4.7 Incrementos, diferenciales y regla de la cadena

December 15, 2012 4:52 PMDerivación de la función compuesta. Regla de la cadena

Si se tienen dos funciones u f y y xgu Entonces xg fy es una función compuesta o función de función, ysu derivada con respecto a x está dada por:

dxdududydxdyA esta expresión se le conoce como“Regla de la Cadena” 

La regla de la cadena se puede emplear para facilitar la derivación de ciertas funciones.

Derivación de funciones expresadas en forma paramétricaDada y = f(x) , se puede representar en forma paramétrica como:

bt g yat f x

4.8 Derivación parcial implícita

4.9 Gradiente

December 15, 2012 5:12 PM

En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial que apunta en la dirección de la mayor tasa de aumento del campo escalar, y cuya magnitud es la mayor tasa de cambio.Una generalización del gradiente de funciones en un espacio euclidiano que tienen valores en otro espacio euclidiano es el jacobiano. Una generalización de una función de un espacio de Banach a otro es la derivada de Fréchet.

Interpretaciones

Considere la posibilidad de una habitación en la que se da la temperatura de un campo escalar, T , por lo que en cada punto (x,y,z) la temperatura es T (x,y,z) (vamos a suponer que la temperatura no cambia en el tiempo). En cada punto de la habitación, el gradiente de T en ese momento se mostrará la dirección que la temperatura se eleva más rápidamente. La magnitud del gradiente determinará la rapidez con la temperatura se eleva en esa dirección.

Considere la posibilidad de una superficie cuya altura sobre el nivel del mar en un punto (x,y) es H (x,y). El gradiente de H en un punto es un vector que apunta en la dirección de la empinada pendiente o grado en ese punto. La inclinación de la pendiente en ese punto está dado por la magnitud del vector gradiente.

El gradiente también se puede utilizar para medir cómo cambia un campo escalar en otras direcciones, en lugar de la dirección de mayor cambio, por tomar un producto escalar. Supongamos que la pendiente más pronunciada en una colina es de 40%. Si la carretera va directamente a la colina, a continuación, la pendiente más pronunciada en la carretera también será de 40%. Si, en cambio, el camino va alrededor de la colina en un ángulo (el vector gradiente), entonces tendrá una pendiente menos profundas. Por ejemplo, si el ángulo entre el camino y la dirección hacia arriba, proyectada sobre el plano horizontal, es de 60 °, a continuación, la pendiente más inclinada a lo largo de la carretera será de 20%, que es 40 veces% el coseno de 60 °.

Esta observación puede ser matemáticamente declaró lo siguiente. Si la altura de la colina función H es diferenciable, entonces el gradiente de H de puntos con una unidad de vector da la pendiente de la colina en la dirección del vector. Más precisamente, cuando H es diferenciable, el producto escalar del gradiente de H con un vector unidad dada es igual a la derivada direccional de la H en la dirección de ese vector unitario. 

4.10 Campos vectoriales

Ejemplo de campo vectorial noconservativo cuyo rotacional no se anula.

En matemáticas, un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial. Es una expresión de cálculo vectorial que asocia unvector a cada punto en

el espacio euclidiano, de la forma  .

Los campos vectoriales se utilizan en física, por ejemplo, para representar la velocidad y la dirección de un fluido en el espacio, o la intensidad y la dirección de fuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética.

Como expresión matemática rigurosa, los campos vectoriales se definen envariedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad. Este es el tipo de tratamiento necesario para modelizar el espacio-tiempo curvo de la teoría general de la relatividad por ejemplo.

Derivación y potenciales escalares y vectores[editar]

Los campos vectoriales se deben comparar a los campos escalares, que asocian un

número o escalar a cada punto en el espacio (o a cada punto de alguna variedad).

Las derivadas de un campo vectorial, que dan por resultado un campo escalar u otro

campo vectorial, se llamandivergencia y rotor respectivamente. Recíprocamente:

Dado un campo vectorial cuyo rotacional se anula en un punto , existe un campo

potencial escalar cuyo gradiente coincide con el campo escalar en un entorno de ese

punto.

