INC4103-AEstructuras

Facultad de Ingeniería Universidad Católica de la Santísima Concepción

Análisis de Estructuras INC 4103

Profesor

Claudio Oyarzo Vera Ingeniero Civil

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Índice

ÍNDICE 1

OBJETIVOS 5 PROGRAMA 5 EVALUACIÓN 6 REQUISITOS DE APROBACIÓN 6 BIBLIOGRAFÍA: 6

CAPÍTULO 1 – INTRODUCCIÓN 7

1 PREÁMBULO 7

1.1 EL PROYECTO 7 1.2 FORMAS ESTRUCTURALES 7 1.3 SOLICITACIONES 7 1.4 CONDICIONES RESISTENTES 8 1.5 CONDICIONES DE SERVICIO 8 1.6 SEGURIDAD ESTRUCTURAL 8 1.7 HIPERESTATICIDAD. 9

2 CONCEPTOS BÁSICOS DE ANÁLISIS ESTRUCTURAL 10

2.1 ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD GEOMÉTRICA 10 2.2 ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD ESTÁTICA O EQUILIBRIO 11 2.3 RELACIONES CONSTITUTIVAS 11 2.4 PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN 13

CAPÍTULO 2 – MÉTODOS ENERGÉTICOS 15

1 TRABAJO Y ENERGÍA DE DEFORMACIÓN 15

2 ENERGÍA COMPLEMENTARIA DE DEFORMACIÓN 16

3 ENERGÍA ESPECIFICA DE DEFORMACIÓN 17

3.1 ESFUERZO NORMAL 17 3.2 ESFUERZO TANGENCIAL 17 3.3 CASO GENERAL 18

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4 ENERGÍA DE DEFORMACIÓN EN BARRAS 19

4.1 BARRAS SOMETIDAS A ESFUERZO AXIAL 20 4.2 BARRAS SOMETIDAS A FLEXIÓN 21 4.3 BARRAS SOMETIDAS A ESFUERZO DE CORTE 22 4.4 BARRAS SOMETIDAS A TORSIÓN 23 4.5 CASO GENERAL 24

5 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES 26

5.1 PRINCIPIO DE DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES: 26 5.2 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES: 26

6 TEOREMA DE BETTI 26

7 TEOREMA DE MAXWELL 28

8 TEOREMAS DE CASTIGLIANO 29

8.1 PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO 29 8.2 SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO 30 8.3 DERIVACIÓN ALTERNATIVA DE LOS TEOREMAS DE CASTIGLIANO ¡ERROR! MARCADOR NO DEFINIDO. 8.4 MÉTODO DE LA CARGA UNITARIA 31

CAPÍTULO 3 – MÉTODO DE LAS FUERZAS 35

9 PREÁMBULO 35

10 FORMULACIÓN DEL MÉTODO 35

11 EFECTOS ADICIONALES A LAS ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD 40

11.1 ASENTAMIENTOS 40 11.2 DEFECTOS DE FABRICACIÓN, MONTAJE O CONSTRUCCIÓN. 40 11.3 EFECTO TÉRMICO 43 11.4 APOYO ELÁSTICO 44 11.5 EXPRESIÓN GENERAL 44

12 MODELACIÓN DE ESTRUCTURAS RETICULARES. 45

12.1 ESTRUCTURAS RETICULARES CON REDUNDANTES EXTERNAS 45 12.2 ESTRUCTURAS RETICULARES CON REDUNDANTES INTERNAS 47

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CAPÍTULO 4 49

DEFORMACIÓN EN ESTRUCTURAS. MÉTODOS ALTERNATIVOS. 49

13 PREÁMBULO 49

14 TEOREMAS DE MOHR. 49

15 MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS. PLANTEAMIENTO TRADICIONAL. 55

16 MÉTODO SLOPE & DEFLECTION 57

CAPÍTULO 5 66

MÉTODO DE LA RIGIDEZ. ENFOQUE MATRICIAL. 66

17 PREÁMBULO 66

18 MATRIZ DE RIGIDEZ ELEMENTOS TIPO BARRA. ENREJADOS. 67

18.1 ANÁLISIS BIDIMENSIONAL 67 18.2 ANÁLISIS TRIDIMENSIONAL 70

19 MATRIZ DE RIGIDEZ ELEMENTOS TIPO VIGA. MARCOS. 72

19.1 ANÁLISIS BIDIMENSIONAL 72 19.2 ANÁLISIS TRIDIMENSIONAL 78

20 MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL. 80

21 MODELACIÓN. 81

21.1 ENSAMBLE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA. 81 21.2 CONDICIONES DE APOYO. DEFINICIÓN DE GRADOS DE LIBERTAD ACTIVOS. (VECTORES DE CONECTIVIDAD). 87 21.3 VECTOR DE CARGAS EXTERNAS. 89 21.4 CÁLCULO DE ESFUERZOS INTERNOS. 91

22 CONDICIONES DE MODELACIÓN 93

22.1 ELEMENTOS AXIALMENTE INDEFORMABLES. 93 22.2 ELEMENTOS ROTULADOS. 93 22.3 CONDICIONES DE SIMETRÍA. 94 22.4 CONDICIONES DE BORDE. 95

-4-

22.5 ELEMENTOS CON SECCIONES RÍGIDAS. 96

23 MÉTODO DE REDUCCIÓN MATRICIAL. CONDENSACIÓN ESTÁTICA. 98

24 MODELACIÓN DE EDIFICIOS. 100

24.1 MATRIZ DE RIGIDEZ. 101 24.2 FUERZAS INERCIALES. MATRIZ DE MASAS. 104

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Análisis de Estructuras INC 4103

Profesor

Claudio Oyarzo Vera [email protected]

Objetivos

• Entender la diferencia conceptual y resistente entre sistemas estáticos e hiperestáticos. • Resolver estructuras hiperestáticas. • Establecer una íntima relación entre los conceptos básicos estructurales y el computador.

Programa Capítulo 1 – Introducción

Formas Estructurales, solicitaciones, condiciones de resistencia y servicio. Seguridad estructural. Hiperestaticidad. Repaso de análisis de tensiones y deformaciones. Leyes constitutivas. Tensiones y deformaciones al interior de un sólido. Principio de superposición.

Capítulo 2 – Métodos Energéticos

Trabajo y Energía de Deformación Energía complementaria de deformación Energía especifica de deformación Energía de deformación en barras Principio de Trabajos Virtuales Teorema de Betti Teorema de Maxwell Teoremas de Castigliano

Capítulo 3 – Método de las Fuerzas

Formulación del Método Efectos adicionales a las ecuaciones de compatibilidad

• Asentamientos • Defectos de fabricación, montaje o construcción. • Efecto Térmico • Apoyo Elástico

Modelación de estructuras reticulares. Capítulo 4 – Deformación en Estructuras. Métodos alternativos.

Teoremas de Mohr. Método de los Desplazamientos. Planteamiento Tradicional. Método Slope & Deflection

Análisis de Estructuras Programa

-6- Claudio Oyarzo V.

Facultad de Ingeniería UCSC

Capítulo 5 – Método de la riguidez. Enfoque matricial

Matriz de rigidez elementos tipo Barra. Enrejados. Matriz de rigidez elementos tipo Viga. Marcos. Matriz de rigidez global. Modelación.

• Ensamble de la matriz de Rigidez de la estructura. • Condiciones de Apoyo. Definición de Grados de libertad activos.

(Vectores de conectividad). • Vector de cargas externas. • Cálculo de Esfuerzos internos.

Condiciones de modelación • Elementos Axialmente Indeformables. • Condiciones de Simetría. • Elementos Rotulados. • Condiciones de Borde. • Cachos Rígidos.

Condensación Estática. Modelación de edificios.

Evaluación Fechas propuestas

Certamen 1 : 07 de Octubre Certamen 2 : 04 de Noviembre Certamen 3 : 07 de Diciembre Examen : 16 de Diciembre

NOTA DE PRESENTACIÓN : 0.8 NC + 0.2 NT NOTA FINAL : 0.6 NOTA PRESENTACIÓN + 0.4 EXAMEN

Requisitos de Aprobación

Para aprobar todas las tareas deben ser entregadas y el promedio de sus calificaciones deberá mayor o igual a 4.0

Las tareas entregadas fuera de plazo serán calificadas con nota 1.0

Asistencia mínima del 80%

Bibliografía:

Luthe, R “Análisis estructural” McCormac, J “Análisis de estructuras” Hibbeler, R “Análisis estructural” Bhat, P “Estructuras”

Análisis de Estructuras Capítulo 1 - Introducción


Ingeniero Civil

Capítulo 1 – Introducción

1 Preámbulo

1.1 El Proyecto El Ingeniero Civil es un profesional preparado técnica y científicamente para llevar a efecto obras que satisfagan los requerimientos propios de la sociedad y su tiempo. Por lo general estas obras se originan en algún problema o necesidad que satisfacer, las que dan origen una idea. El ingeniero deberá entonces tomar esa idea y convertirla en un proyecto, y, más adelante, ese proyecto en una obra civil. Pero esta simple definición de objetivos lleva tras de si una compleja y extensa metodología.

• Idea original. Identificación del problema a resolver. • Evaluación de esta idea. Determinar la factibilidad de resolver este problema. • Ingeniería Conceptual. Proponer la solución al problema. Dimensionarlo.

Establecer sus alcances. • Proyecto Específico. P de Arquitectura, P Estructural, P Mecánico, P. Eléctrico, P

Sanitario, P Agua Potable, P de Construcción, etc. • Operación. • Mantención. • Demolición.

1.2 Formas estructurales

Unidimensionales: Vigas, cables, vielas. Bidimensionles: Losas, Muros, Columnas, Cascarones de Revolución. Tridimensionales: Muros de Contención, Galpones, Cascarones.

1.3 Solicitaciones • Peso propio • Sobrecargas de uso • Viento • Sismo • Nieve • Temperatura • Tráfico • Empujes • Montaje • Asentamientos de terreno



Ingeniero Civil

• Cargas dinámicas • Cargas de Impacto • Cargas de Oleaje

1.4 Condiciones Resistentes • Cargas de Rotura. Probetas de Hormigón • Cargas de Fluencia. Barras de Acero • Cargas Admisible. Diseño ASD • Colapso. En general no es admisible.

1.5 Condiciones de Servicio • Deformaciones • Vibraciones • Pandeo • Estéticas

1.6 Seguridad Estructural En general no es admisible el colapso de una estructura. La misión del ingeniero será siempre preservar la vida de los ocupantes de una estructura, la integridad de los equipos que ella se encuentren, mantenerla en operación y minimizar los efectos económicos ocasionados por el daño provocado. NCh 433: Respecto del daño provocado por un sismo, las estructuras deben:

• Resistir sin daños un movimiento sísmico de intensidad moderada • Limitar los daños en elementos no estructurales durante sismos de mediana intensidad • Aunque presenten daño, evitar el colapso durante sismos de intensidad

excepcionalmente severa.



Ingeniero Civil

1.7 Hiperestaticidad.

Una estructura es estáticamente determinada si el número de ecuaciones de equilibrio estático es igual al número incógnitas presentes en una estructura. Si el número de ecuaciones es menor que la cantidad de incógnitas el sistema es hiperestático y se requerirá de otras ecuaciones adicionales. Si el número de ecuaciones es mayor que la cantidad de incógnitas el sistema es inestable y corresponderá a un mecanismo. El número de ecuaciones disponibles corresponde a dos veces la cantidad de nudos (j), es decir, j2· ; mientras que la cantidad de incógnitas queda determinada por el número de barras más las tres reacciones globales, esto es, 3b +

R1

R2MA A B

Estructura Isostática: 3 Incógnitas (R1, R2, MA) 3 Ecs. (ΣFV, ΣFH, ΣM)

R1

R2MA

A B Estructura Hiperestática: 4 Incógnitas (R1, R2, R3, MA) 3 Ecs. (ΣFV, ΣFH, ΣM)

Hiperestaticidad = 1

R3

P

Hiperestaticidad = 3

Externamente Isostática Internamente posee 4 redundantes Hiperestaticidad = 4

P P P P P



Ingeniero Civil

2 Conceptos Básicos de Análisis Estructural Ejemplos:

Se denominará estructura a un modelo generalmente de barras (sistema uniaxiales) sometido a ciertas acciones (pp, sc, viento, sismo, etc) en condiciones de servicio. La formulación de un problema requiere de tres tipos de ecuaciones:

2.1 Ecuaciones de compatibilidad geométrica Relacionan variables Cinemáticas representadas por desplazamientos (desplazamientos y rotaciones) o desplazamientos unitarios. Las ecuaciones de compatibilidad geométrica deben ser funciones continuas y simplemente evaluadas de las coordenadas. A cada punto de la geometría corresponde un punto de la geometría deformada, una relación que no sea biunívoca representaría una grieta.

P

45°45°

P

45°45°

A A’’

A’

Geometría Inicial

Geometría Deformada



Ingeniero Civil

2.2 Ecuaciones de compatibilidad estática o equilibrio Relacionan variables estáticas representadas por fuerzas (Fuerzas y momentos) o tensiones. Estas ecuaciones son lineales en las fuerzas.

