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INSTITUCIÓN EDUCATIVA SANTA TERESA DE JESÚS IBAGUÉ - TOLIMA GUIA DE CALCULO GRADO: UNDECIMO TEMA: INECUACIONES RACIONALES DOCENTE: ALEXANDER LEYTON EJERCICIOS PARA ESTUDIAR PARA LA EVALUACION 1. x 2 + x – 2 > 0 2. x 2 + x < 0 3. x 2 - 7x + 12 > 0 4. 16 x 2 ≥ 9x 5. x 2 ≤ 16 6. x(x – 2) > 3 7. x 2 > - 2x 8. 4 - x 2 ≥ 0 9. (3 – 5x)(1- 2x ) ≤ 0 10. 2 x 2 + x – 2 > x 2 + 2x 11. 2 x 2 +2x – (x 2 +x + 6 ) > 0 12. x 2 + x – 2(x 2 + 3x ) >0 13. 16 – 15x ≤ x 2 14. 2 x 2 + 3x – 5 ≤ 0 15. (3x – 2)(3x +2) ≤ (3x + 2) 2 16. 3t + 3 ≤ 1 ( t + 1 ) 2 INECUACIONES RACIONALES Son aquellas que son equivalentes a una inecuación de la forma con P(X) y Q(X) polinomios algebraicos. Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero . Siempre hay que desigualar con cero la inecuación, para no eliminar términos Ejemplo: 1. a. Hallamos las raíces del numerador y del denominador, para las desigualdades los puntos críticos x − 2 = 0 x = 2 x − 4 = 0 x = 4 b. Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas. c. Tomamos un valor en cada intervalo y lo reemplazamos en la inecuación inicial para verificar si el intervalo en donde está el valor sirve como solución de la inecuación Al reemplazar con 0 queda -2/-4 = ½ = 0.5 0 cierto (intervalo de (-∞, 2 sirve en la solución) Con 3 Falso (intervalo de 2, 4 no sirve en la solución) Con 5 Cierto (El intervalo de 4, ∞) sirve en la solución Los puntos críticos Con 2 Cierto (El extremo 2 sirve en la solución por lo tanto el extremo 2 es cerrado) Con 4 La división por cero no está definida, el extremo 4 no sirve dentro de la solución por lo tanto el extremo 4 es abierto) Solución: S = (-∞ , 2] U (4,∞ ) (Gráfica anterior) Ejemplo 2. Es una inecuación racional, en donde primero hay que desigualar con cero Realizando la resta de fracciones: realizando las multiplicaciones (prop. Distributiva) y quitando los paréntesis Suma o resta de semejantes Se toma los valores que dan el numerador y el denominador para sacar los puntos críticos y graficarlos
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INSTITUCIÓN EDUCATIVA SANTA TERESA DE JESÚS IBAGUÉ - TOLIMA
GUIA DE CALCULO GRADO: UNDECIMO TEMA: INECUACIONES RACIONALES DOCENTE: ALEXANDER LEYTON
EJERCICIOS PARA ESTUDIAR PARA LA EVALUACION
1. x2 + x – 2 > 0 2. x
2 + x < 0
3. x2
- 7x + 12 > 0 4. 16 x2
≥ 9x 5. x
2 ≤ 16 6. x(x – 2) > 3
7. x2
> - 2x 8. 4 - x2
≥ 0 9. (3 – 5x)(1- 2x ) ≤ 0 10. 2 x
2 + x – 2 > x
2 + 2x
11. 2 x2
+2x – (x2
+x + 6 ) > 0 12. x
2 + x – 2(x
2 + 3x ) >0 13. 16 – 15x ≤ x
2
14. 2 x2
+ 3x – 5 ≤ 0 15. (3x – 2)(3x +2) ≤ (3x + 2)2
16. 3t + 3 ≤ 1 ( t + 1 )
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INECUACIONES RACIONALES
Son aquellas que son equivalentes a una inecuación de la forma
con P(X) y Q(X) polinomios algebraicos.
Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero . Siempre hay que desigualar con cero la inecuación, para no eliminar términos Ejemplo:
1.
a. Hallamos las raíces del numerador y del denominador, para las desigualdades los puntos crít icos x − 2 = 0 x = 2 x − 4 = 0 x = 4 b. Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas. c. Tomamos un valor en cada intervalo y lo reemplazamos en la inecuac ión inicial para verificar si el intervalo en donde está el valor sirve como solución de la inecuación
Al reemplazar con 0 queda -2/-4 = ½ = 0.5 0 cierto (intervalo de ( -∞, 2 sirve en la solución)
Con 3 Falso ( intervalo
de 2, 4 no sirve en la solución)
Con 5 Cierto (El
intervalo de 4, ∞) sirve en la solución Los puntos crít icos
Con 2 Cierto (El
extremo 2 sirve en la solución por lo tanto el extremo 2 es cerrado)
Con 4 La división por
cero no está definida, el extremo 4 no sirve dentro de la solución por lo tanto el extremo 4 es abierto) Solución: S = (-∞ , 2] U (4,∞ ) (Gráfica anterior) Ejemplo 2.
Es una inecuación racional, en donde primero hay
que desigualar con cero
Realizando la resta de fracciones:
realizando las multiplicaciones (prop.
Distributiva) y quitando los paréntesis
Suma o resta de semejantes
Se toma los valores que dan el numerador y el denominador para sacar los puntos críticos y graficarlos
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-x
2 -2 = - (x
2 -2) la expresión que está dentro del paréntesis para
cualquier número siempre será positivo, pero con el menos de afuera siempre será negativo y al solucionarla quedaría una raíz de un negativo lo que no existe en los reales. Para el nominador X = 0 X = -1 Estos puntos se denominan punto críticos, los cuales se grafican en la recta real
Al reemplazar en la inecuación
Con -2 - (-2)
2 -2 ≥ 0 -4-2 ≥ 0 -6 ≥ 0 -3 ≥ 0 falso
(-2)(-2 + 1) -2(-1) 2 Lo cual el intervalo (-∞,-1 no sirve en la solución Con -1/2 -(-1/2)
2 – 2 ≥ 0 -1/4 -2 ≥ 0 -9/4 ≥ 0
(-1/2)(-1/2+1) (-1/2)(1/2) -1/4 9 ≥ 0 cierto. Por lo tanto el intervalo -1, 0 sirve en la solución. Con 1 -(1)
2 – 2 ≥ 0 -1 – 2 ≥ 0 -3 ≥ 0 Falso.
1(1 + 1) 1. 2 2 Lo cual el intervalo (-∞,-1 no sirve en la solución Con los puntos críticos Con -1 al reemplazar da -3/0 ≥ 0 Falso. El extremo -1 no sirve en la solución, por lo cual es abierto Con 0 al reemplazar da -2/0 ≥ 0 Falso. El extremo 0 no sirve en la solución, por lo cual es abierto Intervalo solución S = (-1 , 0)
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