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MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 6: Proporcionalidad numérica

6 Proporcionalidad numérica

Una de las expresiones de la proporcionalidad, los porcentajes, son de uso generalizado en el mundo actual, para relativizar en una escala simple las diversas magnitudes, como ocurre, por ejemplo, en las rebajas.

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La escuela de Alejandría

Enlace a un resumen de la obra de

Herón de Alejandría

Enlace a una biografía de Hipatia

, importante matemática de Alejandría

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Esquema de contenidos

Proporcionalidad numérica

Magnitudes proporcionales

Proporcionalidad directaProporcionalidad inversa

Repartos proporcionales

Repartos directosRepartos inversos

Proporcionalidad compuesta

ConceptoResolución de problemas

Interés simple

ConceptoProblemas relacionados

Problemas con porcentajes

AumentosDisminucionesPorcentajes encadenados


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En la vida cotidiana, es muy frecuente encontrarse con descuentos o rebajas dados en tanto por ciento.

La cantidad que pagamos al final puede calcularse de dos maneras:

a) en dos pasos, hallar el descuento y restar, o

b) en un solo paso, modo este último especialmente útil cuando tenemos que calcular la cantidad inicial a partir de la cantidad rebajada.

Disminuciones porcentuales

En una tienda de ropa se rebajan los precios el 20 %. ¿Cuál será el nuevo precio de una camisa que costaba 32 €?

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La cantidad que pagamos al final puede calcularse de dos maneras:

a) en dos pasos, hallar el descuento y restar, o

b) en un solo paso, modo este último especialmente útil cuando tenemos que calcular la cantidad inicial a partir de la cantidad rebajada.

Primero, calculamos el descuento: 20% · 32 € = 6,40 €. Segundo, quitamos el descuento al precio original: 32 € – 6,40 € = 25,60 €.

EN DOS PASOS

EN UN PASO Multiplicamos el precio original por 1 menos 0,20: 32 € · 0,80 = 25,60 €.

SIGUIENTE



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En esta tienda, se nos encarga poner los precios rebajados de una serie de artículos que tienen ya marcados el precio antiguo. En el último cartel, ha desaparecido el precio antiguo. ¿Puedes hallarlo?

24 €41 €

110 €64 €

60 €SIGUIENTE


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Como hemos visto, multiplicando por 0,80 los precios antiguos obtenemos los nuevos precios:

24 € · 0,80 = 19,20 € 41 € · 0,80 = 32,80 €

110 € · 0,80 = 88 € 64 € · 0,80 = 51,20 €

¿Puedes hallar el precio anterior del último cartel?

60 €SIGUIENTE


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Como hemos visto, multiplicando por 0,80 los precios antiguos obtenemos los nuevos precios:

24 € · 0,80 = 19,20 € 41 € · 0,80 = 32,80 €

110 € · 0,80 = 88 € 64 € · 0,80 = 51,20 €

¿Puedes hallar el precio anterior del último cartel?

60 €De modo inverso a los cálculos anteriores, bastará con dividir 60 € por 0,80:

60 : 0,80 = 75 €SIGUIENTE


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24 €41 €

110 €64 €

19,20 €32,80 €

88 €51,20 € 60 €

Los carteles correctamente escritos son los siguientes:

75 €

SIGUIENTE


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Problemas de proporcionalidad

En muchos casos reales de problemas de proporcionalidad se producen cambios en los datos iniciales que crean nuevas situaciones a resolver.

En un campamento construido para albergar a damnificados por un terremoto se tienen víveres para alimentar a 800 personas durante 15 días. Pasados 8 días vienen 600 personas más. Si no disponemos de más alimentos, ¿en cuántos días se nos agotarán las existencias?

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Tenemos que situarnos en el momento del cambio del número de personas atendidas, al final de los 8 primeros días.

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En ese momento tenemos alimentos para alimentar a las 800 personas durante 7 días, y los mismos alimentos nos han de valer para 1.400 personas:

800 personas pueden alimentarse durante 7 días

1.400 personas pueden alimentarse durante x días

SIGUIENTE


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A doble, triple… de personas, la mitad, la tercera parte,… de días para alimentarlas con los mismos alimentos: se trata de una proporcionalidad inversa.



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A doble, triple, … de personas, la mitad, la tercera parte, … de días para alimentarlas con los mismos alimentos: se trata de una proporcionalidad inversa.

