Ingeniería Económica Básica. 1a. Ed. Héctor Vidaurri.

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Revisión técnica

Irma Damián GonzálezProfesora asociada

Departamento de Contabilidad y

Negocios Internacionales

Tecnológico de Monterrey, Campus Toluca

Jorge Cardiel HurtadoFacultad de Contaduría y Administración

Universidad Nacional Autónoma de México

Ingeniería económica básica

Héctor Manuel Vidaurri Aguirre

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

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Datos para catalogación bibliográfica:

Vidaurri Aguirre, Héctor Manuel

Ingeniería económica básicaISBN: 978-607-519-017-4

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Ingeniería económica básicaHéctor Manuel Vidaurri Aguirre

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Capítulo 1 La ingeniería económica 1

1.1 Ingeniería y economía 1

1.2 Toma de decisiones e ingeniería económica 2

1.3 Breve historia de la ingeniería económica 5

Capítulo 2 Sucesiones aritméticas y geométricas 7

2.1 Introducción 7

2.2 Sucesiones aritméticas 12

2.3 Sucesiones geométricas 20

Capítulo 3 Valor del dinero en el tiempo I 27

3.1 Valor temporal del dinero y el interés 27

3.2 Interés simple 32

3.3 Interés compuesto 41

3.4 Tasas de interés nominal, equivalente y efectiva 65

3.5 Ecuaciones de valor 75

Contenido

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vi Contenido

Capítulo 4 Valor del dinero en el tiempo II 85

4.1 Anualidades vencidas 85

4.2 Anualidades anticipadas 112

4.3 Gradiente aritmético 124

4.4 Gradiente geométrico 135

4.5 Anualidades generales 146

Capítulo 5 Inflación 151

5.1 Concepto de inflación y su medición 151

5.2 Valor del dinero e inflación 161

Capítulo 6 Evaluación de inversiones I: Valor presente neto 173

6.1 Valor presente neto 173

6.2 Selección entre alternativas de inversión utilizando VPN 190

6.3 Costo capitalizado 201

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Contenido vii

Capítulo 7 Evaluación de inversiones II: Valor anual uniforme equivalente 209

7.1 Valor anual uniforme equivalente 209

7.2 Selección de alternativas utilizando el VAUE 220

Capítulo 8 Evaluación de inversiones III: Tasa interna de retorno 231

8.1 Tasa interna de retorno 231

8.2 Selección de proyectos mediante la TIR 238

8.3 Desventajas de la TIR 247

Soluciones de los ejercicios 257

Formulario 267

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3

Valor del dinero en el tiempo I

3.1 Valor temporal del dinero y el interés

Este capítulo y el siguiente son fundamentales para entender el resto del libro, ya que el concepto del valor temporal del dinero y las fórmulas de interés que lo modelan son la base para realizar los análisis económicos de los proyectos de inver-sión.

Como punto de partida, tenemos que formularnos una pregunta: ¿El dinero tendrá el mismo valor a lo largo del tiempo? La respuesta es un no absoluto. La

C A P Í T U L O

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28 Cap. 3 Valor del dinero en el tiempo I

razón para responder negativamente se basa en el concepto más importante de la matemática financiera y de la ingeniería económica: el valor del dinero en el tiempo, que afirma, con toda razón, que una cantidad de dinero en el momento actual (hoy) vale más que la misma cantidad en el futuro; esto es, $1,000, por ejemplo, que se reciben hoy tienen un valor mayor que $1,000 que se recibirán dentro de un año, ya que los primeros, si son invertidos en una cuenta bancaria, en un negocio, etc., pueden generar una ganancia, que podemos llamar interés. Por otro lado, debido a la inflación, el dinero tiene un poder de compra que se deteriora a medida que transcurre el tiempo. Por tanto, los $1,000 disponibles hoy valen más que los $1,000 que se recibirán dentro de un año, ya que el capital actual tiene un mayor poder de compra de bienes y servicios o poder adquisitivo. Ello significa que con $1,000 hoy se podrán comprar más bienes y servicios que los que se pueden comprar dentro de un año. Esta relación entre el tiempo, el interés y el poder de compra del dinero se conoce como valor del dinero en el tiempo.

Debido a ello, dos o más cantidades de dinero que se colocan en diferentes fechas no se pueden sumar o restar. Así, por ejemplo, si usted debe pagar $20,000 dentro de 3 meses y $50,000 dentro de 6 meses al mismo acreedor, no podemos decir que si quisiera pagar en este momento el total de la deuda deberá entregar en total $70,000, ya que si lo hace no estaría considerando el valor del dinero en el tiempo.

Cuando una persona usa un bien que no le pertenece, debe pagar por lo gene-ral una renta por su uso. Las cosas que se pueden rentar son innumerables: casas, automóviles, salones para eventos sociales, ropa de ceremonia, computadoras, etc. El dinero no es la excepción, ya que se trata de un bien que se puede comprar, vender y, por supuesto, prestar. Por lo general, cuando se pide dinero prestado se debe pagar una renta por su uso. En este caso, la renta recibe el nombre de interés, intereses o rédito. El interés se define como el dinero que se paga por el uso de dinero ajeno. También se puede decir que el interés es el rendimiento que se tiene cuando se invierte el dinero en forma productiva. El interés se simboliza mediante la letra I.

La cantidad de dinero que se toma en préstamo o se invierte se llama capital o principal, y se simboliza mediante la letra P. El monto o valor futuro se define como la suma del capital más el interés ganado, y se expresa mediante la letra F. Por lo tanto,

F P I= + (3.1)

Ejemplo 3.1

Alicia obtiene un préstamo de $13,500 y se compromete a pagarlo al cabo de 3 meses, incluyendo $911.25 de intereses. ¿Qué monto deberá pagar?

Los préstamos con inte-

reses ya eran comunes

en Grecia en el siglo IV

antes de Cristo.

Asimismo, en una de las

parábolas de Jesús se

menciona que cuando

se daba dinero en prés-

tamo a los banqueros,

éstos pagaban un inte-

rés (Mateo 25,26-27).

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Valor temporal del dinero y el interés 29

Solución

Con base en la ecuación (3.1), Alicia debe pagar

F = + =13 500 911 25 14 411 25, . $ , .

Ejemplo 3.2

Antonio pidió prestado $18,000 y deberá pagar un total de $20,250 al cabo de 6 meses con el fin de saldar la deuda. ¿Cuánto pagará de intereses?

Solución

Al despejar el interés de la ecuación (3.1) se tiene

I F P

Sabemos que el monto que deberá pagar Antonio asciende a $20,250. Por tanto, el interés por el uso del capital que obtuvo en préstamo es

I 20 250 18 000 2 250, , $ ,

La tasa de interés indica el costo que representa obtener dinero en préstamo y se expresa como un porcentaje del capital por unidad de tiempo. Por lo general, la unidad de tiempo que se utiliza para expresar las tasas de interés es de un año. Sin embargo, también suelen expresarse en unidades de tiempo menores. Si la tasa de interés se da sólo como un porcentaje, sin especificar la unidad de tiempo, se sobren-tiende que se trata de una tasa anual. La tasa de interés se simboliza mediante la letra i.

