Centro Regional Misiones Estacin Experimental Agropecuaria Montecarlo Av. El Libertador Nr. 2472 (3384) Montecarlo Misiones 03751-480057/480512 - E-mail: intam@ceel.com.ar MODELOS DE CRECIMIENTO Y PRODUCCIN FORESTAL Fabio A. Moscovich** Trabajo financiado parcialmente por:Instituto Nacional de Tecnologa Agropecuaria (INTA) Estacin Experimental Agropecuaria (EEA) Montecarlo **-Ing. Forestal, M.Sc. INTA E.E.A. Montecarlo. Av. El Libertador 2742 (3384) Montecarlo Misiones. Tel./Fax: (+54) 3751 480057/512. E-mail: fmoscovich@ceel.com.ar Informe Tcnico N 55 2004 n d I c e 1. INTRODUCCIN ........................................................................................................ 1 2. CONCEPTOS BSICOS ............................................................................................ 3 2.1 CONCEPTO DE CRECIMIENTO Y PRODUCCIN...........................................................3 2.2 CONCEPTO DE MODELO Y MODELADO.....................................................................4 2.3 CONCEPTO DE SIMULACIN Y MODELO MATEMTICO ...............................................5 3. CLASIFICACIN DE LOS MODELOS DE CRECIMIENTO Y PRODUCCIN.......... 6 3.1 TABLAS DE PRODUCCIN.......................................................................................8 3.1.1 TABLAS DE PRODUCCIN NORMALES....................................................................9 3.1.2 TABLAS DE PRODUCCIN EMPRICAS ....................................................................9 3.1.3 TABLAS DE PRODUCCIN DE DENSIDAD VARIABLE................................................10 3.2 MODELOS TERICOS...........................................................................................10 3.3 MODELOS EMPRICOS..........................................................................................12 4. MODELOS DE DISTRIBUCIN DIAMTRICA........................................................ 13 4.1 FUNCIONES PROBABILSTICAS .............................................................................13 4.2 MATRIZ DE TRANSICIN.......................................................................................14 4.2.1 CADENA DE MARKOV Y TEST DE SIGNIFICANCIA...................................................20 4.2.2 ORDENAMIENTO DEL PROCESO..........................................................................21 5. MORTALIDAD.......................................................................................................... 25 5.1 APROXIMACIONES EMPRICAS ..............................................................................29 6. INGRESO Y RECLUTAMIENTO .............................................................................. 31 6.1 MODELOS ESTTICOS .........................................................................................31 6.2 MODELOS DINMICOS .........................................................................................32 6.3 MODELOS DE REGENERACIN..............................................................................34 7. BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................ 36 1 1. INTRODUCCIN El estudio del crecimiento y de la produccin presente y futura de los rboles yrodalesforestalesesbsicoyfundamentalparalaplanificacinyadministracin forestal. Con la creciente importancia que la silvicultura de produccin conquista en la manufacturadeproductosforestales,crecetambinlanecesidaddeinformaciones cuantificadassobreladisponibilidaddemateriaprimaquepuede serproducidapor los rboles y por los rodales forestales (naturales o plantados). Obviamente,talesinformacionesnumricaspuedenserobtenidascomo consecuencias de la experiencia acumulada por la observacin y por la prctica. As,CLUTTERetal.(1983)afirmaqueelmanejoforestaltienemucha similaridadconelmanejoindustrial.Enambasactividades,diferentesnivelesde entrada al proceso resultan en salidas correspondientes y, en consecuencia, lucros o prdidas para la empresa. Enestecontexto,losmodelosdecrecimientoydeproduccinson universalmenteaceptadoscomoinstrumentosdeincontrastableutilidad.Decisiones ptimasalrespectodelosnivelesdeentradamasadecuados,ordenamientoenel tiempo, intensidadde intervencionesy otrasmodificaciones delprocesode manejo, exigenprediccionesacertadasdelosresultadosquesonobtenidosentodaslas combinaciones relevantes de esos niveles. Estas decisiones de manejo forestal son anlogas a las referentes al nmero deturnosdetrabajo,materiaprimaaserusada,alteracindelprocesoindustrial, etc. (CLUTTER et al., 1983). Enlainvestigacinyenlaplanificacindelaproduccinforestal,la disponibilidaddemodelosdecrecimientoydeproduccindocumenta,puede mostrarsimilitudesydiferenciassobreelcrecimiento,laproduccinysobrela productividad forestal como un todo. A pesar de que los estudios sobre crecimiento y produccin se han iniciado en Europahaceunos200aos,elgranprogresoenstareadeinvestigacin acontecienestesiglo,apartirdelostrabajosdeMackinneyetal.(1937), Schumacher(1939)yMackinney&Chaiken(1939),op.cit.porBRENA&BOM (1991)yAHRENS(1990),coneldesarrollodemodelosdeproduccincon densidades variables y, principalmente, despus de los trabajos de Turnbull (1963) y Peinar (1965), op. cit. por BRENA & BOM (1991), que solucionaron el problema de la incompatibilidad de los modelos de crecimiento y produccin. Noobstante,esenestastresltimasdcadas(CLUTTERetal.,1983y HUSCHetal.,1982)quesepuedeobservarunvertiginosocrecimientoenlos esfuerzos de investigacin en esta rea. El objetivo de este trabajo es documentar un anlisis global de los modelos de crecimientoyproduccinforestal,resaltandoaquellosquetenganmayorusoo aplicacindentrodelosestudiosforestales;enumerarlosmodelosdedistribucin diamtrica, con nfasis en el desarrollo y uso de matrices de transicin (o cadena de Markov) y la recapitulacin de las ecuaciones mas usadas para estimar la mortalidad y elingresoderboles, endiferentesclasesdiamtricas, enlosdiferentes modelos de crecimiento y produccin. 2 Adems, el presente trabajo pretende ser una orientacin sobre la bibliografa existentesobreeltema,destacandolospuntosqueestnsiendoobjetodeestudio por muchos investigadores en todo el mundo. 