INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

CENTRO DE INVESTIGACIÓN EN CIENCIA APLICADA Y

TECNOLOGÍA AVANZADA, UNIDAD LEGARIA

CONTRIBUCIÓN A LA CARACTERIZACIÓN TÉRMICA DE

MATERIALES CON LA TÉCNICA DE ALAMBRE CALIENTE

(LÍQUIDOS Y GASES, Y SUS MEZCLAS) Y FOTOACÚSTICA

(SÓLIDOS)

TESIS PARA OBTENER EL GRADO DE:

Maestro en Tecnología Avanzada

PRESENTA:

Ing. Adrian Felipe Bedoya Pérez

DIRECTORES:

Dr. Ernesto Marín Moares

Dr. Fernando Gordillo Delgado

México, D.F. Julio de 2014

AGRADECIMIENTOS

A Dios porque todo lo podemos en él.

A mis padres Danelly y Javier por todo su apoyo y esfuerzo constante en esta etapa y vida.

A mis hermanos Cristian y Juan Pablo por siempre estar ahí para escuchar y dar consejo.

Al Dr. Ernesto Marín Moares por su valiosa amistad, apoyo y asesoría.

Al Dr. Fernando Gordillo por su acompañamiento y asesoría.

A todo el grupo Humano de directivos y maestros de CICATA-legaria por su colaboración y

atención durante todo este tiempo.

Al Dr. Antonio Manoel Mansanares por su amplia disposición y aportes fundamentales.

A mis compañeros del laboratorio de Física de CICATA-legaria.

A CONACyT por el apoyo económico de manutención.

A la SIP-IPN por el apoyo a través de los proyectos 1491 y 1638, y CONACyT por medio de

205640 y 2011-01-174247. Finalmente a COFAA-IPN por el apoyo económico mediante la

beca PIFI.

1

CONTENIDO

RESUMEN ............................................................................................................................................ 3

ABSTRACT ............................................................................................................................................ 4

INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................... 5

HIPÓTESIS ............................................................................................................................................ 8

OBJETIVOS ........................................................................................................................................... 9

1. MARCO TEÓRICO ....................................................................................................................... 10

1.1 La transferencia de calor ................................................................................................... 10

1.2 Transferencia de calor por conducción ............................................................................. 10

1.3 Conducción de calor en paredes planas ............................................................................ 11

1.4 Ecuación de difusión de calor ............................................................................................ 12

1.5 La técnica Fotoacústica ..................................................................................................... 13

1.6 El modelo de Rosencwaig-Gersho ..................................................................................... 14

1.7 Modelo de difusión térmica para la configuración de transmisión de calor .................... 16

1.8 Modelo de flexión termoelástica para la configuración de transmisión de calor ............ 18

1.9 Modelo de la expansión térmica para la configuración de transmisión de calor ............. 20

1.10 La técnica del alambre Caliente ........................................................................................ 23

1.11 Modelo para determinar la conductividad térmica .......................................................... 23

2. CONDUCTIVIDAD TÉRMICA DE SUSTANCIAS HETEROGÉNEAS ................................................. 26

2.1 Sistema de dos capas ........................................................................................................ 26

2.2 Nanofluidos ....................................................................................................................... 29

2.3 Sistema de alambre caliente ............................................................................................. 30

2.4 Resultados de conductividad térmica de muestras binarias ............................................ 31

2.5 Resultados de conductividad térmica de nanofluidos ...................................................... 33

3. DIFUSIVIDAD TÉRMICA DE CUERPOS SOLIDOS ......................................................................... 37

3.1 Método para la determinación de la difusividad térmica ................................................. 37

3.2 Sistema de fotoacústica en configuración de transmisión de calor.................................. 40

3.3 Resultados de simulación de la señal fotoacústica ........................................................... 41

3.4 Resultados de difusividad térmica .................................................................................... 43

4. CONCLUSIONES ......................................................................................................................... 50

5. PROYECCIONES .......................................................................................................................... 52

6. PRODUCTOS DE LA TESIS ........................................................................................................... 53

2

7. BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................ 54

LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Flujo de calor en estado estacionario para una placa plana .............................................. 11

Figura 2. a) Arreglo de placas en serie y b) paralelo, acorde al flujo de calor incidente .................. 12

Figura 3. Celda fotoacústica cerrada (CFC). ...................................................................................... 14

Figura 4. Vista de la sección transversal de la celda FA cilíndrica, mostrando la posición de la

muestra, la base y la columna de gas. ............................................................................................... 15

Figura 5. Vista de la sección transversal de una CFA. ....................................................................... 17

Figura 6. a) Dimensiones consideradas para la descripción de la FTE y b) visualización del efecto

tambor ............................................................................................................................................... 18

Figura 7. Vista de la sección transversal de la celda FA cilíndrica, mostrando el desplazamiento de

superficie debida a la ET .................................................................................................................... 21

Figura 8. Vista de la sección transversal de contenedor cilíndrico. .................................................. 23

Figura 9. Resistencia térmica y eléctrica en una configuración a) simple y b) de dos capas ............ 26

Figura 10. Resistencia térmica de interface ...................................................................................... 28

Figura 11. Idealización de un nanofluido como un arreglo de resistencias térmicas en serie en la

TAC .................................................................................................................................................... 30

Figura 12. Esquema del sistema de medida por la TAC .................................................................... 31

Figura 13. Conductividad térmica efectiva como función de la fracción de volumen de a) agua

destilada, b) glicerina, c) aceite de motor de auto, d) metanol, e) etilenglicol y f) agua destilada-

aceite de motor de auto. ................................................................................................................... 32

Figura 14. Aumento de la conductividad térmica como función de la fracción de volumen de

diferentes nanofluidos: a) Al2O3/Agua, b)TiO2/Agua, c)ZnO/Agua , d) Al2O3/Etilenglicol,

e)CuO/Etilenglicol y f)TiO2/etilenglicol. El tamaño de la partícula se muestra en los recuadros

internos. ............................................................................................................................................ 34

Figura 15. Vista expandida de la cámara de aire FA ......................................................................... 40

Figura 16. Esquema del sistema de FA en configuración de transmisión de calor ........................... 41

Figura 17. Simulación de en función del cociente en un gráfico semilogarítmico para

una muestra de aluminio de 12µm de espesor. ............................................................................... 42

Figura 18. Simulación de en función del cociente en un gráfico semilogarítmico

para una muestra de acero inoxidable de 255µm de espesor. ......................................................... 42

Figura 19. en función de de una muestra de acero inoxidable ........................................ 44

Figura 20. Resultados típicos para como función de la raíz cuadrada de la frecuencia de

modulación en un gráfico semilogarítmico para acero inoxidable de a) 200 µm, b) 255µm, c)

301µm, d) 341µm, e) 387µm, f) Cobre, g) Plata, h) Aluminio y i) Vidrio.......................................... 46

Figura 21. m en función de la frecuencia de corte en a) un plano logarítmico y b) en un plano

lineal .................................................................................................................................................. 47

Figura 22. en función de de una muestra de acero inoxidable .............................................. 49

3

RESUMEN

En este trabajo se presentan metodologías experimentales y de análisis y procesamiento

de la información para la caracterización térmica de líquidos y sólidos. En el primer caso se

propuso un modelo que describe la conductividad térmica efectiva de un sistema de

muestras de dos capas (no miscibles) obtenida con la técnica del alambre caliente. Por

medio de un experimento simple se demuestra que la conductividad térmica efectiva

obtenida con esta técnica debe ser modelada como un conjunto de resistencias térmicas

en serie considerando una capa interfacial entre las diferentes fases. Este modelo es

expandido a los nanofluidos considerando el fluido base y las nanopartículas como capas

independientes y asumiendo la existencia de una interface de contacto entre estas,

tratando de explicar la causa del aumento, aparentemente anómalo, de la conductividad

térmica con respecto a los valores correspondientes del fluido base, sugiriendo que este

incremento no puede ser explicado usando fórmulas empíricas para un medio efectivo,

como se ha hecho antes.

Con respecto a la caracterización térmica de sólidos ha sido usada la técnica fotoacústica,

en particular para la determinación de la difusividad térmica. Esta técnica se ha

establecido como un método simple y confiable para determinar este parámetro térmico.

Se propuso una metodología para el análisis de la información entregada por el sistema de

medición para cualquier muestra sólida teniendo en cuenta la respuesta en frecuencia del

elemento detector y los diferentes mecanismos en la generación de la señal fotoacústica:

la difusión térmica, la expansión térmica y la flexión termoelástica. Es importante resaltar

que varios autores no tienen en cuenta la respuesta en frecuencia del detector y solo

consideran la difusión térmica en la generación de la señal fotoacústica. Esto puede

conducir a valores imprecisos de la difusividad térmica. A través de mediciones realizadas

en un conjunto de materiales de prueba se demostró la influencia que puede tener la

componente termoelástica en régimen térmicamente fino y grueso. A partir del ajuste de

los resultados experimentales al modelo teórico, se obtuvo la difusividad térmica de la

muestra. Se discute acerca de la extensión de la metodología propuesta para la

determinación del coeficiente de expansión térmico lineal y sobre sus limitaciones para

determinar otros parámetros termofísicos involucrados en el modelo.

4

ABSTRACT

This work presents experimental methodologies of analysis and processing of information

for the thermal characterization of liquids and solids. In the first case a model is proposed

describing the effective thermal conductivity of two layers (immiscible) samples obtained

with the hot wire technique. It has been demonstrated through a simple experiment that

the effective thermal conductivity obtained with this technique should be modeled as a

set of thermal resistances in series considering interfacial layers between the different

phases. This model is expanded to nanofluids considering the fluid base and nanoparticles

as independent layers and assuming the existence of an interface of contact between

them, trying to explain the cause of the apparently anomalous increase of the thermal

conductivity with respect to the corresponding values of the fluid base, suggesting that

this increase cannot be explained using empirical formulas for effective media, as has

been doing before.

With respect to the thermal characterization of solids the photoacoustic technique has

been used, in particular for the determination of thermal diffusivity. This technique has

been established as a simple and reliable method to determine this thermal parameter. A

methodology is proposed for the analysis of the information provided by any solid sample

measurement system taking into account the frequency response of the detector element

and the different mechanisms of generation of the photoacoustic signal: thermal

diffusion, thermal expansion and thermoelastic bending. It is important to highlight that

several authors do not consider the frequency esponse of the detector and only consider

the thermal diffusion in the photoacoustic signal generation. This can lead to inaccurate

values of thermal diffusivity. Through measurements on a set of test materials it has been

showed the influence that the thermoelastic component can have in both the thermally

thion and thick regimes. From the experimental fit results to the theoretical model, the

thermal diffusivity of the sample has been obtained. A discussion is made about the

extension of the proposed methodology for linear thermal expansion coefficient

determination and on its limitations for calculation of other thermophysical parameters

involved in the model.

