1

Iniciació a les integrals 2

1. Primitives. Regles bàsiques per al seu càlcul 4

2. Àrea sota una corba 8

3. Teorema fonamental del càlcul 10

4. Càlcul de l’àrea entre una corba i l’eix X 12

5. Càlcul de l’àrea compresa entre dues corbes 14

INICIACIÓ A LES INTEGRALS

2

C om ja hem dit, Arquimedes (segle III aC) va obtenir l’àrea de algunsrecintes corbs (cercle, segment de paràbola, …). Ho va fer sumant

«infinits» trossets d’àrees pràcticament nul·les, mitjançant un procedimentque contenia la idea no precisada de pas al límit. De manera semblant,Kepler (primera meitad del segle XVII) va obtenir longituds de corba ivolums de cossos de revolució. Molts altres matemàtics van resoldre pro-blemes semblants, però per a cada un d’aquests problemes va caldre unprocediment específic de resolució.

El primer pas d’unificació de l’enfocament d’aquests problemes va seradvertir que tots ells es podien expressar de la mateixa manera: càlculde l’àrea compresa entre una corba determinada i l’eix X.

La gran aportació de Newton i Leibniz, per la qual se’ls consagra coma inventors del càlcul infinitesimal, va ser relacionar aquest problemaamb el problema de la tangent.

REFLEXIONA I RESOL

Dos trens

Un Talgo i un tren de mercaderies surten de la matei-xa estació, per la mateixa via i en idèntica direcció,l’un rere l’altre, gairebé simultàniament.

Aquestes són les gràfiques TEMPS - VELOCITAT d’ambdósmoviments.

Com podem veure en la gràfica, el Talgo, a las dues

hores, redueix la velocitat:

A què pot ser degut això?

Per què no disminueix la marxa també l’altre tren enaquell instant?

A las tres hores, ambdós trens modifiquen la sevamarxa: el Talgo es deté durant uns quants minuts,mentre que el tren de mercaderies va molt a poc apoc durant mitja hora.

n Per fer-nos una idea clara d’aquests moviments,fem els càlculs següents:

a) El Talgo, durant 2 h, va a 120 km/h. Quantsquilòmetres recorre a aquesta velocitat?

b) De 2 a 2 , el Talgo disminueix la velocitat.

Quants quilòmetres recorre a aquesta velocitat?

c) El tren de mercaderies redueix la marxa a les3h. Quina distància ha recorregut fins a aquestmoment?

d) Quina distància recorre el tren de mercaderiesdurant la mitja hora en què va a velocitat lenta?

14

1 2 3 4

TEMPS(en hores)

TALGOMERCADERIES

120

100

80

60

40

20

VELOCITAT(en km/h)

3

Quina és la funció la derivada de la qual és…?

La funció la derivada de la qual és 2x és ... x2.

La funció la derivada de la qual és cos x és ... sin x.

La funció la derivada de la qual és és ... .

n Digues quina és la funció la derivada de la qual és:

a) 2x b) x c) 5x

d) 3x2 e) x2 f) 5x2

g) 4x3 h) x3 i) 2x3

j) 1 k) 4 l)

m) 3x2 + 4x3 n) 5x2 + 7x3 o) –sin x

p) sin x q) 5sin x r) cos x

s) ex t) 3 · ex u) e–x

v) 2x · ln 2 w) 2x x) 5 · 2x

√2

√x1

2√–x

Fent els càlculs anteriors, podràs comprovar que:

Ambdós trens recorren 240 km a velocitat normal.Redueixen la velocitat en el mateix lloc i recorren,així, uns altres 15 km (potser per obres en la via) i, a continuació, recuperen la velocitat normal. (Ésa dir, el tren de mercaderies no frena quan frenael Talgo, però sí on frena el Talgo). Más endavant,el Talgo para en una estació.

e) A quina distància de l’estació de sortida ésaquesta altra en la qual para el Talgo?

f ) Observa que en tots els càlculs que has fet finsara s’han obtingut àrees per sota de les gràfi-ques, vermella o blava. Assenyala els recintes dels quals n’has calculatles àrees i assigna a cada un l’àrea que li corres-pon.

En el problema dels dos trens hem vist que l’àreasota la gràfica d’una funció velocitat-temps és el ca-mí recorregut.

Amb freqüència, l’àrea sota la gràfica d’una funció ésuna magnitud els valors de la qual interessa esbrinar.

Per això són fonamentals els resultats següents:

n Si l’extrem superior de l’interval és variable, tam-bé ho és l’àrea. És a dir, en variar x, l’àrea varia.

n La funció:

x → A(x) = «Àrea sota f »

és derivable. La derivada és, precisament, f (x).

n Per esbrinar A (x) ens demanarem, quina és lafunció la derivada de la qual és f (x)?

Es diu primitiva de f (x) i es designa així:

∫ f (x)

La unitat començarà, precisament, sistematitzantaquest joc de trobar la funció la derivada de la qualés una funció donada.

Un cop trobada f (x), obtindrem A (x) = ∫ f (x) talcom vam veure a la unitat anterior.

EN AQUESTA UNITAT VEURÀS

y = f (x)

a b

Àrea sota y = f (x)entre a i b

a x

a

A' (x) = f(x)

A(x)

f(x)

Àrea sota fentre a i x

4

1 PRIMITIVES. REGLES BÀSIQUES PER AL SEU CÀLCUL

Definició i nomenclaturaF (x) és una primitiva de f (x) si F' (x) = f (x). Això s’expressa així:

∫ f (x) dx = F (x)

Cada funció té infinites primitives, ja que si F (x) és primitiva de f (x)[és a dir, si F' (x) = f (x)], aleshores F (x) + k també ho és, perquèD [F (x) + k] = F' (x) = f (x). I això és cert qualsevulla que sigui la cons-tant k. Per això, se sol escriure:

∫ f (x) dx = F (x) + k

L’expressió ∫ f (x) dx s’anomena també integral indefinida o,

simplement, integral de f (x). Per això, el càlcul de primitives s’acostu-ma a anomenar càlcul d’integrals o integració.

PropietatsCom que el procés d’integració és oposat al de derivació, moltes de lesseves propietats es dedueixen, immediatament, de les propietats de lesderivades. Les més importants són:

Integral d’una potència

Per exemple:

∫x2 dx = + k = + k

∫x7 dx = + k = + k

∫x dx = + k = + k

∫ dx = ∫x1/2 dx = + k = x3/2 + k = + k√x323

23

x1/2 + 1

1/2 + 1√x

x2

2x1 + 1

1 + 1

x8

8x7 + 1

7 + 1

x3

3x2 + 1

2 + 1

• ∫ [ f (x) + g (x)] dx = ∫ f (x) dx + ∫ g (x) dx

• ∫ c f (x) dx = c ∫ f (x) dx

TINGUES EN COMPTE

• La integral de la suma de dues funcionsés igual a la suma de les seves integrals.