3 2. CONCEPTOS BSICOS Lossistemasforestales(ecosistemasforestales)estnentrelosmas complejos,principalmentelosbosquesnativos,ydemodoespeciallosbosques neotropicalesdealtsimadiversidadbiolgica.Cualquiersistemaforestalest compuestoporcomponentesfsicos(climticos,edficos,topogrficos,etc.)ypor componentesbiolgicos(animalesyplantas).Laintegracinodependenciamutua de estos componentes dificulta la comprensin del funcionamiento del sistema como untodo,osea,cualessonlosfactoresquegobiernaneldesarrollodelbosque. Entonces,laplanificacindelaproduccin forestalnoesunatareafcil;aunqueel cerebrohumanotengacapacidadparadescifrarmuchosobreelfuncionamientode las interacciones del sistema forestal, hay una dificultad en integrar las informaciones y usarlas para el manejo racional del bosque. 2.1 Concepto de crecimiento y produccin Inicialmenteesprecisocomprenderydiferenciarelsignificadodevarios trminos,como:crecimiento,produccin,modelo,modelado,etc.parapoder representar y describir correctamente estos fenmenos. Comprenderadecuadamentelasdiferenciasentrelossignificadosdelas expresionescrecimientoyproduccinesfundamentalparacualquieresfuerzo direccionado al estudio. Estas expresiones son usadas, en muchos casos, en forma indebidallegandoausarsecomosinnimos.Respectoaesto,SPURR(1952) sugiere que una parte de la gran confusin general envolviendo las predicciones de crecimientopuedeserdebidaainterpretacionesinadecuadasdelostrminos crecimiento y produccin. De acuerdo con HUSCH et al. (1982) el crecimiento de los rboles consiste en elalargamientoyengrosamiento de las races, talloyramas. SPURR (1952)define crecimientocomolasumadelosincrementosenunperododetiempodado.Para Avery&Burkart(1983),op.cit.porBRENA&BOM(1991)yAHRENS(1990), crecimientoesunprocesointermitentecaracterizadopormudanzasenlaformay dimensiones del tronco, en un perodo de tiempo dado, o sea, el incremento ocurrido en un perodo de tiempo considerado. Segn VANCLAY (1994), el crecimiento se refiere al incremento en dimensin de uno o ms individuos del rodal a travs de un perodo de tiempo determinado (por ejemplo: crecimiento en volumen en m3ha-1a-1). Para GAUTO (1997), se entiende por crecimiento del bosque, o de los rboles quecomponenelbosque,lasmudanzasocurridasentamaoenundeterminado perodo de tiempo. Se sabe, por lo tanto, que en un bosque el crecimiento est dado porlaactividaddelosrbolesvivos,perolasumatoriadeloscrecimientos individualesnoreflejaelcrecimientoderodalcomountodo,porelhechodeque existen rboles que mueren, que son cortados y rboles que ingresan en las clases diamtricas inferiores durante el perodo de tiempo considerado. DeacuerdoconCARVALHO(1997),existevariacindecrecimientoentre especies,ascomopudehabervariacindentrodeunamismaespecieyentre individuos,debidoalas diferenciasquehayenlos tamaosygradodeiluminacin delascopasylainfluenciadefactoresgenticos.Lostratamientossilviculturales 4 puedendisminuirohasta,enalgunoscasoseliminarladiferenciadecrecimiento entre individuos de una misma especie y su patrn de crecimiento. Ahoraproduccin,segnSPURR(1952),eslacantidadtotaldemadera producida hasta un cierto momento. Para Avery y Burkart (1983), op. cit. por BRENA & BOM (1991) y AHRENS (1990), produccin se puede definir como la cantidad total demaderadisponibleparalaexplotacinenunmomentodado,osea,lasumade los incrementos anuales. DeacuerdoconVANCLAY(1994),produccinserefierealasdimensiones finalesal trminodeun cierto perodode tiempo quealcanzaelrodal (porejemplo: volumen en m3ha-1). Unanlisisdelasdefinicionescitadasanteriormentepermitequeseelabore un concepto genrico de estas expresiones, en el contexto de la Ingeniera Forestal, segn los trminos siguientes: Crecimiento:serefierealaumentoobservadoenladimensionesdeun determinado atributo de un rbol o rodal, por unidad de tiempo. Produccin: se refiere a la cantidad total de un atributo o de una caracterstica mensurabledeunrbolorodal,yquepuedeserevaluadoenunmomento especfico. 2.2 Concepto de modelo y modelado Segn SANQUETTA (1996), modelo: es una representacin fsica o abstracta delaformaofuncindeentidadesuobjetosreales.Porejemplopuedeser: ecuacionesmatemticasdeprocesosfisiolgicos,figurasoestatuas.Sobre consideraciones similares VANCLAY (1994) define modelo como una abstraccin, o una representacin simplificada, de algunos aspectos de la realidad. Los modelos estn siendo usados para los anlisis de sensibilidad, esto es, la bsquedadelaspartesdeunsistemadondeseamasprobabledealcanzarun resultado exitoso. Levins(1966),op.cit.porGLENN-LEWINetal.(1992),argumentaquelos modelospuedenmostrarpropiedadesgenerales,precisinorealidadoalguna combinacindeestos,peronuncalastrespropiedadessimultneamente.Poresto, esnecesariosacrificarporlomenosunadeestaspropiedadesenfuncinde maximizarlasotras.Estaesunaimportanteconsecuenciaparaunaaproximacin del modelado, haciendo la naturaleza y la forma del modelo como un reflejo de una preferencia sobre cual de las propiedades debera tener mayor peso. Enfuncindelodichoanteriormente,modelado:expresaprocesos,en nuestrocasoprocesosdedinmicaforestal,enlenguajedesmboloslgicoy matemticos.Elmodeladoinevitablementesimplificalosprocesos,noobstantelos modernosprocesosecolgicospuedenserbastantescomplejos(GLENN-LEWISet al., 1992). Tambin,podemosdecirque,unmodelodecrecimientoesunaabstraccin deladinmicaforestalnatural,abarcandocrecimiento,mortalidadyotroscambios en la composicin y estructura del rodal. Generalmente se usa el trmino Modelo de Crecimiento para hacer referenciaun sistema de ecuaciones con una prediccin de 5 crecimientoyproduccindeunrodalbajounaampliavariedaddecondiciones (VANCLAY, 1994). Losmodelosgeneradosduranteelmodeladotestanhiptesisquesonuna explicacinexplicitadelaspresuposicionesdelModelo.LosModelossonusados paraobservarlasconsecuenciasdelasprediccionesquedeserhechas naturalmenteseranmuycomplicadas,tomarandemasiadotiempo,onopodran realizarse por razones prcticas o ticas. Elmayorproblemaenelmodeladoeslavalidacindelmodelo(GLENN-LEWISetal.,1992).Existenmuchosmodelosplausiblesdeuntestdevalidacin apropiado.Laaptituddeunmodeloconpocosdatosensmismonoessuficiente paramostrarlaeficienciadelmodelo;modelosdiferentesconrestricciones diferentes, no obstante, pueden tener resultados similares. SANQUETTA(1996)afirmaque,inicialmentecualquiermodeloesuna representacinimperfecta,noobstanteestepuedesermejoradopocoapoco. Algunos llegan a la perfeccin, tornndose la propia realidad (en el caso de objetos artificialescomounaeromodelo),otrosjams(objetosnaturales,comounpjaro, porejemplo).Poresto,unmodelodeprocesosbiolgicosnopudeserperfecto (ciertooerrado),puedeapenasserunarepresentacinbienhechaonodela realidad. 