Inecuación cuadrática con una incógnita

Dirección de Formación Básica

Habilidades a desarrollar:

Al terminar el presente tema, usted estará en la

capacidad de:

1) Resolver inecuaciones cuadráticas con una

incógnita.

2) Modelar inecuaciones cuadráticas con una

incógnita en situaciones de contexto real.

Inecuación cuadrática con una incógnita

Problema motivador

Un peluquero tiene un promedio de 120 clientes semanales a

un costo actual de $8 por corte de cabello. Por cada

incremento de 75¢ en el precio, el peluquero perderá 10

clientes. Calcule el precio máximo que puede cobrarse de

modo que los ingresos semanales no sean menores que los

actuales.

Inecuación cuadrática con una incógnita

Se llama inecuación cuadrática con una incógnita a una expresión de cualquiera de los siguientes tipos:

donde , y son números reales, pero con .

Inecuación cuadrática con una incógnita

¿Cómo resolver inecuaciones cuadráticas con una incógnita?Teorema 1. Si la expresión cuadrática

tiene , entonces la ecuación cuadrática

posee dos raíces reales diferentes: y , con .

Inecuación cuadrática con una incógnita

𝑟1 𝑟2

+¿−+¿−∞ +∞

Si

𝑟1 𝑟2

−+¿−−∞ +∞

Si

Ejemplo 1 del Teorema 1. Resuelva

Resolución

Inecuación cuadrática con una incógnita

Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática

En nuestro caso:

entonces

Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática

En nuestro caso:

entonces las raíces de la cuadrática son

Paso 3. Ubicamos las raíces de la cuadrática en la recta real.

Paso 4. Usando el Teorema 1 y seleccionando la solución.

Ahora bien, comose concluye que

-5 5−∞ +∞

− ++

-5 5−∞ +∞

La expresión cuadrática es ,

con ello:

𝐶 .𝑆=¿−∞;−5[∪]5 ;+∞ ¿

Ejemplo 2 del Teorema 1. Resuelva

Resolución

Inecuación cuadrática con una incógnita

Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática

En nuestro caso:

entonces

Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática

En nuestro caso:

entonces las raíces de la cuadrática son

Paso 3. Ubicamos las raíces de la cuadrática en la recta real.

Paso 4. Usando el Teorema 1 y seleccionando la solución.

Ahora bien, como se concluye que

0 2/3−∞ +∞

− ++

0 2/3−∞ +∞

La expresión cuadrática es ,

con ello:

𝐶 .𝑆=[ 0 ; 23 ]

Ejemplo 3 del Teorema 1. Resuelva

Resolución

Inecuación cuadrática con una incógnita

Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática

En nuestro caso:

entonces

Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática

En nuestro caso:

entonces las raíces de la cuadrática son

Paso 3. Ubicamos las raíces de la cuadrática en la recta real.

Paso 4. Usando el Teorema 1 y seleccionando la solución.

Ahora bien, como se concluye que

-1/2 1−∞ +∞

− ++

-1/2 1−∞ +∞

La expresión cuadrática es ,

con ello:

𝐶 .𝑆=¿−∞;−1/2¿ ¿∪¿

Teorema 2. Si la expresión cuadrática

tiene , entonces la ecuación cuadrática

tiene multiplicidad de raíces, es decir .

Inecuación cuadrática con una incógnita

𝑟1

+¿+¿−∞ +∞

Si

𝑟1

−−−∞ +∞

Si

Ejemplo 1 del Teorema 2. Resuelva

Resolución

Inecuación cuadrática con una incógnita

Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática

En nuestro caso:

entonces

Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática

En nuestro caso:

entonces las raíces de la cuadrática son

Paso 3. Ubicamos la raíz de la cuadrática en la recta real.

Paso 4. Usando el Teorema 2 y seleccionando la solución.

Ahora bien, como se concluye que

2−∞ +∞

++

2−∞ +∞

La expresión cuadrática es ,

con ello:

𝐶 .𝑆=¿−∞;+∞ ¿

Ejemplo 2 del Teorema 2. Resuelva

Resolución

Inecuación cuadrática con una incógnita

Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática

En nuestro caso:

entonces

Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática

En nuestro caso:

entonces las raíces de la cuadrática son

Paso 3. Ubicamos la raíz de la cuadrática en la recta real.

Paso 4. Usando el Teorema 2 y seleccionando la solución.

Ahora bien, como se concluye que

-3/2−∞ +∞

++

-3/2−∞ +∞

La expresión cuadrática es ,

con ello:

𝐶 .𝑆=¿−∞;+∞ ¿

Ejemplo 3 del Teorema 2. Resuelva

Resolución

Inecuación cuadrática con una incógnita

Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática

En nuestro caso:

entonces

Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática

En nuestro caso:

entonces las raíces de la cuadrática son

Paso 3. Ubicamos la raíz de la cuadrática en la recta real.

Paso 4. Usando el Teorema 2 y seleccionando la solución.

