 12 Var. # 3 = 11 x 0.71 cm2 = 7.81 cm2

Ash-2 = 2 Var. # 3 = 2 x 0.71 cm2 = 1.42 cm2

Proponiendo una separación de 12 cm y varilla del número 3 para el acero transversal

se tiene lo siguiente.

Para el acero paralelo al espesor de muro se tiene que:

( )( ) 21 47.650.7012

42002501

50.1057151030.0 cmAsh =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −>− , por lo tanto s = 12 cm …Bien

Para el acero perpendicular al espesor tenemos:

( )( ) 22 38.11512

42002501

50.1057151030.0 cmAsh =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −>− , por lo tanto s =12 cm …Bien

Conforme a lo anterior, los estribos y grapas que restringen el pandeo del acero a

flexión en los extremos del muro, serán con varilla del # 3 @ 12 cm. Ver figura 4.13.

• Armado del alma del muro.

Para determinar la cantidad de acero que toma el alma del muro se hace referencia a

lo indicado por las N.T.C. concreto inciso 6.5.2.5 a,b,c,d. Si la relación Hm/L< 1.5, el

cortante resistente del muro VCR se puede calcular con la siguiente ecuación:

tLcfFV RCR *85.0= (4.7)

132

Donde:

FR = Factor de resistencia para cortante: 0.80

f*c = Resistencia del concreto reducida = 200 Kg/cm2


L = Ancho del muro.

Como: 320/430=0.74

Entonces: KgVCR 703,824302020080.085.0 =××××=

Ya que VU > VCR, debemos calcular el porcentaje de acero para el acero paralelo a la

fuerza cortante Pm y para el perpendicular a la fuerza cortante Pn con las siguientes

fórmulas:

cmR

CRU

fyAFVV

Pm−

= (4.8)

( )0025.05.25.00025.0 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= Pm

LHmPn (4.9)

Donde Acm = Área bruta de la sección sujeta al cortante.

Aplicando la ecuación 4.8 y 4.9:

001667.020430/420080.0

703,82892,1302 =

×××−

=cmcmcmKg

KgKgPm

Como Pm y Pn > 0.0025

Y no resulta ser así, por lo que no se calcula el valor de Pn y procedemos a diseñar con

el porcentaje mínimo para el acero de ambos sentidos, conforme las siguientes

expresiones:

SmtAvmPm = y

SntAvnPn =

Donde:

Avm = Área del refuerzo paralelo a la fuerza cortante de diseño comprendida en una

distancia Sm.

133

Avn = Área del refuerza perpendicular a la fuerza cortante de diseño comprendida en

una distancia Sn.

Sm y Sn = Separación de los refuerzos paralelos y perpendicular a la fuerza cortante de

diseño, respectivamente.

Para calcular Avm y Avn, se propone varilla del # 3, con as = 0.71 cm2.

Como es doble parrilla, entonces decimos que:

Avm = Avn = 2 x 0.71cm2 = 1.42 cm2 …Bien.

Por lo tanto deducimos que: cmcm

cmSnSm 40.28200025.0

42.1 2

=×

== y armamos el alma del

muro de la siguiente manera, ver figura 4.14. En ningún caso se admitirá que la fuerza

cortante de diseño, VU, sea mayor que: cfAF cmR *2 , en caso contrario debemos

revisar el espesor del muro para modificarlo si es necesario.

Planta del muro

Figura 4.14 Armado del alma del muro M-1(igual de P.B. a Nivel 10).

Al haber obtenidos porcentajes de acero menores que los mínimos para el armado del

alma en el muro de planta baja que es donde se presentan los mayores esfuerzos

cortantes para muros sujetos a flexión, se deduce entonces que este armado será el

mismo para todos los segmentos de muro siguientes del nivel 1 al 10.

134

4.3.1.2.- Muro del primer nivel.

Datos:

Hm = 260 cm

L = 430 cm

t =d = 20 cm

σy ultimo = 98.06 Kg/cm2 x 1.1 (F.C) = 107.87 Kg/cm2

τxy ultimo = 23.30 Kg/cm2 x 1.1 (F.C) = 25.63 Kg/cm2


fy = 4200 Kg/cm2

I = 132´511,667 cm4

Pu = 139,640.00 Kg


cmKgcm

cmcmKgMu −=′×

= 83.876,483'66215

´667,511213/87.107 42

Kgcm

cmcmcmKgVu 33.945,14600.250,462

2000.667,511213/63.253

42

=×′×

=

• Cálculo del momento resistente MR para el armado de los extremos del muro.



calcular con la ecuación 4.3

( )qdFAFM ySRR 5.01 −= (4.3)

esto, si cAgfPU ′< 3.0 y la relación 70<tL

PU =139,640 Kg < 0.30 x 250 Kg/cm2 x 20 cm x 430 cm = 645,000 Kg …Bien

430 cm / 20 cm = 21.50 …Bien

135

Donde:



Fy = Fluencia del acero.

P = AS/db porcentaje de acero

q = (P x fy) / f´´c

d = Peralte efectivo de la sección de muro sujeto a flexión, determinada de la siguiente

forma:





distribuido en los extremos de éste en anchos iguales a (0.25 – 0.1 Hm / L) L, medido

desde el correspondiente borde, pero no mayor que 0.4 Hm”.

Como Hm/L = 260cm / 430 cm = 0.60, entonces de acuerdo a esto y la figura 4.15

determinamos que el peralte efectivo es la distancia del centroide del acero a flexión y

la fibra extrema a compresión.

Ancho del extremo = ( )[ ] cm50.81430430/2601.025.0 =− …Bien

cm00.10460.240.0 =×

Peralte efectivo: d =3.89

Distancia para distribuir el acero a flexión en los extremos

Centroide del acero a flexión.

Figura 4.15 Determinación del peralte efectivo en muro M-1 nivel 1.

136

Por lo tanto el peralte efectivo de la sección del muro será: d=3.92 Por lo tanto el peralte efectivo de la sección del muro será: d=3.89 Para el cálculo de MR debemos proponer As, así que se calculará el área de acero


bdfy

cfAs

´7.0min = (4.4)

( )( ) 2min 50.2038920

420025070.0 cmAs =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×=

0026.038920

50.20 2

=×

=cmcm

cmP

064235.0/170

/42000026.02

2

=×

=cmKg

cmKgq

( )[ ] cmKgcmcmKgcmM R −=×−××=∴ 61.472,175´29064235.05.01389/420050.2090.0 22



Si con AS =20.50 Cm2 tenemos que MR = 29´175,472.61 Kg-cm

Entonces para MU = 66´483,876.83 Kg-cm se tendrá un AS ≈ 50 cm2

Con esta área de acero procedemos a calcular el momento resistente:

006426735.038920

50 2

=×

=cmcm

cmP

15877816.0/170

/4200006426735.02

2

=×

=cmKg

cmKgq

( ) cmKgcmcmKgcmM R −=×−×××= 29.235,684´67158778.050.01389/42005090.0 22

137

Como MR>MU, tomamos como óptima el área de acero = 50 cm2 para armar cada

extremo del muro, sin antes comprobar que no pase del máximo permisible de acuerdo

con la ecuación 4.5. Expuesta en las N.T.C. concreto inciso 2.2.

bdfyfy

cfAsb6000

6000´´ 11

+=

β (4.5)

( )( ) 222

2

45.157389206000/4200

85.06000/4200

/170 cmcmKgcmKg

cmKgAsb =+

×= > 50 cm2 …Bien


Proponiendo Var. # 8 con as = 5.07 cm2, y Var. # 5 con as =1.98 cm2

6 Var. # 8 = 30.42 cm2 + 12 Var. # 5 = 23.76 cm2 = 54.18 cm2 > 50 cm2 que se

distribuirán en cada extremo del muro.

Planta del muro Figura 4.16 Armado a flexión de los extremos del muro M-1 Nivel 1.


El acero transversal de los extremos del muro se determino a partir de lo estipulado en


continuación:

Sbcf

cfAA

Ayhc

gsh

´130.0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−> (4.6)

Donde:


138







bc = Ancho del núcleo de concreto confinado por el acero transversal,

ver la figura 4.16.

Ash-1 = 11 Va´ # 3 = 11 x 0.71 cm2 = 7.81 cm2

Ash-2 = 2 Va´ # 3 = 2 x 0.71 cm2 = 1.42 cm2




( )( ) 21 02.750.7612

42002501

50.1057151030.0 cmAsh =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞



( )( ) 22 38.11512

42002501

50.1057151030.0 cmAsh =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −>− , por lo tanto s = 12 cm … Bien

Conforme a lo anterior, se dice que los estribos y grapas que restringen el pandeo del

acero a flexión en los extremos del muro, serán con varilla del # 3 @ 12 cm. Ver figura

4.16.

4.3.1.3.- Muro del segundo nivel.

Datos:

Hm = 260 cm

L = 430 cm

t = b = 20 cm

139

d = 389 cm (similar al muro del nivel 1)



Fy = 4200 Kg/cm2

I = 132´511,667 cm4

Pu = 125,490 Kg

Aplicando las ecuaciones 4.1 obtenemos que:

cmKgcm

cmcmKgM u −=′×

= 00.653,400´44215

´667,511213/04.72 42




bdfy

cfAs

´7.0min = (4.4)

( )( ) 2min 50.2038920

420025070.0 cmAs =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×=

0026.038920

50.20 2

=×

=cmcm

cmP

064235.0/170

/42000026.02

2

=×

=cmKg

cmKgq

( )[ ] cmKgcmcmKgcmM R −=×−××=∴ 61.472,175´29064235.05.01389/420050.2090.0 22

Como MU > MR entonces debemos proponer una mayor área de acero hasta lograr que


Si con AS =20.50 Cm2 se tiene que MR = 29´175,472.61 Kg-cm

Entonces para MU = 44´400,653 Kg-cm se tendrá un AS ≈ 32 cm2

140

Con esta área de acero procedemos a cálcular el momento resistente:

004113110.038920

32 2

=×

=cmcm

cmP

101618025.0/170

/4200004113110.02

2

=×

=cmKg

cmKgq

( ) cmKgcmcmKgcmM R −=×−×××= 18.701,662´44101618.050.01389/42003290.0 22



con la ecuación 4.5. Expuesta en las N.T.C. concreto inciso 2.2.2

bdfyfy

cfAsb6000

6000´´ 11

+=

β (4.5)

( )( ) 222

2

45.157389206000/4200

85.06000/4200

/170 cmcmKgcmKg

cmKgAsb =+

×= > 32 cm2 …Bien


Proponemos Var. # 5 con as = 1.98 cm2,

18 Var. # 5 = 18 x 1.98 cm2 = 35.64 cm2 > 32 cm2 que se distribuirán en cada extremo

del muro.

Planta del muro

Figura 4.17 Armado a flexión de los extremos del muro M-1 Nivel 2.


141

El acero transversal de los extremos del muro se determinó a partir de lo estipulado en


continuación:

Sbcf

cfAA

Ayhc

gsh

´130.0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−> (4.6)

Ash-1 = 11 Var. # 3 = 11 x 0.71 cm2 = 7.81 cm2

Ash-2 = 2 Va´ # 3 = 2 x 0.71 cm2 = 1.42 cm2




( )( ) 21 02.750.7612

42002501

50.1057151030.0 cmAsh =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞


Para el acero perpendicular al espesor se tiene que:

( )( ) 22 38.11512

42002501

50.1057151030.0 cmAsh =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞


Conforme a lo anterior, dice que los estribos y grapas que restringen el pandeo del


4.17.

4.3.1.4.- Muro del tercer nivel. Datos:

Hm = 260 cm

L = 430 cm

t = b = 20 cm

d = 389 cm (similar al muro del nivel 1)

σy ultimo = 43.34Kg/cm2 x 1.1 (F.C) = 47.67 Kg/cm2


142

fy = 4200 Kg/cm2

I = 132´511,667 cm4

Pu = 111,300 Kg

Aplicando las ecuaciones 4.1 y obtenemos que:

cmKgcm

cmcmKgM u −=′×

= 610,380´29215

´667,511213/67.47 42



mínimo Asmin, de acuerdo a la formula 4.4 expuesta en las N.T.C. concreto inciso 2.2.1

bdfy

cfAs

´7.0min = (4.4)

( )( ) 2min 50.2038920

420025070.0 cmAs =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×=

0026.038920

50.20 2

=×

=cmcm

cmP

064235.0/170

/42000026.02

2

=×

=cmKg

cmKgq

( )[ ] cmKgcmcmKgcmM R −=×−××=∴ 61.472,175´29064235.05.01389/420050.2090.0 22





Con esta área de acero procedemos a cálcular el momento resistente:

143

002699.038920

21 2

=×

=cmcm

cmP

0666868.0/170

/4200002699.02

2

=×

=cmKg

cmKgq

( ) cmKgcmcmKgcmM R −=×−×××= 71.214,849´290666868.050.01389/42002190.0 22




bdfyfy

cfAsb6000

6000´´ 11

+=

β (4.5)

( )( ) 222

2

45.157389206000/4200

85.06000/4200

/170 cmcmKgcmKg

cmKgAsb =+

×= > 21 cm2 …Bien


Proponemos Var. # 4 con as = 1.27 cm2,

18 Var. # 54 = 18 x 1.27 cm2 = 22.86 cm2 > 21 cm2 que serán distribuidas en cada

extremo del muro.