5

INTRODUCCIÓN

La determinación de las propiedades termofísicas de los materiales a través de métodos

confiables es de gran interés. En la actualidad existen diversas técnicas calorimétricas y

modelos matemáticos que las representan y con las cuales es posible obtener los valores

de difusividad térmica, conductividad térmica, efusividad térmica y calor específico

[1,2,3,4]. Estas técnicas han sido bien establecidos por diferentes autores acorde al

parámetro térmico que se desee medir. Diferentes variantes de estos modelos y

metodologías para el análisis de la información se han propuesto teniendo en cuenta las

configuraciones experimentales y los tipos de materiales a investigar, como es el caso de

muestras homogéneas y heterogéneas (compuestos multicapa) [5]. En las últimas se

considera un arreglo de muestras superpuestas unas con otras. En el caso de un sistema

de dos capas por ejemplo, generalmente el material de una capa tiene propiedades

térmicas conocidas y es usado como referencia con el fin de obtener algún parámetro

térmico del material de la segunda capa. También puede ocurrir que haya una mezcla de

los materiales cuando estos sean de diferentes fases, lo cual provoca una variación de los

parámetros térmicos del material de referencia (liquido) debido a la adición de un

segundo material (solido), siendo esa variación el objeto de estudio. Esto es lo que ocurre

en los llamados Nanofluidos, suspensiones estables de partículas con tamaños

nanométricos en líquidos [6].

Los nanofluidos han mostrado tener altos valores de conductividad térmica con respecto

al fluido base, representando una ruta atractiva de estudio para lograr sustancias que

tengan una disipación eficiente del calor que puede ser generado en diferentes sistemas

de la industria (manufactura, automotriz, petrolera, etc). La técnica más utilizada para la

caracterización térmica de estos compuestos es la del alambre caliente [7], con la cual se

han reportado incrementos significantes en el parámetro de conductividad térmica.

Alguno de estos han excedido los predichos por las teorías existentes (Medio efectivo)

[8,9,10], un hecho que ha motivado muchos trabajos a proponer nuevos mecanismos de

transferencia de calor [11], para sugerir correcciones a los modelos asociados con las

variantes experimentales [12], y proponer nuevos métodos de análisis y técnicas de

medicion [13,14,15]. Recientemente, un grupo internacional de autores de alrededor de

30 instituciones reportaron [16] los resultados en el llamado INPBE (International

Nanofluid Property Benchmark Exercise), en el cual la conductividad térmica de muestras

idénticas fue medida con diferentes técnicas, concluyendo que el aumento de la

conductividad térmica generalmente coincide con las predicciones de las teorías de medio

efectivo. Sin embargo hasta ahora no hay consenso general sobre este asunto y muchos

trabajos experimentales están aún en progreso no solo en nanofluidos, también en otros

sistemas [17], dejando abierto el debate sobre el aumento de la conductividad térmica,

6

especificando que nuevos experimentos son necesarios con el fin de entender los

mecanismos de transferencia de calor [18,19].

Parte de este trabajo describe un experimento que demuestra una posible causa de

malinterpretación de los datos experimentales obtenidos por la técnica de alambre

caliente cuando se usa para muestras heterogéneas como los sistemas de dos fases. Este

método ofrece resultados precisos en el caso de muestras homogéneas. En el caso de

compuestos se hace necesario el uso de modelos teóricos con el fin de obtener la

conductividad térmica del componente desconocido a partir del valor medido (efectivo).

Debido a la complejidad de los modelos teóricos existentes para la descripción de la

conductividad térmica de muestras multifase, el uso de fórmulas empíricas como las

teorías de medio efectivo ha demostrado ser aplicable. Uno de los sistemas más simples

que puede ser analizado consiste de un sistema de dos capas de fluidos no miscibles. En

este trabajo se demuestra que la conductividad térmica efectiva de tales sistemas no

puede ser descrita por medio de un conjunto de resistencias térmica en paralelo, como

inicialmente se creería, estableciendo que acorde al arreglo experimental, un modelo

serie de resistencias térmicas debe ser utilizado considerando una resistencia térmica

interfacial entre las dos fases. Esto sugiere una posible explicación para el fallo de algunas

teorías de medio efectivo al querer explicar el aumento de la conductividad térmica de un

fluido propiciado por las nanopartículas, al usar la técnica del alambre caliente.

En el caso de muestras homogéneas como son los sólidos, las técnicas fototérmicas han

resultado ser muy versátiles y precisas en la medición de los parámetros térmicos. Entre

estas técnicas se tienen la fotopiroeléctrica, la piezoeléctrica, la fotoacústica y otras [20].

Esta última ha atraído considerable atención en las últimas tres décadas debido a que se

puede obtener una alta razón de señal-ruido. En la actualidad este método es muy

importante para la investigación en el área de ciencias de materiales [21, 22]. Esta técnica

involucra un calentamiento de la muestra y la medición de su temperatura de forma

indirecta con el fin de determinar las propiedades térmicas de la misma. Este método ha

sido bien establecido para la determinación del parámetro de difusividad térmica [23]. En

la metodología para la obtención de este parámetro varios autores solo consideran la

contribución de la difusión de calor como único mecanismo generador de la señal

fotoacústica despreciando otras contribuciones importantes como la expansión térmica y

la flexión termoelástica. Además no toman en cuenta la dependencia en frecuencia del

elemento detector de señal [24,25,26]. Esto puede conducir a un valor impreciso de

difusividad térmica. Para obtener las propiedades térmicas del material mediante esta

técnica se deben ajustar los datos a las ecuaciones que la describen. Una forma es utilizar

la expresión completa que describe la señal fotoacústica en amplitud y fase como función

de la frecuencia de modulación, sin embargo debido a lo extensa de esta expresión y a la

7

presencia de variables complejas, la fiabilidad del ajuste se ve limitada, más aun cuando se

consideran los tres mecanismos influyentes en la señal fotoacústica. En este trabajo se

propone un método que supera esta limitación, ya que utiliza la magnitud de las formulas

aproximadas para los diferentes regímenes térmicos y desprecia los mecanismos no

influyentes. Aunque estas expresiones son bien conocidas [27,28,29], pueden usarse

incorrectamente debido a errores en la selección de los rangos de medida de cada

muestra acorde a su espesor y debido a la no consideración de la respuesta en frecuencia

del micrófono, que puede ser bastante influyente a frecuencias bajas [2]. Por tanto la

metodología que aquí se propone tiene en cuenta la dependencia en frecuencia del

elemento detector de la señal fotoacústica y además considera la termodifusión, la

termoexpansión y el termoelástico como propiciadores de la señal. La efectividad de la

metodología de análisis es demostrada con mediciones realizadas en muestras de prueba

de diferentes materiales de los cuales se obtuvo su difusividad térmica. La metodología

involucra medir la muestra en el régimen térmicamente grueso y hacer una normalización

con una muestra medida en el régimen térmicamente muy fino, con el fin de eliminar la

función de transferencia del detector.

El primer capítulo de este trabajo presenta el marco teórico que exhibe los fundamentos y

conceptos como base de los siguientes. El capítulo dos presenta el estudio hecho con la

técnica del alambre caliente sobre muestras heterogéneas, allí se presentan los sistemas

de medida, la metodología experimental, los modelos propuestos y los resultados; El

capítulo tres hace referencia a la investigación hecha con la técnica fotoacústica sobre

materiales solidos homogéneos, presentando una metodología para el análisis de la

información, el sistema de medición y los resultados obtenidos. Por último se presentan

las conclusiones, artículos publicados y la bibliografía consultada.

8

HIPÓTESIS

1– Conductividad térmica de sustancias heterogéneas

Se postula la existencia de una capa interfacial al medir un sistema de dos capas de

muestras no miscibles con la técnica del alambre caliente, la cual influye en el valor de

conductividad térmica obtenida. En un experimento en que se varía la fracción de

volumen de una capa, esa conductividad térmica puede ser modelada considerando un

medio efectivo que relacione la resistencia eléctrica del alambre con la resistencia térmica

de cada capa.

2 – Difusividad térmica de cuerpos solidos

La confiabilidad en la obtención del parámetro de difusividad térmica de una muestra

solida homogénea puede ser mejorada al usar una metodología de análisis de información

que involucra estrictamente solo a los mecanismos de difusión térmica, flexión

termoelástica y expansión térmica en la generación de la señal fotoacústica.

9

OBJETIVOS

– Conductividad térmica de sustancias heterogéneas

Establecer una relación entre la resistencia eléctrica del alambre de platino y la

resistencia térmica de la muestra.

Proponer un modelo matemático que describa el comportamiento de la

conductividad térmica efectiva considerando una capa interfacial.

Comparar el modelo propuesto con las teorías de medio efectivo que se ajusten al

experimento.

Aplicar el modelo propuesto a un sistema de muestras de dos capas (muestra

heterogénea) no miscibles para validar la exactitud y repetitividad de las

mediciones.

Predecir el comportamiento del aumento anómalo de la conductividad térmica en

los nanofluidos considerando la aparición de una capa interfacial debida a la

interacción fluido-nanopartícula.

– Difusividad térmica de cuerpos solidos

Involucrar los mecanismos de difusión térmica, flexión termoelástica y expansión

térmica en la determinación de la difusividad térmica de cuerpos sólidos con la

técnica fotoacústica.

Considerar la respuesta del elemento detector (micrófono) en los diferentes

regímenes térmicos.

Establecer una ecuación para el análisis de la magnitud y fase de la señal

fotoacústica.

Obtener la difusividad térmica de diferentes materiales para corroborar la

metodología de análisis propuesta.

Proponer una ecuación que permita calcular el coeficiente de expansión térmica lineal en una celda fotoacústica abierta.

10

1. MARCO TEÓRICO

En este capítulo se muestran los conceptos básicos y fundamentos teóricos necesarios

para el desarrollo del trabajo. En él se hace una breve descripción de la transferencia de

calor por conducción, la ecuación de difusión de calor, el efecto termoelástico, la

conductividad y difusividad térmica, además se presenta la técnica fotoacústica y del

alambre caliente con sus respectivos modelos matemáticos que permiten obtener

información acerca de las propiedades térmicas de un material.

