UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMTICAESCUELA PROFESIONAL DE MATEMTICAINFORME FINAL DE PRCTICA PRE PROFESIONALMODALIDAD DE INVESTIGACIONTITULO: CONSTRUCCIN DE BASES ORTONORMALES DEUN OPERADOR AUTOADJUNTO EN UN ESPACIOVECTORIAL FINITO DIMENSIONAL.AUTOR: CONDE ROJAS VICTOR WILLIAMCODIGO: 020988 BRESOLUCIN N 2020!"CDEPMFCNMSEMESTRE ACAD#MICO: 20!" BBELLAVISTA CALLAO20!"1A.DATOS DEL GENERALESA1) DEL ESTUDIANTE1) APELLIDOS Y NOMBRES: Conde Rojas, Vctor !""!a#$) C%DI&O:'$'())*B+) INS,I,-CION: -n!.ers!dad Nac!ona" de" Ca""ao/) 0AC-L,AD: C!enc!as Nat1ra"es 2Mate#3t!ca4) ESC-ELA PRO0ESIONAL: Mate#3t!ca5) SEMES,RE ACAD6MICO: $'1+*AA2) DEL PROFESOR ASESOR.1) APELLIDOS Y NOMBRES:Cast!""o Va"d!.!eso, A7sa"8n$) C%DI&O:'5$1+) CA,E&OR9A Y DEDICACI%N:Asoc!ado * t!e#:o co#:"eto/) CONDICI%N: No#7rado4) ESPECIALIDAD: Mate#3t!ca5) 0AC-L,AD: C!enc!as Nat1ra"es 2Mate#3t!caA3) DE LA INSTITUCIN.1) INS,I,-CI%N:-n!.ers!dad Nac!ona" de" Ca""ao$) DIRECCI%N:A.; en de 1na ,rans?or#ac!8n L!nea"BBB;BBBBBBBBBBBBBBB=1;+;* Prod1ctoInternoBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;)1;/;* Nor#a en 1n es:ac!o.ector!a"BBBBBB;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;1'1;4;* Conj1ntos Orto>ona"es 2Ortonor#a"esBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB;;;;;;;;111;5;* Proceso de Ortonor#a"!Dac!8n de &ra#*ScE#!dtBBBBBBBBBBBBBBBB;;1+1;=;* Co#:"e#entoOrto>ona"BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB;151;);* S17es:ac!osIn.ar!antesBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB;;;B;;;1(1;(;* Es:ac!oD1a"BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB$11;1';* D1a" de 1na trans?or#ac!8n L!nea"BBBBBB;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;$$1;11;* Adj1nta de 1nO:eradorBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB;;BBB;;;$+2.* DESARROLLO DEL TRABA+O DE INVESTIGACI)N,$;1;* O:eradores A1toadj1ntosBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB;;;$4/ Te(re"# Espec'r#- BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB;;B;;;$)$;$;* O:eradores Pos!t!.osBBBBBBBBBBBBBBBBBBB;;;BBBBBBBBBBBB;$($;+;* O:erador Ra!D C1adradaBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB;;;BBB;;B+$ Te(re"# %e -(s .#-(resSi!/&-#resBBBBBBBBBBBB;BBBBBBBBBB;;;+5Res&-'#%(s C(!c-&si(!es 0 %isc&si!4Res&"e!E" :resente tra7ajo de !n.est!>ac!8n t!ene co#o :ro:8s!to :ro:orc!onar 1nest1d!o2 desarro""ode"os o:eradores a1toadj1ntos conconc"1s!onesdeter#!nantesene" ,eore#aEs:ectra" 2ene" teore#ade"osVa"oresS!n>1"ares, :ara e""oes necesar!ore.!sar a">1nos t8:!cos deA">e7raL!nea" "os c1a"es ser.!r3n :ara ana"!Dar a">e7ra!ca#ente a "os o:eradoresa1toadj1ntos; Parata" e?ecto, es necesar!oen:r!#er "1>ar Eacer 1nest1d!o :or#enor!Dado de "os o:eradores a1toadj1ntos, donde se :ro7ar3a">1nos teore#as de caracter!Dac!8ntratando de esta7"ecer en cada 1node e""os "as 7ases ortonor#a"es con s1s corres:ond!entes a1to.ectores;La constr1cc!8n de 7ases ortonor#a"es, F1e es n1estro o7jet!.o, cons!dera"a e@!stenc!a de s17es:ac!os !n.ar!antes F1e son "os F1e deter#!nan "a desco#:os!c!8n es:ectra" de" o:erador a1toadj1nto :ro.e2endo "os a1to.ectores F1e ?or#a"!Daran "as 7ases constr1!das;5I!'r(%&cci!E" :resente tra7ajo de !n.est!>ac!8n, co#:rende e" est1d!o de dosres1"tados F1e son nota7"es en e" A">e7ra L!nea": E" ,eore#a Es:ectra" 21na de s1s :r!nc!:a"es consec1enc!as e" ,eore#a de Va"ores S!n>1"ares, "osc1a"es cons!deran"ae@!stenc!ade7ases ortonor#a"es en1nes:ac!o.ector!a" de d!#ens!8n An!ta :ro.!sto de 1n :rod1cto !nterno;En e" ,eore#a Es:ectra" se #ostrar3 F1e :ara todo o:erador a1toadj1ntoT : V V, deAn!do en 1n es:ac!o .ector!a" de d!#ens!8n An!ta e@!st!r31na 7ase ortonor#a" "a c1a" estar3 ?or#ada :or "os a1to.ectores de T;As #!s#o Eare#os 1n an3"!s!s de "os o:eradores :os!t!.os, :resentandoa">1nos teore#as :re.!os :ara "a :r1e7a de" ,eore#a con Va"oresS!n>1"ares F1e es 1na consec1enc!a de" ,eore#a Es:ectra" :arao:eradores a1toadj1ntos ; E" tra7ajo consta de dos secc!ones d!?erenc!adas, en :r!#er "1>ar tene#os"asecc!8n, F1e""a#are#ose" #arcote8r!co, ene" c1a" descr!7!re#osa">1nos :asajes de" A">e7ra L!nea", "os #!s#os F1e co#:renden e" est1d!ode "as trans?or#ac!ones "!nea"es, e" :rod1cto !nterno de >ran 1t!"!dad :arae" est1d!ode"oso:eradoresa1toadj1ntosG "osconj1ntosorto>ona"es2ortonor#a"es, "os s17es:ac!os !n.ar!antes, e" es:ac!o d1a" 2 :or C"t!#o, "aadj1nta de 1n o:erador;En "a se>1nda secc!8n tratare#os concreta#ente "os o:eradoresa1toadj1ntos, e" teore#a es:ectra" so7re d!cEos o:eradores en 1n es:ac!o.ector!a" de d!#ens!8n An!ta :ro.!sto de 1n :rod1cto !nterno; Se est1d!ar3ade#3s a "os o:eradores :os!t!.os F1e nos a21dar3n a entender c8#o esF1eTT : V V2TT: W Wres1"tan ser a1toadj1ntas 2se#!deAn!das :os!t!.as tan !#:ortantes :ara "a co#:rens!8n de" ,eore#a=$;+;+ ,2 Ana"#ente se rea"!Dar3 "a de#ostrac!8n de" ,eore#a de "os Va"oresS!n>1"ares;C#p1'&-( 1M#rc( Teric(,1.1.Tr#!s2(r"#ci(!es -i!e#-es,SeaT : V W1naa:"!cac!8nentrees:ac!os.ector!a"esV2Wso7re e" c1er:o K, dec!#os F1eT es 1na trans?or#ac!8n "!nea" s!:u , vV2 K se c1#:"e:i T ( u+v)=Tu+Tvii T ( v) =TvEn >enera" .er!Acan de( i ) 2 de (ii) F1e:Dadosv1, v2, , vnV2 1, 2, , nK entonces tene#os:T(1v1+2v2++nvn)=1T v1+2Tv2++nT vnEsto es:T(i=1ni vi)=i=1niT vi1.2. De3!ici!,Sean V2 Wes:ac!os .ector!a"es so7re e"c1er:oK 2 T : V W 1na trans?or#ac!8n "!nea", e" conj1nto: KerT={ v V / Tv=0} Es ""a#ado NCc"eo de TA" conj1nto ImT={Tv W v V } =T(V ) "e ""a#are#os I#a>en de T) Te(re"# 1.2.1.SeanV2W,Kes:ac!os .ector!a"es 2T : V W 1na trans?or#ac!8n "!nea", entonces:T es inyectivaKerT={0}De"(s'r#ci!, Ver H+ITe(re"# 1.2.2.SeanV2W,Kes:ac!os .ector!a"es 2T : V W 1na trans?or#ac!8n "!nea", entonces:dimV=dimKerT+dimImTDe"(s'r#ci!, Ver H/IAs#!s#o a"conj1nto de "as trans?or#ac!ones "!nea"es de Ven Wdenotado :or L(V ,W) "a c1a" se escr!7e:L( V , W)={ T : V W /T esunatransformacionlineal } Le ""a#are#os e" Es:ac!o de "as ,rans?or#ac!ones L!nea"es, esto nos da "a!dea F1e L(V ,W) es 1n K es:ac!o .ector!a";En e?ecto:Para e""o deAn!re#os :re.!a#ente: Esto se deAne de "a #!s#a deAn!c!8n de trans?or#ac!8n "!nea"; Por tantoL(V ,W) es 1n K es:ac!o .ector!a";(S!V=W entonces L( V , W)=L( V , V )=L(V ) 2 de esta #anera tene#os a"conj1nto de O:eradores L!nea"es en V;1.3.Pr(%&c'( I!'er!(,La noc!8n de es:ac!o .ector!a" con :rod1cto !nterno :er#!te F1e 1nes:ac!o .ector!a" se enr!F1eDca de #odo ta" F1e se :1eda Eacer 1so de 1n"en>1aje >eo#Jtr!co; De esta #anera, se :1eden a7ordar d!st!ntoso:eradores F1e en n1estro caso son "os o:eradores a1toadj1ntos;-n Prod1cto Interno en 1n es:ac!o .ector!a" V denotado :or , , es1n ?1nc!ona" 7!"!nea", s!#Jtr!co 2 :os!t!.o en V; Esto es:E" c1a" c1#:"e "as s!>1!entes :ro:!edades, :ara c1a"esF1!erau,u', v . v'V y R.i ilinealidad: ii !imetr"a: u, v= v , uii #ositividad :