2.3 Relaciones constitutivas Son ecuaciones de ligazón entre variables cinemáticas y variables estáticas (no agregan nuevas variables). Ejemplo: Acero

Hormigón

2400

3400

σ

ε Lineal para las deformaciones

No linealidad del material

σ = E * ε E=2000000 Kg/cm2

300

σ

ε Lineal para las deformaciones

No linealidad del material

σ = E * ε



Ingeniero Civil

No linealidad Geométrica: Cuando las deformaciones son significativas las estructura puede perder sus características de linealidad sin que el material deje de ser elástico (Efecto P-∆).

P1

P2

V=P1 M=P2*L ≠ P2 * (L-v)+P1*u

L

P1

P2 EALPv 1

⋅⋅

=

IE3LPu

32

⋅⋅⋅

=

A

L0

∆

∆⋅=

∆⋅⋅

=

∆⋅=

⋅=

KTL

AET

LE

AT

E

0

o

εσ



Ingeniero Civil

Ejemplo:

2.4 Principio de superposición Las ecuaciones de la estática son lineales y homogéneas en las fuerzas.

Tirantes AE

L/2

L/2

L/2L/2 L/2

L/2 P

2P

1 32

RA’’

P2

RB’’

BA

RA

P1 P2

RB

BA

RA’

P1

RB’

BA= +

M(z) M’’(z)M’(z)

RA + RB – P1 – P2 = 0 R’’A + R’’B – P2 = 0 R’A + R’B – P1 = 0

R’A + R’’A + R’B + R’’B – P1 – P2 = 0

+=

M(z) M’’(z) M’(z) +=

Q(z) Q’’(z) Q’(z) +=



Ingeniero Civil

Considerando un elemento ∆z de la viga:

Si las deformaciones son pequeñas y la geometría de la estructura no cambia radicalmente, las tensiones admiten la aplicación del principio de superposición.

∆z

N

M

Análisis de Estructuras Capítulo 2 – Métodos Energéticos



Fi Sistema de fuerzas

Geometría Deformada

Geometría Inicial

Sólido deformable en Equilibrio

Capítulo 2 – Métodos Energéticos

3 Trabajo y Energía de Deformación Si sobre un sólido deformable se aplica un sistema de fuerzas Fi, el trabajo de las fuerzas produce deformaciones, movimiento y calor. El proceso se rige por la termodinámica, de manera que se cumple:

UTQW ∆+∆+∆=∆

Donde: ∆W : Trabajo de las fuerzas externas ∆Q : Calor ∆T : Energía Cinética ∆U : Energía Interna

Los procesos de equilibrio se suponen de tipo cuasiestático y en ellos se desprecian el calor disipado y la energía cinética, lo que significa que todo el trabajo se transforma en energía interna de deformación, resultando la igualdad:

UW ∆=∆ El proceso puede revertirse total o parcialmente si se usa el sistema de cargas aplicado recuperándose total o parcialmente la geometría original. En el primer caso se dice que el material es perfectamente elástico y en el segundo caso se habla de materiales parcialmente elásticos. Para la fuerza “i” ∫=

cii drFW

Para el sistema { }iF i = 1,..,n

Se obtiene ∑=

=n

11iWW




Ejemplo: Barra Traccionada Considere una barra de sección A y modulo de elasticidad E, el cual se aplica gradualmente una carga axial de magnitud P1, generando una deformación ∆1. Posteriormente, se aplica una segunda carga adicional, de magnitud P2, generando una deformación ∆2.sobre la anterior.

2P

2LAEd

LAEdPW 11

21

001

11 ∆⋅=

∆⋅=== ∫∫

∆∆

δδδ

( )

∆−

∆+∆⋅=== ∫∫

∆+∆

∆

∆+∆

∆ 22LAEd

LAEdPW

21

221

2

21

1

21

1

δδδ

[ ] [ ]2122

2121

22

212 2

L2AE2

L2AEW ∆∆+∆⋅=∆−∆∆+∆+∆⋅=

··

''··

··· 1221

2221

222 WWP

2P

2L2

AEL2

AEW +=∆+∆

=∆∆+∆=

121 WWWW ''++=

4 Energía complementaria de deformación La energía complementaria de deformación corresponde al área ubicada por encima de la curva carga-deformación y limitada por una recta horizontal correspondiente a la carga P. Esta energía cobrará importancia cundo se aborden los teoremas de Castigliano. Su valor se calcula con la integral:

∫= dPW δ*

P

L

∆1

∆2 0 P1 0 P2

P1+P2

P1

∆1 ∆1+∆2

W1

W2’

W’1




Para materiales lineales W*=W Para materiales no lineales W*≠W

5 Energía especifica de deformación

5.1 Esfuerzo Normal

∆⋅⋅= P21W

AP ·σ=

L·ε=∆

V21LA

21W ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= εσεσ

σε21

Vu

VWw =

∂∂

=∂∂

= Energía específica de deformación

5.2 Esfuerzo Tangencial

∆⋅⋅=∆ P21W

yxP ∆⋅∆= ·τ

z∆=∆ ·γ

V21zyx

21W ∆⋅⋅⋅=∆⋅⋅∆⋅∆⋅⋅=∆ γτγτ

γτ ··21

Vu

VWw =

∂∂

=∂∂

= Energía específica de deformación

P

L

∆

A, E

δ

P

W*W

δ

PW*

W

P

∆z

∆y ∆x

γ=∆/∆z

∆

x

y

z yxP∆⋅∆

=τ




5.3 Caso General

( )yzyzxzxzxyxyzzyyxx

v

21w

dVwu

γτγτγτεσεσεσ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

= ∫∫∫

σ

τx

σ

σ

τy

τz

τz τy

τx

x

z

y




6 Energía de deformación en barras Se considera una barra prismática elaborada con un material elástico en un espacio tridimensional sometida a fuerzas cortantes y normales, además de momentos flectores y de torsión.

Fx = Qx Fuerza de Corte en x Fy = Qy Fuerza de Corte en y Fz = N Fuerza Normal Mx Momento Flector en torno a x-x My Momento Flector en torno a y-y Mz = Mt Momento de torsión en torno a z-z

x Fx

z y

Mx

Fy Fz

Mz My




6.1 Barras Sometidas a Esfuerzo Axial

zz21w εσ ⋅⋅=

AN

z =σ

Ez

zσ

ε =

E1

AN

21

E21w

2z

z ⋅

⋅=⋅⋅=

σσ

dVwuv∫∫∫=

dVE1

AN

21u

v

2

∫∫∫ ⋅

⋅=

∫ ∫∫ ⋅

⋅=

L

0A

2

dzdAE1

AN

21u

∫ ∫∫=L

0 A2

2

dsdAAE2

Nu··

∫=L

o

2

dzAEN

21u

∫=L

o

2

dsAEN

21u

N

N

A, E, L

∆




6.2 Barras Sometidas a Flexión

zz21w εσ ⋅⋅=

Ez

zσ

ε =

x

xz I

yM ⋅=⋅σ

2x

22x

2z

IEyM

21

E21w

⋅⋅

⋅=⋅=σ

dVwuv∫∫∫=

dVIEyM

21u

vx

22x∫∫∫ ⋅⋅

⋅=

∫ ∫∫⋅=

L

0 A

22x

2x dzdAyIE

M21u

∫ ⋅=

L

0x2

x

2x dzIIE

M21u ··

∫ ⋅=

L

o x

2x dzIE

M21u

∫ ⋅=

L

o x

2x dsIE

M21u

P1 P2

Mx(z)

z

A

A’

Sección A-A’

x

y

G

Qy

Mx(z)

Def.Tensión

Mat. Lineal

y

δz σ = εE = Mxy/Ix

y




6.3 Barras Sometidas a Esfuerzo de Corte

S : Momento estático de Area bajo o sobre la zona en que se desea evaluar el esfuerzo tangencial (τ) con respecto a la linea neutra

γτ ⋅⋅=21w

Gτγ =

IbSQ⋅⋅

=τ Jourasky

22

IbSQ

G21

G21w

⋅⋅

⋅=⋅=·

τ

dVwuv∫∫∫=

dVG1

IbSQ

21u

v

2

∫∫∫

⋅⋅

=

dzAdIb

SI1

G2Qu

A 2

22

∫ ∫∫ ⋅= ·

·

AiIA

Ii 22 ·=→=

dzdAAib

SI1

G2Qu

A 22

22

∫ ∫∫

⋅

=··

P1 P2

Qy(z)

z

A

A’

(+) (-)

Sección A-A’

x

y

S b

τy

z




dzdAib

SI1

AGQ

21u

A 22

22

∫ ∫∫

⋅⋅

=

yA 2x

2

2x

x

dAib

SI1

Χ=⋅∫∫ actor de forma al corte actuando en dirección y-

y

dzAG

Q21u

2yy∫ ⋅

⋅Χ=

dsAG

Q21u

2yy∫ ⋅

⋅Χ=

6.4 Barras Sometidas a Torsión

γτ ⋅⋅=21w

Gτγ =

rJ

Mt ⋅=τ

J : Momento Polar de Inercia

2t r

JM

G21w

⋅⋅=

·

dVwuv∫∫∫=

dVrJ

MG2

1uv

2t∫∫∫

⋅⋅=

·

( )dzdArGJM

21u

A

22

2t∫ ∫∫=

dzGJM

21u

2t∫=

Mt

r r

JMt ⋅=τ




En secciones no circulares se produce alabeo, para estos casos se debe reemplazar en la ecuación J por J0 (Momento polar de inercia equivalente o Cte de Saint Venant)

dsGJM

21u

0

2t∫=

Para secciones rectangulares: hb3

bhJ3

0 >=

6.5 Caso General Para una barra cualquiera se tiene:

dsGJM

21ds

GAQ

21ds

GAQ

21ds

EIM

21ds

EIM

21ds

AEN

21u

0

2t

L

0

2xx

L

0

2yy

L

0 y

2y

L

0 x

2x

L

0

2

∫∫∫∫∫∫ +Χ

+Χ

+++=

Ejemplo:

dsGA

Q21ds

EIM

21u

L

0

2yy

L

0 x

2x ∫∫

Χ+=

dsGA

Q21ds

EIM

21u

L

0

2yy

L

0 x

2x ∫∫

Χ+=

(+)

P L/2 L/2

(-) (+)

Mx(z)

Qy(z)

PL/4 P/2

P/2

y

x h

b

2Lz2P

zQ

2Lzz2P

zM

y

x

/)(

/)(

≤=

≤=




( ) ( )dz

GA2

P

212dz

EI2

Pz

212u

2L

0

2

y2L

0 x

2

∫∫Χ

+=//

2L

0

22L

0

32

zGA4P

3z

EI4Pu

//

⋅Χ

+⋅=

GA8LP

EI96LPu

232 Χ+=

⋅

Χ+⋅=

GAEI

L8961

EI96LPu

2

32

Si se considera sección rectangular:

( ) 25

GE250

12EG =→=+

= .υυ

21.=Χ

32h

bh12

bh

AIi

3

===

Entonces:

( )

+⋅=

⋅⋅

+⋅= 2

32232

iL361

EI96LP

Li

2512211

EI96LPu .

40iLL

121hsi ≈→≈

( )EI96LP022501

EI96LP

40361

EI96LPu

3232

2

32

≈+⋅=

+⋅= .




7 Principio de Trabajos Virtuales

7.1 Principio de Desplazamientos Virtuales:

• Virtual : Ajeno al sistema de fuerzas e independiente • Compatible : Consistente con las posibilidades de desplazamiento del sólido.

“Cuando a un sólido rígido sometido a un sistema de fuerzas en equilibrio, se le aplica un campo de desplazamientos virtuales compatibles y permanece en equilibrio, entonces el trabajo de las fuerzas internas es nulo”.

7.2 Principio de Trabajos Virtuales: “Si un sólido deformable sometido a un sistema de cargas está en equilibrio y permanece en equilibrio al ser sometido a un campo de deformaciones virtuales compatible, entonces el trabajo virtual de las fuerzas externas es igual al trabajo de las fuerzas internas actuando sobre los desplazamientos virtuales internos”

8 Teorema de Betti Considere un sólido deformable sometido a dos estados de fuerza (A y B). Cada sistema se encuentra en equilibrio independientemente y también al ser aplicados simultáneamente. Caso 1: Se aplica el estado de carga A y luego el B.

+∆+

= ∑∑∑

jjj

iiji

iii1 F

21PP

21W δδ

Donde:

Pi : Fuerzas y momentos del estado de carga A Fj : Fuerzas y momentos del estado de carga B δi : Desplazamientos producidos en el punto de aplicación de las cargas Pi debido a

ellas mismas. δj : Desplazamientos producidos en el punto de aplicación de las cargas Fj debido a

ellas mismas. ∆ij : Desplazamientos producidos en el punto de aplicación de las cargas Pi debido a

las cargas Fj.




Caso 2: Se aplica el estado de carga B y luego el A.