Planta del muro


144


El acero transversal de los extremos del muro se detreminó a partir de lo estipulado en


continuación:

Sbcf

cfAA

Ayhc

gsh

´130.0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−> (4.6)

Ash-1 = 11 Var. # 3 = 11 x 0.71 cm2 = 7.81 cm2

Ash-2 = 2 Var. # 3 = 2 x 0.71 cm2 = 1.42 cm2




( )( ) 21 02.750.7612

42002501

50.1057151030.0 cmAsh =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞



( )( ) 22 38.11512

42002501

50.1057151030.0 cmAsh =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞


Conforme a lo anterior, decimos que los estribos y grapas que restringen el pandeo del


4.18.

Como el área de acero mínima (20.05 cm2), es muy cercana a 20.10 cm2 se propone

dejar el armado de la figura 4.18 recto y sin reducción en los niveles subsecuentes del

muro tipo M-1.

145

En la figura 4.19 se puede observar en alzado, el armado del muro M-1 en la planta

baja, primer nivel y segundo nivel, todas la barras Horizontales y verticales de los

entrepisos deben estar ancladas de modo que sean capaces de alcanzar su esfuerzo

de fluencia.

Muro M-1 (Alzado)

Figura 4.19 Armado del muro M-1 en P.B., Nivel y 2.

146

4.3.2.- Diseño de muro tipo M-2, ejes 2 y 3 del proyecto I. 4.3.2.1.- Muro de plata baja. Datos:

Hm = 320 cm

L = 250 cm

t = b = 20 cm


τxy ultimo = 28.96Kg/cm2 x 1.1 (F.C) = 31.86 Kg/cm2


fy = 4200 Kg/cm2

I = 26´041,667 cm4

Pu = 85,860 Kg


cmKgcm

cmcmKgM u −=×

= 584,289´47125

´667,041´26/99.226 42

Kgcm

cmcmcmKgVu 200,106250,156

20667,041´26/86.313

42

=××

=

• Cálculo del momento resistente MR para los armados de los extremos del muro.




( )qdfAFM ySRR 5.01−= (4.3)

Esto, si cAgfPU ′< 3.0 y la relación 70<tL

147

PU =85,860 Kg < 0.30 x 250 Kg/cm2 x 20 cm x 250 cm = 375,000 Kg... Bien

250 cm / 20 cm = 12.50 … Bien Donde:



fY = Fluencia del acero.


q = (P x fY) /f´´c

d = Peralte efectivo de la sección de muro sujeto a flexión.






distribuido den los extremos de éste en anchos iguales a (0.25 – 0.1 Hm / L) L, medido

desde el correspondiente borde, perno no mayor que 0.4 Hm”. Si la relación Hm/L es

mayor que 1.2, el refuerzo para flexión o flexocompresión se colocará en los extremos

del muro en anchos iguales a 0.15 L medidos desde el correspondiente borde.

Como Hm/L = 320 cm / 250 cm =1.28 >1.20; entonces, de acuerdo a esto y la figura

4.20 se determina que el peralte efectivo es la distancia del centroide del acero a flexión

y la fibra extrema a compresión.

Por lo tanto:

cm50.3725015.0 =× …. Bien cm00.12820.340.0 =×

148

Extremo del muro

t=0.2

Extremo del muroAlma del muro=1.75

Centroide del acero a flexión

Planta del muro Figura 4.20 Determinación del peralte efectivo en muro M-2 P.B.

Entonces el peralte efectivo de la sección será: d=2.31



bdfy

cfAs

´7.0min = (4.4)

( )( ) 2min 01.1223120

420025070.0 cmAs =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×=

0026.023120

01.12 2

=×

=cmcm

cmP

064235.0/170

/42000026.02

2

=×

=cmKg

cmKgq

( )[ ] cmKgcmcmKgcmM R −=×−××=∴ 078,150´10064235.05.01231/420001.1290.0 22



Si con AS =12.01 Cm2 tenemos que MR = 10´150,078 Kg-cm


149

Con esta área de acero se calcula el momento resistente:

0142857.023120

66 2

=×

=cmcm

cmP

3528.0/170

/42000142857.02

2

=×

=cmKg

cmKgq

( ) cmKgcmcmKgcmM R −=×−×××= 969,463´473528.050.01231/42006690.0 22

Como MR>MU, se toma como óptima el área de acero = 66 cm2 para armar cada



bdfyfy

cfAsb6000

6000´´ 11

+=

β (4.5)

( )( ) 222

2

50.93231206000/4200

85.06000/4200

/170 cmcmKgcmKg

cmKgAsb =+

×= > 66 cm2 …Bien

Por lo tanto se procede armar el extremo del muro con AS = 66 cm2

ver figura 4.21.

Proponiendo varillas: (9 # 8 = 45.63cm2 )+ (6 # 7 = 23.28 cm2 )= 68.91 cm2 > 66 cm2

bc=0.325

6#7

bc=0.15

E#3@10cm

Alma del muroExtremo

9#8

Planta del muro Figura 4.21 Armado a flexión de los extremos del muro M-2 P.B.

150


El acero transversal de los extremos del muro lo determinamos a partir de lo estipulado

en las N.T.C. concreto incisos 6.5.2.4 c y 7.3.4 c y de la ecuación 4.6, como se

muestra a continuación:

Sbcf

cfAA

Ayhc

gsh

´130.0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−> (4.6)

Donde:








bc = Ancho del núcleo de concreto confinado por el acero transversal

Ver figura 4.21

Ash-1 = 5 Va´ # 3 = 5 x 0.71 cm2 = 3.55 cm2

Ash-2 = 3 Va´ # 3 = 3 x 0.71 cm2 = 2.13 cm2

Para el acero paralelo al espesor de muro tenemos:

( )( ) 21 10.35.3210

42002501

49576030.0 cmAsh =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −>− , por lo tanto s = 10 cm ….Bien.


( )( ) 22 43.11510

42002501

49576030.0 cmAsh =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞




151


Para determinar la cantidad de acero que toma el alma del muro, se hace referencia a


cortante resistente del muro VCR lo podemos calcular con la siguiente ecuación:

tLcfFV RCR *85.0= (4.7)

Donde:




L = Ancho del muro.

Como: 320/250=1.28 < 1.5

Entonces KgVCR 083,482502020080.085.0 =××××=

Ya que VU > VCR, se debe calcular el porcentaje de acero para el acero paralelo a la


formulas:

cmR

CRU

fyAFVV

Pm−

= (4.8)

( )0025.05.25.00025.0 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= Pm

LHmPn (4.9)



003459.020250/420080.0

083,48200,1062 =

×××−

=cmcmcmKg

KgKgPm

( ) 003085.00025.0003459.02503205.25.00025.0 =−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=Pn

Para la distribución del acero empleamos las siguientes fórmulas:

SmtAvmPm = y

SntAvnPn =

152

Donde:


distancia Sm.

Avn = Área del refuerzo perpendicular a la fuerza cortante de diseño comprendida en

una distancia Sn.



Para calcular Avm y Avn, se propone varilla del # 3, con as = 0.71 cm2,

Como es doble parrilla, entonces decimos que:

Avm = Avn =2 x 0.71cm2 = 1.42 cm …Bien.

Por lo tanto se dice que:

cmcm

cmtP

ASm

vmm 53.20

20003459.042.1 2

=×

== ,

Para el acero paralelo a la fuerza cortante se usarán varilla # 3 @ 20 cm.

cmcm

cmtP

ASn

vnn 01.23

20003085.042.1 2

=×

== , para el acero perpendicular a la fuerza cortante

se usarán varilla # 3 @ 23 cm.

Y se procede armar el alma del muro de la siguiente manera, ver figura 4.22.

En ningún caso se admitirá que la fuerza cortante de diseño, VU, sea mayor que:

cfAF cmR *2 ,

En caso contrario se deberá revisar el espesor del muro para modificarlo si es

necesario:

153

VU =106,200 Kg < KgcmKgcmcm 137,113/2002502080.2 2 =×××× …Bien.

t=0.2

Va # 3 @ 20cm

Va # 3 @ 23 cm

Alma del muro=1.75

Planta del muro

Figura 4.22 Armado del alma del muro M-2 en planta baja.

4.3.2.2.- Muro del primer nivel. Datos:

Hm = 260 cm

L = 250 cm

t = b = 20 cm


τxy ultimo = 19.45 Kg/cm2 x 1.1 (F.C) = 21.40 Kg/cm2


fy = 4200 Kg/cm2

I = 26´041,667 cm4

Pu = 77,200 Kg


cmKgcm

cmcmKgMu −=×

= 084,202´24125

´667,041´26/17.116 42

Kgcm

cmcmcmKgVu 33.333,71250,156

20667,041´26/40.213

42

=××

=

• Calculo del momento resistente MR para el armado de los extremos del muro.

154




( )qdfAFM ySRR 5.01−= (4.3)


PU =77,200 Kg < 0.30 x 250 Kg/cm2 x 20 cm x 250 cm = 375,000 Kg...Bien.

250 cm / 20 cm = 12.50 …Bien.

Donde:




P = AS/db porcentaje de acero

q = (P x fY) / f´´c



De acuerdo con lo estipulado en las N.T.C. concreto inciso 6.5.2.3 b, referente a la








155

Como Hm/L = 260 cm / 250 cm =1.04 < 1.20; entonces, de acuerdo a esto y la figura

4.23 se determina que el peralte efectivo es la distancia del centroide del acero a flexión

y la fibra extrema a compresión.

Por lo tanto:

cm50.362502502601.025.0 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− …Bien.

cm10426040.0 =×

Extremo del muro Extremo del muroAlma del muro=1.75

Planta del muro Figura 4.23 Determinación del peralte efectivo en muro M-2 Nivel 1.

Entonces el peralte efectivo de la sección será: d=2.31



bdfy

cfAs

´7.0min = (4.4)

( )( ) 2min 01.1223120

420025070.0 cmAs =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×=

0026.023120

01.12 2

=×

=cmcm

cmP

156

064235.0/170

/42000026.02

2

=×

=cmKg

cmKgq

( )[ ] cmKgcmcmKgcmM R −=×−××=∴ 078,150´10064235.05.01231/420001.1290.0 22




Entonces para MU = 24´202,084 Kg-cm tendremos un AS ≈ 31 cm2


0067099.023120

31 2

=×

=cmcm

cmP

165775.0/170

/42000067099.02

2

=×

=cmKg

cmKgq

( ) cmKgcmcmKgcmM R −=×−×××= 928,824´24165775.050.01231/42003190.0 22




bdfyfy

cfAsb6000

6000´´ 11

+=

β (4.5)

( )( ) 222

2

50.93231206000/4200

85.06000/4200

/170 cmcmKgcmKg

cmKgAsb =+

×= > 31 cm2 …Bien.


Proponemos varillas: (4 # 7 = 15.52 cm2))+ (6 # 6 = 17.10 cm2 )= 32.62 cm2 >31 cm2

157

6#6

bc=0.32

bc=0.15

4#7

E#3@10cm


Planta del muro Figura 4.24 Armado a flexión de los extremos del muro M-2 Nivel 1.





Sbcf

cfAA

Ayhc

gsh

´130.0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−> (4.6)

Donde:









Ver figura 4.24

Ash-1 = 5 Va´ # 3 = 5 x 0.71 cm2 = 3.55 cm2

Ash-2 = 2 Va´ # 3 = 3 x 0.71 cm2 = 1.42 cm2


158

( )( ) 21 10.33210

42002501

48074030.0 cmAsh =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞



( )( ) 22 42.11510

42002501

48074030.0 cmAsh =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞





Para determinar la cantidad de acero que toma el alma del muro, se hace referencia a



tLcfFV RCR *85.0= (4.7)

Donde:




L = Ancho del muro.