u, u >0$ siendo u%0

Co#o consec1enc!a de estas :ro:!edades res1"ta:i u, 0=0$ &ues: u, 0= u, 0+0= u,0 + u,0=2 u, 0 u, 0 =2 u, 0 u ,0=0ii S! u, v=0v=0$ uV1' , : V ' V R u+u', v = u, v + u', v u, v+v' = u , v + u, v' u, v = u , v u, v = u , vEn e?ecto:Sea v %0uV u, v >0 u, v %0iii S! u, v= u', v u=u'En e?ecto: u, v= u', v u , v u', v =0 uu', v =0uu'=0u=u'Menc!onare#os a">1nos eje#:"os:1; S!V=Rn, entonces ' , y=i=1n'i yi deAne 1n Prod1cto !nterno en Rn, s!endo '=('1, '2,, 'n)$ y=(y1, y2, , yn);$; SeaV=( ( [ a, )] )={f , * ,+: [ a, )] R/ f , * y+ sonfunciones continuas } Se #1estra F1e: f , *=a)f ( ') *( ') d' esun &roductointernoen(( [ a, )] )En e?ecto:Med!ante"as:ro:!edadesde" c3"c1"o!nte>ra" estr!.!a" acceder aesteres1"tado :ero ca7e resa"tar F1e s!: f , f =0f =0Por contrad!cc!8n: S1:on>a#osF1ef %0 '0[ a ,)] f2('0)>02co#of es continuaen[ a, )] e@!ste 1n a.ec!ndad centrada en '0 conten!da en[ a, )] ta"F1e ' V,('0)[ a,)] f 2(')>0G es dec!r:, >0 ''0, , '0+,[ a, )] Se t!ene F1e f 2(')>0110< '0,'0+,f2( '0)d'< '0,'0+,f 2(')d'=0()Por tanto f , f =0f =01.4.N(r"# e! &! esp#ci( .ec'(ri#-,DeAn!re#os co#o nor#a a" nC#ero no ne>at!.o denotado :or "a c1a" es !nd1c!da :or e" Prod1cto Interno;Esto es: u= u, uDe donde tene#os F1e: u2= u, u , uVS! se cons!deran u, v V se tendr3 F1e:u+v 2= u+v ,u+v =u2+2 u, u+v2Cons!dere#os aEora V 1n es:ac!o .ector!a" 2 deAna#os: Donde se c1#:"en:i '-0$ 'V ii '=0'=0iii .'= .'iv '+y='+y(desi*ualdad trian*ular)De esta #anera e" o7jeto (V ,) es 1n Es:ac!o Vector!a" Nor#ado, Ea2#1cEas :ro:!edades so7re es:ac!os nor#ados 1no de "os c1a"es re"ac!onae" Prod1cto !nterno 2 s1 Nor#a !nd1c!da nos re?er!#os a "a Des!>1a"dad deCa1cE2*ScEKartD "a c1a" en1nc!are#os 2 de#ostrare#os a cont!n1ac!8n; 1$: V RTe(re"# 1.4.1. 5Desi/-%#% %e C#&c60*Sc67#r'8)Sea( V , , ,)-n es:ac!o .ector!a" Nor#ado con Prod1cto Internoentonces ' , yV se c1#:"e: | ' , y|/'yDe"(s'r#ci!, Cons!dere#os 0V / 0='+.ycon', y V y .RPor "a :ro:!edad (iii) de :rod1cto !nterno tene#os: 0 , 0 -0 '+.y , '+.y -0 '2+2 . ' , y +.2 y 2-0 .2 y 2+2 . ', y + '2-0 Se o7ser.a F1e se Ea >enerado 1n :o"!no#!o c1adr3t!co de .ar!a7"e ., 2ade#3s este es no ne>at!.o, entonces s1 d!scr!#!nante de7e de ser #enoro !>1a" a cero;Esto es: ( 2 ' , y )24' 2 y2/04 ' , y2/4 ' 2 y2| ' , y |/'yCo#oconsec1enc!adeestades!>1a"dadtene#ose" 3n>1"oentredos.ectores en V, esto es: cos1= ' , y'y.JaseH4IO9ser.#ci!,Se d!ce F1e: s! 1=902 ' , y=0De3!ici!,Sean', y VG d!re#os F1e'e ysonorto>ona"es 2"odenotare#os 'y s! 2 so"o s! ' , y=0;1+1.:.C(!;&!'(s Or'(/(!#-es 0 (r'(!(r"#-es,De3!ici!, (i)Sea3 V1n conj1nto, Se d!ce F1e3es Orto>ona" 'i, '43 , se t!ene F1e 'i, '4=0, i % 4,(ii)Sea3 V1n conj1nto, Se d!ce F1e3es Ortonor#a" 'i, '43 , se t!ene F1e 'i, '4=0, i % 4 y'i, '4=0, i=4 .Esto es: e" conj1nto3={'1, '2, 'n}Ves 1n conj1nto ortonor#a"'i, '4=,i4={1$ i=40$i % 4O9ser.#ci!,S! s1:one#os F1e se t!ene 1n es:ac!o .ector!a"V, An!to d!#ens!ona" 2 cons!dere#os 1na 7ase enV, entonces, es :os!7"e deAn!r e" :rod1cto !nterno de "os e"e#entos deV, esto es todo es:ac!o .ector!a" V de d!#ens!8n An!ta :1ede ser dotado de 1n :rod1cto !nterno;En e?ecto:Sean u, v V / u=i=1nivi y v=4=1n54v4Entonces u, v=i=1nivi,4=1n54v4=i=1ni5i;Te(re"# 1.:.1. ,odo conj1nto ortonor#a" de V es "!nea"#ente !nde:end!ente en V;De"(s'r#ci!, Ver H=IPr(0ecci! (r'(/(!#-,1/La :ro2ecc!8n orto>ona" j1e>a 1n :a:e" #12 !#:ortante en "a constr1cc!8nde 7ases ortonor#a"es o7ten!endo co#o consec1enc!a e" :roceso de &ra#L ScE#!dtE, :ara e""o Eare#os 1n rec1ento de c8#o o7tener d!cEa:ro2ecc!8n;Sea V=Rn 2 sean u y vRn/ u, v%0La !dea "a .ert!re#os de "a &eo#etra Ana"t!ca Vea#os:De "a >eo#etra se o7ser.a F1e:&royvu=.v/ . R , ade#3s se o7ser.a F1e:v u&royvuesto es v , u&royvu=0,entonces: v ,u.v = v, u. v , v = v ,u .v2=0 .= v ,uv2 .v= v ,uv2 v=&royvu Donde seded1ceF1e: &royvu= v ,uv2 v"ac1a" es""a#ada"a:ro2ecc!8norto>ona" deuenv;Ade#3s #ed!ante "a :ro2ecc!8n orto>ona" ta#7!Jn es :os!7"e .er!Acar "aDes!