Ejemplo 3.3

¿Qué significa una tasa de interés de

a) 25%?

b) 1.8% mensual?

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Solución

a) Quiere decir 25% anual y que por cada $100 prestados, el deudor debe pagar $25 de interés al final de cada año, hasta que pague el capital que solicitó en préstamo.

b) Significa que por cada $100 que recibió, debe pagar $1.80 de interés al final de cada mes, hasta que devuelva el capital que solicitó en préstamo.

Dada la evolución del mercado financiero del país, las tasas de interés, por lo general, no permanecen constantes, sino que cambian con frecuencia. Las tasas de interés aplicables a operaciones financieras y comerciales se fijan, en la mayoría de los casos, con base en diversas tasas de referencia, entre las que se encuentran TIIE, CPP, CCP, Cetes y Mexibor.

La TIIE (tasa de interés interbancaria de equilibrio) es la tasa de interés que corresponde al punto de equilibrio entre las tasas pasivas y activas y se determina a partir de la información que sobre el tema los bancos presentan al Banco de México (Banxico). Las tasas de interés activas son las que las instituciones banca-rias cobran por los distintos tipos de crédito a los usuarios que los solicitan; las tasas de interés pasivas son aquellas que las instituciones bancarias pagan a ahorra-dores e inversionistas.

La TIIE, introducida por el Banco de México en marzo de 1995, es una tasa de interés a distintos plazos (28 días es el plazo más común) que se utiliza como tasa de referencia en transacciones e instrumentos financieros. Se calcula diariamente con cotizaciones que proporcionan a las 12:00 PM, hora de la ciudad de México, no menos de seis bancos. Las tasas sometidas son los precios reales a los cuales las instituciones bancarias están dispuestas a prestar o a pedir prestado al Banco de México. Éste usa una fórmula con las tasas sometidas, que da como resultado una tasa equilibrada.

El CPP (costo porcentual promedio de captación) es la tasa de referencia que fija el Banco de México desde agosto de 1975, que promedia el costo del dinero en el sistema financiero mexicano y que se publica en el Diario Oficial de la Federación (DOF) entre los días 21 y 25 de cada mes.

Con el fin de reflejar la existencia de nuevos instrumentos en el mercado financiero mexicano, el Banco de México inició el 13 de febrero de 1996 el cálculo mensual del costo de captación a plazo (CCP). Con esta variable se determina mensualmente cuál es el costo promedio ponderado en que incurrieron las institu-ciones de banca múltiple que operan en el país por la captación de recursos en moneda nacional provenientes del público en general, en sus diversos instrumen-tos a plazo de un día o más. Se publica entre los días 20 y 25 de cada mes en el DOF y se refiere al costo del mes inmediato anterior al de su publicación en los princi-pales diarios de circulación nacional.

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Valor temporal del dinero y el interés 31

Los Cetes (certificados de la Tesorería de la Federación) son títulos de crédito al portador denominados en moneda nacional, emitidos por el Gobierno Federal. En muchas ocasiones, la tasa interés de los Cetes a 28 días se utiliza como tasa de referencia.

Mexibor es una tasa de interés interbancaria de referencia mexicana que se determina diariamente con base en cotizaciones que proporcionan 12 bancos mexicanos, calculada y difundida por Reuters de México. Ésta es una tasa privada en la que no participa el gobierno.

Mexibor fue aprobada por el Banco de México el 26 de julio de 2002 para utilizarla como tasa de referencia oficial para celebrar operaciones pasivas y activas que opera a plazos de 1, 3, 6, 9 y 12 meses y de forma continua.

Cuando se tienen dos números que expresan un porcentaje, la diferencia entre ambos recibe el nombre de puntos porcentuales. Por ejemplo, si la tasa de interés que se paga por usar la tarjeta de crédito del banco A es de 34% y la que carga la tarjeta del banco B es de 38%, se dice que hay una diferencia de cuatro puntos porcentuales entre ambas tasas de interés.

Las tasas de interés que utilizan en sus cálculos las instituciones financieras y las empresas comerciales se determinan, en la mayoría de los casos, sumando pun-tos porcentuales a las tasas de referencia.

Ejemplo 3.4

Suponga que la tasa de interés aplicable a los clientes que compran a crédito en cierta tienda departamental es igual a la TIIE más 25 puntos porcentuales. Si la TIIE es de 7.32% anual, calcule la tasa de interés aplicable.

Solución

La tasa de interés aplicable a los clientes se obtiene simplemente al sumar los pun-tos porcentuales a la tasa de referencia. Esto es,

Tasa de interés = i = 7.32 + 25 = 32.32% anual

Un punto base es la centésima parte de un punto porcentual; por tanto, un punto porcentual consta de 100 puntos base. Así, por ejemplo, si la tasa de interés de una inversión aumentó de 9% anual a 9.75% anual, se dice que aumentó 0.75 puntos porcentuales o 75 puntos base.

Existen dos tipos de interés: simple y compuesto. El interés simple se estu-diará en la siguiente sección, y el interés compuesto en la sección 3.3.

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3.2 Interés simple

El interés es simple cuando se presentan las siguientes características:

El interés se paga siempre al final del plazo previamente definido y se cal-cula única y exclusivamente sobre la cantidad original que se prestó o invirtió.

El interés generado no forma parte del dinero que originalmente se prestó; es decir, los intereses no ganan intereses.

Este tipo de interés se utiliza principalmente en inversiones y créditos a corto plazo, de un año o menos.

El interés que se debe pagar por una deuda, o el que se va a cobrar por una inversión, depende de la cantidad de dinero tomada en préstamo o invertida y del tiempo que dure el préstamo o la inversión. En otras palabras, el interés simple varía en forma directamente proporcional al capital y al tiempo.

Suponga que se invertirán $100,000 a un plazo de 3 meses y a una tasa de interés simple de 1.2% mensual. Con base en el significado de tasa de interés, el inte-rés que se cobrará por esta inversión será 1.2% de $100,000 por cada mes que transcurra, es decir

1.2% de 100,000 = (0.012) (100,000) = $1,200 cada mes

Si en lugar de retirar cada mes el interés, se conviene en que éste se pagará al final del plazo establecido, entonces el interés total que se cobrará al final de los 3 meses será

I = (1,200) (3) = $3,600

De lo anterior se deduce que el interés simple se puede calcular por medio de la siguiente fórmula:

I Pit= (3.2)

donde I es el interés simple que se paga o recibe por un capital P y t es el tiempo transcurrido (plazo) durante el cual se utiliza o invierte el capital. La tasa de interés se expresa mediante la letra i.

Al utilizar la ecuación (3.2) se debe tener en cuenta lo siguiente:

1. En los cálculos, la tasa de interés no debe utilizarse en forma de porcen-taje, sino en forma decimal. Para convertir un porcentaje a forma decimal, éste se divide entre 100.

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Interés simple 33

2. La tasa de interés y el plazo deben expresarse en las mismas unidades de tiempo. Si en un problema la unidad de tiempo asociada a la tasa de inte-rés no coincide con la unidad de tiempo que se utiliza en el plazo, uno de los dos, la tasa de interés o el plazo, tiene que convertirse para que ambas unidades de tiempo coincidan. Así, por ejemplo, si en un problema el plazo se expresa en meses, la tasa de interés también deberá ser mensual. Asimismo, es importante reiterar que si la tasa de interés se da sin especi-ficar explícitamente la unidad de tiempo, se trata de una tasa de interés anual.