Como: 260/250=1.04 < 1.50,

Entonces KgVCR 083,482502020080.085.0 =××××=

Ya que VU > VCR, se debe calcular el porcentaje de acero para el acero paralelo a la


formulas:

cmR

CRU

fyAFVV

Pm−

= (4.8)

( )0025.05.25.00025.0 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= Pm

LHmPn (4.9)


159


00138.020250/420080.0

083,48333,712 =

×××−

=cmcmcmKg

KgKgPm

( ) 00168.00025.000138.02502605.25.00025.0 =−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=Pn

Como Pm y Pn son menores que el mínimo especificado, entonces armamos el alma

del muro con el porcentaje mínimo = 0.0025

Para la distribución del acero empleamos las siguientes formulas: SmtAvmPm = y

SntAvnPn =

Donde:


distancia Sm.


una distancia Sn.



Entonces para calcular Avm y Avn, se proponen Varillas del # 3, con as = 0.71 cm2,

como es doble parrilla, entonces se dice que:

Avm = Avn =2 x 0.71cm2 = 1.42 cm … Bien.

Por lo tanto se dice que:

cmcm

cmtP

ASm

vmm 40.28

200025.042.1 2

=×

== ,

Para el acero paralelo a la fuerza cortante se usarán varilla # 3 @ 28 cm.

160

cmcm

cmtP

ASn

vnn 40.28

200025.042.1 2

=×

== , para el acero perpendicular a la fuerza cortante se

usarán varilla # 3 @ 28 cm.

Y procedemos armar el alma del muro de la siguiente manera, ver figura 4.25.

En ningún caso se admitirá que la fuerza cortante de diseño, VU, sea mayor que:

cfAF cmR *2 ,

En caso contrario se deberá revisar el espesor del muro para modificarlo si es

necesario:

VU =71,333 Kg< KgcmKgcmcm 137,113/2002502080.2 2 =×××× … Bien.

t=0.2

Va # 3 @ 28 cm

Alma del muro=1.75

Va # 3 @ 28 cm

Planta del muro Figura 4.25 Armado del alma del muro M-2 (Niveles 1 al 10).

Como el esfuerzo cortante τxy de este muro es mayor que el de los consecutivos muros

de los niveles 1 al l0, el armado de la figura 4.25 será valido para los muros de los

niveles 1 al 10.

4.3.2.3.- Muro del segundo nivel. Datos:

Hm = 260 cm

L = 250 cm

t = b = 20 cm

161


σxy ultimo = 12.80 Kg/cm2 x 1.1 (F.C) = 14.08 Kg/cm2


fy = 4200 Kg/cm2

I = 26´041,667 cm4

Pu = 69,270 Kg

Aplicando las ecuaciones 4.1 y 4.2 se obtiene que:

cmKgcm

cmcmKgMu −=×

= 20.750,843´17125

´667,041´26/65.85 42


( )qdfAFM ySRR 5.01−= (4.3)


PU =69,270 Kg < 0.30 x 250 Kg/cm2 x 20 cm x 250 cm = 375,000 Kg …Bien.

250 cm / 20 cm = 12.50 ….Bien.

Como Hm/L = 260 cm / 250 cm =1.04 < 1.20; entonces, de acuerdo a esto y la figura

4.26 determinamos que el peralte efectivo es la distancia del centroide del acero a

flexión y la fibra extrema a compresión.

cm50.362502502601.025.0 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− … Bien.

cm10426040.0 =×

162

Extremo del muro Extremo del muro

Planta del muro


t=0.2Alma del muro=1.75

Figura 4.26 Determinación del peralte efectivo en muro M-2 Nivel 2.

Para el cálculo de MR debemos proponer As, así que calculamos el área de acero


bdfy

cfAs

´7.0min = (4.4)

( )( ) 2min 01.1223120

420025070.0 cmAs =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×=

0026.023120

01.12 2

=×

=cmcm

cmP

064235.0/170

/42000026.02

2

=×

=cmKg

cmKgq

( )[ ] cmKgcmcmKgcmM R −=×−××=∴ 078,150´10064235.05.01231/420001.1290.0 22




Entonces para MU = 17´843,750.20 Kg-cm tendremos un AS ≈ 22 cm2


004762.023120

22 2

=×

=cmcm

cmP

163

117647.0/170

/4200004762.02

2

=×

=cmKg

cmKgq

( ) cmKgcmcmKgcmM R −=×−×××= 35.962,079´18117647.050.01231/42002290.0 22

Como MR>MU, tomamos como optima el área de acero = 22 cm2 para armar cada



( )( ) 222

2

50.93231206000/4200

85.06000/4200

/170 cmcmKgcmKg

cmKgAsb =+

×= > 22 cm2 ok.


Proponemos varillas: (4 # 6 = 11.40 cm2 )+( 6 # 5 = 11.88 cm2 ) = 23.28 cm2 >22 cm2

6#5

bc=0.32

bc=0.15

4#6

Alma del muro

E#3@10cm






Ash-1 = 5 Va´ # 3 = 5 x 0.71 cm2 = 3.55 cm2

Ash-2 = 2 Va´ # 3 = 3 x 0.71 cm2 = 1.42 cm2

164


( )( ) 21 10.33210

42002501

48074030.0 cmAsh =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −>− , por lo tanto s = 10 cm … Bien.


( )( ) 22 42.11510

42002501

48074030.0 cmAsh =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞




4.3.2.4.- Muro del tercer nivel. Datos:

Hm = 260 cm

L = 250 cm

t = b = 20 cm


F´c = 250 Kg/cm2, F*c = 200 Kg/cm2, F´´c = 170 Kg/cm2

Fy = 4200 Kg/cm2

I = 26´041,667 cm4

Pu = 61,380Kg


cmKgcm

cmcmKgMu −=×

= 167´,12754125

´667,041´26/22.61 42


( )qdfAFM ySRR 5.01−= (4.3)


PU =61,380 Kg < 0.30 x 250 Kg/cm2 x 20 cm x 250 cm = 375,000 Kg.... Bien.

250 cm / 20 cm = 12.50 …. Bien.

165



bdfy

cfAs

´7.0min = (4.4)

( )( ) 2min 01.1223120

420025070.0 cmAs =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×=

0026.023120

01.12 2

=×

=cmcm

cmP

064235.0/170

/42000026.02

2

=×

=cmKg

cmKgq

( )[ ] cmKgcmcmKgcmM R −=×−××=∴ 078,150´10064235.05.01231/420001.1290.0 22






003463.023120

16 2

=×

=cmcm

cmP

0855615.0/170

/4200003463.02

2

=×

=cmKg

cmKgq

( ) cmKgcmcmKgcmM R −=×−×××= 195,373´1308556615.050.01231/42001690.0 22

Como MR>MU, tomamos como optima el área de acero = 16 cm2 para armar cada



( )( ) 222

2

50.93231206000/4200

85.06000/4200

/170 cmcmKgcmKg

cmKgAsb =+

×= > 16 cm2 … Bien.

Por lo tanto, se procede armar el extremo del muro con AS = 16 cm2

ver figura 4.28.

166

Proponiendo varillas: (4 # 4 = 5.08 cm2 )+ (6 # 5 = 11.88 cm2 ) = 16.96 cm2 >16 cm2

4#4

bc=0.32

bc=0.15

6#5

E#3@10cm







Ash-1 = 5 Va´ # 3 = 5 x 0.71 cm2 = 3.55 cm2

Ash-2 = 2 Va´ # 3 = 3 x 0.71 cm2 = 1.42 cm2


( )( ) 21 10.33210

42002501

48074030.0 cmAsh =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞



( )( ) 22 42.11510

42002501

48074030.0 cmAsh =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞




167

4.3.2.5.- Muro del cuarto nivel. Datos:

Hm = 260 cm

L = 250 cm

t = b = 20 cm



fy = 4200 Kg/cm2

I = 26´041,667 cm4

Pu = 53,390 Kg


cmKgcm

cmcmKgMu −=×

= 250,4318125

´667,041´26/47.40 42


( )qdfAFM ySRR 5.01−= (4.3)


PU =53,380 Kg < 0.30 x 250 Kg/cm2 x 20 cm x 250 cm = 375,000 Kg.... Bien.

250 cm / 20 cm = 12.50 … Bien.

( )[ ] cmKgcmcmKgcmM R −=×−××=∴ 078,150´10064235.05.01231/420001.1290.0 22

Como MU < MR entonces armamos el extremo del muro con el acero mínimo: 12.01 cm2

Proponiendo varillas: 10 # 4 = 12.70 cm2 > 12.01 cm2

168

bc=0.32

bc=0.15

10#4

E#3@ 10cm


Planta del muro

Figura 4.29 Armado a flexión de los extremos del muro M-2 (Niveles 4 al 10).





Ash-1 = 5 Va´ # 3 = 5 x 0.71 cm2 = 3.55 cm2

Ash-2 = 2 Va´ # 3 = 3 x 0.71 cm2 = 1.42 cm2


( )( ) 21 10.33210

42002501

48074030.0 cmAsh =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞



( )( ) 22 42.11510

42002501

48074030.0 cmAsh =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞




El armado de la figura 4.29 será el mismo para los muros de los niveles 4 al 10, ya que

a partir de este nivel los esfuerzos solo requieren en mínimo porcentaje de acero a

flexión.

169

4.3.3.- Diseño de muro tipo M-3, ejes A y F del proyecto II. El diseño del siguiente muro es diferente a los anteriores muros (M-1 y M-2) diseñados

en los incisos 4.3.1 y 4.3.2, los cuales están unidos por vigas de conexión ó

acoplamiento formando un cubo central en la estructura del edificio. En el proyecto II la

estructura del edificio aparte de contar con un cubo central formado por los muros M-1 y

M-2, se colocarán muros en dos caras laterales de la estructura en cuya dirección la

rigidez y momentos de inercia de los elementos estructurales son menores. Para fines

prácticos solo se realizará el diseño del muro M-3 ubicado en los ejes laterales A y F del

proyecto II, ya que los muros del cañón central de la estructura tienen un diseño similar

al del cañón del proyecto I.

La importancia de realizar el diseño del muro M-3 recae en la forma que presenta, ya

que no solo tenemos un muro de gran altura formado por diferentes segmentos si no

también tres hileras de aberturas colocadas simétricamente y divididas por vigas de

conexión que unen los segmentos de muro en cada entrepiso (muros acoplados). En la

figura 4.30 se presenta la forma estructural del edificio descrito en el proyecto II y el

diagrama que muestra la distribución de esfuerzos σy en cada elemento finito que

forman la estructura de los muros y losas diafragma después de haber sido analizado

por el programa STAAD.Pro bajo la combinación de cargas sísmicas más

desfavorables.

Como se menciono anteriormente, los esfuerzos σy representan los esfuerzos actuantes

de membrana en las placas que forman los muros, es decir, la distribución de los

esfuerzos a compresión o tensión de los muros cuando están sujetos a cargas

actuantes en su plano provocándoles flexión. En la figura 4.30 se puede observar la

distribución de esfuerzos a compresión y tensión por medio de la variación en la

colorimetría de cada segmento de muro, cada color tiene un valor y de acuerdo a una

escala se asignan valores negativos y positivos para los esfuerzos de compresión y

tensión respectivamente. Esto es de gran ayuda para el diseño de muros, ya que

gráficamente podemos observar la variación de esfuerzos en cualquier zona del muro,

170

desde el segmento de planta baja hasta el del último nivel, así como en cualquier zona

de cada uno de estos ya sean centro o bordes.

Figura 4.30 Distribución de esfuerzos σy en estructura con muros acoplados

colindantes sujeta a cargas sísmicas. 4.3.3.1.- Muro de planta baja. Datos:

Hm = 320 cm

L = 1610 cm

t = b = 20 cm

σy ultimo = 68.65 Kg/cm2 x 1.1 = 75.52 Kg/cm2

τxy ultimo = 10.00 Kg/cm2 x 1.1 = 11.00 Kg/cm2


fy = 4200 Kg/cm2

I = 6,955´468,333 cm4

Pu = 536,190 Kg

171





( )qdfAFM ySRR 5.01−= (4.3)

Esto si cAgfPU ′< 3.0 y la relación 70<tL

Entonces como:

PU = 536,190 Kg < 0.30 x 250 Kg/cm2 x 23 cm x 1610 cm = 2´777,250 Kg … Cumple

Y como

1610 cm / 20 cm = 80.50 >70

Por lo tanto no cumple una de las condiciones generales que restringe el ancho del

muro de la siguiente manera, si t = 20 cm y el límite son L / 70, entonces se puede

despejar la fórmula de la siguiente manera:

cmcmL 14002070 =×=

Esto indica que el máximo ancho de muro debe ser 1400 cm y se tiene que nuestro

muro tiene un ancho de 1610 cm. A partir de esto se deduce que la condicionante no

está en función del ancho del muro, si no del espesor, y se procede a despejar “t” de la

siguiente manera: cmcmLt 2370

161070

===

Por lo tanto se debe cambiar el espesor del muro a 23 cm.

