Gutierrez qué sabemos y no sabemos sobre jóvenes y juventudes
INFORMACIÓN, PROGRAMA DE LA MATERIA Y ...de la primera x= -2 y la de segunda igualdad como 𝑥2+ =...
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ÁLGEBRA, CÁLCULO NUMÉRICO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA . CAPÍTULO 0.
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INFORMACIÓN, PROGRAMA DE LA MATERIA Y BIBLIOGRAFÍA:
ÁLGEBRA, GEOMETRÍA ANALÍTICA Y CÁLCULO NUMÉRICO 2020
Fundamentación
La matemática como ciencia formal resulta un saber esencial en algunas ciencias
fácticas, que intentan explicar los fenómenos de la naturaleza apoyándose en la
observación, la modelización y la experimentación.
Los conocimientos científicos construidos desde la matemática forman parte del
bagaje cultural básico para la comprensión de los fenómenos naturales y de los procesos y
productos tecnológicos. La ciencia como actividad institucionalizada de producción de
conocimientos, es parte central de la cultura de nuestro tiempo . Es nuestro objetivo que
el proceso de enseñanza - aprendizaje del Álgebra y la Geometría como parte de la
matemática, resulte significativo para la construcción de dichos conocimientos. Creemos
en la educación pública como formadora de ciudadanxs críticxs, capaces de mantener un
debate fundamentado. En ese sentido dirigimos nuestra propuesta. Para los alumnxs…
Modalidad
El curso de esta materia se desarrollará en un semestre. Las clases tendrán una
carga horaria de 8 horas semanales, en las cuales se alternarán explicaciones a cargo de
los docentes, espacios de consulta y trabajo por parte de lxs alumnxs en las actividades
propuestas. Incentivando el trabajo grupal se aconseja aprovechar las mesas grandes en
las que el intercambio entre compañerxs resulta más fácil.
Evaluación
Se seguirán los lineamientos dados por la Comisión de Enseñanza y Seguimiento de
Planes de Estudio y las resoluciones del H. Consejo Académico. De la siguiente manera:
- Para aprobar la materia por promoción (sin examen final), se necesita un 80%
de asistencia a clase y la aprobación de dos parciales. Los exámenes deberán
tener un promedio de al menos 6 (seis), en cada uno de los parciales, una
nota no inferior a 5(cinco).
- Para aprobar los trabajos prácticos, además de la asistencia a clase, se deberán
aprobar los dos parciales con nota mayor o igual a 4 (cuatro).
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- Cada parcial tendrá un recuperatorio y habrá una fecha “flotante” para quiénes
al agotarse las dos fechas de cada parcial, adeuden a lo sumo uno.
- La corrección de los exámenes parciales y flotantes involucra a todo el equipo
docente, siguiendo pautas iguales en todas las comisiones, establecidas por la
coordinación de la materia.
PROGRAMA: Contenidos establecidos en el Plan de estudios.
1- Geometría del Plano: El plano coordenado. Distancia entre puntos. Recta en
el plano. Distintos tipos de ecuaciones de una recta. Posiciones relativas de dos
rectas en el plano. Cónicas: elementos y ecuaciones de la circunferencia, de la
parábola, de la elipse y de la hipérbola. Deducción del tipo de curva a partir de la
ecuación implícita.
2- Nociones básicas de lógica y teoría de conjuntos. Conjuntos definidos por
comprensión y por extensión, pertenencia, inclusión. Operaciones entre conjuntos:
unión, intersección, diferencia y complemento. Conjunto de los números
naturales: Definiciones recursivas. Sucesiones. Principio de Inducción completa.
Binomio de Newton.
3- Vectores del plano y el espacio: Distancia entre puntos del plano y del
espacio. Vectores. Operaciones con vectores. Angulo entre vectores.
PASÓ A ANÁLISIS MAT. II:
4- Geometría en el espacio: Recta en el espacio. Plano. Distintos tipos de
ecuaciones de una recta y de planos. Distancia entre rectas y planos.
5- Números complejos en las formas de: par ordenado, binómica, polar y
trigonométrica. Operaciones y propiedades. Representación gráfica. Fórmula de
De Moivre para potencia y raíz. Ecuaciones.
6- Polinomios. Definiciones básicas. Igualdad, suma y producto de polinomios.
