informe Nº3 Fisica
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Ajuste de curvas
El ajuste de curvas consiste en encontrar una curva que contenga una serie de puntos y que posiblemente cumpla una serie de restricciones adicionales. Esta sección es una introducción tanto a la interpolación (cuando se espera un ajuste exacto a determinadas restricciones) y al ajuste de curvas/análisis de regresión (cuando se permite una aproximación).
Ajuste de líneas y curvas polinómica a puntos.
Empecemos con una ecuación polinómica de primer grado:
Esta línea tiene pendiente a. Sabemos que habrá una línea conectando dos puntos cualesquiera. Por tanto, una ecuación polinómica de primer grado es un ajuste perfecto entre dos puntos.
Si aumentamos el orden de la ecuación a la de un polinomio de segundo grado, obtenemos:
Esto se ajustará exactamente a tres puntos. Si aumentamos el orden de la ecuación a la de un polinomio de tercer grado, obtenemos:
Que se ajustará a cuatro puntos.
Una forma más general de decirlo es que se ajustará exactamente a cuatro restricciones. Cada restricción puede ser un punto, un ángulo o una curvatura (que es el recíproco del radio, o 1/R). Las restricciones de ángulo y curvatura se suelen añadir a los extremos de una curva, y en tales casos se les llama condiciones finales. A
menudo se usan condiciones finales idénticas para asegurar una transición suave entre curvas polinómica contenidas en una única spline. También se pueden añadir restricciones de orden alto, como "el cambio en la tasa de curvatura". Esto, por ejemplo, sería útil en diseños de intercambios en trébol para incorporaciones a autopistas, para entender las fuerzas a las que somete a un vehículo y poder establecer límites razonables de velocidad.
Si tenemos más de n + 1 restricciones (siendo n el grado del polinomio), aún podemos hacer pasar la curva polinómica por ellas. No es seguro que vaya a existir un ajuste exacto a todas ellas (pero podría suceder, por ejemplo, en el caso de un polinomio de primer grado que se ajusta a tres puntos colineales). En general, sin embargo, se necesita algún método para evaluar cada aproximación. El método de mínimos cuadrados es una manera de comparar las desviaciones.
Ahora bien, podríamos preguntarnos la razón de querer un ajuste aproximado cuando podríamos simplemente aumentar el grado de la ecuación polinómica para obtener un ajuste exacto. Existen varias:
Incluso si existe un ajuste exacto, no quiere decir necesariamente que podamos encontrarlo. Dependiendo del algoritmo que se use, podríamos encontrar un caso divergente, donde no se podría calcular el ajuste exacto, o el coste computacional de encontrar la solución podría ser muy alto. De cualquier modo, tendríamos que acabar aceptando una solución aproximada.
Quizá prefiramos el efecto de promediar datos cuestionables en una muestra, en lugar de distorsionar la curva para que se ajuste a ellos de forma exacta.
Los polinomios de orden superior pueden oscilar mucho. Si hacemos pasar una curva por los puntos A y B, esperaríamos
que la curva pase también cerca del punto medio entre A yB. Esto puede no suceder con curvas polinómica de grados altos, ya que pueden tener valores de magnitud positiva o negativa muy grande. Con polinomios de grado bajo existen más posibilidades de que la curva pase cerca del punto medio (y queda garantizado que pasará exactamente por ahí, en los de primer grado).
Los polinomios de orden bajo tienden a ser suaves y las curvas de los polinomios de orden alto tienden a ser "bulbosas". Para definir esto con más precisión, el número máximo depuntos de inflexión de una curva polinómica es n-2, donde n es el orden de la ecuación polinómica. Un punto de inflexión es el lugar de una curva donde cambia de radio positivo a negativo. Obsérvese que la "bulbosidad" de los polinomios de orden alto es sólo una posibilidad, ya que también pueden ser suaves, pero no existen garantías, al contrario que sucede con los polinomios de orden bajo. Un polinomio de grado quince podría tener, como máximo, trece puntos de inflexión, pero podría tener también doce, once, o cualquier número hasta cero.
Ahora que hemos hablado del uso de grados demasiado bajos para conseguir un ajuste exacto, comentemos qué sucede si el grado de una curva polinómica es mayor del necesario para dicho ajuste. Esto es malo por las razones comentadas anteriormente si los polinomios son de orden alto, pero también nos lleva a un caso en que exista un número infinito de soluciones. Por ejemplo, un polinomio de primer grado (una línea) restringido por un único punto, en lugar de los dos habituales, nos dará un número infinito de soluciones. Esto nos trae el problema de cómo comparar y escoger una solución única, lo que puede ser un problema tanto para humanos como para el software. Por esta razón es mejor escoger el polinomio de menor grado posible para obtener un
ajuste exacto en todas las restricciones, y quizá incluso un grado menor si es aceptable una aproximación al ajuste.
Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico encuadrada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares (o ternas, etc.), se intenta encontrar la función que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.
En su forma más simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes en los datos. Específicamente, se llama mínimos cuadrados promedio (LMS) cuando el número de datos medidos es 1 y se usa el método de descenso por gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se puede demostrar que LMS minimiza el residuo cuadrado esperado, con el mínimo de operaciones (por iteración), pero requiere un gran número de iteraciones para converger.