Calculando nuevamente el momento de inercia con t = 23 cm

I = 7,998´788,583 cm4

172

Aplicando las ecuaciones 4.1 y 4.2, se obtiene nuevamente el momento y cortante

último:

cmKgcm

cmcmKgM u −=×

= 669,395´750805

583,788´998,7/52.75 42

Kgcm

cmcmcmKgVu 33.553,2715.287,452´7

23583,788´998,7/00.113

42

=××

=

Aplicando la ecuación: ( )qdfAFM ySRR 5.01−=

Donde:





q = (P x fY) / f´´c










Como Hm/L = 320 cm / 1610 cm = 0.20 < 1.20;

Entonces, de acuerdo a esto y la figura 4.31 se determina que el peralte efectivo es la

distancia del centroide del acero a flexión y la fibra extrema a compresión.

cm50.370161016103201.025.0 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

173

cm00.12820.340.0 =× ….Bien.

Este valor será válido para el ancho de cada uno de los extremos en los cuales estará

colocado el acero por flexión determinado por la ecuación 4.3.

P e ra lte e fe c tiv o : d = 1 5 .4 0

D is ta n c ia p a ra d is tr ib u ir e l a c e ro a f le x ió n e n lo s e x tre m o s

C e n tro id e d e l a c e ro a f le x ió n .

M u ro M -3 p la n ta b a ja (p la n ta )

Figura 4.31 Determinación del peralte efectivo en muro M-3 P.B.



bdfy

cfAs

´7.0min = (4.4)

( )( ) 2min 34.93154023

420025070.0 cmAs =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×=

0026.0154023

34.93 2

=×

=cmcm

cmp

064235.0/170

/42000026.02

2

=×

=cmKg

cmKgq

( )[ ] 52.658,899´525064235.05.011540/420034.9390.0 22 =×−××=∴ cmcmKgcmM R Kg-cm

Como MU > MR entonces se propondrá una mayor área de acero hasta lograr que se

invierta la condicionante anterior:

174

Si con AS = 93.34 cm2 se tiene que:

MR = 525´899,658.52 Kg-cm


Con esta área de acero se procede a calcular el momento resistente:

003840.0154023

136 2

=×

=cmcm

cmp

094862.0/170

/4200003840.02

2

=×

=cmKg

cmKgq

( ) 008,133´75409486.050.011540/420013690.0 22 =×−×××= cmcmKgcmM R Kg-cm

Como MR>MU, se tomara como óptima el área de acero = 136 cm2 para armar cada



bdfyfy

cfAsb6000

6000´´ 11

+=

β (4.5)

( )( ) 222

2

83.7161540236000/4200

85.06000/4200

/170 cmcmKgcmKg

cmKgAsb =+

×= > 136 cm2 ....Bien

Por lo tanto se procede armar cada extremo del muro con AS = 136 cm2 ver figura 4.32.

Proponiendo varillas del # 8 con As = 5.07 cm2

Se colocarán 28 varillas del # 8 = 141.96 cm2 > 136 cm2 ... Bien.

175

Grapas #3@ 12 cm28 #8

bc=20cmb=t=23cm

E#3@ 12 cm

6.72 cm

Extremo = 128 cm = 0.40 x Hm

bc =123 cm

Planta del muro

Figura 4.32 Armado a flexión de los extremos del muro M-3 P.B.





sbcf

cfAA

Ayhc

gsh

´130.0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−> (4.6)

Donde:







s = Separación teórica del acero trasversal.


Ver figura 4.32

Ash-1 = 14 Va´ # 3 = 14 x 0.71 cm2 = 9.94 cm2

Ash-2 = 2 Va´ # 3 = 3 x 0.71 cm2 = 1.37 cm2

Para el acero paralelo al espesor del muro la separación de estribos será igual a:

176

( )( ) 21 41.912313

42002501

123181282330.0 cmAsh =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

××

>− ..Correcto, la separación será s=13cm

Para el acero perpendicular al espesor la separación de estribos será igual a:

( )( ) 22 37.11813

42002501

123181282330.0 cmAsh =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

××

>− ..Correcto, la separación será s=13cm

Conforme a lo anterior, decimos que los estribos y grapas que restringen el pandeo del

acero a flexión en los extremos del muro serán con varilla del # 3 @ 13 cm. Ver figura

4.32.


Para determinar la cantidad de acero que toma el alma del muro hacemos referencia a



tLcfFV RCR *85.0= (4.7)

Donde:




L = Ancho del muro.

Como: 320/1610=0.20 < 1.5, entonces:

KgVCR .104,35616102320080.085.0 =××××=

Para calcular el porcentaje de acero paralelo a la fuerza cortante Pm y para el acero

perpendicular a la fuerza cortante Pn utilizamos las siguientes formulas:

cmR

CRU

fyAFVV

Pm−

= (4.8)

177

( )0025.05.25.00025.0 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= Pm

LHmPn (4.9)


Pero como tenemos que VCR > VU entonces Pm y Pn = 0.0025 y no aplicamos las

ecuaciones 4.8 y 4.9

Para la distribución del acero empleamos las siguientes formulas:

SmtAvmPm = y

SntAvnPn =

Donde:


distancia sm.


una distancia sn.

sm y sn = Separación de los refuerzos paralelos y perpendicular a la fuerza cortante de


Entonces para calcular Avm y Avn, proponemos varilla del # 3, con as = 0.71 cm2, como

es doble parrilla, entonces decimos que: Avm = Avn =2 x 0.71cm2 = 1.42 cm

Por lo tanto deducimos que:

70.24230025.0

42.1 2

=×

==cm

cmtP

AS

m

vmm cm para el acero paralelo a la fuerza cortante se

usarán varillas del # 3 @ 24 cm.

70.24230025.0

42.1 2

=×

==cm

cmtP

AS

n

vnn cm para el acero perpendicular a la fuerza cortante se

usarán varillas del # 3 @ 24 cm.

178

Y procedemos armar el alma del muro de la siguiente manera ver figura 4.33. En ningún

caso se admitirá que la fuerza cortante de diseño, VU, sea mayor que:

cfAF cmR *2

En caso contrario debemos revisar el espesor del muro para modificarlo si es necesario:

VU =271,553.33 Kg < KgcmKgcmcm 022,510/2009802380.2 2 =×××× ....Bien.

Alma del muro

Va´#3@24 cm

d=t= 0.23 cm

Grapas # 3Va´#3 @24 cm

Planta del muro

Figura 4.33 Armado del alma del muro M-3 en planta baja.

4.3.3.2.- Muro del primer nivel.

Para el siguiente muro el proceso de diseño se modifica en algunos puntos, ya que a

partir del segmento de muro en planta baja los siguientes presentan tres hileras de

aberturas formando segmentos de muros acoplados. En la figura 4.34 se muestra el

alzado en plano del muro M-3 con los segmentos de muros y vigas de conexión ó

acoplamiento que lo forman, también se puede observar la distribución de esfuerzos a

compresión y tensión (σy) que provocan las solicitaciones sísmicas a las que esta

sometido el muro, de acuerdo a la distribución de los esfuerzos que presenta la

colorimetría se tomarán los valores máximos promedio de los esfuerzos y serán con

los que se diseñe el acero a flexión y el acero necesario para los bordes de aberturas

de cada segmento de muro.

179

Fuer

za S

ísm

ica

A

Muro Nivel 6 Hm= 2.60m






Muro de plata baja Hm=3.20m

Vigas de Conexión ó Acoplamiento

Aberturas

A

L = 16.10 m





Figura 4.34 Distribución de esfuerzos a compresión y tensión del muro M-3

Datos para el diseño del muro:

Hm = 260 cm

L = 1610 cm

t = b = 23 cm




fy = 4200 Kg/cm2

Pu = 338120 Kg x 1.4 = 473370 Kg

180

Antes de aplicar las ecuaciones 4.1 y 4.2 para obtener el momento y cortante último

debemos determinar el momento de inercia (I) por medio del teorema de los ejes

paralelos y el momento de primer orden (Q) apoyándonos en la figura 4.35 donde se

muestra el muro de planta baja en alzado y corte del mismo con su gráfica de la

distribución de esfuerzos σy máximos en la base del muro así como los esfuerzos

máximos de compresión y tensión con los que se diseñaran los bordes de muro entre

aberturas.

Extremo III

Centriode de A-2

X2 = 198.50 cm

187 cm

(C-0.1L)=74

A

σy m

áx=

-69.

25 K

g/cm

2

Extremo I

Centriode de A-1

(C-0.1L)=120

23

0.40 Hm=104

303 cmExtremo II

X1 = 653.70 cm

c'=151.20 cm

σy máx=82.50Kg/cm2(Tensión)

σy máx= -104.00Kg/cm2(Compresión)

Hm=2.60



c = 805 cmc''=93.5cm

Abertura

A´

Centriode del áreas A-1 y A-2

303 cmExtremo II

Centriode de A-2

X = 479.98 cm

(C-0.1L)=74

Extremo III

1610 cm

Mu

187 cmExtremo I

(C-0.1L)=120

σy m

áx=

70.2

4 Kg

/cm

2

Centriode de A-1

0.40 Hm=104



Abertura Abertura

PLANTA CORTE A-A'

ALZADO

DIAGRAMA DE ESFUERZOS σY

Figura 4.35 Muro del primer nivel en alzado y plata, ubicando los máximos

esfuerzos para el diseño de extremos de muro entre aberturas y diagrama de esfuerzos σy en los extremos laterales para el diseño por flexión.

Cálculo del momento de inercia (I) por medio del teorema de lo ejes paralelos:

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 844,678´426,650.1981872370.653303231218723

12303232 22

33

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++=I cm4

Cálculo del momento de primer orden (Q), para el cálculo del cortante último VU

( )( )XAAQ 21 +=

181

( )( ) ( )( )( ) ( ) 98.479

233032318770.6532330350.19823187

=×+××+×

=X cm

( ) ( )[ ]( ) 375,409598.4792318723303 =×+×=Q cm2 – cm

Con lo anterior se procede a calcular el momento y cortante últimos (MU y VU) aplicando

las ecuaciones 4.1 y 4.2:

500,801´616805

844,678´426,6/26.77 42

=×

=cm

cmcmKgM u Kg - cm

18.864,447375,4095

23844,678´426,6/39.162

42

=−

××=

cmcmcmcmcmKgVu Kg





( )qdfAFM ySRR 5.01−= (4.3)


Entonces se tiene que :

PU =473,370 Kg < 0.30 x 250 Kg/cm2 x 23 cm x 250 cm = 2´777,250 Kg …bien.

1610 cm / 23 cm = 70 …. Bien.






182




Como: Hm/L = 260 cm / 1610 cm =0.16 < 1.20

Entonces de acuerdo a lo anterior y la figura 4.36 se determina que el peralte efectivo

será la distancia del centroide del acero a flexión y la fibra extrema a compresión.

cm50.376161016102601.025.0 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− .... No aplica

cm10426040.0 =× .... Bien.


Extremo del muro = 128 cm = 0.40 x Hm

b=t=23cm

L = 1610 cm

d = 1558 cm

Figura 4.36 Determinación del peralte efectivo en muro M-3 Nivel 1.



bdfy

cfAs

´7.0min = (4.4)

( )( ) 17.931558234200

25070.0min =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×=sA cm2

0026.0155823

17.93 2

=×

=cmcm

cmp

064235.0/170

/42000026.02

2

=×

=cmKg

cmKgq

183

( )[ ] 10.522,077´531064235.05.011558/420017.9390.0 22 =×−××=∴ cmcmKgcmM R Kg-cm




Entonces para MU = 616´801,500 Kg-cm se tendrá una AS ≈ 109 cm2

Con esta área de acero se procede a calcular el momento resistente:

00304.0155823

109 2

=×

=cmcm

cmP

07515.0/170

/420000304.02

2

=×

=cmKg

cmKgq

( ) 603,806´61707515.050.011558/420010990.0 22 =×−×××= cmcmKgcmM R Kg-cm

Como MR>MU, se tomará como óptima el área de acero = 109 cm2 para armar cada



bdfyfy

cfAsb6000

6000´´ 11

+=

β (4.5)

( )( ) 222

2

21.7251558236000/4200

85.06000/4200

/170 cmcmKgcmKg

cmKgAsb =+

×= > 109 cm2... Bien

Por lo tanto procedemos armar el extremo del muro con AS = 109 cm2 ver figura 4.37.