+∆+

= ∑∑∑

iii

jjij

jjj2 P

21FF

21W δδ

Donde:

Pi : Fuerzas y momentos del estado de carga A Fj : Fuerzas y momentos del estado de carga B δi : Desplazamientos producidos en el punto de aplicación de las cargas Pi debido a

ellas mismas. δj : Desplazamientos producidos en el punto de aplicación de las cargas Fj debido a

ellas mismas. ∆ji : Desplazamientos producidos en el punto de aplicación de las cargas Fj debido a

las cargas Pi. Dado que la energía de deformación final es independiente de la secuencia de carga se obtiene:

21 WW =

+∆+

=

+∆+

∑∑∑∑∑∑i

iij

jijj

jjj

jji

ijii

ii P21FF

21F

21PP

21 δδδδ

∑∑ ∆=∆

jjij

iiji FP

TEOREMA: Sobre un sólido deformable, el trabajo de un sistema de fuerzas A (Pi i = 1..n)

cuando actúa otro sistema de fuerzas B (Fj j = 1..m), es igual al trabajo del sistema de fuerzas B cuando sobre el sólido actúa el primer sistema de fuerzas A.




9 Teorema de Maxwell Corresponde a un caso especial del teorema de Betti. TEOREMA: En un sólido deformable, el desplazamiento originado sobre un punto i en

dirección AB, debido a una fuerza P actuando en un punto j en la dirección CD, es igual al desplazamiento originado sobre el punto j en dirección CD, si se aplica una fuerza P de igual magnitud sobre el punto i en la dirección AB.

Ejemplo:

CBBC

CBBC PP∆=∆

∆⋅=∆⋅

D

P

∆CB

A B C

Estructura I

P

∆BC

A B C D

Estructura II

P

A

B D

C

j i

Sistema i

P A

B D

C

j i

Sistema j




10 Teoremas de Castigliano

10.1 Primer Teorema de Castigliano Sea un sólido sometido a un sistema de fuerzas Fi

Supóngase que adicionalmente se deforma la estructura de manera que sólo varía la deformación en el punto de aplicación de la fuerza Fk, resulta: u pasa a u∆+= u u' Fk pasa a kkk F F 'F ∆+= W pasa a kδ∆⋅+= 'F W W' k

kk δδ ∆⋅∆+∆⋅+= F F W W' kk Se tiene:

(1) u W = (2) u'W' =

uukk ∆+=∆⋅∆+∆⋅+ δδ F F W kk

kkk

1uδ

δδ∆⋅∆=∆⋅∆+∆⋅ F F kk

lim0k k

u→∆∆

∆=∆+

δδkk FF

k00

u

kk δδδ ∆∆

=∆+→∆→∆

limlim kk FF

Configuración Inicial Configuración deformada por Fi Deformación adicional ∆δk≠0 ∧ ∆δi=0 ∀ i≠k

F1

F3

Fi

Fk

∆δk

F2




Ahora bien, si 00k →∆⇒→∆ kFδ

k

uδ∂∂

=kF Primer Teorema de Castigliano

10.2 Segundo Teorema de Castigliano A fin de simplificar el procedimiento considérese una viga simplemente apoyada, sometida a cargas F1 y F2 gradualmente aplicadas, provocándose bajo ellas las deflexiones δ1 y δ2 respectivamente. Se desea encontrar la deflexión δ1 bajo F1.

Se tiene que:

2F

2F 2211 δδ ⋅

+⋅

=W

Si se incrementa la carga F1 en una pequeña cantidad dF1 el trabajo adicional realizado es:

22112211

112211

1 dFdFdF2

ddFdFdFd2

dFF δδδδδδδ ⋅+⋅=⋅+

⋅

+⋅=⋅+⋅

+=W d

por otro lado, el trabajo total es:

( ) ( ) ( )2

dF2

ddFF 2221111 δδδδ +⋅+

+⋅+=W'

además:

2F

2F

2dF

2F

2ddF

2dF

2dF

2F 2211222211111111 δδδδδδδδ ⋅

−⋅

−⋅

+⋅

+⋅

+⋅

+⋅

+⋅

==W'-WdW

2dF

2dF

2dF 221111 δδδ ⋅

+⋅

+⋅

=dW

se sabe que : 1122 dFdF δδ ⋅−=⋅ W d entonces:

F1+dF1

δ1

F2

dδ1

δ2

dδ2




2dF

2dF

2dF 111111 δδδ ⋅−

+⋅

+⋅

=W ddW

22dF 11 W ddW +

⋅=

δ

11dF δ⋅=dW

11dF

δ=dW

Generalizando:

F∂∂

=Wδ Segundo Teorema de Castigliano

10.3 Método de la carga unitaria Suponga una estructura sometida a un sistema de cargas que generan los esfuerzos internos N0, M0, Q0 y T0. Para calcular el desplazamiento (o giro) δi en un punto i donde no actúa ninguna fuerza del sistema se procede de la siguiente manera: Se aplica una carga virtual pv en el punto y dirección del desplazamiento (Desplazamiento Carga puntual; Giro Momento). Esta carga virtual generará en una sección cualquiera los esfuerzos internos Nv, MV, QV y Tv. Si no se excede el límite elástico dichos esfuerzos serán proporcionales a la carga virtual.

TpTQpQMpMNpN

vv

vv

vv

vv

⋅=

⋅=

⋅=

⋅=

Donde TQMN ,,, son valores característicos para cada sección de la estructura y cada variable, obtenidos a partir del análisis del efecto de un carga virtual unitaria. La energía de deformación de la estructura debido al sistema original y la carga virtual será:

dsGJT

21ds

GAQ

21ds

EIM

21ds

AEN

21u

0

2L

0

2L

0

2L

0

2

∫∫∫∫ +Χ

++=

( ) ( ) ( ) ( )ds

GJTpT

21ds

GAQpQ

21ds

EIMpM

21ds

AENpN

21u

0

2v0

L

0

2v0

L

0

2v0

L

0

2v0 ∫∫∫∫

⋅++

⋅+Χ+

⋅++

⋅+=




Del segundo teorema de Castigliano se sabe:

Fu∂∂

=δ

vi p

u∂∂

=δ

( ) ( ) ( ) ( )

⋅++

⋅+Χ+

⋅++

⋅+∂∂

= ∫∫∫∫ dsGJ

TpT21ds

GAQpQ

21ds

EIMpM

21ds

AENpN

21

p 0

2v0

L

0

2v0

L

0

2v0

L

0

2v0

viδ

( ) ( ) ( ) ( ) dsGJ

TTpTdsGA

QQpQdsEI

MMpMdsAE

NNpN

0

v0L

0

v0L

0

v0L

0

v0i ∫∫∫∫

⋅⋅++

⋅⋅+Χ+

⋅⋅++

⋅⋅+=δ

Anulando el efecto de la carga virtual se obtiene:

dsGJ

TTdsGA

QQdsEI

MMdsAE

NN

0

0L

0

0L

0

0L

0

0i ∫∫∫∫

⋅+

⋅Χ+

⋅+

⋅=δ

En donde:

0000 TQMN ,,, : Esfuerzos (Funciones-Diagramas) provocados por el sistema de carga original.

TQMN ,,, : Esfuerzos (Funciones-Diagramas) provocados por la acción de una carga unitaria aplicada en el punto y dirección donde se desea obtener el desplazamiento.

Ejemplo 1: Calcular defleión en el extremo A

L

δA

q A B




Diagramas de esfuerzos del sistema de carga original:

Diagramas de esfuerzos por efecto de carga unitaria en A:

Por lo tanto, la deformación en el extremo es:

dsGJ

TTdsGA

QQdsEI

MMdsAE

NN

0

L

0

L

0

L

0A ∫∫∫∫

⋅+

⋅Χ+

⋅+

⋅=δ

0dsGA

QQdsEI

MM0L

0

L

0A +

⋅Χ+

⋅+= ∫∫δ

Lz

(-)

M(z(-)

Q(z)

q

L2qzzQ

L6qzzM

2

3

−=

−=

)(

)(

2qL

−

6qL2

−

Lz

(-)

(-)

1

1zQzzM

−=−=

)()(

)(zM

)(zQ-1

-L




( ) ( )0dz

GA

1L2zq

dzEI

zL6zq

0L

0

2

L

0

3

A +−⋅

⋅−Χ

+−⋅

⋅−

+= ∫∫δ

GA6Lq

EI30Lq 24

A⋅⋅Χ

+⋅

=δ

Análisis de Estructuras Capítulo 3 – Métodos de las Fuerzas


Facultad de Ingeniería - UCSC

Capítulo 3 – Método de las Fuerzas

1 Preámbulo En este capítulo se estudiará el método de resolución de vigas, marcos y estructuras reticulares planas hiperestáticas conocido como método de las fuerzas o de las flexibilidades Dado que las estructuras que se analizarán son hiperestáticas, las ecuaciones de equilibrio (ΣF=0 y ΣM=0) no serán suficientes. Así pues, para la resolver este tipo de estructuras se necesitara calcular esfuerzos y deformaciones virtuales los cuales serán luego compatibilizados con las condiciones de borde de esfuerzo y desplazamiento definidas en los apoyos. Este tipo de análisis se limitará al rango elástico de deformaciones.

2 Formulación del Método Para este método se considera, en primer lugar, una estructura que llamaremos primaria. Esta se obtiene a partir de la estructura original eliminando las reacciones redundantes para obtener una estructura estáticamente determinada, y conservando el sistema de cargas original. Esta estructura primaria deberá ser estable y las reacciones redundantes serán aquellas que exceden el numero posible de determinar mediante las ecs de equilibrio. Luego, aplicado el principio de superposición, se irá incluyendo el efecto de cada una de las redundantes, modeladas como fuerzas de magnitud desconocida. De esta forma se obtendrá un set de ecuaciones para cada una de las redundantes. Superponiendo cada uno de estos efectos y aplicando las condiciones de borde impuestas por los apoyos será posible resolver la estructura. El método considera entonces una estructura isostática, denominada primarias, en la que se calculan desplazamientos (lineales y/o angulares) en los apoyos que se eliminaron de la estructura hiperestática inicial, y en las direcciones en las que se eliminaron dichas restricciones. Estos desplazamientos se calculan también en estructuras de misma geometría que la estructura primaria, siendo las cargas las reacciones redundantes correspondientes. La corrección de los desplazamientos de la estructura primaria con los generados por las reacciones redundantes, aplicadas de manera que se cumplan las condiciones geométricas de la estructura original, permite establecer un sistema de ecuaciones cuyo número es igual al número de reacciones redundantes. La solución del sistema de ecuaciones permite determinar los valores de las reacciones redundantes. Una vez determinadas estas reacciones en los apoyos, los esfuerzos se pueden calcular en todos los miembros de la estructura por medio de las ecuaciones de equilibrio de la estática, pudiendo aplicarse, también, el principio de superposición.




Ejemplo 1:

Resolución:

Ecs de compatibilidad geométrica:

01211101 =∆+∆+∆=∆ 02221202 =∆+∆+∆=∆

Aplicando el teorema de Castigliano y método de la carga unitaria podemos obtener el desarrollo de las ecuaciones para el desplazamiento en la redundante 1:

( )∑ ∫=∆elementos

L

0i

1010

i dsEI

MM

P1 P2

R1

R2

R3

R4

R5

Estructura 2 veces hiperestática

=

P1 P2

R1

R2

X1

R4

X2

Estructura Primaria isostática

∆1=0

∆2=0

X1, X2 : Redundantes ∆1, ∆2 : Ecs de Compatibilidad

+ +

P1 P2

Estructura Primaria (0)

M0

X1

Primera redundante (1)

M1

X2

Segunda redundante (2)

M2




( ) ( ) ( )∑ ∫∑ ∫∑ ∫ ====∆elementos

L

0 111i

21

1elementos

L

0i

111

elementos

L

0i

1111

iii XdsEIMXds

EIMMXds

EIMM δ

( ) ( ) ( )∑ ∫∑ ∫∑ ∫ ====∆elementos

L

0 122i

212

elementos

L

0i

122

elementos

L

0i

1212

iii XdsEI

MMXdsEI

MMXdsEI

MM δ

Haciendo lo mismo con la redundante 2:

( )∑ ∫=∆elementos

L

0i

2020

i dsEI

MM

( ) ( ) ( )∑ ∫∑ ∫∑ ∫ ====∆elementos

L

0 121i

211

elementos

L

0i

211

elementos

L

0i

2121

iii XdsEI

MMXdsEI

MMXdsEI

MM δ

( ) ( ) ( )∑ ∫∑ ∫∑ ∫ ====∆elementos

L

0 222i

22

2elementos

L

0i

222

elementos

L

0i

2222

iii XdsEIMXds

EIMMXds

EIMM δ

Finalmente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

0XX 122111101 =++∆=∆ δδ 0XX 222121202 =++∆=∆ δδ

Expresado matricialmente:

=

⋅

+

∆

∆

0

0

X

X

2

1

2221

1211

20

10

δδ

δδ

∆0k : Desplazamiento en (k) debido a las cargas externas actuando sobre la estructura

fundamental. δkj : Desplazamiento en (k) debido a las cargas unitaria actuando sobre el punto y dirección

(j) la estructura fundamental. Método:

1. A partir de la estructura hiperestática, definir la estructura primaria, eliminando las restricciones redundantes y reemplazándolas por fuerzas o momentos Xk.

