8 Proporcionalidad numérica -...

192

Proporcionalidadnumérica8

La parte del almirante

El 17 de abril de 1492, en Santa Fe (Granada) comenzaba una de las gestas más importantes de la historia.

Isabel de Castilla y Fernando de Aragón, los Reyes Católicos, y un desconocido marino llamado Cristóbal Colón habían llegado a un acuerdo. Juan de Coloma leía los términos del mismo:

–Y de lo que quedare limpio tome la décima parte para sí, quedando el resto para Vuestras Altezas…

En ese punto la imaginación de Colón se disparó, alzó los ojos y dijo para sí:

–El primer paso está dado y si el destino nos acompaña seré Grande de España.

Así nació el descubrimiento de América. Cuando Colón regresó, los reyes lo esperaban en Barcelona, donde se presentó llevando, entre otras mercaderías, papagayos de vivos colores y las primeras muestras de oro americano. La parte del oro que le correspondió a él, aproximadamente 400 gramos, la donó a la catedral de Barcelona.

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193

8SOLUCIONARIO

DESCUBRE LA HISTORIA…

1 Cristóbal Colón fue un navegante que vivió entre los siglos XV y XVI. Investiga

sobre los avances de la ciencia durante estos siglos.

Una buena relación de estos avances se encuentra en la página:

http://www.si-educa.net/basico/ficha684.html

Estos avances, centrados en la Edad Moderna, lo encontrarás en:

http://www.portalplanetasedna.com.ar/edad_moderna.htm

2 ¿Qué fueron las capitulaciones de Santa Fe? ¿Cuáles son los acuerdos

más importantes a los que se llegaron?

Se puede consultar la historia y el significado de las capitulaciones en los documentos que se aportan en esta página:

http://www.historiadelnuevomundo.com/index.php/category/documentos/

3 Investiga sobre los avances matemáticos de la época que hicieron posible

el viaje de Colón hasta América.

En esta página se puede encontrar la importancia que tuvieron las matemáticas para el desarrollo de la cartografía y el conocimiento de la esfera terrestre:

http://soko.com.ar/historia/Historia_ciencia.htm

EVALUACIÓN INICIAL

1 Indica si estas parejas de fracciones son equivalentes o no.

a) 2

1 y

4

5 b)

16

12 y

7

6 c)

3

4 y

60

80

a) 1 ? 4 ! 5 ? 2 b) 12 ? 7 ! 16 ? 6 c) 4 ? 60 = 3 ? 80

No son equivalentes. No son equivalentes. Son equivalentes.

2 Calcula una fracción equivalente a 6

50 que cumpla:

a) Tiene como denominador un número mayor que 50.

b) Tiene como numerador un número menor que 30.

c) Tiene como denominador 36.

a) Respuesta abierta. Ejemplo: 60

500 b)

253

c) 363 00

3 Expresa en forma de fracción estos números decimales.

a) 0,1 = 101

b) 0,25 = 10025

41

= c) 0,5 = 105

21

= d) 0,65 = 10065

2013

= e) 0,9 = 109

4 Calcula el número decimal que expresan las siguientes fracciones.

a) 5

2 = 0,4 b)

25

8 = 0,32 c)

2

3 = 1,5 d)

4

3 = 0,75 e)

200

9 = 0,045

193

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194

Proporcionalidad numérica

0

0

0

0

0

EJERCICIOS

001 Expresa mediante una razón.

a) De las 55 preguntas del test he acertado 36.

b) Teníamos 68 huevos y se han roto 12.

c) En un frutero hay 7 tomates y 3 fresas.

a) 5536

b) 6812

c) 37

002 En el comedor del colegio ponen 3 barras de pan por cada 8 alumnos.

Si hoy hemos comido 124 alumnos y han puesto 50 barras, ¿se ha mantenido

la proporción?

? ?8 3

124 50

3 124 8 50alumnosbarras

alumnosbarras

!= " . Luego no se mantiene la proporción.

003 Identifica las razones que forman proporción.

a) , , ,1

2

2

8

3

6

5

9 b) ; ; ;

, , ,

20

5

10

2 5

5

1 25

5

10 5

a) 12

36

y b) , , ,205

102 5

51 25

y

004 Para construir una pared se necesitan 3 379 ladrillos y 62 sacos de cemento.

¿Cuál es la razón entre los ladrillos y el cemento?

La razón es 62

3 379.

005 Averigua si estas igualdades son o no proporciones, y si es posible, halla

su constante de proporcionalidad.

a) 15

5

18

6= b)

6

4

18

8= c)

7

5

28

20=

a) 5 ? 18 = 15 ? 6 " Es proporción. Constante de proporcionalidad: 0,3

"

b) 4 ? 18 ! 6 ? 8 " No es proporción.

c) 5 ? 28 = 7 ? 20 " Es proporción. Constante de proporcionalidad: 0,714285

006 Comprueba si los siguientes grupos de números forman una proporción.

a) 5, 10, 3 y 6 c) 8, 12, 4 y 6

b) 5, 9, 15 y 8 d) 10, 4, 6 y 5

a) 105

63

= . Sí forman proporción. c) 128

64

= . Sí forman proporción.

b) 95

815

! . No forman proporción. d) 4

1056

! . No forman proporción.

*

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195

8SOLUCIONARIO

007 Calcula el valor de a para que las igualdades formen una proporción.

a) 18 6

4a= c)

11

21

33

a=

b) 48

36 45

a= d)

14

7

4

a=

a) a ? 6 = 18 ? 4 " a = 672

12=

b) 36 ? a = 48 ? 45 " a = 36

216060=

c) 11 ? 21 = a ? 33 " a = 33231

7=

d) 7 ? 4 = 14 ? a " a = 1428

2=

008 En una urbanización se plantan cinco árboles por cada dos casas. En total se

plantaron 45 árboles. Forma la proporción correspondiente y averigua el número

de casas que tiene la urbanización.

52

45 590

18x

x= = =" casas tiene la urbanización.