Proponiendo varillas del # 8, con As = 5.07 cm2

Se tiene un número aproximado de varillas = 109 cm2 / 5.07 cm2 = 21.50 pzas, se

toman 22 pzas.

184

E#3@12 cm22 # 8


bc = 99 cm

7.36

bc=20cmb=t=23cm

Grapas #3@12 cm

Planta del muro






Sbcf

cfAA

Ayhc

gsh

´130.0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−> (4.6)

Ash-1 = 11 Var. # 3 = 11 x 0.71 cm2 = 7.81 cm2

Ash-2 = 2 Var. # 3 = 2 x 0.71 cm2 = 1.42 cm2


( )( ) 21 26.79912

42002501

18992310430.0 cmAsh =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

××

>− ... bien, por lo tanto s=12 cm


( )( ) 22 32.11812

42002501

18992310430.0 cmAsh =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

××

>− ... bien, por lo tanto s= 12 cm

Conforme a lo anterior se dice que los estribos y grapas que restringen el pandeo del

acero a flexión en los extremos del muro serán con varilla del # 3 @ 12 cm. Ver figura

4.37.

185




cortante resistente del muro VCR se puede calcular con la siguiente ecuación:

tLcffV RCR *85.0= (4.7)

Como: 260/1610 =0.16 < 1.50, entonces se determina el cortante resistente de la

siguiente forma:

KgVCR 34.759,2169802320080.085.0 =××××=

Ya que VU > VCR, entonces se debe calcular el porcentaje del acero paralelo a la fuerza

cortante Pm y el acero perpendicular a la fuerza cortante Pn con las siguientes

fórmulas:

cmR

CRU

fyAFVV

Pm−

= (4.8)

( )0025.05.25.00025.0 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= Pm

LHmPn (4.9)

Donde Acm = Área bruta de la sección sujeta al cortante y se determina de la siguiente

manera:

( ) ( ) ( )[ ] 221 540,22231872330322 cmAAAcm =×+×=+=


0030515.0540,22/420080.034.759,21618.864,447

22 =××

−=

cmcmKgKgKgPm

186

( ) 003116.00025.00030515.09802605.25.00025.0 =−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=Pn

Para la distribución del acero se emplean las siguientes fórmulas:

SmtAvmPm = y

SntAvnPn =

Por lo tanto para calcular Avm y Avn, se propone varilla del # 3, con as = 0.71 cm2

Como es doble parrilla, entonces: Avm = Avn =2 x 0.71cm2 = 1.42 cm … Bien.

Entonces:

23.20230030515.0

42.1 2

=×

==cm

cmtP

As

m

vmm cm

Por lo tanto para el acero paralelo a la fuerza cortante se usarán varillas del # 3 @ 20

cm., en doble parrilla.

81.1923003116.0

42.1 2

=×

==cm

cmtP

As

n

vnn cm

Por lo tanto para el acero perpendicular a la fuerza cortante se usarán varillas del # 3 @

20 cm. en doble parrilla.


En ningún caso se admitirá que la fuerza cortante de diseño VU, sea mayor que:

cfAF cmR *2

En caso contrario se debe revisar el espesor del muro para modificarlo si es necesario:

VU =447,864 Kg < 022,510/2009802380.2 2 =×××× cmKgcmcm Kg

187

Como el cortante último no es mayor que la condición anterior, entonces no será

necesario modificar el espesor del muro.

Alma del muro

d=t= 0.23 cm

Va´#3@20 cmVa´#3 @20 cm

Grapas # 3

Planta del muro

Figura 4.38 Armado del alma del muro M-3 Nivel 1.

• Armado de los extremos de muro en bordes de aberturas.

Para el armado de los elementos extremos de muro entre aberturas lo hacemos con

referencia a lo estipulado en las N.T.C. Concreto inciso 6.5.2.4 b y c y la figura 4.35

donde se muestran los valores de esfuerzos máximos σy en los extremos de muro entre

aberturas y con los cuales se diseñarán estos extremos.

Los elementos extremos se dimensionarán como columnas cortas para que resistan

como carga axial, la fuerza de compresión que le corresponda, calculada en la base del

muro cuando sobre éste actué el máximo momento de volteo. Y se deberá suministrar

elementos de refuerzo en las orillas del muro y en bordes de aberturas donde el

esfuerzo de compresión en la fibra más esforzada exceda de 0.2 de f’c y se podrán

interrumpir en zonas donde el máximo esfuerzo a compresión sea menor que 0.15 de

f’c. Como el concreto tiene una resistencia de compresión máxima de 250 Kg/cm2

entonces los parámetros para la colocación de elementos extremos serán:

• Se colocarán refuerzo si σy > 0.20 f’c = 0.20 x 250 Kg/cm2 = 50 Kg/cm2

• Se suspenderá el refuerzo si σy < 0.15 f’c = 0.15 x 250 Kg/cm2 = 37.50 Kg/cm2

188

Se proporcionará refuerzo en la periferia de toda abertura para resistir las tensiones que

puedan presentarse. Como mínimo deben colocarse dos barras del No. 4 a lo largo de

cada borde entre aberturas.

El diseño de un elemento como columna corta esta en función de la carga axial (Po )

que resista el concreto y el acero, para eso se emplea la siguiente ecuación:

( ) ( )ysgco fAAfP ×+×′×= 85.0 (4.10)

De acuerdo con los esfuerzos de compresión y tensión que se obtienen en el análisis y

los anchos de sección que corresponden a cada extremo de muro como se muestran en

la figura 4.35, se obtiene la carga axial de diseño (Po) empleando la siguiente expresión:

APo=σ (4.11)

Despejando la ecuación 4.11 de la siguiente forma:

APo ×= σ (4.12)

Donde:

σ = Esfuerzo σy del extremo del muro.

A = Área de la sección del borde extremo del muro, que será igual al espesor del

muro (t) multiplicado por el ancho del extremo.

Todos los elementos de refuerzo en los extremos se deberán extender una distancia a

partir de la fibra extrema en compresión al menos igual al mayor de (c – 0.1 L) y c/2,

también deberá contar a todo lo largo con el refuerzo transversal mínimo que se

especifica en el inciso 7.3.4. c para elementos a flexocompresión, con excepción de la

ec. 7.4. Todo elemento de refuerzo comprendido en los extremos deberá estar anclado

en la cimentación y en el segmento de muro continuo a éste, cuando menos una

distancia igual a la longitud de desarrollo de la barra.

189

a) Armado del Extremo I

Datos:

σy último = 104.00 Kg/cm2 x 1.1 = 114.40 Kg/cm2 (compresión)

σy último = 82.50 Kg/cm2 x 1.1 = 90.75 Kg/cm2 (Tensión)

Como los esfuerzos son mayores que 0.20 f’c será necesario colocar elementos de

refuerzo en este extremo y se procede a determinar su ancho:

El ancho del extremo de muro (Le) donde se deberá distribuir el acero será igual al

mayor de: ( c – 0.1 L) ó c/2

Si c = 151.50 cm, ver figura 4.35

Entonces:

Le = (151.50 – 0.1 x 303) = 121.20 cm … Bien.

Le = 151.50 / 2 = 75.75 cm.... No aplica

Por lo tanto Le = 120 cm

Ahora se calculará la carga axial a la que está sometido el extremo del muro con la

ecuación 4.12:

Carga axial a compresión:

( )( ) 744,31512023/40.114 2 =×=− cmcmcmKgP compresióno Kg

Carga axial a tensión:

( )( ) 470,25012023/75.90 2 =×=− cmcmcmKgP tensióno Kg

190

Cálculo de la resistencia a compresión de la sección de concreto en el extremo:

500,58612023/25085.085.0 2 =×××=×′×=− cmcmcmKgAfP gccompresionRo Kg

Como la resistencia a compresión del concreto es mayor que la carga axial, entonces

no será necesario colocar acero para la resistencia a compresión.

Como el concreto no resiste tensiones será necesario suministrar acero que tome la

carga axial a tensión presentada en el extremo del muro, por lo tanto se calculará el

área de acero de la siguiente manera:

Si yso fAP ×=

Entonces se puede despejar As de la siguiente manera:

y

os f

PA =

El área de acero distribuida en el extremo será:

64.59/4200

470,2502 ==

cmKgKgAs cm2

Por lo tanto se procede armar el extremo del muro con As = 59.64 cm2 ver figura 4.39

Usando varillas del # 6 con As = 2.85 cm2 , se calcula el No. de varillas:

59.64 cm2 / 2.85 cm2 = 20.93 pzas, se toman 22 pzas.

• Cálculo del acero transversal del extremo.

Para determinar el acero transversal que restringe el acero del extremo se emplea lo

estipulado en las N.T.C. concreto incisos 6.5.2.4 c y 7.3.4 c y la ecuación 4.6, como se


191

Sbcf

cfAA

Ayhc

gsh

´130.0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−> (4.6)

Ash-1 = 13 Var. # 3 = 13 x 0.71 cm2 = 9.23 cm2

Ash-2 = 2 Var. # 3 = 3 x 0.71 cm2 = 1.42 cm2


( )( ) 898.81151342002501

115181202330.01 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

××

>−shA cm2 … Bien.

Entonces la separación de estribos será s= 13 cm

Y para el acero perpendicular al espesor del muro se tendrá:

( )( ) 22 382.11813

42002501

115181202330.0 cmAsh =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

××

>− … Bien.

Entonces la separación del acero será s = 13 cm


flexión en el extremo del muro serán con varilla del # 3 @ 13 cm, ver figura 4.39.

bc =115 cm

Extremo = (c-0.1L)=120 cm

22 # 6 E#3@13 cmGrapas #3@13 cm

11.48 cm

b=t=23cmbc=20cm

Planta del muro

Figura 4.39 Armado del Extremo I

192

b) Armado del Extremo II

Datos:



El ancho del extremo de muro donde se deberá distribuir el acero será igual al mayor de

Le = ( c – 0.1 L) ó c/2


Entonces:

Le = (93.50 – 0.1 x 187) = 74.30 cm … bien, se tomará Le = 74.00 cm

Le = 93.50 / 2 = 46.75 cm


ecuación 4.12:




675,3617423/25085.085.0 2 =×××=×′×=− cmcmcmKgAfP gccmpresiónRo kg






193

Si yso fAP ×=

Entonces podemos despejar As de la siguiente manera:

y

os f

PA =

El área de acero distribuida en el extremo será:

22 66.5

/4200777,23 cm

cmKgKgAs ==

Como el área de acero es mínima, se verificará si con el acero calculado para el alma y

el mínimo especificado para bordes (2 varillas # 4) se logra obtener un área de acero

superior a 5.66 cm2 ver figura 4.40

Del acero del alma solo entran en el extremo 6 varillas del # 3, con As = 0.71 cm2 las

cuales acumulan un área igual a: 6 x 0.71 cm2 = 4.26 cm2 , más las dos varillas del # 4

por especificación en el borde igual a 2.54 cm2, se obtiene lo siguiente:

Sumando los dos áreas: 4.26 m2 + 2.54 cm2 = 6.80cm2

Como 6.80 cm2 > 5.66 cm2 no será necesario colocar más acero y se dejará el armado

de la figura 4.40 para el extremo II.

Como el esfuerzo σy en los niveles 2 al 10 disminuye considerablemente con la altura

siendo menor que 0.15 f’c, el armado de la figura 4.40 será válido para el extremo II en

todos los niveles consecutivos, es decir, del nivel 1 al 10.

Acero del alma Var.# 3@20cmAcero minimo

(6.5.2.5. e) 2 # 4

Extemo = (c-0.1L) = 74cm

bc=18cm

Grapas # 3 @ 20 cm

b=t=23cm

Planta del muro

Figura 4.40 Armado del Extremo II

194

Por lo tanto procedemos armar el extremo del muro con As = 5.66 cm2

Usando varillas del No. 6 con As = 2.85 cm2.

Calculando el número de varillas:

Numero aproximado de varillas: 59.64 cm2 / 2.85 cm2 = 20.93 pzas, se toman 22 pzas.

Ver figura 4.40.


Para el armado del acero transversal en extremos de muro sin elementos de refuerzo

se empleará lo estipulado en las N.T.C. Concreto inciso 6.5.2.4. d. El refuerzo horizontal

que termine en los bordes de cualquier muro sin elementos de refuerzo con es el caso

del extremo II, deberá rematarse mediante un doblez que rodee el refuerzo longitudinal

del extremo del muro. Opcionalmente, el refuerzo longitudinal extremo del muro se

podrá confinar con estribos en forma de U, que tengan el mismo diámetro y separación

que el refuerzo horizontal. Estos estribos se extenderán hacia el alma del muro cuando

menos en una distancia igual a la de traslape ( ver tabla 4.1) medida desde la cara

interna de las barras longitudinales extremas reforzadas transversalmente.

c) Armado del Extremo III

Datos:



Cálculo del ancho efectivo donde se distribuirá el acero a tensión en el extremo III.