=•

=1400

8007xLas existencias se agotarán en: 4 días




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Un famoso problema de reparto

De origen árabe, el famoso problema del reparto de una herencia de camellos, permanece como uno de los casos “con truco” más famoso de la historia de la Matemática.

Un mercader árabe deja al morir 17 camellos para que se repartan entre sus tres hijos. Al mayor le debe corresponder la mitad de ellos; al mediano, la tercera parte, y al menor, la novena parte. ¿Cómo hacer el reparto?

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El reparto exacto no es posible sin “trocear” los camellos, pues no es posible dividir 17 exactamente por 2, por 3 o por 9.

Además, aunque fuese una cantidad que admitiese el fraccionamiento (como grano o dinero), el reparto no es correcto. En efecto, no se trata de un reparto proporcional, pues la suma de las partes que se citan, 1/ 2, 1/3, 1/9, no da la unidad. Compruébalo.

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El reparto exacto no es posible sin “trocear” los camellos, pues no es posible dividir 17 exactamente por 2, por 3 o por 9.

1817

18269

91

31

21

Además, aunque fuese una cantidad que admitiese el fraccionamiento (como grano o dinero), el reparto no es correcto. En efecto, no se trata de un reparto proporcional, pues la suma de las partes que se citan, 1/ 2, 1/3, 1/9, no da la unidad. Compruébalo.

Como se ve, falta 1/ 18 para completar la unidad. En esta diferencia se basa la famosa solución del problema.

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La ingeniosa “solución” dada por un vecino es como sigue: Éste añade un camello de su propiedad, para obtener un total de 18. Ahora, sí se puede dividir por 2, por 3 y por 9. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

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La ingeniosa “solución” dada por un vecino es como sigue: Éste añade un camello de su propiedad, para obtener un total de 18. Ahora, sí se puede dividir por 2, por 3 y por 9. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

Al mayor se le dan: 18 / 2 = 9 camellos.

Al mediano se le dan: 18 / 3 = 6 camellos

Al menor se le dan: 18 / 9 = 2 camellos.

Como ves los camellos repartidos suman 17, con lo que el vecino coge su camello y se va a su casa habiendo “resuelto” la situación.


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Los problemas de proporcionalidad pueden referirse a tres o más magnitudes: son los llamados problemas de proporcionalidad compuesta.

Cinco pintores, trabajando 8 horas diarias, pintan un edificio en 24 días de trabajo. ¿Cuántos pintores se necesitan para hacer la misma tarea en 15 días trabajando 10 horas diarias?

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Organizaremos los datos en un cuadro apropiado:

5 pintores pintan un edificio en24

díastrabajando

8 horas diarias

x pintores pintan un edificio en15

díastrabajando

10 horas diarias

Ahora relacionaremos las magnitudes “días” y “horas diarias” con la magnitud “pintores”.

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Organizaremos los datos en un cuadro apropiado:


díastrabajando

8 horas diarias


díastrabajando

10 horas diarias

Ahora relacionaremos las magnitudes “días” y “horas diarias” con la magnitud “pintores”.

- A doble, triple,… pintores, en los mismos días, se necesitan la mitad, la tercera parte,… de horas diarias para hacer la misma faena. RELACIÓN INVERSA

- A doble, triple, … de pintores, con las mismas horas diarias de trabajo, se necesitan la mitad, la tercera parte, … de días de trabajo para hacer la misma faena. RELACIÓN INVERSA

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díastrabajando

8 horas diarias


díastrabajando

10 horas diarias

- A doble, triple, … de pintores, en los mismos días, se necesitan la mitad, la tercera parte, … de horas diarias para hacer la misma faena. RELACIÓN INVERSA

- A doble, triple, … de pintores, con las mismas horas diarias de trabajo, se necesitan la mitad, la tercera parte, … de días de trabajo para hacer la misma faena. RELACIÓN INVERSA

Así, pues:

8

10

24

125•=

x

INVERSA INVERSA

=•

••=

1012

8245x 8 pintores


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Actividad: La velocidad y el tiempo, magnitudes inversas

En la sección chilena de la editorial Santillana, esta actividad en el programa Excel usa la proporcionalidad inversa de la relación velocidad-tiempo.

Para conocerlo, sigue este enlace.

Dirección: http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad4c.htm

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