2.3 Concepto de simulacin y modelo matemtico Lasimulacindifieredeltrminomodelado,puesnoessimplementela reproduccinderesultadosdeunmodelomatemtico.Es,enverdad,unatcnica paratestarlascaractersticastericasyprcticasdeModelosatravsdela validacindecondicionantes.Estoes,latcnicaquepermitetestarlas consecuencias de alteraciones en las condiciones originales en que un modelo dado fue concebido (SANQUETTA, 1996). Daellenbachetal.(1993),op.cit.porBRENA&BOM(1991),consideranun sistemacomounconjuntoagregadodecomponentesquesecomplementande algunaformayquesonnaturalmentedependientes,siendofundamentalesparael desarrollo de estudios de modelado. UnModeloMatemtico,segnEZEQUIELyFOX(1959),esunaecuacin algbrica que expresa la relacin lgica esperada entre dos o ms variables. As, un modeloesunaexpresinmatemticadelashiptesis,segnelcual,losdatos observadossernexaminadosparaverificarseloshechossoportanonolas hiptesis, y para determinar los valores de las estadsticas. Porotrolado,unmodelopuedeserunarepresentacinsimplificadadeun sistema,unavezqueloscomponentesprincipalesdeunsistemarealohipottico debenestarrepresentadosenlainvestigacin,Enelmbitodelmanejoforestaly especialmenteenelestudiodecrecimientoyproduccinforestal,elcrecimientode unrbolodeunrodalpuedeserevaluadobajolapticadeunsistemade produccin. 6 3. CLASIFICACIN DE LOS MODELOS DE CRECIMIENTO Y PRODUCCIN Losmodelosdeproduccinreflejandiferentesprcticassilviculturales, filosofas de modelado y niveles de complejidad matemtica. Segn GLENN-LEWIS et al. (1992), existen numerosos caminos para clasificar los modelos (PIELOU, 1981; USHER,1981;JEFFERS,1982).Enprincipiorealizaremosunaclasificacin especficamenteparaladinmicavegetalquemuestracomolosmodelos sucecionales se vienen desarrollando: a)Modelos analticos: son tericos, explicativos por expresiones basadas en los principiosinicialesquesonderivadosdecaractersticasobservadasdel comportamientodesistemasecolgicos.Estosmodelossebasanenuna buenacomprensinecolgicayenladeterminacinderesultadoslgicos, partiendo de presuposiciones y postulados ciertos, confeccionados a partir de observacionesdesistemasecolgicos.Losmodelosanalticossonsimples, aunquegeneralesyprecisos.Ellossonusualmenteusadosparauna explotacin heurstica y sus consecuencias (PIELOU, 1981). b)Modelos estadsticos: son expresiones estocsticas donde los parmetros son lasprobabilidadesdeloseventos,seandereemplazootransicinde especiesporespecieoestadoporestado(dondeelestadoestadefinido externamente, como una clasificacin de las comunidades). Este modelo usa las predicciones probabilsticas de la dinmica vegetal, por testes casuales de loseventossucesionales,formandounaestructuraestimadaprecisadel tiempoasociadaconloseventossucesionales,dondelasprobabilidades estn asociadas a un escalonamiento a travs del tiempo. Laformadelosmodelosestocsticossonmasgenerales,noobstante,ser ms caractersticos, no son muy realistas. La precisin depende, en este tipo de modelo, fundamentalmente de los parmetros mensurables. c)Modeloslotricos:otraformadelosmodelosestadsticos,tienefundamento suusoenlaecologa.Porejemplo,Liljelundetal.(1988),op.cit.GLENN-LEWIS et al. (1992), uso los modelos lotricos para mostrar las diferencias en la calidad de vida a travs de la historia, especficamente en la produccin de semillas y la longevidad de las plantas, estimando por sucesin a partir de la composicin florstica de un sitio determinado. d)Modelosdesimulacin:sonunatentativadeduplicarelcomportamientoreal de un proceso o fenmeno. Son reales y precisos, pero no son de aplicacin general.Tpicamente tienennumerososparmetrosfuncionales, significancia ecolgica(porejemplo:luzyhumedad,exposicintopogrfica,condiciones delsubstrato,crecimiento,caractersticasdemogrficas,competicin, reproduccin, etc.) y consecuentemente usan sitios y especies caractersticas. Losmodelosdesimulacinsondesarrolladosapartirdeunpuntoquees usado para la prediccin y para el anlisis de sensibilidad. Todosestosmodelossonmodelosdesucesineneltiempo.Menos desarrollados,perobajoinvestigacinactiva,seencuentranlosmodelosde vegetacinenelespacio(porejemplo:modelosespacialesderegresiny geoestadsticos).Serealizanobservacionescontinuascombinandosucesiny modelosespacialesdentrodemodelosecolgicosdeespacio-tiempo.Elxitodel modeloespacio-tiemposeencuentraenlanecesidaddehacerunapresentacin 7 explicita de escalas, como la sucesin en funcin de parches (gaps) dentro de una comunidad, o comunidades en la superficie. Otraalternativadeorganizardemanerasistemticalasfunciones matemticasparaladescripcindelcrecimientoydelaproduccinfueelestudio desarrolladoporMUNRO(1974).Lainiciativadeaquelautorocurrienunperodo enque el usodelas computadores, comoinstrumento auxiliarpara la investigacin forestal se volva cada vez mas difundido. De la misma forma, en estas tres ltimas dcadas, nuevas y sofisticadas tcnicas estadsticas fueron desarrolladas, as como tambin fue intensificado su uso en la ciencia forestal. LaclasificacindepropuestaporMUNRO(1974),comosigue,sintetizalos diferentes enfoques analticos utilizados en la poca: a)Modelos para rodales forestales (Modelos Globales): a.1) modelos libres de densidad; a.2) modelos de densidad variable; a.3) modelos de distribucin diamtrica. b)Modelos para rboles individuales: b.1) dependientes de la distancia; b.2) independientes de la distancia. Posteriormente,Smith&Williams(1980),op.cit.porMUNRO(1983), sugeranalgunasmodificacionesenlaclasificacinoriginaldeMUNRO(1974), partiendo de un substancial aumento en nuevos enfoques y principios del modelado delcrecimientoydelaproduccinqueyahabanquedadoevidenciadosconel avancedelacienciaforestal.Durantelamismapoca,EKyMONSERUD(1981) tambinpropusieronunaclasificacinparalasdiferentestcnicasdemodeladoen crecimientoyproduccin,masabarcativo,dondeseincluanlassiguientes categoras: a)mtodos tradicionales de construccin de tablas de produccin; b)ecuaciones diferenciales; c)procesos estocsticos; d)mtodos de distribucin; y e)modelos para simulacin del crecimiento de rboles