El ancho del extremo de muro será igual al mayor de ( c – 0.1 L) ó c/2:

195


Entonces:

Le = (93.50 – 0.1 x 187) = 74.80 cm ...Bien, se tomará Le = 74 cm

Le = 93.50 / 2 = 46.75 cm


ecuación 4.12:

Carga axial a compresión:


Carga axial a tensión:



675,3617423/25085.085.0 2 =×××=×′×=− cmcmcmKgAfP gccompresiónRo Kg






Si yso fAP ×=

Entonces se puede despejar As de la siguiente manera: y

os f

PA =

El área de acero distribuida en el extremo será: 83.17/4200

888,742 ==

cmKgKgAs cm2

196

Por lo tanto procedemos armar el extremo del muro con As = 17.83 cm2

Usando varillas del # 4 con As = 1.27 cm2 ,

Calculando el número de varillas:

17.83 cm2 / 1.27 cm2 = 14.04 pzas, se tomarán 16 pzas., ver figura 4.41.



estipulado en las N.T.C. concreto incisos 6.5.2.4 c y 7.3.4 c y la ecuación 4.6, como se


Sbcf

cfAA

Ayhc

gsh

´130.0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−> (4.6)

Ash-1 = 8 Var. # 3 = 8 x 0.71 cm2 = 5.68 cm2

Ash-2 = 2 Var. # 3 = 3 x 0.71 cm2 = 1.42 cm2


( )( ) 48.5691242002501

6918742330.01 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

××

>−shA cm2… Bien

La separación de estribos será s = 12 cm

Para el acero perpendicular al espesor se tendrá:

( )( ) 42.1.1181242002501

6918742330.02 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

××

>−shA cm2... Bien.

La separación de estribos será s = 12 cm

Conforme a lo anterior, los estribos y grapas que restringen el pandeo del acero en el

extremo del muro serán con varilla del # 3 @ 12 cm. Ver figura 4.41.

197

Grapas # 3 @ 12 cm

Extemo = (c-0.1L) = 74cm

16 # 4

Acero del alma Var.# 3@20cm

E#3@12 cm

9.40 cm

bc = 69 cm

b=t=23cmbc=18cm

Planta del muro

Figura 4.41 Armado del Extremo III

4.3.3.3.- Muro del segundo nivel.

Como las características geométricas del siguiente muro son las mismas que tiene el

muro del primer nivel, entonces se tomaran los mismos valores para: peralte efectivo

(d), momento de inercia (I), momento de primer orden (Q), anchos de los extremos del

muro para colocar el acero a flexión y el mismo ancho de los extremos I, II y III entre

bordes de aberturas.

Datos para el diseño del muro:

Hm = 260 cm

L = 1610 cm

t = b = 23 cm




fy = 4200 Kg/cm2

Pu = 303,840 Kg x 1.4 = 425,380 Kg

I = 6,426´678,844 cm4

c = 805 cm

Q = 5´409,375 cm2 - cm

198

Con lo anterior se procede a calcular el momento y cortante últimos (MU y VU) aplicando

las ecuaciones 4.1 y 4.2 :

cmKgcm

cmcmKgM u −=×

= 670,962´403805

844,678´426,6/60.50 42

Kgcmcm

cmcmcmKgVu 00.325,121375,4095

23844,678´426,6/44.42

42

=−

××=





( )qdfAFM ySRR 5.01−= (4.3)


PU =425,380 Kg < 0.30 x 250 Kg/cm2 x 23 cm x 250 cm = 2´777,250 Kg …Bien.

1610 cm / 23 cm = 70 … Bien.



bdfy

cfAs

´7.0min = (4.4)

( )( ) 17.931558234200

25070.0min =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×=sA cm2

0026.0155823

17.93 2

=×

=cmcm

cmp

199

064235.0/170

/42000026.02

2

=×

=cmKg

cmKgq

( )[ ] 10.522,077´531064235.05.011558/420017.9390.0 22 =×−××=∴ cmcmKgcmM R Kg-cm

Como MR >MU los extremos del muro se diseñaran con el acero mínimo a flexión

calculado anteriormente: AS = 93.17 cm2, ver figura 4.42


Número aproximado de varillas = 93.17 cm2 / 5.07 cm2 = 18.38 pzas, se toman 20 pzas.

20 # 8

bc=20cmb=t=23cm

Grapas #3@12 cm

E#3@12 cm

10.51

bc = 99 cm


Planta del muro.



Sbcf

cfAA

Ayhc

gsh

´130.0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−> (4.6)

Ash-1 = 12Var. # 3 = 12 x 0.71 cm2 = 8.52 cm2

Ash-2 = 2 Var. # 3 = 2 x 0.71 cm2 = 1.42 cm2

Para el acero paralelo al espesor del muro se tendrá:

200

( )( ) 26.7991242002501

18992310430.01 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

××

>−shA cm2... Bien, entonces s =12 cm

Y para el acero perpendicular al espesor del muro se tendrá:

( )( ) 32.1181242002501

18992310430.02 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

××

>−shA cm2...Bien, entonces s = 12 cm


flexión en los extremos del muro serán con varilla del # 3 @ 12 cm. Ver figura 4.42.

Como en este nivel el momento flexionante último fue menor que el momento resistente

del muro, el armado del acero a flexión en los extremos de los muros de los niveles

siguientes ( 3 al 10) será con el acero mínimo a flexión como se muestra en la figura

4.42.





tLfFV cRCR*85.0= (4.7)

Donde:



t = Espesor del muro: 23 cm

L = Ancho del muro: L = 1610 – (3 aberturas de 210 cm) = 980 cm

Como: 260/1610 =0.16 < 1.50, entonces se determina el cortante resistente de la

siguiente forma:

201

34.759,2169802320080.085.0 =××××=CRV Kg

Como VCR > VU, entonces se dice que Pm y Pn serán iguales a 0.0025

Para la distribución del acero se emplean las siguientes formulas:

SmtAvmPm = y

SntAvnPn =

Para calcular Avm y Avn, se propone Varilla del # 3, con as = 0.71 cm2

Como es doble parrilla: Avm = Avn =2 x 0.71cm2 = 1.42 cm .. Bien.

Entonces:

70.24230025.0

42.1 2

=×

==cm

cmtP

As

m

vmm cm, por lo tanto para el acero paralelo a la fuerza

cortante se usarán varillas del # 3 @ 24 cm en doble parrilla.

70.24230025.0

42.1 2

=×

==cm

cmtP

As

n

vnn cm, por lo tanto para el acero perpendicular a la fuerza

cortante se usarán varillas del # 3 @ 24 cm en doble parrilla.


En ningún caso se admitirá que la fuerza cortante de diseño VU, sea mayor que:

cfAF cmR *2 ,

En caso contrario se debe revisar el espesor del muro para modificarlo si es necesario:

VU =447,864 Kg < 022,510/2009802380.2 2 =×××× cmKgcmcm Kg

Como el cortante último no es mayor que la condición anterior, entonces no será

necesario modificar el espesor del muro.

202

Alma del muro

Va´#3@24 cm

d=t= 0.23 cm

Va´#3 @24 cmGrapas # 3

Planta del muro

Figura 4.43 Armado del alma del muro M-3 Nivel 2.

Como el armado de la figura 4.43 ha sido realizado con los porcentajes mínimos

especificados para fuerzas cortantes últimas menores que la fuerza cortante resistente

del muro: Pm = Pn = 0.0025, este armado será el mismo que se colocará en el alma de

los muros en los niveles siguientes (3 al 10).

a) Armado del Extremo I

Como se observó en el diseño del muro en el primer nivel, aun que los esfuerzos de

compresión son mayores que los presentados en este muro, estos fueron resistidos

sólo por el concreto sin haber sido necesario colocar acero para aumentar la

resistencia. Como los esfuerzos a compresión y tensión disminuyen con la altura sólo

se diseñará con los esfuerzos de tensión que estén arriba del parámetro 0.20 f’c.

Cabe mencionar que los esfuerzos a tensión presentados en los niveles siguientes del

3 al 10 diminuyen considerablemente siendo menores que el parámetro 0.15 f’c, es por

eso que solo se armarán con el acero del alma obtenido anteriormente y el acero

mínimo especificado para los bordes entre aberturas.

Datos:


203

Como el esfuerzo es mayor que 0.20 f’c será necesario colocar elementos de refuerzo

en este extremo.

Cálculo de la carga axial a la que está sometido el extremo del muro con la ecuación

4.12:

Carga axial a tensión: ( )( ) 514,14412023/36.52 2 =×= cmcmcmKgPo Kg




Si yso fAP ×= entonces se puede despejar As de la siguiente manera:

y

os f

PA =

El área de acero como columna corta distribuida en el extremo será:

40.34/4200

514,1442 ==

cmKgKgAs cm2

Por lo tanto se procede armar el extremo del muro con As = 34.40 cm2, ver figura 4.44

Usando varillas del # 5 con As = 1.98 cm2, se calculará el número de varillas:

Numero aproximado de varillas:

34.40 cm2 / 1.98 cm2 = 17.37 pzas, se toman 18 pzas.


estipulado en las N.T.C. concreto incisos 6.5.2.4 c y 7.3.4 c y la ecuación 4.6.

Sbcf

cfAA

Ayhc

gsh

´130.0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−> (4.6)

204

Ash-1 = 11 Va´ # 3 = 13 x 0.71 cm2 = 7.81 cm2

Ash-2 = 2 Va´ # 3 = 3 x 0.71 cm2 = 1.42 cm2

Para el acero paralelo al espesor de muro tiene que:

( )( ) 85.61151042002501

115181202330.01 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

××

>−shA cm2...Bien

La separación de estribos será: 10 cm

Y para el acero perpendicular al espesor se tendrá:

( )( ) 22 07.11810

42002501

115181202330.0 cmAsh =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

××

>− ...Bien.

La separación de estribos será: 10 cm

Conforme a lo anterior, los estribos y grapas que restringen el pandeo del acero en el

extremo del muro serán con varilla del # 3 @ 10 cm. Ver figura 4.44.

bc =115 cm

Extremo = (c-0.1L)=120 cm

18 # 5

bc=18cm

Grapas #3@10 cmE#3@10 cm

13.94

b=t=23cm

Planta del muro

Figura 4.44 Armado del Extremo I

Como los esfuerzos en los demás extremos de muro entre aberturas son menores que

el para metro 0.15 f´c, el armado de los extremos II y III en el nivel 2 y los extremos I, II

y III en los niveles 3 al 10 será el que se presenta en la figura 4.45, con el acero del

alma y el mínimo especificado para bordes de muro entre aberturas.

205

Acero del alma Var.# 3@24cm

Grapas # 3 @ 24 cm

b=t=23cm

Acero minimo (6.5.2.5. e) 2 # 4

Ancho del Extremo

Figura 4.45 Armado de los extremos con acero mínimo

4.4 Diseño de Vigas de Conexión ó Acoplamiento.

Se diseñará como vigas de conexión o acoplamiento aquellas vigas cuya relación L/h

sea menor que 2 y se aplicara lo dispuesto en las N.T.C. Concreto inciso 6.1.4.5.,

donde L será el claro de la viga y h el peralte. Para vigas de acoplamiento que no

cumplan con la condición anterior y que su relación L/h se menor que 4 como es el caso

de las vigas de conexión en el muro M-3, se aplicara lo dispuesto el las N.T.C. concreto

incisos 2.2.1, 2.2.2, 2.2.4 y 2.5.1.1 para el cálculo del momento y cortante resistentes de

las vigas.

4.4.1 Diseño de vigas de conexión del proyecto I eje 3 tramo C – D

El diseño de las vigas del eje 3 tramo C – D, corresponden a las vigas que conectan los

muros M-1 y M-2 diseñados anteriormente y tienen las mismas características y

propiedades que las ubicadas en el eje 2 tramo C – D. Para efectos prácticos sólo

diseñaremos las del eje 2. En la figura 4.46 se muestran los diagramas de fuerzas

cortantes máximas en las vigas de conexión obtenidos del análisis del edificio, con ellos

se procede a evaluar la resistencia de vigas y realizar el diseño de las mismas según lo

requieran.

206

Vigas de conexión

Mur

o M

- 2

Figura 4.46 Diagramas de fuerzas cortantes en vigas de conexión.