• La integral del producte d’un nombreper una funció és igual al producte del nombre per la integral de la funció.

• La integral del producte de duesfuncions no és el producte de lesintegrals, ja que la derivada d’unproducte no és igual al producte de les derivades.

• ∫ 1 dx = x + k

• ∫ xn dx = + k, si n ? –1

• ∫ dx = ∫ x –1 dx = ln |x | + k1x

xn + 1

n + 1

5

a) ∫3x5 dx = 3∫x5 dx = 3 + k = + k

b) ∫ dx = ∫x–3 dx = + k = + k = – + k

c) ∫ dx = ∫x–

dx = + k = + k = 3 + k

d) ∫ dx = ∫ dx = ∫x1/2 – 1/3 dx = ∫x1/6 dx =

= + k = + k

e) La integral d’una suma és la suma de les integrals dels sumands:

∫ (3x3 – 5x2 + 3) dx = ∫3x3 dx – ∫5x2 dx + ∫3 dx =

= 3∫x3 dx – 5∫x2 dx + ∫3 dx =

= 3 – 5 + 3x + k = x4 – x3 + 3x + k

f) ∫ (2x + 3x ) dx = · 2x + · 3x + k

g) ∫ (3 cos x – 5 ex ) dx = 3∫ cos x dx – 5∫ ex dx = 3 sin x – 5 ex + k

1ln 3

1ln 2

53

34

x3

3x4

4

6√—2 ·

6√—x7

73√5

x7/6

7/6√23√5

√23√5

√23√5

√2 x1/2

3√5 x1/3

√2x3√5x

3√x

1

x—3

1—3

2

x– — + 1

3

2–— + 1

3

231

3√x2

12x2

x–2

–2x–3 + 1

–3 + 11x3

x6

2x6

6

1. Troba les integrals següents:

a) ∫3x5 dx

b) ∫ dx

c) ∫ dx

d) ∫ dx

e) ∫ (3x3 – 5x2 + 3) dx

f ) ∫ (2x + 3x) dx

g) ∫ (3 cos x – 5 ex) dx

√2x3√5x

13√x2

1x3

EXERCICIS RESOLTS

EXERCICIS PROPOSATS

1. Calcula les integrals següents:

a) ∫ 7x4 dx b) ∫ dx

c) ∫ dx d) ∫ dx

e) ∫ dx f) ∫ dx

2. Calcula:

a) ∫ dx

b) ∫ (5 cos x + 3x ) dx

c) ∫ dx

d) ∫ (10x – 5x ) dx

7x4 – 5x2 + 3x – 4x2

x4 – 5x2 + 3x – 4x

√5x3

3√3x

3√—x + √

—5x3

3x

3√5x2√x

1x2

Integrals trigonomètriques i exponencials

• ∫ sin x dx = –cos x + k • ∫ cos x dx = sin x + k

• ∫ ex dx = ex + k • ∫ax dx = ax + k1ln a

6

La regla de la cadena i el càlcul de primitivesRecordem la derivada d’una funció composta g [ f (x)]:

D (g [ f (x)]) = g' [ f (x)] · f' (x)

Per tant:

L’aplicació d’aquesta regla no sol ser fàcil, perquè poques vegades ésevident la presència de les funcions f i f '. Per exemple:

I = ∫cos (x2 – 5x + 3) · (2x – 5) dx

Si observem que D (x2 – 5x + 3) = 2x – 5, la integral és immediata

aplicant la regla anterior, ja que és ∫cos f (x) · f' (x) dx:

I = ∫cos f (x) · f' (x) dx = sin f (x) + k = sin (x2 – 5x + 3) + k

Un cas particular de la regla anterior especialment important és quan f (x) == ax + b i, per tant, f' (x) = a:

Per exemple: ∫cos (3x + 5) dx = + ksin (3x + 5)

3

∫g' [ f (x)] · f' (x) dx = g [ f (x)] + k

RECORDA

∫g’ [f (x)] · f ’(x) dx = g [f (x)]

RECORDA

∫g’ (ax + b) dx = g (ax + b)

a

Si ∫ f (x) dx = F (x) + k, aleshores ∫ f (ax + b) dx = F (ax + b) + k .1a

Resum de les regles per al càlcul de primitives

SUMA ∫ [ f (x) + g (x)] dx = ∫ f (x) dx + ∫g (x) dx

PRODUCTE PER UN NOMBRE ∫k f (x) dx = k ∫ f (x) dx

POTÈNCIES xn, n ? –1 ∫xn dx = + k ∫ f (x)n f' (x) dx = + k

x–1 = ∫x–1 dx = ∫ dx = ln |x | + k ∫ dx = ln | f (x)| + k

EXPONENCIALS ax ∫ax dx = + k ∫a f (x) · f' (x) dx = + k

ex ∫ex dx = ex + k ∫e f (x) · f' (x) dx = e f (x) + k

TRIGONOMÈTRIQUES sin x ∫ sin x dx = –cos x + k ∫ sin f (x) · f' (x) dx = –cos f (x) + k

cos x ∫cos x dx = sin x + k ∫cos f (x) · f' (x) dx = sin f (x) + k

a f (x)

ln aa x

ln a

f' (x)f (x)

1x

1x

f (x)n + 1

n + 1xn + 1

n + 1

7

a) ∫ (3x – 5)4

dx = · + k = + k

b) Observem que si f (x) = x2 + 3x, aleshores f' (x) = 2x + 3.

Per tant: ∫ (x2 + 3x )4

· (2x + 3) dx = + k

c) Observem que si f (x) = x2 – 5x + 6, llavors f' (x) = 2x – 5.

Per tant: ∫ dx = ln |x2 – 5x + 6| + k

d) Observem que si f (x) = cos x , aleshores f' (x) = – sin x. Per tant:

∫ sin x cos x dx = –∫ (cos x) (–sin x ) dx = – + k = – + k

e) Observem que si f (x) = x2, llavors f' (x) = 2x. Per tant:

∫x ex2

dx = ∫ (2x ) · e(x2) dx = e(x2) + k = ex2

+ k

f ) ∫e –2x + 3 dx = + k = – e –2x + 3 + k

g) ∫cos 3x dx = + k

h) Observem que si f (x) = x2 + , llavors f' (x) = 2x.