1.1 La transferencia de calor

La transferencia de calor se puede definir como un intercambio de energía entre dos

medios que ocurre siempre del más caliente al más frio y se detiene cuando ambos

alcanzan una temperatura de equilibrio. Básicamente para que exista una transferencia de

calor debe existir un gradiente de temperatura [30]. Esta transferencia puede darse de

tres modos distintos conocidos como la conducción, la convección y la radiación, las

cuales son descritas por la ley de Fourier, la ley de enfriamiento de Newton (para la

convección natural) y la ley de Stefan-Boltzman [20], respectivamente. Inclusive se puede

presentar una combinación de estos modos de transferencia de calor en un medio.

1.2 Transferencia de calor por conducción

Cuando existe una diferencia de temperaturas en un cuerpo se genera una transferencia

de energía de las partículas más energéticas hacia las adyacentes menos energéticas,

producto de las interacciones entre esas partículas. La conducción tiene lugar en

diferentes fases de una sustancia, en sólidos, líquidos y gases. En los dos últimos se debe

a las colisiones y a la difusión de las moléculas durante su movimiento aleatorio y en los

sólidos se debe fundamentalmente a la vibración de los átomos y moléculas en la red

cristalina o al movimiento de los portadores de carga eléctrica [30]. La manera de

cuantificar este proceso de transferencia de calor está dictada por la “Ley de Fourier”,

ecuación 1, según la cual el flujo de calor en un medio isótropico es proporcional al

gradiente de temperatura en su dirección [20].

(1)

donde es una constante de proporcionalidad llamada “Conductividad térmica”, sus

unidades [Wm-1K-1], y es una medida de la capacidad del material para conducir el calor.

Esta propiedad de transporte toma un valor característico para cada material. El signo

menos en la ecuación 1 se debe a la segunda ley de la termodinámica, que establece que

el calor se transfiere en la dirección de la temperatura decreciente.

11

1.3 Conducción de calor en paredes planas

Al considerar una placa plana homogénea e isotrópica de espesor , área transversal y

de conductividad , a través de la cual existe un flujo de calor en una de sus caras, ocurrirá

una transferencia de calor en la dirección (en el caso unidimensional) impulsada por el

gradiente de temperatura en esa dirección del calor, como lo describe la ley de Fourier.

Para el caso en el que el flujo de calor es estacionario su comportamiento es constante, lo

que conlleva a que la temperatura a través de la pared varíe linealmente con , asi la ley

de Fourier se puede reescribir como:

(2)

Figura 1. Flujo de calor en estado estacionario para una placa plana

De la ecuación 2, estableciendo una analogía del flujo de calor con la corriente eléctrica y

de la diferencia de temperatura con la diferencia de potencial a la que se somete un

conductor, se logra establecer el concepto de “Resistencia térmica” de la placa *30] como

se muestra en 3.

[°K/W] (3)

La resistencia térmica se define como la oposición al flujo de calor, en este caso por

conducción, y es importante resaltar que depende de las dimensiones de la pared y las

propiedades térmicas de la misma. Dada la analogía de resistencia térmica y eléctrica, es

posible considerar un sistema de placas múltiples consecutivas (figura 2) que sigan el

mismo comportamiento de un circuito serie y paralelo para los cuales la resistencia

eléctrica total es ampliamente conocida [31].

12

Figura 2. a) Arreglo de placas en serie y b) paralelo, acorde al flujo de calor incidente

Para los casos a y b de la figura anterior, las ecuaciones 4 y 5 representan las resistencias

térmicas equivalentes para el conjunto de placas dispuestas en serie y paralelo, como

sigue

(4)

(5)

en las cuales y son la longitud y área total de las placas y se conoce como la

“Conductividad térmica efectiva” [32] de todo el sistema de placas.

1.4 Ecuación de difusión de calor

Para establecer la ecuación básica que gobierna la transferencia de calor en un cuerpo con

diferencial de volumen, , estando sujeto a un calentamiento o enfriamiento no

estacionario, se debe combinar la ley de Fourier con la ley de conservación de la energía o

balance de flujos de calor, teniendo en cuenta que la temperatura dependerá tanto de la

coordenada espacial como del tiempo. Por lo tanto, considerando un cuerpo con

conductividad térmica isotrópica y asumiendo que no hay una generación de calor en su

interior, se tiene en coordenadas cartesianas,

(6)

Esta ecuación es conocida como la ecuación de difusión de calor o segunda ecuación de

Fourier, donde α es la “difusividad térmica”, sus unidades [m2s-1], y se define como una

tasa de propagación del calor a través del cuerpo, además es un parámetro térmico propio

del mismo y que relaciona su conductividad térmica, calor especifico ( , [JKg-1K-1]) y

densidad ( , [Kgm-3]). El calor específico es la cantidad de calor requerida para

incrementar en un grado la temperatura de un gramo de sustancia. De forma particular,

13

para el caso unidimensional en la que el flujo de calor se da solamente en la dirección , la

ecuación 6 se reescribe como 7.

(7)

Considerando un sólido semi-infinito sometido en la superficie a un calentamiento por un

haz de luz monocromático de intensidad modulada 𝐼:

𝐼

𝐼 ( ) (8)

donde 𝐼 es la intensidad de la luz, es la frecuencia de modulación angular y el

tiempo; y considerando que la luz es absorbida en su totalidad por el sólido, la condición

de continuidad de flujo en la superficie será,

0

1 (9)

Aplicando esta condición se obtiene la solución de la ecuación de difusión unidimensional.

Esta es una función de la distribución de temperatura al interior del sólido también

conocida como la “onda térmica”, representada en la ecuación 10,

( ) 𝐼

√

⁄ ( ⁄

⁄ ) (10)

en la cual √

, denominado longitud de difusión térmica, es la distancia a la cual la

amplitud de la onda decae e veces de su valor inicial en la superficie [20]. A partir de 10, si

se mide la temperatura en función de la frecuencia es posible determinar la difusividad

térmica del material. Basados en la ecuación 10, se han desarrollado un conjunto de

técnicas y métodos en el área de la calorimetría que permiten determinar los parámetros

térmicos de los materiales. Dentro de ellas, la técnica fotoacústica es ampliamente

utilizada [21, 33, 34].

1.5 La técnica Fotoacústica

Esta técnica se fundamenta en el efecto fotoacústico que fue descubierto en 1880 por

Alexander Graham Bell [35]. Este consiste en la generación de una señal acústica debida a

la excitación de un cuerpo con luz modulada; una vez absorbida esta luz, se generan

procesos de desexcitación no radiativos que calientan el material. El flujo de calor

14

periódico desde la muestra produce cambios de presión en el gas adyacente a través de

un efecto mecánico de expansión-contracción del gas [36]. Un arreglo experimental

clásico de la técnica fotoacústica (TFA) basada en este principio se describe en la figura 3.

En esta configuración la muestra se encuentra en el interior de una celda sellada que

contiene aire u otro gas; sobre ella incide un haz de luz modulado. La celda está acoplada

a un micrófono que capta la señal producida.

Figura 3. Celda fotoacústica cerrada (CFC).

Esta técnica fototérmica permite obtener la difusividad y efusividad térmica ( √

[Ws1/2m-2K-1]), así como espectros de absorción de una amplia gama de materiales. La

efusividad térmica es una medida de la impedancia térmica de un cuerpo o de su

capacidad de intercambio de calor con el medio ambiente [37]. El amplio uso de esta

técnica se debe principalmente a su alta sensibilidad como se ha demostrado en distintos

trabajos [38]; a continuación se presentan las principales ventajas de la técnica:

Requiere un mínimo tratamiento en la preparación de la muestra.

Puede ser utilizada en una amplia gama de materiales (sólidos, líquidos, gases,

geles).

No requiere contactos eléctricos y es no destructiva.

1.6 El modelo de Rosencwaig-Gersho

La teoría que describe la señal obtenida del efecto fotoacústico fue enunciada en 1976 por

Allan Rosencwaig y Allen Gersho (RG) [39]. El modelo propuesto por RG se fundamenta en

la suposición de que el calentamiento periódico de la superficie de una muestra da lugar a

un flujo de calor en esta y que se difunde hacia un gas contenido en una celda cerrada. En

este modelo se considera el flujo de calor unidimensional en una celda cilíndrica y se

demuestra que solamente una capa relativamente delgada de aire en su interior,

adyacente a la superficie del sólido (muestra), responde térmicamente al flujo de calor

periódico proveniente de él. Esta capa de aire sufre un calentamiento y un enfriamiento

15

alternado, comportándose como un pistón vibratorio, de tal forma que los cambios de

presión generan una señal acústica [40].

En el modelo se asume una celda FA cilíndrica de diámetro y longitud (figura 4). El

micrófono detecta la presión promedio producida en la celda y la muestra de espesor

está ubicada de tal forma que su superficie frontal este expuesta al gas (aire) interno de la

celda y su parte posterior en contacto con una base de poca conducción térmica y de

espesor . La longitud de la columna de gas está dada por . Se asume

que el gas y el material base no absorben luz. Se establece que el término representa el

sólido (s), el gas (g) y el material base (b); denota la frecuencia de modulación del haz de

luz incidente y su intensidad está dada por la ecuación 8.

Figura 4. Vista de la sección transversal de la celda FA cilíndrica, mostrando la posición de la muestra, la base y la columna de gas.

La densidad de calor producida en cualquier punto debido a la luz absorbida en ese

punto del sólido está dada por:

𝐼

( ) (11)

donde es el coeficiente de absorción óptico de la muestra solida (en ) para una

longitud de onda determinada y , toma valores negativos a medida que se

extiende por el sólido desde a ; con la luz incidiendo en . La ecuación

de difusión térmica en el sólido, teniendo en cuenta la fuente de distribución de calor, se

podría escribir como:

[ ] (12)

16

con 𝐼 , donde es la temperatura y es la eficiencia a la cual la luz absorbida

es convertida en calor por procesos de desexcitación no radiativos. Para la base y el gas,

las ecuaciones de difusión de calor están dados por:

(13)

(14)

A partir de las soluciones a las ecuaciones 12, 13 y 14, aplicando las condiciones de

continuidad de temperatura y de flujo correspondientes, y considerando una compresión

adiabática causada por la variación de volumen en la celda, se obtiene el modelo de

difusión térmica (DT) que representa la variación de presión al interior de la celda a

temperatura ambiente como una función de la posición y del tiempo. Se define como la

solución explicita obtenida en , así,

√ ( )

.( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) / (

⁄ ) (15)

donde ; ; 𝜎 ( ) ; 𝜎 ( ) ;

( )

⁄ ; , y son la conductividad térmica, el coeficiente de difusión térmica y la

difusividad térmica del medio . La ecuación (15) determina que a una distancia de

la variación de la temperatura periódica en el gas es totalmente amortiguada;

definiéndose una capa en la frontera (figura 4) que es capaz de responder

térmicamente a la temperatura periódica en la superficie de la muestra.