>1a"dad de Ca1cE2*ScEKartD;En e?ecto: de" >raAco se o7ser.a F1eu-|&royvu|=| v ,u|vv2uv-| v , u|14Te(re"#1.:.2.Sea={u1, u2, ,un}7ase ortonor#a" :araV1nes:ac!o .ector!a" con :rod1cto !nterno v Vse t!ene F1ev=i=1nv ,uiuiDe"(s'r#ci!,Co#o={u1, u2, ,un}es 7ase deVv=i =1niui(I )v u4=v , u4=i=1niui, u4=i=1niui,u4=i=1ni,i4Y co#o={u1, u2, ,un}es ortonor#a",i4={1$ i= 40$ i % 4v , u4 =4(II) Ree#:"aDando (II) en (I ) tene#os v=i=1niui=i=1nv ,ui uiTe(re"# 1.:.3. 5I%e!'i%#% %e P#rse.#-)Sea ={u1, u2, ,un}7ase ortonor#a" :ara V1n es:ac!o .ector!a" con:rod1cto !nterno v , 6V se t!ene F1e v , 6 =i=1nv , ui 6, ui De"(s'r#ci!, Ver H=IO9ser.#ci!,De" teore#a anter!or:S! v=6v2=i=1n|v ,ui |215Te(re"# 1.:.4. 5Desi/-%#% %e Besse-)SeaV1n es:ac!o .ector!a" con :rod1cto !nterno 2 sea!={v1, v2, , vn}Vconj1ntoortonor#a" deV v Vset!eneF1ev2-i=1n|v, vi |2De"(s'r#ci!, Ver H=ITe(re"# 1.:.:. Sea V1n es:ac!o .ector!a" :ro.!sto de 1n :rod1cto!nterno;S!!={v1, v2, , vn}es ortonor#a" u=v4=1nv, v4v4es orto>ona" av7! De"(s'r#ci!, Por de#ostrar F1e: u, v7=v4=1nv , v4v4, v7=0v4=1nv , v4v4, v7=v , v7 i=1nv , v4 v4, v72 ade#3s co#o!={v1, v2, , vn} es ortonor#a" entonces v4, v7 =,47={1$ 4 =70$ 4 %7v4=1nv , v4v4, v7=v , v7 i=1nv , v4,47=v , v7v , v7=0Por tantou es orto>ona" a v7!1.ona" !1={v1, v2, , vn}2 1n conj1nto ortonor#a"!2={6, 62, , 6n}a :art!r de 1n conj1nto!={a1, a2, , an}"!nea"#ente !nde:end!ente en 1n es:ac!o .ector!a"nor#ado con :rod1cto !nterno;Esto es: Sea ( V , , ,) 2 sea !={a1, a2, , an}V "!nea"#ente !nde:end!ente;N1estro o7jet!.o ser3 e" de constr1!r !1={v1, v2, , vn} conj1nto orto>ona" 2!2={6, 62, , 6n} conj1nto ortonor#a";1. In!c!are#os e" :roceso se"ecc!onando v1=a12.A cont!n1ac!8n de" s17es:ac!o >enerado :or{a1, a2}={v1, a2}to#a#osv2 v2 es orto>ona" a {v1} ;v 2L{v1, a2}v2=1v1+2a2/ si +acemos 2=1, setiene 8ue, v2=1v1+a2v 2v1v2, v1=01v1+a2, v1=01 v1, v1+a2, v1=01=v1, a2v12$ dedonde , v2=1v1+a2=a2v1, a2v1v123. Para cont!n1ar con e" :roceso to#a#os v3de" s17es:ac!o >enerado:or{a1, a2, a3}={v1, v2, a3}/ v3sea orto*onal a{v1, v2}.v 3L{v1, v2,a3}v3=1v1+2v2+3v3/ si 3=1v3=1v1+2v2+a3v 3v1v3, v1=01v1+2v2+a3, v1=01v1, v1+2 v2, v1+a3, v1 =0 y como v1v2v2, v1=01 v1, v1+a3, v1=01=v1, a3v121)v 3v2v3, v2=01v1+2v2+a3, v2 =01 v1, v2+2v2, v2+a3, v2=0 y como v1v2v2, v1=021onal ado &or otomamos v2, v2+a3, v2=021onal ado &or otomamos=v1, a3 v12dedondev3=1v1+2v2+3v3=a39 v1, a3 v1v12v2, a3 v2v22As e" conj1nto F1e Ee#os constr1!do {v1, v2, v3} es 1n conj1nto orto>ona",es dec!r:1. v1=a12. v2=a2v1, a2v1v123. v3=a3v1, a3v1v12v2, a3v2v22Cont!n1ando e" :roceso de #anera !nd1ct!.a se t!ene F1e!. vn=anv1, anv1v12v2, an v2v22vn1, an vn1vn12As! e" conj1nto ?or#ado !1={v1, v2, , vn} es 1n conj1nto orto>ona"G este :rocesose :1ede >enera"!Dar de" s!>1!ente #odo:A" !n!c!o to#a#os: v1=a1 2 "1e>o vi=ai97=1n1v7, aiv7v72$ 7 2,3, , nAEora s! F1!s!Jra#os o7tener!2={61, 62, , 6n} 1n conj1nto ortonor#a" 7astara con nor#a"!Dar !1G es dec!r !2={6, 62, , 6n}={ v1v1, v2v2, , vnvn}De esta #anera se o7t1.o 1na 7ase ortonor#a" :art!endo de 1na 7ase c1a"F1!era;Pr(p(sici!. 5Pr(ces( %e (r'(!(r"#-i8#ci! %e Gr#"*Sc6"i%')1(Sea V 1n es:ac!o .ector!a" con :rod1cto !nterno 2 sea {a1, a2, , an}V1na 7ase de V, entonces, e@!ste {v1, v2, , vn} 7ase orto>ona" de V 2#as a1n 1na 7ase ortonor#a"{61, 62, , 6n}/{61, 62, , 6n}L{a1, a2, , an}.De"(s'r#ci!, Procede#os :or !nd1cc!8n1. Para n=1 deAn!re#os v1=a12. Para n=2 deAn!re#os v2=a2a2, v1v1v12i As deAn!dos v1v2 es dec!r v1, v2=0 En e?ecto:v1, a2a2, v1v1v12=v1,a2v1,a2, v1v1v12=v1, a2a2, v1 v12v1, v1=0ii Ade#3s v2%0 En e?ecto:Por contrad!cc!8nG s1:on>a#os F1ev2=02 co#ov2=a2a2, v1v1v12tendre#os F1e:a2= a2, v1v1v12y como v1=a1a2, v1a1v12{a1, a2}es L. :( ) asi v2%0 3.s1:on>a#osdeAn!do1nconj1ntoorto>ona"{v1, v2, , vn}2ade#3sdeAn!#osvn+1=an+19i=1nvi, an+1vivi2a "a c1a" ""a#are#os ?or#a>enera"!Dada :ara orto>ona"!Dar 1na 7ase;i AAr#a#os F1e vn+1v4$ 4 =1,2,, nEn e?ecto:$'vn+1, v4=an+19i=1nvi, an+1vivi2, v4=an+1, v4i=1nvi, an+1vi2vi, v4Por E!:8tes!s {v1, v2, , vn} orto>ona" vi, v4=0, i % 4 vi, v4=1, i=4vn+1, v4=an+1, v4v4, an+1 v42v4, v4=0ii Pro7e#os F1e vn+1%0 , s!endo {a1, a, , an}V 1na 7ase de V;En e?ecto:Por contrad!cc!8nG s1:on>a#os F1e vn+1=0 an+1=i=1nvi, an+1vivi2an+1=i=1nivian+1es( . L. de vi, i=1,2,, n$ &eroviL{a1,a2, , an}