Dado un campo vectorial solenoidal cuya divergencia se anula en un punto, existe un

campo vectorial llamado potencial vector cuyo rotacional coincide con el campo

escalar en un entorno de ese punto.

Estas propiedades derivan del teorema de Poincaré.

Puntos estacionarios[editar]

Un punto   es estacionario si:

El conjunto de todos los espacios vectoriales definidos sobre un subconjunto X, que son

estacionarios en un determinado punto forman un subespacio vectorial del conjunto del

espacio vectorial definido en la sección anterior.

4.11 Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física

December 15, 2012 5:50 PM

En cálculo vectorial, un potencial vectorial es un campo vectorial cuyo rotacional es un campo vectorial. Esto es análogo al potencial escalar, que es un campo escalar cuyo gradiente negativo es también un campo vectorial.Formalmente, dando un campo vectorial v, un potencial vectorial es un campo vectorial A tal que

Si un campo vectorial v admite un potencial vectorial A, entonces de la igualdad

(la divergencia del rotacional es cero) se tiene

lo cual implica que v debe ser un campo vectorial solenoidal. Una pregunta interesante es si cualquier campo vectorial solenoidal admite un potencial vectorial. La respuesta es afirmativa si el campo vectorial satisface ciertas condiciones.

Teorema

Sea

un campo vectorial solenoidal el cual es dos veces diferenciable. Asumamos que v(x) decrece suficientemente rápido cuando ||x||→∞. Definamos

Entonces, A es un potencial vectorial para v, esto es,

Una generalización de este teorema es la descomposición de Helmholtz la cual establece que cualquier campo vectorial puede descomponerse como una suma de campo vectorial solenoidal y un campo vectorial no rotacional. 

4.12 Valores extremos de funciones de variasvariables

December 15, 2012 7:37 PM

¿QUÉ ES UN PUNTO DE EXTREMO ABSOLUTO O GLOBAL SOBRE UN CONJUNTO A PARA UNA FUNCIÓN REAL DE N VARIABLES REALES?

Es un punto de A en el cual la función alcanza el mayor o el menor valor respecto al resto de los valores que toma dicha función en los puntos de A.

¿Y CUÁNDO HABLAMOS DE PUNTOS DE EXTREMO LOCAL O RELATIVO?Pues cuando el máximo o el mínimo lo es respecto al resto de los valores que toma la función en cierto entorno del punto (este entorno se asume subconjunto de A) pero no necesariamente respecto al esto de los valores de la función en los demás puntos de A.

Ejemplos:

El punto es un punto de mínimo absoluto y local para la función definida por: 

El punto es un punto de máximo absoluto y local para la función definida por:

Al igual que en el caso de funciones de una variable una función de varias variables puede alcanzar un extremo local en puntos donde puede o no ser diferenciable. ¿Pero en cualquier punto en el cual sea diferenciable ella puede alcanzar un máximo o mínimo? La respuesta se recoge en el teorema siguiente el cual es una extensión del llamado Teorema de Fermat al caso de funciones de varias variables aunque solo será enunciado para el caso de tres variables.

Como se ve este teorema solo expresa condiciones necesarias de existencia de extremo local bajo el supuesto de que la función tiene derivadas parciales respecto a cada variable definidas en dicho punto (para ello es suficiente pero no necesario que la función sea diferenciable).A los puntos que anulan todas las parciales de primer orden se les denomina puntos estacionarios.

Análogamente al caso de una o dos variables existen en el caso de tres variables puntos estacionarios que no son puntos de extremo local.

¿Cómo saber si un punto estacionario es realmente un punto de extremo local?Se hace necesario enunciar condiciones suficientes de existencia de puntos de extremo local. Estas condiciones pueden expresarse en términos de determinantes de matrices reales simétricas o en términos de valores propios de tales matrices.