Con este modelo que representa el efecto fotoacústico es posible analizar espectros y

coeficientes de absorción óptica de materiales en cualquier fase, cuando se varía la

longitud de onda del haz incidente en el rango visible. De manera alterna si se mantiene la

longitud de onda del haz incidente constante y se varía la frecuencia de modulación es

posible obtener información concerniente a las propiedades térmicas de la muestra [41].

1.7 Modelo de difusión térmica para la configuración de transmisión de calor

En esta configuración el sólido o muestra se utiliza como elemento sellador de la cámara

FA y sobre este se hará incidir el haz de luz modulado, es decir, en la figura 3 la ventana de

cuarzo es reemplazada por la muestra. Esta configuración recibe el nombre de celda

fotoacústica abierta o en configuración de transmisión de calor (CFA) [2] y de igual forma

que en la CFC una capa delgada de aire reacciona térmicamente al flujo de calor

proveniente de la muestra, pero en este caso, la longitud de onda del haz de excitación

permanece constante, variándose solamente la frecuencia de modulación de mismo.

17

Figura 5. Vista de la sección transversal de una CFA.

El modelo RG describe las variaciones de presión al interior de la cámara cuando se

encuentra la solución en e iluminando en ese misma cara (figura 5). Además

asumiendo la intensidad de luz absorbida por la muestra como 𝐼 , la expresión

matemática obtenida es [27],

𝐼

√ . 𝜎 /

(( )(𝜎 ) ( 𝜎 ) ( )(𝜎 ) ( 𝜎 ) (𝜎 )

( )( ) 𝜎 ( )( ) 𝜎 ) (

⁄ ) (16)

De la ecuación 16, si no existe un material base ( ), garantizando que la efusividad de

la muestra es mayor a la del aire (siempre ocurre al medir sólidos, ) y considerando

una muestra ópticamente opaca i.e ( ), la fluctuación de presión en la cámara de

aire de la CFA, está dada por [28]:

𝐼 ( )

(

𝜎 ) (

⁄ ) (17)

En 17, la DT es el único mecanismo presente en la generación de la señal FA. Para una

muestra térmicamente fina ( 𝜎 ), y para una muestra termicamente gruesa

( 𝜎 ), la señal FA está dada por las ecuaciones 18 y 19, respectivamente. Estas

ecuaciones describen correctamente a la ecuación 17 en cada rango de frecuencia

correspondiente.

𝐼

( )

. ⁄ / (18)

𝐼 ( )

√

( ⁄ √

) (19)

18

Donde es la frecuencia de corte o límite entre el régimen térmicamente fino y grueso, y

se define como:

(20)

De 20, se puede obtener la difusividad térmica de la muestra, si se conoce su espesor y el

valor de correspondiente, esto se puede lograr mediante un ajuste de los datos

experimentales al modelo que representa la señal FA.

1.8 Modelo de flexión termoelástica para la configuración de transmisión de

calor

Cuando la muestra es un sólido en forma de plato rodeado por aire, la señal FA está

constituida por la contribución de la DT y la flexión termoelástica (FTE). Esta última se

debe a un gradiente de temperatura al interior de la muestra a lo largo del eje , como se

muestra en la figura 6. Debido a este gradiente, a lo largo de la dirección radial se induce

una flexión del plato a lo cual se le conoce como “Efecto tambor”. Esta vibración de la

muestra es modelada acorde a un pistón mecánico el cual produce variaciones de

volumen al interior de la celda contribuyendo así con la señal FA.

a) b)

Figura 6. a) Dimensiones consideradas para la descripción de la FTE y b) visualización del efecto tambor

El conjunto de ecuaciones que describen este fenómeno ha sido descrito por Miranda-

Perondi (MP) [28]. Fundamentalmente se toma en cuenta el calor debido a las ondas

elásticas en la ecuación de difusión térmica, esto es equivalente a multiplicar el término

en la ecuación 7 por , ( ) -, donde y , son la capacidad calorífica

por unidad de volumen a tensión constante y deformación constante, respectivamente.

Además que, ( ) , donde es el módulo de compresibilidad y es el

“Coeficiente de expansión térmica lineal”: es una relación que mide cuanto cambia la

longitud de un sólido al ser sometido a una diferencia de temperatura constante [42], sus

19

unidades son [°K-1]. Para muchos solidos ( ) . La ecuación 21 representa

la distribución de temperatura en el sólido de la figura 6. En este se asume que toda la luz

es absorbida en la superficie.

𝐼 𝜎

(( ( )𝜎 )

( 𝜎 ) (21)

Para establecer un análisis más compacto del conjunto de ecuaciones que resultan en el

modelamiento del termoelástico, MP desprecian en la ecuación de desplazamiento el

término inercial cuando el experimento se realiza a bajas frecuencias. Esto es,

donde es el radio de la muestra, y .

( ) /

la velocidad del sonido; es el

módulo de Young; es el coeficiente de Poisson. Además asumen que la muestra es

cilíndrica de tal forma que , asi la condición de tensión plana es aplicable, i.e

𝜎 𝜎 en , donde 𝜎 es el esfuerzo del tensor. Bajo esas circunstancias de

aproximación, al resolver las ecuaciones para el desplazamiento de la muestra y a lo

largo del eje radial y el eje , estando sujetas a las condiciones de frontera de la

muestra , y en los bordes donde está libre de fuerzas y esfuerzos,

se obtiene:

( ) { ( )

∫

[

(

)

.

/]} (22)

con ∫

y ∫

El primer término de la ecuación 22 representa la flexión de la muestra, y la otra es debida

a la dilatación del espesor. De esta manera al conocer el desplazamiento de la muestra a

en el eje y considerando una compresión adiabática causada por la variación de volumen

en la celda, se puede conocer la variación de presión debida solo a la FTE como:

𝐼

𝜎

4 𝜎

𝜎

𝜎

𝜎 5 ( ) (23)

donde es el radio de abertura de la celda sobre el cual esta soportado la muestra y es

el radio interno de la cámara FA. De la misma forma que en la DT, considerando una

muestra térmicamente fina la ecuación (23) puede ser rescrita como:

𝐼

( ) (24)

20

Note de la ecuación 24 que la contribución a la señal FA es independiente de la frecuencia

de modulación. Mientras que para una muestra térmicamente gruesa la FTE está dada

por,

𝐼

√

( ) (25)

con .

/ .

/ y .

/, √

.

La ecuación 25 describe correctamente a la expresión 23, para valores de frecuencia de

modulación superiores a diez veces la frecuencia de corte ( ) del material

investigado.

De manera general la señal FA para una muestra en la configuración de transmisión de

calor está dado por tres diferentes mecanismos térmicos, la termodifusión, el

termoelástico y la termoexpansión. El modelo que describe este último se presenta a

continuación.

1.9 Modelo de la expansión térmica para la configuración de transmisión de

calor

El principal mecanismo que propicia la señal FA en una CFC es la difusión térmica, que

previamente ha sido descrita por RG. En una CFA, sin embargo, la FTE junto a la DT son los

mecanismos más influyentes en la generación de la señal en el rango de frecuencia de

modulación superior a la frecuencia de corte de un material [28]. Adicional a estos, la

expansión térmica (ET) es un fenómeno que siempre está presente en un cuerpo al ser

sometido a un calentamiento y depende de su temperatura media. La ET ha sido

considerada por McDonald y Wetsel [43], en esta se produce una expansión volumétrica

(figura 7a) de la muestra producto de efectos termomecánicos que generan un

desplazamiento de la superficie ( ), como se muestra en la figura (7b). La expansión y

relajación de la muestra debida a un calentamiento periódico producirá variaciones del

volumen del gas al interior de la celda, contribuyendo así con la señal FA.

21

Figura 7. Vista de la sección transversal de la celda FA cilíndrica, mostrando el desplazamiento de superficie debida a la ET

Para el análisis de la ET se supone un almacenamiento de calor en el cuerpo, lo que

conduce a un aumento del volumen. Se puede esperar entonces que la presión en la

cámara FA se deba a dos componentes que son dependientes; La primera debida a la

temperatura en la superficie de la muestra, (ecuación 15) y la segunda debida a la

temperatura promedio de la muestra ⟨ ( )⟩, en la cual la expansión longitudinal

produce un y por tanto un incremento en la presión de la cámara FA. Para determinar

⟨ ( )⟩ se ha propuesto que la variación de presión total en la cámara del gas está dada

por,

( ) (26)

con

⟨ ( )⟩ (27)

donde es la variación de presión debida a la ET de la muestra. Es importante notar que

al usar la temperatura promedio de la muestra, la ec. (27) puede ser usada tanto en la

configuración frontal como en transmisión de calor. Así, resolviendo el conjunto de

ecuaciones resultantes acorde al modelo de RG se puede encontrar ( ), que al

evaluarla en , se obtiene ( ), consecuentemente se determina y el promedio de

( ), como ⟨ ( )⟩ al integrar sobre la extensión de la muestra. De esta manera se

obtiene la variación de presión [29] como,

𝐼

( 𝜎

)* + (28)

con . ( )

( ) / .

/ ,

0.( )

( ) / .

/ .

/1 .