Per tant: ∫cos (x2 + ) · (2x) dx = sin (x2 + ) + k

i) Com que tg x = i si f (x) = cos x és f' (x) = –sin x, serà:

∫ tg x dx = ∫ dx = –∫ dx = –∫ dx = – ln | cos x | + kf' (x)f (x)

–sin xcos x

sin xcos x

sin xcos x

π2

π2

π2

sin 3x3

12

e–2x + 3

–2

12

12

12

cos2 x2

(cos x)2

2

2x – 5x2 – 5x + 6

(x2 + 3x )5

5

(3x – 5)5

1513

(3x – 5)5

5

1. Troba les primitives (ointegrals) de les funcionssegüents:

a) g(x) = (3x – 5 )4

b) g(x) = (x2 + 3x)4

· (2x + 3)

c) g(x) =

d) g(x) = sin x cos x

e) g(x) = x ex2

f ) g(x) = e –2x + 3

g) g(x) = cos 3x

h) g(x) = cos (x2 + ) · (2x)

i) g(x) = tg x

π2

2x – 5x2 – 5x + 6

EXERCICIS RESOLTS

EXERCICIS PROPOSATS

3. Troba les primitives d’aquestes funcions:

a) f (x) = (x3 – 5x + 3)2(3x2 – 5)

b) f (x) = (5x + 1)3

c) f (x) =

d) f (x) =

e) f (x) = cos x sin3 x

4. Busca les primitives de:

a) f (x) = x 2x2 ln 2

b) f (x) = x 2x2

c) f (x) = 23x – 5

d) f (x) = sin 3x

e) f (x) = sin (x3 – 4x2) (3x2 – 8x)

f) f (x) = cos xsin x

x2 – 1x3 – 3x

3x2 – 3x3 – 3x

8

a) La figura l’àrea de la qual volem trobar és un trapezi de bases 3 i 1

i d’altura 4. La seva àrea és A = · 4 = 8. Com que tota l’àrea

està per damunt de l’eix X, la integral és positiva. Per tant:

∫6

2(– + 4) = 8

b) La figura és una semicircumferència de radi 3. L’àrea és A = π · 32 =

= 4,5π. Com que està per sota de l’eix X, la integral és negativa.

∫6

0 f = – π = –4,5π = –14,137

c) El triangle petit té un àrea de 0,5 i està damunt de l’eix X. El trianglegran té un àrea de 2 i està per sota de l’eix X. Per tant:

∫4

1(2 – x) = 0,5 – 2 = –1,5

92

1 2

x2

3 + 1 2

1. Troba les integralsrepresentades en les gràfiques:

a)

b)

c)

EXERCICIS RESOLTS

2 ÀREA SOTA UNA CORBA

Importància de conèixer l’àrea sota una corbaHi ha ocasions en què resulta fonamental esbrinar l’àrea sota una corba.Per exemple:

Integral d’una funció

L’àrea entre la gràfica de la funció y = f (x) i l’eix X, en l’interval[a, b] es designa:

∫b

a f o ∫

b

af(x) dx Es llegeix integral entre a i b de f .

Si la corba està per damunt de l’eix X ( f (x) > 0) la integral és posi-tiva, i si està per sota de l’eix X ( f (x) < 0) la integral és negativa.

L’area sota la gràficade la funció v = f (t)(velocitat en funció deltemps) entre els ins-tants t1 i t2 és l’espairecorregut pel mòbilen aquest interval detemps.

L’àrea sota la corba

Potència = f (t)

és l’energia consumida.

L’àrea entre les corbesque ens donen l’índex denatalitat i l’índex de mor-talitat d’una determinadapoblació és l’augment depoblació en l’interval detemps que estem consi-derant.

t1 TEMPS

VELOCITAT

t2 TEMPS

POTÈNCIA

TEMPS

Índex de natalitat

Índex de mortalitat

Espairecorregut Energia

consumida

Augment dela població

y = f (x)

a b

∫b

a f

20 6

y = f(x) = – x + 4 21

∫6

2 f

0 6

y = f(x)∫6

0 f

y = f(x) = 2 – x

10

4

∫4

1 f

1. En el teu CD pots trobar exemplesper interpretar l’àrea sota una corba.

9

Funció «àrea sota una corba»Si mantenim variable l’extrem superior del recinte l’àrea del qual estemdescrivint, aleshores l’àrea també és variable: és una funció que depènde la posició que ocupi l’esmentat extrem superior.

Vegem-ne alguns exemples:

• Si la funció és f (x) = 1, constant, F (x) = ∫x

0f és l’àrea acu-

mulada sota la recta y = 1, des de 0 fins a x. Per exemple, per a x = 2 s’ha acumulat un àrea de 2 unitats. És fàcil veure que:

F (x) = ∫x

0f = x

• Si la funció és f (x) = 2, l’àrea acumulada sota aquesta funció aug-menta amb el doble de rapidesa que la de l’exemple anterior. Així,per a x = 2 s’ha acumulat un àrea de 4 unitats.

En general:

F (x) = ∫x

0f = 2x

• Si f (x) és decreixent, l’àrea acumulada a sota augmenta cada vegadamés a poc a poc.

F (x) = ∫x

af creix cada vegada més a poc a poc

• Si f (x) és creixent, l’àrea acumulada a sota augmenta cada vegadamés de pressa.

F (x) = ∫x

af creix cada vegada més de pressa

En general, la rapidesa de creixement d’una funció y = F (x) = ∫x

af

ve donada pel valor de f (x). És a dir, f (x) té a veure amb la derivadade F (x). Aquest resultat, importantíssim, s’explicita en l’apartat se-güent.

La integral d’una funció f en un interval [a, x] l’extrem superiordel qual és variable, és una funció que depèn de x:

F (x) = ∫x

af

y = f(x)

a x

∫x

a f

F(x) = ∫x

0 f = x

y = f (x) = 1

Y

X

Y

X

F (x) = ∫x

0f = 2x

y = f (x) = 2

y = F (x)

y = f (x)

ba

y = F (x)

y = f (x)

ba

F (x) = ∫x

af és una funció que depèn de

la posició de x.

10

3 TEOREMA F0NAMENTAL DEL CÀLCUL

Els resultats insinuats en l’apartat anterior es concreten en aquest apartatper mitjà d’un important teorema que relaciona el càlcul de primitivesamb el càlcul d’àrees.

Aplicant aquest teorema, podríem obtenir raonadament àrees sota corbesy = f (x), sempre que sabéssim obtenir una primitiva de f (x). No obstantaixò, el pròxim resultat ens simplifica encara més la feina.

Regla pràctica per al càlcul d’integrals

Demostració:

F (x) = ∫x

af és una primitiva de f (x), ja que pel teorema fonamental

del càlcul sabem que F' (x) = f (x). G (x) és una altra primitiva de f (x).

Per tant, F (x) = G (x) + k, és a dir, F (x) = ∫x

af = G (x) + k.

Com que F (a) = 0, F (a) = G (a) + k = 0 ò k = – G (a)

Per tant, F (x) = G (x) – G (a). Per a x = b obtenim F (b) = G (b) – G (a).

