MATEMTICAS APLICADAS A LA

INGENIERA ESTRUCTURAL

(1a Edicin)

Gelacio Jurez

Septiembre 2012

ndice general

1. Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden, segundo orden y

de orden superior 4

1.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1. Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2. Las ecuaciones diferenciales como modelos matemticos . . . . . . . . . . 8

1.1.3. Problema de Valores en la Frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.4. Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.5. Vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.6. Slido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.7. Solucin de ecuaciones por integracin directa . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2. Ecuaciones diferenciales de 1er orden separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.1. Reduccin a una forma separable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.2. Ecuaciones diferenciales exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.2.3. Factores Integrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.2.4. Ecuaciones diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.3. Ecuaciones diferenciales de 2do orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.3.1. Ecuaciones lineales homogneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.3.2. Ecuaciones homogneas con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . 44

1.3.3. Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.3.4. Existencia y unicidad: Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.3.5. Ecuaciones no homogneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1.3.6. Solucin por coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1.3.7. Solucin por variacin de parmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.4. Ecuaciones diferenciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.4.1. Ecuaciones lineales homogneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.4.2. Ecuaciones homogneas con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . 64

1.4.3. Ecuaciones no homogneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.4.4. Mtodo de coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.4.5. Mtodo por variacin de parmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

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NDICE GENERAL2. Series y transformadas de Fourier 65

2.1. Funciones peridicas y series trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.2. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.3. Funciones par e impar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.4. Expansiones de medio periodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.5. Funciones ortogonales. Conjunto ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.6. Transformaciones de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.6.1. La integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.6.2. La transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.6.3. Transformada seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.6.4. Teorema de convolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3. Transformadas de Laplace 90

3.1. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.2. Linealizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.3. Transformada de derivadas e integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.4. Desplazamiento en s y t. La funcin escaln unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.5. La funcin Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.6. Diferenciacin e integracin de transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.7. Convolucin. Ecuaciones integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.8. Fracciones parciales. Sistemas de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . 93

3.9. 1. Algebra Vectorial en espacios bidimensionales y tridimensionales. . . . . . . . 93

3.10. 2. Producto interno y vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.11. 3. Suma de matrices. Multiplicacin escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.12. 4. Multiplicacin de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.13. 5. Sistemas lineales de ecuaciones. Eliminacin de Gauss. . . . . . . . . . . . . . 93

4. Algebra vectorial y matricial 94

4.1. Espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.1.1. Axiomas de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2. Independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.4. Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.5. Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.6. Inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.7. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.8. Matrices ortogonales, simtricas y simtricas sesgadas . . . . . . . . . . . . . . . 108

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NDICE GENERAL5. Solucin de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales 109

5.1. Factorizacin LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.2. Mtodo de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.3. Eliminacin de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.4. Solucin por iteracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.5. Mtodo de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.6. Iteracin de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6. Clculo vectorial 112

6.1. Funciones y campos escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.2. Curvas. Tangentes. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.3. Clculo de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.4. Gradiente de un campo escalar. Derivada direccional . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.5. Divergencia de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.6. Rotacional de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.7. Coordenadas curvilneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.8. Integrales de lnea, superficie y volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.9. Teoremas de Gauss y Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

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Captulo 1

Ecuaciones diferenciales ordinariaslineales de primer orden, segundoorden y de orden superior

1.1. Introduccin

Las ecuaciones diferenciales son de importancia en ingeniera estructural porque muchas de sus

leyes fsicas y relaciones se establecen como una ecuacin diferencial. Estas notan darn par-

ticular atencin a las mtodos de solucin de ecuaciones diferenciales y, particularmente, su

interpretacin de modelado en ingeniera estructural.

Una ecuacin diferencial ordinaria (EDO) es una ecuacin que contiene una o varias derivadas de

una funcin desconocida (), para variables independientes en el espacio, o () si la variableindependiente es el tiempo. La ecuacin adems debe contener la funcin , funciones conocidasde o y constantes. Por ejemplo,

0 = cos (1.1)00 + 3 = 0 (1.2)

30000 + 200 = 2 + 3 (1.3)son EDO. El trmino ordinario las distingue de las ecuaciones diferenciales parciales (EDP),

las cuales involucran derivadas parciales de funciones desconocidas de dos o ms variables. Por

ejemplo una EDP con funcin desconocida ( ) de dos variables es22 +

22 = 0 (1.4)

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1.1 Introduccin1.1.1. Derivada

Definition 1 Sea una funcin definida en un intervalo abierto que contiene a . Entonces laderivada de f en a denotada por 0(), est dada por

0() = lm0 (+) ()

(1.5)si este lmite existe.

Si a cada se le asocia un nmero 0() se obtiene una funcin 0, llamada derivada de .El valor de 0 en est dado por

0() = lm0 (+) ()

(1.6)

Descripcin fsica

Sea ( ()) un punto cualquiera sobre la grfica de una funcin . Si es otro punto sobrela grfica denotado por (+ (+)), donde es la diferencia de las abscisas de y como se muestra en la fig. 1.1a. Por definicin la pendiente de la recta secante que pasapor y es:

= (+) () (1.7)

Definition 2 Sea una funcin definida en un intervalo abierto que contiene a . Entonces lapendiente m de la recta tangente a la funcin en el punto ( ()) est dada por

= lm0 (+) ()

siempre y cuando este lmite exista.

Figura 1.1: Pendiente de: a)una recta secante y b) de la recta tangente.

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1.1 IntroduccinEjemplos

En la figura 1.2a se muestra la relacin esfuerzo , contra deformacin , de una prueba deconcreto simple, en la que la trayectoria de la curva se define como una funcin de esfuerzos

(), con derivada () =

(1.8)

Note que en el tramo ascendente la derivada corresponde a un valor constante, conocidocomo el mdulo elstico , posteriormente, el valor de la derivada cambia en cada punto, dehecho toma valores negativos en la rama descendente.

Otro ejemplo es la idealizacin de la relacin momento, , contra curvatura, , de una viga deconcreto reforzado mostrada en la figura 1.2b. Esta curva () se definida por tres tramos, suderivada respecto a la curvatura es

() (1.9)

La derivada definida en la ec. 1.9 en el tramo 0 , es un valor constante , donde esel momento de inercia de la seccin; en el tramo la derivada es cero, conocido comocomportamiento elastoplstico; y en el ltimo tramo, la derivada es , donde es un valornegativo.

Figura 1.2: Diagrma: a) esfuerzo vs. deformacion del concreto simple y b) momento vs. curvaturade una viga de concreto reforzado.

Tarea

La viga mostrada en la figura 1.3 est sujeta a un desplazamiento prescrito en su apoyo derecho.Considerando constantes en mdulo elstico , el rea , el momento de inercia y la longitud, realice lo siguiente:

1. Determine las funciones de las fuerzas 1 (), 2 (), 1 (),y 2 (), respecto al desplaza-miento .

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1.1 Introduccin2. Bosqueje las grficas del desplazamiento en el eje de las abscisas contra las funciones de

fuerzas en las ordenadas.

3. Calcule las derivadas de las funciones de las fuerzas respecto a y comente el sentido fsicode stas.

1 ()

2 ()

1 ()

2 ()

Figura 1.3: Elemento viga.

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