División: existencia y unicidad de los polinomios cociente y resto. Raíces. Teorema
del resto y su corolario. Raíces múltiples. Polinomios reducibles e irreducibles en
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R[x] y en C [x]. Polinomio derivado. Formula de Taylor para polinomios. Enunciado
del Teorema Fundamental del Algebra y sus consecuencias. Relación entre
coeficientes y raíces. Aproximación de raíces
7- Matrices. Operaciones: suma, producto de un escalar por una matriz, producto de
matrices. Matrices invertibles. Matriz traspuesta. Operaciones elementales sobre las filas
de una matriz. Matrices equivalentes por filas. Matrices elementales. Calculo de la inversa
de una matriz por operaciones elementales. Sistemas de ecuaciones lineales. Forma
matricial. Método de resolución de Gauss por operaciones elementales sobre las filas.
Determinante de una matriz y sus propiedades. Relación entre determinante de una
matriz e invertibilidad. Rango de una matriz. Teorema de Rouche-Frobenius. Clasificación
de los sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones.
Bibliografía
Alcón Liliana, Notas de Álgebra y Matemática Discreta. (se encuentra en el siguiente
enlace: http://sedici.unlp.edu.ar/handle/10915/35236
Barnett, Algebra, 6°ED, Mc Graw-Hill Interamericana
Cotlar, M. y Sadosky, R. Introducción al Álgebra . EUDEBA
Fernández, E. Álgebra y Geometría. Addison Weslesy.
Los Apuntes de la Cátedra de la profesora Adriana Galli.
Gentile, E. Notas de Álgebra. EUDEBA, 3ra. Edición 1984
Gentile, E. Notas de Álgebra- Espacios Vectoriales. Ed. Functos.
Kahn, P. Introducción al Álgebra Lineal. Harper and Row Publishers inc.
Lang, S. Algebra lineal . Fondo Educativo Interamericano, México 1976.
Larson, Álgebra Intermedia, Mc Graw-Hill Interamericana
Oubiña, Lía Introducción a la teoría de conjuntos . EUDEBA
Rees, Álgebra, Mc Graw-Hill Interamericana
Sagastume Berra, A. y Fernández, G. Álgebra y Calculo Numérico. Kapeluz, Bs. As.
1960
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Santalo, L. Espacios vectoriales y Geometría Analítica. Monografías de la OEA.
Sobel, M. y Lerner, N., Álgebra. Prentice-Hall- Hispanoamericana.
CAPÍTULO 0. Para este capítulo les recomendamos consultar antes, el siguiente material de la profesora
Natalia Ferre, de la Facultad Informática de la UNLP: Copie la siguiente dirección: http://163.10.22.82/OAS/matematica/ecuaciones/index.html
-La matemática es la reina de la ciencia y la aritmética la reina de la matemática.-Carl
Friedrich Gauss, 1777-1855.
Los temas de este capítulo son muy conocidos por todos ustedes. Es simplemente aritmética básica.
Queremos introducirnos de a poco y de manera no tan formal, en el lenguaje matemático. Hay que
tener paciencia y preguntar todo. Nunca dejen de consultar a sus docentes. Porque es cierto que
muchas veces, uno puede llegar a sentir que los que “hacen matemática” hablan en otro idioma.
Consideremos el conjunto de los números reales (desde ahora lo indicamos así: ℝ).
En ℝ están definidas dos operaciones: suma y producto. Vamos a estudiar todas las propiedades que
tienen la suma y el producto en ℝ.
Sabemos que siempre que se sumen o se multipliquen números reales, se obtiene como resultado
un número real. Esto tiene un nombre: las operaciones suma y producto son cerradas en ℝ.
Vamos a listar todas las propiedades o leyes de la suma y el producto de números reales que
justifican los cálculos que hacemos habitualmente. Porque es nuestro propósito tratar de justificar lo
que afirmamos.
Para eso, pensemos que las letras a, b y c representan números reales cualesquiera.
Propiedades de la suma de números reales: Dijimos antes que la suma de dos números reales
es un número real. Eso puede expresarse como: La operación suma es cerrada en ℝ.
𝑺𝟏: Asociativa (a + b) +c= a + (b + c)
(comentario: esta propiedad parece poco interesante porque es muy evidente. Si la suma no fuese
asociativa (3+2)+4 sería un número distinto al número 3 + (2+4), por ejemplo). ).