Ejemplo 3.5

Lolita pidió prestado $54,000, suma que deberá pagar dentro de 8 meses. Si la tasa de interés es de 30% anual simple, ¿qué cantidad deberá pagar por concepto de intereses al final del plazo? ¿Cuál es el monto?

Solución

Los datos son los siguientes:

P = $54,000 i = 30% anual = 0.30 por año (expresado en forma decimal) t = 8 meses

Las unidades de tiempo de i y de t no coinciden, por lo que no es posible susti-tuir los valores numéricos directamente en la fórmula (3.2). Antes de sustituir es necesario convertir la tasa de interés anual en una tasa mensual, para lo cual hay que dividir entre 12.

i = = =3030

1225%

%. %anual mensual

Al sustituir los valores numéricos en la ecuación (3.2), resulta

I = =( , )( . )( ) $ ,54 000 0025 8 10 800

Lo anterior significa que al término de los 8 meses, Lolita deberá rembolsar el capital ($54,000) más los intereses correspondientes ($10,800); esto es, deberá pagar un monto de

F = + =54 000 10 800 64800, , $ ,

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No es necesario convertir la tasa anual en mensual antes de utilizar la fórmu -la (3.2); puede convertirse al mismo tiempo que se sustituyen los datos en la fórmula, esto es:

I ( , ).

( ) $ ,54 000030

128 10 8000

Ejemplo 3.6

Teresa posee un capital de $95,000. Invierte 70% del mismo a una tasa de 2.25% trimestral y el resto a 3.72% semestral. ¿Cuánto recibe cada mes de interés total?

Solución

Como el tiempo está dado en meses, es necesario convertir las tasas de interés a forma mensual:

i = = =225225

3075. %

. %. %trimestral mensual

i = = =372372

6062. %

. %. %semestral mensual

Cabe mencionar que 70% de $95,000 son $66,500 y 30% de $95,000 son $28,500. Si invierte $66,500 a 0.75% mensual por un mes, el interés que gana es

I = =( , )( . )( ) $ .66500 00075 1 49875

El interés mensual ganado al invertir $28,500 a 0.62% mensual es

I = =( , )( . )( ) $ .28500 00062 1 17670

El interés total que se obtiene cada mes es de 498.75 + 176.70 = $675.45

Si la ecuación (3.2) se sustituye en la (3.1) se obtiene una forma alterna de calcular el monto o valor futuro de un capital P.

F P I P Pit= + = +

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Interés simple 35

Si se factoriza la expresión anterior obtenemos

F P it= +( )1 (3.3)

Ejemplo 3.7

Ramón tiene una deuda de $25,000 que debe pagar dentro de 12 quincenas. Si la operación contempla una tasa de interés simple igual a la TIIE vigente al inicio del préstamo más 22 puntos porcentuales, ¿cuánto deberá pagar para saldar su deuda, si la TIIE es de 8.2%?

Solución

La tasa de interés aplicable a la deuda es

i = + =82 22 302. % % . % anual

Al sustituir los datos en la ecuación (3.3) se tiene

F 25000 10302

2412,

.( ) $ ,28775

Observe que la tasa de interés anual cambió a tasa de interés quincenal cuando se dividió entre 24 (quincenas) que tiene un año.

Ejemplo 3.8

¿En cuánto tiempo se duplicará cierta cantidad de dinero si se invierte a una tasa de 20% de interés simple?

Solución

Sea x la cantidad de dinero que se invierte. Debido a que el dinero se tiene que duplicar, el monto final será 2x. Al despejar t de la ecuación (3.3), se obtiene

( )F P it1

F P Pit

F P Pit

tFF P

Pi

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Si se sustituye,

tx x

x

x

x

2

020 020

1

0205

( )( . ) . .años

Ejemplo 3.9

Javier, dueño de una ferretería, compra mercancía con valor de $53,870 y tiene un plazo de 45 días para pagar. El proveedor le ofrece un descuento de 3.5% si paga al contado. ¿Qué costo tiene para Javier financiarse de esta manera?

Solución

En principio, 3.5% de $53,870 es

(53,870)(0.035) = $1,885.45

Por lo tanto, Javier puede pagar

53,870 1,885.45 = $51,984.55 hoy, o pagar $53,870 dentro de 45 días.

El problema consiste en calcular la tasa de interés necesaria para que un capital de $51,984.55 se convierta en $53,870 en 45 días. Se despeja i de la ecuación (3.3).

( )F P it1

F P Pit

F P Pit

iF P

Pt

Si se sustituye,

i53870 51984 55

51984 55 450 0008059

, , .

( , . )( ). 88733 por día

Para obtener la tasa de interés anual, el resultado anterior se multiplica por 100 y por 365 días que tiene un año.

i = (0.00080598733)(100)(365) = 29.4185% anual

Si Javier decide pagar $53,870 dentro de 45 días, en vez de $51,984.55 hoy, la tasa de interés que deberá pagar será de 29.4185% anual.

En algunas ocasiones

se utiliza el año comer-

cial, el cual consta de

360 días; esto es, 12

meses de 30 días cada

uno.

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Interés simple 37

Suponga que hoy usted recibe un préstamo de $30,000 a 10 meses de plazo y con una tasa de interés simple de 2.5% mensual. El monto de la deuda será:

F = + =30 000 1 0025 10 37500, [ ( . )( )] $ ,

Por el capital que le prestaron usted debe pagar $37,500 dentro de 10 meses. En este caso, $37,500 es el monto o valor futuro de $30,000. Recíprocamente, se dice que $30,000 es el valor presente o valor actual de $37,500. Esto significa que $30,000 hoy son equivalentes a $37,500 dentro de 10 meses a una tasa de interés simple de 2.5% mensual.

El valor presente, simbolizado por VP, o simplemente P, de un monto o valor futuro F que vence en fecha futura, es la cantidad de dinero que, invertida hoy a una tasa de interés dada, producirá el monto F.

Ejemplo 3.10

Encuentre el valor presente de $26,450 que vencen dentro de 6 meses, si la tasa de interés es de 30%.

Solución

Obtener el valor presente de una cantidad equivale a responder esta pregunta: ¿qué cantidad, invertida hoy a una tasa de interés y un tiempo dados, producirá un monto conocido? El valor presente se calcula al despejar P de la ecuación (3.3).

VP PF

it= =

+1

Al sustituir,

VP26 450

1030

126

23000,

.( )

$ ,

Es decir, $23,000 que se invierten hoy, durante 6 meses, a una tasa de interés de 30% anual, se convertirán en $26,450. También se dice que $23,000 son equi-valentes a $26,450 si el tiempo es de 6 meses y la tasa de interés es de 30% anual simple. Los $23,000 no necesariamente corresponden al capital original, prestado o invertido: simplemente, es el valor del dinero 6 meses antes de su vencimiento.