individuales. Otra clasificacin fue propuesta fue por CLUTTER et al. (1983), como sigue: 1.modelos para bosques nativos 1.1 diferentes edades 1.2 misma edad 2.modelos para bosques plantados 2.1 con raleos 2.2 sin raleos 8 Noobstante,laclasificacinmasrecienteyampliaparalosdiferentes enfoquesdelmodeladodelcrecimientoydelaproduccin,fuelapropuestapor DAVIS & JOHNSON (1987), de la siguiente manera: 1.modelos para rodales 1.1 modelos de densidad completa 1.1.1modelos de produccin normal 1.1.2modelos de produccin empricos 1.2 misma edad 1.2.1para prediccin de la produccin corriente a)modelos explcitos b)modelos implcitos 1.2.2para prediccin del crecimiento y produccin futura a)modelos explcitos -prediccin directa del crecimiento -prediccin de la densidad del rodal b)modelos implcitos 2.modelos por clases diamtricas 2.1 proyeccin emprica de la tabla de frecuencias 2.2 modelos de crecimiento para clases de dimetro 3.modelos para rboles individuales 3.1 modelos dependientes de la distancia 3.2 modelos independientes de la distancia Unanlisisglobaldelasdiferentesfilosofasdeestudioencrecimientoy produccin revela la existencia de dos formas bsicas para presentar los resultados numricosdecualquierinvestigacinenelrea:tablasyecuaciones.Los primerosestudios sobrecrecimientoyproduccinregistradosenlaliteraturafueron lastablasdeproduccin.Antesdeldesarrollodelastcnicasdeanlisisde regresin,lasinformacionesforestalesporunidaddereaeranajustadasatravs demtodosgrficosparaposibilitarlaobtencindeestimativasdeproduccinpor clasesdeedad.Estasestimativaseran,posteriormente,presentadasbajolaforma detablasdeproduccin.Despusdeldesarrollodetcnicasdeanlisisde regresin,losresultadospasaronaserpresentadosatravsdeecuaciones, ajustndose modelos matemticos de diferentes grados de complejidad. Una discusin breve sobre esta forma tradicional para sumarizar y reportar las estimativas de produccin de madera es presentada como sigue: 3.1 Tablas de produccin SegnHUSCHetal.(1982),sepudedefinirunatabladeproduccincomo: una presentacin tabulada del volumen de madera y de otras caractersticas de un 9 rodal, por unidad de rea, para diferentes clases de edad, sitio, especie y densidad. Obviamenteporsernecesarioconocerlaedaddelrodal,elconceptodeTablade Produccin,tantoensudesarrollocomoensuuso,esaplicablesolamenteen rodales de edad homognea. Existentresdiferentesclasesdetablasdeproduccin:a)tablasde produccin normales; b) tablas de produccin empricas y c) tablas de produccin de densidad variable. 3.1.1 Tablas de produccin normales Estas tablas fueron desarrolladas en Alemania, en el inicio del siglo XIX, para bosquesnaturalescompletamenteestocadosonormales,nosujetosaraleos,y representanlosestudiospionerosdeprediccindelcrecimientoydelaproduccin volumtrica(CLUTTERetal.,1983).Enestecaso,losvaloresdeproduccinson estimadosbajolasuposicindequeunrodaldeterminadosiemprecreci totalmenteestocado;osea,sepresuponequeelespaciodisponibleparael crecimientosiemprefueplenamenteutilizadoporlosrbolesyestossiempre crecieron lo mximo de su capacidad de crecimiento. SegnSPURR(1952),enlosEstadosUnidosdeAmrica,losprimeros estudios fueron desarrollados por CARY en 1896, PINCHOT en 1898 y GRAVES en 1899.Estosestudiossebasaron,inicialmente,enanlisisdecepas,lascuales producaninformacionesdelcrecimientocorrientedelosrbolesindividuales,sin considerar la mortalidad, ingresos y otras informaciones que posibilitan la prediccin del crecimiento lquido del rodal. Lasprimerastablasdeproduccinnorma,enNorteAmrica,segn SCOLFORO(1990),fueronconfeccionadasporPinchot&Gravesen1896.Estas tablas son de dobleentrada, dondeel volumen por unidad de reaes funcin de la edadydelsitio,dandoestimativasdelcrecimientoyproduccinenrodalespuros completamenteestocados.Estetipodetablaspresentalossiguientes inconvenientes: 1.las variables independientes no pueden ser evaluadas perfectamente; 2.solosonaplicablesenrodalescompletamenteestocadosynosujetosa raleos; 3.son elaboradas a partir de datos obtenidos en parcelas temporarias; y 4.lastablassonconstruidasgrficamente,loquedificultalasrelaciones cuando se envuelven mas de dos variables. 3.1.2 Tablas de produccin empricas Antelosevidentesproblemasdenaturalezaconceptual,ascomodeorden prctica,endefinirdeformacuantitativaloqueseraunrodalnormal,aliniciode estesiglovariosinvestigadoresconcibieronelconceptodeTablasdeProduccin Empricas.SegnHUSCHetal.(1982)estosmodelossonsimilaresalosde produccin normal los que se basan en datos provenientes de unidades de muestreo en reas de stock medio en vez de considerar reas de stock completo. La densidad 10 esconsideradaconstanteylaproduccinesexpresadaenfuncindeladensidad media del rodal. As, las tablas de produccin empricas pueden ser aplicadas a cualquier tipo rodalessinllevarenconsideracinelstock,bastandohacerunsimpleajusteen funcin de la densidad media del mismo. Decualquierforma,tantoelstocknormalcomomedio,sonconceptos subjetivos,dedifcildescripcinyqueraramentepuedensercalificadosenforma adecuada. 3.1.3 Tablas de produccin de densidad variable Debidoalas dificultadesexpresadasanteriormente,MacKinneyetal.(1937), op.cit.porBRENA&BOM(1991)yAHRENS(1990),usaronladensidaddelrodal comovariableindependiente,duranteelprimerestudiosobrecrecimientoy produccin,utilizandoelmtododelosmnimoscuadrados.Comoresultadode estos trabajos, surgieron las Tablas de Produccin de Densidad Variable. Estosmodelosfuerondesarrolladosconsiderndosequelaproduccines funcin del sitio, edadydensidad,yqueladensidadesuna variable dinmica yno unaconstante.Osea,estetipodetabladeproduccinpresentalosvaloresde produccin de madera para diferentes niveles de densidad poblacional una vez que ladensidadesinicialmentetomadacomounadelasvariablesindependientesdel modelo. Estos modelos son aplicados para predecir la produccin corriente y futura. La distincinentreestasdossituacionesesmscomplejaquelasimplecomparacin delaspalabrascorrienteyfuturapodrasugerir.SegnCLUTTERetal.