En definitiva: ∫b

af = G (b) – G (a)

Un exemple: Calculem ∫3

2(x2 – 2x + 2) dx:

1 Trobem una primitiva de f (x) = x2 – 2x + 2;

G (x) = ∫ (x2 – 2x + 2) dx = – x2 + 2x

2 Calculem G (b) i G (a): G (3) = 6, G (2) =

3 ∫3

2(x2 – 2x + 2) dx = G (3) – G (2) = 6 – =

103

83

83

x3

3

Regla de Barrow

Per trobar la integral ∫b

af , es procedeix de la manera següent:

1. Es troba una primitiva de la funció f (x): G (x) = ∫ f (x) dx

2. Es calculen els valors de G (b) i G (a).

3. La integral buscada és: ∫b

af = G (b) – G (a)

Teorema fonamental del càlcul

Si y = f (x) és una funció contínua, l’àrea sota la seva gràfica en un in-

terval variable [a, x] és una funció, F (x) = ∫x

af la derivada de la qual

és f (x): F (x) = ∫x

af ò F' (x) = f (x)

TINGUES EN COMPTE

F (a) = ∫a

af és zero, evidentment, ja que

es tracta de l’àrea acumulada en uninterval sense longitud.

F (x) = ∫x

a f y = F(x)

a

F' (x)= f (x)

y = f (x)

y = x2 – 2x + 2

–1 1 2 3

11

a) • Es troba una primitiva: G (x) = ∫ sin x dx = – cos x

• Es calculen G (b) i G (a):

G (π) = – cos π = –(–1) = 1; G (0) = – cos 0 = –1

• ∫π

0sin x dx = G (π) – G (0) = 1 – (–1) = 2

b) • Ja hem obtingut en l’exercici anterior G (x) = – cos x.

• G (2π) = – cos 2π = –1; G (π) = 1

• ∫2π

πsin x dx = G (2π) – G (π) = –1 – 1 = –2

Vegem la interpretació geo-mètrica d’aquest exercici i del’anterior:

L’àrea de cada bucle de la funció sinus és 2. Quan el bucle queda sobre

l’eix X, la integral és positiva (∫π

0sin x dx = 2).

I quan queda sota l’eix X, la integral és negativa (∫2π

πsin x dx = –2).

c) • G (x) = ∫ (x3 – 4x2 + 3x ) dx = – +

• G (4) = – + = ; G (0) = 0

• ∫4

0(x3 – 4x2 + 3x ) dx = – 0 =

Vegem la interpretació geomètrica:

La corba y = x3 – 4x2 + 3x determina tres re-cintes entre l’eix X i les abscisses x = 0 i x = 4.

ÀREA de I – ÀREA de II + ÀREA de III =

Amb aquest resultat ens quedem, per tant,sense conèixer el valor de cada una d’aques-tes tres àrees.

83

83

83

83

3 · 42

24 · 43

344

4

3x2

24x3

3x4

4

1. Calcula les integrals següents:

a) ∫π

0sin x dx

b) ∫2π

πsin x dx

c) ∫4

0(x3 – 4x2 + 3x ) dx

EXERCICIS RESOLTS

EXERCICIS PROPOSATS

5. Troba i interpreta aquestes integrals:

a) ∫4π

0sin x dx b) ∫

2

–2(x2 – 4) dx

6. Troba la integral següent i interpreta-la geomè-

tricament: ∫2

0ex dx

0 1

2

3 4I

II

III

0

y = sin x

π 2π

2

–2

12

I. Comencem esbrinant els punts de tall de lacorba amb l’eix X:

x2 – 1 = 0 8 x2 = 1 8 x1 = –1, x2 = 1

II. Els dos punts de tall estan dins de l’interval.Per tant, hi haurà tres recintes:

[–2, –1], [–1, 1] i [1, 3]

III. Obtenim una primitiva de la funció:

G (x) = ∫ (x2 – 1) dx = – x

IV. Trobem el valor de la primitiva en els extrems de tots els intervals:

G (–2) = – G (–1) = G (1) = – G (3) = 6

V. Calculem l’àrea de cada recinte:

∫–1

–2(x2 – 1) dx = G (–1) – G (–2) = – (– ) = 8 ÀREA [–2, –1] =

∫1

–1(x2 – 1) dx = G (1) – G (–1) = – – = – 8 ÀREA [–1, 1] =

∫3

1(x2 – 1) dx = G (3) – G (1) = 6 – (– ) = 8 ÀREA [1, 3] =

VI. ÀREA TOTAL: + + = u2283

203

43

43

203

203

23

43

43

23

23

43

43

23

23

23

23

23

x3

3

1. Troba l’àrea tancada entre lacorba y = x2 – 1, l’eix X i lesrectes x = –2 i x = 3.

EXERCICIS RESOLTS

4 CÀLCUL DE L’ÀREA ENTRE UNA CORBA I L’EIX X

Per calcular l’àrea compresa entre la corba y = f (x), l’eix X i les

abscisses x = a i x = b, es procedeix així:

I. Es resol l’equació f (x) = 0 per esbrinar els punts de tall de la corbaamb l’eix X.

II. Se seleccionen les arrels compreses entre a i b. Suposem quesón x1, x2, x3.

III. Es troba una primitiva de f (x): G (x) = ∫ f (x) dx.

IV. Es calcula G (a), G (x1), G (x2), G (x3), G (b).

V. Les àrees dels recintes són els valors absoluts de les diferències:

G (x1) – G (a), G (x2) – G (x1), G (x3) – G (x2), G (b) – G (x3)

VI. L’àrea demanada és la suma de les àrees dels recintes.

x1 x2 x3 ba

G (x1) – G (a)G (x3) – G (x2)

G (x2) – G (x1)G (b) – G (x3)

x1 x2 x3 ba

Ä8 Ä

8

Ä8

Ä8

3

1–1

–2

13

EXERCICIS PROPOSATS

7. Troba l’àrea compresa entre la funció y = (x2 – 1)(x2 – 4), l’eix X i les rectes x = 0, x = 5.

8. Troba l’àrea compresa entre:

y = x3 – x2 – 2x i l’eix X

I. Punts de tall amb l’eix X:

x1 = 0x3 – 4x2 + 3x = 0

x2 – 4x + 3 = 0 8 x2 = 1, x3 = 3

II. Les tres arrels són vàlides. La primera coincideix amb l’extrem inferiorde l’interval. Hi ha, per tant, tres recintes:

[0, 1], [1, 3] i [3, 4]

III. G (x) = ∫ (x3 – 4x2 + 3x ) dx = – +

IV. G (0) = 0, G (1) = , G (3) = – , G (4) =

V. Trobem l’àrea de cada recinte:

ÀREA I = |G (1) – G (0)| = – 0 =

ÀREA II = |G (3) – G (1)| = – – = – =

ÀREA III = |G (4) – G (3)| = – (– ) =

VI. ÀREA TOTAL = ÀREA I + ÀREA II + ÀREA III = + + = = 8

L’àrea tancada en els tres recintes és, en total, de 8 u2.