Se llama flujos de efectivo a las entradas (ingresos) o salidas (gastos o egresos) de dinero. Cuando el flujo de efectivo es un ingreso, sea una persona o una

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empresa, se escribe con signo positivo. Si el flujo de efectivo es una salida, se escribe con signo negativo. Así, por ejemplo, en el caso de una empresa, tendrá un flujo de efectivo positivo cuando reciba dinero por la venta de los artículos que produce, y mostrará un flujo de efectivo negativo cuando pague el sueldo a sus trabajadores.

Conocer los flujos de efectivo es básico en un estudio de ingeniería económica, pues de lo contrario sería imposible llevar a cabo el análisis económico de un proyecto.

Se llama flujo de efectivo neto a la diferencia entre las entradas menos las sali-das que se tienen en un periodo determinado.

Puesto que, por lo general, los flujos de efectivo positivos y negativos , ocu-rren en cualquier momento de un periodo determinado, es común que en muchos problemas se suponga que los flujos de efectivo ocurren al final de un periodo establecido de antemano; por ejemplo, al final de cada mes, de cada bimestre, etc., finales que no necesariamente coinciden con el último día del periodo; por ejem-plo, el final de cada mes no tiene porque ser el día 30 o 31 del mes.

El diagrama de flujo de efectivo, también llamado diagrama de tiempo, es una herramienta muy útil para analizar problemas de ingeniería económica. Se trata de una representación gráfica de los flujos de efectivo colocados sobre una recta hori-zontal con una escala de tiempo en años, trimestres, meses, etc. En la parte supe-rior de la recta se escriben los flujos de efectivo positivos y en la parte inferior, los negativos.

Ejemplo 3.11

¿Qué interpretación puede tener el siguiente diagrama de flujo de efectivo?

18% anual de interés simple

32,700

30,000

0 1 2 4 53 6 meses

Solución

El diagrama de flujo de efectivo muestra que una inversión de $30,000 que se realiza hoy a 18% de interés simple, se convierte en $32,700 al cabo de 6 meses. La cantidad $30,000 está colocada en la parte inferior de la recta, ya que para el inver-sionista representa una salida de dinero; en cambio, el monto está escrito en la parte superior de la recta porque es una entrada de dinero para el inversionista. Por su parte, t = 0 es el presente o momento actual, t = 1 es el final del primer mes, t = 2 es el final del segundo mes, etcétera.

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Interés simple 39

El diagrama de flujo de efectivo anterior muestra el punto de vista del inver-sionista. Desde el punto de vista de la entidad financiera que recibe el dinero, el diagrama será el siguiente:

18% anual de interés simple

30,000

32,700

0 1 2 4 53 6 meses

Ejemplo 3.12

Suponga que el señor López desea ahorrar $1,800 cada quincena a partir de hoy. Si efectúa 8 depósitos quincenales y retira el monto obtenido, que consisten en $14,672.65, una quincena después del último depósito, elaborar el diagrama de flujo de efectivo desde el punto de vista del señor López.

Solución

14,672.65

1,800 1,800 1,800 1,800 1,800 1,800 1,800 1,800

0 1 2 4 5 6 73 8 quincenas

1. Una inversión inicial de $125,000 produce en un año un monto de $135,400. Calcule el interés que ganó el inversionista en ese tiempo.

2. Gustavo obtiene un préstamo de $55,000 y se compromete a devol-verlo al cabo de 8 meses, más $6,600 de intereses. ¿Qué monto deberá pagar?

Ejercicios 3.1

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3. La tasa de interés aplicable a las personas que compran a crédito en una tienda departamental es igual a la TIIE más 30 puntos porcentuales. Si la TIIE es de 7.96% anual, calcule la tasa de interés aplicable.

4. La tasa de interés aplicable a los usuarios de tarjeta de crédito es igual a la TIIE vigente en la fecha de corte más 22 puntos porcentuales. Si la tasa de interés vigente en mayo fue de 30.15%, calcule la TIIE.

5. ¿Qué interés produce un préstamo de $18,700 a 13 meses de plazo, a una tasa de 25.6% de interés anual?

6. Una firma de consultoría en ingeniería invierte 45,000 dólares en un fondo de inversión que le garantiza un rendimiento de 0.87% mensual. ¿Cuánto recibirá la empresa cada mes por concepto de intereses?

7. Francisco ha abierto una cuenta de ahorro con $10,000 a nombre de su ahijado Alejandro, que hoy cumple 10 años. La cuenta paga un interés simple de 10.12% anual. Calcule cuánto habrá en la cuenta cuando Alejandro cumpla 18 años.

8. Un cliente debe pagar $3,700 mensuales durante los próximos 3 meses con el fin de liquidar la compra de cierta mercancía. El cliente quiere liquidar su deuda mediante un pago único dentro de 3 meses. Calcule el valor de dicho pago si se pacta una tasa de interés simple de 27% anual.

9. ¿Cuál es el valor presente de $23,400 que vencen dentro de 10 meses, si la tasa de interés es de 1.86% mensual?

10. Felipe necesitará $24,000 dentro de 8 meses para pagar un programa de reducción de peso. ¿Qué cantidad deberá depositar hoy en una cuenta de ahorros que paga 8.75% anual para tener la suma que necesita den-tro de 8 meses?

11. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que un capital de $6,000 alcance un monto de $9,280, si la tasa de interés es de 32%?

12. Lourdes compró acciones de la empresa Plásticos Planeta a $135 cada una. Posteriormente las vende en $145.65. Si obtuvo una rentabilidad de 13.52% anual, calcule cuántos meses tuvo en su poder las acciones.

13. Un trabajador invirtió $8,700 en una caja popular y después de un año recibe un monto de $9,848.40. Calcule el interés ganado y la tasa de interés anual.

14. Un supermercado compra mercancía con valor de $110,000 y tiene un plazo de 60 días para pagar. El proveedor le ofrece un descuento de 3% si paga al contado. ¿Qué costo tiene para el supermercado financiarse de esta manera?

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5

Inflación

5.1 Concepto de inflación y su medición

Hasta ahora hemos supuesto que el manejo del dinero se lleva a cabo en una situa-ción económica en la cual no hay inflación; esto es, que los precios de los bienes y servicios permanecen estables a lo largo del tiempo. Sin embargo, ésta no siempre es una conjetura realista; por lo tanto, es importante saber cómo incorporar la inflación en un proyecto de ingeniería.

C A P Í T U L O

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152 Cap. 5 Inflación

La inflación es un fenómeno económico que se caracteriza por el incremento continuo y generalizado de los precios de los bienes y servicios que produce la eco-nomía de un país. En esencia, se debe hablar de inflación sólo cuando la mayoría de los precios aumenta constantemente y no cuando algunos aumentan en forma aislada. La inflación ocasiona que el poder adquisitivo o poder de compra del dinero disminuya. En el artículo 28 de la Constitución Politica y en la Ley del Banco de México se establece que el objetivo prioritario de esta institución consiste en pro-curar la estabilidad del poder adquisitivo de la moneda, lo cual se logra si se tiene una inflación baja y estable.

La inflación es un fenómeno económico nocivo ya que, entre otros aspectos, afecta el crecimiento económico, pues reduce la previsibilidad de los proyectos de inversión e incrementa las tasas de interés.

Las causas que provocan este proceso son muy variadas y complejas, por lo que existen diversas teorías que tratan de explicarla. Algunas de ellas se mencionan a continuación en forma muy breve.