Formulación formal del problema bidimensional
Supóngase el conjunto de puntos (xk,yk), siendo . Sea fj(x), con una base de m funciones linealmente independientes. Queremos encontrar una función combinación lineal de las funciones base tal que , esto es:
Se trata de hallar los m coeficientes cj que hagan que la función aproximante f(x) sea la mejor aproximación a los puntos (xk,yk). El criterio de mejor aproximación puede variar, pero en general se basa en aquél que dé un menor error en la aproximación. El error en un punto (xk,yk) se podría definir como:
En este caso se trata de medir y minimizar el error en el conjunto de la aproximación. En matemáticas, existen diversas formas de definir el error, sobre todo cuando éste se aplica a un conjunto de puntos (y no sólo a uno), a una función, etc. Dicho error podrá ser:
Error Máximo:
Error Medio:
Error Cuadrático Medio:
La aproximación mínimo cuadrada se basa en la minimización del error cuadrático medio, o, equivalentemente, en la minimización del radicando de dicho error, el llamado error cuadrático, definido como:
Ajuste Cuadrado
X Y XY X² x²y x³ X4 -6.1 42.5 -259.25 37.21 1581.43 -226.98 1384.58-5.4 31.3 -169.02 29.16 912.71 -157.46 850.31-4.2 17.6 -73.92 17.64 310.46 -74.09 311.17-2.8 6.4 -17.92 7.84 50.18 -21.95 61.47-1.7 3 -5.10 2.89 8.67 -4.91 8.35-0.6 0.8 -0.48 0.36 0.29 -0.22 0.130.5 0.7 0.35 0.25 0.18 0.13 0.061.6 2.2 3.52 2.56 5.63 4.10 6.552.7 7.9 21.33 7.29 57.59 19.68 53.143.8 15.1 57.38 14.44 218.04 54.87 208.514.8 24 115.20 23.04 552.96 110.59 530.846 41 246.00 36 1476.00 216.00 1296.00
ΣX -1.4
ΣY 192.5
ΣXY -81.91
ΣX² 178.68
Σx²y 5174.13
Σx³ -80.25
ΣX4 4711.12
Planteando las ecuaciones normales
ΣY = AΣX² + BΣX + CN
ΣXY = AΣx³+ BΣX²+CΣX
Σx²y = AΣX4+ BΣx³+CΣX²
Remplazando y Hallando los valores de A, B, C
ΣY = AΣX² + BΣX + CN
192.5 = A (178.68) + B (-1.4) + 84C
ΣXY=A Σx³+ BΣX²+CΣX
-81.91=A (-80.25) + B (178.68) + C (-1.4)
Σx²y = AΣX4+ BΣx³+CΣX²
5174.13 = A (4711.12) + B (-80.25) + C (178.68)
I. A (-80.25) + B (178.68) + C (-1.4) = -81.91A (178.68) + B (-1.4) + 84C =192.5
250.15 A – 1.96 B + 117.60 C = 269.50
-6741 A + 15009.12 B – 117.60C = - 6879.60
-6490.85 A + 15007.16B = - 6610.10
II. A (-80.25) + B (178.68) + C (-1.4) = 81.91A (4711.12) + B (-80.25) + C (178.68) =5174.13
-14339.07 A + 31926.54B -250.15 C = -14635.68 6595.58 A – 112.35 B + 250.15 C = 7243.78
-7743.49 A + 31814.19B = -7391.90
III. -6490.85 A + 15007.16B = - 6610.10 -7743.49 A + 31814.19B = -7391.90
-50261754.63 A +116207793.3 B =-51185243.25-50261754.63 A – 20651135.1 B = 47979714.12
95556658.20 B = -3205529.13
B = -0.03
IV. -6490.85 A + 15007.16B = - 6610.10 -6490.85 A – 450.21 = -6610.10
-6490.85 A = -6159.89 A = 0.95
V. A (178.68) + B (-1.4) + 84C =192.5169.75 + 0.004 + 84C =192.5
84C = -0.29 C = 0.0035
Y= Ax2 + B y + CY = 0.95 x2-0.03 y + 0.0035
Ajuste Lineal
Ajustes de curvas (Ajuste Lineal y Ajuste Cuadrática)
Objetivos:
1. Comprender el proceso de medición en el plano de coordenadas y expresar correctamente el resultado de una medida realizada.
2. Descubrir que los métodos referidos a la interpolación lineal se utilizan, fundamentalmente, cuando se conoce que los datos son muy exactos y deben
entonces, asimilar y dominar todos los conceptos relativos al ajuste de curvas por medio de la función de potencia.
3. Desarrollar habilidades en la generación y uso de modelos matemáticos empleados en la simulación de procesos para desarrollar software que nos permita resolver los diferentes problemas de la vida cotidiana
4. Plantear y desarrollar un modelo que permita estudiar las variables de un proceso de desarrollo de software. Comparar los resultados del modelo con datos experimentales.
Conclusiones:
1. Después de haber utilizado diversos métodos y formulas para dibujar en el plano de las ordenadas hemos a prendido a utilizar correctamente herramientas de medición de curvas.
2. Aprovechar satisfactoriamente una amplia variedad de problemas de ingeniería y de matemática aplicada relacionados con esta temática. Dominar las distintas
técnicas, deben haber aprendido a valorar la confiabilidad de las respuestas y ser capaces de escoger el mejor método (o métodos) para cualquier problema.
3. Entender la derivación de la regresión lineal con mínimos cuadrados y ser capaces de valorar la confiabilidad del ajuste usando gráficas.
4. Usar los métodos numéricos para el ajuste de curvas en la solución de algunos problemas de ingeniería ambiental, pero podemos modelar matemáticamente en un lenguaje de programación en la Ingeniería en Sistemas como el ejemplo práctico que realizamos.