Todas las vigas de conexión de este eje tienen las mismas propiedades geográficas:

L = 115 cm

h = 60 cm

b = 20 cm

Y cumplen con la condición hL ; 115 cm / 60 cm = 1.92 < 2

Por lo tanto para su diseño emplearemos lo estipulado en el inciso 6.1.4.5 de las N.T.C.

Concreto.

207

4.4.1.1.- Viga del Nivel 1.

Datos:

L = 115 cm

h = 60 cm

b = 20 cm

d = 58 cm

f’c = 250 Kg/cm2

fy = 4200 Kg/cm2

El refuerzo de este tipo de vigas que unen muros sujetos a fuerzas horizontales en su

plano inducidas por el sismo, constará de dos grupos de barras diagonales dispuestas

simétricamente respecto al centro del claro, como se indica en el armado de la figura

4.47. Se supondrá que cada grupo forma un elemento que trabajará a tensión o

compresión axiales y que las fuerzas de interacción entre los dos muros, en cada viga,

se transmiten sólo por las tensiones y compresiones en dichos elementos.

Para determinar el área de acero longitudinal de cada diagonal Asd, se despreciará la

capacidad del concreto y de la ecuación 4.13, se tiene:

θsenfAFV ysdRU 2= (4.13)

Esto sin que:

VU > bdfF cR*5.2

Donde:

VU = Cortante último al que está sujeta la viga, según figura 4.46


Asd = Área total del refuerzo longitudinal de cada diagonal.

θ = Ángulo que forma el elemento diagonal con la horizontal.

208

Cada elemento diagonal constará de no menos de cuatro barras rectas sin traslapes ni

uniones mecánicas. En el resto de la viga se usará refuerzo vertical y horizontal que

en cada dirección cumpla con los requisitos para refuerzo por cambios volumétricos

que se especifica en el inciso 5.7 de las N.T.C. Concreto. Y se colocará en dos capas

próximas a las caras de la viga, por fuera de la diagonal.

• Cálculo del área de acero en las diagonales.

Empleando la ecuación 4.13 se obtiene el área de acero Asd sustituyendo de la

siguiente manera:

θsenfFV

AyR

usd 2

= (4.14)

Donde:

De la figura 4.46 se tiene que VU = 22,954.00 Kg x 1.1 = 25,249.40 kg,

Y proponiendo θ = 25° , ver figura 4.47

Entonces el Asd será igual a:

89.825420080.02

40.249,25=

°×××=

senKgAsd cm2


Y respetando la condicionante para diagonales de emplear 4 varillas, entonces se tiene

que:

4 x 2.85 cm2 = 11.40 cm2

209

Como 11.40 cm2 > 8.89 cm2, entonces se aceptan 4 varillas del # 6 para cada diagonal

de la viga, ver figura 4.47. Y cada extremo de la diagonal estará anclado en el extremo

del muro respectivo una longitud no menor que 1.5 veces Ld, obtenida según la tabla

4.1. Si los muros que unen tienen elementos extremos de refuerzo, la longitud de

anclaje del refuerzo diagonal se podrá reducir 1.2 veces Ld.

• Acero transversal de las diagonales.

Para determinar el acero trasversal que restringe el pandeo lateral de las diagonales se

aplicará lo dispuesto en las N.T.C. Concreto incisos 6.1.4.5 y 6.2.3. Empleando estribos

o hélices con varilla del # 2.5 como mínimo y colocándolos en el tercio medio de la viga

a una distancia igual al mayor de las siguientes condicionantes:

s = y

mayorbarrab

fd −,850

s = estribobd ,48

s = Mitad de la menor dimensión del elemento diagonal.

Aplicando las condicionantes anteriores se tiene que:

92.24/4200

90.18502

=×

=cmKgcms cm

48 x 0.79 cm = 37.92 cm

6 cm / 2 = 3 cm

Se tomará la mayor: 37.92 cm , para efectos prácticos de armado se tomará s = 36 cm

En los tercios extremos, la separación se reducirá a la mitad del que resulte en el

central y se continuarán dentro de cada muro en una longitud no menor que L/8, a

menos que el muro cuente con los elementos de refuerzo en los extremos.

210

• Determinación del acero por temperatura en el resto de la viga.

En el resto de la viga se usará refuerzo vertical y horizontal que en cada dirección

cumpla con los requisitos para refuerzo por cambios volumétricos de la sección 5.7

N.T.C. Concreto. Este refuerzo se colocará en dos capas próximas a las caras de la

viga, por fuera del refuerzo diagonal.

En elementos estructurales expuestos a la intemperie ó que estén en contacto con el

terreno se usará un porcentaje de 0.003 para determinar el acero por temperatura en

cualquier dirección del elemento estructural.

Entonces el área de acero longitudinal de la viga será igual a:

2

, 48.35820003.0 cmcmcmdbpA tems =××=××=


Tenemos un área de acero igual a: 4 x 1.27 cm2 = 5.08 cm2

Como 5.08 cm2 > 3.48 cm2, entonces será valido para el armado 4 varillas del # 4. Ver

figura 4.47.

El acero transversal que forma los estribos se calculará de la misma forma solo que por

unidad de ancho igual a 100 cm.

2

, 00.610020003.0 cmcmcmdbpA tems =××=××=


Tenemos que el número de varillas aproximado será:

6 cm2 / 0.71 cm2 = 8.45 pzas, por sencillez del armado tomamos 10 pzas

211

Como cada estribo ocupa 2 barras del # 3, entonces se distribuirán 5 estribos del # 3 a

cada 20 cm, ver figura 4.47.

θ = 25°

Ld

L/3 = 0.38

A'

A

4 Var. # 6

0.06

MURO M-2

1.2 Ld

Ld

0.20

L/3 = 0.38 L/3 = 0.38

MURO M-1

Ld4Var.#4

Var. # 3 @ 20 cm

18

s = 0.36

A-A'

0.20

0.06

h = 0.600.12

Figura 4.47 Armado de la viga de conexión en el primer nivel.

Debido a la magnitud de las fuerzas cortantes que se presentan en las vigas del nivel 1 al 6, el armado de la figura 4.47 será el mismo que se coloque en cada una de ellas.

Las longitudes de desarrollo que se indican el la figura 4.47 serán tomadas de la tabla

4.1 de acuerdo al tipo de barra que le corresponda.

4.4.1.2.- Viga del Nivel 7. Para el diseño de la siguiente viga se empleara el mismo procedimiento que el del

inciso anterior, lo único que hace variar el diseño de la viga es el valor del cortante

último. Esto modifica notablemente las áreas de acero de las diagonales que absorben

la fuerza cortante por lo cual será necesario modificar el diámetro de las varillas que las

forman.

212

De acuerdo a la figura 4.46 el cortante último será igual:

Vu = 17,305 Kg x 1.1 = 19,036 Kg

Aplicando y sustituyendo valores en la ecuación 4.14 se tiene:

70.625420080.02

00.036,19=

°×××=

senKgAsd cm2

Empleando varillas del número 5 con As = 1.98 cm2,

Se tiene que el Asd de la diagonal será igual a 4 x 1.98 cm2 = 7.92 cm2,

Como 7.92 cm2 > 6.70 cm2 la diagonal se armará con 4 varillas del número 5, ver figura

4.48.

A-A'

Ld

θ = 25°

4 Var. # 5

A

A'

L/3 = 0.38

Ld

1.2 Ld

MURO M-2

0.06

Var. # 3 @ 20 cm

4Var.#4

s = 0.36

18

Ld

MURO M-1

L/3 = 0.38L/3 = 0.38

0.20

4 # 5

4 # 5

0.12h = 0.60

0.06

0.20

Figura 4.48 Armado de la viga de conexión en el 7° nivel

La separación de los estribos que restringen el pandeo de las diagonales y el armado

por temperatura serán los mismos que los de las vigas anteriores, modificando las

213

longitudes de desarrollo en las barras de las diagonales según la tabla 4.1, ver figura

4.48

4.4.1.3.- Viga del Nivel 8. Para el diseño de la siguiente viga se empleará el mismo procedimiento anterior, lo

único que hace variar el diseño de la viga es el valor del cortante último. Esto modifica

notablemente las áreas de acero de las diagonales que absorben la fuerza cortante por

lo cual será necesario modificar el diámetro de las varillas que las forman.


Vu = 13,097.00 Kg x 1.1 = 14,407 Kg


07.525420080.02

00.407,14=

°×××=

senKgAsd cm2



Como 5.08 cm2 > 5.07 cm2, la diagonal se armará con 4 varillas del número 4, ver figura

4.49.

Debido a las magnitudes de las fuerzas cortantes que se presentan en las vigas del

nivel 8 al 9, el armado de la figura 4.49 será el mismo que se coloque en cada una de

ellas.

214

θ = 25°

Lds = 0.36

4 Var. # 4

L/3 = 0.38

A'

0.06

Ld

0.20

L/3 = 0.38 L/3 = 0.38

18

AMURO M-2

1.2 Ld

4Var.#4

Var. # 3 @ 20 cm

MURO M-1

Ld

h = 0.60

4 # 4

0.20

0.12

A-A'

4 # 4

0.06

Figura 4.49 Armado de la viga de conexión en niveles 8 y 9.




4.49.

4.4.1.4.- Viga del Nivel 10. Para el diseño de la siguiente viga se empleará el mismo procedimiento que el de los

incisos anteriores, lo único que hace variar el diseño de la viga es el valor del cortante

último. Esto nuevamente modifica notablemente las áreas de acero de las diagonales

que absorben la fuerza cortante por lo cual será necesario modificar el diámetro de las

varillas que las forman.


Vu = 5,547Kg x 1.1 = 6,101.70 Kg

215


14.225420080.02

70.101,6=

°×××=

senKgAsd cm2



Como 2.84 cm2 > 2.14 cm2 la diagonal se armará con 4 varillas del número 3, ver figura

4.50.

Ld

θ = 25°

0.20

A'

4 Var. # 3

A

L/3 = 0.38

1.2 Ld

MURO M-2

Ld

0.06

Var. # 3 @ 20 cm

4Var.#4Ld

MURO M-1

18

L/3 = 0.38L/3 = 0.38

s = 0.36

A-A'

4Var.#4

4 # 3

4 # 3

0.06

0.12

0.20

h = 0.60

Figura 4.50 Armado de la viga de conexión en niveles 10 y 11.

Debido a las magnitudes de las fuerzas cortantes que se presentan en las vigas del

nivel 10 al11 en la figura 4.46, el armado de la figura 4.50 será el mismo que se

coloque en cada una de ellas.

216




4.50.

4.4.2.- Diseño de vigas de conexión que acoplan los segmentos del muro M-3 eje A y F en el proyecto II. Las vigas que acoplan los segmentos del muro con aberturas M-3, tienen las mismas

características geométricas de longitud, peralte y espesor. Y a pesar de ser vigas de

conexión que acoplan muros, no se diseñarán como tal, como la relación entre sus

magnitudes sobre pasa la condicionante que marca el diseño como vigas de conexión:

L/h < 2, esto por que:

L = 210 cm

h = 60 cm

Haciendo la relación se obtiene que: 210 cm / 60 cm = 3.5, por lo tanto sólo serán

consideradas como vigas diafragma y se diseñarán con lo estipulado el las N.T.C.

Concreto incisos 2.2.1, 2.2.2, 2.2.4 y 2.5.1.1.

En la figura 4.51 y 4.52 se muestran los diagramas de Momentos Flexionantes y

Fuerzas Cortantes respectivamente, a las que están sometidas las vigas de conexión

bajo la solicitación sísmica más desfavorable. Con estos datos y las dimensiones de las

vigas se procede a realizar el diseño.

• Diseño a flexión de la viga con momento flexionante mayor.

Datos:

Mu = 5448 Kg-m x 1.1 = 5993 Kg-m = 599,300 Kg-cm

f’c = 250 Kg/cm2

fy = 4200 Kg/cm2

f*c = 200 Kg/cm2

217

f’’c = 170 Kg/cm2

h = 60 cm

d = 58 cm

b = 23 cm

L = 210 cm

Para calcular el Momento Resistente de la viga se aplicará la ecuación 4.3 a partir del

porcentaje mínimo determinado con la ecuación 4.4

Figura 4.51 Diagramas de Momentos Flexionantes en vigas del muro M-3

Viga más esforzada.

218

bdfy

cfAs

'70.0min, = (4.4)

Cálculo del porcentaje mínimo:

( )( )( )( ) 52.358234200

25070.0min, ==sA cm2

Donde:

( )( ) 00264.04200

25070.0==p

Índice de refuerzo:

( )( ) 0652235.0170

420000264.0==q

Cálculo del Momento último con la ecuación 4.3:

( ) ( ) 00.557,7460652235.050.0158420052.390.005.1 =×−××××=−= qdfAFM ysRR Kg-cm

Como MR > MU, entonces el área de acero mínimo (As = 3.52 cm2) será valida para

armar la viga a flexión.

