VOLÚMENES CAPAS

7/26/2019 VOLMENES CAPAS

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CLCULO II

INTEGRAL DEFINIDA:

CLCULO DE VOLMENES : CAPAS CILNDRICAS


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Qu necesitamos recordar?

Grfica de Funciones.

Tcnicas de integracin

Integral definida


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Logros de la sesin:

Al finalizar la sesin el estudiante resuelve problemas vinculados a

ingeniera sobre el clculo de volmenes de slidos de revolucin

utilizando el mtodo de de las capas cilndricas.


4/13

!. "todo de los #as$uetes #ilndricos %una curva&

!.! definicin

!.' e(emplos

'. "todo de los #as$uetes #ilndricos %dos curvas&

'.! definicin

'.' e(emplos

Temario


5/13

)allar el volumen del slido de revolucin $ue se genera al *acer girar

alrededor del e(e yla regin $ue est comprendida entre la curva y= f(x),con f(x) > 0 el e(ex+ las rectas verticalesx = a+ x= b,donde 0 < a< b.

Mtodo de las caas cil!ndricas ara una cur"a

X

Y

f

a b

,adio

ix'

&% ixf&%' iii xfxA =

ix=-spesor

iiiiii xxfxxAV == &%'ix

&% ixf

=

=

=

n

i

iiin

n

i

in

xxfxV!!

&%'limlim

= b

a dxxxfV &%'


6/13

)allar el volumen del slido de revolucin $ue se genera al *acer girar

sobre el e(eyla regin comprendida en el primer cuadrante la curva

y /x01 2x'/ 0x1 ! 3x 45306.

#$emlo

%olucin

0

!02

'0

++= xxxy

X

Y

5

= b

adxxxfV &%' ++=

0

5

'0&!02%' dxxxxx

y

x

++= 0

5

'02 &02%' dxxxxx

0

5

'02

7

'7

'

++=x

xxx

0u

7

88=


7/13

-l volumen del slido de revolucin $ue se genera al *acer girar alrededor

del e(eyla regin $ue est comprendida entre la curva y=f(x), y=g(x)con f(x) > g(x) el e(ex+ las rectas verticales x = a+x= b,donde 0 < a< b esta dado por9

Mtodo de las caas cil!ndricas ara dos cur"as

X

Y

a b5 x

&%&% xgxf

f

g

= b

adxxgxfxV &6%&%4'


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)allar el volumen del slido de revolucin $ue se genera al *acer

girar alrededor del e(ey,la regin $ue est delimitada por la parbolay /x' 1 2x / 0 por la cbica y x0 / :x' 1 !'x /7 + por las

verticalesx ! +x 0.

#$emlo

%olucin

7!''

:0

&% += xxxxf

! 05

02'

&% += xxxg

Y

X


9/13

7!''

:0

&% += xxxxf

! 05

02'

&% += xxxg

Y

X

++= b

adxxxxxxxV &602%7!':4' ''0

+= b

a dxxxxxV 6';74' '02

0

!

'027

0

;

2

7

7'

+= x

xxxV

0u!7

'8'=


10/13

M&T'' # L'% *%Q+#T#% L-./'% ( ## # 1/'2=3)

-l volumen del slido de revolucin $ue se genera al *acer girar alrededordel e(ex = kla regin $ue est comprendida entre las curvas y=f(x),y=g(x) con f(x)> g(x) el e(ex+ las rectas verticales x = a+x= b,donde a< b est dado por9

/adio

f

! 05

g

Y

X

kx =

k x

= b

a

dxxgxfkxV &6%&%&4%'


11/13

)allar el volumen del slido de revolucin $ue se produce al *acer girar

alrededor de la recta verticalx ! la regin $ue est comprendida entre

el e(e x la curva yf %x& + las rectas verticalesx ' x 0 donde

%olucin

#$emlo

'% & ' ' .f x x x=


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-l radio de un cas$uete cilndrico cual$uiera $ue tiene como altura

f %x& esx/ ! + noxcomo en los casos anteriores por$ue el slido

tiene como e(e de rotacin la rectax !.

= 0

'

' 6''&4!%' dxxxxV

= 0

'

' 6!&!%'&4!%' dxxxV

dxduxu == !

= duuuI 6!'4 '

= duuuuI 6!'4 '

0''&!%

0

! = uuI

0

'

0'

'

0

&'%&!%'

= xx

xV 0u&00%' =


13/13

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