INC4103-AEstructuras

Facultad de Ingeniera Universidad Catlica de la Santsima Concepcin

Anlisis de Estructuras INC 4103

Profesor

Claudio Oyarzo Vera Ingeniero Civil

-1-

ndice

NDICE 1

OBJETIVOS 5 PROGRAMA 5 EVALUACIN 6 REQUISITOS DE APROBACIN 6 BIBLIOGRAFA: 6

CAPTULO 1 INTRODUCCIN 7

1 PREMBULO 7

1.1 EL PROYECTO 7 1.2 FORMAS ESTRUCTURALES 7 1.3 SOLICITACIONES 7 1.4 CONDICIONES RESISTENTES 8 1.5 CONDICIONES DE SERVICIO 8 1.6 SEGURIDAD ESTRUCTURAL 8 1.7 HIPERESTATICIDAD. 9

2 CONCEPTOS BSICOS DE ANLISIS ESTRUCTURAL 10

2.1 ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD GEOMTRICA 10 2.2 ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD ESTTICA O EQUILIBRIO 11 2.3 RELACIONES CONSTITUTIVAS 11 2.4 PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN 13

CAPTULO 2 MTODOS ENERGTICOS 15

1 TRABAJO Y ENERGA DE DEFORMACIN 15

2 ENERGA COMPLEMENTARIA DE DEFORMACIN 16

3 ENERGA ESPECIFICA DE DEFORMACIN 17

3.1 ESFUERZO NORMAL 17 3.2 ESFUERZO TANGENCIAL 17 3.3 CASO GENERAL 18

-2-

4 ENERGA DE DEFORMACIN EN BARRAS 19

4.1 BARRAS SOMETIDAS A ESFUERZO AXIAL 20 4.2 BARRAS SOMETIDAS A FLEXIN 21 4.3 BARRAS SOMETIDAS A ESFUERZO DE CORTE 22 4.4 BARRAS SOMETIDAS A TORSIN 23 4.5 CASO GENERAL 24

5 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES 26

5.1 PRINCIPIO DE DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES: 26 5.2 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES: 26

6 TEOREMA DE BETTI 26

7 TEOREMA DE MAXWELL 28

8 TEOREMAS DE CASTIGLIANO 29

8.1 PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO 29 8.2 SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO 30 8.3 DERIVACIN ALTERNATIVA DE LOS TEOREMAS DE CASTIGLIANO ERROR! MARCADOR NO DEFINIDO. 8.4 MTODO DE LA CARGA UNITARIA 31

CAPTULO 3 MTODO DE LAS FUERZAS 35

9 PREMBULO 35

10 FORMULACIN DEL MTODO 35

11 EFECTOS ADICIONALES A LAS ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD 40

11.1 ASENTAMIENTOS 40 11.2 DEFECTOS DE FABRICACIN, MONTAJE O CONSTRUCCIN. 40 11.3 EFECTO TRMICO 43 11.4 APOYO ELSTICO 44 11.5 EXPRESIN GENERAL 44