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) / ,

22

4

5

En particular, si la superficie de la muestra es pintada de negro de tal forma que se

garantice la absorción de la luz en la superficie, se puede considerar una muestra

ópticamente opaca con . Aplicando esta condición en 28 se obtiene,

𝐼

( ) (29)

En la ecuación 29 no hay una dependencia de 𝜎 , por lo tanto el régimen térmicamente

fino y grueso están descritos en todo el rango de frecuencias por , asi,

𝐼

( ) (30)

Acorde a los diferentes mecanismos que contribuyen en la señal fotoacústica en cada

régimen térmico. Se puede escribir de forma ideal para una muestra ópticamente opaca

que la señal fotoacústica total está dada por la suma de la componente de DT, FTE y ET

[44], esto es,

(31)

(32)

En general los tres mecanismos que contribuyen en la generación de la señal FA deberían

ser considerados para establecer un análisis más preciso de la información entregada por

la muestra, lo cual implica un modelo extenso para el análisis de la información

experimental. De aquí que algunas contribuciones pueden ser despreciadas en cada

régimen de respuesta térmica acorde a su orden de magnitud y método experimental. La

principal contribución en la señal FA es la DT, siendo la más estudiada de las tres. En el

caso de la FTE, siempre que se cumplan las condiciones de modelamiento mencionadas

anteriormente en la sección 1.8, esta debe ser considerada, llegando a ser predominante a

altas frecuencias de modulación [45]. El mecanismo de ET en comparación con la DT y la

FTE es despreciable en todo el rango de frecuencias (Se demuestra en la sección 3.3). De

aquí las ecuaciones 31 y 32 pueden ser reescritas como:

(33)

(34)

23

1.10 La técnica del alambre Caliente

La técnica del alambre caliente (TAC) es parte de un grupo de métodos que emplean un

flujo transitorio de calor para determinar la de una sustancia. Estos métodos se basan

en la transferencia de calor por conducción y han sido ampliamente estudiados en

materiales de diferente fase como líquidos, polvos y metales. En estos el calor es

suministrado por una fuente controlada hacia el material estudiado. La medición del

cambio de temperatura provocado por la disipación del calor a través del material permite

determinar las propiedades de transporte térmico del mismo [46]. Específicamente la

técnica del alambre caliente consiste en un contenedor cilíndrico en el que se encuentra la

sustancia a investigar y sobre la cual hay inmerso un alambre conductor eléctrico de

propiedades conocidas (figura 8). Sobre este se hace pasar corriente eléctrica constante

produciendo un calentamiento por efecto Joule. El calor se disipa hacia la muestra

mediante conducción. Esta cinética de variación permite determinar la conductividad

térmica de la sustancia al analizar la temperatura del alambre (sensor y fuente de calor)

en función del tiempo [47].

Figura 8. Vista de la sección transversal de contenedor cilíndrico.

1.11 Modelo para determinar la conductividad térmica

La teoría que describe la transferencia de calor que toma lugar en la TAC considera una

fuente lineal de calor infinitamente larga y delgada, con una distribución de temperatura

uniforme que transfiere calor por conducción a un medio homogéneo e infinito. Partiendo

de la ecuación de difusión para el caso unidimensional (7) y reexpresándola en

coordenadas cilíndricas para la coordenada radial , se tiene

.

/

(35)

24

En la cual es la temperatura de la sustancia en un tiempo , es la

temperatura inicial de la sustancia y de la fuente de calor, y es la variación de

temperatura de la sustancia al ser sometida a calentamiento. Las condiciones de frontera

consideradas, serán

2 .

/3

(36)

* ( )+ (37)

La solución a la ecuación 35 sujeta a las condiciones de frontera 36 y 37 es bien conocida.

Para tiempos de medida suficientemente grandes, tal que , donde es el

radio del alambre, y despreciando las pérdidas de calor por convección y radiación, la

variación de temperatura en función del tiempo está dada por

( )

0 .

/ 1 (38)

Aquí es la constante de Euler. El alambre puede actuar como sensor de

temperatura si se mide su resistencia eléctrica, según la ecuación 39.

( ) ( ) (39)

En la cual es el coeficiente de temperatura de la resistencia eléctrica y es la

resistencia inicial del alambre conductor. Si a través del alambre circula una corriente

eléctrica invariable en el tiempo, 𝐼, se produce un calentamiento del mismo y por ende

variaciones de resistencia, que por ley de Ohm producirá variaciones de voltaje en el

tiempo, este último dado por

( ) ( )𝐼 ( ( ))𝐼 𝐼 ( ) (40)

donde 𝐼. Ahora sustituyendo la ecuación 38 en 40, se tiene

( ) ( ) 𝐼

0 .

/ 1 (41)

donde 𝐼 ⁄ , con como la longitud del alambre conductor. De 41 se logra ver que

la pendiente de la región lineal de la curva ( ) contra ( ), es

25

(42)

De 42 es posible calcular la del material si se obtienen las variaciones de voltaje en

función del logaritmo natural del tiempo en cualquier posición radial fija [46].

26

2. CONDUCTIVIDAD TÉRMICA DE SUSTANCIAS HETEROGÉNEAS

En este capítulo se presenta un método para la obtención de la de sustancias

heterogéneas a través de la TAC. Se describe detalladamente el sistema de medición y se

muestran los resultados obtenidos para un sistema de muestras de dos capas no miscibles

y nanofluidos.

2.1 Sistema de dos capas

Estableciendo un análisis más detallado de la ecuación 42, esta puede ser rescrita como

(43)

donde es la resistividad térmica del alambre, y son el área de la sección

transversal del alambre y la muestra, respectivamente. es la resistencia térmica de la

muestra (figura 9a).

Figura 9. Resistencia térmica y eléctrica en una configuración a) simple y b) de dos capas

Es importante resaltar que en la ecuación 43 el único parámetro que cambia su valor

durante una medición es la resistencia térmica del fluido que rodea el alambre. En este

trabajo las mediciones han sido realizadas para un conjunto de muestras no miscibles

representadas por la figura 9b, a las cuales se les asocia una resistencia térmica y por ende

eléctrica, dependiente del tipo de muestra en cada capa. De esta forma la variación de

voltaje de la ecuación 41 estará dada por la suma de las caídas de tensión en cada

resistencia, así

(44)

Lo mismo ocurre con las pendientes resultantes de y contra ( ), esto es

27

(45)

Dado que las pendientes de cada capa están directamente relacionadas con la resistencia

térmica de la sustancia, entonces a partir de la ecuación 45 la resistencia térmica total del

compuesto multicapa se puede expresar como,

(46)

De 46, la resistencia térmica total se compone de la suma individual de las resistencias

térmicas de cada capa, esto es un arreglo serie. Teniendo en cuenta el área de la sección

transversal de la muestra, la ecuación 46 se puede reescribir como una conductividad

térmica efectiva ( ) en función de las conductividades térmicas de cada capa, así,

( ) (47)

donde es la fracción de volumen de la muestra 1, es decir, la relación del

volumen que ocupa la muestra 1 respecto del volumen total (hasta cubrir el alambre al

interior del contenedor). De esta manera se ha demostrado que en sistemas de dos capas

la conductividad térmica efectiva obedece a una configuración serie (Ec. 47) y no en

paralelo (Ec. 48) como inicialmente se podría considerar acorde a la dirección radial del

flujo de calor proporcionado por el alambre de platino [48] (comparar figuras 2b y 9b).

( ) (48)

En este trabajo se hicieron mediciones usando liquido-líquido y liquido-aire en las capas 1

y 2, respectivamente. Se observó una buena aproximación entre los datos experimentales

y el modelo serie para , pero algunas desviaciones (figura 13) se observaron con el

incremento de . Estos fueron atribuidos al efecto de la existencia de una capa interfacial,

figura 10, que introduce una resistencia térmica dependiente de la fracción de volumen

.

28

Figura 10. Resistencia térmica de interface

El origen de la resistencia térmica interfacial puede deberse a la evaporación del líquido

para muestras liquido-Aire y a la interacción molecular entre las dos fases, como ocurre

por ejemplo entre las nanopartículas y un fluido base en los llamados nanofluidos.

Supongamos que una delgada capa interfacial de conductividad térmica y espesor

existe entre los líquidos 1 y 2, como se muestra en la figura 10. La resistencia eléctrica del

alambre estará compuesta ahora por el conjunto de tres resistencias en serie y

análogamente la resistencia térmica total tendrá el mismo efecto, esto es

(49)

Nótese que la resistencia térmica interfacial aparece con la variación de fracción de

volumen de las fases 1 y 2. Considerando que el espesor de la fase 1 es y la

2 es , donde y son tal que y , además que el

compuesto total de la muestra debe permanecer inalterado, i. e

, se obtiene que . Así, considerando que las tres

capas tienen la misma área transversal y usando la definición 4 en la ecuación 49, se

obtiene

( )

(50)

donde ( )

El término

es la fracción de volumen que ocupa la capa interfacial. Con el fin de

encontrar una función que describa su comportamiento en función de la fracción de

volumen , como ocurre con la capa1 y 2, se establecen las condiciones de frontera del

29

experimento, en la cual es igual cero cuando y , esto es, cuando el

contenedor este vacío y lleno (del líquido de la capa 1), respectivamente. Así,

considerando el comportamiento lineal entre los espesores del fluido constituyente de la

muestra, y , y la de la muestra 1, se asume también que puede existir una relación

lineal entre y , de la forma

(51)

Donde y son constantes. Integrando 51 usando como variable de integración, se

tiene

∫

∫ ( )

(52)

Resolviendo la integral definida,

(53)

Aplicando las condiciones de frontera en y , se obtuvo la ecuación 54,

en la cual ,

( ) (54)

Finalmente sustituyendo 54 en 50 y despejando , se tiene que

( ) ( ) (55)

En la cual . Sus unidades son [mK/W] y es el único parámetro de ajuste durante

el análisis de los datos. , y son parámetros conocidos.

2.2 Nanofluidos

Se propuso expandir el modelo propuesto en la ecuación 55 a los nanofluidos como se

muestra en la figura 11, intentando explicar el llamado “aumento anómalo” de la

conductividad térmica que ha sido insuficientemente descrito por las teorías de medio

efectivo. Para esto se considera que la debe ser obtenida teniendo en cuenta la

dependencia de la resistencia eléctrica del alambre en una combinación serie de

resistencias térmicas de las partículas y el fluido base. Esta resistencia es fuertemente

influenciada no solo por la resistencias kapitsa interfacial de la interface fluido-partícula

[49], sino también por el movimiento Browniano [50], agrupación [51], percolación y

30

agregación [52], entre otros. La idealización del nanofluido en el contenedor se presenta

en la figura 11b. Un sistema constituido por una capa de material de nano partículas (con

la concentración actual de nano partículas) y otra del fluido base, con una delgada capa

interfacial entre ellas.