Esta propiedad permite en este caso omitir los paréntesis: (a + b) +c= a + (b + c) = a+ b + c.
𝑺𝟐: Conmutativa: a + b = b + a
(comentario: del estilo del anterior)
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𝑺𝟑: Existencia de elemento neutro. Existe un número real, el 0, que es elemento neutro para la
suma. Quiere decir que a + 0 = a, cualquiera sea el número real a.
𝑺𝟒: Existencia de opuesto. Si a es un número real cualquiera, existe -a, que es también un número
real y cumple: a + (-a) = 0. (Por ejemplo, el opuesto de -10 es -(-10) =10 porque -10+10=0)
La operación resta a - b se interpreta como a + (-b), es decir que a – b = a + (-b) y claramente
podemos observar que la operación resta no cumple la propiedad 𝑆2: Conmutativa, simplemente
porque 3 - 5≠ 5 - 3).
Hasta acá tenemos todas las propiedades que cumple la suma en ℝ.
Propiedades del producto de números reales: Dijimos antes que el producto de dos números
reales es un número real. Eso puede expresarse como: La operación producto es cerrada en ℝ.
𝑷𝟏: Asociativa (a.b) .c= a.(b.c)
(comentario: esta propiedad parece poco interesante porque es muy evidente. Pero, por ejemplo, si
el producto no fuese asociativo (3.2).4 sería un número distinto a 3.(2.4).
Esta propiedad permite, en este caso omitir los paréntesis: (a.b) .c= a.(b.c) = a.b.c
𝑷𝟐 : Conmutativa: a.b = b.a
comentario: es tan obvia esta propiedad de los números reales, que uno tendería a pensar que si se
tiene otro conjunto, que no sea de números y otro producto, también ese producto sería
conmutativo. Veremos más adelante que esto no es así.)
- “Obvio” es la palabra más peligrosa del mundo en matemáticas.-(E. T.
Bell.)
𝑷𝟑 : Existencia de elemento neutro. Existe un número real, el 1, que es elemento neutro para el
producto. Quiere decir que a.1 = a.
𝑷𝟒 : Existencia de inverso. Si a es un número real cualquiera (menos 0, por favor!!!) existe a−1,
que es también un número real y cumple que: a.a−1= 1
Observemos también que si a, a≠ 0, como dijimos antes, a−1 es el inverso multiplicativo de a y
también se cumple que a es el inverso multiplicativo de a−1.
Si a es un número real cualquiera y b es otro cualquiera menos el 0, si consideramos la operación
división, a divido b, que podemos expresar como a:b, o también como a , en este contexto se b
puede considerar a:b = a 1 b
= a. b−1)
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Tenemos otra propiedad que conecta las dos operaciones, suma y producto en ℝ:
Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma.
a.(b + c) = a.b + a.c
(comentario: esta propiedad es la que justifica “sacar factor común”)
Por último, una propiedad importante sobre los números reales, que resulta de mucha utilidad en la
resolución de ecuaciones:
Si a y b son números reales cualesquiera, tales que a.b = 0 entonces a = 0 ó b = 0.
Ejemplo:
Hallar todos los números reales x que verifiquen la siguiente ecuación: 𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 + 10 = 0
.Como no conocemos un método de resolución de este tipo de ecuaciones (sólo sabemos resolver las
de grado dos) intentaremos escribirla como producto y luego aplicar la propiedad anterior.
𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 + 10 = (𝑥3 +2𝑥) + (5𝑥 + 10) = La última igualdad vale porque la suma es
asociativa.
Sacando factor común en ambos términos, porque vale la ley distributiva se tiene que:
= 𝑥2(𝑥 + 2) + 5(𝑥 + 2) ahora sacamos factor común x+2
= (𝑥 + 2). (𝑥2 + 5)
Tenemos que 𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 + 10 = (𝑥 + 2). (𝑥2 + 5) = 0 Ahora aplicando la última propiedad
enunciada arriba sabemos que:
𝑥 + 2 = 0 ó 𝑥2 + 5 = 0
de la primera x= -2 y la de segunda igualdad como 𝑥2 + 5 = 0, sabemos que 𝑥2 = −5 y sabemos que
no existe ningún número real x, que elevado al cuadrado sea negativo.
Luego, la respuesta es: hay un único número real x, que satisfacen la ecuación y es x = -2.