(1983),la diferenciabsicaesquelaprediccindelaproduccincorrientenoenvuelvela proyeccindeladensidaddelrodal,entantoquelaprediccindelaproduccin futura incluye esta proyeccin, en forma implcitao explcita. Apesardel evidenteprogresoobservado enlastcnicasy/oenfoquessobre laconstruccindeTablasdeProduccin,MOSER&HALL(1969)enfatizanque: sersiemprepreferiblepresentarinformacionessobrecrecimientoyproduccinen formadeecuaciones.Estaafirmacinsedebealhechodequeactualmentese disponedetcnicasmodernasdeestadsticaydecomputadores.Laexistenciade estasdosfacilidadesbeneficiaeltrabajodemodeladoascomoelusopracticode modelos. Adems, segn HUSCH et al. (1973), una gran ventaja sobreviene del uso detcnicasdeAnlisisdeRegresin,yqueestas,ademsdeproporcionarel desarrollo y/o el ajuste de una funcin de produccin, permiten tambin, y en forma adicional, que se produzcan las tablas de produccin asociadas a cada modelo. 3.2 Modelos tericos LosModelosTericossonaquellosdesarrolladosconbaseenalgunateora biolgicadelcrecimientodelosseresvivos,Enestecaso,loscoeficientesdel modelo matemtico se relacionan con un fenmeno o caracterstica biolgica. 11 LosmodelostericossontambindenominadosModelosBiolgicosdado quesuconcepcinfuebasadaenalgunaLeybiolgicadecrecimiento.Poreste motivo, segn SMITH & KOZAK (1984), se puede decir que los modelos tericos son tiles para auxiliar en el esfuerzo que eventualmente pueda existir para explicar el crecimiento,yque,consecuentemente,estospuedenserusadospararealizar extrapolaciones. LosestudioselaboradosporCLUTTERetal.(1983)contienenunanlisis bastantedetalladosobrelosmodelostericosdecrecimientoydeproduccinmas frecuentementeusados:ecuacinexponencial,ecuacindeGompertzylafuncin deChapman-Richards.Conelobjetivodeejemplificarlaestructuramatemticade losmodelostericosenesteestudiosepresentarsolamenteunadescripcindel modelodeChapman-Richards,dadoqueesteincorpora,tambin,importantes caractersticas de los dems modelos tericos. ElmodelodeChapman-Richards,segnlocitadoporCHAPMAN(1962) despus de los estudios desarrollados por RICHARDS (1959), es una generalizacin delmodelodecrecimientopropuestoporVonBertalanffy,op.cit.porAHRENS (1990).Fueusado,inicialmente,paraelmodeladodelcrecimientoforestalen estudiosrealizadosporTURNBULL(1963),PIENAAR(1965)yPEINAR& TURNBULL (1973). Laformulacinpadrndelmodelosebasaenconsiderarlatazade crecimientodeunorganismo,opoblacin,comolaresultantedelatazade crecimientoanablica(metabolismoconstitutivodeunorganismo)ylatazade crecimiento catablica (metabolismo destructivo de un organismo). La taza anablica esconsideradaproporcionalaltamaodelorganismoopoblacin,elevadoauna potencia,entantoquelatazacatablicaesdirectamenteproporcionalaltamao (BRENA&BOM,1991).Esasrelacionespuedenserexpresadas,simblicamente, de la siguiente manera: ( ) V c V atVb. . =(3.1) donde: V = volumen; t = tiempo; a, b, c = constantes (a > 0; c > 0 y 0 < b < 1) La ecuacin 3.1 pertenece a una clase de ecuaciones diferenciales conocidas comoEcuacionesBernoulli(BRENA&BOM,1991).Cuandolaecuacin3.1es resueltaparalacondicindeY=0,cuandot=t0,lafuncinacumulativade crecimiento resultante, o funcin de produccin, es la siguiente: ( ) [ ] { }( ) [ ] bt t b a V =1 10. exp 1 . (3.2) donde:t0 = tiempo inicial La curva de crecimiento definida por la ecuacin 3.2 es sigmoidea, con origen enelpunto(t0,0),ytienelaasntotasuperiorigualaa.Silaecuacin3.1se resuelvebajolacondicininicialdequeV=V0,cuandot=t0,resultalasiguiente funcin acumulativa de crecimiento: ( ) [ ] { }( ) [ ] =1 10exp 1 t t V(3.3) donde: =( )( ) [ ] bc a 1 1 =( ) b c 1 12 =( )bV a c10. 1Los parmetros de las ecuaciones 3.2 o 3.3 pueden ser estimados a partir de datos de los puntos (t , V), usando la tcnica de los mnimos cuadrados no-lineares. PEINARyTURNBULL(1973)usaronelmodelosdeChapman-Richardscon datosdeplantacionesremedidasdePinuselliottiidelsurdefrica,paratestary confirmar la hiptesis de que, en un sitio determinado todos los niveles de densidad del rodal (en funcin del nmero de rboles por hectrea) convergen para la misma asntota volumtrica, representada por el valor de en la ecuacin 3.3. 3.3 Modelos empricos Existen,bsicamente,dostiposdemodelosdecrecimiento:losempricosy losbiolgicos.Losbiolgicossonmascomplejosenelajuste,porqueenvuelven regresiones no-lineares, y de difcil manejo, a pesar de brindar buenos resultados de crecimientoyproduccinforestal.Losmodelosempricos,ofuncionesartificiales, presentanformamatemticamassimple,facilitandoelajusteymanejo,ybrindan, igualmente, buenas estimativas del crecimiento. Estosmodelosintentanexplicarquesucedi,estsucediendoopuede suceder en el futuro. Es un mtodo con nfasis en la calidad de ajuste de los datos y de las predicciones (SANQUETTA, 1996). SegnCLUTTERetal.(1983),estosmodelossonaplicadosparala prediccindelaproduccinpresenteyfutura.Lasdiferenciasbsicasentreestos trminos ya fue aclarada en puntos anteriores. 13 4. MODELOS DE DISTRIBUCIN DIAMTRICA Una distribucin diamtrica es una descripcin cuantitativa de la estructura de un rodalforestal,cuandolafrecuenciadelnmeroderbolesporunidadderea,por clase de dimetro a la altura del pecho (DAP), con corteza, es presentada en forma tabularogrfica.Ladistribucindiamtricapuedesertambinrepresentadapor medio de funciones matemticas (funciones de probabilidad) (AHRENS, 1990). Estosmodelosexpresaneldesarrollodelrodalatravsdeladescripcindela evolucin de las distribuciones diamtricas (SANQUETTA, 1996). Tambin,segnBRENA&BOM(1991),estosmodelosofreceninformaciones sobrelaestructuradelapoblacin,pudiendoserutilizadosparaestimarla produccinpresenteyfutura,biencomolosproductosforestales.Suutilizacines fundamentalenbosquesheterogneos,dondelaedaddelosindividuosydela poblacin es indefinida. Enlaliteraturaexistentrestiposfundamentalesdemodelosporclasesde dimetro: funciones probabilsticas, matrices de transicin y procesos de difusin. 4.1 Funciones probabilsticas Enestosmodeloslaevolucindelasclasesdiamtricasestexpresadapor funcionesprobabilsticas,dondeloscoeficientesestnbasadosenlas caractersticasdelrodal.Lossistemasdeprediccinporclasesdiamtricasutilizan distribucionescontinuasdeprobabilidad,entreellasWeibull,Beta,Normal,etc. Debido a su alta flexibilidad y simplicidad matemtica la funcin de Weibull es la que presentamejorajuste,generalmente,alsistemadeprediccindedimetrospor presentar parmetros que correlacionan la edad con otras caractersticas del rodal. BALEY&DELL(1973)fueronlosprimerosenaplicarladistribucindeWeibull parapredecirladistribucindiamtrica.Laecuacinde Weibullesunadistribucin de tres parmetros definida por la siguiente funcin de densidad de probabilidad: (((