Recordemos que si A es una matriz cuadrada e I es la matriz identidad del mismo orden que A pues al polinomio definido por el determinante se le denomina polinomio característico de A y a sus ceros o raíces se les denomina valores propios, auto valores o valores característicos de A. 

Teorema (Condiciones suficientes de segundo orden para la existencia de puntos de extremo local)Sea una función con segundas derivadas parciales continuas en el punto estacionario 

Sea la matriz llamada Hessiana de:

IIc Hessiana de en . Entonces: a) Si todos los valores propios de M son positivos es un punto de mínimo local.b) Si todos los valores propios de M son negativos es un punto de máximo local.c) Si todos los valores propios de M son no negativos es un punto de mínimo local o no es un punto de extremo local.d) Si todos los valores propios de M son no positivos es un punto de mínimo local o no es un punto de extremo local.e) Si los valores propios de M son al menos uno positivo y otro negativo pero ninguno nulo entonces no es un punto de extremo local

5.1 Introducción

December 15, 2012 8:13 PM

La integración es un método para la obtención de una función o un valor cuyo diferencial sea equivalente a la misma función.

Esto significa que si la función dada es f(x), mediante integrarla obtendríamos g(x).

Ahora bien, si g ‘(x) es el diferencial de la función g(x) entonces g’ (x) y f (x) son la misma función en sí.

El proceso de integración es el inverso de la diferenciación.

El símbolo se utiliza para denotar la función de integración.

Sea f(x) el coeficiente diferencial de una función F(x) con respecto a x entonces,

Tomando la sumatoria de todas las diferenciales obtenemos,

dy = f(x) dx = d [F(x)]

y = f(x) dx = F(x)

Cuando dx tiende hacia cero, la sumatoria es sustituida con la integral. Entonces, y = f(x) dx = F(x)

Aquí f(x) dx es leída como la integral de f(x) dx. En la ecuación anterior, f(x) es llamada integrando y F(x) es llamada la integral o función primitiva de f(x).

Además la integración de f(x) con respecto a x es F(x).

Es importante tener en cuenta que el signo se utiliza para la sumatoria de valores discretos, mientras que se utiliza para la sumatoria de funciones continuas.

Esto significa que el método de integración se utiliza para sumar el efecto de una función que varía continuamente, por ejemplo, el trabajo hecho en contra de una fuerza variable.

Es de notar que el álgebra ordinaria no proporciona algún método para sumar el efecto de una función que varíe.

La integración es de dos tipos, integración indefinida e la integración definida.

Cuando una función es integrada dentro de los límites definidos, la integral se denomina integral definida.

Por ejemplo, .

f(x) dx es la integral definida de f(x) entre los límites a y b y es escrita como,f(x) dx = F(x) = F(b) – F(a)Aquí a se llama límite inferior y b se llama límite superior de integración.

Si una función está dada por y = + C, donde C es una constante de integración entonces, dy/ dx = d(5×5 + C)/ dx = 25×4 + 0 = 25×4

Como la integración es el proceso inverso de la diferenciación, por tanto 25×4 dx = 5×5.

Esto significa que durante la integración la constante no aparece.

Esto es debido al hecho de que el coeficiente diferencial de una constante es cero.

Por tanto, no podemos decir con certeza si es 25×4 dx = 5×5 o 5×5 + C.

Dicha integración se conoce como integración indefinida. Por consiguiente en todas las integrales indefinidas, se supone que está presente una constante de integración C, si la condición de integración, esto es, el límite de integración no es mencionado.

Es por esto que debemos añadir una constante C en el resultado de todas las integrales indefinidas.

Vamos ahora a resolver un ejemplo con los dos métodos para entender la diferencia entre ambos.

27 p2 (p3 + 2)8 dxEl ejemplo anterior no contiene límites de integración y por tanto es una integral indefinida.