La inflación aumenta cuando lo hace el circulante (monedas y billetes en circulación) sin que se produzca un incremento equivalente de la produc-ción de bienes y servicios. Cuando un gobierno recurre a la emisión de dinero con la finalidad de cubrir sus déficits presupuestales se generan presiones inflacionarias, debido a que al aumentar el circulante la pobla-ción tiene más dinero en su poder, lo que genera la tendencia a gastarlo, fenómeno que estimula la demanda de bienes y servicios, cuyas ofertas se mantienen estables. Como consecuencia, los precios aumentan.

En ocasiones, la inflación se produce cuando los bienes y servicios aumen-tan debido a un encarecimiento de las materias primas y de la mano de obra, ya que el productor intenta mantener su margen de utilidad mediante el incremento de sus precios.

La creciente demanda de bienes y servicios, como puede ser vivienda, ali-mentos, transporte, etc., repercute en un incremento de los precios.

Otras veces, la inflación ocurre cuando se prevé un fuerte incremento futuro de precios. Cuando ocurre este fenómeno, los precios comienzan a ajustarse antes para que el incremento sea gradual. Esta inflación recibe el nombre de inflación autoconstruida.

Cuando se habla de una menor inflación, no significa que el nivel general de los precios haya disminuido, sino que su aumento presenta un ritmo menor. Cuando los precios de los bienes y servicios disminuyen con el tiempo, el fenó-meno se conoce como deflación, la cual hace que aumente el poder adquisitivo de la moneda.

En México, la institución responsable de medir la inflación es el Instituto Nacional de Estadística y Geografía (INEGI), según se establece en la fracción III del artículo 59 de la Ley del Sistema Nacional de Información Estadística y Geográfica,

El poder adquisitivo es

la cantidad de bienes o

servicios que se pue-

den adquirir con una

cantidad determinada

de dinero.

Déficit presupuestal: el

gobierno gasta más de

lo que recibe vía

impuestos o por la

venta de bienes y servi-

cios de las empresas

paraestatales.

Hasta antes del 15 de

julio de 2011, el res-

ponsable de medir la

inflación era el Banco

de México.

05_Ch05_VIDAURRI.indd 152 10/05/13 00:58

Concepto de inflación y su medición 153

mediante el Índice Nacional de Precios al Consumidor (INPC), indicador econó-mico que mide el crecimiento promedio de los precios, de un periodo a otro, de una canasta de bienes y servicios representativa del consumo de los hogares mexicanos.

El INEGI publica el INPC en forma quincenal y mensual en el Diario Oficial de la Federación y en su página de Internet, www.inegi.org.mx.

El INPC se elabora con base en un seguimiento continuo de los precios de bienes y servicios específicos, agrupados para formar conjuntos aproximadamente homogéneos denominados genéricos. Actualmente, la canasta de bienes y servicios del INPC está formada por 283 conceptos genéricos que se clasifican en 48 ramas de actividad económica.

En la práctica, cada mes se recopilan, en 46 ciudades del país, alrededor de 235,000 precios correspondientes a una muestra de alrededor de 83,500 bienes y servicios específicos. Los precios de estos productos se promedian de manera pon-derada con base en la Encuesta Nacional de Ingresos y Gastos de los Hogares (ENIGH) realizada por el INEGI en 2008, formado por 8 subíndices:

Alimentos, bebidas y tabaco

Ropa, calzado y accesorios

Vivienda

Muebles, aparatos y accesorios domésticos

Salud y cuidado personal

Transporte

Educación y esparcimiento

Otros servicios

La agrupación de todos los subíndices y, en consecuencia, de todos los genéri-cos, integra el INPC.

Además del Índice Nacional de Precios al Consumidor (INPC), existen otros índices de precios como el Índice Nacional de Precios al Productor (INPP), el cual se utiliza para medir el cambio promedio de los precios de los bienes y servicios que se producen en el país; el Índice de Precios de la Canasta Básica (IPCB), es un subíndice especial del INPC, formado por 82 conceptos genéricos que mide el incremento de los precios de los productos básicos para la supervivencia de una familia e índices de precios para medir la inflación de bienes específicos, como por ejemplo, en la industria de la construcción.

El INPC se expresa mediante una cifra que indica el incremento de los precios en relación con un periodo o año base, al cual se le asigna arbitrariamente el valor de 100. Hasta diciembre de 2010 se utilizó como base la segunda quincena de junio de 2002. A partir de diciembre de ese año se utiliza como base la segunda quincena de diciembre de 2010; esto es, el INPC de la segunda quincena de diciembre de 2010 se fijó en 100. Así, por ejemplo, el INPC en marzo de 2011 fue

Año base de un índice

de precios es el punto

en el tiempo a partir del

cual se efectúan las

comparaciones de los

cambios en los precios.

También se conoce

como año o periodo de

referencia.

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de 100.797, lo que significa que la inflación aumentó en 100.797 100 = 0.797% en el periodo que va de la segunda quincena de diciembre de 2010 al 31 de marzo de 2011. En otras palabras, un conjunto de bienes y servicios que se podían comprar con $100 en la segunda quincena de diciembre de 2010, se com-praban con $100.797 el 31 de marzo de 2011.

Es usual medir la inflación en términos de un porcentaje que puede ser quin-cenal, mensual o anual, que representa la tasa a la cual han aumentado los pre-cios de la quincena, del mes o del año considerado en relación con los precios de la quincena, del mes o del año anterior. Por ejemplo, en 2010 la tasa de inflación fue de 4.40% en el año, lo que significa que los precios de la canasta de consumo que se utilizan para calcular la inflación aumentaron 4.40% en promedio en 2010 en relación con 2009. Es necesario dejar bien claro que el INPC mide el incremento promedio ponderado de los bienes y servicios en el que se basa la elaboración del índice; por lo tanto, algunos bienes y servicios tuvieron incre-mentos por encima de 4.40% y otros incrementaron sus precios por debajo de ese porcentaje.

Ejemplo 5.1

Calcule la tasa de inflación de 2009 si el índice de precios de diciembre de 2008 fue de 92.241 y el de diciembre de 2009 fue de 95.537.

Solución

La tasa de inflación, expresada en porcentaje, será simbolizada mediante la letra griega l (lambda).

La tasa de inflación puede calcularse mediante la siguiente fórmula:

l

I

I2

1

1 (5.1)

donde I1 es el índice de precios al inicio de un periodo e I2 al final del periodo.Por lo tanto,

l 95 537

92 2411 0 0357 3 57

.

.. . %

La inflación de 2009 fue de 3.57% y se puede interpretar de la siguiente forma: si el 31 de diciembre de 2008 eran necesarios $92.241 para comprar la canasta de consumo, el 31 de diciembre de 2009 se necesitaron $95.537 para adquirirla; esto es, un aumento de 3.57%.

El lector interesado en

conocer la metodología

empleada en el cálculo

del INPC puede visitar

la página del Banco de

México, www.banxico.

org.mx/material-educa-

tivo/index.html.

La inflación individual

que experimenta una

persona depende del

tipo de bienes y servi-

cios que consume. El

INPC es un promedio

ponderado de lo que

todos los mexicanos

consumen, es decir, no

mide el consumo parti-

cular de cada persona.

