INGENIERIA Y CONTROL DE LA CALIDAD CONTROL ESTADISTICO DEL PROCESO GRAFICAS DE CONTROL PARA...

INGENIERIA Y CONTROL DE LA CALIDAD

CONTROL ESTADISTICO DEL PROCESO

GRAFICAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS

César A. Acosta-Mejía


Atributo: característica de calidad que el bien o servicio posee o no.

Ejemplos:

1. El Color de la carrocería de un automovil

2. El acabado superficial de una lámina

Un producto defectuoso puede tener uno o más defectos

GRAFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOSCLASIFICACION

Gráficos de control para unidades defectuosas

• La gráfica p fracción defectuosa• La gráfica np número de unidades defectuosas

Gráficos de control para defectos

• La gráfica c número de defectos.• La gráfica u número de defectos por unidad.

GRAFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOSCLASIFICACION

Gráficos de control para unidades defectuosas muestras de:

• La gráfica p fracción defectuosa• La gráfica np número de unidades defectuosas (tamaño

constante)

Gráficos de control para defectos

• La gráfica c número de defectos. (tamaño

constante)• La gráfica u número de defectos por unidad.

GRAFICA DE CONTROL p

• Sea xi el número de unidades defectuosas observadas en muestras de tamaño ni .

• Sea pi la fracción defectuosa de la muestra i (de tamaño ni)

pi = Número de defectuosos xi

Número de Artículos ni

• Se grafica los valores de pi y se verifica que

se encuentren entre los límites de control

no se observan patrones sistemáticos

• En caso de haber puntos fuera de control, los límites se recalculan


Si el proceso está estable con fracción defectuosa constante p; y si las observaciones se pueden considerar independientes entonces:

X : # de defectuosos en una muestra de tamaño n Binomial (n,p)

La distribución binomial se aproxima por la distribución normal si np > 5

X Normal ( = np, = np(1-p) )

y los límites de control son: E [X/n] 3 DS [X/n]

p 3 p(1-p)/ n


• Esta gráfica controla si el parámetro p de la distribución binomial permanece constante

• En un solo gráfico se puede controlar una, varias, o todas las características de calidad del producto

GRAFICA DE CONTROL pCálculo de los límites de control

Los Límites de control son: p ± 3

(binomial normal)

Si p no se conoce, se le estima

a partir de m muestras previas, con

p p

n

( )1

p

x

n

m

m

GRAFICA DE CONTROL pCálculo de los límites de control

Los Límites de control son: p ± 3

(binomial normal)

Si p no se conoce, se le estima

a partir de m muestras previas, con

Note que si n varía

los límites de control no seran constantes p ± 3

p p

n

( )1

p

x

n

m

m

in

pp )1(

GRAFICA DE CONTROL plos datos siguen una distribución binomial

Estadístico (x/n)

Límite Superior de Control (LSC)

Línea Central

Límite Inferior de Control (LIC)

muestra

X es una v. a. binomial(n, p)

El proceso está estable o en control (estadístico) si la distribución binomial se mantiene constante en el tiempo

tiempo

La distribucion binomial permanece constante si p no cambia

X/n

GRAFICA DE CONTROL plos datos siguen una distribución binomial

GRAFICA DE CONTROL pSelección del tamaño de muestra n

• La binomial se aproxima por la distribución normal si np > 5

por tanto n > 5 / p



por tanto n > 5 / p

• Si se desea asegurar un LIC entonces p - 3 p(1-p)/ n > 0

por tanto n > 9 (1-p) / p



por tanto n > 5 / p



• Si el proceso tiene fracción p0 y se desea detectar que la fracción ha

cambiado a p1 con un 50% de probabilidad entonces

x/n

LSC p1

p0 p0



por tanto n > 5 / p





LSC = p1

p0 + 3 p0 (1-p0 )/ n = p1 p1

n = 3 p0 (1-p0 ) / (p1 - p0)

n = 9 p0 (1-p0 ) / (p1 - p0)2



por tanto n > 5 / p





LSC p1

p0 + 3 p0 (1-p0 )/ n p1

n 3 p0 (1-p0 ) / (p1 - p0)

n 9 p0 (1-p0 ) / (p1 - p0)2

La compañía ABC fabrica cortadoras de césped. La producción diaria es de aproximadamente 200 cortadoras. Se ha decidido seleccionar cada día 40 cortadoras al azar de la línea de proceso para realizar la prueba de calidad. La prueba consiste en realizar dos ensayos tirando el cordón para ver si el motor arranca. El ingeniero de producción desea realizar un diagrama p para esta prueba crítica de funcionamiento. Los datos de mes de marzo con 22 días laborables se muestran en la tabla anexa.

a) Construya la gráfica p e identifique si el proceso está bajo control

b) Estime la fracción defectuosa del proceso suponiendo que se eliminan las causas especiales de variabilidad

c) Cuántas cortadoras se requieren probar cada día ?