2. Obtener las distribuciones de esfuerzos internos (axial, flexión, corte y torsión) de la

estructura primaria bajo el efecto de las cargas externas originales.




3. Aplicar en cada una de las k redundantes una carga unitaria y obtener los diagramas de esfuerzos internos (axial, flexión, corte y torsión) de la estructura.

4. Calcular las deformaciones en las redundantes debido al sistema de carga original.

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∑ ∫ +Χ

++=∆ iiii L

0i

k0L

0i

k0L

0i

k0

elementos

L

0i

k00k ds

GJTTds

GAQQds

EIMMds

EANN

5. Calcular las deformaciones en las redundantes debido a una carga unitaria sobre el

mismo punto y las demás redundantes.

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∑ ∫ +Χ

++= iiii L

0i

jkL

0i

jkL

0i

jk

elementos

L

0i

jkkj ds

GJTT

dsGA

QQds

EIMM

dsEA

NNδ

6. Aplicar las condiciones de compatibilidad geométrica para obtener el sistema de

ecuaciones.

∑+∆=∆j

kjj0kk X δ

7. Resolver el sistema de ecuaciones para obtener el valor de las redundantes Xk.

8. Obtener el valor de las demás restricciones (no redundantes) mediante las ecuaciones

de equilibrio estático.

9. Aplicar superposición.




Ejemplo 2: Determinar las reacciones y los diagramas de momento de la estructura de la figura. Obtener además el desplazamiento vertical del punto B utilizando un sistema virtual apropiado.

Hormigón Madera

E Kg/cm2 250000 80000 G Kg/cm2 100000 32000

Χ 1.2 1.2

200 kg/m

500 kg/m

4 m

5 m 3 m

Hormigón

Madera

Rótula

A

B C

0.2 m

0.4 m

Hormigón

0.2 m

0.2 m

Madera




3 Efectos adicionales a las ecuaciones de compatibilidad

3.1 Asentamientos Este caso se refiere a los efectos provocados por un desplazamiento de la redundante en estudio. Se analizara el efecto de los desplazamientos anelásticos (independientes de la magnitud de la carga). Supongamos un desplazamiento (asentamiento o giro) del grado de libertad k. Para esta situación, en la ecuación de compatibilidad geométrica correspondiente al grado de libertad en cuestión, se conservara a expresión:

∑+∆=∆j

kjj0kk X δ

con la diferencia de que el valor de ∆k será distinto de cero y conocido.

3.2 Defectos de fabricación, montaje o construcción. Un desplazamiento de un grado de libertas, provocará, además del efecto sobre la ecuación de compatibilidad correspondiente, un efecto sobre las demás ecuaciones. Pues generará deformaciones y desplazamientos en toda la estructura, por lo tanto un trabajo. Este es el típico caso de tensiones generadas por defectos de fabricación, montaje o construcción. Este efecto se deberá incluir en las demás ecuaciones mediante le término ∆ka. Vale decir las demás ecuaciones adoptaran la forma:

kaj

kjj0kk X ∆++∆=∆ ∑ δ

El valor de este término de corrección se determinara mediante el principio de los trabajos virtuales (Carga unitaria).




Ejemplo 1

∆ka : Desplazamiento en punto y dirección k debido a un desplazamiento de otro apoyo.

0Wext =

( ) ( ) 0vL1u

h211 a1 =−⋅+−⋅+∆⋅

Lv

h2u

a1 +=∆

u v

φ

u v

φ

∆1a

X1

X3

X2

=

h

1t-m1

1/(2h)

= ∆1a

1/L 1/L

1/(2h)

L




Ejemplo 2 Problema típico de error de fabricación.

∆ka : Desplazamiento en punto y dirección k debido a un desplazamiento de otro apoyo.

0Wext =

0vL1u

h211 a1 =∆⋅+∆⋅+∆⋅

Lv

h2u

a1∆

−∆

−=∆

h

1t-m1

1/(2h)

1/L 1/L

1/(2h)

L

∆u

∆v ∆φ

1t-m1

1/(2h)

1/L 1/L

1/(2h)

1/L 1/L

1/(2h) 1/(2h)




3.3 Efecto Térmico Para incluir los efectos asociados a la variación de temperatura (dilatación-contracción) se deben agregar términos relativos a los esfuerzos axiales y de flexión. Si el elemento estructural esta sometido a una variación de temperatura uniforme, esta generará una dilatación-contracción uniforme expresada de la sgte forma:

∑ ∫ ⋅⋅=∆elementos

L

0kkkkt dstN

k

α

dónde: αk : Coeficiente de dilatación térmica. tk : Aumento uniforme de temperatura en el elemento k.

Ahora bien, si el elemento estructural esta sometido a una variación de temperatura no uniforme, vale decir, existe un gradiente de temperatura entre las caras de la barra. Se generará una dilatación-contracción de diferente magnitud:

La expresión asociada a este fenómeno es la sgte:

∑ ∫∑ ∫∆⋅⋅

=∆⋅⋅

=∆elementos

L

0 k

kkk

elementos

L

0 k

kkkkt ds

ht2Mds

2h

tM kk αα

dónde: αk : Coeficiente de dilatación térmica. 2∆tk : Aumento diferencial de temperatura en el elemento k. hk : Altura de la barra k

-∆T=α ∆t ds

+∆T=α ∆t ds ds

dφ = (α ∆t ds)/(h/2)




3.4 Apoyo Elástico En este caso se modelaran los efectos propios de apoyos elásticos. Este tipo de apoyo corresponde a los que realmente se generan en el suelo, en que la reacción generada en el vínculo es proporcional a la deformación.

kkkk

k XfXK1

−=−=∆

ktkaj

kjj0kk X ∆+∆++∆=∆ ∑ δ

ktkaknnkkk2k21k10kkk XXXXXf ∆+∆+++++++∆=− δδδδ ....

ktkaknnkkkk2k21k10k XfXXX0 ∆+∆++++++++∆= δδδδ ..)(..

3.5 Expresión General

∆

∆

∆

∆

=

∆

∆

∆

∆

+

∆

∆

∆

∆

+

∆

∆

∆

∆

+

⋅

+

+

+

+

n

k

2

1

nt

kt

t1

t1

na

ka

a1

a1

0n

0k

20

10

n

k

2

1

nnnnk1n

knkkk1k

22221

n1k112111

X

X

X

X

f

f

f

f

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

MOM

MOM

M

δδδ

δδδ

δδ

δδδδ

.........

......

Kk

X1 X2 K2

-X2 = K2 ∆2




4 Modelación de estructuras reticulares.

4.1 Estructuras reticulares con redundantes externas En esta sección estudiaremos enrejados con redundantes externas, basando nuestro análisis en la determinación de deflexiones, algo muy similar a lo realizado en vigas y marcos. Considere el siguiente enrejado a modo de ejemplo:

Para resolver este enrejado eliminaremos la redundante del apoyo B (Xb). Determinaremos la deflexión generada en este punto debido a las cargas externas. Luego se determinara la deflexión provocada en el mismo punto debido a una carga unitaria aplicada en dicho punto.

Finalmente se aplican las condiciones de compatibilidad geométrica.

AB

C

P

A

Xb

C

P

A C

P

A

1

C

iN 0iN1




0X bbbb0b =∆=+∆ δ Dado que en los enrejado se supone que las barras se ven sometidas solo a esfuerzo axial:

∑∑∫⋅

=⋅

=∆barras

iii

ii0

i ii

ii00b L

AENNdl

AENN ·

∑∑∫ =⋅

=barras

iii

2i

i ii

iibb L

AENdl

AENN ·δ

Entonces:

∑

∑ ⋅

−=∆

−=

barrasi

ii

i

barrasi

ii

ii

bb

bb

LAE

N

LAENN

X·

·

2

0

0

δ

y la fuerza real sobre cada una de las barras será:

ibii NXNN ·0 += Ver Ejemplo 13.7.: Análisis de Estructuras. McCormac-Nelson. La metodología se hace extensiva a 2 o más redundantes.




4.2 Estructuras reticulares con redundantes internas A continuación, estudiaremos enrejados con redundantes internas, es decir, tiene más barras de las necesarias para garantizar la estabilidad. Basaremos nuestro análisis en la determinación de tensiones-deformaciones en barras, tal como se realizó en el método de Castigliano y de la carga unitaria. Considere el siguiente enrejado a modo de ejemplo:

Los enrejados con redundantes internas pueden analizarse en forma semejante a la empleada en la relación con las armaduras con redundante externa. Se supone que una barra es la redundante y se elimina teóricamente de la estructura. Las barras restantes deben constituir una estructura estáticamente determinada y estable. Se supone que los esfuerzos N0, provocados por las fuerzas externas, son de naturaleza tal que generan una separación de los nudos ubicados en los extremos de la redundante eliminada, provocando un desplazamiento ∆10. Acto seguido se realiza un análisis de tensiones y deformaciones suponiendo un par de fuerzas unitarias, actuando en la dirección de la barra eliminada simulando una tracción. Se calcularán los esfuerzos internos N , provocados por la carga unitaria. Esto originaría un desplazamiento de los nudos (alargamiento de la barra) ∆11. Finalmente se aplica el principio de superposición y las condiciones de compatibilidad geométrica.

0111110 =∆=+∆ δX

A B

P P




Dado que en los enrejado se supone que las barras se ven sometidas solo a esfuerzo axial:

∑∑∫⋅

=⋅

=∆barras

iii

ii

i ii

ii LAENN

dlAENN

·0010

∑∑∫ =⋅

=barras

iii

i

i ii

ii LAE

Ndl

AENN

·2

11δ

Entonces:

∑

∑ ⋅

−=∆

−=

barrasi

ii

i

barrasi

ii

ii

LAE

N

LAENN

X·

·

2

0

11

101 δ

y la fuerza real sobre cada una de las barras será:

iii NXNN ·10 += Ver Ejemplo 13.8.: Análisis de Estructuras. McCormac-Nelson. La metodología se hace extensiva a 2 o más redundantes.

iN 0

A C

P

X1 X1

A C

PP

A C

1 1

iN1

Análisis de Estructuras Capítulo 4 – Deformación en Estructuras Métodos alternativos



Capítulo 4

Deformación en Estructuras. Métodos alternativos.

1 Preámbulo En este capítulo se estudiará el método de resolución de vigas y marcos mediante métodos basado en deformaciones. En particular analizaremos el método de la viga conjugada, los teoremas de Mohr y una aproximación al método conocido como Slope & Deflection (Pendiente-Desviación). También se revisará el planteamiento clásico del Método de las deformaciones o de la rigidez. Como de costumbre este tipo de análisis se limitará al rango elástico de deformaciones.

2 Teoremas de Mohr. Los teoremas de área-momento datan de fines del siglo XIX y son fruto de los trabajos desarrollados por el investigador Otto Mohr y establecidos formalmente por Charles Green en 1872. Estos teoremas proponen una técnica “gráfica” determinar deflexiones y giros en vigas a partir de sus diagramas de momento. Son de especial utilidad en la resolución de vigas sometidas a una serie de cargas puntuales o distribuidas, en especial aquellas que generen distribuciones de momento flector de geometrías simples (rectangulares, triangulares, parabólicas y combinaciones de ellas). Las fórmulas se establecen considerando la geometría de la curva elástica ( )(xv ) y los

diagramas de momento normalizados

EIM x )( , tendiendo como condición que la curva de la

elástica sea continua entre los puntos en que se realiza el análisis.




Para entender este método considere la siguiente figura:

Se sabe que:

EIM

dxd x )(=ϕ

Por lo tanto:

dxEI

Md x )(=ϕ dx

EIM2

1

x12 ∫= )(ϕ

Primer Teorema de Mohr: El ángulo que forman las tangentes en dos puntos de la elástica, es igual al área bajo la curva

del diagrama

EIM x )( entre los mismos puntos.

También sabemos por la geometría que:

ϕdxdz = Por lo tanto:

dxEI

Mxdz x )(·= dxx

EIM

z2

1

x12 ∫

= ·)(

1 2

ϕ12 z12

EIM x )(

x




Segundo Teorema de Mohr: La distancia vertical de un punto 2 de la elástica a la recta que es tangente a la elástica en un

punto 1, es igual al momento estático del área bajo la curva del diagrama

EIM x )( entre estos

dos puntos respecto al punto 2. Ejemplos: Ejemplo1: Calcule el giro y desplazamiento del extremo de la viga en voladizo

dxEI

M2

1

x12 ∫= )(ϕ

12ϕ = Área diagrama

EIM x )( = ( )

2a

EIPa · =

EI2Pa2

·

dxxEI

Mz

2

1

x12 ∫

= ·)(

12z = Mto. Estático del diagrama

EIM x )( c/r a pto 2.

+= a

32b

EI2Paz

2

12 ··

a b

P

+ Pa

(+)

z12 ϕ12

1 2




Ejemplo 2: Calcule los desplazamientos y los giros bajo la carga aplicada sobre la viga.