an+1L{a1, a2, , an}esdecir an+1es (. Lde{a1, a2,, an}( )&ues{a1, a2, , an}es L. IAs: vn+1%0con "o c1a" c1"#!na "a :r1e7a;1.=. C("p-e"e!'( (r'(/(!#-,Sea V 1n es:ac!o .ector!a" con :rod1cto !nterno 2 sea 3 V; E" co#:"e#ento Orto>ona" de 3 V denotado :or 3 es e" conj1nto ?or#ado :or "os .ectores v V "os c1a"es son orto>ona"es a todos "os .ectores '3 o d!cEo de otro #odo;3={v V / v3 v , ' =0, ' 3 }O eF1!.a"ente#ente: v 3 v , ' =0, '3$1O9ser.#ci!,i S! 3 V 03En e?ecto:Co#o 3 V 0, ' =0, ' 303ii S!v 3v 3, R

En e?ecto:Co#o v 3 v , ' =0, ' 3 v , '=0, '3 , R v , ' =0, Rv3, R

iii S!u3v3(u+v)3

En e?ecto:Co#o u3 u, '=0, '32 co#ov 3 v , ' =0, ' 3 u, ' + v , ' =0, ' 3 u+v , ' =0, '3(u+v) 3De "as o7ser.ac!ones descr!tas se t!ene F1e 3 es 1n es:ac!o .ector!a";Te(re"# 1.=.1. Sea 3 V 1n conj1nto, donde V est3 dotado de 1n :rod1cto !nterno, entonces se c1#:"en:i S! 3 ; ;3ii S! v 3< 3v=0iii S! v 3 3={'1, '2, , 'n}vi=1ni'i y 3=( L{ 3 }) s!endo L{ 3 } s17es:ac!o >enerado :or 3;$$De"(s'r#ci!, So"o :ro7are#os ( i ) y(ii) i Sea v ; vV v ; / y, v=0, y ; Note F1e: v 3v ; =v; v3Ade#3s co#o 3 ; y3 se tiene8ue y ;v V v 3( &ues 3; ) / y, v=0$ y 3 v ;ii Sea v 3< 3v3 v 3Co#o v 3 v , ' =0, ' 3 en :art!c1"ar :ara '=v v, v =0, v 3 v2=0v=0 Te(re"# 1.=.2. Sea 3 V de d!#ens!8n :ro.!stade 1n :rod1cto !nterno, entonces se c1#:"en:i

( 3)=3ii ( 3 rado t!ene races co#:"ejasNos :!den :ro7ar F1e se :osee 1n s17es:ac!o !n.ar!ante de d!#ens!8n 1 o$; Vea#os:Dado T : V V1na trans?or#ac!8n "!nea" s!endo Ves:ac!o .ector!a"de d!#ens!8n An!ta :or e" Le#a anter!or #, :o"!no#!o #8n!co e!rred1ct!7"e de :r!#er o se>1ndo >rado 2 1n .ector v V / #( T) v=0i Para # :o"!no#!o #on!co de :r!#er >rado deAn!do :or: #( ')='.#( T ) v=( T.) v=Tv.v=0Tv=.vv V .Y:or"ao7ser.ac!8n(ii):arteM7)V.es!n.ar!ante:orT2ded!#ens!8n 1;ii Para # :o"!no#!o #on!co e !rred1ct!7"e de se>1ndo >rado deAn!do:or: #( ')='2+a'+)#(T ) v=( T2+aT +)) v=0T2v+aTv +)v=0T2v=aTv)v T (Tv)=aTv)vL{ Tv , v} es invariante &or TPro7are#os F1e L{Tv , v} es de d!#ens!8n $ :ara e""o 7astara :ro7ar F1e{ v yTv}?or#an 1na 7ase o#ejora1n s!#:"e#ente :ro7ar F1e Tv, vson L;I;En e?ecto:$)Por contrad!cc!8n s1:8n>ase F1e v yTv son L;D; es dec!r Tv=.v #( T ) v=T2v+aTv+)v=T ( .v) +a.+)v=0.2v+a.v+)v=0, &erov%0.(2+a.+))v=0, &erov%0.2+a.+)#(.)=0( ) &ues no &osee rai0arealv yTv son L. IPor tanto t!ene co#o d!#ens!8n $;1.?.Esp#ci( D-Recorde#os F1e L( V , W)={ T : V W /T esunatransformacionlineal } es ""a#adoe" Es:ac!o de "as ,rans?or#ac!ones L!nea"es 2 en este conj1nto sedeAn!eron;Con estas o:erac!ones L( V , W) es 1n es:ac!o .ector!a";Pr(p(sici!.SeanV yWes:ac!os .ector!a"es ded!#ens!8nAn!taentonces se c1#:"e:dim( L(V , W) ) =dimV 'dimWDe"(s'r#ci!, Ver H/I$(De3!ici!,SeaV1nes:ac!o.ector!a" so7reK, cons!dere#ose"conj1nto de trans?or#ac!ones "!nea"esL( V , K)={T : V K/ T es unatransformacion lineal }, as deAn!da t!ene "aestr1ct1ra de es:ac!o .ector!a" 2 "e ""a#are#os Es:ac!o de "os ?1nc!ona"esL!nea"es o Es:ac!o d1a" de V denotada :or V;Te(re"# 1.?.1. Sea V 1n es:ac!o .ector!a" de d!#ens!8n An!ta ta"F1eL( V , K)=V;Entonces se c1#:"e F1e: dimV=dimVDe"(s'r#ci!, Ver H/ITe(re"# 1.?.2. S1:on>a#os F1e ={v1, v2, , vn} es 7ase de V so7reK 2 sean f1, f2, , fnV={ f1, f2, , fn} )asedeV/ fi ( v4)=,i4={1$ i= 40$ i % 4De"(s'r#ci!, Ver H/IC(r(-#ri( 1.?.2.1.Sea={v1, v2, , vn}7ase deV2

={f1, f2, , fn})ase dual de V; Entonces se c1#:"e:i v V v=i=1nfi(v)viii f Vf =i=1nf (vi) fiDe"(s'r#ci!, Ver H/I+'C(r(-#ri( 1.?.2.2. Sea v V con dimV=n;S! v1V v1%0f1V f1(v1)%0De"(s'r#ci!, Sea ={v1, v2, , vn} 7ase de V con v1%0&or el teorema5.1.2. f1V f1( v4)=,i4={1$ i= 40$ i % 4f1V/ f1 (v1)=1%01.1@. De3!ici!, 5D- %e &!# 'r#!s2(r"#ci! -i!e#-)Sean V yWdos es:ac!os .ector!a"es 2 T : V W1na trans?or#ac!8n"!nea"; Se deAne co#o e" D1a" deTdenotado :orTa "atrans?or#ac!8n;