Se proponen 2 varillas del # 5 con As = 1.98 cm2 para absorber la flexión en los

extremos de la viga en el lecho superior e inferior, ver figura 4.53.

• Diseño de viga con mayor esfuerzo cortante.

219

Como se menciono anteriormente, la figura 4.52 muestra los diagramas de fuerzas

cortantes de las vigas de conexión en el muro M-3, se observa que la viga más

esforzada a fuerza cortante es la misma que la diseñada anteriormente a flexión.

Figura 4.52 Diagramas de esfuerzos cortantes en vigas del muro M-3

De acuerdo a la figura anterior se tiene que el cortante último será igual a:

VU = 4502 Kg x 1.1 = 4952.20 Kg

Viga más esforzada.

220

Para el cálculo del cortante resistente de la viga se aplica lo estipulado en las N.T.C.

Concreto inciso 2.5.1.1 y la ecuación 4.15

*50.0 cRCR fbdFV = (4.15)

Entonces el cortante resistente será:

24.546,7200582380.050.0 =××××=CRV Kg

Como VCR > VU , el diseño del armado por cortante de la viga se hará por cambios de

temperatura conforme a lo estipulado en las N.T.C. Concreto incisos 2.5.7.2 y 5.7,

ocupando un porcentaje de área de acero igual a 0.003 (para elementos expuestos a la

intemperie).

Si p = 0.003

Entonces el área de acero por unidad de ancho (100 cm) será:

As,temp = 0.003 x 23 cm x 100 cm = 6.90 cm2

Con un estribo del # 3 se obtiene un área de acero igual a:

0.71 cm2 x 2 barras = 1.42 cm2 / por estribo

Entonces el número de estribos será:

6.90 cm2 / 1.42 cm2 = 4.85 pzas se toman 5 pzas, que distribuidas en un ancho de 100

cm dan una separación de 25 cm entre cada estribo.

Por lo tanto se usarán estribos del # 3 @ 25 cm, ver armado de la figura 4.53.

221

Al observar los valores de las graficas de fuerzas cortantes y momentos flexionantes en

las vigas de conexión del muro M-3 de las figuras 4.51 y 4.52 respectivamente, y como

el diseño elaborado de la viga anterior fue de la más esforzada, se deduce que el

armado de la figura 4.53 (viga más esforzada) será el mismo para todas las vigas de

conexión que acoplan el muro M-3.

L = 210 cm

A' E # 3 @ 25 cm A-A'

A4 Var. # 5

Ld

4 Var. # 5

E # 3 @ 25 cm

L = 60 cm

0.23

Figura 4.53 Armado de vigas de conexión que acoplan el muro M-3

• Tabla de longitudes de desarrollo y traslapes de varillas.

Toda varilla ocupada en los armados estructurales de los muros y vigas de conexión

diseñados anteriormente, será anclada ó unida a otro elemento estructural a través de

una longitud de desarrollo (Ld) de acuerdo a lo estipulado en las N.T.C. Concreto Inciso

5.1. A partir de la ecuación 4.16 se elaboró la tabla 4.1 para longitudes de desarrollo y

traslapes de diferentes diámetros de varillas ocupadas anteriormente en el diseño.

( ) c

y

c

ys

ffdb

fKtrcfa

Ldb'

11.03

×≥

′+

×= (4.16)

Donde:

Ld = Longitud de desarrollo.

Lbd = Longitud básica.

222

as = Área transversal de la barra.

fy = Esfuerzo de fluencia de la barra: (4200 Kg/cm2).

c = Distancia del recubrimiento al centro de la barra: (4 cm aproximado).

f’c = Esfuerzo máximo de compresión del concreto: (250 Kg/ cm2).

Ktr = Índice de refuerzo transversal: (por sencillez del diseño será igual a cero).

Aplicando la ecuación anterior se elaboró la tabla 4.1 para el cálculo de las longitudes

de desarrollo y traslapes en el empleo de varillas del número 3 al 8.

No.

barra

As db

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×

cffdb y

'1.0 ( ) cfKtrc

fa ys

'3 +

×

Ldb F.C. Barras

rectas

Ld

Vigas de

conexión

Ld x1.20

1.33xLd

(0.01fy-

6)db

Longitud

de

traslape

3 0.71 0.95 27.758 15.717 27.76 0.80 22.21 26.65 29.54 34.20 34.20

4 1.27 1.27 37.109 28.113 37.11 0.80 29.69 35.63 39.49 45.72 45.72

5 1.98 1.58 46.167 43.829 46.17 0.80 36.94 44.33 49.13 56.88 56.88

6 2.85 1.91 55.809 63.087 63.09 0.80 50.47 60.56 67.13 68.76 68.76

7 3.88 2.22 64.867 85.887 85.89 1.00 85.89 103.07 114.23 79.92 114.23

8 5.07 2.54 74.217 112.229 112.23 1.00 112.23 134.07 149.27 91.44 149.27

Tabla 4.1 Valores de longitudes de desarrollo y traslapes de varillas.

Conclusiones Sobre el análisis estructural. A continuación se presentan algunas conclusiones que se obtuvieron en el análisis estructural con el programa Staad Pro.

• Al analizar los resultados de los desplazamientos de los muros, muro marco y marcos se observa que la rigidez varía de más a menos para cada uno de estos subsistemas de tal forma que los muros aumentan la rigidez de los edificios ante cargas laterales. Esto se debe a que los efectos de las fuerzas cortantes con respecto a los de flexión pueden ser comparables, de aquí el nombre de muros de cortante y el uso necesario para edificios altos y esbeltos.

• Los desplazamientos de los muros acoplados con respecto a los marcos se

desplazan en 1.46% más y con respecto a los muros marcos se desplazan un 4.19%, Debido a la mínima diferencia de porcentaje de desplazamiento, se justifica correcta ó aproximada la repartición de la fuerza cortante sísmica que recomienda las N.T.C. 2004.

• Los efectos de torsión que se manifiestan por los valores de los momentos

torsionantes de las vigas que conectan a los muros, marco-muros y marcos representan gran importancia sobre todo en la unión de muros y marcos, esto debido a que las trabes que los conectan muestran elevados valores con respecto a las que unen los marcos con marco-muros.

• Es conocido que las cargas gravitacionales provocan poca flexión en los subsistemas verticales y resulta importante el efecto flexionante debido a cargas sísmicas, lo cual se puede comprobar en los diagramas flexionantes de cada elemento obtenidos en el análisis estructural del edificio.

• Las ventajas que tiene el uso de programas de computadora en el espacio al analizar edificios con plantas irregulares o con subsistemas de rigidices diferentes como es el caso de los proyectos I y II, es que se tiene una visualización completa de los efectos de flexión , torsión, cortante y axial.

• Es importante que la modelación de los edificios se apegue al

comportamiento real de las estructuras, en estos edificios se consideraron modelos con bases empotradas, la discretización de los muros verticalmente en cuatro y seis elementos finitos por entrepiso. Cuando se uso una discretización con menor número de elementos finitos los resultados fueron burdos por no expresar claramente la variación de

223

esfuerzos. Seguramente una discretización mayor definiría mejor la distribución de esfuerzos, sin embargo el trabajo numérico se incrementaría.

• Al discretizar las losas se presento el mismo problema, como se podía

dividir la losas en varios elementos finitos o canalizar las cargas gravitacionales distribuidas en la periferia de las losas, se optó por la segunda opción.

• Se observó que la variación de esfuerzos flexionantes entre un muro y un

muro acoplado es la siguiente, en el primero los esfuerzos flexionantes de tensión varían hacia el eje neutro disminuyendo, siendo mayores en la parte inferior y menores en la superior, los de compresión tienen una variación similar pero su valor aumenta en la parte inferior con respecto a los de tensión. En el segundo caso los muros que integran al muro acoplado trabajan en forma similar pero por separado, esto es que cada segmento de muro presenta sus propios esfuerzos de compresión y tensión, siendo mayores siempre los de compresión.

Sobre el diseño estructural. A continuación se presentan algunas conclusiones del diseño estructural usando las Normas Técnicas Complementarias para diseño y construcción de Estructuras de Concreto 2004.

• Las N.T.C. de concreto 2004, con respecto a las anteriores, en el diseño de muros se ha dando una nueva opción para el cálculo del momento flexionante, considerando una distribución de momentos flexionantes en función de la esbeltez del muro, se presentan una amplia explicación en las tres opciones para el diseño de los elementos extremos en los muros, además se ilustran con esquemas en forma clara la distribución y colocación del refuerzo en cualquier segmento del muro además se indica el diseño de muros acoplados.

• Al revisar el factor de comportamiento sísmico se encontró que éste está

dentro de la norma establecida, por lo que no hubo necesidad de modificarlo.

• Todos los muros de los proyectos en estudio no tuvieron la necesidad de

diseñarse por flexocompresión, es decir, no se presenta el problema de pandeo ya que las cargas gravitacionales cumplen con el inciso 6.5.1.

• El diseño de muros se realizo por flexión en su plano, considerando la

variación de esfuerzos máximos y mínimos en cada nivel se uso el criterio de estandarizar de 4 a 5 tipos de armados.

224

• El armado de los extremos de muros se realizó con los resultados de los

momentos flexionantes máximos (esfuerzos σy máximos) de cada segmento de muro, este armado es independiente del que resulte en el alma del muro ya que esté está en función del esfuerzo cortante (esfuerzos τxy máximos).

• Es muy importante realizar un calculo previo del espesor de los muros a

diseñar, es posible que una vez analizada la estructura los resultados de los esfuerzos sean muy elevados y el espesor propuesto no sea capaz de absorberlos.

• Los espesores de los muros cumplieron con lo establecido en las normas,

excepto el muro acoplado (M-3), donde fue necesario incrementar el espesor del muro de 20 a 23 cm.

• Para el armado de los muros se usaron varios calibres de acero, se

recomienda utilizar de 3 a 4 diámetros diferentes.

• Una vez obtenidos los resultados de la distribución de esfuerzos del análisis, se observó que en cualquier tipo de muro los máximos valores de esfuerzos a compresión y tensión se encuentran en el primer tercio de la altura del muro.

• Todas la vigas de conexión de los muros acoplados, se diseñaron como

vigas típicas por no cumplir con la condición de vigas diafragma. Sin embrago las vigas de conexión ubicadas en los ejes 2 y 3 del proyecto I se diseñaron como vigas diafragma según lo estipulado en las normas.

• El acero diagonal colocado en las vigas de acoplamiento está determinado

por la fuerza cortante y no por la flexión, debido al gran peralte que presentan.

• La importancia del empleo de los muros de cortante en estructuras de gran

altura es evidente, ya que sería difícil edificarlas sin ningún sistema suficientemente rigidizante que proporcione la estabilidad necesaria ante los diferentes tipos de solicitaciones que están expuestas. Es por eso, que una buena solución es el empleo de los muros de cortante.

225

226

Bibliografía Aswad, G. Gus y Djazmati, Basel, “Coparison of shear wall deformations and forces using two approaches”, en PCI-Journal prestressed concret institute, Num. 44, Vol. 4, Junary – February 1999, pág. 34-42. Calavera, José, Proyecto y Cálculo de Estructuras de Hormigón, Tomo II, INTEMAC, Edit. Infoprint S.A. España. 1999. G.D.F., “Acuerdo por el que se dan a conocer las Normas Técnicas Complementarias del Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal”, en Gaceta Oficial del D.F., Tomo I, Num. 103-Bis, 6 de octubre, 2004. González, Oscar y Robles, Francisco, Aspectos fundamentales del concreto reforzado, Editorial Limusa, México, 2003, Lin, T.Y. y Stotesbury, Conceptos y sistemas estructurales para arquitectos e ingenieros, Editorial Limusa, México , 1991. Nawy, Edward G., Prestressed Concrete, A Fundamental Approach, Edit. Prentice Hall, New Jersey, 2000. Pavón Rodríguez, Víctor Manuel, Diseño de estructuras de edificios de concreto reforzado, IMCYC, México, 1977. Portland Cement Association, Interacción estructural en marcos y muros de cortante, Editorial Limusa, México, 1977. Stark, Roberto, “Los edificios de concreto ganan altura”, Ponencia seminarial, Word of Concrete, México, 1997. En Internet \\www.imcyc.com En Internet \\www.softwarepc.com En Internet \\www.estructuralsistem.net En Internet \\www.df.gob.mx

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