LEI2bPa2

12 ·=ϕ

L3b2

LEI2Pab

3ab

LEI2bPa

Lz

22

31

+

+

==

··

··

ϕ

( )))·((··

··

b2abaLEI6

PabL

3b2

3aab

LEI2Pab

2

22

1 ++=

++

=ϕ

( ) ( )bLLEI6

Pabb2aLEI6

Pab1 +=+= ·

··

·ϕ

( ) ( )bLa3LEI6

PabbLLEI6

PabLEI2bPa2

1122 −−=+−=−= ··

···

ϕϕϕ

( ) ( )baLEI3

Pabb2a2LEI6

Pab2 −=−= ·

··

·ϕ

( ) ( )LEI3

bPaabbaLEI6bPa

3a

LEI2bPaabL

LEI6Pabzaz

2222

1212 ··

··

···

·· =−++=

−+=−= ϕ

Pba

LaP·

LbP·

LbaP ··

ϕ2

ϕ12 ϕ1

z12

z2

z3




Ejemplo 3: Determine los momentos de empotramiento de la viga de la viga.

Por las condiciones de apoyo se sabe que el giro en B es nulo. Aplicando primer teorema de Mohr:

0LEIM

21L

EIM

21b

EILPab

21a

EILPab

21 BA =+++ ······

····

··

0LMLML

PabL

bPaBA

22

=+++ ··

( )baL

PabMM 2BA +−=+

LPabMM BA −=+

Por las condiciones de apoyo se sabe que el desplazamiento en B es nulo. Aplicando segundo teorema de Mohr:

03LL

EIM

21

3L2L

EIM

21

3b2b

EILPab

21

3aba

EILPab

21 BA =++

+

+ ········

····

··

03LLM

3L2LM

L3Pab2

L3bPa

LbPa

BA

3322

=++++ ·····

++−=+

3b2

3aab

LPabM

31M

32 22

3BA ··

BM

Pba

LbaP ··

BM

AM

AM




))·(·( b2abaL

PabMM23BA ++−=+

)·( b2aL

PabMM22BA +−=+

Entonces resolviendo el sistema:

)·( b2aL

PabMM2

LPabMM

2BA

BA

+−=+

−=+

Se obtiene:

AB ML

PabM −−=

)·( b2aL

PabML

PabM2 2AA +−=−−

2

2

2

2

2A LPab2

LbPa

LPabb2a

LPab

LPabM −−=+−= )·(

2

2

2

2

2

2

A LPab

LPab

LbPa

LPabM −−−=

2

2

2A LPabba

LPab

LPabM −+−= )(

Finalmente:

2

2

A LPabM −=

2

2

B LbPaM −=




3 Método de los Desplazamientos. Planteamiento Tradicional.

El método de los desplazamientos o la rigidez se caracteriza por tener como incógnitas los desplazamientos generados en las estructuras debido a las cargas aplicadas y en función de parámetros de rigidez de la estructura, tal como lo indica su nombre. El método propone fijas los nudos tanto angular como linealmente, analizando el efecto que tienen las cargas externas sobre la estructura; para luego imponer pequeños desplazamientos a las estructuras para cada una de las restricciones impuestas y calcular su efecto sobre los esfuerzos internos. Finalmente, aplicando el principio de superposición, se determina el efecto conjunto. Por cada componente de desplazamiento desconocida se establece una ecuación de equilibrio. Formando un sistema de ecuaciones que permite determinar dichas deformaciones y mediante las mismas obtener los esfuerzos internos en la estructura. Ejemplo:

Método de las Flexibilidades

Ecs de compatibilidad: ∆1 = 0 ∆2 = 0 ∆3 = 0

P

A

D

CB

P

A

D

C B

P

A

D

C B

(0)

X1

A

D

CB

(1)

X3

A

D

CB

(3)

X2

A

D

C B

(2) = + + +




Sistema de Ecuaciones:

=

+

∆∆∆

000

XXX

3

2

1

333231

232221

131211

30

20

10

·δδδδδδδδδ

Coeficientes de flexibilidad:

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∑ ∫ +Χ

++=∂∂

∂= iiii L

0i

jkL

0i

jkL

0i

jk

elementos

L

0i

jk

jk

2

kj dsGJ

TTds

GAQQ

dsEI

MMds

EANN

XXuδ

Método de las deformaciones:

Ecs de compatibilidad: R1 = 0 R2 = 0 R3 = 0 Sistema de Ecuaciones:

=

+

=

000

zzz

rrrrrrrrr

RRR

RRR

3

2

1

333231

232221

131211

30

20

10

3

2

1

·

P

A

D

C B

= + +

P

(0)

(1)

(2)

+ + (3)

R10

R30

R20 r11 r12

r13

r21 r31

r23

r22 r32

r33

z1

z2

z3




Coeficientes de rigidez:

jk

2

kj zzur∂∂

∂=

4 Método Slope & Deflection El método pendiente-deflexión se basa en expresar los momentos de los extremos de los miembros de estructuras estáticamente indeterminada en función de los giros y deflexiones observadas en los nudos, teniendo como supuesto que si bien los nudos pueden girar o deflectarse, los ángulos entre los elementos que convergen en el nudo se mantienen constantes. Este método considera sólo el efecto de la flexión sobre los elementos y omite el efecto del corte y axial. Este método es adecuado para el análisis de estructuras pequeñas, corresponde a un caso especial del método de las deformaciones o rigideces y proporciona una muy buen aproximación inicial para presentar la formulación matricial del método de la rigidez. Este método presenta además la ventaja de proporcionar de manera inmediata un primer esbozo de la deformada. A fin de presentar la ecuaciones que definen este método considere el siguiente elemento estructural ubicado entre los puntos A y B:

Si descomponemos los esfuerzos reales originados solo por las cargas externas impidiendo los giros y desplazamientos en los extremos y aquellos generados por estas deformaciones, se puede afirmar que los valores totales de los momentos en los extremos (MAB y MBA) deberá considerar el efecto de:

B A

P1 P4P2 P3 P5

q




1. Los momentos de empotramiento (MeAB y Me

BA) debidos a las cargas externas, que es posible calcular mediante los teoremas de Mohr o son fáciles de encontrar tabulados.

2. Los momentos generados por los giros en los nudos ϕA y ϕB.

3. Los momentos originados por la rotación de la cuerda si uno o ambos extremo sufren un

desplazamiento.

Si conocemos los momentos generados en los extremos (MAB y MBA), es posible calcular por el 2° Teorema de Mohr los giros que los originan.

L3L

2L

EIM

3L2

2L

EIM

Lz

BAAB

BA

⋅

⋅−⋅

⋅

==ϕ

B A

P4P3

q Me

AB MeBA

B A

MAB

MBA

ϕA

ϕB

(-)

(+)

B A

ψ ∆

L




⋅⋅

−

⋅

⋅⋅=

EI6LM

EI6LM2 BAAB

Aϕ

( )BAABA MM2EI6

L−⋅

⋅=ϕ

Análogamente:

( )BAABB M2MEI6

L⋅+−

⋅=ϕ

Además debemos incluir el efecto de giro ψ debido al desplazamiento relativo de los apoyos:

( ) ψϕ +−⋅⋅

= BAABA MM2EI6

L

( ) ψϕ +⋅+−⋅

= BAABB M2MEI6

L

De estas ecuaciones es posible despejar el valor de los momentos flectores en los extremos (MAB y MBA), a los cuales se les debe sumar los efectos de las cargas externas (Me

AB y MeBA).

Finalmente las ecuaciones que define este método para cada elemento son las siguientes.

( ) eABBAAB M32

LEI2M +−+⋅= ψϕϕ

( ) eBABABA M32

LEI2M +−+⋅= ψϕϕ

Las estructuras entonces serán resueltas aplicando las ecuaciones de equilibrio a cada uno de los nudos y niveles de la estructura respetando la siguiente convención de signos:

Cabe hacer notar que esta ecuaciones sólo son válidas para barras homogéneas, esbeltas y prismáticas (sección constante). Para barras no prismáticas existen expresiones corregidas de mayor complejidad que se presentaran más adelante. Finalmente, cabe destacar, que si hacemos una comparación con el método de las fuerzas, este método presenta la ventaja de en algunos casos poder reducir el número de incógnitas del problema. El método de las fuerzas genera un sistema con un numero de incógnitas igual al número de redundantes, mientras que el método Slope & Deflection puede reducir el número de incógnitas a unas cuantas rotaciones y asentamientos en los nudos, aún en el caso de estructuras de muchos niveles.

(+) (+) (+)




Ejemplos: Ejemplo 1: Ejemplo 16.2 McCormac (Pág. 470) Ejemplo 2: Ejemplo 16.3 McCormac (Pág. 472) Ejemplo 3: Ejemplo 16.6 McCormac (Pág. 477) Ejemplo 4:

A

C

D

F

E B

2P

P

L

L

L

EI = cte




Barras No prismáticas Homogéneas No Esbeltas: En el caso de barras de sección variable y baja esbeltez, el corte asociado a las deformaciones no es despreciable, por lo tanto se obtiene los siguientes diagramas:

Además consideremos que los diagramas de momentos y corte de las cargas externas corresponden a 00 MxM =)( y 00 QxQ =)( . Entonces, aplicando carga unitaria obtendríamos:

2A1A0AA ϕϕϕϕ ++=

γϕ +−=Χ

+−

−= ∫∫ 10

L

0

L1

0L

0

Lx

o0A Cdx

GAQ

dxEI1M )·(·)·(

αϕ ··)·(·)·(

AB11AB

L

0

2L

1AB

L

0

2L

xAB

1A McMdxGA

Mdx

EI1M

+=Χ

+−

= ∫∫

αϕ ··)·(·))·(·(

BA12BA

L

0

2L

1BA

L

0

L1

Lx

BA2A McMdx

GAM

dxEI

1M+−=

Χ+

−−= ∫∫

MAB

MBA

B A

ϕ

ϕB

(-)(+)

B A ϕB

ϕ

A B

(+) (+)MAB/L

MBA/L

= +

−−=

Lx1MxM AB ·)(

=

L1MxQ AB ·)(

−−=

Lx

1xM )(

=

L1xQ )(

=

LxMxM BA ·)(

=

L1MxQ BA ·)(

=

LxxM )(

=

L1xQ )(




Entonces:

γαϕ +++−+−= )·(·· BAABBA12AB1110A MMMcMcC Análogamente:

γαϕ ++++−= )·(·· BAABBA22AB2120B MMMcMcC Finalmente:

( ) ( ) ( ) BA12AB1110A McMcC ·· ααγϕ −−++−−=

( ) ( ) ( ) BA22AB1220B McMcC ·· ααγϕ ++−−+= Puesto de otra forma:

BA12AB1110A MdMdD ·· −+−=ϕ

BA22AB1220B MdMdD ·· +−=ϕ Finalmente despejando los valores de momento y expresando las integrales en su versión de suma discreta, las ecuaciones de pendiente deflexión serán:

( ) eABABAABABAAAAB MKKKKM ++−+= ψϕϕ ···

( ) e

BABBABBBBAABBA MKKKKM ++−+= ψϕϕ ··· Donde:

( )2122211

22AA

dddd

K−

=·

( )2122211

11BB

dddd

K−

=·

( )2122211

12AB

dddd

K−

=·

( )2122211

20121022eAB

dddDdDd

M−

−=

···

( )2122211

10122011eAB

dddDdDd

M−

−−=

···

Donde además:

γ−= 1010 CD γ+= 2020 CD

α+= 1111 cd α+= 2222 cd α−= 1212 cd




Y finalmente:

( )∑∆

−

=k K

kk

k0

10 EI

xLx

1MC

·· ( )∑

∆

=k K

kk

k0

20 EI

xLx

MC

··

( )∑∆

−

=k K

k

2k

11 EI

xLx

1c

· ( )∑

∆

=k K

k

2k

22 EI

xLx

c·

( )∑∆

−

=k K

kkk

12 EI

xLx

Lx

1c

··

( )∑ ∆Χ=

k K

kk0k

LGAxQ

···

γ ( )∑ ∆Χ

=k

2K

kk

LGAx·

·α

Barras prismáticas Homogéneas No Esbeltas: Basados en las ecuaciones obtenidas anteriormente y aplicando las condiciones de barras prismáticas, esto es:

( ) CteGA K

k =Χ

Entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0MMLGA

dzdz

dMLGA

dzQLGA

dzLGA

Q00L0

L

0

0L

00

L

0

0 =−Χ

=

Χ=

Χ=

Χ= ∫∫∫ )()(····

·γ

Pues, 0MM 00L0 == )()( , momentos en los nodos.