9612

5912

3212

512

5912|9

483|

3212|32

12||512

94|

512|5

12|

83

94

512

3x2

24x3

3x4

4

I. Punts de tall de la corba amb l’eix X:

x3 – 4x = 0 8 x1 = –2, x2 = 0, x3 = 2

II. Només ens serveix l’arrel 2.

Hi ha dos recintes: I [1, 2]; II [2, 4]

III. G (x) = ∫ (x3 – 4x ) dx = – = – 2x2

IV. G (1) = – , G (2) = – 4, G (4) = 32

V. ÀREA DEL RECINTE I = |G (2) – G (1)| = –4 – (– ) = 2,25

ÀREA DEL RECINTE II = |G (4) – G (2)| = |32 – (–4)| = 36

VI. ÀREA TOTAL = 2,25 + 36 = 38,25 u2

|74|

74

x4

44x2

2x4

4

0–1–2 1 2 3 4[ ]

2. Troba l’àrea tancada entre lacorba y = x3 – 4x2 + 3x, l’eixX i les rectes x = 0, x = 4.

(En l’exercici resolt 1.c de lapàgina 11 es va calcular la integral entre 0 i 4 de lamateixa funció. Aquí es veuràla diferencia que hi ha entreuna integral i l’àreadelimitada per una corba).

3. Troba l’àrea compresa entre la corba y = x3 – 4x, l’eix X i les rectes x = 1 i x = 4.

0 1

2

3 4I

II

III

14

EXERCICIS PROPOSATS

9. Troba l’àrea tancada entre les gràfiques de lesfuncions següents:

f (x) = x3 – x2 + 4g (x) = x2 + 3x + 4

• La funció diferència és:

y = (x2 + x – 2) – 2x = x2 – x – 2

Trobem l’àrea entre la funció

y = x2 – x – 2 i l’eix X.

• Punts de tall amb l’eix X:

x2 – x – 2 = 0 8 x = –1, x = 2. Interval [–1, 2]

• Primitiva de la funció: G (x) = ∫ (x2 – x – 2) dx = – – 2x

• G (–1) = , G (2) = –

• ∫2

–1(x2 – x – 2) dx = G (2) – G (–1) = – – = – 8 ÀREA = u29

292

76

103

103

76

x2

2x3

3

• f (x) – g (x) = (x3 – x)

• x3 – x = 0 8 x1 = –1, x2 = 0, x3 = 1

• G (x) = ∫ (x3 – x) dx = –

• G (–1) = – , G (0) = 0, G (1) = –

• RECINTE I: ÀREA [–1, 0] = |G (0) – G (–1) | = 0 – (– ) =

• RECINTE II: ÀREA [0, 1] = |G (1) – G (0) | = – – 0 =

• ÀREA TOTAL = + = u212

14

14

14|1

4|

14|1

4|

14

14

x2

2x4

4

1. Troba l’àrea tancada entre lesgràfiques de les funcionssegüents:

y = x2 + x – 2

y = 2x

2. Troba l’àrea tancada entre les gràfiques de les funcionssegüents:

f (x) = x3 + 1

g (x) = x + 1

EXERCICIS RESOLTS

5 CÀLCUL DE L’ÀREA COMPRESA ENTRE DUES CORBES

Amb el que sabem fins ara, aquest problema és de fàcil solució gràcies ala propietat següent:

L’àrea tancada entre les gràfiques de dues funcions, y = f (x), y = g (x), és igual a l’àrea tancada entre la funció diferència y = ( f – g) (x) i l’eix X.

y = f(x)

y = g(x)x1 x2 x3

y = (f – g)(x)

x1 x2 x3

I I II

II

y = x2 – x – 2 y = x2 + x – 2 y = 2x

y = x3 +

1 y = x + 1

– 1 0 1

y = x3 – x

– 1 0 1

I

I

II

II

En el teu CD s’explica la manera detreballar:amb DERIVE (2),amb CALCULADORA GRÀFICA (3)i amb el software WIRIS (4) alguns aspectes d’aquesta unitat.

15

EXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS

Càlcul de primitives

Troba una primitiva de cadauna de les funcions següents:

a) f (x) =

b) f (x) = sin (3x + π)

c) f (x) = ( + 1)2

d) f (x) =

e) f (x) = x

f) f (x) = (2x2 + 3)2

g) f (x) = e4x – 3

h) f (x) = +x√ 3

13√2x

√x2 + 1

13√5x – 2

√3x

3√–x + x

√x

a) Descomponem la fracció en suma d’unes altres dues i expressem ca-da sumand com a potència:

+ = + = x + x = x + x

∫ (x + x ) dx = + + k = + + k

b) ∫ sin (3x + π) dx = – ∫–3sin (3x + π) dx = – cos (3x + π) + k

ja que D [cos (3x + π)] = –3sin (3x + π)

c) Efectuem el quadrat:

∫ (3x + 2 + 1) dx = ∫ (3x + 2 x + 1) dx =

= + 2 + x + k = + + x + k

d) Expressem com a potència:

∫ (5x – 2) dx = ∫5 (5x – 2) dx = + k =

= + k

e) ∫x (x2 + 1) dx = ∫2x (x2 + 1) dx = + k =

= + k

f) Desenvolupem el quadrat:

∫ (4x4 + 12x2 + 9) dx = + + 9x + k = + 4x3 + 9x + k

g) ∫e4x – 3 dx = ∫4 e4x – 3 dx = e4x – 3 + k

h) ∫ + dx = ∫ x + x dx =

= + + k = + + k3√x32

3√3

3√x23

23√2

x3/2

3/21

√3

x2/3

2/31

3√2

)1

√3

13√2()x√ 3

13√2x(

14

14

4x5

512x3

34x5

5

√(x2 + 1)313

(x2 + 1)12

12

3√(5x – 2)2310

(5x – 2)15

15

√x34√33

3x2

2x√3

3x2

2

√3√3x

13

13

√x323

6√x565

xx 000000

x

x

x

x

x

√x

3√x

√x

1

13 – 1

213 1 – 1

212

12

– 16

– 16

12

12

– + 116

– +116

+ 112

+112

12

32

32

– 13 – 1

3

23

23

32

321

212

– 13

12

16

EXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS

Càlcul de primitives

Calcula les vuit primitives se-güents:

a) ∫ dx

b) ∫ dx

c) ∫ dx

d) ∫ dx

e) ∫ dx

f) ∫ (x2 – 1)3 dx

g) ∫cos 4x sin2 4x dx

h) ∫x2 ex3 – 1 dx

x3

ln xx

2x2 – 3x + 52x + 1

3x2 – 2x + 1x2

x + 1x2 + 2x + 3

23x – 1

a) 2 ∫ dx = ∫ dx = ln |3x – 1| + k

Hem multiplicat el numerador per 3 per obtenir la derivada del deno-minador.