Ahora bien, como se concluye que

1/3−∞ +∞

++

1/3−∞ +∞

La expresión cuadrática es ,

con ello:

𝐶 .𝑆={1/3 }

Ejemplo 4 del Teorema 2. Resuelva

Resolución

Inecuación cuadrática con una incógnita

Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática

En nuestro caso:

entonces

Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática

En nuestro caso:

entonces las raíces de la cuadrática son

Paso 3. Ubicamos la raíz de la cuadrática en la recta real.

Paso 4. Usando el Teorema 2 y seleccionando la solución.

Ahora bien, comose concluye que

−1−∞ +∞

++

−1−∞ +∞

La expresión cuadrática es ,

con ello:

𝐶 .𝑆=𝜙

Teorema 3. Si la expresión cuadrática tiene , entonces la ecuación cuadrática no tiene una sola raíz real, por tanto: Si y entonces Si y entonces

Inecuación cuadrática con una incógnita

Ejemplo 1 del Teorema 3. Resuelva

Resolución

Inecuación cuadrática con una incógnita

Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática

En nuestro caso:

entonces

Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática

En nuestro caso:

no tiene raíces reales, ya que

Paso 3. Concluyendo

Como y además se tiene que y ,

entonces

Ejemplo 2 del Teorema 3. Resuelva

Resolución

Inecuación cuadrática con una incógnita

Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática

En nuestro caso:

entonces

Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática

En nuestro caso:

no tiene raíces reales, ya que

Paso 3. Concluyendo.

Como y además se tiene que y ,

entonces

Ejemplo 1. Si árboles producen frutos cada uno. Calcule cuántos árboles habrán de plantarse para que la próxima cosecha supere los 1 500 frutos.Resolución

Inecuación cuadrática con una incógnita

La cosecha se define como

Con ello

Piden hallar de tal manera que la cosecha supere los 1500 frutos, es decir

Escribiendo la inecuación cuadrática

Las raíces de la cuadrática son:

Ubicando las raíces en la recta real:

30 50

− ++

−∞ +∞Concluiremos que: se deben de plantar entre 31 a 49 árboles.

Ejemplo 2. Si el precio (en dólares) de cierto artículo depende de la cantidad demanda y está dada por . Obtenga las unidades que deben demandarse para obtener ingresos de al menos $1800.Resolución

Inecuación cuadrática con una incógnita

Recuerde que el ingreso se define como

Con ello

Piden hallar de tal manera que el ingreso sea de al menos $1800 frutos, es decir

Escribiendo la inecuación cuadrática

Las raíces de la cuadrática son:

Ubicando las raíces en la recta real:

20 30

− ++

−∞ +∞Concluiremos que: se deben de vender de 20 a 30 artículos.

Ejemplo 3. El costo de producir lámparas está dada por

Si éstas se pueden vender a S/.160. Calcule la cantidad de lámparas que se deben de producir y vender para obtener utilidades semanales de al menos S/.1000.Resolución

Inecuación cuadrática con una incógnita

Sea las lámparas producidas y vendidas.El ingreso estará dada por

Con ello, la utilidad es

Piden hallar de tal manera que la Utilidad sea del menos S/. 1 000, es decir:

Escribiendo la inecuación cuadrática

Las raíces de la cuadrática son:

Ubicando las raíces en la recta real:

20 60

− ++

−∞ +∞Concluiremos que: se deben de vender de 20 a 60 lámparas.

Ejemplo 4. Un vendedor de periódicos atiende en promedio a 120 clientes a la semana, cobrándoles 4 soles por el servicio a domicilio. Por cada incremento de 0,5 soles en el precio, el vendedor pierde 8 clientes. Calcule el precio máximo que deberá fijar para obtener ingresos semanales de al menos 520 soles.Resolución

Inecuación cuadrática con una incógnita

Sea la cantidad de veces que se incremento el precio en S/.0,5, entonces el ingreso por la ventas de periódicos es

Vamos a hallar los valores de de tal manera que el ingreso sea de al menos S/.520, es decir

Escribiendo la inecuación cuadrática

Las raíces de la cuadrática son:

Ubicando las raíces en la recta real:

2 5

− ++

−∞ +∞Es decir: Ahora bien, el precio máximo que deberá fijar es: nuevos soles.

Conclusiones1) Para resolver una inecuación cuadrática, primero se tiene que llevar

a una de las formas conocidas.2) Debemos de mantener al número que multiplica al con signo

positivo.3) Se deben de hallar las raíces reales de la ecuación cuadrática y

posteriormente usar el teorema 1 o 2, dependiente de las raíces encontradas. Si no hay raíces reales, usar el teorema 3.

4) Concluir adecuadamente.

Inecuación cuadrática con una incógnita

Bibliografía• [1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la Administración.

Ed 5. México, D.F. Pearson. • [2] Haeussler, Ernest F. (2008). Matemática para Administración y

Economía. Ed 12. Pearson Educación.

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