|.|

\| |.|

\| = c cxba xba xbcf exp1(a x < )(4.1) Elcoeficientearepresentaelparmetrodelocalizacin,beselparmetrode escala,ycelparmetrodeforma.Losparmetrosbycdebenser,siempre, positivos.Elparmetroa,engeneral,puedeserpositivo,negativo,ocero;pero cuandoaplicadoadistribucionesdiamtricasnodebesernegativo.As,como norma,estafuncindefinelaporcindeladensidaddeprobabilidadasociadacon cadavalorposibledelavariablealeatoriax.Aunquelafuncindedensidadde probabilidadparezcadifcil,ladistribucinesmuchomasfcildeusardequela distribucin normal, porque la forma exacta y la expresin analtica de la funcin de distribucin acumulativa existe y es relativamente de forma simple (CLUTTER et al, 1983). Lafuncindedistribucinacumulativa,deladistribucindeWeibull,estdada por la siguiente expresin: 14 (((

|.|

\| =cxba xexp F 1 (a x < )(4.2) Esta funcin ha sido utilizada con xito en un elevado nmero de estudios sobre crecimiento y produccin (COUTO, 1980; FINGUER, 1982; GLADE, 1986). Otra funcin que tambin fue usada para modelado por clases diamtricas es la funcinBeta()que,segnSCHNEIDER(1993),hasidoaplicadaconxitopara finesdeajustededistribucindefrecuenciasporclasesdiamtricasendiferentes tipos de rodales. La forma general de esta funcin es la siguiente: ( )( ) ( )} =badx x b a x . ., (4.3) donde:x = variable a ser investigada; a = limite inferior de la funcin; b = limite superior de la funcin; y = parmetros de la funcin; (,) = rea bajo la curva 4.2 Matriz de transicin Variosmtodosestnsiendodesarrolladosparaproyectarlaevolucinde rodalesdeedadesheterogneas.Estosmtodospuedenserclasificadosendos grandesgruposdeacuerdoconcualsealaunidadelementalconsiderada;siesel rbol(modelopararbolindividual)osieselrodal(modelopararodalcompleto). LosmodelospararbolesindividualesfuerondesarrolladosporBOTKIMetal. (1972);EK&MONSERUD(1974);ySCHUGART&WEST(1977),ofreciendoun poderosomediopararepresentarcompeticinentrelosrboles,mortalidad, variacinenlacomposicindeespecieseinfluenciasdelmedioambientesobreel crecimiento del bosque. Losmodelospararodalessonpornaturalezamuchomasagregados, representandoalrodalatravsdepocosparmetros(BOUNGIORNO&MICHIE, 1980). Lasmatricesdetransicinhansidousadasenelmodeladodesistemas complejos como el desarrollo de rodales forestales (USHER, 1966 y 1969; BRUNER & MOSER, 1973; BUONGIORNO & MICHIE, 1980; HIGUCHI, 1979; GLENN-LEWIS etal.,1992),enlasucesindepoblacionesanimales(USHER,1979)yenla sucesin vegetal (BINKLEY, 1980; GLENN-LEWIS et al., 1992). EstosmodelostienesuorigenenlosmodelosdeLesli&Lewis,op.cit.por BUONGIORNO&MICHIE(1980),dondefueronoriginalmentedesarrolladospara investigar el efecto de la estructura de edades sobre el crecimiento de una poblacin animal. En estos modelos los estados de la poblacin estn descriptos por vectores y la transicindeunestadoaotroestdescriptaporunamatriz.Seusaelcriteriode separar los rboles de una cierta clase diamtrica que crecen e ingresan en una, dos 15 omasclasesconsecutivasdeaquellaenlaqueseencuentrandelosrbolesque permanecenenlamismaclaseomuerenduranteunintervalodetiempo considerado.Elmovimiento(dinmica)delasclasesescalculadoatravsde probabilidadesqueconstituyenlallamadamatrizdetransicin.Lamatrizes entoncesmultiplicadaporelvectordefrecuenciasporclasesparaobtenerotro vector con frecuencias proyectadas para un momento futuro (SANQUETTA, 1996). El clculo de las probabilidades es realizado basndose en la divisin del nmero derbolesquepermanecenomigranparaotrasclasesporelnmerototalde rbolesenlaclasediamtricaencuestin.Lasproyeccionesoprediccionesson hechas, como mximo, para el mismo periodo en que la matriz fue construida. SegnBUONGIORNO&MICHIE(1980),losrbolesdelrodalpuedenser divididosenunnmerofinitodeclasesdetamao(n)especificadoporeldimetro de los rboles. El nmero de rboles vivos, dentro de una clase determinada, en un punto de tiempo t, escrito en notacin matricial, es el siguiente: ( )nt t ty y y Y , , ,2 1 = , o [ ]ity Y= ,para i = 1, 2, . . ., n clases de dimetro Durante un perodo especfico de crecimiento los rboles situados en la clase de dimetro i quedan en la misma clase o avanzan a la clase de dimetro siguiente. Losrboles,tambin,puedenmorirduranteelintervalo,opuedenser cosechadas. El nmero derbolescosechados en la clase dedimetro i, durante el intervalo ,deacuerdoconlosautoresreferidosanteriormente,estrepresentadoporel vector columna, hit; por lo tanto, la serie de cosechas (raleos) se puede escribir como sigue: ( )it t t th h h h , , ,2 1 = para i = 1, 2, . . ., n Adems, estos autores sealan que, a partir del acompaamiento del crecimiento y la mortalidad de un rbol dentro del rodal, se tiene lo siguiente: ai = probabilidad de que un rbol que est vivo en una clase de dimetro i, en el tiempo t, pero que no sea raleada durante el intervalo , permanezca viva y en la misma clase de dimetro i, en el tiempo t + . bi = probabilidad de que un rbol que esta vivo en la clase de dimetro i 1, en el tiempot,peroquenosearaleadaduranteelintervalo,estvivoyenla clase de dimetro i, en el tiempo t + . ci = probabilidad de que un rbol que esta vivo en la clase de dimetro i- 2, en el tiempo t, pero que no sea raleado en el intervalo , est vivo y en la clase de dimetro i, en el tiempo t + . mi = probabilidad de que un rbol que esta vivo en la clase i, en el tiempo t, pero que no sea raleado en el intervalo , muera en el intervalo de tiempo t + . = perodo de crecimiento entre t0 y t1, en que: 2 11+ + =i i i ic b a m ,para i = 1, 2, . . ., n-1; y n na m = 1 (ltima clase) Segn estos autores, la estimativa de la mortalidad es siempre incierta, pudiendo ser,sta,regularoirregular.Lamortalidadregularresultadelacompeticinentre 16 clasesdiamtricasmenores,aunque,ocasionalmente,algunosrbolesmayores tambinmueran.Ahora,lamortalidadirregularesprovocadaporfenmenos adversos, como ser: ataque de insectos, fuegos accidentales, enfermedades, etc. Si la mortalidad regular es previsible, no podemos decir lo mismo de la irregular. Elingreso,estoes,elnmeroderbolesvivosqueentranenlaclasede dimetro menor durante el intervalo de tiempo t para t + , est especificado por el vector It. Entonces,ladistribucindiamtricadelrodal,aserproyectadaeneltiempot para el tiempo t + y la situacin del rodal en el tiempo t + pueden ser totalmente determinadasporlasituacineneltiempot,porlosraleos,muerteseingresos ocurridos en el intervalo de tiempo , empleando las siguientes ecuaciones: ( )t t i t th y a I y1 1 1 + =+;y ( ) ( )t t t t th y a h y b y2 2 2 1 1 2 2 + =+ generalizando, tenemos: ( ) ( ) ( )nt nt n t n t n n t n t n n nth y a h y b h y c y + + = + 1 1 2 2 , donde: y1t+ = nmero de rboles vivos en la clase 1, en el tiempo t + ; y1t = nmero de rboles vivos en la clase 1, en el tiempo t; h1t = nmero de rboles cosechados en la clase 1, en el intervalo . Considerando que el nmero de rboles en la primera clase en el tiempo t + es elnmeroderbolesquepermanecenenestaclasedesdeeltiempot,maslos ingresos, tenemos que: ( ) ( ) ( ) ( ) = =+ + + + + + =niit itniit it i t t i th y h y h y B a y2221 1 1 2 1 1 0 1. donde: Bi=reabasaldelrboldedimetromediodelai-simaclasede dimetro; 0, 1 y 2 = constantes a ser estimadas. Por consiguiente, el modelo puede ser escrito en la siguiente forma matricial: ((((((((