Por tal motivo, la infla-

ción “real” que padece

una persona determi-

nada puede ser más alta

o más baja que la que

reporta el Banco de

México.

Recuerde, el INPC está

expresado en la base:

segunda quincena de

diciembre 2010 = 100.

05_Ch05_VIDAURRI.indd 154 10/05/13 00:58


Para consultar el INPC, puede visitar las siguientes páginas de internet:

www.banxico.org.mx

www.sat.gob.mx

www.inegi.org.mx

Como la tasa de inflación de cada uno de los periodos se basa en la tasa de inflación del periodo anterior, la inflación muestra un efecto compuesto, es decir, se comporta de manera semejante al interés compuesto. Por tal motivo, la fórmula del interés compuesto es la que se utiliza para resolver problemas relacionados con la inflación, con las siguientes adecuaciones: la tasa de interés por periodo, i, se sustituye por la tasa de inflación por periodo, l, el capital, P, se sustituye por VR, el valor real o valor en pesos constantes y el monto, F, se sustituye por VC, el valor futuro en pesos corrientes. Esto es,

VC VR n= +( )1 l (5.2)

donde n es el número de periodos.A continuación se presentan las definiciones de pesos constantes y pesos

corrientes:

Pesos constantes o pesos reales son pesos con poder adquisitivo en un momento específico, el cual se toma como base. Por lo general, se utiliza como base un determinado año, el cual se elige bajo ciertos criterios. Así, por ejemplo, se habla de “pesos constantes de 2005”, lo que indica “pesos con poder adquisitivo de 2005”: en este caso, 2005 es el año base.

Pesos corrientes o pesos actuales son los pesos con poder adquisitivo del momento en que se tienen. También se les llama pesos nominales.

Los pesos corrientes pueden convertirse en pesos constantes, los cuales representan el valor real del dinero en el momento o año que se ha tomado como base. Cuando no hay inflación no hay diferencia entre pesos constantes y pesos corrientes.

Los pesos corrientes se transforman en pesos constantes cuando se descuenta la inflación ocurrida en el periodo. Para obtener los pesos constantes (valor real del dinero) de una cantidad de dinero VC, expresada en pesos corrientes, se despeja VR de la ecuación (5.2).

VR

VCn

=+( )1 l

(5.3)

En la página

www.banxico.org.mx/

politica-monetaria-e-

inflacion/servicios/cal-

culadora-inflacion.html

se encuentra una calcu-

ladora de inflación, la

cual le permite conocer

cuál ha sido la tasa de

inflación en determi-

nado periodo. Usted

puede usar la calcula-

dora y verificar el resul-

tado de este ejemplo.

Las expresiones pesos constantes y pesos corrientes se pueden

sustituir por dólares constantes y dólares corrientes, euros cons-tantes y euros corrien-tes, etc., lo cual

depende de la unidad

monetaria que se consi-

dere.

05_Ch05_VIDAURRI.indd 155 10/05/13 00:58


Ejemplo 5.2

En 2008 la economía mexicana experimentó una inflación de 6.53%. Suponiendo que esta tasa de inflación se hubiera mantenido constante a partir de entonces, determine el precio que habría alcanzado un par de zapatos en diciembre de 2010, si en diciembre de 2008 su precio era de $845.

Solución

Mediante la ecuación (5.2) se puede calcular el valor futuro del par de zapatos, expresado en pesos corrientes, es decir, en pesos de diciembre de 2010.

VC = + =845 1 00653 958962( . ) $ .

En este caso, $958.96 sería la estimación del valor futuro del par de zapatos, en pesos de diciembre de 2010, si la tasa de inflación anual se hubiera mantenido constante.

Ejemplo 5.3

La inflación mensual en un país de la Unión Europea se ha mantenido casi cons-tante en 0.45%. ¿Cuál era el precio de un artículo hace 14 meses si actualmente cuesta 318 euros?

Solución

Se conoce el valor actual del artículo, es decir, en euros corrientes o nominales. Para calcular su valor hace 14 meses es necesario descontar la inflación que se pre-sentó en el periodo mediante la ecuación (5.3):

VR =+

=318

1 0004529863

14( . ). euros

El precio del artículo en euros constantes de hace 14 meses es de 298.63. Cuando al precio de un artículo se le descuenta la inflación del periodo conside-rado, se dice que se ha deflactado. Por lo tanto, 298.63 euros son el valor deflactado de 318 euros.

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Ejemplo 5.4

La inflación del mes de enero de 2009 fue de 0.23%. Si hubiera sido la misma todos los meses del año, ¿cuál hubiese sido la tasa de inflación acumulada a fin de año?

Solución

Para obtener la tasa de inflación acumulada en el año (tasa de inflación anualizada) se utiliza la fórmula (5.2), suponiendo un valor para VR, por ejemplo $100.

Si

VR = $100

n = 12 meses

l = 0.23% cada mes

Entonces,

VC = + =100 1 00023 10279512( . ) $ .

Si a principios del año cierto artículo costaba $100, al final del año costará $102.795. Esto significa un aumento de 2.795% en el año. Por lo tanto, si la tasa de inflación mensual se hubiera mantenido constante en 0.23%, la tasa de infla-ción acumulada de 2009 hubiera sido de 2.795%.

La inflación que reportó el Banco de México para 2009 fue más alta, de 3.57%.

La siguiente fórmula permite calcular la inflación acumulada al final de n periodos, si la tasa de inflación por periodo fue constante:

l l( )1 10

n (5.4)

donde l0 es la tasa de inflación por periodo.Con base en la fórmula (5.4) para resolver el ejemplo 5.4, tenemos:

l ( . ) . . %1 00023 1 002795 279512 anual

Ejemplo 5.5

¿Cuál fue la tasa de inflación del primer cuatrimestre de 2010, si las tasas de infla-ción mensuales fueron las que se muestran en la siguiente tabla?

Observe que la tasa de

inflación de abril de

2010 fue negativa. Esto

significa que en ese

mes hubo, en general,

un descenso de los pre-

cios, o deflación.

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Mes Inflación

Enero 1.09%

Febrero 0.58%

Marzo 0.71%

Abril 0.32%

Solución

Como la tasa de inflación mensual no es constante, la fórmula (5.4) no es aplicable. En este caso, la inflación acumulada se obtiene mediante la siguiente fórmula:

l l l l l( )( )( ) ( )1 1 1 1 11 2 3 n (5.5)

donde l1, l2, l3,…,ln, son las tasas de inflación variables, por periodo.Al sustituir los datos en la fórmula (5.5), resulta:

l ( . )( . )( . )( . )1 00109 1 00058 1 00071 1 00032 11

l = =00207 207. . % en el primer cuatrimestre de 2010

Ejemplo 5.6

Si el índice de precios de junio de 2009 fue de 93.417 y el de diciembre del mismo año fue de 95.537, calcule:

a) La tasa de inflación en el segundo semestre de 2009.

b) La tasa de inflación mensual promedio del segundo semestre de 2009.

Solución

a) Mediante la fórmula (5.1) obtenemos

l 95537

934171 0022694 22694

.