Donde T es deno#!nada "a trans:1esta de T;Te(re"#1.1@.1.SeaT : ?V2L: WVdostrans?or#ac!ones"!nea"es, entonces se c1#:"en:i ( T+L)=T+Lii ( T )= T iii ( TL)=LTiv ( I )=I v ( T)1=(T1) De"(s'r#ci!,v De ( iv) se sa7e F1e I =I=(T1T)=T( T1) I =T( T1)(T)1=( T1) Las de#3s se :r1e7an :or deAn!c!8n;+1T: WV f T( f ) : V K1.11.A%;&!'# %e &! (per#%(rCons!dere#os V=L( V , R)={T : V R/ T es unatransformacion lineal } 2 sea V 1n es:ac!o .ector!a" An!to d!#ens!ona" dotado de 1n :rod1cto !nterno;DeAna#os @ : V V/ @v=v= 6, v $ 6V As deAn!da @ es 1na trans?or#ac!8n "!nea" 2 a s1 .eD es 7!2ect!.aOVer!AF1eP ;Pr(p(sici!.SeanV1n es:ac!o .ector!a" de d!#ens!8n An!taentonces;@ : V V/ @v=v= 6, v $ 6V es 1n !so#orAs#oDe"(s'r#ci!, Ver H1IDe3!ici!,SeanV yWdoses:ac!os.ector!a"esded!#ens!8nAn!ta:ro.!stos de 1n :rod1cto !nterno 2 seaT L( V ,W ); E" o:eradorT: WV / Tv , 6= v, T6, v V 6Wes ""a#ado e" O:eradorAdj1nto de T;As! deAn!do T: WVes 1na trans?or#ac!8n "!nea" OVer!AF1eP De este#odo TL( W , V );Ade#3s s!f y *L( V , W) K entonces se .erAcan:i ( f +*)=f+*ii ( f )= f iii ( f*)=*fiv ( I )=I v ( f )1=( f1)si f es inversi)le

vi ( f )=f

En e?ecto:+$iii u,( f*)v = ( f*) u, v = *u, fv= u, *f v ( f*)=*fLos de#3s se .er!Acan #ed!ante "a deAn!c!8n;Te(re"# 1.11.1. Sea Ws17es:ac!o !n.ar!ante :or T : V V W es !n.ar!ante :or T adj1nta de T;De"(s'r#ci!, Sea 'W 2 co#o W es !n.ar!ante :or T T'W ;Cons!dere#os yW T', y =0$ 'W ' ,Ty =0$ 'WTyWWes invariante &or TTe(re"# 1.11.2.SeaT : V V1na trans?or#ac!8n "!nea" ded!#ens!8n An!ta dotado de 1n :rod1cto !nterno, entonces:i KerT=Tii KerT=( T)iii ImT=Ker T

iv ImT=( Ker T)De"(s'r#ci!,i !ea yKerTTy=0 ' , Ty =0$ 'V T' , y =0$ 'V y ImT y Tii Se sa7e F1e ( T)=Tentonces :or ( i ) KerT=( Ker T)=( T)iii Se sa7e F1e( T)=Tentonces :or(ii)KerT=( T)KerT=(( T))KerT=KerTiv Por ( i ) KerT=T( KerT)=( T)=ImT++C(r(-#ri( 1.11.2.1. T : V V 1na trans?or#ac!8n "!nea" de d!#ens!8nAn!ta;RanT=RanTDe"(s'r#ci!, .er H5IC#p1'&-( 2Des#rr(--( %e- 'r#9#;( %e i!.es'i/#ci!,2.1. Oper#%(res A&'(#%;&!'(sSeaT : V Vtrans?or#ac!8n "!nea" en 1n es:ac!o .ector!a" An!tod!#ens!ona" :ro.!sto de 1n :rod1cto !nterno; Se d!ce F1eTesa1toadj1nto s! T=T , es dec!r: Tu, v=u, Tv;Los s!>1!entes res1"tados son de ?3c!" .er!Acac!8n;S!G f , *: V V o:eradores a1toadj1ntos, entoncesi ( f +*)=f +* ii ( f )= fAde#3s:i ( f*)=f*f*=*f +/En e?ecto:( ) f*=(f*)=*f=*f( ) ( f*)=*f=*f =f*Y ta#7!Jn s! T=T e !n.ers!7"e T1 es a1toadj1ntaEn e?ecto:Se sa7e F1e: T1T1I =I=(T T1)=

T(1)T1=Te(re"# 2.1.1.Sea T : V V 1na trans?or#ac!8n "!nea" so7re 1n es:ac!o.ector!a" V dotado de 1n :rod1cto !nterno entonces se c1#:"e: T' , ' =0$ 'V T=0De"(s'r#ci!, ( )Co#o T : V Ventonces ' Vset!eneF1eT'V, en:art!c1"ar Eace#osT'='Ventonces T' ,T' =T'2=0"1e>oT'=0, ' %0 T=0

( )Es o7.!aTe(re"# 2.1.2.Sea T : V V 1na trans?or#ac!8n "!nea" so7re 1n es:ac!o.ector!a"V+4 dotado de 1n :rod1cto !nterno entonces se c1#:"e:T es a1toadj1nta T' , ' R$ 'VDe"(s'r#ci!, ( ) T' , ' = ', T'= T', ' T', ' R$ 'V( ) Co#o T' , ' R T' , ' = T' , ' = ', T' T' , '= T' , ' T' , ' T' , ' =0( TT) ' , ' =0 Entonces, :or e" teore#a $;1;1;( TT)=0T=TTe(re"# 2.1.3.Sea T : V V 1na trans?or#ac!8n "!nea" so7re 1n es:ac!o.ector!a"Vdotadode1n:rod1cto!nterno T=TG s!T&v=0:ara a">Cn &>0Tv=0De"(s'r#ci!, S! &=1Tv=0;Para "os &>1, "o :ro7are#os :or contrad!cc!8n;Sea &>1 2 u=T&1v%0Tu=T&v=0 2 co#o T=TTu=T&v=0L1e>o : u2= u, u= u, T&1v = Tu,T&2v =0u=0() As &=1Tv=0;Le"#.SeaT : V V1na trans?or#ac!8n "!nea" so7re 1n es:ac!o.ector!a" V dotado de 1n :rod1cto !nterno

T=Tentonces:i T :osee a1to.a"ores rea"es;+5ii A1to.ectores corres:ond!entes a a1to.a"ores d!?erentes sonorto>ona"es;De"(s'r#ci!, i S1:on>a#os F1eV=(es:ac!o .ector!a" dondeTv=.v,entonces, :or e" teore#a $;1;$; Tv , v R Tv , v= Tv , v . v , v =. v , v ( .. ) v , v =0.=.ii Sean', ya1to.ectores, ta"es F1e'% ya "os F1e "escorres:onden a1to.a"ores d!?erentes. y 5res:ect!.a#ente 2 co#oT=T T' , y = ', Ty de donde . ' , y=5 ' , y2 :or (i)tene#os F1e5=5( .5) ' , y=0 .% 5 ', y =0