12 MODELACIN DE ESTRUCTURAS RETICULARES. 45

12.1 ESTRUCTURAS RETICULARES CON REDUNDANTES EXTERNAS 45 12.2 ESTRUCTURAS RETICULARES CON REDUNDANTES INTERNAS 47

-3-

CAPTULO 4 49

DEFORMACIN EN ESTRUCTURAS. MTODOS ALTERNATIVOS. 49

13 PREMBULO 49

14 TEOREMAS DE MOHR. 49

15 MTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS. PLANTEAMIENTO TRADICIONAL. 55

16 MTODO SLOPE & DEFLECTION 57

CAPTULO 5 66

MTODO DE LA RIGIDEZ. ENFOQUE MATRICIAL. 66

17 PREMBULO 66

18 MATRIZ DE RIGIDEZ ELEMENTOS TIPO BARRA. ENREJADOS. 67

18.1 ANLISIS BIDIMENSIONAL 67 18.2 ANLISIS TRIDIMENSIONAL 70

19 MATRIZ DE RIGIDEZ ELEMENTOS TIPO VIGA. MARCOS. 72

19.1 ANLISIS BIDIMENSIONAL 72 19.2 ANLISIS TRIDIMENSIONAL 78

20 MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL. 80

21 MODELACIN. 81

21.1 ENSAMBLE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA. 81 21.2 CONDICIONES DE APOYO. DEFINICIN DE GRADOS DE LIBERTAD ACTIVOS. (VECTORES DE CONECTIVIDAD). 87 21.3 VECTOR DE CARGAS EXTERNAS. 89 21.4 CLCULO DE ESFUERZOS INTERNOS. 91

22 CONDICIONES DE MODELACIN 93

22.1 ELEMENTOS AXIALMENTE INDEFORMABLES. 93 22.2 ELEMENTOS ROTULADOS. 93 22.3 CONDICIONES DE SIMETRA. 94 22.4 CONDICIONES DE BORDE. 95

-4-

22.5 ELEMENTOS CON SECCIONES RGIDAS. 96

23 MTODO DE REDUCCIN MATRICIAL. CONDENSACIN ESTTICA. 98

24 MODELACIN DE EDIFICIOS. 100

24.1 MATRIZ DE RIGIDEZ. 101 24.2 FUERZAS INERCIALES. MATRIZ DE MASAS. 104

-5-

Anlisis de Estructuras INC 4103

Profesor

Claudio Oyarzo Vera [email protected]

Objetivos

Entender la diferencia conceptual y resistente entre sistemas estticos e hiperestticos. Resolver estructuras hiperestticas. Establecer una ntima relacin entre los conceptos bsicos estructurales y el computador.

Programa Captulo 1 Introduccin

Formas Estructurales, solicitaciones, condiciones de resistencia y servicio. Seguridad estructural. Hiperestaticidad. Repaso de anlisis de tensiones y deformaciones. Leyes constitutivas. Tensiones y deformaciones al interior de un slido. Principio de superposicin.

Captulo 2 Mtodos Energticos

Trabajo y Energa de Deformacin Energa complementaria de deformacin Energa especifica de deformacin Energa de deformacin en barras Principio de Trabajos Virtuales Teorema de Betti Teorema de Maxwell Teoremas de Castigliano

Captulo 3 Mtodo de las Fuerzas

Formulacin del Mtodo Efectos adicionales a las ecuaciones de compatibilidad

Asentamientos Defectos de fabricacin, montaje o construccin. Efecto Trmico Apoyo Elstico

Modelacin de estructuras reticulares. Captulo 4 Deformacin en Estructuras. Mtodos alternativos.

Teoremas de Mohr. Mtodo de los Desplazamientos. Planteamiento Tradicional. Mtodo Slope & Deflection

Anlisis de Estructuras Programa

-6- Claudio Oyarzo V.

Facultad de Ingeniera UCSC

Captulo 5 Mtodo de la riguidez. Enfoque matricial

Matriz de rigidez elementos tipo Barra. Enrejados. Matriz de rigidez elementos tipo Viga. Marcos. Matriz de rigidez global. Modelacin.

Ensamble de la matriz de Rigidez de la estructura. Condiciones de Apoyo. Definicin de Grados de libertad activos.

(Vectores de conectividad). Vector de cargas externas. Clculo de Esfuerzos internos.

Condiciones de modelacin Elementos Axialmente Indeformables. Condiciones de Simetra. Elementos Rotulados. Condiciones de Borde. Cachos Rgidos.

Condensacin Esttica. Modelacin de edificios.