27 p2 (p3 + 2)8 dx (p3 + 2)9 + C

Ahora bien, si ponemos los límites de la integración como,

27 p2 (p3 + 2)8 dx(p3 + 2)9

(33 + 2)9 - (23 + 2)9

= 381957187929 

5.2 Integral de línea

December 15, 2012 8:15 PM

La integración de línea es la técnica de integración para una función a lo largo de una curva dada.

También es conocida por los nombresde integral de contorno, integral de trayectoria, curva integral etc.

Aquí uno podría confundir la integral de línea y el cálculo de la longitud de un arco con la ayuda de la integración.

Ambos, los campos escalares así como los vectoriales pueden ser integradosutilizando este método.

Una integración de línea de tales campos produciría una sumatoria de valores de campo para cada punto de la curva dada que se encuentra en el campo.

Por ejemplo, asuma que la fuerza F actúa sobre una partícula y haga que se mueva sobre la trayectoria AB como se muestra a continuación.

Esto implica que el trabajo total realizado por la fuerza F en el movimiento de la partícula a lo largo de una distancia pequeña s será,

W = F. s

De manera similar, para determinar el trabajo completo realizado por la fuerza F para mover la partícula a lo largo de toda la trayectoria se calculará la suma de todas las piezas pequeñas de trabajo realizado. Esto se hace mediante la integración, por supuesto como,

Aquí es importante notar que en lugar de escribir los límites de integración, sólo el nombre de la trayectoria está escrito en el subíndice.

Esto significa que la integración se está efectuando a lo largo de una trayectoria AB.

Este es un enfoque de integración totalmente diferente, dado que aquí la variable está siendo integrada con respecto a la función, y no se está incrementando a lo largo de una trayectoria recta, sino que es curva.

Por esta razón en particular, esta integral es reescrita en la forma de sus coordenadas Cartesianas xe y. Y la función es integrada como,

Como se puede observar en la figura anterior, la fuerza F se bifurca en dos componentes en las direcciones x e y como P x y Q y, respectivamente.

Por tanto, la integral anterior se transforma en una de la manera siguiente,

El cálculo de la integral de línea de un campo escalar es algo diferente.

En este, dividimos lo dado en piezas más pequeñas de igual longitud. Elija un punto arbitrario en la curva ynómbrelo como punto de muestra.

Permita que el punto de muestra sea elegido por cada pieza de arco sobre la curva completa.

Trace una línea recta entre cada par de estospuntos de muestra.

Sea la distancia entre estos puntos de muestra denotada como s.

La multiplicación de la función de estos puntos de muestra y las respectivas distancias entre ellos puede considerarse como el área del rectángulo con altura f(r(ti)) y anchura si.

Tomando la sumatoria de talestérminos con límite .

Reconstruyendo la ecuación anterior obtenemos,

Dado que la distancia medida entre los puntos sucesivos al punto de muestra es,

Esto es equivalente a la sumatoria de Riemann, la cual es,

La integral de línea encuentra una gran aplicación práctica.

Incluso la ley del electromagnetismo de Faradayestá inspirada en la integral de línea misma.

También el cálculo del voltaje en el vecindario de una carga puntual puede hacerse utilizando la integral de línea.

Veamos ahora un ejemplo ilustrativo,

para 

p’(t) = (-t/ , 1)

F ds = F(p(t)). p’(t) dt

= F( , t).(-t/ , 1) dt

= (0, ).(-t/ , 1) dt

= dt

Asuma que t = sin u ydt = cos u du

F ds = cos(u) du

cos(u) du

cos2(u) duLa integración anterior puede realizarse fácilmente utilizando las técnicas de integración. 

5.3 Integrales iteradas dobles y triples

December 15, 2012 8:18 PM

La integración iterada es un método de integración en el cual efectuamos la operación de integración en cascada con respecto a cualquier variable en relación con las otras variables que se mantienen constantes. La notación convencional de la integración iterada es como se muestra a continuación,

En el ejemplo anterior, primero se calcularía la integración con respecto a la variable y, y luego con respecto a la variable x. Por motivos de conveniencia y para aumentar la comprensión, también puede ser escrita como,

La integración iterada también puede realizarse como integración definida e indefinida.