009 Comprueba si las magnitudes A y B son directamente proporcionales.

Magnitud A 2 6 8 10

Magnitud B 8 24 32 40

82

246

328

4010

0,25= = = =

Las magnitudes A y B son directamente proporcionales.

010 Completa la tabla sabiendo que A y B son directamente proporcionales.

Magnitud A 2 4 10 12 80

Magnitud B 10 20 50 60 400

102

5010

aa= ="

102

6012

bb= ="

102 80

400c

c= ="

011 Un libro de 200 páginas cuesta 16,50 €, y otro de 350 páginas, 32 €.

Una libreta de 40 páginas vale 2,50 €, y otra de 100 páginas, 6,25 €.

Razona en qué caso las magnitudes de número de páginas y precio son

directamente proporcionales.

Libro:

? ?16,50200

32350

200 32 16,50 350! !" " No son proporcionales.

Libreta:

? ?2,5040

6,25100

40 6,25 2,50 100= =" " Son proporcionales.

n.

n.

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196


0

0

0

0

0

0

0

012 Si tienes 13 años y mides 1,63 m, ¿medirás el doble cuando tengas

26 años?

Las magnitudes edad y altura no son magnitudes directamente proporcionales; por tanto, a la edad de 26 años no se medirá el doble.

013 Comprueba que A y B son inversamente proporcionales.

Magnitud A 12 24 6

Magnitud B 4 2 8

12 ? 4 = 24 ? 2 = 6 ? 8 = 48, luego son inversamente proporcionales.

014 Completa la tabla para que sean magnitudes inversamente

proporcionales.

Magnitud A 1 3 6 9 12 18

Magnitud B 72 24 12 8 6 4

1 ? 72 = 9 ? x " x = 8; 1 ? 72 = 12 ? x " x = 6; 1 ? 72 = 4 ? x " x = 18

015 ¿Cuánto debe valer x para que las magnitudes A y B sean inversamente

proporcionales?

Magnitud A 18 3

Magnitud B 6 x

18 ? 6 = 3 ? x " x = 36

016 Con un consumo de 4 horas diarias, un depósito de gas dura 24 días.

¿Cuánto duraría el depósito con un consumo de 6 horas al día?

? ? ? x x x4 24 6 96 6696

16= = = =" " días

017 Escribe en forma de porcentaje y de fracción.

a) Tres por ciento. c) Setenta por ciento.

b) Quince por ciento. d) Noventa y ocho por ciento.

a) 3 % = 100

3 b) 15 % =

10015

c) 70 % = 10070

d) 98 % = 10098

018 Expresa las siguientes cantidades en forma de fracción y número decimal.

a) 17% c) 31% e) 65%

b) 92% d) 43% f) 15%

a) 10017

0,17= c) 10031

0,31= e) 10065

0,65=

b) 10092

0,92= d) 10043

0,43= f) 10015

0,15=

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197

8SOLUCIONARIO

019 Expresa los números decimales en forma de porcentaje.

a) 0,37 b) 0,2 c) 1,8 d) 0,05

a) 10037

37 %= c) 1018

100180

180 %= =

b) 102

10020

20 %= = d) 100

55 %=

020 El 20% de los automóviles de un concesionario son vehículos industriales,

el 35% todoterrenos y el resto turismos. Calcula el porcentaje de turismos.

100 % - (20 % + 35 %) = 100 % - 55 % = 45 %

El 45 % de los automóviles son turismos.

021 Calcula.

a) El 65% de 3 200. c) El 75% de 1 000.

b) El 60% de 60. d) El 5,5% de 200.

a) 2 080 b) 36 c) 750 d) 11

022 El precio de una reparación es 600 € sin IVA. ¿Cuánto costará con el 16 %

de IVA?

16 % de 600 € = 96 €

El precio con IVA es: 600 + 96 = 696 €

023 Unos pantalones vaqueros costaban 50 €, pero me hacen una rebaja del 12 %.

¿Cuánto tengo que pagar?

12 % de 50 € = 6 € 50 - 6 = 44 € tengo que pagar.

024 Expresa el tanto por ciento equivalente a las siguientes razones.

a) 2

1 b)

4

3 c)

5

1 d)

10

1

a) 21

10050

50 %= = c) 51

10020

20 %= =

b) 43

10075

75 %= = d) 101

10010

10 %= =

025 Calcula mentalmente y di cómo lo haces.

a) El 10 % de 400. c) El 15 % de 100.

b) El 20 % de 300. d) El 70 % de 600.

Eliminamos los dos ceros a la cantidad y multiplicamos por el porcentaje.

a) 10 ? 4 = 40 b) 20 ? 3 = 60 c) 15 ? 1 = 15 d) 70 ? 6 = 420

18

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198


0

●

0

●

0

●

0

0

0

026 El prensado de 1 500 kg de aceituna produjo el 36% de su peso en aceite.

Calcula la cantidad de aceite obtenida.

36 % de 1 500 = 540 litros de aceite

027 Si hoy han faltado a clase por enfermedad el 20% de los 30 alumnos,

¿cuántos alumnos hemos asistido? ¿Cuántos han faltado?

20 % de 30 = 6 alumnos han faltado a clase.Han asistido: 30 - 6 = 24 alumnos.

028 Los embalses de agua que abastecen a una ciudad tienen una capacidad total

de 400 hm3, y se encuentran al 27% de su capacidad. ¿Cuántos hm3 de agua

contienen?

27 % de 400 = 108 hm3 de agua contienen.

029 En una población de 14 000 habitantes, el 80% tiene más de 18 años.

Averigua el número de personas mayores de esa edad.

80 % de 14 000 = 11 200 personas son mayores de esa edad.

030 De 500 mujeres encuestadas, 370 afirman que les gusta el fútbol.

Expresa esa cantidad mediante un porcentaje.

100500

%x

x370

50037 000

74= = ="

Al 74 % de las mujeres encuestadas les gusta el fútbol.

031 María recibe el 12% del dinero de las ventas que realiza. ¿Cuánto tendrá

que vender para ganar 4 800 €?