+((((((((

((((((((

=(((((((((

+++++0000.0 0 0 00 00 00 0 004 43 32 21 14 4 43 3 32 24 3 2 14321

nt ntt tt tt tt tn n nnnttttth yh yh yh yh ya b ca b ca b ca bd d d d dyyyyy donde:d1 = a1 + 1i + 2 ; y di = 1i + 2para i = 2, 3, . . ., n Un ejemplo numrico tpico para aclarar este proceso, es mostrado en la Tabla 1. Losnmerossonoriginadosdeobservacionessobre50cuadrantesentresaos consecutivos. Todos los estados de la vegetacin fueron clasificados en tres clases: A,BoC.Noobstanteellossonoriginados,supuestamente,de50cuadrantes 17 localizadosaleatoreamente,elhechoquefueronobservadosentresestaciones anualesimplicaquelasobservacionessonestadsticamentenoindependientes (GLENN-LEWIS et al., 1992) TABLA1:Observacionesen50puntosdemuestreo.Cadaobservacines clasificada dentro de un estado designados por A, B o C. EstadosEstadosPunto de MuestreoT1T2T3 Punto de MuestreoT1T2T3 1AAA26AAB 2ABA27CCC 3BBC28AAC 4AAA29AAA 5BCB30CCC 6ACA31ABA 7AAA32BCB 8CCC33BCA 9BAC34CCC 10AAB35BBA 11BBB36BBA 12ABC37CBA 13AAA38CCB 14BBC39AAA 15AAA40AAA 16CCC41AAB 17CCC42CCC 18BCC43CCC 19BBB44AAB 20ACC45CCB 21CAB46CCC 22AAB47BBC 23BBB48AAB 24BBB49AAB 25ABB50BBC En los 50 cuadrantes, cada observacin doble despus del registro inicial, hacen untotalde100transectasdedatosanuales.Elprimercuadrantepuedeescribirse as: AAA Y muestra la transicin desde A para A. El segundo cuadrante, se escribe como: ABA Mostrando una transicin desde A para B y otra de B para A. La sumatoria de las 100 transiciones es mostrada en la Tabla 2: 18 TABLA2:Valoresderivadosdelas100transicionesqueocurrieronenlas50 secuencias de la Tabla 1. Por estado Estado ABC Total de la Lnea A1412440 B615930 C362130 Total de la Columna 333334100 Estos datos pueden ser colocados en forma matricial, formando una matriz de datos, de la siguiente manera: ((((

21 6 39 15 64 12 24 Dividiendo cada fila por el valor de la suma de cada columna (Tabla 2) formamos la matriz de transicin de probabilidades. Este es, dividiendo la primera fila por 40, y la segunda y tercera por 30, tenemos: ((((