En el ejemplo anterior hemos mostrado una integración indefinida iterada.

Del mismo modo también puede hacerse que la integración definida itere.

Lo anteriormente definido es una integración iterada doble. De manera similar,también puede llevarse a cabo una integración iterada triple.

En esa situación, efectuamos la integración tres veces en cascada cada momento con respecto a una variable diferente, mientras que tratamos las otras dos variables como términos constantes.

La notación convencional para la integración triple es,

En la figura siguiente, tenemos una función como, z = f(x, y),

Si calculamos la integración doble de esta función, la salida sería algo como,

Vamos ahora comprender el método de cálculo para esta integral. El método para determinar el volumen de una figura sólida mediante dividirla en trozos de igual tamaño e integrarla para el sólido entero es conocido por todos. Sin embargo, es conocido por muy pocas personas que también este puede utilizarse para determinar la integral doble de una función.

Attach:cv115.jpg Δ

Suponga que la columna cilíndrica Q pasa a través de la figura dada, como se muestra en la figura anterior. Dibuje un plano paralelo al plano y-z en esta figura y nombre el plano como xx’.El área transversal de la columna Q es similar al área de la curva z = f (x’, y). Esta área yace entre (x’, Y2) y (x’, Y1). Aquí los puntos (x’, Y2) y (x’, Y1), son los puntos de intersección de la región dada y del plano de intersección.

La sección transversal de esta pieza es,

La figura anterior es una mirada cercana de la parte inferior de la figura dada. Suponga que el mayor valor adquirido por x es b y el valor más pequeño es a. Como se puede ver en la figura anterior la recta x= x’ intersecta el plano R en sólo dos puntos y los valores correspondientes de y en estos puntos son Y1 y Y2. El valor de Y1 es menor que Y2. Es posible determinar el valor de Y para algún valor de x a partir de la ecuación de frontera de la región R.

La ecuación anterior puede reescribirse como,

Al colocar este valor en la ecuación del volumen obtenemos,

Donde la ecuación de volumen es,

Para esta ecuación, primero realizamos la integración con respecto ay, la cual es la integración interior considerando a x como un término constante y luego con respecto a x considerando a y como término constante.

De la misma forma, la integración iterada triple se utiliza para calcular el momento de inercia, centroides, etc. La integración triple también es calculada en los sistemas de coordenadas esféricas y cilíndricas. 

5.4 Aplicaciones a áreas y solución d problema

December 15, 2012 8:51 PM

Suma y resta de vectores: método gráfico y analítico.

Cuando necesitamos sumar 2 o mas magnitudes escalares de la misma especie lo hacemos aritméticamente. Por ejemplo, 2kg + 5kg = 7kg; 20m2 + 10 m2 = 35m2;3h + 4h = 7h; 200K + 100K = 300K. Sin embargo, para sumar magnitudes vectoriales, que como ya mencionamos aparte de magnitudes tienen dirección y sentido, debemos utilizar métodos diferentes a una simple suma aritmética. Estos métodos pueden ser gráficos o analíticos, pero ambos casos se consideran además de la magnitud del vector, su dirección y su sentido.Resolución de problemas de suma de vectores

un jinete y su caballo cabalgan 3km al norte y después 4km al oeste.Calcular:¿Cuál es la diferencia total que recorren?¿Cuál es su desplazamiento?Solución:como la distancia es una magnitud escalar, encontramos la distancia total recorrida al sumar aritméticamente las dos distancias: Dt = d1+ d2= 3km + 4km = 7km para encontrar su desplazamiento, que es una magnitud vectorial toda vez que corresponde a una distancia medida en una dirección particular entre dos puntos(el de partida y el de llegada), debemos hacer un diagrama vectorial. Para ello,dibujamos a escala el primer desplazamiento de 3km realizado al norte,representado por d1, después el segundo desplazamiento de 4 Km. al o este representado por d2. Posteriormente, unimos el origen del vector d1, con el extremo del vector d2, al fin de encontrar el vector r equivalente a la suma vectorial de los dos desplazamientos. El origen del vector resultante R es el mismo que tiene el origen del vector d1 y su extremo coincide con el vector d2. Para calcular la magnitud de R medimos su longitud de acuerdo con la escala utilizada y su dirección se determina por el ángulo que forma. Así, encontramos que R =5 Km. con un ángulo de 37º en dirección noroeste.