100x

x4 800

1212

480 000= =" = 40 000 €

T iene que vender 40 000 €

032 Juan cobra 26 000 € al año y paga 5 200 € de impuestos. ¿Qué porcentaje de

impuestos paga?

?20 %

xx

10026 000 5 200

26 0005 200 100

= = ="

Paga el 20 % de impuestos.

033 Un sofá que cuesta 350 € tiene un 20% de descuento. Calcula su precio.

20 % de 350 € = 70 €

Su precio. es: 350 - 70 = 280 €

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199

8SOLUCIONARIO

ACTIVIDADES

034

●●

Si mi habitación tiene las siguientes medidas: 6 m de largo, 3 m de ancho

y 2 m de altura, halla:

a) La razón entre el largo y el ancho. b) La razón entre el largo y la altura.

a) 36

2= b) 26

3=

035

●●

Marta encesta 6 de cada 10 tiros libres. Encuentra la razón entre el número

de tiros y el de aciertos. ¿Es la misma que entre el número de aciertos

y el de tiros? Averigua qué relación hay entre ambas razones.

Razón de tiros/aciertos: 6

1035

=

Razón de aciertos/tiros: 106

53

=

No son la misma razón, son razones inversas.

036

●●

Escribe dos números cuya razón sea 3.

Respuesta abierta.

Por ejemplo: 6 y 2, 12 y 4, 18 y 6…

26

412

618

3= = =

037

●

De los siguientes pares de razones, indica cuáles forman proporción.

a) 4

16 y

5

20 b)

5

4 y

100

80 c)

30

1 y

21

7 d)

17

3 y

34

6

a) Forman proporción, porque: 16 ? 5 = 4 ? 20.

b) Forman proporción, porque: 4 ? 100 = 5 ? 80.

c) No forman proporción, porque: 1 ? 21 ! 30 ? 7.

d) Forman proporción, porque: 3 ? 34 = 17 ? 6.

038

●

Encuentra el término que falta para que 150

50

6

x= sea una proporción.

x = ?

15050 6

2=

039

●

Halla el valor de x.

a) x

2 8

4= b)

x

15

18

25= c)

6

5

10

x= d)

27

9 10

x=

a) ?

82 4

1x = = c) ?

106 5

3x = =

b) ?

1518 25

30x = = d) ?

927 10

30x = =

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200


0

0

●

0

●

0

●

0

●

0

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULAN LOS MEDIOS O LOS EXTREMOS DE UNA PROPORCIÓN SI SON IGUALES?

Calcula x en la proporción 4

9x

x= .

PRIMERO. Se aplica la propiedad fundamental de las proporciones.

? ?x

xx x x

49

4 9 362= = =" "

SEGUNDO. Se busca un número cuyo cuadrado sea 36.

36 6x x 362 = = ="

Luego la proporción es: 64

96

=

041

●

Encuentra el valor de x en las siguientes proporciones.

a) 8

50x

x= b)

25

9x

x= c)

15

60x

x= d)

144

4x

x=

a) x2 = 400 " x = 20 c) x2 = 900 " x = 30

b) x2 = 225 " x = 15 d) x2 = 576 " x = 24

042

●●

Calcula mentalmente el término que falta en cada una de las proporciones.

a) 4

8

3

x= b)

12

6 4

x= c)

4

9x

x= d)

5

14

7

x=

a) 4

246x = = c) x2 = 36 " x = 6

b) 648

8x = = d) 7

7010x = =

043

●

Completa.

a) ,75 15

6

90

30

0 75

4 444

= = = =

b) 70 35

6

105

30

0,7

44

44= = = =

c) 77 33

6

42

30

0,22

4 44

4= = = =

a) 75 15

690

300,75,30 36

750 30

= = = =

b) 70 35

6105

300,7,12 0 1218

175= = = =

c) ,63

,,

7714

336

427

16530

0 220 04

= = = =

#

040

220606 _ 0192-0217.indd 200220606 _ 0192-0217.indd 200 16/06/10 18:2016/06/10 18:20

201

8SOLUCIONARIO

044

●

Forma diferentes proporciones con los números 3, 4, 9 y 12.

43

129

= 93

124

= 34

912

= 39

412

=

045

●●

Si la razón de dos números a y b es 8

3

, calcula:

a) a, si b = 24. c) b, si a = 1,5.

b) b, si a = -15. d) a, si b = -16.

a) ?

24 83

824 3

9a

a= = =" c) ?1,5

83

31,5 8

4b

b= = ="

b) ?15

83

315 8

40b

b-

= =-

=-" d) ?

16 83

816 3

6a

a-

= =-

=-"

046

●●

Averigua si los números 2 y 3 mantienen proporción con 8 y 12,

respectivamente.

? ?32

128

2 12 8 3= =" . Sí, mantienen proporción.

047

●●

Decir que los números a y b mantienen proporción con 2 y 3 es lo mismo que

afirmar que 3

2

b

a=

. Encuentra dos números que formen proporción con 5 y 7.

5 ;ba

a n b n75

7= = ="

Respuesta abierta. Por ejemplo: a = 10 y b = 14

048

●●

Forma una razón con estos datos: «5 litros de aceite valen 15,25 €». Establece

proporciones de esta razón con los siguientes datos, y calcula

su constante de proporcionalidad.

a) 20 litros b) 25 litros c) 76,25 € d) 61 €

Razón: 5

15,25 y constante de proporcionalidad: 3,05.

515,25

2061

= 5

15,2525

76,25=

049

●

En dos puestos, A y B, se venden manzanas, con los siguientes precios:

Puesto A

1 kg

0,53 €

2 kg

1,06 €

3 kg

1,59 €

Puesto B

1 kg

0,60 €

2 kg

1 €

3 kg

1,50 €

¿En cuál de estos puestos son directamente proporcionales las magnitudes

peso y precio?

Puesto A: 0,53

11,06

21,59

3= = . Son directamente proporcionales.

Puesto B: 0,60

112

1,503

! ! . No son directamente proporcionales.