Te(re"# 2.1.4. Sea T : V V 1na trans?or#ac!8n "!nea" donde V es1n es:ac!o .ector!a" de d!#ens!8n An!ta dotado de 1n :rod1cto !nterno;T=TAT=[ai4]Bnres:ecto a 1na 7ase ortonor#a"?={u1, u2, .un}V es 1na #atr!D s!#etr!ca;De"(s'r#ci!, ( )S!T : V V2?={u1, u2, .un}Ves 7ase ortonor#a"Tu4=i=1nai4ui$ 4=1, , n"1e>oui,Tu4=ui,i=1nai4ui=ai42 co#oai4=ui, Tu4=T ui, u4=a4iai4=a4ide donde se conc"12e F1eATess!#etr!ca;( ) Sea AT=[ai4] #atr!D asoc!ada a T : V V c12a 7ase ortonor#a" es?={u1, u2, .un}/ ai4=a4iui,Tu4=T ui,u4$ i , 4entonces T es s!#etr!ca;+=Te(re"# 2.1.:. Sea T : V V 1na trans?or#ac!8n "!nea" donde V es1n es:ac!o .ector!a" s!endo T1n o:erador a1toadj1nto;S! CV es !n.ar!ante :or T C es !n.ar!ante :or T ;De"(s'r#ci!, Porteore#a5;1;1s!Ces!n.ar!ante:orT Ces!n.ar!ante:orT=TE" :r!#ero7jet!.oes:ro7arF1es! set!eneT : V V T=T2dimT=n entonces es :os!7"e constr1!r 1na 7ase ortonor#a" en o d!cEode otro #odo se de#ostrara e" teore#a es:ectra";Te(re"# 2.1.o:T ui,u4=.iui,u4=.i ui,u4=.4 ui, u4=ui, .4u4 =ui, T u4As! T es a1toadj1nta;C(!sec&e!ci#s %e- Te(re"# Espec'r#-Se sa7e :or e" est1d!o de s17es:ac!os !n.ar!antes F1e e" conj1ntoV.={ vV / Tv=.v}es !n.ar!ante :orT, a este conj1nto "e ""a#are#osA1tos17es:ac!o; Restr!n>!endo T a V . tendre#os T : V.V. ;S!T : V.V.es a1toadj1nto 2.i, i=1,2, , rson a1to.a"oresd!?erentes, entonces, s1s a1to.ectores co!rres:ond!entes son orto>ona"eso eF1!.a"ente#ente, todo .ector de V .ies orto>ona" a todo .ector deV.4;En e?ecto:Sean viV.i 2 v4V.4con i % 4 T v4=.4uv42T vi=.iviDado F1e T es a1toadj1nta tene#os:.i ui, u4=.iui,u4=T ui,u4=ui, T u4=ui, .4u4=.4 ui, u4.(i.4)ui,u4=0ui,u4=0$ i % 4.i ui, u4=.4 ui,u4/1Ade#3s:or e" teore#aes:ectra" set!eneF1e{u1, u2,. un}V7aseortonor#a" ?or#ada :or a1to.ectores de T ,esto !nd!ca F1e: v V se t!ene F1e de #odo Cn!co v=v1+v2++vn$ viV.i/i=1,2, , rPor tanto :ode#os conc"1!r F1e V=V .1V.2V.r2.2. De3!ici!,SeaT : V Va1toadj1ntoG d!re#os F1eTesse#!deAn!do :os!t!.o s! Tv , v -0$ vV donde escr!7!re#os T -0;C1ando Tv , v >0$ v%0escr!7!re#osT>02 d!re#os F1eTesdeAn!do :os!t!.o;Se sa7e F1e T : V W es 1n o:erador "!nea" 2 s1 adj1nta es "a a:"!cac!8ndada :orT: W Ventonces e@!ste "a co#:1estaTT : V V2TT: W W "as c1a"es son a1toadj1ntas 2 se#!deAn!das :os!t!.as;En e?ecto:( TT )=T(T)=TT TT es a1toadj1nta TTv , v = Tv ,Tv -0TT es se#!deAn!do :os!t!.oAn3"o>o :ara e" otro caso;Te(re"# 2.2.1.SeaV1nes:ac!o.ector!a" :ro.!stode1n:rod1cto!nterno entonces:i -no:eradora1toadj1nto T : V Vesse#!deAn!do:os!t!.os! 2so"o s! s1s a1to.a"ores son no ne>at!.os ii -n o:erador a1toadj1nto T : V V es deAn!do :os!t!.o s! 2 so"o s!s1s a1to.a"ores son :os!t!.os; /$De"(s'r#ci!, i

( ) sea T -0 2 seaTv=.v $ v %0 Co#o T -0 Tv, v -0$ v V .v , v -0. v, v -0. -0 ( )co#oT=T2 2.i-0 T : V Ventonces :or e" teore#aes:ectra"{v1, v2, . , vn}V7aseortonor#a" ?or#ada:ora1to.ectoresde TG ade#3s co#o {v1, v2, ., vn}es 7ase de Ventonces v Vse t!ene F1e v=i=1nivi entonces:.i|i|2,i , 4=i=1n.i|i|2-0.i|i|2vi, v4 =i=1n Tv , v =Ti=1nivi,i=1nivi=i=1niT vi,i=1nivi=i=1ni .ivi,i =1nivi=i=1nEntonces Tv , v -0ii Paraestecasose:rocedean3"o>a#entecon"asa".edaddeF1eT>0 C(r(-#ri( 2.2.1.1.SeaT : V V1n o:erador a1toadj1nto 2se#!deAn!do :os!t!.o;S! e@!ste v V ta" F1e Tv , v =0 entoncesTv=0De"(s'r#ci!, Sea Tv=.v $ v %0, :or de#ostrar F1e Tv=0 es dec!r F1e .=0/+Co#oTes a1toadj1nto en 1n es:ac!o .ector!a" An!to d!#ens!ona"entonces :or e" teore#aes:ectra"{v1, v2, . , vn}V7aseortonor#a"?or#ada :or a1to.ectores de T;Sea v V v=i=1nivi/ T vi=.iviEntoncesTv=Ti=1nivi=i=1ni .ivi/ .i%0Esto es 0= Tv , v =i=1n.i|i|2i=0:or tanto Tv=0C(r(-#ri( 2.2.1.2. Sea T : V V 1n o:erador a1toadj1nto;Es :os!t!.o es no ne>at!.o e !n.ers!7"e;De"(s'r#ci!, ( ) S! T>0T -0 2 T %0T -0 2T es !n.ers!7"e;( ) S! T -0 2 T %0 v%0 se t!ene F1e Tv%0 Tv , v >0 S! en caso se t1.!esen #atr!ces s!#Jtr!cas se :rocede de" #!s#o #odo;Se d!ce F1e AT=[ai4]Bn es no ne>at!.o "o F1e denotare#os AT-0 s!2 so"o s!T : RnRnes no ne>at!.o, ade#3sAT=[ai4]Bnes "a #atr!Dasoc!ada a T en "a 7ase canon!ca;Ade#3sGAT=[ai4]Bnes no ne>at!.o ATes s!#Jtr!co 2n'1, '2, , ' v= se t!ene F1ei , 4=1nai4'i'4-0//En e?ecto:Sea T : RnRn donde: n'1, '2, , 'v=2ny1, y2, , yTv= es dec!r:T v4=y4=i=1nai4'i$ 4=1,2, , nT v4, v4=i=1nai4'i, '4=i=1nai4'i '4 Pero co#o T es a1toadj1nto tene#osi=1nai4'i'4=T v4, v4=v4, T v4='i,i=1na4i'4=i=1na4i'i '4ai4=a4i$ i , 4 1,2,, nAsAT es s!#Jtr!ca;,a#7!Jn co#o T v4, v4-0i , 4=1nai4'i'4-0;De" #!s#o #odo "a #atr!D AT=[ai4]Bn se ""a#ara :os!t!.o s! T : RnRnes :os!t!.o;Se conc"12e ta#7!Jn F1e:AT es no ne>at!.o s1s a1to.a"ores son no ne>at!.os ;AT es :os!t!.o s1s a1to.a"ores son :os!t!.os ;En e?ecto:Sa7e#os F1eT2AT:oseen"os #!s#os a1to.a"ores H.er $I 2ade#3s s! T=TAT=ATtentonces :or e"teore#a $;$;1 se t!ene e" res1"tado;C(!%ici(!es p#r# -# p(si'i.i%#% %e &!# "#'ri8 si"A'ric#/4Cons!dere#os "a #atr!D s!#Jtr!caA=(a )) c)#( .) =det ( AT.I ) =|a. )) c.|De donde #( .)=.2( a+c) .+(ac)2)De donde :or e" teore#a de Cardano se t!ene F1e: .1+.2=a+c.1.2=ac)2AEora s! cons!dera#os: ac)2>0.1.2>0a1to.a"ores de #!s#o s!>no;Co#o ac)2>0ac>)2 s! a>0c>)2a >0,ene#os F1ea+c>)2a +a>a>0.1+.2>0.1>0$ .2>0