b) Observem que multiplicant el numerador per 2, obtenim la derivadadel denominador:

∫ dx = ln (x2 + 2x + 3) + k

c) Descomponem en sumes i restes:

∫ dx = ∫ (3 – + ) dx = 3x – 2 ln |x | – + k

d) Dividim per expressar la fracció de la manera següent:

= quocient + 8 = x – 2 +

∫ dx = ∫(x – 2 + ) dx = – 2x + ln |2x + 1 | + k

e) Observem que el logaritme està multiplicat per la seva derivada. Ésde la forma f' (x) · f (x):

∫ ln x dx = + k

f) ∫ (x2 – 1)3 dx = · ∫2x (x2 – 1)3 dx = + k =

= (x2 – 1)4 + k

g) És necessari multiplicar per 4 per completar la derivada de sin 4x:

∫4 cos 4x sin2 4x dx = + k

h) La derivada de l’exponent és 3x2. Multipliquem per 3:

∫x2 ex 3 – 1 dx = ∫3x2 ex 3 – 1 dx = ex 3 – 1 + k13

13

sin3 4x3

14

14

124

(x2 – 1)4

416

12

13

x3

(ln x)2

21x

72

x2

27

2x + 12x2 – 3x + 5

2x + 1

72x + 1

2x2 – 3x + 52x + 1

residudivisor

Dividenddivisor

1x

1x2

2x

3x2 – 2x + 1x2

12

2x + 2x2 + 2x + 3

12

23

33x – 1

23

13x – 1

2

f'14243 14243

f 2

f'123{

f

17

Càlcul d’àrees

Calcula l’àrea limitada per lafunció y = x3, l’eix X i les rec-tes x = – 1 i x = 2.

n Punts de tall de la funció i l’eix X: x3 = 0 8 x = 0

El punt de tall està dins de l’interval [–1, 2]; per tant, hi haurà dos re-cintes: [–1, 0] i [0, 2].

n Trobem una primitiva de la funció: G (x) = ∫x3 dx =

n Calculem el valor de la primitiva en els extrems dels intervals:

G (–1) = ; G (0) = 0; G (2) = 4

n Obtenim les àrees de cada recinte:

∫0

–1x3 dx = G (0) – G (–1) = 0 – = – 8 Àrea [–1, 0] = u2

∫2

0x3 dx = G (2) – G (0) = 4 – 0 = 4 8 Àrea [0, 2] = 4 u2

Àrea total = + 4 = u2174

14

14

14

14

14

x4

4

3

Àrea limitada per y = f (x) i els eixos de coordenades

Considera la funció:

f(x) =

Representa el recinte limitatpels eixos de coordenades i lagràfica de la funció i troba’nl’àrea.

x2 – 1 si x Ì 0

(x – 1)2 si x > 0

°¢£

La paràbola y = x2 – 1 talla els eixos en (–1,0) i (0, –1); i la parábola y = (x – 1)2, en (1, 0) i (0, 1).

El punt (0, 1) no pertany a la funció.

El recinte és la zona acolorida.

Àrea de R1 = ∫0

–1(x2 – 1) dx = – x

0

–1

= u2

Àrea de R2 = ∫1

0(x – 1)2 dx =

1

0

= u2

Àrea total = + = 1 u213

23

13](x – 1)3

3[

23|]x3

3[|||

4

Àrea entre corbes

Representa la superfície tan-cada entre la paràbola f(x) = –x2 + 2x + 4 i la rectag(x) = 2x, i calcula’n l’àrea.

n f (x) és una paràbola de vèrtex (1, 5).

Talls amb l’eix OX :

–x2 + 2x + 4 = 0 8 x =

n Talls de f (x) i g (x):

–x2 + 2x + 4 = 2x 8 x = ±2

n Àrea = ∫2

–2(–x2 + 2x + 4 – 2x) dx = – + 4x

2

–2

= u2323]x3

3[

(2, 4)

(–2, –4)

x = –1,2

x = 3,2

–2 ± √20–2

5

1 2

1

–1

–2 –1

2

R2

R1

1 2

2

3–2

4

–4

–1

–2

18

EXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS

Càlcul d’àrees

Troba l’àrea del recinte limitatper les corbes:

y = i y = x2

Representa el recinte.

15

√5x

n Calculem els punts d’intersecció d’ambdues corbes:

y = = x2 8 5x = x4 8

x = 0y = x2 8 125x – x4 = 0 8 x (125 – x3) = 0

x = 5

n Funció diferència: y = – x2

n Primitiva de la funció diferència:

G (x) = ∫ ( – x2) dx = –

n Trobem el valor de G en x = 0 i en x = 5:

G (0) = 0; G (5) = – =

n Calculem l’àrea:

∫5

0( – x2) dx = G (5) – G (0) =

Àrea = u2

n L’àrea que hem trobat és la representadaen la figura de la dreta.

253

253

15

√5x

253

12515

2 · 253

x3

152√5x3

315

√5x

15

√5x

15

125

15

√5x√5x

6

Càlcul d’àrees

Calcula l’àrea del recinte limi-tat per les gràfiques de les fun-cions:

y = x4 – 4x3

y = x2 – 4x3

x = 0

n Punts d’intersecció: x4 – 4x3 = x2 – 4x3 8 x4 – x2 = 0 x = –1

x = 1

n Primitiva de la funció diferència: G (x) = ∫ (x4 – x2) dx = –

n Valors de G en els punts de tall:

G (0) = 0; G (–1) = – + = ; G (1) = – = –

n Calculem l’àrea:

∫0

–1(x4 – x2) dx = G(0) – G(–1) = – 8 Àrea [–1, 0] = u2

∫1

0(x4 – x2) dx = G(1) – G(0) = – 8 Àrea [0, 1] = u2

Àrea demanada = + = u2415

215

215

215

215

215

215

215

13

15

215

13

15

x3

3x5

5

7

°§§¢§§£

°§§¢§§£

5

5

5x

y =

y = x2 51

19

Càlcul d’àrees

Calcula l’àrea del recinte limi-tat per les corbes

y = , y = , l’eix X

i la recta x = 8.

√x8x

8

n Representem les funcions per determinar el recinte del qual hem decalcular l’àrea:

n Trobem l’abscissa del punt d’intersecció de les corbes y = i

y = :

y =

y =

n Dividim el recinte en dues parts per poder-ne calcular les àrees apli-cant la regla de Barrow:

A1: serà el recinte limitat per la corba y = i l’eix X entre lesabscisses x = 0 i x = 4.