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Relaciones entre números reales:
1) La igualdad. Sus propiedades:
Cualesquiera sean a, b y c números reales, se cumplen:
a) a = a.
b) Si a= b entonces b = a.
c) Si a = b y b= c entonces a = c.
Las siguientes propiedades vinculan la suma y el producto con la igualdad.
d) Si a = b entonces a + c = b + c.
e) Si a = b entonces a.c = b.c.
2) Orden en el conjunto de los números reales: El orden es una relación entre dos números
reales, que permite representarlos como puntos de una recta. La indicamos con el símbolo
≤. a ≤ b se lee: a es menor o igual que b.
También, puede interpretarse como b ≥ 𝑎 que se lee: b es mayor o igual que a y
representa lo mismo. Se cumplen las siguientes propiedades.
a) Ley reflexiva: Observemos también que a ≤ a, simplemente porque a = a
b) Ley antisimétrica: Si a ≤ b y b ≤ a entonces a = b
c) Ley transitiva: Cualesquiera sean a, b y c números reales , se cumple que:
Si a ≤ 𝑏 y b ≤ 𝑐 entonces a ≤ 𝑐 .
d) Ley de tricotomía: Cualesquiera sean a y b números reales vale una y sólo una de las
relaciones siguientes: a < 𝑏, 𝑎 = 𝑏, 𝑏 < 𝑎.
Las siguientes propiedades muestran como la suma y el producto en ℝ, se vinculan con el
orden. Sigamos considerando que las letras a, b y c representan números reales cualesquiera.
3) Orden y suma:
Si a ≤ b entonces a + c ≤ b + c.
4) Orden y producto: Si a ≤ b y c es mayor que cero entonces a. c ≤ b. c
Observación: por ejemplo si tomamos a = -2, b = 8 y c = 4. Como −2 ≤ 8 y 4 es positivo, se
cumplen las dos condiciones que la propiedad pide. Entonces se afirma que (−2).4 ≤ 8.4 . Y es
verdad porque -8 es menor que 32. Si ahora tomamos igual que antes a = -2 y b = 8 pero no
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acatamos la condición c ≥ 0 y verificamos, por ejemplo, para c = -4 queda como conclusión
que (−2)(−4) ≤ 8. (−4), es decir, 8 ≤ −32 que es ¡falso! porque todos sabemos que 8 > −32.
Lo que tenemos hasta ahora es un estudio de una estructura algebraica para ℝ.
Es decir, el conjunto de los números reales con la suma y el producto y las propiedades que ellas
cumplen. Hablamos también del orden.
Vamos a mostrar un ejemplo sencillo. Una ecuación que todos sabemos resolver rápidamente y
está muy bien que así sea. No cambiaremos la forma de hacerlo. Sólo observaremos que todos los
pasos están justificados por las propiedades que vimos.
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación enunciando las propiedades utilizadas:
3x + 9 = 35
(3−1). (3x + 9) = 3−1. 35
Esta igualdad es verdadera porque como 3 ≠ 0, podemos aplicar la propiedad 𝑷𝟒 y las
propiedades de la igualdad, específicamente la e).
(3−1). (3x) + (3−1).9) = (3−1).35
Esta igualdad también es cierta por la propiedad distributiva
(3−1). (3)x + (3−1).9 = 3−1. 35
También esta, porque 𝑷𝟏 permite asociar, más aún se puede por ello, prescindir de los paréntesis
en este caso.
1 . 3. x + 3 =
3
35
3
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1
1. x + 3 = 35
3
x + 3 + (−3) =35
3 + (−3)
x + 0 = 26
3
x = 26
3
Las últimas 4 son verdaderas, respectivamente por las propiedades 𝑷𝟒, 𝑷𝟑, 𝑺𝟒 en ∗∗ y 𝑺𝟑.
Números enteros.
Si cambiamos el conjunto de nuestro estudio, ℝ, por el conjunto de los números enteros
(se simboliza ∶ ℤ), el producto no cumplirá todas las propiedades que se cumplían en ℝ.
El conjunto ℤ es una parte del conjunto de los números reales. Está formado por el conjunto de los
números naturales (que se simboliza como ℕ) y los opuestos de cada uno de ellos.