Es dec!r: A=(a )) c)es :os!t!.a s! (ac)2>0 y a>0) (ac)2>0 y c>0)2.3.De3!ici(!,E" o:erador3 : V Ves""a#adoRaDc1adradade"o:erador T : V V s! c1#:"e 32=T;Te(re"#2.3.1.Sea T : V VdondeT -0en1nes:ac!o.ector!a"An!to d!#ens!ona" dotado de 1n :rod1cto !nternoE : V V / 2=T >0De"(s'r#ci!,Co#o T -02 cons!dere#os Tv=.v :or teore#a $;$;1 . -0osea .i-0$ i=1,, n"as c1a"es son a1to.a"oresd!?erentes deT2 s! deAn!#os e" a1tos17es:ac!o/5V.={ vV / Tv=.v} / viV.i, i=1,2, , n :or e" teore#a es:ectra" set!ene F1e: v VGv=v1+v2++vn=i =1nviL1e>o: Tv=Tv1+Tv2++Tvn=i=1nTvi=i=1n.ivi;1; DeAna#os aEora e"o:erador : V V / v=i=1n.ivi, :ro7e#os F1e

as deAn!da es o:erador raD c1adrada de T;Sea6=61+62++6n=i=1n6icon64V .4$ 4=1,2, , nvi, 64=0:1esviV .i$ 64V.4s!endo i % 4H.er consec1enc!as de" teore#a es:ectra"IPor tanto se o7ser.a F1e:i v , 6 =i=1n.ivi,i=1n6i=i=1n.i vi, 6i=i=1nvi,i=1n.i6i= v , 6As! tene#os F1e

es a1toadj1nto;ii v , v=i=1n.ivi,i=1nv=i=1n.i vi, vi=i =1n.i|vi|2-0De donde o7ser.a#os F1e

es no ne>at!.o;iii Pro7are#os F1e

2=TSea viV T vi=.ivi vi=.iviEntonces se t!ene

2vi=(vi)=( .ivi)=.ivi=.i.i vi=.ivi=T viDe donde se t!ene

2=T/=De ( i ) , ( ii) ,(iii)

es raD c1adrada de T;$; Pro7e#os "a 1n!c!dadS1:on>a#os F1e (: V V (2=T donde T : V V i Co#oT=(2T(=(2(=(((=((2=(Tes dec!rT2(con#1tan;ii s!T(=(T V .i a1tos17es:ac!o de T es !n.ar!ante :or (;En e?ecto:S! v V .iTv=.iv"1e>o T ( (v )=(Tv=((.i v)=.i(v (v V .i

iii Se aAr#a F1e(: V V (2=T (-0( : V.iV.i t!ene co#oCn!co a1to.a"or a .i ;En e?ecto:Sea: v V .i(v=vL1e>o: .iv=Tv=(2v=2v .i=2=.i Cn!co a1to.a"or;De "aaAr#ac!8n(: V.iV .i (2=T ( -0c12oCn!co a1to.a"orde (en V .i es .iSet!eneF1e(v=.ivs!endov V .iG entonces co#ov=i=1nviconviV .i 1/i /n tene#os F1e (v=i=1n.ivi=v;As!E =(;Te(re"#2.3.2.S!T2T1son a1toadj1ntos T T1T1T A#7os :oseen 1n a1to.ector en co#Cn;De"(s'r#ci!,/)Por e" teore#a $;+;1 es sa7!do F1e s! T T1T1T V.i a1tos17es:ac!o deTes !n.ar!ente :or T1donde V .1={vV / Tv=.1v}, esto es .1esa1to.ector de T V .1es !n.ar!ante :orT1;Y co#o T1 es a1toadj1nto :or e" coro"ar!o $;1;5;1 T1 :osee 1na1to.ector 6V.1, :ero todo .ectorv V .1, es a1to.ector deT en:art!c1"ar v=6 6 es a1to.ector co#Cn a T 2 T1;Te(re"# 2.3.3. SeaT : V W /V , W son de d!#ens!8n An!ta :ro.!stos de1n :rod1cto !nterno entoncesTT : V V2TT: W Wsona1toadj1ntas no ne>at!.as 2 t!enen e" #!s#o ran>o tanto de T co#o deT;De"(s'r#ci!,( TT )=T(T)=TT TT es a1toadj1nta TTv , v = Tv ,Tv -0TT es se#!deAn!do :os!t!.oPara e" otro caso se :rocede de #anera an3"o>a;AEora :ro7e#os F1e RanTT=RanT=RanT;En e?ecto:Se de7e conocer F1e s! TT : V V dimV=dimKer TT +dimImTTH.er +I 2 ade#3s se t!ene :or deAn!c!8n F1eRanTT=dimImTTentonces tendre#os F1e dimV=dimKer TT +RanTT BBB ()AAr#ac!8n:Ker TT=Ker TLa de#ostrac!8n se Ear3 :or do7"e conten!do/(i Ker T Ker TTEn e?ecto:Sea v Ker T Tv=0$ vV TTv=Tv=0$ vV TTv=0$ v V v Ker Tii Ker TT Ker TEn e?ecto:Sea v Ker TT TTv=0

Tv Ker T=T , Por teore#a 5;1;$ Tv T Tv , ' =0$ ' ImTY co#o TvImT WEace#os '=Tv

Tv ,Tv =0|Tv|2=0Tv=0vKer TDe (i) 2 (ii)Ker TT=Ker TRee#:"aDando en () tene#os:dimV=dimKer TT +RanTT=dimKer T+RanTTdimV dimKer T=RanTTRanT=RanTT 2 :or coro"ar!o 5;1;$;1 ca:!t1"o 1 RanT=RanTTE" otro caso se :rocede de an3"o>a#ente;C(r(-#ri( 2.3.3.1. i T : V W es !n2ect!.a TT es !n.ers!7"e4'ii T : V W es so7re2ect!.a T T es !n.ers!7"eDe"(s'r#ci!,i T : V W Es !n2ect!.a s! Ker T={0}Es dec!r: T es !n2ect!.a dimVdimKer T=RanT=RanTT .ease teore#a $;+;+dimVdimKer T=RanTTdimV=RanTT