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202


0

0

●

0050

●●

De los siguientes pares de magnitudes, indica cuáles son directamente

proporcionales.

a) Longitud del lado de un cuadrado y su perímetro.

b) Número de grifos y tiempo de llenado de un depósito.

c) Número de ovejas y pienso que comen.

d) Velocidad de una motocicleta y tiempo empleado en recorrer

una distancia.

a) Son directamente proporcionales.

b) No son directamente proporcionales.

c) Son directamente proporcionales.

d) No son directamente proporcionales.

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULAN LOS VALORES DESCONOCIDOS DE DOS MAGNITUDES DIRECTAMENTE

PROPORCIONALES?

Los datos de la tabla corresponden a diferentes pesos de pintura

y su precio. Completa los valores que faltan.

Pintura (kg) 1 2 3 b

Precio (€) 8 16 a 48

PRIMERO. Se comprueba que ambas magnitudes son directamente proporcionales.

81

162

0,125= = " Directamente proporcionales

SEGUNDO. Se establecen proporciones y se calculan los valores desconocidos.

? ?81 3

1 8 3a

a= =" -" €?

18 3

24a = =

? ??

81

481 48 8

81 48

6 b

b b kg= = = =" "

052

●

Completa las tablas, sabiendo que ambas magnitudes son directamente

proporcionales.

Magnitud A 0,2 0,5 1,4 1 10 0,1Magnitud B 0,3 0,75 2,1 1,5 15 0,15

Magnitud A 7 21 8 42 105 10

Magnitud B 14 42 16 84 210 20

Magnitud A 6 2 12 14 26 7,5Magnitud B 12 4 24 28 52 15

051

220606 _ 0192-0217.indd 202220606 _ 0192-0217.indd 202 16/06/10 18:2016/06/10 18:20

203

8SOLUCIONARIO

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULAN LOS VALORES DESCONOCIDOS DE DOS MAGNITUDES INVERSAMENTE

PROPORCIONALES?

Los datos de esta tabla corresponden

al tiempo empleado en recorrer una

distancia en relación con la velocidad.

Velocidad (km/h) 1 2 4 b

Tiempo (min) 24 12 a 8

PRIMERO. Se comprueba que ambas magnitudes son inversamente proporcionales.

1 ? 24 = 2 ? 12 = 24 " Inversamente proporcionales

SEGUNDO. Se aplica la relación de proporcionalidad inversa a los datos desconocidos.

? ??

mina a1 24 44

1 246= = ="

? ??

b b1 24 88

1 243 km/h= = ="

054

●

Completa estas tablas comprobando que ambas magnitudes son inversamente

proporcionales.

A 2 10 6 15 4

B 150 30 50 20 75

A 9 45 10 15 25

B 50 10 45 30 18

A 6 2 5 30 10B 90 270 108 18 54

055

●●

En un puesto aparecen estas tablas de precios para dos tipos de melocotones.

TIPO A

kg 1 2 5

€ 0,90 1,80 4,50

TIPO B

kg 1 2 5

€ 0,95 1,85 4,25

a) ¿En cuál de las tablas son directamente proporcionales las magnitudes peso

y precio?

b) En este puesto, ¿cuánto costarán 12 kg de melocotones del tipo A?

c) ¿Se podría calcular lo que costarán 12 kg de melocotones del tipo B ?

a) Tipo A: , , ,0 901

1 802

4 505

= = . Son directamente proporcionales.

Tipo B: 0,95

11,85

24,25

5! ! . No son directamente proporcionales.

b) 12 kilos del tipo A costarán: 12 ? 0,90 = 10,80 €.

c) No se puede calcular porque las magnitudes no son proporcionales, ni siguen una lógica evidente.

053

.

220606 _ 0192-0217.indd 203220606 _ 0192-0217.indd 203 16/06/10 18:2016/06/10 18:20

204


0

●

0

●

0

●

0

●

0

●

056

●●

Los siguientes datos de la tabla son

medidas de espacios y del tiempo

que se tarda en recorrerlos.

Espacio (m) 120 30 60 b

Tiempo (s) 9 2,25 a 6

a) ¿Son magnitudes directamente proporcionales?

b) Encuentra la constante de proporcionalidad entre el espacio y el tiempo.

c) Averigua los valores que faltan.

a) ,

13,9

1202 2530

3= ="

Son magnitudes directamente proporcionales.

b) 9

12013,3="

c) ?

9120 60

12060 9

4,5a

a= = ="

b

9120

6= -"

?

9120 6

80b = =

057

●●

El agua de un pozo se saca

en 210 veces utilizando un

cubo de 15 ¬ de capacidad.

Si empleamos un cubo

de 25 ¬, ¿cuántas veces

necesitaremos introducir

el cubo en el pozo para

sacar la misma cantidad

de agua?

Son magnitudes inversamente proporcionales.

210 ? 15 = x ? 25 " ?

25210 15

126x = =

Necesitaremos introducir el cubo 126 veces.

058

●●

Un coche tarda 6 horas en recorrer un trayecto a una velocidad de 90 km/h.

¿Cuánto tardaría en recorrer ese mismo trayecto si circula a una velocidad

de 60 km/h?


90 ? 6 = 60 ? x " 60

5409x = = horas tardaría en recorrer ese trayecto.

059

●●

Enrique ayuda a unos familiares en su tienda en Navidad. Por cada cinco días

de trabajo le dan 160 €. ¿Cuánto le darán por diecisiete días?

Son magnitudes directamente proporcionales.

?

xx

1605 17

5160 17

= = =" 544 € le darán por 17 días.

220606 _ 0192-0217.indd 204220606 _ 0192-0217.indd 204 16/06/10 18:2016/06/10 18:20

205

8SOLUCIONARIO

060

●●

En un frasco de legumbres de 500 g hay 2,5 g de grasa, y en otro frasco

de 400 g de legumbres hay 2,1 g.

a) ¿Están en proporción estos datos?

b) Si no están en proporción, ¿en cuál de los dos hay más grasa

proporcionalmente?

a) ? ?2,5500

2,1400

500 2,1 2,5 400! !" . No mantienen proporción.

b) 5002,5

0,0054002,1

0,005251= =

Proporcionalmente hay más grasa en el segundo frasco.