GRAFICA DE CONTROL pEjemplo 1


Día Numero de artículos Fracción defectuosa (x/n)

defectuosos (x)

1 2 2/40 = 0.050

2 3 0.075

3 1 0.025

4 4 0.1

5 3 0.075

6 2 0.05

7 1 0.025

8 1 0.025

9 0 0

10 3 0.075

11 2 0.05

12 4 0.1

13 7 0.175

14 2 0.05

15 3 0.075

16 3 0.075

17 2 0.05

18 8 0.2

19 0 0

20 1 0.025

21 3 0.075

22 2 0.05

TOTAL 57

a) m = 22 número de muestras

n = 40 tamaño de cada muestra

M

jj

M

jj

n

x

p

1

1 06477.0)40(22

57

0LIC

06477.0LC

1816.040

06477.0106477.0306477.0LSC

20100

0.2

0.1

0.0

Sample Number

Prop

ortio

nP Chart

1

P=0.06477

UCL=0.1815

LCL=0

GRAFICA DE CONTROL pStat > Control Charts > P

b) El punto p18 cae fuera de los límites de control y el punto p13 está muy próximo. Al

determinar la causa que produjo su comportamiento se les elimina y se recalculan p y los límites de control (para usarlos durante abril):

Día (i) Numero de artículosno conformantes en el grupo

Fracción noconformante

1 2 2/40 = 0.0502 3 0.0753 1 0.0254 4 0.1005 3 0.0756 2 0.0507 1 0.0258 1 0.0259 0 0.00010 3 0.07511 2 0.05012 4 0.10013 7 0.17514 2 0.05015 3 0.07516 3 0.07517 2 0.05018 8 0.20019 0 020 1 0.02521 3 0.07522 2 0.050

57

b) El punto p18 cae fuera de los límites de control y el punto p13 está muy próximo. Al

determinar la causa que produjo su comportamiento se les elimina y se recalculan p y los límites de control (para usarlos durante abril):

pest = 42 = 0.0525

20(40)

0LIC

0525.0LC

1583.040

0525.010525.030525.0LSC

20100

0.2

0.1

0.0

Sample Number

Prop

ortio

nP Chart con límites revisados

1

1

P=0.0525

UCL=0.1583

LCL=0

GRAFICA DE CONTROL pP Chart > Estimate > Omit… > 13 18

c) Para el próximo mes se utilizarán estos límites revisados para que conforme se

tomen las muestras de cortadoras inmediatamente se verifique si el proceso

permanece en control o no.

Las muestras deberán ser de tamaño n (5 / 0.0525) = 95.24 para que los

límites sean válidos


d) Suponga que la fracción defectuosa real del proceso aumenta a 0.11. Cuál es la probabilidad de que la gráfica lo detecte en la siguiente muestra ?


d) Suponga que la fracción defectuosa real del proceso aumenta a 0.11. Cuál es la probabilidad de que la gráfica lo detecte en la siguiente muestra ?

Sea X BIN (n = 40, p = 0.11)

P [x / n > LSC] = P [x / n > 0.1583]

= P [ x > 40 (0.1583)]

= P [ x > 6.332]

= 1 - 0.8555

= 0.145



ANALISIS DE PATRONESEl proceso es dado como fuera de control si se viola alguna de cuatro reglas:

Test 2 debe decir “ Eight points in a row ”


ANALISIS DE PATRONESEl proceso es dado como fuera de control si se viola alguna de cuatro reglas:

Test 2 debe decir “ Eight points in a row ”

(si el tamaño de las muestras es variable, los límites de control no son constantes y entoncessolo aplica la regla Test 1)

El ingeniero de calidad de una empresa toma muestras de

la producción diaria con el objeto de elaborar una gráfica

p.

La tabla anexa muestra los rechazos encontrados y la

cantidad de piezas revisadas cada día. Si la fracción

defectuosa de cierto día excede los límites de control el

ingeniero debe inspeccionar al 100% el lote producido.

a) Determine los límites de control y contruya la gráfica

b) Determine los límites de control futuros, suponiendo

que se identifican las causas especiales de los puntos fuera

de control.

GRAFICA DE CONTROL pEjemplo 2 – muestra variable

Rechazos Muestra

20 98

18 104

14 97

16 99

13 97

29 102

21 104

14 101

6 55

6 48

7 50

7 53

9 56

5 49

8 56

9 53

9 52

10 51

9 52

10 47

240 1424


a) Límites de control

p = xi = 240 = 0.16854

ni 1424

LSCi = 0.168 + 3(0.168)(1-0.168)/ni

LICi = 0.168 - 3(0.168)(1-0.168)/ni



p = xi = 240 = 0.16854

ni 1424

LSCi = 0.168 + 3(0.168)(1-0.168)/ni

LICi = 0.168 - 3(0.168)(1-0.168)/ni

En este caso los límites de control son variables dependiendo del

tamaño ni de la muestra


20100

0.3

0.2

0.1

0.0

Sample Number

Pro

po

rtio

nP Chart for C1

P=0.1685

UCL=0.3324

LCL=0.004728


b) Límites de control (después de eliminar punto p6)

pest = xi = 240 - 29 = 0.1596

ni 1424 - 102

LSC = 0.1596 + 3(0.1596)(1-0.1596)/ni

LSC = 0.1596 - 3(0.1596)(1-0.1596)/ni

Rechazos Muestra20 9818 10414 9716 9913 9729 10221 10414 1016 556 487 507 539 565 498 569 539 52