Figura 11. Idealización de un nanofluido como un arreglo de resistencias térmicas en serie en la TAC

2.3 Sistema de alambre caliente

En una configuración experimental como se muestra en la figura 12, la fuente de

calentamiento es un alambre de platino de 76,2µm de diámetro (Alfa Aesar) y de longitud

L=0,085m. Este se monta sobre un soporte de teflón y todo el conjunto se introduce en un

contenedor de cobre de 15,5cm de longitud y 3,18cm de diámetro. El volumen requerido

para cubrir por completo el alambre de platino es de 80ml. La fuente de corriente

eléctrica constante es un Keithley 2400 y las variaciones de tensión son medidas por un

nano voltímetro Keithley 2181A. La comunicación de estos últimos con el computador se

hace mediante una interface GPIB (NI GPIB-USB-HS) usando un algoritmo desarrollado en

LabView®. Los valores de corriente eléctrica fueron variados de 60mA a 100mA. Las

mediciones han sido desempeñadas a una temperatura promedio de 22°C. La precisión

del sistema experimental fue demostrada en mediciones de k de agua, glicerina,

etilenglicol, metanol y aceite. La incertidumbre de las medidas es menor al 3% [53].

31

Figura 12. Esquema del sistema de medida por la TAC

2.4 Resultados de conductividad térmica de muestras binarias

Se han realizado mediciones de de muestras binarias no miscibles siguiendo la

configuración experimental mostrada en la figura 10. Las diferentes combinaciones de las

muestras en cada capa fueron: aire en la capa 2 y en la capa1 agua destilada, glicerina,

aceite de motor de auto, metanol y etilenglicol (las muestras son de J.T. Baker 99.9%). Los

valores de de cada liquido fueron previamente determinados. La del aire se pudo

determinar al mantener el contenedor totalmente vacío, su valor fue 0,027 W/mK.

Adicionalmente se midió el compuesto de agua-capa1 y aceite de motor-capa2 (SAE 50

Oil-QUAKER STATE). Cada medida fue desempeñada 5 veces para garantizar repetitividad.

En la figura 13 se muestran los resultados de como función de . La curvas de color

azul son el mejor ajuste por mínimos cuadrados de los datos experimentales a la ecuación

55 (En la gráfica se denota como modelo serie mejorado) usando como único parámetro

de ajuste a .

a) b)

32

Figura 13. Conductividad térmica efectiva como función de la fracción de volumen de a) agua destilada, b) glicerina, c) aceite de motor de auto, d) metanol, e) etilenglicol y f) agua

destilada-aceite de motor de auto.

En la figura 13 también se prueban las teorías de medio efectivo serie (Ec.47) y paralelo

(Ec.48), curva negra y roja respectivamente. Estas no representan de manera correcta los

datos experimentales de . El modelo paralelo representa en todos los casos una línea

recta por encima de los ajustes serie, serie mejorado y de los datos, siendo el menos

efectivo de los tres y el modelo serie ajusta en cada caso por debajo. El modelo serie

mejorado a diferencia de los demás logra representar de manera aproximada los datos.

Los valores obtenidos de se muestran en la tabla 1.

c) d)

e) f)

33

Tabla1. Valores obtenido del ajuste experimental

al modelo serie mejorado

Muestra k1(W/mK) P (mK/W)

Agua 0,57 20±2

Aceite de motor 0,158 29±2

Glicerina 0,28 36±2

Etilenglicol 0,227 36±2

Metanol 0,217 12±3

Agua/Aceite 0,57/0,158 2,7±0,3

Adicionalmente, aunque no se muestra en la figura 13, se demostró que los modelos

clásicos para mezclas tales como la formula empírica logarítmica [54] no reproducen los

resultados experimentales aquí obtenidos.

2.5 Resultados de conductividad térmica de nanofluidos

La relación de conductividad térmica como función de la concentración de

nanopartículas para diferentes nanofluidos han sido reportados por diferentes autores

[55,56,57,58,59,60]. En los cuales se ha usado la TAC como sistema de medición. Se han

usado esos resultados con el fin de probar el modelo serie mejorado enunciado en la

ecuación 55. En la figura 14, las líneas solidas de color negro son el mejor ajuste a esta

ecuación para un conjunto de nanofluidos con diferentes tamaños de partícula.

a) b)

34

Figura 14. Aumento de la conductividad térmica como función de la fracción de volumen de diferentes nanofluidos: a) Al2O3/Agua, b)TiO2/Agua, c)ZnO/Agua , d) Al2O3/Etilenglicol,

e)CuO/Etilenglicol y f)TiO2/etilenglicol. El tamaño de la partícula se muestra en los recuadros internos.

Los valores obtenidos de en los ajustes de la anterior figura se muestran en la tabla 2,

junto con los valores de conductividad térmica del fluido base ( ) y el material de la

nanopartícula ( ). Es de notar que el valor de cambia acorde al tamaño de partícula en

una forma que depende del sistema específico. Hay que resaltar que los modelos

existentes [49] sobre la influencia de la capa interfacial en la de nanofluidos no

consideran una dependencia del tamaño de la partícula del espesor de la interface. Esto

puede ser un punto de atención en trabajos futuros.

c) d)

e) f)

35

Tabla 2. Resultados de ajuste a las diferentes curvas de los nanofluidos

Nanofluido Tamaño de partícula (nm) k2 (W/mK) k1(W/mK) P (mK/W)

Al2O3/Agua 20 46 0,607 8,2±0,6

38 46 0,607 1,99±0,08

50 46 0,607 3,5±0,2

100 46 0,607 2,4±0,2

TiO2/Agua 10 8 0,607 4,25±0,09

34 8 0,607 3,1±0,1

70 8 0,607 1,84±0,03

Al2O3/Etilenglicol 15 46 0,253 7,66±0,08

26 46 0,253 8,2±0,1

38 46 0,253 8,4±0,2

60,4 46 0,253 14,7±0,2

302 46 0,253 12,2±0,1

CuO/Etilenglicol 23,6 20 0,253 13,7±0,3

29 20 0,253 11,9±0,5

35 20 0,253 14,3±0,6

ZnO/Agua 10 29 0,607 5,5±0,1

30 29 0,607 4,08±0,09

60 29 0,607 2,2±0,1

TiO2/Etilenglicol 10 8 0,253 14,3±0,2

34 8 0,253 10,9±0,1

70 8 0,253 5,64±0,09

Muchos trabajos han discutido el papel crucial de la resistencia térmica interfacial [61] y

de los procesos físicos que ocurren en la interface entre las partículas y el fluido que las

rodea [62], y otros han considerado la conducción serie y paralela entre nanoagrupaciones

y átomos de fluido [63] para la descripción del transporte de calor en los nanofluidos. En

muchos casos las teorías de medio efectivo (e.g El modelo de Maxwell) han sido usados

para calcular la conductividad térmica efectiva cuando los datos experimentales no están

disponibles [64,65]. El enfoque del modelo que se propone en este trabajo se centra en el

36

análisis de las posibles causas de las discrepancias entre los resultados de las teorías

mencionadas y los datos experimentales de conductividad térmica efectiva que

proporciona la técnica del alambre caliente debido a posibles malinterpretaciones de los

modelos asociados a la configuración experimental de esta técnica. De manera general se

observó una buena aproximación de los resultados experimentales y el modelo propuesto

como “Serie mejorado”, una nueva propuesta sencilla que permite dar un paso adelante

para seguir trabajando en esta dirección.

37

3. DIFUSIVIDAD TÉRMICA DE CUERPOS SOLIDOS

Se presenta una metodología para determinar la difusividad térmica de cuerpos solidos

por medio de la técnica fotoacústica considerando los mecanismos de difusión térmica,

flexión termoelástica y expansión térmica. También se muestra una descripción del

sistema de medición y los resultados obtenidos de difusividad térmica y el coeficiente de

expansión térmico lineal como una consecuencia de la metodología.

3.1 Método para la determinación de la difusividad térmica

En general el micrófono usado como detector de señal en la TFA no tiene una respuesta

plana o constante a lo largo del rango de frecuencia de las mediciones, especialmente a

bajas frecuencias. Diferentes autores que usan la técnica fotoacústica para la

caracterización térmica de materiales en distintas fases, no consideran la respuesta en

frecuencia del elemento detector como posible causante de imprecisiones en los valores

obtenidos de esos parámetros. Por lo tanto al hacer el análisis de la información para

determinar la difusividad térmica del solido bajo estudio, la función de transferencia del

detector debe ser considerada. Esta depende de la frecuencia tanto en amplitud como en

fase [66]. Considerando esta función de la forma 𝑌( ) ( ) e incluyéndola en las

ecuaciones que representan la señal FA, se tiene para el régimen térmicamente fino

(Ec.33) que la señal de voltaje del micrófono puede ser expresada como:

𝑌( ) ( )

𝑌( )

( ⁄ ( )) 𝑌( ) ( ( )) (56)

donde

( ) (57)

y

𝐼

(58)

De la misma forma para el régimen térmicamente grueso (Ec.34), la señal de voltaje del

micrófono puede ser expresada como:

𝑌( ) ( )

𝐺 ( )

√

( ⁄ √

( ))

𝐻 ( )

⁄ (

( )) (59)

donde

𝐺 ( )

(60)

38

y

𝐻

(61)

Del cálculo y trigonometría, dos señales representadas cada una en amplitud y fase como

las que se muestran a continuación,

(62)

(63)

pueden sumarse de tal forma que la magnitud de su suma obedezca a la siguiente regla:

(

( ))

(64)

Haciendo uso de 64, las magnitudes de las expresiones 56 y 59, pueden escribirse como

sigue,

| | 𝑌( )√(

)

( )

. ⁄ / (65)

| | 𝑌( )√(𝐺 √

)

.𝐻

/

𝐺𝐻

√

4 √

5 (66)

La metodología de análisis consiste primero en medir como función de la frecuencia

de modulación para una muestra térmicamente fina llamada Muestra de Referencia (una

lámina de aluminio de 12µm de espesor, con =/π 2= 206 kHz, =93x10-6 m2/s

[20]. Esta puede ser considerada como muy fina para valores de frecuencia de algunos

cientos de Hz). Luego es medida como función de . Esta será la señal de la

muestra a investigar. El rango de frecuencias de medida debe garantizar que se está en el

régimen térmicamente grueso. Al hacer un cociente entre la ecuación 66 y 65, la función

de trasferencia del micrófono es suprimida por completo. La expresión resultante definida

como D, será,

39

| |

| | √

√(

√ )

( )

√ ( √

)

4 √ √

(

⁄ )5

(67)

donde 𝐺 , ℎ 𝐻 y . Si se obtiene un gráfico experimental de contra

√ y se hace un ajuste a la ecuación 67, usando como parámetros de ajuste ℎ es

posible determinar la difusividad térmica de la muestra, a partir del valor de usando la

ecuación 20, si el espesor de la muestra es conocido. Nótese también que los

parámetros y involucran solo al material de referencia. 𝐻 y 𝐺 a la muestra

investigada. Complementando la ecuación 67, su fase está representada por la ecuación

68,

(68)

donde y son la fase de la señal de difusión térmica y flexión termoelástica,

respectivamente. El parámetro toma el nombre de fina y gruesa, según el régimen de

respuesta térmico. Nótese que la ecuación 67 involucra las fases de cada mecanismo

presente en señal FA, como una diferencia de estas. Varios autores usan generalmente la

magnitud de la señal fotoacústica para obtener un valor confiable de difusividad térmica.