Pensemos ahora que solo contamos con los números enteros, es decir que ahora ℤ, será el conjunto
del contexto y queremos saber si la suma y el producto cumplen las mismas propiedades que vimos
que se cumplían en ℝ. Todas las propiedades de la suma y el producto que estudiamos en ℝ, se
cumplen en ℤ, excepto la siguiente.
Recordemos la propiedad:
𝑷𝟒 : Existencia de inverso. Si a es un número real cualquiera (menos 0) existe a−1, que es
también un número real y cumple que: a.a−1= 1. a−1 = a
Veremos que esta propiedad no se cumple en el conjunto de los números enteros. Para demostrar
que esta propiedad, o cualquier otra, no se cumple en ℤ, bastará con mostrar un número entero
que no la cumple:
El número 3 es evidentemente un número entero.
_ ¿Tiene el 3 inverso multiplicativo?
_sí, claro! Es 1 3
porque 3. 1 = 1. 3
_ ¿El número 1 es un número entero?: ¡claro que no! 3
Entonces, como el inverso de 3 no es un número entero, entonces en ℤ no existe el inverso de 3, es
decir 3 no tiene inverso en ℤ.
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Luego la propiedad 𝑷𝟒 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 en ℤ. Podemos concluir que la estructura de ℤ no es la
misma que la de ℝ.
Como 𝑷𝟒 no se cumple, el resultado de dividir dos números enteros a y b, es decir a dividido b
(b≠ 0), no es un número entero en general.
Tenemos el concepto de divisibilidad en los números enteros:
Sean a y b números enteros, b divide a a si existe un número entero k, tal que a = b.k
Por ejemplo 9 divide a 36 porque existe 4, que es un número entero, tal que 36 = 9.4. Es decir que
9 divide a 36 es equivalente a decir que 9 es un divisor de 36, que 9 es un factor de 36, que 36 es
divisible por 9 y que 36 es múltiplo de 9.
-5 divide a 30, porque existe -6, que es un número entero, tal que 30 = (-5).(-6).
Esta relación “divide ” establecida entre dos números enteros, b divide a a, se puede interpretar como:
a es un múltiplo de b, a es divisible por b, b es un factor de a, o b es un divisor de a.
Cuando b divide a a, sabemos que al hacer la cuenta de dividir, a divido b, el resto es cero.
Pero si b no divide a a, o b no es divisor de a, o a no es divisible por b entonces el resto de la cuenta a
dividido b, no puede ser cero, como ya sabíamos.
Por ejemplo, 3 no divide a 17 porque el resto de dividir 17 por 3 no es cero.
Este hecho conocido desde la escuela primaria, queda enunciado en el siguiente teorema, que no
vamos a demostrar en este curso.
Y como todo lo que exponemos en este capítulo, este teorema también es conocido, desde que
aprendimos a dividir. Vamos a enunciarlo:
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Teorema del Algoritmo de la división:
Si a y b son números enteros cualesquiera y b ≠ 𝟎 entonces existen y son únicos otros dos
números enteros c (cociente) y r (resto) que verifican que
a = b.c + r y 0 ≤ 𝒓 < |𝒃|.
Por ejemplo: si a = 17 y b = 3 existen cociente 5 y resto 2, como 0 ≤ 2 < b, cociente y resto son únicos y cumplen que 17 = 3.5 +2.
Observación: El teorema afirma que el resto, r, puede ser cero o positivo. En el caso en que el resto es 0, b divide a a, o b es un divisor de a. Y en el caso en el que el resto no es 0, b no divide a a.
También en este contexto de los números enteros, vamos a recordar algo muy importante: los números enteros primos.
Un número entero p es un número primo, cuando tiene exactamente cuatro divisores: 1, -1, p
y –p. Estos divisores se llaman divisores triviales de un número entero.
El 1 y el -1 no cumplen la condición, así que no son números primos
Por ejemplo el número 6 tampoco, porque además de los divisores triviales : 1, -1, 6 y -6, tiene como divisores a 2, -2, 3, y -3.
El 101 es primo.
Hay otros teoremas importantísimos en la teoría de números enteros que recomendamos que sean
consultados en la bibliografía de la cátedra o en internet. Como el que afirma que todo número
entero tiene una factorización única como producto de números primos. Ese teorema se llama
Teorema Fundamental de la Aritmética. Entre otros, también los que aseguran la existencia y
unicidad del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo entre dos números enteros
cualesquiera. No vamos a demostrarlos en este curso.