061

●●

En la carnicería, las salchichas cuestan 5,25 €/kg. También tienen

paquetes de salchichas de 0,5 kg que cuestan 2,10 €. ¿Qué salchichas

son más baratas?

€ €,

, /,

,, /

15 25

5 250 5

2 104 20kg kg= =

Son más baratas las salchichas de los paquetes de medio kilo.

062

●●

Con un consumo de 3 horas diarias, un depósito de gas dura 20 días.

¿Cuánto duraría con un consumo de 6 horas diarias?


? ??

3 20 66

3 2010 x x horas= = ="

063

●●

Un ganadero tiene pacas de paja para alimentar a 20 vacas durante 60 días.

Si compra 10 vacas más, ¿para cuántos días tiene alimento?


20 ? 60 = 30 ? x " 30

120040x = = días

064

●●

En una botella de zumo aparece esta tabla.

Valores medios 100 mlCarbohidratos (g) 10,6Kilocalorías 43Proteínas (g) 0,2

a) ¿Cuántas kilocalorías aportará una botella de zumo de un litro? ¿Y proteínas?

b) ¿Cuántos hidratos de carbono suministrará el consumo de medio litro de zumo?

a) Kilocalorías = 10 ? 43 = 430 Proteínas = 0,2 ? 10 = 2 gb) Hidratos de carbono = 5 ? 10,6 = 53 g.

220606 _ 0192-0217.indd 205220606 _ 0192-0217.indd 205 16/06/10 18:2016/06/10 18:20

206


0

0

0

0

0065

●●

Los ingredientes necesarios para realizar un bizcocho son

directamente proporcionales al tamaño del bizcocho.

Para hacer un bizcocho para 4 personas, se precisan

2 huevos, 6 cucharadas de azúcar y un cuarto

de litro de leche, entre otros ingredientes.

Calcula la cantidad necesaria de estos ingredientes para hacer un bizcocho

para 2, 6 y 8 personas.

Huevos Azúcar Leche

4 personas 2 6 250 cl




066

●

Expresa estos porcentajes como fracción y como número decimal.

a) 25% b) 110% c) 37% d) 16%

a) 10025

41

0,25= = c) 10037

0,37=

b) 100110

1011

1,1= = d) 10016

254

0,16= =

067

●

Escribe los números decimales en forma de porcentaje.

a) 0,34 b) 0,45 c) 0,723 d) 1,23

a) 34 % b) 45 % c) 72,3 % d) 123 %

068

●

Expresa en porcentaje las siguientes fracciones.

a) 8

3 b)

2

5 c)

5

11 d)

4

7

a) 0,375 = 1000375

10037,5

37,5%= " c) 2,2 = 100220

220 %"

b) 2,5 = 100250

250 %" d) 1,75 = 100175

175%"

069

●

Halla el 22% de: a) 144 b) 236 c) 1 256 d) 5 006

a) 31,68 b) 51,92 c) 276,32 d) 1 101,32

070

●

Calcula mentalmente.

a) El 10% de 40. b) El 20% de 500. c) El 50% de 2 000. d) El 30% de 40.

a) 4 b) 100 c) 1 000 d) 12

071

●

Calcula mentalmente.

a) El 15% de 30. b) El 40% de 60. c) El 60% de 200. d) El 25% de 8 000.

a) 4,5 b) 24 c) 120 d) 2 000

220606 _ 0192-0217.indd 206220606 _ 0192-0217.indd 206 16/06/10 18:2016/06/10 18:20

207

8SOLUCIONARIO

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE RESUELVE UN PORCENTAJE CON LA CALCULADORA?

Halla con la calculadora el 12 % de 310.

PRIMERO. Se teclea el porcentaje y se divide entre 100.

12 ' 100 = 0.12

SEGUNDO. Se multiplica el resultado por la cantidad de la que se quiere hallar el porcentaje.

0,12 # 310 = 37,2También se puede calcular este porcentaje utilizando las teclas específicas de la calculadora.

12 % 310 = 37,2

073

●

Halla estos porcentajes utilizando la calculadora.

a) El 51% de 30. c) El 21% de 60.

b) El 76% de 100. d) El 8% de 951.

a) 15,3 b) 76 c) 12,6 d) 76,08

074

●

¿Qué tanto por ciento de pérdida representa la venta de un objeto que ha

costado 450 € por 423 €?

?

450450 423

100 45027 100x

x-

= = =" 6 % de pérdida

075

●

Si 324 casas, que representan el 25% de todas las viviendas de un pueblo,

tienen dos dormitorios, ¿cuántas casas hay en el pueblo?

?

10025 324

25324 100

xx= = =" 1 296 casas

076

●

Por ingresar un cheque de 644 € me han cobrado un 2% de comisión.

¿Qué cantidad he tenido que pagar al banco?

2 % de 644 = ?

1002 644

= 12,88 € he tenido que pagar.

072

40.

00.

220606 _ 0192-0217.indd 207220606 _ 0192-0217.indd 207 16/06/10 18:2016/06/10 18:20

208


0

●

0

●

0

●

0

●

077

●

El 60% del cuerpo humano es agua. ¿Qué cantidad de agua hay en una persona

de 75 kg?

60 % de 75 = ?

10060 75

= 45 litros de agua

078

●

Una viga de hierro de 25 metros de longitud, debido al calor, se dilata un 1,5%.

¿Cuál será su medida después de calentarla?

1,5 % de 25 = ?

1001,5 25

= 0,375 m

25 + 0,375 = 25,375 m medirá después de calentarla.

079

●●

¿Cuánto tendrá que pagar el dueño de un restaurante por la compra

de 492 vasos a 3,25 € la docena, si pagando al contado le hacen

un 8% de descuento?

492 : 12 = 41 docenas " 41 ? 3,25 = 133,25 € sin descuento

8 % de 133,25 = ?