Adicionalmente si se relacionan entre si los diferentes parámetros de ajuste, es posible, en

el caso ideal, eliminar las contribuciones de 𝐼 y e intentar obtener alguna otra

propiedad térmica de la muestra como su efusividad térmica y el coeficiente de expansión

térmica lineal. Este último del cociente entre ℎ y como sigue,

ℎ

(69)

El valor de en la ecuación 69 será el calculado con la ecuación 20 y los valores de los

demás parámetros involucrados son bien conocidos. Aquí se debe resaltar que el valor de

debe ser calculado como un radio efectivo ( ) usando el volumen total inicial ( )

de aire en la cámara de la celda FA, como se muestra en la figura 15.

40

Figura 15. Vista expandida de la cámara de aire FA

La cámara de aire FA total de la celda está compuesta por tres cavidades cilíndricas de

longitudes y y radios y , respectivamente. Nótese que para la CFA descrita

en la referencia [28] la muestra está colocada directamente sobre el micrófono de

electreto, por tanto, Rc estaría dada por Re, pero este no es el caso.

3.2 Sistema de fotoacústica en configuración de transmisión de calor

Como principal fuente de excitación de este sistema se usó un haz de luz modulado en

intensidad (TTL, ciclo de trabajo 50%) proveniente de un láser de estado sólido (LSR405NL

Lasever Inc.). Este haz de luz monocromática (405nm) incide directamente sobre la

muestra colocada en una CFA. La luz modulada es absorbida por la superficie de la

muestra; esta se calienta periódicamente y el calor se transporta a través de ella mediante

el fenómeno de conducción, generando el efecto fotoacústico que es captado por un

micrófono de electreto. La señal del micrófono es leída por un amplificador Lock-in SR830

(Standford Research Systems) que se encuentra sincronizado con la frecuencia de

modulación del haz, posteriormente es almacenada en computador haciendo uso de una

herramienta virtual implementada en LabView®. El protocolo de comunicación usado fue

GPIB (NI GPIB-USB-HS). Un esquema del sistema de medición utilizado se observa en la

figura 16.

41

Figura 16. Esquema del sistema de FA en configuración de transmisión de calor

3.3 Resultados de simulación de la señal fotoacústica

Partiendo de las Ecs. 31 y 32, se sabe que la señal FA en una CFA está compuesta por la

suma fasorial de las contribuciones de DT, FTE y ET. Siendo las dos primeras las más

influyentes en la generación de la señal. La última puede ser despreciada ya que no hace

un aporte significativo al efecto fotoacústico. Esto fue comprobado mediante una

simulación de las Ecs. 32 y 33 para el régimen térmicamente fino (figura 17) y las Ecs. 31 y

34 (figura 18) para el régimen térmicamente grueso.

42

Figura 17. Simulación de en función del cociente en un gráfico

semilogarítmico para una muestra de aluminio de 12µm de espesor.

En la figura 17 la curva azul representa la difusión térmica, como único mecanismo

propiciador de la señal. La curva conformada por círculos es la señal FA considerando los

tres mecanismos como posibles generadores de la misma y en la curva roja solo se

consideran la DT y la FTE, despreciando la ET. Estas curvas son simulaciones para una

muestra de aluminio de 12µm de espesor (Usada en el experimento como material de

referencia). La discrepancia entre la curva azul y las demás se debe principalmente a la

inclusión del termoelástico. La superposición de la curva roja y la de círculos dejaron en

claro que la expansión térmica no influye en la generación de señal FA en este régimen de

respuesta térmica. La DT y FTE son siempre predominantes. El mismo comportamiento se

obtuvo para una muestra de plata de 25µm de espesor que fue usada para comparar los

resultados experimentales, aquí no se muestra.

Figura 18. Simulación de en función del cociente en un gráfico

semilogarítmico para una muestra de acero inoxidable de 255µm de espesor.

En el régimen térmicamente grueso similarmente al térmicamente fino, la expansión

térmica no contribuyo de forma relevante en la generación de la señal FA. De nuevo la FTE

y la DT son los mecanismos dominantes. Este hecho ya había sido mencionado por

Rousset [45]. Para valores de frecuencia muy superiores a la , la FTE predominara sobre

la DT. Los resultados de simulación mostrados en la figura 18 fueron similares para

diferentes materiales como aluminio, cobre, plata y vidrio. Por lo tanto la ET puede ser

despreciada en ambos régimen de respuesta térmica.

43

3.4 Resultados de difusividad térmica

Las mediciones han sido desempeñadas sobre un conjunto de muestras de prueba de

acero inoxidable (AISI 302 - Precision Brand), plata pura (99,99%), aluminio puro (99,99%),

cobre puro (99,99%) y vidrio (cuarzo). Las muestras han sido pintadas de negro para

garantizar la condición de opacidad y una corta longitud de absorción óptica, condición

implícita en la teoría señalada anteriormente. Las características de la muestra están

dadas por la tabla 3. La temperatura promedio de la cámara fotoacústica fue de 300K. La

figura 19 muestra el resultado típico de √ como función de √ para todas las

muestras. La curva azul es el mejor ajuste a la ecuación general 67, donde la componente

termoelástica en el régimen térmicamente grueso y fino fue considerada. Los valores de

los parámetros ajustados se muestran en la tabla 3. Las curvas verdes son el mejor ajuste

a la ecuación 67 suprimiendo de ella el efecto termoelástico (H=M=0), solo se observa la

difusión térmica. Los valores obtenidos se reflejan en la tabla 4.

Tabla 3. Espesores de las muestras y valores de los parámetros de ajuste obtenidos del

mejor ajuste con mínimos cuadrados de los datos experimentales a la Ec. (67)

Muestra Espesor

(µm)

(±1µm)

Parámetros de ajuste

fc (Hz) g (s1/2

) h (s1/2

) m (s3/2

)

Acero Inoxidable 387 8,7±0,1 (5,82±0,09)x10-2

(4,99±0,09)x10-3

(2,18±0,09)x10-4

Acero Inoxidable 341 11,2±0,3 (3,5±0,1)x10-2

(3,5±0,08)x10-3

(1,84±0,09)x10-4

Acero Inoxidable 301 14,2±0,7 (3,24±0,08)x10-2

(3,2±0,2)x10-3

(1,3±0,2)x10-4

Acero Inoxidable 255 19,5±0,4 (4,88±0,08)x10-2

(5,3±0,1)x10-3

(1,0±0,3)x10-4

Acero Inoxidable 200 34,0±0,3 (3,2±0,2)x10-2

(5±0,4)x10-3

(3,4±0,07)x10-5

Cobre 1001 36,9±0,5 (3,64±0,07)x10-3

(3,60±0,05)x10-4

(2,75±0,09)x10-5

Plata 1001 56±2 (3,5±0,1)x10-3

(4,5±0,2)x10-4

(2,2±0,2)x10-5

Aluminio 1002 29,5±0,2 (7,26±0,06)x10-3

(7,31±0,05)x10-4

(4,51±0,06)x10-5

Vidrio 190 4,62±0,04 (2,65±0,04)x10-1

(1,47±0,02)x10-2

(6,8±0,2)x10-4

44

Tabla 4. Valores de los parámetros obtenidos por el ajuste experimental de los datos

despreciando la componente termoelástica en Ec. (67)

Muestra Espesor

(µm)

(±1µm)

Parámetros de ajuste

fc (Hz) g(s1/2

)

Acero Inoxidable 387 62±3 (161±7)x10-4

Acero Inoxidable 341 85±3 (101±3)x10-4

Acero Inoxidable 301 79±3 (119±3)x10-4

Acero Inoxidable 255 130±4 (153±4)x10-4

Acero Inoxidable 200 312±5 (121±2)x10-4

Cobre 1001 311±8 (98±2)x10-5

Plata 1001 362±5 (127±2)x10-5

Aluminio 1002 212±6 (219±5)x10-5

Vidrio 190 28±1 (54±2)x10-3

En la tabla 3 los resultados obtenidos para cinco muestras de acero inoxidable de

diferentes espesores muestran que la frecuencia de corte disminuye con el espesor, como

se esperaba. La figura 19 muestra el comportamiento de como función de para este

material.

Figura 19. en función de

de una muestra de acero inoxidable

La difusividad térmica puede ser obtenida de la pendiente de esta curva siguiendo la

Ec.20. El valor de (4,29±0,03)×10-6 m2s-1 ha sido obtenido en buena aproximación con el

valor reportado [67].

45

a) Acero Inoxidable - 200µm b) Acero Inoxidable - 255µm

e) Acero Inoxidable - 387µm f) Cobre - 1001µm

c) Acero Inoxidable - 301µm d) Acero Inoxidable - 341µm

46

Figura 20. Resultados típicos para √ como función de la raíz cuadrada de la frecuencia

de modulación en un gráfico semilogarítmico para acero inoxidable de a) 200 µm, b) 255µm, c) 301µm, d) 341µm, e) 387µm, f) Cobre, g) Plata, h) Aluminio y i) Vidrio

Los valores de difusividad térmica de las muestras fueron obtenidos de las frecuencias de

corte mostradas en la tabla 3 usando la Ec. 20. Los resultados son mostrados en la tabla 5.

Las frecuencias de corte presentadas en la tabla 4, no corresponden con las obtenidas en

la tabla 3. Demostrando que no solo la difusión térmica debe ser considerada en al utilizar

una CFA. Además gráficamente se logró observar que la curva verde no representa de

forma correcta los datos experimentales, hay una gran discrepancia entre estas.

g) Plata - 1001µm g) Aluminio - 1002µm

i) Vidrio - 190µm

47

Tabla 5. Resultados de difusividad térmica usando CFA

Muestra Espesor (µm)

(±1µm) (m

2s

-1) x 10

-6 (m

2s

-1) x 10

-6 (Reportado)

Acero Inoxidable 387 4,11±0,07 4,02 [67]

Acero Inoxidable 341 4,1±0,1 4,02 [67]

Acero Inoxidable 301 4,1±0,2 4,02 [67]

Acero Inoxidable 255 4,0±0,1 4,02 [67]

Acero Inoxidable 200 4,2±0,1 4,02 [67]

Cobre 1001 116±2 116,60 [20]

Plata 1001 174±6 173,86 [20]

Aluminio 1002 93,7±0,8 93,28 [20]

Vidrio 190 0,53±0,01 0,87 [20]

Los valores de difusividad térmica presentados en la anterior tabla representan una buena

aproximación de los reportados en la literatura para estos materiales.