Descomposición y composición rectangular de vectores por métodos gráficos y analíticos.Un sistema de vectores puede sustituirse por otro equivalente, el cual puede contener un número mayor o menor de vectores que el sistema considerado. Si el sistema equivalente tiene un número mayor de vectores, el procedimiento se llama descomposición. Si el sistema

equivalente tiene un número menor de vectores, el procedimiento se denomina composición.En la siguiente, se muestra un vector a cuyo punto de aplicación se ha colocado en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares. Si a partir del extremo del vector a trazamos una línea perpendicular hacia el eje de las X y otra hacia el eje de las Y, los vectores ax y aya sí formados, reciben el nombre de las componentes rectangulares del vector a.se les llama rectangulares por que las componentes forman entre si un ángulo(90º).Se llama componentes de un vector aquellas que los sustituyen en la composición.Un ejemplo: encontrar gráfica y analíticamente las componentes rectangulares del siguiente vector.Solución por método gráficoPara encontrar de manera gráfica las componentes rectangulares o perpendiculares del vector, primero tenemos que establecer una escala. Para este caso puede ser: 1cm = 10N Trazamos nuestro vector al medir el ángulo de 30º con el transportador. Después a partir del extremo del vector, trazamos una línea perpendicular hacia el eje delas X y otra hacia el eje de las Y. en el punto de intersección del eje X quedara el extremo del vector componente Fx. En el punto de intersección del eje Y quedara el extremo del vector componente Fy. En ambas componentes su origen será el mismo que tiene el vector F = 40N, el cual estamos descomponiendo:

Par encontrar el valor de la componente en X del vector F o sea Fx, basta medir con regla la longitud, y de acuerdo con la escala encontrar su valor. En este caso mide aproximadamente 3.4cm que representan 34N. Para hallar el valor de la componente de Y del vector F o sea Fy, es suficiente medir con la regla la longitud, y según la escala encontrar su valor que en este caso es de casi 2.0 cm., es decir, de 20N.Solución por método analíticoAl fin de determinar el valor de las componentes de manera analítica observemos que se forma un triángulo rectángulo al proyectar una línea hacia el eje de las X y otro al proyectar una línea hacia el eje de las Y. trabajaremos solo con el triangulo rectángulo formado al proyectar la línea hacia el eje de las X. las componentes perpendiculares del vector F serán: para Fx el cateto adyacente y par Fy el cateto opuesto al ángulo de 30º. Por lo tanto debemos calcular cuanto valen estos doscatetos; para ello, utilizaremos las funciones trigonometricas seno y coseno.Calculo de Fy: Sen 30º = cateto opuesto = FyHipotenusa FD espejemos Fy: Fy = F sen 30º = 40N x 0.5 = 20N Calculo de Fx:Cos 30º = cateto adyacente = Fx Hipotenusa F Despejemos Fx: Fx = F cos 30º = 40N x 0.8660 = 34.64N Si comparamos los dos resultados obtenidos para calcular el valor de Fy Y Fx de manera gráfica y analítica, encontraremos una pequeña diferencia. Esto se explica si consideramos que al hallar las componentes gráficamente estamos expuestos acometer errores al trazar el vector y al medir el valor de las componentes. En cambio, de manera analítica se eliminan estos errores y el valor de las componentes es obtenido con mayor precisión.