TT Es !n.ers!7"eii T : V W es so7re2ect!.a ImT=WdimImT=dimWRanT=dimW

RanT=dimW Por coro"ar!o5;1;$;1

RanTT=dimW Veaseteore#a $;+;+

T T Es !n.ers!7"eO9ser.#ci!,De" coro"ar!o se conc"12e F1e s! cons!dera#os "a #atr!D asoc!ada aT : V Wdenotada :or AT se t!ene F1e:S! T es !n2ect!.a se conc"12e F1e e" Ran AT=n , s!endo ATBmn;S!Tes so7re2ect!.aeF1!.a"eaAr#ar F1ee"Ran AT=m, s!endoATBmn;41,odoeste:rocesor!>1rosonos con""e.aaen1nc!ar 2:ro7ar n1estroo7jet!.o ?1nda#enta" e" ,eore#a de "os Va"ores S!n>1"ares; Te(re"# 2.3.4. 5Te(re"# %e -(s V#-(res Si!/&-#res) Sea T : V W 1na trans?or#ac!8n "!nea" de #odo ta" F1e s1 ran>o esr,s!endo V 2 W es:ac!os .ector!a"es de d!#ens!8n An!ta dotados de 1n:rod1cto!nterno, entonces, e@!sten{u1,u2, . un}V2{v1, v2, . vn}W7ases ortonor#a"es ta"es F1e T ui=FiviTvi=Fiui s!endo Fi>0$ 1/i /r2Fi=0$ r+1/i /nDe"(s'r#ci!,Co#o T : V Wes 1na trans?or#ac!8n "!nea" entre es:ac!os .ector!a"esde d!#ens!8n An!ta dotados de 1n :rod1cto !nterno :or e" teore#a$;+;+ se t!ene F1e TT : V Vson a1toadj1ntas no ne>at!.as 2 ade#3sRanTT=RanT=r;Co#o TT : V V es a1toadj1nto se t!ene :or e" ,eore#a Es:ectra" F1ee@!ste{u1,u2, . , un}V7aseortonor#a" ?or#ada:ora1to.ectoresdeTT : V V;Ade#3s co#oTT : V Ves a1toadj1nto:or e" Le#a s1sa1to.a"ores son no ne>at!.as d!>a#os Fi2 2 as! tene#os F1e:TT ui=Fi2ui , conFi>0 s! 1/i /r4$TT ui=0 , con Fi=0 s! r+1/i /nAAr#ac!8n: {Tu1,T u2,. , Tun}W es orto>ona" donde: T ui%0$ 1/i /rT ui=0$ r+1/i /nEn e?ecto:i T ui, T u4 = ui, TT u4= ui, F42u4 =F42ui,u4 2co#o{u1,u2, . , un}Vesortonor#a" entonces ui,u4=0$ i % 4L1e>o T ui,T u4=0ii T ui,T ui=|T ui|2=Fi2|ui|22co#o{u1,u2, . , un}Ves ortonor#a"entonces |ui|=1 esto es: |T ui|2=Fi2 2 co#o RanT=r T ui%0$ 1/i /riii Por e" teore#a $;+;+ Ker TT=Ker T, esto esTT ui=0$ r+1/i /nde donde T ui=0$ r+1/i /n ;AEora :ara o7tener 1na 7ase :araWdeAn!#os :ara1/i /r,vi= 1Fi T uiestoes:T ui=Fividonde{u1,u2, . , un}Ves1nconj1ntoortonor#a"de "a ImT ;En e?ecto:Sean i , 4 =1,2, ,n entonces:vi, v4= 1Fi T ui, 1F4 T u4= 1Fi F4 T ui, T u4= 1Fi F4 TT ui, u4= FiF4 ui,u4= FiF4 ,i44+Entonces vi, v4= FiF4 ,i4 donde ,i4={1$ i=40$i % 4 2 co#o dimImT=RanT=rentonces {v1, v2, ., vr}WEs1na7aseortonor#a" s!endoT: W V2ade#3s:or e" teore#a de co#:"etac!on de 7ases{v1, v2, ., vr}:1edeco#:"etarse a 1na 7ase ortonor#a" {v1, v2, ., vr, vr+1, , . , vn};S!endo {vr +1, , . , vn }; Base Ortonor#a" de "a T=Ker T Estoes Tvi=0$ r+1/i /n2co#ovi= 1Fi T uiTvi=T( 1Fi T ui)= 1Fi TT uientonces Tvi= 1Fi Fi2ui=Fiuiesto esG Tvi=Fiui , s!, 1/i /rT0=Fiui , s!, r+1/i /nO9ser.#ci!,A "os nC#erosF1, F2, ,Fr"e ""a#are#os .a"ores s!n>1"ares deT : V W c12o ran>o es r;Ade#3s conc"1!#os F1e:{v1, v2, . vn}W es 7ase ortonor#a" ?or#ada:or a1to.ectores de TT: W W2 F1e {u1,u2, . un}Vta#7!Jn estar3?or#ada :or "os a1to.ectores de TT : V V ;4/Res&-'#%(sEn e" :resente tra7ajo se Ea EecEo 1n est1d!o de "os o:eradoresa1toadj1ntos o7ten!Jndose dos res1"tados !#:ortantes: E" :r!#ero 5'e(re"# espec'r#-)!nd!ca F1e todo o:erador a1toadj1nto T : V Ven 1n es:ac!o .ector!a" An!to d!#ens!ona" dotado de 1n:rod1cto !nterno, es :os!7"e constr1!r 1na 7ase ortonor#a"{u1,u2, . un}V ?or#ada :or a1to.ectores de T;E" se>1ndo res1"tado 5'e(re"# %e -(s .#-(res si!/&-#res)cons!ste en"a o7tenc!8n de "as 7ases ortonor#a"es{u1,u2, . un}V2{v1, v2, . vn}Wta"es F1eT ui=FiviTvi=Fiui s!endo Fi>0$ 1/i /r 2 Fi=0$ r+1/i /n , 2T : V Wes 1na trans?or#ac!8n "!nea" c12o ran>o esr ,dondeV yWest3n:ro.!stos de1n:rod1cto!nterno, ene" F1ese:1edeo7ser.ar F1e{v1, v2, . vn}Wes 7ase ortonor#a" ?or#ada :ora1to.ectores deTT: W WG de" #!s#o #odo conc"1!#os F1e{u1,u2, . un}Vta#7!Jn estar3 ?or#ada :or "os a1to.ectores deTT : V V ;44C(!c-&si(!es De "a !n.est!>ac!8n rea"!Dada conc"1!#os "o s!>1!ente:Ca7e"a:os!7!"!dadconstr1!r 7asesortonor#a"esAn!tasa:art!r de"oso:eradores a1toadj1ntos en es:ac!os con :rod1cto !nterno;Deac1erdocon"osres1"tadoso7ten!dosnota#osF1ee" ,eore#aconVa"ores S!n>1"ares es 1na consec1enc!a de" ,eore#a es:ectra" 2 :or endeesas 7ases deter#!nadas const!t12en a1to.ectores tanto de "a c"aseTT: W Wco#odeTT : V V, "osc1a"esEacen:os!7"eF1es1s#atr!ces asoc!adas en d!cEas 7ases sean d!a>ona"!Da7"es, de a"" "a!#:ortanc!a de ta" teore#a; ,a#7!Jn entende#os F1e s! e" o:eradorT : V Ves a1toadj1ntoentonces:ode#osest!#arF1es1#atr!Dasoc!adaesd!a>ona"!Da7"e2ade#3s F1e s1s 7ases F1e "a d!a>ona"!Dan son orto>ona"es;45Disc&si!, S! 7!en e" :resente tra7ajo a 1t!"!Dado acertada#ente e" ?1nda#ento de "os,eore#asEs:ectra" 2de"osVa"oresS!n>1"ares:ara"aconstr1cc!8nde7ases ortonor#a"es, no deja de ser !#:ortante otros :ro7a7"es #Jtodos:ara constr1!r 7ases to#ando en c1enta , :or eje#:"o e" :rocesoorto>ona"!Dac!8n de &ra#* ScE#!dt F1e es r!co en s1s a:"!cac!ones :aradeter#!nar 7ases;La 7!7"!o>ra?a re.!sada F1e Ea ser.!do :ara "a :re:arac!8n de" :resentetra7ajo o?rece 1n enor#e ca#:o de !n.est!>ac!8n en "a constr1cc!8n de7ases a :art!r de "os teore#as #enc!onados, de #odo F1e a">Cnest1d!ante :1ede :ro:onerse en cont!n1ar estos #Jtodos de constr1cc!8nde 7ases, tan Ct!"es en "as a:"!cac!ones de" A">e7ra L!nea"; En ta" sent!do,res1"ta#ot!.ador :arae" est1d!antee" deo7tener n1e.as ?or#as deconstr1!r 7ases ortonor#a"es;4=D. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICASB1CE"on La>es L!#a QA">e7ra L!nea"R M1(())te@tos de" IMCA ,L!#a *Per1 B2CSe2#o1r L!:scE1tD QA">e7ra L!nea"R M1(=4) Mc;&raK*S!"",MJ@!co B3CSer>e Lan> QA">e7ra L!nea"RM1(=4)Add!son* es"e2, E;-;A; B4CSoT#an * U1nDe QA">e7ra L!nea"R M1()$)Prent!ce* Sa"", E;-;A; B:CCar"os CE3.eD V; QA">e7ra L!nea"R M1((+)Ed!t;San Marcos, Per1 Be7raL!nea"R M1((+) Mc;&raK*S!"",MJ@!co B=CC"a1d!o P!ta R1!D QA">e7ra L!nea"R M1((+)Mc;&raK*S!"",Me@!co B>C &eor"!n D!aD Santa QA">e7ra L!nea"R M$''1)-n!.ers!dad Pont!Ac!aBo"!.ar!ana; 4)B?CSa#!"ton Prado B1eno QA">e7ra L!nearR M$''4) ,e@tos-n!.ers!tar!osVISTO BUENO DEL PROFESORUNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE CIENCIAS NATURALES D MATEMETICADICTAMENPara:E" D!rector de"a Esc1e"a Pro?es!ona" deMate#3t!ca de"a0ac1"tad de C!enc!as Nat1ra"es 2 Mate#3t!caLic. Cesar A.!"a Ce"!sAsunto:a:ro7ac!8n de "a Pract!ca Pre*Pro?es!ona" :or :arte de" asesorS;DMed!ante, e" :resente "e co#1n!co F1e e" est1d!anteC(!%e R(;#sV1c'(r Fi--i#" con c8d!>o: '$'()) B rea"!D8 Pr3ct!cas Pre*Pro?es!ona"es4(en "a 0CNM 7ajo #! asesora #ostrando res:onsa7!"!dad 2 :"enoconoc!#!ento de" te#a t!t1"adoGCONSTRUCCIN DE BASESORTONORMALES DE UN OPERADOR AUTOADJUNTO EN UN ESPACIOVECTORIAL FINITO DIMENSIONALHrea"!Dado 2 c1"#!nado en e"Se#estre$'1+*B; Por tanto, e" s1scr!toda :orAPROBADO"a :resentePr3ct!ca Pre* Pro?es!ona"; In?or#o de esta #anera a s1 des:acEo :ara "os Anes :ert!nentes; Atenta#ente: ******************************************************L!c;A7sa"8n Cast!""o Va"d!.!esoC8d!>o: '5$1 5'