100133,25 8

= 10,66 € de descuento

133,25 - 10,66 = 122,59 € tendrá que pagar.

080

●

Al tirar un dado trucado 30 veces, ha salido 12 veces el número 5. Si decido

apostar al número 5, ¿qué porcentaje de aciertos tendré?

Si de 30 tiradas ha salido

-------" 12 veces

de 100 saldrá

------------" x

? ?x xx100

30 1230 100 12

301200

40= = = =" " % de aciertos

081

●●

Un agente inmobiliario cobra

un porcentaje de un 2%

del valor de la finca vendida:

una tercera parte del

comprador, y el resto,

del vendedor. Si acaba

de vender un piso

por 150 000 €:

a) ¿Cuál será su comisión?

b) ¿Cuánto le pagará el vendedor del piso?

c) ¿Y el comprador?

a) 2 % de 150 000 = ?

1002 150 000

= 3 000 €

b) 32

de 3 000 = 2 000 € le pagará el vendedor.

c) 3 000 - 2 000 = 1 000 € le pagará el comprador.

220606 _ 0192-0217.indd 208220606 _ 0192-0217.indd 208 16/06/10 18:2016/06/10 18:20

209

8SOLUCIONARIO

082

●●

Para calcular la cantidad de carne que tiene un cerdo, a su peso

hay que quitarle un 40% de vísceras y huesos y un 15% de grasa.

Si un cerdo pesa 184 kg, ¿qué cantidad de carne tiene?

Vísceras: 40 % de 184 = ?

10040 184

73,6 kg=

Grasa: 15 % de 184 = ?

10015 184

27,6 kg=

184 - (73,6 + 27,6) = 82,8 kg de carne

083

●●

Un CD de música cuesta 16 €, pero al comprar tres hacen un 10%

de descuento. ¿Cuánto costarán 6 CD de música teniendo en cuenta

el descuento?

16 ? 6 = 96 € 10 % de 96 = 9,60 € de descuento por cada CD.

Los 6 CD cuestan: 96 - 9,6 = 86,40 €.

084

●●

Tres de cada 5 alumnos han tenido la gripe. Expresa este dato en forma

de porcentaje.

?

?

53

5 203 20

10060

0,6 60 %= = = " de los alumnos tuvieron la gripe.

085

●●

Cuatro de cada siete españoles salen de vacaciones al extranjero

una vez al año. Si España tiene una población aproximada de 45 millones

de personas, ¿cuál es el número aproximado de españoles que viajan

al extranjero?

Si de 7 españoles viajan al extranjero---------" 4

de 45 000 000 viajarán

---------" x

? ?45 000 000

xx

7 45 000 000 47 4

= =" "

x7

180 000 00025 714 286.=" españoles viajan al extranjero.

na

%.

220606 _ 0192-0217.indd 209220606 _ 0192-0217.indd 209 16/06/10 18:2016/06/10 18:20

210


0

●

0

0

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE DIVIDE UNA CANTIDAD TOTAL EN PORCENTAJES?

Observamos a un caracol durante tres horas. La primera hora recorre 30 cm;

la segunda, 10 cm, y la tercera, 40 cm. Expresa en tanto por ciento

la distancia que ha recorrido cada hora.

PRIMERO. Se halla la cantidad total.

30 + 10 + 40 = 80 cm

SEGUNDO. Con esa cantidad total y las partes (cantidades recorridas cada hora) se calculan los porcentajes.

En la primera hora:

Si de 80 cm ---" 30 cm recorridosde 100 cm -" x cm recorridos

?

10080 30

80100 30

37,5%x

x= = ="

En la segunda hora:?

10080 10

80100 10

12,5%x

x= = ="

Y en la tercera hora:

100% - (37,5% + 12,5%) = 50%

087

●●

En una fábrica de automóviles se han fabricado coches de tres modelos

diferentes. Del primer modelo se han fabricado 1 225 unidades, del segundo

modelo, 820, y del tercero, 1 024. Calcula los porcentajes correspondientes a

cada modelo.

Total de coches: 1 225 + 820 + 1 024 = 3 069

Si de 3 069 coches primer modelo

--------" 1 225

de 100 --------------" x

? ?x

x100

3 069 12253 069 100 1225= ="

3 069122 500

39,9x = =" % del primer modelo

Si de 3 069 coches segundo modelo--------" 820

de 100 --------------" x

? ?x

x100

3 069 8203 069 100 820= ="

3 06982 000

26,7x = =" % del segundo modelo.

Del tercer modelo habrá: 100 - (39,9 + 26,7) = 33,4 %

086

220606 _ 0192-0217.indd 210220606 _ 0192-0217.indd 210 16/06/10 18:2016/06/10 18:20

211

8SOLUCIONARIO

088

●●

En un instituto de 1 100 alumnos, se comprobó que 350 son rubios,

200 tienen los ojos azules y a 750 les gusta el fútbol. Expresa estas cantidades

en porcentajes.

Si de 1 100 alumnos son rubios

--------" 350

de 100 ------------------" x

? ?x

x100

1100 3501100 100 350= ="

110035 000

31,81x = =" % son rubios.

Si de 1 100 alumnos tienen los ojos azules-----------" 200

de 100 ---------------" x

? ?x

x100

1100 2001100 100 200= ="

,x1100

20 00018 18= =" % tienen los ojos azules.

Si de 1 100 alumnos les gusta el fútbol

-----------" 750

de 100 ----------------" x

? ?x

x100

1100 7501100 100 750= ="

110075 000

68,18x = =" % les gusta el fútbol.

089

●

El 24% de los alumnos de una clase de Matemáticas aprueban con notable

o sobresaliente. Si en la clase hay 25 alumnos, averigua cuántos obtienen

una calificación menor que notable.

24 % de 25 = 6 alumnos aprueban con notable o sobresaliente.

25 - 6 = 19 alumnos obtienen una calificación menor que notable.

090

●

En mi buzón de correos había cartas de amigos y cartas del banco. Si había

en total 40 cartas y el 25% es de cartas del banco, averigua el número

de cartas de amigos.

