Informacion General de La Asignatura U0

Anlisis matemtico II Informacin general de la asignatura

Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologa |Licenciatura en Matemticas 1

Universidad Abierta y a Distancia de Mxico

Licenciatura en Matemticas

8 cuatrimestre

Anlisis Matemtico II

Informacin general de la asignatura

Clave:

050930829



ndice

Presentacin ....................................................................................................................... 2

Propsitos ........................................................................................................................... 4

Competencia general ......................................................................................................... 5

Estructura temtica ............................................................................................................ 5

Metodologa de trabajo ...................................................................................................... 6

Evaluacin ........................................................................................................................... 7

Fuentes de consulta ........................................................................................................... 8

Presentacin

El anlisis matemtico es una rama relativamente nueva de las matemticas.

Nace en el siglo XIX, cuando el clculo diferencial e integral estaba bastante

desarrollado.

Posteriormente surgieron nuevas y diferentes ramas de las matemticas, al mismo

tiempo que se descubrieron nuevos resultados y campos de aplicacin, enriqueciendo y

profundizando los conceptos existentes del clculo.

Los matemticos de la poca advirtieron, por un lado, que sus fundamentos no eran tan

slidos y, por otro, que podan extenderlos y generalizarlos.

Matemticos como Lagrange y Cauchy precisaron las definiciones de lmite: continuidad

e integral. El matemtico checo, Bolzano, contribuy notablemente al estudio de las

funciones continuas y el alemn Karl Weierstrass introdujo el rigor y la formalidad

cientfica, que hoy lo ubican como el padre del anlisis matemtico moderno.

Para el estudio de las funciones continuas, se hizo necesario profundizar en el entendimiento de

la naturaleza y propiedades de los nmeros reales. Sin embargo, su estudio requera

comprender las funciones discontinuas; a partir de las cuales surgen las funciones continuas

como lmite de funciones, ello sin saber de antemano si la funcin lmite sera continua o no.



El surgimiento y desarrollo del anlisis matemtico tiene una motivacin abstracta, ligada a

lograr una mayor comprensin de las matemticas en s mismas. Aunque tambin cuenta con

una motivacin real y objetiva, vinculada al entendimiento, resolucin de problemas y retos que

se plantea la humanidad para comprender mejor el universo que nos rodea.

Anlisis matemtico, adems de tener aplicaciones en otras ramas de las matemticas, como

son ecuaciones diferenciales, teora de conjuntos y probabilidad; cuenta con aplicaciones en

otras ciencias como la fsica, la qumica, la biologa, la astronoma o la economa, ligadas al

establecimiento de leyes generales del comportamiento de la naturaleza, del hombre y a la

solucin de problemas cientficos, tecnolgicos y sociales muy concretos.

Por ejemplo, un conjunto de puntos puede representar

diferentes cosas: un conjunto de funciones, donde cada

elemento es una funcin; un conjunto de colores, donde

cada punto es un color, o un conjunto de personas, donde

cada punto es una persona. La continuidad de una funcin

puede representar la continuidad de la transmisin del

sonido, la continuidad de una corriente de agua, de flujo

elctrico o del paso del tiempo en un periodo dado.

Al observar las similitudes de los casos particulares, surge la idea de enfocarse en los aspectos

afines. Mediante representaciones abstractas o modelos se logra hacer a un lado la informacin

particular, logrndose delimitar los problemas comunes para su posterior estudio y solucin.

Por lo anterior, esta asignatura exige que desarrolles tu capacidad de abstraccin para lograr

buen entendimiento. Tambin es importante tener en cuenta que, para el estudio de esta

asignatura, necesitas manejar los resultados del clculo diferencial e integral, de una y de varias

variables y lo que has aprendido hasta el momento.

La asignatura se imparte en el octavo cuatrimestre de la licenciatura en Matemticas.



El curso consta de cuatro unidades.

Propsitos

Con el estudio de esta asignatura:

Llevars y ampliars los conceptos y resultados del

clculo en n a los espacios mtricos, que son espacios ms generales.

Comprenders los conceptos esenciales del

anlisis matemtico: compacidad, convergencia y

teoremas fundamentales.

Comprenders una demostracin y sers capaz de

desarrollar tus propias demostraciones, siguiendo

razonamientos rigurosos y utilizando las nociones

bsicas de topologa, espacios mtricos y

convergencia.



Competencia general

Aplica los conceptos y procedimientos del anlisis

matemtico para comprender las demostraciones

del anlisis real, utilizando el clculo diferencial e

integral de una y varias variables, geometra

analtica y lgebra lineal.