5.5 Integral doble en coordenadas polares

December 15, 2012 8:56 PM

De la misma manera en que la integral de una función positiva f (x) de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva f (x, y) de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una “integral triple” de una función f (x, y, z) definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si f (x, y, z) = 1 el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El Dominio de Integración se representa simbólicamente para cada diferencial sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:

Es importante destacar que es imposible calcular la antiderivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.

Definicion

Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación xn + 1 = f(x1,…,xn) y una región T en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función f (si T es una región cerrada y acotada y f está definida en la región T). Por ejemplo, si n = 2, el volumen situado entre la superficie definida por x3 = f(x1,x2)

y una región T en el plano x1×2 es igual a algúna integral doble, si es que la función f está definida en región T.

Se puede dividir la región T en una partición interior Δ formada por m subregiones rectangulares sin solapamiento que estén completamente contenidas en T. La norma | | Δ | | de esta partición está dada por la diagonal más larga en las m subregiones.

Si se toma un punto (x1i,x2i,…,xni) que esté contenido dentro de la subregión con dimensiones Δx1iΔx2i…Δxni para cada una de las m subregiones de la partición, se puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto definido por xn + 1 = f(x1,…,xn) y la subregión i. Este espacio tendrá una magnitud de:

Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el objeto definido por la ecuación xn + 1 = f(x1,…,xn) y la región T mediante la suma de Riemann de las magnitudes de los m espacios correspondientes a cada una de las subregiones:

Esta aproximación mejora a medida que el número m de subregiones se hace mayor. Esto sugiere que se podría obtener la magnitud exacta tomando el límite. Al aumentar el número de subregiones disminuirá la norma de la partición:

El significado riguroso de éste último límite es que el límite es igual L si y sólo si para todo existe un δ > 0 tal que

para toda partición Δ de la región T (que satisfaga | | Δ | | < δ), y para todas las elecciones posibles de (x1i,x2i,…,xni) en la iésima subregión. Esto conduce a la definición formal de una integral múltiple:

Si f está definida en una región cerrada y acotada T del definido por los ejes de las variables independientes de f, la integral de f sobre T está dada por:

siempre que el límite exista. Si el límite existe se dice que f es integrable con respecto a T.

Propiedades

Las integrales múltiples comparten muchas de las propiedades de las integrales simples. Si f y g son funciones continuas en una región cerrada y acotada D en un espacio Rn y c una constante con respecto a todas las variables involucradas entonces se puede demostrar que: 

5.6 Coordenadas cilíndricas y esféricas

December 15, 2012 9:06 PM

En el sistemas de coordenadas cilíndricas un punto P del espacio tridimensional está representado por la terna ordenada (r,θ,z), donde r y el θ son las coordenadas polares de la proyección de P en el plano xy y z es la distancia dirigida del plano xy a P.

Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Rectangulares

Las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que tienen simetría alrededor de un eje, en ese caso se selecciona el eje z de manera que coincida con el eje de simetría Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Cilíndricas

Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Esféricas

El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.

Las coordenadas esféricas (ρ, θ, φ) de un punto P en el espacio, donde ρ =│OP│ es la distancia del origen a P, θ es el mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas, y φ es el ángulo entre el semieje positivo z y el segmento de recta OP. Note que

P≥ 0 0≤φ≤ πEl sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.

Dado un vector del espacio tridimensional y tres planos que se cortan en el punto origen de , se definen las coordenadas esféricas como los tres números que se obtienen desde las proyecciones ortogonales del vector sobre las tres aristas de intersección de los planos perpendiculares, por las relaciones siguientes:

Sistema de Coordenadas Esféricas

Es el sistema de coordenadas esféricas un punto p del espacio que viene representado por un trío ordenado , donde:

1.- es la distancia de P al origen, .

2.- es el mismo Angulo utilizado en coordenadas cilíndricas para .

3.- es el Angulo entre el semieje positivo y el segmento recto , .

Nótese que las coordenadas primeras y terceras son siempre no negativas.

Coordenadas EsféricasEcuaciones para transformar de Esféricas a Rectangulares

Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Esféricas

Ecuaciones para transformar de Esféricas a Cilíndricas