A2: serà el recinte limitat per la corba y = i l’eix X entre lesabscisses x = 4 i x = 8.

n Calculem l’àrea de A1:

∫4

0dx = [ ] 4

0= =

Àrea A1 = u2

n Calculem l’àrea de A2:

∫8

4dx = [8 ln |x |] 8

4= 8 ln 8 – 8 ln 4 = 8 ln = 8 ln 2

Àrea A2 = 8 ln 2 u2

n L’àrea que es demana serà la suma de les àrees calculades:

Àrea demanada = ( + 8 ln 2) u2163

84

8x

163

163

2√–43

32√–x 3

3√x

8x

√x

√x

8x

√x

8x

1

2

3

4

5

4 8

xy =

x = 8

y = x8

A1 A2

°§§¢§§£

= 8 = x 8 x3 = 64 8 x = 464x2

√x8x

20

EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS

Càlcul de primitives

10 Troba una primitiva de les funcions següents:

a) f (x) = x + 1 b) f (x) = 2x –

c) f (x) = + x2 d) f (x) = –8x3 + 3x2

e) f (x) = + f) f (x) = +

g) f (x) = + h) f (x) =

11 Integra la funció de cada apartat:

a) b) c) d)

e) f) g) h)

12 Resol:

a) ∫ sin 3x dx b) ∫cos x + dx

c) ∫ dx d) ∫ 1 – sin dx

e) ∫ sin – x dx f) ∫cos x dx

13 Calcula:

a) ∫ex + 3 dx b) ∫e2x – 1 dx

c) ∫2x – 7 dx d) ∫3 dx

14 Calcula:

a) ∫ (x – 3)3 dx b) ∫ (2x + 1)5 dx

c) ∫ dx d) ∫ dx

e) ∫ dx f) ∫ dx

g) ∫ dx h) ∫ dx

15 Calcula:

a) ∫x dx b) ∫ dx

c) ∫ dx d) ∫x e x2

dx

e) ∫ dx f) ∫ sin2 x cos x dx

g) ∫ dx h) ∫x sin x2 dx

16 Calcula:

a) ∫3e 5x dx b) ∫x2 · 2 –x3 + 5 dx

c) ∫ e dx d) ∫ dx

e) ∫ dx f) ∫ dx

17 Resol les integrals següents:

a) ∫ dx b) ∫ dx

c) ∫ dx d) ∫ dx

* Divideix i transforma la fracció així:

= quocient +

18 Calcula:

a) ∫ sin dx b) ∫ sin x cos x dx

c) ∫ dx d) ∫ dx

e) ∫ (2x2 + 1)2 dx f) ∫ dx

g) ∫ dx h) ∫ dx

i) ∫ ln x dx j) ∫ cos e –x dx1ex

2x

ex

1 + ex3x2 + 2x – 1

x – 2

x

√3x2 – 2

1x2 + 2x + 1

√x √—x

1x

1x2

residudivisor

Dividenddivisor

x2 + 3x – 1x2 – 1

2x2 – 3x + 12x – 1

x2 + 5x – 7x + 3

x2 – 3x + 4x – 1

3x – 2

√3x – 2

√x + 5x + 5

x – 3

√x2 – 6x + 2√x1

√x

x3

x4 – 4

5x3x2 + 2

2x + 1x2 + x – 3

x2

√x3 – 3√5x2 + 1

x3x2 – 4

2xx2 + 2

32x – 1

3 x + 3√ 2

√3x – 51

√x + 2

x2

π2)π

2()x

2(cos xsin x

)π2(

3 – 2xx

x – 2x2

2x + 1

3x

x3 – 2x2

x + x2

√x

3√5x2√3x

x2

3√x

x3

1

√x

35x4√x

1x3

1x2

x2

√3

PER PRACTICAR

21

Integral definida

19 Resol les integrals següents:

a) ∫5

2(–3x2) dx b) ∫

6

4(2x – 1) dx

c) ∫2

–2(x3 + x) dx d) ∫

4

1dx

e) ∫e

1dx f ) ∫

3

–1ex – 2 dx

g) ∫π

0(sin x – cos x) dx h) ∫

π

–πsin 2x dx

20 Troba les integrals de les funcions següents enels intervals que s’indiquen:

a) f (x) = 3x2 – 6x en [0, 2]

b) f (x) = 2 cos x en [0, π/2]

c) f (x) = (x + 1) (x2 – 2) en [–1, 2]

d) f (x) = sin en [0, π]

Càlcul d’àrees

21 Troba, en cada cas, l’àrea limitada per:

a) f (x) = x2 – 4, l’eix X i les rectes x = 0 i x = 2.

b) f (x) = 2x – x2, l’eix X i les rectes x = –1 ix = 1.

c) f (x) = x2 – 2x – 3 i l’eix X.

d) f (x) = 1 – x2, l’eix X i les rectes x = –2 i x = 2.

e) f (x) = ex, l’eix X i les rectes x = –1 ix = 3.

f) f (x) = x2 + 1, l’eix X i les rectes x = –1 ix = 3.

22 Calcula l’àrea compresa entre les corbes:

a) y = x2; y = x

b) y = x2; y = 1

c) y = x2; y = x3

d) y = x2; y = –x2 + 2x

e) y = 2x2 + 5x – 3; y = 3x + 1

f ) y = 4 – x2; y = 8 – 2x2; x = –2; x = 2

23 Calcula l’àrea dels recintes limitats per:

a) La funció f (x) = x2 – 2x + 1 i els eixos decoordenades.

b) La corba y = x3, la recta x = 2 i l’eix X.

c) La funció y = sin x, l’eix d’abscisses i les

rectes x = i x = – .

d) La funció y = cos x i l’eix OX entre x = 0 i x = π.

24 Calcula l’àrea compresa entre les corbes:

a) y = x2 i y = 3 – 2x

b) y = 4 – x2 i y = 3x2

c) y = x i y = x2 – 2

d) y = 4 – x2 i y = x2 – 4

e) y = (x + 2)2 (x – 3) i l’eix d’abscisses.

25 Troba l’àrea compresa entre la corba y = – x2 + 4x + 5 i la recta y = 5.

26 Calcula l’àrea limitada per les corbes següents:

a) y = x3 + x2; y = x3 + 1; x = –1; x = 1

b) y = x2; y = 1 – x2; y = 2

c) y = x (x – 1) (x – 2); y = 0

d) y = x2 – 2x ; y = x

e) y = x3 – 2x ; y = –x2

f ) y = 2x – x3; y = x2

27 Un dipòsit es buida de manera variable segons lafunció v (t) = 5 – 0,1t (t en min, v en l/min).Calcula quant s’ha buidat el dipòsit entre els mi-nuts 100 i 200.

28 Una fàbrica aboca diàriament material contami-nant a una bassa d’acord amb un ritme donatper la funció següent: m = 0,01t3 – 0,2t2 + t + 1essent m la quantitat de material en kg i tl’hora del dia. Quant material aboca cada dia?