Números racionales.
Los números racionales también son una parte de los números reales.
El conjunto de los números racionales se simboliza: ℚ. Vamos a caracterizarlo. Daremos una condición que tiene que cumplir un número real para ser un número racional.
Un número q, es un número racional si se puede expresar como: q = 𝒂 𝒃
a y b tienen que ser
números enteros y además b no puede ser cero.
Pregunta ¿El número natural 5, es un número racional?
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Respuesta: Si puede expresarlo como un cociente de números enteros con denominador que no sea cero, entonces sí.
Claramente tanto los números naturales como los números enteros pueden expresarse así. Porque si
a es un número entero positivo, negativo o cero se tiene que a se puede
expresar como la fracción de numerador a y denominador 1 quedando
perfectamente caracterizado como un número racional.
Esto justifica que todos los números naturales y los números enteros son también números
racionales.
Las operaciones suma y producto son cerradas en ℚ y cumplen las mismas propiedades que en ℝ.
Pero recordemos cómo se suman y se multiplican los números racionales.
Consideremos que p y q son números racionales cualesquiera.
Entonces si p = a b
y q = c d
. Sabemos que a, b, c, y d son números enteros y que tanto b como d no
pueden ser 0.
p + q= a + c
=
a.d+b.c
b d b.d
Observemos que la suma de números racionales es un número racional. Porque el numerador es
suma de productos de números enteros, que al ser la suma y el producto operaciones cerradas en ℤ, resulta el numerador un número entero. El denominador también es un número entero y además no puede ser 0, ya que b y d no lo son.
p.q = a . c =
a.c
b d b.d
El producto de números racionales también resulta ser un número racional por similar observación a la dada anteriormente para la suma.
Números racionales equivalentes: Dos números racionales a y c
son equivalentes si a.d = b.c
Entonces, por ejemplo son equivalentes: 3
2
−3 9
−2 6
b
−15
−10
d
entre tantos otros.
Seguramente que a todos nos gustaría quedarnos con el primero. Porque intuitivamente podemos pensar que representa mejor a todos los equivalentes.
Por ello podemos decir que si p es un número racional, siempre se puede expresar como p = 𝐚
𝐛
donde a es un número entero, b es un número natural no nulo y además a y b no tienen factores comunes (la fracción que lo representa está simplificada o dicho de otra forma, es una fracción irreducible).
La propiedad que analizaremos seguidamente, tiene que ver con la “densidad” de los números racionales en la recta real. Es decir trataremos de entender porqué dados dos racionales cualesquiera, entre ellos dos hay infinitos números racionales.Pensemos un poco antes. Por ejemplo, si buscamos números naturales entre 2 y 3, es decir números naturales estrictamente mayores que 2 y que a la vez que sean estrictamente menores que 3, no encontraremos nin
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Pero si queremos encontrar números racionales entre 2 y 3, podemos proceder así: buscamos, por
ejemplo, el que está en el medio: 5 , después el que está en el medio entre 2 y 5, que es: 9 luego 2 2 4
el del medio entre 9 4
y 5 que es: 19 2 8
podemos seguir… (puede visualizarlo si dibuja esta
situación en la recta real y va ubicando los puntos). Con este procedimiento podemos intuir que
encontramos infinitos números racionales entre 2 y 3 y sólo nos ocupamos de los que estaban entre
2 y 5 2
. Observemos también que este no es el único procedimiento. Para encontrar el del medio
entre dos racionales, los sumamos y a la suma la dividimos por dos, pudimos haber dividido, en vez
de hacerlo por 2, por 3 o 4 o 5,… y hay más procedimientos para encontrar números racionales
entre 2 y 3 o entre dos racionales p y q, cualesquiera.
Vamos a enunciar lo que justifica este procedimiento:
Entre dos números racionales distintos hay otro número racional.
Aquel alumno interesado en la demostración puede intentar hacerla, con ayuda de sus docentes.
Entonces, alguien puede pensar que por la justificación mencionada arriba, los números
racionales ocupan toda la recta real, pero eso no es así!
Por otro lado, también podemos decir de los racionales, que tienen una representación decimal.
Como un número racional es de la forma a con a número entero y b número natural no nulo, si b
efectuamos la división, a dividido b, pueden ocurrir solo dos casos:
Uno de ellos es que sea un número con finitas cifras decimales, como por ejemplo 3 = 0.375.