Estructura temtica

1. Aproximacin de funciones continuas

1.1. Antecedentes

1.1.1. Series de nmeros

1.2. Teorema de aproximacin de Weierstrass

1.2.1. Sucesiones de funciones uniformemente convergentes

1.2.2. Funciones continuas no derivables en ningn punto

1.2.3. Enunciado, demostracin y algunas consecuencias

1.2.4. Algunas generalizaciones

2. Integral de Riemann-Stieljes

2.1. Antecedentes

2.1.1. Definicin de la integral de Riemann-Stieljes. Notacin

2.1.2. Propiedades

2.1.3. Integracin por partes

2.2. Teorema de cambio de variable

2.2.1. Enunciado y demostracin

2.2.2. Aplicaciones

3. Conceptos preliminares de Teora de la medida

3.1. Antecedentes

3.1.1. Medidas y conjuntos medibles

3.1.2. Medida de Lebesgue, propiedades



3.1.3. Conjuntos Lebesgue-medibles

3.2. Funciones medibles

3.2.1. Algunas aplicaciones

4. Integral de Lebesgue

4.1. Antecedentes

4.1.1. Definicin de la integral de Lebesgue

4.1.2. Propiedades

4.1.3. Comparacin contra la integral de Riemann

4.2. Integral de Lebesgue de una funcin acotada sobre un conjunto de medida finita

4.2.1. Lema de Fatou

Metodologa de trabajo

En esta asignatura trabajars contenidos que involucran aspectos tericos y prcticos, los

cuales te permitirn desarrollar el conocimiento analtico.

La metodologa de trabajo consiste en lograr el aprendizaje a travs de la reflexin de ideas

matemticas, la resolucin de problemas y la prctica constante mediante ejercicios dirigidos y

puntuales en su temtica. Posteriormente a la exposicin de los resultados tericos, y en

ocasiones previo a ello, se vern ejemplos que motiven, contextualicen y refuercen el concepto

terico en cuestin. Todo esto en beneficio de una ptima comprensin e integracin de los

temas y subtemas que conforman a las unidades del curso.

Las actividades propuestas en cada una de las unidades

estn formadas por ejercicios y problemas, en los que

debers aplicar tus conocimientos adquiridos. Recuerda

que si en algn momento te resulta complicado obtener

la solucin de algn ejercicio o problema puedes

consultar a tu Facilitador(a), quien te apoyar en tus

necesidades, retroalimentndote con informacin y

buenas sugerencias, segn sea la situacin.



Evaluacin

En el marco del Programa de la UnADM, la evaluacin se conceptualiza como un proceso

participativo, sistemtico y ordenado, que inicia desde el momento en que interactas con los

diversos componentes educativos del aula virtual, por lo que se le considera desde un enfoque

integral y continuo.

Por lo anterior, para acreditar la asignatura, se espera tu participacin responsable y activa,

contando con el acompaamiento y comunicacin estrecha del (la) Facilitador(a), quien, a

travs de la retroalimentacin permanente, podr evaluar de manera objetiva tu desempeo.

Para lograrlo, es necesaria la recoleccin de evidencias que reflejen el logro de tus

competencias.

En este contexto, la evaluacin forma parte del

proceso de aprendizaje, en el que la retroalimentacin

permanente es fundamental para promover el

aprendizaje significativo y reconocer el esfuerzo. Es

requisito indispensable la entrega oportuna de cada

una de las tareas, actividades y evidencias, as como

la participacin en foros y dems actividades

programadas en cada una de las unidades y conforme

a las indicaciones dadas. Las rbricas establecidas

para cada actividad contienen los criterios y

lineamientos para realizarlas, por lo que es importante

que las revises antes de elaborarlas.

En lo que se refiere a la asignacin a cargo del (la) Facilitador(a), ste(a) har uso, previa

planificacin, de instrumentos y tcnicas de evaluacin, que te permitirn retroalimentar y

reforzar de manera pertinente, de acuerdo con el avance y caractersticas del grupo,

enriqueciendo su proceso formativo.



A continuacin presentamos el esquema general de evaluacin.

ESQUEMA DE EVALUACIN

Evaluacin contina Interacciones individuales y colaborativas 10%

Actividades

formativas

Tareas 30%

E-portafolio (50%) Evidencias 40%

Autorreflexiones 10%

Asignacin a cargo

del (la) Facilitador(a)

Instrumentos y tcnicas de evaluacin

propuestas por el (la) Facilitador(a)

10%

CALIFICACIN FINAL 100%

Cabe sealar que, para aprobar la asignatura, debes obtener la calificacin mnima indicada por

la UnADM.

Fuentes de consulta

Rudin, W. (1987). Real and Complex Analysis, 3a. ed. Londres: McGraw-Hill.

Stein, E. M. y Shakarchi, R. (2007). Real Analysis: Measure Theory, Integration, and

Hilbert Spaces. EUA: Princeton University Press.

Bartle, R. G. y Sherbert D. R. (2011). Introduction to Real Analysys, 4a. ed. EUA: John

Wiley & Sons.

Apostol, T. M. (2006). Anlisis matemtico, 2a. ed. Mxico: Editorial Revert.

Dudley, R. M. (2002). Real Analysys and Probability. EUA: Cambrigde University Press.

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