10 519 52

10 47

GRÁFICA DE CONTROL np

• Se grafica el número de unidades defectuosas en la muestra

• Es más fácilmente interpretado por el personal al no requerir de cálculos

• Si el tamaño de muestra es constante, las gráficas p y np muestran el mismo comportamiento pero a diferente escala


• La gráfica se basa en la aproximación normal a la binomial

• Si X : # de defectuosos en la muestra de tamaño n es

una Variable Binomial (n,p)

entoncesX ~ Normal ( np,np (1-p) ) aproximadamente si np 5

• Los límites de control son:

E[X] 3 D.S. [X]

np 3 np (1-p)

• Si el tamaño de muestra es variable, entonces los límites de control así como la línea central varían de muestra a muestra


• Si el tamaño de muestra no es constante la gráfica p tiene limites de control variables

LSCi = p + 3p (1-p)/ni

LICi = p - 3p (1-p)/ ni


• Si el tamaño de muestra no es constante la gráfica p tiene limites de control variables

LSCi = p + 3p (1-p)/ni

LICi = p - 3p (1-p)/ ni

• Si el tamaño de muestra no es constante en la gráfica np, los límites de control así como la línea central varían de muestra a muestra

LSCi = ni p 3 ni p (1-p)

LICi = ni p - 3 ni p (1-p)

El ingeniero de calidad de una empresa toma muestras de

la producción diaria con el objeto de elaborar una gráfica

np.

La tabla anexa muestra los rechazos encontrados y la

cantidad de piezas revisadas cada día. Si el número de

rechazos de cierto día excede los límites de control el

ingeniero debe inspeccionar al 100% el lote producido.

a) Determine los límites de control y contruya la gráfica

b) Determine los límites de control futuros, suponiendo

que se identifican las causas especiales de puntos fuera de

control.

GRAFICA DE CONTROL npEjemplo 3 – muestra variable

Rechazos Muestra

20 98

18 104

14 97

16 99

13 97

29 102

21 104

14 101

6 55

6 48

7 50

7 53

9 56

5 49

8 56

9 53

9 52

10 51

9 52

10 47

240 1424

GRAFICA DE CONTROL npEjemplo 3


p = xi = 240 = 0.16854

ni 1424

LSCi = 0.168ni + 3 ni (0.168)(1-0.168)

LCi = 0.168ni

LICi = 0.168ni - 3 ni (0.168)(1-0.168)

GRAFICA DE CONTROL npEjemplo 3

20100

30

20

10

0

Sample Number

Sam

ple

Cou

nt

NP=7.921

UCL=15.62

LCL=0.2222


0 10 20

0.0

0.1

0.2

0.3

Sample Number

Prop

ortio

n

P Chart

P=0.1678

UCL=0.3313

LCL=0.004279


0 10 20

0.0

0.1

0.2

0.3

Sample Number

Prop

ortio

n

P Chart

P=0.1678

UCL=0.3313

LCL=0.004279

20100

30

20

10

0

Sample Number

Sam

ple

Cou

nt

NP=7.921

UCL=15.62

LCL=0.2222

NP Chart

GRAFICAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS Inconvenientes

• Pueden no tener Límite Inferior de Control

• A medida que se mejora el proceso (p disminuye)

se requiere incrementar el tamaño de los subgrupos (n>5/p)

• Tienen desempeño sesgado

(no son muy sensibles para detectar mejoras en p )

• La práctica de identificar patrones sistemáticos ó no aleatorios debe modificarse ya que la distribución binomial es muy sesgada si p es pequeño


• Se utilizan con muestras grandes (a veces cientos ó miles)

Por ejemplo, si p = 0.01 se requieren muestras de tamaño n > 500

• El Costo / unidad de revisar un atributo es menor que el de medir una característica variable

• Son útiles como medida del desempeño de un taller, departamento, empresa, etc.

• Generalmente el desempeño mejora después de introducir una gráfica para atributos pues la gráfica es una representación visual contínua del desempeño

OBJETIVOS DE LAS GRAFICAS DE ATRIBUTOS

• Estimar la fracción defectuosa de producto terminado

• Estimar el Costo estándar de retrabajo (Costos de Calidad)

• Determinar la eficacia de un programa de entrenamiento o de mantenimiento

• Sugerir dónde utilizar gráficas de control para variables y / o las gráficas c ó u .

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