( ) ( )∫Χ

=Χ

=L

02 LGA

dxLGA ··

α

Así:

( )( )( ) ( )β+=

Χ+=

Χ+== 2

EI6L

LGAEI62

EI6L

LGAEI3Ldd 2211 ·

···

( )( )( ) ( )β−=

Χ−=

Χ−= 1

EI6L

LGAEI61

EI6L

LGAEI6Ld12 ·

····

·




Donde:

( )

( ) 2LGAEI6

··· Χ

=β

Reemplazando los factores en los coeficientes y estos en las ecuaciones correspondientes, acaba por entregarnos:

( ) ( ) ( )( ) eABBAAB M312

21LEI2M +−−++⋅+

= ψϕβϕββ

···

( ) ( ) ( )( ) eBABABA M321

21LEI2M +−++−⋅+

= ψϕβϕββ

··

En el caso de sección rectangular:

2

Lh51

= ·.β




Ejemplo 5: Calcular los coeficientes de la ecuación de deformación angular, para las barras del marco

de la figura. Determine los diagramas de momento y corte cuanto el punto D del marco desciende 3 cm.

0.5 [m]

−= x10

sen501e ··. π

e [m]

10 [m]

1 [m]

5 [m]

0.6 [m]

0.6 [m] 3 [m]

A

B C

D

∆ = 0.03 [m]

E = 300000 [Kg/cm2] b = 30 cm

Análisis de Estructuras Capítulo 5 – Método de la Rigidez Enfoque Matricial

66 Claudio Oyarzo V.


Capítulo 5

Método de la Rigidez. Enfoque matricial.

1 Preámbulo Como parte final de este curso se estudiara un enfoque especifico del método de los desplazamientos. Este método conocido como método de la rigidez corresponde a un método matricial que permite la resolución de todo tipo de estructuras y se basa en la construcción y operación de las matrices de rigidez de cada elemento y global de la estructura, los vectores de fuerzas externas y vectores de desplazamiento. Dada la simplicidad de la metodología y lo estructurado de los algoritmos de resolución mediante este método, ha sido el utilizado en forma privilegiada en la construcción de métodos computacionales y el diseño de herramientas informáticas que ayuden al ingeniero en el análisis de las estructuras y la determinación de sus reacciones de apoyo y esfuerzos internos. En este punto, cabe recordar lo aprendido en cursos anteriores respecto a los materiales que cumplen con la ley de Hooke. En ellos la deformación debido a una fuerza externa es proporcional a dicha carga, esto es:

∆⋅= KF A esta constante de proporcionalidad K, llamaremos Rigidez.




2 Matriz de rigidez elementos tipo Barra. Enrejados.

2.1 Análisis Bidimensional Considere un elemento tipo barra, el cual puede ser sometido sólo a esfuerzos de tracción y compresión. Ubicado sobre el plano de la forma en que se indica en la figura.

Se han definido 1u y 2u : Grados de libertad locales.

1d , 2d , 3d y 4d : Grados de libertad globales.

1s y 2s : Fuerzas axiales. θx : Ángulo de la barra respecto al eje x. θy : Ángulo de la barra respecto al eje y.

Consideremos entonces la barra respecto a sus grados de libertad locales.

1. Sometida a una carga que genere una deformación positiva en el punto 1.

Entonces

11111 kL

AEs ∆=∆= ··

11212 kL

AEs ∆=∆−= ··

1u

2u

1s

2s

1d

2d 3d

4d

x

y

θx

θy

1

2

1u 2u1s 2s

1∆




2. Sometida a una carga que genere una deformación positiva en el punto 2.

Entonces

22121 kL

AEs ∆=∆−= ··

22222 kL

AEs ∆=∆= ··

3. La acción conjunta entonces será.

Entonces

212111211 kkL

AEL

AEs ∆+∆=∆−∆= ····

222121212 kkL

AEL

AEs ∆+∆=∆+∆−= ····


∆

∆⋅

=

2

1

2221

1211

2

1

kk

kk

s

s

∆∆

⋅

−

−=

2

1

2

1

LAE

LAE

LAE

LAE

ss

{ } [ ] { }uks ⋅=

La matriz [ ]k es conocida como Matriz de Rigidez del elemento respecto a sus grados de libertad locales.

1u 2u1s 2s2∆

1u 2u1s 2s

2∆1 ∆




[ ]

−

−⋅=

11

11

LAEk

Pero para poder operar esta matriz con el resto de los elementos de la estructura es necesario convertirla a los grados de libertad globales (compatibilidad geométrica). Esto se realiza mediante la matriz de transformación [ ]T .

[ ]

=

yx

yx

0000

Tθθ

θθcoscos

coscos

Donde:

Lxx 12

x−

=θcos

Lyy 12

y−

=θcos

( ) ( )2122

12 yyxxL −+−=




2.2 Análisis Tridimensional El análisis anterior es posible hacerlo extensivo al espacio tridimensional.

Se han definido

1u y 2u : Grados de libertad locales.

1d , 2d , 3d , 4d , 5d y 6d : Grados de libertad globales.

1s y 2s : Fuerzas axiales. θx : Ángulo de la barra respecto al eje x. θy : Ángulo de la barra respecto al eje y. θz : Ángulo de la barra respecto al eje z.

Se aplica el mismo razonamiento, por lo que se obtiene que la Matriz de Rigidez del elemento respecto a sus grados de libertad locales también es:

[ ]

−

−⋅=

1111

LAEk

Pero la matriz de transformación será:

[ ]

=

zyx

zyx 00

000

0T

θθθ

θθθ

coscoscos

coscoscos

Donde:

1u

2u

1s

2s

2d

3d

5d

6d

y

z

θy

θz

1

2

1d

x

4dθx




Lxx 12

x−

=θcos

Lyy 12

y−

=θcos

Lzz 12

z−

=θcos

( ) ( ) ( )2122

122

12 zzyyxxL −+−+−=




3 Matriz de rigidez elementos tipo Viga. Marcos.

3.1 Análisis Bidimensional Considere un elemento tipo viga, el cual puede ser sometido a esfuerzos de tracción-compresión, corte y flexión. Ubicado sobre el plano de la forma en que se indica en la figura.Se han definido

1u , 2u , 3u , 4u , 5u y 6u : Grados de libertad locales.

1d , 2d , 3d , 4d , 5d y 6d : Grados de libertad globales.

1s y 4s : Fuerzas axiales.

2s y 5s : Fuerzas de corte.

3s y 6s : Momentos Flectores. θx : Ángulo de la barra respecto al eje x. θy : Ángulo de la barra respecto al eje y.

6d

x

y

θx

θy

1

2

1u

2u

1s

2s1d

2d 3d

3u

3s

4u 4s

5s

4d

5d5u

6s6u




Consideremos entonces la barra respecto a sus grados de libertad locales.

1. Sometida a una carga que genere una deformación positiva en dirección 1u .

Entonces

11111 kL

AEs ∆=∆= ··

0s2 = 0s3 =

11414 kL

AEs ∆=∆−= ··

0s5 = 0s6 =

2. Sometida a una carga que genere una deformación positiva dirección 4u .

Entonces

44141 kL

AEs ∆=∆−= ··

0s2 = 0s3 =

44444 kL

AEs ∆=∆= ··

0s5 = 0s6 =

1u 4u1s 4s

1∆

1u 4u1s 4s4∆





Entonces 0s1 =

222232 kLEI12s ∆⋅=∆⋅=

223223 kLEI6s ∆⋅=∆⋅=

0s4 =

225235 kLEI12s ∆⋅=∆⋅−=

226226 kLEI6s ∆⋅=∆⋅=


Entonces 0s1 =

552532 kLEI12s ∆⋅=∆⋅−=

553523 kLEI6s ∆⋅=∆⋅−=

0s4 =

555535 kLEI12s ∆⋅=∆⋅=

556526 kLEI6s ∆⋅=∆⋅−=

2u

2s

2∆

5s

3s

6s

5u

2s 5∆

5s

3s6s





Entonces 0s1 =

332322 kLEI6s ∆⋅=∆⋅=

33333 kLEI4s ∆⋅=∆⋅=

0s4 =

335325 kLEI6s ∆⋅=∆⋅−=

33636 kLEI2s ∆⋅=∆⋅=


Entonces

0s1 =

662622 kLEI6s ∆⋅=∆⋅=

66363 kLEI2s ∆⋅=∆⋅=

0s4 =

665625 kLEI6s ∆⋅=∆⋅−=

66666 kLEI4s ∆⋅=∆⋅=

3u

2s

3∆

5s

3s6s

6u

2s6∆

5s

3s6s




La acción conjunta entonces será entonces:

441111411 kkL

AEL

AEs ∆+∆=∆−∆= ····

662552332222625332232 kkkkLEI6

LEI12

LEI6

LEI12s ∆⋅+∆⋅+∆⋅+∆⋅=∆⋅+∆⋅−∆⋅+∆⋅=

6635533332236523223 kkkkLEI2

LEI6

LEI4

LEI6s ∆⋅+∆⋅+∆⋅+∆⋅=∆⋅+∆⋅−∆⋅+∆⋅=

444114414 kkL

AEL

AEs ∆+∆=∆+∆−= ····

665555335225625332235 kkkkLEI6

LEI12

LEI6

LEI12s ∆⋅+∆⋅+∆⋅+∆⋅=∆⋅−∆⋅+∆⋅−∆⋅−=

6665563362266523226 kkkkLEI4

LEI6

LEI2

LEI6s ∆⋅+∆⋅+∆⋅+∆⋅=∆⋅+∆⋅−∆⋅+∆⋅=


∆

∆

∆

∆

∆

∆

⋅

=

6

5

4

3

2

1

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

s

s

s

s

s

s

∆

∆

∆

∆

∆

∆

⋅

−

−−−

−

−

−

−

=

6

5

4

3

2

1

22

2323

22

2323

6

5

4

3

2

1

LEI4

LEI60

LEI2

LEI60

LEI6

LEI120

LEI6

LEI120

00L

AE00L

AELEI2

LEI60

LEI4

LEI60

LEI6

LEI120

LEI6

LEI120

00L

AE00L

AE

s

s

s

s

s

s

{ } [ ] { }uks ⋅=




La matriz [ ]k es conocida como Matriz de Rigidez del elemento respecto a sus grados de libertad locales.

[ ]

−

−−−

−

−

−

−

=

LEI4

LEI60

LEI2

LEI60

LEI6

LEI120

LEI6

LEI120

00L

AE00L

AELEI2

LEI60

LEI4

LEI60

LEI6

LEI120

LEI6

LEI120

00L

AE00L

AE

k

22

2323

22

2323

Pero para poder operar esta matriz con el resto de los elementos de la estructura es necesario convertirla a los grados de libertad globales (compatibilidad geométrica). Esto se realiza mediante la matriz de transformación [ ]T .

[ ]

−

−

=

100000

0000

0000

000100

0000

0000

T

xy

yx

xy

yx

θθ

θθ

θθ

θθ

coscos

coscos

coscos

coscos

Donde:

Lxx 12

x−

=θcos

Lyy 12

y−

=θcos

( ) ( )2122

12 yyxxL −+−=




3.2 Análisis Tridimensional El análisis anterior es posible hacerlo extensivo al espacio tridimensional.

Se han definido

1u y 7u : Grados de libertad locales axiales.

2u , 3u , 8u y 9u : Grados de libertad locales de corte.

4u y 10u : Grados de libertad locales de torsión

5u , 6u , 11u y 12u : Grados de libertad locales tipo giros.

1d y 7d : Grados de libertad globales de desplazamiento en x.

2d y 8d : Grados de libertad globales de desplazamiento en y.

3d y 9d : Grados de libertad globales de desplazamiento en z.

4d y 10d : Grados de libertad globales de giro en torno a x .

5d y 11d : Grados de libertad globales de giro en torno a y.

6d y 12d : Grados de libertad globales de giro en torno a z.

1s y 7s : Fuerzas axiales.

2s , 3s , 8s y 9s : Fuerzas de corte.

4s y 10s : Momentos Torsores.