25 % de 40 = ?

10025 40

= 10 cartas son del banco y 40 - 10 = 30 de amigos.

220606 _ 0192-0217.indd 211220606 _ 0192-0217.indd 211 16/06/10 18:2016/06/10 18:20

212


0

●

0

●●

0

●●

0

●●

091

●

En la dieta mediterránea se consume diariamente un 55% de glúcidos, un 30%

de lípidos y un 15% de proteínas. Si cada día se consumen 2 500 calorías,

averigua qué cantidad de calorías corresponde a los glúcidos, los lípidos

y las proteínas.

Glúcidos: 55 % de 2 500 = ?

10055 2 500

= 1 375 calorías

Lípidos: 30 % de 2 500 = ?

10030 2 500

= 750 calorías

Proteínas: 15 % de 2 500 = ?

10015 2 500

= 375 calorías

092

●●

Decidimos hacer una excursión escolar. El 20% de los alumnos de la clase

quiere ir al Museo de la Ciencia, mientras que el 60% quiere ir al Planetario.

Si 15 alumnos deciden ir al Planetario, ¿cuántos alumnos han elegido

la otra excursión? ¿Cuántos alumnos habrá en la clase?

xx

1001560

601500

25= = =" alumnos hay en la clase.

20 % de 25 = 5 alumnos deciden ir al Museo de la Ciencia.

093

●

Un artesano tejió una pieza de tela en cuatro días: el primer día hizo 6,25 m,

el segundo día 5,70 m, el tercero 7 m y, por último, el cuarto día hizo 8,05 m.

¿Cuánto medía dicha pieza? Averigua el porcentaje que tejió cada día.

La pieza media: 6,25 + 5,70 + 7 + 8,05 = 27 m

Primer día: ?

10027 6,25

276,25 100

23,14 %x

x= = ="

Segundo día: ?

10027 5,70

275,70 100

21,11%x

x= = ="

Tercer día: ?

10027 7

277 100

25,92%x

x= = ="

Cuarto día: 100 % - (23,14 + 21,11 + 25,92) = 29,83 %

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA EL PRECIO INICIAL SABIENDO EL PRECIO REBAJADO?

He comprado una bufanda por 12,60 € que estaba rebajada un 10%.

¿Cuál era su precio antes del descuento?

PRIMERO. Se ponen los datos en forma de regla de tres.

Si de 100 -----" 90de precio -" 12,60

PRIMERO. Se halla la cantidad que falta en la proporción.

€?

90100 12,60

14Precio = =

094

220606 _ 0192-0217.indd 212220606 _ 0192-0217.indd 212 16/06/10 18:2016/06/10 18:20

213

8SOLUCIONARIO

095

●●

El precio de venta al público de un coche, incluido el 16% de IVA, es de

15 442 €. ¿Cuál será su precio sin IVA?

Si x el precio del coche, el precio con IVA será: 116 % de x

116 % de x = 15 442 " ?100116

x = 15 442 " x = 13 312,07 € sin IVA

096

●●●

Antonio se ha comprado dos camisas y ha pagado

por ellas 72,50 €. Si al pagar le han hecho un 12%

de descuento, y las dos camisas tenían el mismo precio,

¿cuánto costaba cada camisa antes de la rebaja?

Si x el precio de las camisas, el precio con descuentoserá: 88 % de x

88 % de x = 72,50 € ?

10088

72,5088

7 250xx= = =" " 82,38 €

Cada camisa costaba: 82,38 : 2 = 41,19 € antes de la rebaja

097

●●●

Según una estadística realizada en un

instituto, 2 de cada 3 alumnos tienen caries.

Si en la ciudad se ha encuestado

a 36 000 personas, ¿cuántas tienen caries?

¿Y si las personas encuestadas

son 72 000?

Si de 3 alumnos tienen caries

------------" 2

de 36 000 personas ---------" x

x36 0003 2

= x3

72 00024 000= =" personas tienen caries.

Si la relación entre el n.º de personas y las que padecen caries fuera de proporcionalidad, al doble de personas, 72 000 le correspondería el doble de afectados: 24 000 ? 2 = 48 000 tendrían caries.

098

●●●

Una fruta parecida a una sandía pesa 2 kg, siendo el 98% de agua.

Si la dejamos un día al sol, parte del agua se evapora, quedándose

la cantidad de agua en el 95% del peso. ¿Cuál es ahora el peso de la fruta?

?,

10098 2

1 96 kg es agua= .

Agua que se evapora: x

Peso de la fruta: 2 - x kg ----------" 100 %

Peso del agua: 1,96 - x kg --------" 95 %

, xx

1 962

95100

-

-= , x

56

1 2 kg = =" de pérdida

El peso actual es: 2 - 1,2 = 0,8 kg

%

.

220606 _ 0192-0217.indd 213220606 _ 0192-0217.indd 213 16/06/10 18:2016/06/10 18:20

214


1

●●

099

●●●

Demuestra, con tres ejemplos distintos, esta propiedad de las proporciones.

La suma de los antecedentes de una proporción dividida entre la suma de los consecuentes es igual a la constante de proporcionalidad.

Si ab

= cd

= k " a + cb + d

= k

41

123

0,254 121 3

164

0,25= =+

+= ="

52

156

0,45 152 6

208

0,4= =+

+= ="

43

2015

0,754 203 15

2418

0,75= =+

+= ="

100

●●●

Señala cuáles de los siguientes problemas se pueden resolver con esta regla de tres:

150

60 8

x=

a) Un granjero tiene 60 gallinas. Si vende 8 gallinas y después compra 150,

¿cuántas gallinas tendrá?

b) En un almacén hay alimentos para 150 personas durante 8 días. Si solo

fuesen 60 personas, ¿para cuántos días tendrían comida?

c) Para pintar 60 m2 de pared se han gastado 8 kilos de pintura. ¿Cuántos se

necesitarán para pintar 150 m2?

El apartado c) es una proporción directa con esas magnitudes.