.. . % para el segundo semestre del año

Si l l l1 2 3= = =l l0= =n , entonces

la ecuación (5.5) se

convierte en la ecua-

ción (5.4).

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b) En realidad, la inflación mensual fue variable, pero se puede obtener una tasa mensual de inflación media o promedio, cuyo efecto final es exactamente el mismo que el que se obtiene al acumular las tasas mensuales reales; esto es, 2.2694% en el semestre.

La tasa mensual de inflación promedio será equivalente a una tasa compuesta mensual que haga que el índice pase de 93.417 a 95.537 en 6 meses. La tasa men-sual de inflación promedio se obtiene cuando se despeja l de la fórmula (5.2). Esto es,

l VC

VRn 1

95537

934171 000375 03756

.

.. . % mensual promedio

Con base en la siguiente fórmula se puede calcular la tasa de inflación pro-medio por periodo, lp, a partir de una tasa de inflación l, acumulada durante n periodos.

l lpn 1 1 (5.6)

Al utilizar la fórmula (5.6), con l = 2.2694%, para resolver la parte b del ejem-plo 5.6, resulta

l lpn 1 1 1 0022694 1 000375 03756 . . . % mensual promedio

1. Actualmente, la colegiatura semestral en una universidad privada cuesta $56,800. Si el precio aumenta cada semestre con base en la inflación que ocurrió en él, ¿cuánto costará la colegiatura en el siguiente semestre si la inflación fue de 2.78%?

2. La tasa de inflación anual promedio de los años 2000 a 2009, fue de 4.93%. Si una casa costaba $435,000 al iniciar el año 2000, cuál será su valor al iniciar 2015 si la tasa de inflación se mantiene en el promedio y el incremento de los precios de las casas se debe exclusivamente a la inflación.

Ejercicios 5.1

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3. Hace dos años, un artículo costaba $1,500. Si al final del primer año la inflación fue de 5.12% y al final del segundo año de 6.42%, ¿cuál es el precio actual del artículo?

4. En México, el Servicio de Administración Tributaria (SAT) es el encar-gado de cobrar los impuestos federales. Si un contribuyente no paga el impuesto que le corresponde en la fecha límite, entonces en el momento en que pague, además del monto original adeudado, deberá pagar, entre otras cosas, la actualización de su adeudo por inflación hasta la fecha en que lo liquide.

Suponga que un contribuyente, persona física, debe pagar $10,000 por concepto de ISR el 30 de abril. Si el pago lo realiza 3 meses después de la fecha en que debió realizarlo, ¿cuánto deberá pagar suponiendo que la inflación del primer mes fue de 0.30%, la del segundo de 0.52% y la del tercero de 0.41%?

5. Si un traje vale hoy $2,430 y la inflación del año fue de 4.75%, ¿cuánto costaba el traje hace un año?

6. El precio actual de un equipo de sonido es de $4,780. ¿Cuánto costaba ese equipo hace dos años, si la tasa de inflación al final del primer año fue de 3.12% y al final del segundo año fue de 2.95%?

7. Si el Índice Nacional de Precios al Consumidor de diciembre de 2010 fue de 99.7421 y el de marzo de 2011 de 100.797, calcule la tasa de inflación para el primer trimestre de 2011. ¿Cuál fue la tasa de inflación mensual promedio?

8. El índice de precios en junio de 1995 fue de 26.2204 y el de diciembre del mismo año de 29.9771. Calcule la inflación del segundo semestre de 1995 y la tasa promedio de inflación mensual.

9. La tasa de inflación en el mes de enero de 2011 fue de 0.49%, en febrero de 0.38% y en marzo de 0.19%. Calcule la tasa de inflación en los prime-ros tres meses de 2011.

10. En 2010, la inflación en Estados Unidos fue de 1.5%. Calcule la infla-ción promedio mensual de 2010.

11. Utilice el resultado que obtuvo en el ejercicio 8 y calcule cuál fue el pre-cio de un artículo en agosto de 2010, si en enero de 2010 costaba 2,700 dólares.

12. Las tasas de inflación anual de 2005 a 2010 se muestran en la siguiente tabla.

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Valor del dinero e inflación 161

AñoTasa de inflación

anual

2005 3.33%

2006 4.05%

2007 3.76%

2008 6.53%

2009 3.57%

2010 4.40%

Con base en esos datos, calcule:a) La inflación acumulada entre 2005 y 2010.b) La inflación promedio anual entre 2005 y 2010.c) El precio al final de 2010 de un artículo que costaba $8,000 al inicio

de 2005.

5.2 Valor del dinero e inflación

El dinero puede invertirse y ganar intereses y, por lo tanto, su valor aumenta a través del tiempo. Pero si hay inflación, su poder adquisitivo o de compra dismi-nuye, a pesar de que gane intereses. La inflación hace que el dinero futuro sea menos valioso que el dinero presente. Por ejemplo, si una persona ahorra $5,000 y el banco le paga 15% de interés anual capitalizable cada año, al cabo de un año recibe un monto de (5,000)(1.15) = $5,750. Pero si en ese año la tasa de inflación fue de 20% anual, esta persona habría perdido dinero; se estaría descapitalizando, ya que al final del año los $5,750 que obtuvo ni siquiera alcanzarían para reponer el poder de compra de su capital inicial, que ahora tendría que ser de (5,000)(1.20) = $6,000. En cambio, si la tasa de interés hubiera sido de 30% anual capitalizable cada año, el monto al final del año sería de (5,000)(1.30) = $6,500; en este caso, el ahorrador tendría una ganancia de $500, los cuales pueden gastarse o bien rein-vertirse con el fin de incrementar el capital. Si la tasa de interés hubiera sido igual a la tasa de inflación, el poder adquisitivo del capital se hubiera mantenido intacto. En este caso el ahorrador mantiene su poder de compra.

Respecto al dinero invertido en instrumentos financieros, se sufrirá una pér-dida del poder adquisitivo o poder de compra de la moneda si la tasa de inflación es mayor que la de interés. El poder de compra aumenta si la tasa de interés es mayor que la tasa de inflación. Si ambas tasas son iguales, el poder de compra se mantiene.

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Ejemplo 5.7

Unos jeans se pueden comprar en $160 directamente con el fabricante. Usted dispone en este momento de $8,000 y piensa usarlos para comprar pantalones y venderlos en un tianguis. En lugar de comprarlos, podría invertir el dinero durante un año en un fondo de inversión que paga una tasa de interés de 5% anual capitalizable cada mes. Si la inflación de los próximos 12 meses se estima en 9%, ¿cuántos pantalones puede comprar en este momento y cuántos al cabo de un año?

Solución

En este momento usted puede comprar:

8 000

16050

,=

pantalones

Si en lugar de comprar los pantalones invierte el dinero, el monto al cabo de un año será:

F 8 000 1005

128 40930

12

,.

$ , .

En ese mismo año, los pantalones aumentarán de precio un porcentaje igual a la inflación; por lo tanto, el precio de cada pantalón al cabo de un año será:

Precio = + =160 1 009 17440( . ) $ .

El número de pantalones que se podrían comprar al cabo de un año sería de:

8 40930

1744048

, .

.=

pantalones

Como se observa, el interés ganado no alcanza para cubrir el incremento de precio que genera la inflación, lo que significa que el dinero invertido no conserva su poder de compra.