5s , 6s , 11s y 12s : Momentos Flectores. θx : Ángulo de la barra respecto al eje x. θy : Ángulo de la barra respecto al eje y. θz : Ángulo de la barra respecto al eje z.

x

2d

3d

5d

6d

y

z

θy

θz

1

2

1d

4d

θx

8d

9d

11d

12d

7d

10d




Se aplica el mismo razonamiento, por lo que se obtiene que la Matriz de Rigidez del elemento respecto a sus grados de libertad locales pero se incluye el efecto de la torsión, por lo tanto al matriz de rigidez del elemento según sus grados de libertad locales es :

[ ]

−

−

−

−

−−−

−

−

−

−

−−−

−

−

=

LEI4000

LEI60

LEI2000

LEI60

0LEI4

00000LEI2

0LEI6

00

00L

GJ00000L

GJ000

000LEI12

000LEI6

0LEI12

00

LEI6000

LEI120

LEI6000

LEI120

00000L

AE00000L

AELEI2000

LEI60

LEI4000

LEI60

0LEI2

0LEI6

000LEI4

0LEI6

00

00L

GJ00000L

GJ000

0LEI6

0LEI12

000LEI6

0LEI12

00

LEI6000

LEI120

LEI6000

LEI120

00000L

AE00000L

AE

k

x2

xx2

x

yy2

y

3y

2y

3y

2x

3x

2x

3x

x2

xx2

x

y2

yy2

y

2y

3y

2y

3y

2x

3x

2x

3x

Pero la matriz de transformación será:

[ ]

[ ][ ]

[ ][ ] 12x12T000

0T0000T0000T

T

=

**

**

Donde:

[ ]( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

++−

+−+

+−=

2z

2x

x2

z2

x

z

2z

2x

zy2z

2x2

z2

x

yx

zyx

0

T

θθ

θ

θθ

θθθ

θθθθ

θθ

θθθθθ

coscos

cos

coscos

coscoscos

·coscoscoscos

coscos

·coscoscoscoscos

*

Donde:

Lxx 12

x−

=θcos L

yy 12y

−=θcos

Lzz 12

z−

=θcos

( ) ( ) ( )2122

122

12 zzyyxxL −+−+−=




Finalmente debemos hacer notar que si :

( ) ( ) 02z

2x =+ θθ coscos

La matriz [ ]*T no esta definida. En este caso:

[ ]

−=

100

00

00

T y

y

θ

θ

cos

cos

*

4 Matriz de rigidez global. Del análisis anterior hemos determinado que la relación existente entre las deformaciones en coordenadas locales y las fuerzas actuantes en dichas direcciones es:

{ } [ ] { }uks i ⋅= (1) Si deseamos convertir la anterior ecuación a un sistema de coordenadas globales, podemos utilizar las ecuaciones de compatibilidad geométrica, que relacionan los grados de libertad locales con los grados de libertad globales mediante la matriz de transformación correspondiente:

{ } [ ] { }dTu ⋅= (2) Por lo tanto reemplazando en (1):

{ } [ ] [ ] { }dTks i ⋅⋅= (3) Además, podemos establecer las ecuaciones de equilibrio. En ellas se debe comprobar que la las componentes en los grados de libertad globales resultante de las cargas externas debe ser igual a las fuerzas internas expresadas en el mismo sistema de coordenadas (globales), esto es:

{ } [ ] { }WTs ⋅=

O bien :

{ } [ ] { }sTW 1 ·−= Que dadas las propiedades de la matriz [ ]T se puede demostrar que [ ] [ ]T1 TT =− , por lo tanto:




{ } [ ] { }sTW T ·= Volviendo a la ecuación (3), obtenemos:

{ } [ ] [ ] { }dTks i ⋅⋅= Premultiplicando por [ ]TT , se tiene:

[ ] { } [ ] [ ] [ ] { }dTkTsT i

TT ⋅⋅⋅=⋅ { } [ ] [ ] [ ] { }dTkTW i

T ⋅⋅⋅=

{ } [ ] { }dkW i ⋅= Donde la matriz [ ]k se conoce como matriz de rigidez del elemento referido a los grados de libertad globales:

[ ] [ ] [ ] [ ]TkTk iT

i ⋅⋅= Mediante la metodología antes expuesta es posible obtener las matrices de rigidez de cada uno de los elementos referidos a grados de libertad globales. Esto se realiza operando matrices de manera muy simple. Solo resta, entonces, ensamblar utilizando las matrices [ ]k de cada elemento de manera adecuada a fin de obtener la matriz de rigidez de la estructura completa [ ]K , en que se considera como aporta la rigidez de cada elemento en las resistencia a la deformación en los diferentes grados de libertad, previamente definidos.

5 Modelación.

5.1 Ensamble de la matriz de Rigidez de la estructura. Una vez que todas las matrices de rigidez de los elementos se han expresado en coordenadas globales, resulta necesario ensamblarlas en el orden apropiado para poder encontrar la matriz de rigidez de la estructura completa [ ]K . Este proceso de combinar las matrices de cada elemento depende de una cuidadosa identificación de las componentes de cada matriz. Para lograr lo anterior es necesario enumerar cada uno de los nodos de la estructura, luego enumerar cada elemento y direccionarlos a fin de determinar sus grados de libertar locales. En seguida, para cada nodo, indicar los grado de libertar globales. Cada componente de las matrices de rigidez de los elementos corresponderá al efecto que dicho elemento ejerce sobre el grado de libertad global correspondiente de la estructura, y por lo tanto, se le asignara una posición determinada (fila-columna) en la matriz de rigidez global de




la estructura [ ]K . Las dimensiones de la matriz [ ]K , entonces, quedarán definidas por el numero de grados de libertad de la estructura. Para entender mejor, veamos un ejemplo. Ejemplo 1: Determinar la matriz de rigidez de la siguiente estructura. Considere AE igual para todas la barras.

Desarrollo:

1) Enumerar Nodos, Enumerar Barras y direccionarlas.

2) Identificar los grados de libertad globales (incógnitas).

1 2

3 4

1

32

4

5

6

d1

d2

d3 d4

d5

2 m

2 m




3) Definir las matrices de rigidez por elemento en coordenadas locales [ ]ik y sus matrices

de transformación [ ]iT .

[ ] ( )

−

−⋅=

11

11

LAEk

i

ii [ ]

=

yx

yx

i00

00T

θθ

θθ

coscos

coscos

Luego:

[ ]

−

−⋅=

11

11

2AEk1 [ ]

=

0100

0001T1

[ ]

−

−⋅=

11

11

2AEk2 [ ]

=

1000

0010T2

[ ]

−

−⋅=

11

11

22AEk3 [ ]

=

22

2200

0022

22

T3

[ ]

−

−⋅=

11

11

22AEk4 [ ]

−

−=

22

2200

0022

22

T4

[ ]

−

−⋅=

11

11

2AEk5 [ ]

=

0100

0001T5

[ ]

−

−⋅=

11

11

2AEk6 [ ]

=

1000

0010T6

4) Definir las matrices de rigidez por elemento en coordenadas globales [ ]ik .

[ ] [ ] [ ] [ ]TkTk i

Ti ⋅⋅=

Luego:




[ ]

5

2

1

1

521

d0dd

00000500500000050050

AEk

d0dd

−

−

⋅=..

..

[ ]

4

3

2

1

2

4321

dddd

5005000000

5005000000

AEk

dddd

−

−⋅=

..

..

[ ]

00dd

1760176017601760176017601760176017601760176017601760176017601760

AEk

00dd

2

1

3

21

−−−−

−−−−

⋅=

....

............

[ ]

5

4

3

4

543

d0dd

176017601760176017601760176017601760176017601760

1760176017601760

AEk

d0dd

−−−−−−

−−

⋅=

............

....

[ ]

00dd

00000500500000050050

AEk

00dd

4

3

5

43

−

−

⋅=..

..

[ ]

00d0

5005000000

5005000000

AEk

00d0

56

5

−

−⋅=

..

..




En la matrices se ha indicado a que grado de libertad de la estructura corresponde cada componente.

5) Ensamble de la matriz de rigidez de la estructura en coordenadas globales [ ]K . Debido

a que existen 5 grados de libertad la matriz tendrá dimensiones 5x5.

[ ]

5

4

3

2

1

54321

ddddd

501760176017600017601760501760500

1760176050176000050017605017600001760176050

AEK

ddddd

+−−+−−

−+−+

+

⋅=

.........

........

...

[ ]

5

4

3

2

1

54321

ddddd

67601760176000176067601760500

1760176067600005006760176000017606760

AEK

ddddd

−−−−

−−

⋅=

.......

......

..




6) Generar la ecuación de rigidez de la estructura. { } [ ] { }dKW ⋅=

{ }

−

−−−

−

−

⋅=

5

4

3

2

1

d

d

d

d

d

67601760176000

176067601760500

17601760676000

050067601760

00017606760

AEW ·

...

....

...

...

..




5.2 Condiciones de Apoyo. Definición de Grados de libertad activos. (Vectores de conectividad).

Como se ve en el ejemplo anterior, solo algunos grados de libertad de todos los posibles son los que participan de la deformación de la estructura, vale decir, solo algunos, están activos. Por lo tanto de las matrices de rigidez de cada elemento se elegirán solo aquellos activos y que irán a ensamblar la matriz global, tal como se vio anteriormente. Esto significa que no es necesario calcular todas y cada una de las componentes de la matriz, sino que bastaría solo con calcular aquellas activas. Este análisis es posible realizarlo utilizando los vectores de conectividad, los que se debe definir antes de obtener la matrices [ ]ik , para poder definir aquellas componentes útiles, y también nos servirán para completar la matriz global. Estos vectores de conectividad corresponde a las filas y columnas que hemos dispuesto en las matrices de ejemplo anterior para indicar el significad de cada elemento en la matriz, Volvamos a dicho ejemplo:

Los vectores de conectividad serán:

5021C1 =

4321C2 =

0021C3 =

5043C4 =

0043C5 =

0050C5 = Las ubicación de la componente en el vector se refiere al grado de libertad global en la matriz del elemento, el número contenido en dicha ubicación indica el lugar que ocupa en la matriz de

d1

d2

d3 d4

d5

1

32

4

5

6




la estructura. Así en el caso de la matriz [ ]1k se utilizaran las componentes de la 1, 2, y 4 fila y columna. Y se ubicaran de la siguiente forma:

11111 Kk → 12

112 Kk → 15

114 Kk →

21121 Kk → 22

122 Kk → 25

124 Kk →

51141 Kk → 52

142 Kk → 55

144 Kk →

Donde: n

jkk = componente de rigidez jk del elemento n

jkK = componente de rigidez jk de la matriz de la estructura

Entonces:

5021C1 = [ ]

⋅=

0xx00xxxxxxxx0xx000xx050

AEk1

.

4321C2 = [ ]

−

−⋅=

5005000000

5005000000

AEk2

..

..

0021C3 = [ ]

⋅=

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx17601760xxxx17601760

AEk3

..

..

5043C4 = [ ]

−

−−−

⋅=

1760xx17601760xxxxxxxx1760xx17601760

1760xx17601760

AEk4

...

......

0043C5 = [ ]

⋅=

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx00xxxx050

AEk5

.




0050C5 = [ ]

⋅=

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx50xxxxxxxxxx

AEk6

.

Así:

[ ]

++++++++++

++++++++

⋅=

622

444

144

442

441

142

141

424

522

422

244

521

421

243

242

241

414

512

412

234

511

411

233

232

231

124

224

223

322

222

122

321

221

121

114

214

213

312

212

112

311

211

111

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

AEK

[ ]

−−−−

−−

⋅=

67601760176000176067601760500

1760176067600005006760176000017606760

AEK

.......

......

..

5.3 Vector de cargas externas.

5.3.1 Caso Cargas Nodales En este caso se supone que las cargas sobre el sistema están aplicadas directamente sobre los nudos, vale decir en los grados de libertad del problema. En este caso la definición del vector de carga es inmediata. Ejemplo 2: Enrejado.

d1

d2

d3 d4 d5

d6

5

15 10

{ }

−

=

0100

155

0

W




5.3.2 Caso General Se empleará en este caso las ecuaciones de equilibrio para vigas doblemente empotradas y el principio de superposición, traspasando las cargas a los nudos. Ejemplo 3: Marco.

q P

d1

d2 d3

d4

d5 d6

L

+ = qL/2

qL/2

qL2/12 qL2/12 q

N1(x) M1(x) Q1(x)

P

qL/2 qL/2

qL2/12 qL2/12

N2(x) M2(x) Q2(x)

{ }12qL

2qL0

12qL

2qLPW

22T −−−=

N(x) = N1(x)+N2(x) M(x) = M1(x)+M2(x) Q(x) = Q1(x)+Q2(x)




5.3.3 Caso Térmico En este caso la aplicación también es directa en los grados de libertad correspondiente

( )

EA2

TTN is ··

∆+∆= α

( )EI

hTT

M si ··∆−∆

= α

5.4 Cálculo de Esfuerzos internos. De las ecuaciones de equilibrio presentadas en la sección 4 tenemos que:

{ } [ ] { }uks i ⋅= { } [ ] { }dTu ⋅= { } [ ] [ ] { }dTks i ⋅⋅=

Como ya se han obtenido los valores numéricos correspondientes al vector { }d es posible conseguir explícitamente la magnitud de los esfuerzos internos, lo mismo que las deformaciones relativas { }u .

iT∆

sT∆N N

M M




Problema: En el Marco mostrado en la figura, calcular y dibujar la configuración deformada y obtener las reacciones en el apoyo A.

q = 2 Ton/m P = 4 Ton EI = 103 T·m2

EA = 104 T

P

4 m 3 m

2 m

2 m

q

A

B C

D




6 Condiciones de modelación

6.1 Elementos Axialmente Indeformables.

Deformación axial: 14 uu −=δ

y2x1y5x4 dddd θθθθδ coscoscoscos −−+= Condición de indeformabilidad axial: 0=δ

y2x1y5x4 dddd0 θθθθ coscoscoscos −−+=

Se elimina un grado de libertad.