101

●●●

Al medir una serie de longitudes, varios alumnos han cometido el error

que viene expresado en la tabla.

¿Quién crees que ha cometido mayor error?

Enrique: 0,04861850

90=

&

Félix: 50013

0,025=

Carlos: , 31200

160 01=!

Pilar: 0,0741080

80=

&

Domingo: 0,0330010

=!

Pilar ha cometido el mayor error relativo.

90 cm

13 cm

16 cm

80 cm

10 cm

ErrorMedida

Enrique

Félix

Carlos

Pilar

Domingo

Alumno

18,5 m

5 m

12 m

10,8 m

3 m

220606 _ 0192-0217.indd 214220606 _ 0192-0217.indd 214 16/06/10 18:2016/06/10 18:20

215

8SOLUCIONARIO

PON A PRUEBA TUS CAPACIDADES

102

●●●

La compra de comida para abastecer el comedor del colegio se hace

mensualmente. Aunque existen ofertas en los supermercados cercanos al

colegio, los responsables de esta tarea no les prestan atención.

El consejo directivo quiere controlar de manera más exhaustiva el gasto del

comedor, por lo que están estudiando las ofertas de zumos.

3 x 2Por la compra

de 2 botellas de zumo te regalamos 1.

6 x 5Por la compra de 5 botellas

de zumo te regalamos 1.

OFERTA30 % de

descuento

Compra uno

y llévate otro

a mitad de precio.

Todas estas ofertas se refieren al mismo tipo de botella de zumo y a idéntico

precio por unidad.

ERES CAPAZ DE… COMPRENDER

Si una botella de zumo cuesta 1,15 €:

a) ¿Cuánto cuestan 2 botellas si la oferta es «compra uno y llévate otro a mitad

de precio»?

b) ¿Cuánto cuestan 2 botellas si la oferta es «30 % de descuento»?

c) ¿Cuánto cuestan 3 botellas si la oferta es «3 # 2»?

ERES CAPAZ DE… RESOLVER

d) Si una botella de zumo cuesta 1,15 €, ¿cuánto cuestan 6 botellas

atendiendo a las distintas ofertas?

ERES CAPAZ DE… DECIDIR

e) Si se compran 240 botellas de zumo al mes, ¿cuál crees que será la oferta

más ventajosa?

es:

220606 _ 0192-0217.indd 215220606 _ 0192-0217.indd 215 16/06/10 18:2016/06/10 18:20

216


a) 1,15 + ,2

1 15 = 1,725 €

b) 1,15 ? 2 = 2,30 €30 % de 2,30 € = 0,69 €Precio final = 2,30 - 0,69 = 1,61 €

c) 2 ? 1,15 = 2,30 € y nos regalan 1 botella.

d) Con la oferta compramos una y la segunda a mitad de precio:

Si 2 botellas cuestan 1,725 €, 6 botellas cuestan: 1,725 ? 3 = 5,175 €

Con la oferta 30 % de descuento:

1,15 ? 6 ? 0,70 = 4,83 €

Con la oferta de 3 # 2:

Si 3 botellas cuestan 2,30 €, 6 botellas cuestan: 2 ? 2,30 = 4,60 €


5 ? 1,15 = 5,75 €

e) Con la oferta compramos una y la segunda a mitad de precio:

€? ,2

2401 725 207=

Oferta del 30 % de descuento:

1,15 ? 240 ? 0,70 = 193,30 €


€? , 13

2402 30 84=


€? , 2 06

2405 75 3=

103

●●●

MAQUINARIA TORREÓN compra máquinas

que después vende a empresas

constructoras aumentando un 20%

su precio.

Sin embargo, se encuentran con el problema

de que sus clientes siempre piden

un descuento y ellos no quieren disminuir

sus beneficios.

ERES CAPAZ DE… COMPRENDER

a) Si el beneficio de la empresa es el 20 % del precio

de venta, ¿cuál es el beneficio de una máquina

que cuesta 4 250 €?

b) ¿Cuál debe ser el precio de venta de esa máquina si la empresa quiere ganar

un 20 %?

c) Si un cliente pide un descuento para comprar esa máquina, y la empresa

decide reducirle el precio un 5 %, ¿cuál es el precio final de la máquina?

220606 _ 0192-0217.indd 216220606 _ 0192-0217.indd 216 16/06/10 18:2016/06/10 18:20

217

8SOLUCIONARIO

ERES CAPAZ DE… RESOLVER

d) Para realizar ese descuento, delante del cliente, sin perjudicar sus ganancias,

a su gerente, Joaquín Cárdenas, se le ha ocurrido una idea:

Al precio que nosotros compramos las máquinas le incrementaremos un 25 %.

Así, cuando el cliente venga a comprar le rebajaremos

un 5 % del precio y nuestros beneficios seguirán siendo

los mismos.

¿Cuál será ahora el precio de venta de la máquina de 4 250 €?

e) ¿A cuánto ascenderá la rebaja que se hará delante del cliente? ¿Cuál será el

precio final que pagará el cliente por la máquina?

f ) ¿A cuánto ascenderán los beneficios de la venta para la empresa?

ERES CAPAZ DE… DECIDIR

g) ¿Crees que con la idea del gerente los beneficios seguirán siendo

los mismos?

a) 4 250 ? 0,20 = 850 € de beneficio

b) 4 250 + 4 250 ? 0,20 = 5 100 € debe ser el precio de venta.

c) 5 100 - 5 100 ? 0,05 = 4 845 € precio final de la máquina.

d) 4 250 + 0,25 ? 4 250 = 5 312,50 €

e) 5 312,5 ? 0,05 = 265,625 € rebaja delante del cliente5 312,5 - 265,625 = 5 046,875 € precio final que pagará.

f) 5 046,875 - 4 250 = 796,875 € beneficio para la empresa

g) No son los mismos, con la segunda opción ganan menos que con la primera.

€

r

220606 _ 0192-0217.indd 217220606 _ 0192-0217.indd 217 22/06/10 15:0822/06/10 15:08

8 Proporcionalidad numérica -...

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