Ejemplo 5.8

Respecto al ejemplo anterior, ¿qué porcentaje de su poder adquisitivo perdió el inversionista?

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Solución

Para poder calcular el porcentaje de pérdida del poder adquisitivo o poder de com-pra del dinero, se razona de la siguiente forma:

Un pantalón se podía comprar con $160 hace un año, y actualmente se compra con $174.40. Por lo tanto, actualmente con $160 sólo se podrá comprar una frac-ción del pantalón, en específico, se puede comprar:

160

174400917431

..= de pantalón = 91.7431% de un pantalón

En consecuencia, los $160 perdieron 100 91.7431 = 8.2569% de su poder adquisitivo en un año.

Otra forma de resolver el problema sería la siguiente: $160 de hace un año no tienen el mismo poder adquisitivo que $160 hoy, debido a la inflación de 9%. Por lo tanto, se calcula el valor en pesos constantes de hace un año de $160 de hoy, mediante la ecuación (5.3):

VR = =160

10914678899

.$ .

El resultado significa que $160 de hoy tienen un poder de compra igual a $146.78899 de hace un año. Por lo tanto, se tuvo una pérdida de $160 $146.78899 = $13.21101, que corresponde a un porcentaje de:

1321101

1600082569 82569

.. . %= =

Ejemplo 5.9

Según el Banco de México, la inflación anual en 2010 fue de 4.4%. ¿Cuál fue la pérdida de poder adquisitivo, en porcentaje, de un trabajador que no recibió nin-gún incremento de sueldo a lo largo del año?

Solución

Suponiendo un sueldo actual de $100, el valor en pesos constantes de hace un año es:

VR = =100

10449579

.$ .

El valor del dinero (poder adquisitivo) es inversamente propor-cional al índice nacional de precios al consumidor.

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Por lo tanto, la pérdida fue de $ $ . $ .100 9579 421 , lo cual corresponde a 4.21% de pérdida del poder adquisitivo.

En una economía inflacionaria, el asalariado que no recibe incrementos de sueldo, o recibe un incremento inferior a la tasa de inflación, se empobrece, ya que el poder de compra de su salario se reduce en forma tal que termina por ser insufi-ciente para mantener su nivel de vida anterior.

Ejemplo 5.10

¿En cuántos años se reduce a la mitad el poder adquisitivo del dinero, suponiendo una inflación de 10% anual?

Solución

Reducir el poder adquisitivo a la mitad significa que $50 hoy tendrán el mismo poder de compra que $100 dentro de n años; por lo tanto,

50100

1 010=

+( . )n

Entonces,

( . )1 10100

502n = =

Es decir,

n(log . ) log110 2=

n = =log

log ..

2

1107272540897 años

n = 7 años 3 meses 8 días

Un concepto importante es el de tasa de interés real, la cual indica el aumento o pérdida de poder adquisitivo de una moneda en una unidad de tiempo, por lo general un año. Tasa de interés real o simplemente tasa real, simbolizada por iR, es el rendimiento que se obtiene por una inversión una vez descontada la infla-ción.

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Ejemplo 5.11

Eduardo prestó $120,000 con una tasa de interés simple de 15% anual y 15 meses de plazo. El día que efectuó el préstamo, el índice de precios era de 95.143 y en la fecha de vencimiento de 100.60. Calcule:

a) El monto que recibe Eduardo, expresado en pesos corrientes.

b) El monto expresado en pesos constantes al día del préstamo.

c) La tasa de interés real que se obtuvo en el periodo.

Solución

a)

F VC 120 0001015

1215,

.( ) $ ,142500

b) La inflación que ocurrió en el periodo de 15 meses fue

l 10060

951431 5736

.

.. %

Por lo tanto, el monto expresado en pesos constantes a la fecha del préstamo es:

VR =+

=142500

1 005736134 76961

,

( . )$ , .

c) Nominalmente, Eduardo tiene un monto de $142,500, pero debido a la inflación ese dinero tiene un valor real de $134,769.61 de hace 15 meses. Debido a que las cantidades $120,000 y $134,769.61 están expresadas en pesos constantes, la tasa de interés real ganada en el periodo de 15 meses se puede calcular mediante la fórmula del interés compuesto, donde i = iR:

134 76961 120 000 1

134 76961

120 000

1, . , ( )

, .

,

= +

=

iR

11+ iR

Así,

iR 11231 1 01231 1231. . . % en el periodo de 15 meses

A pesar de la inflación, Eduardo obtuvo una ganancia ya que la tasa real es positiva.

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Al generalizar el procedimiento que se utilizó en el ejemplo 5.11, inciso c, es posible deducir una fórmula que nos permita obtener la tasa de interés real efec-tiva por periodo. Esta fórmula se conoce como fórmula de Fisher, en honor del matemático y economista Irving Fisher (1867-1947):

i

iR

e ll1

(5.7)

donde iR es la tasa de interés real, ie la tasa de interés efectiva por periodo y l la tasa de inflación en el mismo periodo que la tasa de interés.

Ejemplo 5.12

Con ayuda de la fórmula de Fisher, determine la tasa de interés real del ejemplo anterior.

Solución

Antes de utilizar la fórmula de Fisher, es necesario expresar la tasa de interés en el mismo periodo en que está expresada la tasa de inflación, esto es, 15 meses.

Como se trata de una tasa de interés simple, entonces

Tasa efectiva por periodo = 15

1215 18 75

%( ) . %= en el periodo de 15 meses

Al sustituir los datos en la fórmula de Fisher, tenemos

iR

0 1875 0 0574

1 0 05740 1231 12 31

. .

.. . % en el periodo de 15 meses

Ejemplo 5.13

Si la tasa de inflación anual fue de 4.4% y se ganó en una inversión por el mismo plazo una tasa de interés de 3.7% anual capitalizable cada mes, ¿cuál fue la tasa real que se obtuvo en el año?

Solución

Para poder utilizar la fórmula de Fisher, es necesario obtener, primero, la tasa de interés efectiva anual.

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ie 10 037

121 3 7634

12.

. % anual

Al sustituir en la ecuación (5.7), resulta

iR

0 037634 0 044

1 0 0440 0061 0 61

. .

.. . % annual

La tasa real es negativa, o sea que la inversión no resultó redituable, ya que se sufrió una pérdida en términos de poder adquisitivo.

Ejemplo 5.14

El director de finanzas de una empresa deposita en una sociedad de inversión $2’500,000 cada fin de año, durante 4 años. La tasa de interés real es de 8.64% anual capitalizable cada año. Si las tasas de inflación anuales de cada uno de los cuatro años son las que se muestran en la siguiente tabla:

AñoTasa de inflación

anual

0

1 4.12%

2 4.00%

3 4.16%

4 4.10%

a) Calcule el valor futuro de los depósitos al final de los 4 años, sin considerar la inflación.

b) Muestre el flujo de efectivo en términos de pesos constantes del año cero.

c) Calcule el valor futuro de los depósitos al final de los 4 años, en términos de pesos constantes del año cero.

d) Calcule el valor futuro de los depósitos al final de los 4 años en pesos corrientes, es decir, considere la inflación.

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