Por otro lado, nótese que el parámetro depende solo de las propiedades de la muestra

de referencia y toma un valor teórico de =5,44x10-6 s3/2 para una muestra de aluminio

de 12µm de espesor, aquí usada. Sin embargo, los resultados presentados en la tabla 3

para este parámetro muestran que no es el mismo para diferentes ajustes y que este

depende de la frecuencia de corte obtenida para el ajuste correspondiente, como se

muestra en la figura 21.

Figura 21. m en función de la frecuencia de corte en a) un plano logarítmico y b) en un

plano lineal

48

La curva azul en la figura 21a es el mejor ajuste de los datos experimentales a una línea

recta, mostrando que la dependencia funcional entre y es un monomio con un

exponente cerrado a -1,5. Por lo tanto, la siguiente ecuación es propuesta para evaluar el

comportamiento de .

(70)

donde =-1,5 y es un parámetro de ajuste para el cual el valor obtenido fue de

0,0065±0,0002. De la ecuación 70 si , . Para tal caso límite, la muestra es

siempre térmicamente fina. Este resultado indica que solo el valor teórico de puede ser

obtenido en el caso ideal donde ambas muestras, la referencia y la investigada, son

térmicamente finas. El comportamiento de también influencia el valor de y ℎ

obtenidos del ajuste multiparametrico, limitando la precisión en el cálculo del coeficiente

de expansión térmica lineal. Como ya se había mencionado es posible obtener este

coeficiente usando la ecuación 69, reemplazando en ella los valores calculados de

difusividad térmica y los radios R = (2,81±0,02) mm y Rc = (2,07±0,01) mm, obtenidos de la

geometría de la celda. Los resultados se muestran la tabla 6.

Tabla 6. Resultados de coeficiente de expansión térmica lineal usando CFA

Muestra Espesor (µm)

(±1µm) (°K

-1) x 10

-5 (°K

-1) x 10

-5 (Reportado)

Acero Inoxidable 387 0,88±0,02 1,72 [67]

Acero Inoxidable 341 0,82±0,03 1,72 [67]

Acero Inoxidable 301 0,64±0,04 1,72 [67]

Acero Inoxidable 255 0,5±0,02 1,72 [67]

Acero Inoxidable 200 0,43±0,01 1,72 [67]

Cobre 1001 1,3±0,03 1,66 [68]

Plata 1001 1,4±0,04 1,87 [68]

Aluminio 1002 1,5±0,02 2,31 [69]

Vidrio 190 0,39±0,02 0,65 [70]

De la anterior tabla se observa que los valores de no correspondieron con los

reportados. Para la muestra de acero inoxidable los valores de varían respecto a la

correspondiente frecuencia de corte como se muestra en la figura 21.

49

Figura 22. en función de de una muestra de acero inoxidable

Para evaluar este comportamiento se propuso una ecuación exponencial decreciente

como,

(71)

Donde , y son parámetros de ajuste. Los valores obtenidos para cada uno del

mejor ajuste por mínimos cuadrados fue (1,5±0,5)×10-5 °K-1, (0,39±0,06)×10-5 °K-1 y

(8±2)Hz, respectivamente. Note que para valores muy pequeños de el primer término

de la Ecuación 22 es reducido a . En este caso limite, la muestra es siempre

térmicamente muy gruesa. Por lo tanto, la flexión termoelástica es el mecanismo

dominante. Para fc0, tomando un valor de (1,9±0,6)×10-5 °K-1, el cual está

en el rango de valor reportado para el coeficiente de expansión térmica lineal del acero

inoxidable. Para la medición de este parámetro con mayor exactitud un método adecuado

podría ser llevar a cabo una mayor cantidad de mediciones con diferente espesor del

material y seguir la metodología anterior.

Antes de concluir es necesario comentar que aparentemente los valores de efusividad

térmica e=k/α1/2 y capacidad calorífica C=k/α, podrían ser obtenidos de g y del cociente

m/h, respectivamente. Pero esto solo ocurrirá en el caso de que la absorción óptica sea

idéntica durante las mediciones de la muestra y la referencia (implica valores iguales de

η), una tarea complicada ya que ambas muestras son pintadas de negro. La medición

exacta de es complicada de realizar. Esto adicionalmente al comportamiento de m.

Afortunadamente, existen otras metodologías y configuración de muestras con la técnica

FA que permiten calcular e [3] y C [71,4].

50

4. CONCLUSIONES

La conductividad térmica de compuestos medidos con la técnica del alambre caliente no

puede ser modelada usando solo la dependencia de las conductividades térmicas de sus

componentes, como se da en el caso de las teorías de medio efectivo. Para una

interpretación correcta, la relación entre la resistencia eléctrica del alambre y las

resistencias térmicas de los fluidos constituyentes deben ser tomadas en cuenta. Para una

configuración de muestras heterogéneas o no miscibles de dos capas, los resultados

deben ser interpretados por un arreglo serie de resistencias térmicas y no en paralelo

como predice la dirección del flujo de calor. Se presentó una mejora del modelo serie

común considerando una resistencia térmica de interface. Los resultados presentados son

un esfuerzo para tratar de explicar el reportado aumento de conductividad térmica de los

nanofluidos al usar la técnica del alambre caliente. La interpretación precisa de los

resultados experimentales debe considerar al nanofluido como una muestra de tres capas,

(nanopartículas, fluido base e una interface entre ellos) así mismo el alambre compuesto

por tres elementos sensitivos conectados en serie, cuyas resistencias eléctricas son

proporcionales a las resistencias térmicas de la muestra que los rodea. Esta hipótesis fue

apoyada al demostrar que el modelo serie mejorado reproduce los datos experimentales

sobre el aumento de la conductividad térmica en nanofluidos con una concentración de

nanopartículas conocida.

El mecanismo de flexión termoelástica debe ser considerado en la generación de la señal

fotoacústica para precisar los valores de difusividad térmica obtenidos mediante una celda

en configuración de transmisión de calor. La expansión térmica en todo el rango de

frecuencias pudo ser despreciada debido a la alta dependencia de la señal fotoacústica de

la termoelasticidad como predice la teoría. Se ha propuesto una metodología para el

análisis de la información que incorpora la difusión de calor y la flexión termoelástica para

la determinación de la difusividad térmica de un sólido; que además utiliza un

procedimiento de normalización que elimina la respuesta en frecuencia del micrófono

usado como detector de la señal. La utilidad de la metodología propuesta se ha

demostrado con las mediciones de varias muestras de prueba de diferentes tipos y

espesores. Los valores de difusividad térmica obtenidos coincidieron con los reportados

en la literatura. Se propuso una ecuación que permitiría, en un caso ideal, encontrar el

coeficiente de expansión térmica lineal de la muestra a partir de los parámetros de ajuste.

Así mismo la metodología propuesta permitió encontrar una dependencia de la frecuencia

de corte del parámetro de ajuste que relaciona las amplitudes en el régimen

térmicamente delgado. Además considerado esa dependencia de la frecuencia de corte de

los parámetros, se estableció un método con el cual fue posible encontrar un valor

51

cercano al reportado del coeficiente de expansión térmica de lineal para una muestra de

acero inoxidable. Este resultado es un camino para seguir trabajando y tratar de encontrar

las dependencias de cada parámetro de ajuste respecto de la frecuencia de corte y así

lograr obtener un valor confiable de esta propiedad termofísica de la muestra.

52

5. PROYECCIONES

Sobre la técnica del alambre caliente es importante enfatizar en la capa interfacial y su

aparición en las muestras binarias, midiendo diferentes configuraciones líquido-líquido

(no miscibles) y líquido(volátiles)-aire. Las ultimas con el fin de establecer una relación del

parámetro con la presión de vapor provocada por el líquido.

Utilizar la técnica de alambre caliente no solo como una técnica de caracterización térmica

de sustancias, sino también como un método que permita discriminarlas al considerar

alguna variable física que las relacione.

Sobre la técnica fotoacústica, se podría evaluar la influencia de la flexión termoelástica en

la señal obtenida por detección frontal en una celda fotoacústica cerrada. Esta

configuración permite obtener el parámetro de efusividad térmica de la muestra.

Precisar el método propuesto para la determinación del coeficiente de expansión térmica

lineal a través de un conjunto variado de muestras de diferente material.

53

6. PRODUCTOS DE LA TESIS

ARTÍCULOS

An explanation for anomalous thermal conductivity behavior in nanofluids as

measured using the hot-wire technique.

E. Marín, A. Bedoya, S. Alvarado, A. Calderón, R. Ivanov y F. Gordillo-Delgado. J.

Phys. D: Appl. Phys. 47, 085501 (2014), doi:10.1088/0022-3727/47/8/085501.

Photoacoustic calorimetry: a methodology for thermal diffusivity measurement

in solids revisited.

A. Bedoya, E. Marín, A. M. Mansanares, M. A. Zambrano-Arjona, I. Riech, Enviado

para publicación.

PRESENTACIONES EN CONGRESOS

VI International Conference on Surfaces, Materials and Vacuum

Sociedad Mexicana de Ciencia y Tecnología de superficies y Materiales, Septiembre 23-27

de 2013, Merida, Yucatan.

Measurements of purity of coffee by hot wire method.

Fernando Gordillo-Delgado, Adrian Felipe Bedoya-Pérez, Ernesto Marín-Moares.

An Experiment to determine the thermal conductivity of low volume of liquid

samples using the hot wire technique.

Adrian Felipe Bedoya Perez

ESTANCIAS DE INVESTIGACIÓN

Instituto Interdisciplinario de las Ciencias - Laboratorio de Fotoacústica,

Universidad del Quindío, Armenia, Colombia, Diciembre 4 de 2013 a Enero 20 de

2014.

Instituto de Física Gleb Wataghin, Universidade Estadual de Campinas, Campinas,

Brasil, Junio 6 a Julio 2 de 2014.

54

7. BIBLIOGRAFÍA

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