Casos particulares:

a. Barra horizontal: 2

0

y

x

πθ

θ

=

=

01

y

x

=

=

θθ

coscos

14 dd0 −= 14 dd =

b. Barra vertical: 0

2y

x

=

=

θ

πθ

10

y

x

==

θθ

coscos

25 dd0 −= 25 dd =

6.2 Elementos Rotulados. Condición de rótula:

Momento = 0 W6 = 0 En la ecuación

{ } [ ] { } 1x66x61x6 dKW ⋅=

La primera ecuación será:

6165154143132121111 dkdkdkdkdkdkW ······ +++++=

6d

x

y

θx

θy

1u 1d

2d 3d

4u

4d

5d

6W

x

y

1W

2W 3W 4W

5W

Rótula




La sexta ecuación será:

6665654643632621616 dkdkdkdkdkdkW ······ +++++= La condición de rótula impone:

666565464363262161 dkdkdkdkdkdk0 ······ +++++= Por lo tanto, d6 no es incógnita y se incluye la ecuación adicional:

566

654

66

643

66

632

66

621

66

616 d

kk

dkk

dkk

dkk

dkk

d ····· −−−−−=

Que se debe reemplazar en la ecuaciones anteriores. Por lo tanto, se llega a una nueva ecuación de la siguiente forma:

{ } [ ] { } 1x55x51x5 dKW ⋅= **

6.3 Condiciones de Simetría. Una adecuada comprensión de las condiciones de simetría mecánicas o geométricas de una estructura ayudará a reducir el número de grados de libertad a determinar en una estructura. Ejemplo 1:

P P

Eje de Simetría

P

Eje de Simetría

=

despl.. vertical libre Corte = 0




Ejemplo 2:

6.4 Condiciones de Borde.

Condición geométrica: dxtgdy ⋅= α Lo anterior implica modificar la ecuación del sistema global, reduciendo el numero de incógnitas. (Método muy ineficiente).

Eje de simetría

mecánico Momento = 0

P P P

=

α

dy

dx




6.5 Elementos con secciones rígidas. Modelo:

Sección flexible:

Ecuación de rigidez: { } [ ] { }dkW ⋅= Ecuaciones de compatibilidad:

11311 senLDDd α·⋅−=

11322 LDDd α·cos⋅+=

33 Dd =

22644 senLDDd α·⋅−=

22655 LDDd α·cos⋅+=

66 Dd = Ecuación matricial de compatibilidad: { } [ ] { }DTd 6x6D1x6 ⋅= Donde:

[ ]

−

−

=

100000L10000

senL01000000100000L10000senL01

T

22

22

11

11

6x6D

αα

αα

·cos·

·cos·

θx

α1

α2

L1

L2

L

Secciones Rígidas

Sección Flexible

D1

D4

d1

D6

D5

D3

D2

d3 d2

d4

d5

d6

y

x

θxL

d1

d3 d2

d4

d5 d6

y

x




Entonces:

{ } [ ] { }dkW ⋅= { } [ ] [ ] { }DTkW D ⋅⋅=

[ ] { } [ ] [ ] [ ] { }DTkTWT DT

DT

D ⋅⋅⋅=⋅

IDEA MODELO




7 Método de Reducción Matricial. Condensación Estática. Supongamos que la matriz de rigidez [ ]K de un sistema estructural ha sido generada con respecto a todos sus grados de libertad. El objetivos del método de reducción matricial conocido como Condensación estática será reducir el las dimensiones de la matriz de rigidez de tal manera que incluya sólo los grados de libertad de interés (grados de libertad activos).

{ } [ ] { }AAA DKW ⋅= Consideremos la siguiente estructura, de la cual solo nos interesa determinar los desplazamiento horizontales de cada nivel.

Si se reordenan los grados de libertad activos de tal manera de dejarlos en los primeros lugares de la ecuación j

jiji dKW ⋅= ∑ , vale decir, mediante la permutación de filas y columnas

dejarlos en la parte superior del vector de desplazamiento se obtiene:

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

⋅

=

ΙΙΙΙ

Ι

Ι DD

KKKK

WW A

A

AAAA (1)

Donde el subíndice A significa Activo y el subíndice I significa Inactivo. Entonces:

[ ] { } [ ] { } { }AAAAA WDKDK =⋅+⋅ ΙΙ (2) [ ] { } [ ] { } { }ΙΙΙΙΙ =⋅+⋅ WDKDK AA (3)

Reordenando de (3):

Axialmente Indeformable

{ } [ ] { }DKW 15x15 ⋅=

15 grados de libertad d3

d2

d1

d1 , d2 y d3 : g. l. activos




{ } [ ] { } [ ] { }( )AA1 DKWKD ⋅−⋅= ΙΙ−

ΙΙΙ (4) Reemplazando (4) en (2):

[ ] { } [ ] [ ] { } [ ] { }( ) { }AAA1

AAAA WDKWKKDK =⋅−⋅⋅+⋅ ΙΙ−

ΙΙΙ

[ ] { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } { }AAA1

A1

AAAA WDKKKWKKDK =⋅⋅−⋅+⋅ Ι−

ΙΙΙΙ−

ΙΙΙ

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) { } { } [ ] [ ] { }Ι−ΙΙΙΙ

−ΙΙΙ ⋅−=⋅⋅− WKKWDKKKK 1

AAAA1

AAA Definiendo:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]A1

AAAA KKKKK Ι−

ΙΙΙ ⋅−=

{ } { } [ ] [ ] { }Ι−ΙΙΙ ⋅−= WKKWW 1

AAA { } { }AA DD =

Entonces:

{ } [ ] { }AAA DKW ⋅=


15 grados de libertad


3 grados de libertad

d3

d2

d1




8 Modelación de edificios. Modelo:

Ecuación global: [ ] { } { }WDK =⋅ Condensación estática: [ ] { } { }AAA WDK =⋅ Grados de libertad actívos: ijd

Eje resistente: [ ] { } { }jjnxnj WdK =⋅

xi, ui

yi, vi

θi

Rij

αij

Nivel i Diafragma

Infinitamente Rígido

Eje Resistente j (Rij αij)

Wij dij dij : Grado de libertad

dij

Nivel i

Eje resistente j




8.1 Matriz de Rigidez. Sea n el número de niveles, entonces, si se tiene un eje resistente j:

Por condensación estática es posible obtener:

{ }{

[ ] { }{

esHorizontalDespl

j

HorizontalRigidez

deMatriz

nxnj

fuerzasde

vector

j dKP.

⋅=321

Donde: { }

=

nj

j2

j1

j

P

PP

PM

{ }

=

nj

j2

j1

j

d

dd

dM

Las ecuaciones de compatibilidad geométrica se extraen de la siguiente figura:

( ) ( ) iijiijiijij Rvusend θαα ⋅+⋅+⋅−= cos con i = 1, .., n

Expresado en forma matricial se obtiene:

{ } [ ] { }qTd j1nxij ⋅=

dnj

d1j

d2j

d3j

xi

yi

θi

Rij

αij

Nivel i

dij

vi

ui

Elemento j




Donde:

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ]

n3nDiagonalMatriz

ijnxnijnxnijj

00

0R0

00

senT

+

Ι⋅Ι⋅−=

44 344 21O

O

αα cos

{ }

=

n

1

n

1

n

1

v

vu

u

q

θ

θM

M

M

Consideremos el elemento resistente j:

{ } [ ] { }1nxjnxnj1nxj dKP ⋅= (1)

Además:

{ } [ ] { } 1nx3n3nxj1nxj qTd ⋅= (2) Premultiplicando (2) por [ ]

nxnjK :

[ ] { } [ ] [ ] { } 1nx3n3nxjnxnj1nxjnxnj qTKdK ⋅⋅=⋅ (3) Reemplazando (1) en (3):

{ } [ ] [ ] { } 1nx3n3nxjnxnj1nxj qTKP ⋅⋅= (4) Premultiplicando (4) por [ ]T

nxn3jT :




[ ] { } [ ] [ ] [ ] { } 1nx3n3nxjnxnjT

nxn3j1nxjT

nxn3j qTKTPT ⋅⋅⋅=⋅ (5)

{ } [ ] [ ] [ ] { }3214444 34444 2143421

EdificiodellibertaddeGrados

1nx3

resistenteejeunsólodoconsideranEdificiodelRigidezdeMatriz

n3nx3

n3nxjnxnjT

nxn3j

Equilibriode

ciónTransforma

1nx3j qTKTQ ⋅⋅⋅= (6)

Multiplicando se obtiene:

( ) ( )

[ ] [ ] [ ]

( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] [ ]

( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ]

( ) [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

( )

( )

j

j

j

jjj

R

sen

jjjjjjjjj

jjjjj2

jjj

jjjjjjjj2

n3nxjnxnjT

nxn3j

Rsen

RKRRKRKsen

RKKKsen

RKsenKsenKsen

TKT α

α

αα

αα

αααα

αααα

cos

cos

cos

coscoscos

cos −

⋅⋅⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅−⋅−⋅

=⋅⋅

Si se considera que el edificio cuenta con m eje resistentes, entonces la matriz de rigidez global de todo el sistema estará dada por:

[ ]

( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] [ ]

( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ]

( ) [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

⋅⋅⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅−⋅−⋅

=

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

===

===

===

m

1jjjj

m

1jjjj

m

1jjjj

m

1jjjj

m

1jjj

2m

1jjjj

m

1jjjj

m

1jjjj

m

1jjj

2

n3nx3

RKRRKRKsen

RKKKsen

RKsenKsenKsen

K

αα

αααα

αααα

cos

coscoscos

cos

Finalmente se procede de la siguiente forma: Resolviendo { } [ ] { } 1nx3n3nx31nx3 qKQ ⋅= se obtiene { } 1nx3q Conocido { } 1nx3q por ecuaciones de compatibilidad obtenemos { } [ ] { }qTd j1nxj ⋅= Conocidos los { }

1nxjd determinamos los esfuerzos internos de cada elemento (Mto, corte, axial).




8.2 Fuerzas Inerciales. Matriz de Masas.

Caso Discreto:

⋅

••

••

••

)(

)(

)(

t

tv

tu

M

i

i

i

3x3

i

θ

Si iu , iv , iθ son desplazamientos virtuales, entonces el trabajo virtual realizado por las fuerzas inerciales es:

[ ] Virtual

i

i

i

i

T

i

i

i

Wvu

Mvu

=

⋅

••

••

••

θθ

Caso Continuo: Fuerzas de Inercia debido a la distribución continua de masa.

{ i

erficiedeunidadpormasadeóndistribucinAceleració

AdyxFdr

321&&

r⋅⋅=

→

sup

),(µδ

iA

AdyxFi

r&&

r∫ ⋅

⋅=→

),(µδ

xi

yi

θi

(x,y)

Nivel i

vi

ui

δr




Si →

δ es el vector de desplazamientos virtuales, entonces el trabajo virtual realizado por las fuerzas inerciales es:

iA

Virtual AdyxWi

r&&∫ ⋅⋅⋅=

→→

),(µδδ

Pero:

( ) ( ) jviu ixiiyiˆˆ ⋅++⋅−=

→

θθδ


→

θθδ &&&&&&&&&&


→

θθδ De donde:

[ ] iA

i

i

i

i

T

i

i

i

Adyxvu

Mvu

i

r&&∫ ⋅⋅⋅=

⋅

→→

••

••

••

),(µδδθθ

Por lo tanto el trabajo virtual según un modelo discreto y según un modelos continuo son iguales.

[ ]

⋅

=⋅

••

••

••

→→

i

i

iT

i

i

i

vu

Bvu

θθδδ &&

⋅

+−

−

=⋅

••

••

••

→→

i

i

i

22

T

i

i

i

vu

yxxyx10y01

vu

θθδδ &&

Entonces:

⋅

⋅

=⋅⋅⋅

••

••

••

→→

∫i

i

i

i

T

i

i

i

A

vu

Mvu

Adyxi θθ

µδδr

&& ),(




[ ]

⋅

=⋅⋅⋅

••

••

••

→→

∫∫i

i

i

iA

T

i

i

i

A

vu

dAyxBvu

Adyxii θ

µθ

µδδ ·),(·),(r

&&

Luego la matriz de masas es:

[ ]

( )

−

−

=

+−

−

=

∫∫∫

∫∫

∫∫

iyyixxi

yyii

xxii

iA

22i

Ai

A

iA

iA

iA

iA

i

JII

Im0

I0m

dAyxyxdAyxxdAyxy

dAyxxdAyx0

dAyxy0dAyx

M

iii

ii

ii

·),(··),(··),(·

·),(··),(

·),(··),(

µµµ

µµ

µµ

Donde: mi : Masa del nivel i. JJ : Momento polar de inercia del nivel i. Ixxi : Momento de inercia respecto al eje x-x del nivel i. Iyyi : Momento de inercia respecto al eje y-y del nivel i. Si el origen de coordenadas se fija en el Centro de masa, Ixxi e Iyyi son por definición nulos, entonces la matriz de masa queda:

=

i

i

i

i

J000m000m

M




Finalmente la matriz de masas global del edificio será:

[ ]

=

n

1

n

1

n

1

J000

Jm

mm

000m

M

LLLLLL

OOM

MOOM

MOOM

MOOOM

MOOM

MOOM

MOO

LLLLLL

Ecuación de Estática : [ ] { } { }WqK =⋅ Ecuación de Dinámica : [ ] { } [ ] { } { })()()( tWtqKtqM =⋅+⋅ &&

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