=7 , 0 2 , 0 1 , 03 , 0 5 , 0 2 , 01 , 0 3 , 0 6 , 0PHaciendounanlisisdelomostradoenP,seobservaqueunelementopij,un elementoenlai-simafilayj-simacolumna,eslaprobabilidaddeobservaruna transicin desde el i-simo hasta el j-simo estado. Entonces, para un cuadrante que esta en el estado A, tiene una probabilidad de 0,6 (60%) de continuar en el estado A despus de pasar un ao, una probabilidad de 0,3 (30%) de mudar para el estado B, y una probabilidad de 0,1 (10%) de mudar al estado C. La matriz de probabilidades P tiene dos importantes usos matemticos, y un uso prctico.Primero,esusadaparapredecircomopuedeserunsistemaenelfuturo. EnunanuevaobservacindelaTabla1sepuedenadvertir15cuadrantesenel estadoA,18enelestadoBy17enelestadoC.Estosvaloressonusadoscomo elementosparalaconstruccindeunvectorlineal,denominadodevectorde estados, de la siguiente manera: [ ] 17 18 15 =tPLa multiplicacin de este vector estado en un tiempo t por la matriz de transicin de probabilidades general el vector estado en el tiempo t + 1,como siguie: [ ] 8 , 18 9 , 16 3 , 141= =+P p Pt t o,ampliandoparalatotalidaddelosnmerosdeloscuadrantesparaunarealidad biolgica, [ ] 19 17 141 =+ tPRepitiendo el proceso, en una nueva observacin de la Tabla 1, tenemos: 19 [ ] 20 16 141 2= =+ +P p Pt t y generalizando, tenemos kt k tP p P =+(4.4) donde K es cualquier nmero entero. Primeramente, mediante el uso de la ecuacin 4.4,sepuedepredecirquelaestructuradelsistemaparacualquiernmeroentero de perodos de tiempo en el futuro. ElsegundousodePes investigar cualessonlosprocesosdecambiohasta un punto final. Esto es similar a decir que una sucesin ha alcanzado un estado clmax. ElusoprcticodePesrelatar,diagramaticamente,queestocurriendoenel estadodelsistemaqueestabajoestudio.Estoes,escogerarbitrariamentelos valoresqueseanprincipalesenlastransiciones(porejemplo:probabilidades mayoresquealgunosniveles:0,3sonapropiadasparalamatrizP)ydisearun diagramaconestarestriccin.Porotrolado,esimportanteincluirunacategora media,comoser0,2y0,3;comoesmostradoenlaFigura1.Estosdiagramas, usadosporGreig-Smith(1983)yDigby&Kempton(1987),op.cit.porGLENN-LEWISet al.(1992)yUSHER(1981),tiendenamostrarlasfraccionesimportantes deunsistemadeestados:porejemplo,enlaFigura1seobservaclaramenteque ellostiendenaunasecuenciadeAparaBparaC.Lanicareglaparadisearun diagramaescolocarsolamentelasprobabilidadesquesonesencialesparael sistema. USHER (1981) dice que colocando 15% de las probabilidades en las clases superiores,15%enlasclasesintermediasy70%enlainferiores,hacenuna razonable composicin para una presentacin visual de una matriz de transicin de probabilidadesconochoestados.Estosporcentajesvandisminuyendoensuvalor para matrices con mas estados, y se incrementan para matrices con menos estados. a) b) FIGURA1:Representacingrficadelamatrizdetransicindeprobabilidades basadaenlaTabla2.a)Todaslasprobabilidadesqueexcedenalgn valorarbitrario,enestecaso0,3,fueroncolocadas.b)Las probabilidadesmayoressonindicadasconlneascontinuas,ylas siguientes(de0,2hasta0,3)porlneaspunteadas(adaptadode GLENN-LEWIS et al., 1992). 0,30,3 0,70,50,6 ABC A 0,30,3 BC 0,20,2 20 4.2.1 Cadena de Markov y test de significancia Entrelosmodelosdematrices,lamatrizdeMarkovocadenadeMarkoves utilizada en la prognosis y en el desarrollo de rodales de edades heterogneas. Este modeloutilizaelconceptodeestado.Estadossonsituacionesenqueunrbol puede ser encontrado, como, por ejemplo: ingresos, clases de dimetro y cosechas. Simplemente,unprocesomarkovianosepuededefinircomo:cualesla probabilidad de que un estado especifico en un tiempo particular puede derivar para unestadoinmediatamenteprecedente.Unaformaparticulardelosprocesos markovianoseslacadenadeMarkov,queesunasecuencia,eneltiempo,de estados discretos en que la probabilidad de transicin de un estado particular hasta elsiguienteenlacadenadependesolamentedelestadoanterior.Introducciones generales a las cadenas de Markov fueron incluidas por Harbauch & Bonham-Carter (1970) para aplicaciones en geologa y Collins (1975) para aplicaciones en geografa (GLENN-LEWIS et al., 1992). El ingreso representa el crecimiento de los rboles nuevos que estn compitiendo por un nicho en el rodal. Una vez que un rbol est en un estado, puede permanecer enesteestadoomoverseaotro,estemovimientoescalculadoporlaprobabilidad detransicin.Elmodeloasumequelaprobabilidaddemovimientosdelosrboles deunestadoaotrodependesolamentedelestadoinicialyquesteesconstante para todo el perodo de proyeccin. Sepuedeobservarfcilmentequeelejemplodesarrolladoanteriormente encaja fcilmente en la estructura de la cadena de Markov. Esta estructura ofrece una base paraunprimertestdesignificanciaquepuedeserapropiadousandolosdatos sucecionales.Supongamosquelamatrizdeprobabilidadesdetransicin,dela seccin anterior tenga la siguiente forma, donde cada fila es igual: ((((

=1 , 0 3 , 0 6 , 01 , 0 3 , 0 6 , 01 , 0 3 , 0 6 , 0PEstoindicaquelaprobabilidaddeunatransicindesdeunestadonodepende del estado presente, por ejemplo; que siempre exista una probabilidad del 0,6 que el sistemaquedeenelestadoAindependientementedesinosencontrramosenel estado A, BoCenunperododetiempoanterior. Poresto,lamatrizPnocumple con la propiedad de la cadena de Markov. Untestdeindependenciaenunamatrizdetransicindeprobabilidadesfue propuesto por Anderson & Goodman (1957), op. cit. por GLENN-LEWIS et al. (1992). Lahiptesisnulaesqueetapassucesivasenlasecuenciasonestadsticamente independientes(porejemplo:comoenelprocesoaleatorioanterior);estestadaa continuacinlahiptesisalternativa:quelasetapassucesivassonno independientes (y que adems ellas forman, pero no necesariamente son, un primer ordenamientodelacadenadeMarkov).UsandolosdatosdelaTablas1y2,la matriz es la siguiente: ((((

=21 6 39 15 64 12 24N (4.5) 21 y la matriz de transicin de probabilidades es: ((((

=7 , 0 2 , 0 1 , 03 , 0 5 , 0 2 , 01 , 0 3 , 0 6 , 0P (4.6) El test estadstico apropiado es: ( ) ( ) = == mimjj ij ijp p n1 1ln 2 ln 2 (4.7) dondelnindicalogaritmonatural,meselnmerodeestadosdelsistema,nijesel elementodelai-simafilayj-simacolumnadeN,pijeselelemento correspondienteen P,ypjeslaprobabilidad marginaldelaj-simacolumnadeN, determinado por: == =|||.|

\|=mimimjijijjnnp11 1 (4.8) Aplicandoestetestenelejemplo,param=3,ynijypijsontomadosdelas ecuaciones 4.5 y 4.6 respectivamente. Sumando las columnas de N en laecuacin 4.5 generamos los valores de p1 = 33/100 (=0,33), p2 = 33/100 (=0,33) y p3 = 34/100 (=0,34), usando la ecuacin 4.8. entones la ecuacin 4.7 es calculada como sigue: ( ) 978 , 3734 , 07 , 0ln 2133 , 02 , 0ln 633 , 03 , 0ln 1233 , 06 , 0ln 24 . 2 ln 2 =((

|.|

\|+ |.|

\|+ + |.|

\|+ |.|

\|= Anderson&Goodman(1957)dicenque2(ln)estdistribuidoasintoticamente como2con(m-1)2gradosdelibertad.RefirindonosalaTablade2concuatro grados de libertad indica que la probabilidad de observacin 2 = 37,978 es mucho menorqueunoenunmillar(p