8
El otro caso es que sea una expresión decimal periódica, como por ejemplo: 5 3
= 1.666…= 1.6̅ o 1
= 0.1428571428571…. = 0.̅1̅4̅̅2̅̅8̅5̅̅7̅. 7
Podemos observar que la descripción de la expresión decimal de los números racionales puede ser
sólo de los dos tipos mencionados. Puede observarse también que en esa descripción, excluimos
aquellos números reales, cuya expresión decimal tiene infinitas cifras decimales no periódicas,
esos números reales, claramente, no son racionales. El conjunto de todos los números reales que
verifican la condición, de poseer infinitas cifras decimales no periódicas, es el conjunto de los
números irracionales, que se simboliza I.
Consecuencia de ello es que los números irracionales no pueden expresarse como 𝐚 , a número 𝐛
entero y b natural no nulo.
Todo número real es un número racional o bien es un número irracional.
Se puede probar, sin mucha dificultad como consecuencia del Teorema Fundamental de la
Aritmética que por ejemplo, el número real √2 es un número irracional. Y más aún, que la raíz
cuadrada de cualquier número primo positivo, es un número irracional.
Seguramente ustedes conocen otros números irracionales trascendentes como por ejemplo 𝜋 y el número e.
Recordemos otra operación definida en el conjunto de los números reales: la potencia de exponente natural.
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Potencia de exponente natural:
Vamos a definir la potencia de un número real, cuyo exponente es un número natural.
Antes tengamos en cuenta que la definición tiene que evitar un problema: la indeterminación 𝟎𝟎, que no está definido, no es un número real, no existe.
Es por eso que la definición de potencia se separa en dos casos, cuando r es un número real no nulo,
el exponente puede ser cualquier número natural y luego si el número real es el cero, el exponente
puede ser cualquier natural, menos el cero. Vamos a dar una definición:
Si r≠ 𝟎, entonces { r0 = 1
rn = r. rn−1, n ≥ 1
y si r = 0 entonces rn = 0, 𝐧 ≥ 𝟏.
Algunas propiedades: Sean r y s números reales no nulos y m y n números naturales, se cumplen las siguientes igualdades :
(r. s)n =rn. sn
rn. rm = rn+m
(rn )m= rn.m
Y también queda definida la potencia negativa para todo número real no nulo. Ya que todo
número entero negativo puede expresarse como – n, donde n es un número natural positivo.
Entonces: si r no es cero:
r−n= (r−1)n = ( 1
)n
y queda definido por lo expuesto antes. r
Por último recordemos otra operación que no es cerrada en el conjunto de los números reales, es una operación definida parcialmente: la radicación.
Radicación:
Para algunos números reales, r, tiene sentido preguntarse si existe otro un número real s, talque
sn = r. Donde n es un número natural mayor que 1.
Analicemos los siguientes ejemplos:
Para 16 ¿existe algún número real s, talque 𝑠2= 16? Respuesta: Sí, s = 4. Porque 42 = 16
Para – 81, ¿existe algún número real s, talque 𝑠4= -81? Respuesta: NO, porque todo número real
elevado a la a una potencia par, es mayor o igual que 0.
Para -125 ¿existe algún número real s, tal que s3= - 125? Sí, s = -5. Porque (−5)3 = −125.
Sean r un número real y n un número natural mayor que 1.
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Llamaremos raíz n-ésima de r, si es que existe, a un número real s, tal que 𝐬𝐧 = r. En ese caso
se anotará: 𝐬 = 𝐧√𝐫.
Los ejemplos anteriores motivan las siguientes propiedades:
Si el índice n es impar entonces 𝐧√𝐫 es un número real.
Si el índice n es par y r es mayor o igual a 0 entonces 𝐧√𝐫 es un número real, es decir que
existe enℝ.
En consecuencia: Si el índice n es par y r es menor que 0 entonces 𝐧√𝐫 NO es un número real.
Por último queda por definir la potencia de exponente fraccionario 𝐦 𝐧
donde m es un número
entero y n un número natural mayor o igual a 1. Resultará una operación parcial en ℝ, es decir que
por lo expuesto antes, no quedará definida para todo número real r, luego, en el caso en que exista, 𝐦 𝐧 𝐦
𝐫 𝐧 = √𝐫 .
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