29 Calcula l’àrea limitada per la gràfica de y = x + x2, la tangent a aquesta corba en x = 2 i l’eix d’abscisses.

π4

π4

PER RESOLDRE

x4

1x

√3x

22

EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS

30 Si y = x3 – 2x2 + x , troba l’equació de la sevatangent en l’origen i calcula l’àrea de la regiótancada entre la corba i la tangent.

31 Troba l’àrea de la figura sabent que el costat corbcorrespon a la funció y = x2 + 1.

32 Donada la funció f (x) = 4 – x2, escriu lesequacions de les tangents a f en els punts detall amb l’eix d’abscisses. Troba l’àrea compresaentre les rectes tangents i la corba.

33 Si f (x) = x + 1, troba:

a) ∫x

0 f b) ∫

x

1 f c) ∫

x

–1 f d) ∫

3

1 f

34 a) Troba l’àrea limitada per y = |2x – 4|, l’eixX i les rectes x = 0 i x = 5.

b) Calcula ∫3

–2 |2x – 4|.

35 Calcula: a) ∫2

0 f (x) dx b) ∫

3

–1g (x) dx, essent:

f (x) =

g (x) =

36 Donada la funció f (x), troba l’àrea limitada perf (x), l’eix OX i les rectes x = 0 i x = 3:

f (x) =

37 Troba una funció f de la qual sabem quef ' (x) = 3x2 – 2x + 5 i que f (1) = 0.

38 Troba la funció primitiva de la funcióy = 3x2 – x3 que passa pel punt (2, 4).

39 Troba la funció que pren el valor 2 en x = 1 ila derivada de la qual és f ' (x) = 3x2 + 6.

40 Troba la primitiva de f (x) = 1 – x – x2 que ta-lli l’eix d’abscisses en x = 3.

41 Si F (x) i G (x) són dues primitives de f , ¿esverifica necessàriament que F (x) = k + G (x)?Justifica la resposta.

42 a) Calcula l’àrea sotala gràfica de ladreta en els inter-vals [0, 2] i [2, 6].

b) Si aquesta gràfica representa la velocitat (m/s)d’un mòbil en funció del temps, què represen-ta cada una de les àrees anteriors?

43 a) Representa la funció f (x) = 2x i troba l’àrealimitada per f en els intervals [0, 1 ], [0, 2 ],[0; 2,5 ] i [0, 3 ].

b) Fes una taula de valors de la funció:

F (x) = ∫x

0f i representa-la.

c) Quina d’aquestes equacions correspon a l’ex-pressió analítica de F (x)?:

I) y = II) y = 2x2

III) y = x2 IV) y = x2 + 1

d) Comprova que la derivada de la funció àreacoincideix amb la funció que limita aquestaárea.

44 Quina de les expres-sions ens dóna l’àrealimitada per la gràficade f i l’eix d’abscis-ses?

a) ∫c

af b) |∫ c

af |

c) ∫b

af + ∫

c

bf d) –∫

b

af + ∫

c

bf

45 Essent F (x) = ∫x

1f = 3x2 – 5x , troba la funció f .

Calcula F (0) i F (2).

46 Calcula l’àrea sota la corba f (x) = x2 – 1 en l’in-terval variable [1, x ]. Troba l’àrea per a x = 4.

f

a b c

x2

2

2

2

4

6

4 6 8 10

QÜESTIONS TEÒRIQUES

1 –1— si x < —x 2

–1–x2 + 3x si — Ì x Ì 3

2|x + 3 | si x > 3

°§§§¢§§§£

2x si –1 Ì x Ì 1

x2 + 1 si 1 < x Ì 3

°¢£

x2 si 0 Ì x Ì 1

2 – x si 1 < x Ì 2

°¢£

1

2

1–1 2

23

47 Demostra, utilitzant inte-grals, que l’àrea del rectan-gle és A = b · a.

* Troba l’equació de la recta r i calcula l’àrea limi-tada per r i l’eix OX entre x = 0 i x = b.

48 Sabent que aquesta gràfica correspon a f (x) = x2,justifica quina de les funcions següents és

F (x) = ∫x

1f :

a) F (x) = x3 – 1

b) F (x) =

c) F (x) = –

49 a) Donada la funció f (x) = x + 1, obtén F(x) = ∫x

3f.

b) Troba, després, ∫5

3f .

50 Donada la funció f (x) = a ex/3 + (x ? 0):

a) Calcula ∫1

2

f (x) dx en funció de a.

b) Se sap que F és una primitiva de f. Calculaa si F (1) = 0 i F (2) = 1/2.

51 Expressa per una integral l’àrea del triangle devèrtexs (0, 3), (7, 3) i (7, 10). Explica el significatde la integral escrita.

52 Troba l’àrea del triangle mixtilini de vèrtexsA(2, 4), B(–2, 4) i C(–1, 1), en el qual les líniesAB i AC són rectes, mentre que la que uneixels punts B i C és la d’equació y = x2.

53 La corba y = a [1 – (x – 2)2], amb a > 0, limitaamb l’eix d’abscisses un recinte de 12 unitats desuperfície. Calcula el valor de a.

1x2

1 x

f

13

x3

3

x3

3

PER APROFUNDIR

Y

a

Xb

r

1. Resol les integrals següents:

a) ∫ x2 – 2x + dx b) ∫ dx

c) ∫2

dx d) ∫ + dx

e) ∫x dx f) ∫ dx

2. Calcula:

a) ∫3

–1dx b) ∫

2

1/3e3x – 1 dx

3. Calcula l’àrea limitada per f (x) = 4x – x2, l’eixOX i les rectes x = 3 i x = 5.

4. La corba y = , l’eix OX, l’eix OY i la

recta x = 4 limiten una superfície S. Calculal’àrea de S.

5. El consum d’un motor, en una feina de 6 hores, vedonat per l’expressió c(t) = –t2 + 8t + 20, essent tel temps en hores, 0 Ì t Ì 6.

Quant consumeix el motor en les 6 hores quedura la feina?

6. Per tancar una vidriera, s’ha de col·locar un vidrela superfiície del qual està limitada per les fun-cions y = 2 i y = –(x – 2)2 + 6. Dibuixa el vidrei calcula’n l’àrea (x i y en dm).

7. Representa gràficament la regió limitada per lesgràfiques de les funcions següents i calcula’n l’àrea:

f (x) = x2 g (x) = (5x + 20)

h (x) = (–5x + 20)

En el teu CD trobaràs les resolucions de tots aquestsexercicis.

12

12

54

4x + 4

2x + 2

x2 + 3x – 2x – 1

√2x2 + 1

)√2x2x2()3 – 5x

2(

1 – x3

x)12

73(

AUTOAVALUACIÓ