Evaluacin Fechas propuestas

Certamen 1 : 07 de Octubre Certamen 2 : 04 de Noviembre Certamen 3 : 07 de Diciembre Examen : 16 de Diciembre

NOTA DE PRESENTACIN : 0.8 NC + 0.2 NT NOTA FINAL : 0.6 NOTA PRESENTACIN + 0.4 EXAMEN

Requisitos de Aprobacin

Para aprobar todas las tareas deben ser entregadas y el promedio de sus calificaciones deber mayor o igual a 4.0

Las tareas entregadas fuera de plazo sern calificadas con nota 1.0

Asistencia mnima del 80%

Bibliografa:

Luthe, R Anlisis estructural McCormac, J Anlisis de estructuras Hibbeler, R Anlisis estructural Bhat, P Estructuras

Anlisis de Estructuras Captulo 1 - Introduccin


Ingeniero Civil

Captulo 1 Introduccin

1 Prembulo

1.1 El Proyecto El Ingeniero Civil es un profesional preparado tcnica y cientficamente para llevar a efecto obras que satisfagan los requerimientos propios de la sociedad y su tiempo. Por lo general estas obras se originan en algn problema o necesidad que satisfacer, las que dan origen una idea. El ingeniero deber entonces tomar esa idea y convertirla en un proyecto, y, ms adelante, ese proyecto en una obra civil. Pero esta simple definicin de objetivos lleva tras de si una compleja y extensa metodologa.

Idea original. Identificacin del problema a resolver. Evaluacin de esta idea. Determinar la factibilidad de resolver este problema. Ingeniera Conceptual. Proponer la solucin al problema. Dimensionarlo.

Establecer sus alcances. Proyecto Especfico. P de Arquitectura, P Estructural, P Mecnico, P. Elctrico, P

Sanitario, P Agua Potable, P de Construccin, etc. Operacin. Mantencin. Demolicin.

1.2 Formas estructurales

Unidimensionales: Vigas, cables, vielas. Bidimensionles: Losas, Muros, Columnas, Cascarones de Revolucin. Tridimensionales: Muros de Contencin, Galpones, Cascarones.

1.3 Solicitaciones Peso propio Sobrecargas de uso Viento Sismo Nieve Temperatura Trfico Empujes Montaje Asentamientos de terreno



Ingeniero Civil

Cargas dinmicas Cargas de Impacto Cargas de Oleaje

1.4 Condiciones Resistentes Cargas de Rotura. Probetas de Hormign Cargas de Fluencia. Barras de Acero Cargas Admisible. Diseo ASD Colapso. En general no es admisible.

1.5 Condiciones de Servicio Deformaciones Vibraciones Pandeo Estticas

1.6 Seguridad Estructural En general no es admisible el colapso de una estructura. La misin del ingeniero ser siempre preservar la vida de los ocupantes de una estructura, la integridad de los equipos que ella se encuentren, mantenerla en operacin y minimizar los efectos econmicos ocasionados por el dao provocado. NCh 433: Respecto del dao provocado por un sismo, las estructuras deben:

Resistir sin daos un movimiento ssmico de intensidad moderada Limitar los daos en elementos no estructurales durante sismos de mediana intensidad Aunque presenten dao, evitar el colapso durante sismos de intensidad

excepcionalmente severa.



Ingeniero Civil

1.7 Hiperestaticidad.

Una estructura es estticamente determinada si el nmero de ecuaciones de equilibrio esttico es igual al nmero incgnitas presentes en una estructura. Si el nmero de ecuaciones es menor que la cantidad de incgnitas el sistema es hiperesttico y se requerir de otras ecuaciones adicionales. Si el nmero de ecuaciones es mayor que la cantidad de incgnitas el sistema es inestable y corresponder a un mecanismo. El nmero de ecuaciones disponibles corresponde a dos veces la cantidad de nudos (j), es decir, j2 ; mientras que la cantidad de incgnitas queda determinada por el nmero de barras ms las tres reacciones globales, esto es, 3b +

R1

R2MA A B

Estructura Isosttica: 3 Incgnitas (R1, R2, MA) 3 Ecs. (FV, FH, M)

R1

R2MAA B Estructura Hiperesttica:

4 Incgnitas (R1, R2, R3, MA) 3 Ecs. (FV, FH, M)

Hiperestaticidad = 1

R3

P

Hiperestaticidad = 3

Externamente Isosttica Internamente posee 4 redundantes Hiperestaticidad = 4

P P P P P



Ingeniero Civil

2 Conceptos Bsicos de Anlisis Estructural Ejemplos:

Se denominar estructura a un modelo generalmente de barras (sistema uniaxiales) sometido a ciertas acciones (pp, sc, viento, sismo, etc) en condiciones de servicio. La formulacin de un problema requiere de tres tipos de ecuaciones:

2.1 Ecuaciones de compatibilidad geomtrica Relacionan variables Cinemticas representadas por desplazamientos (desplazamientos y rotaciones) o desplazamientos unitarios. Las ecuaciones de compatibilidad geomtrica deben ser funciones continuas y simplemente evaluadas de las coordenadas. A cada punto de la geometra corresponde un punto de la geometra deformada, una relacin que no sea biunvoca representara una grieta.

P

4545

P

4545

A A

A

Geometra Inicial

Geometra Deformada



Ingeniero Civil

2.2 Ecuaciones de compatibilidad esttica o equilibrio Relacionan variables estticas representadas por fuerzas (Fuerzas y momentos) o tensiones. Estas ecuaciones son lineales en las fuerzas.

2.3 Relaciones constitutivas Son ecuaciones de ligazn entre variables cinemticas y variables estticas (no agregan nuevas variables). Ejemplo: Acero

Hormign

2400

3400

Lineal para las deformaciones

No linealidad del material

= E * E=2000000 Kg/cm2

300

Lineal para las deformaciones

No linealidad del material

= E *



Ingeniero Civil

No linealidad Geomtrica: Cuando las deformaciones son significativas las estructura puede perder sus caractersticas de linealidad sin que el material deje de ser elstico (Efecto P-).

P1

P2

V=P1 M=P2*L P2 * (L-v)+P1*u

L

P1

P2 EALPv 1 =

IE3LPu

32

=

A

L0

==

==

KTL

AET

LE

AT

E

0

o



Ingeniero Civil

Ejemplo:

2.4 Principio de superposicin Las ecuaciones de la esttica son lineales y homogneas en las fuerzas.

Tirantes AE

L/2

L/2

L/2L/2 L/2

L/2 P

2P

1 32

RA

P2

RB

BA

RA

P1 P2

RB

BA

RA

P1

RB

BA= +

M(z) M(z)M(z)

RA + RB P1 P2 = 0 RA + RB P2 = 0 RA + RB P1 = 0

RA + RA + RB + RB P1 P2 = 0

+=

M(z) M(z) M(z) +=

Q(z) Q(z) Q(z) +=



Ingeniero Civil

Considerando un elemento z de la viga:

Si las deformaciones son pequeas y la geometra de la estructura no cambia radicalmente, las tensiones admiten la aplicacin del principio de superposicin.

z

N

M

Anlisis de Estructuras Captulo 2 Mtodos Energticos



Fi Sistema de fuerzas

Geometra Deformada

Geometra Inicial

Slido deformable en Equilibrio

Captulo 2 Mtodos Energticos

3 Trabajo y Energa de Deformacin Si sobre un slido deformable se aplica un sistema de fuerzas Fi, el trabajo de las fuerzas produce deformaciones, movimiento y calor. El proceso se rige por la termodinmica, de manera que se cumple:

UTQW ++=

Donde: W : Trabajo de las fuerzas externas Q : Calor T : Energa Cintica U : Energa Interna

Los procesos de equilibrio se suponen de tipo cuasiesttico y en ellos se desprecian el calor disipado y la energa cintica, lo que significa que todo el trabajo se transforma en energa interna de deformacin, resultando la igualdad:

UW = El proceso puede revertirse total o parcialmente si se usa el sistema de cargas aplicado recuperndose total o parcialmente la geometra original. En el primer caso se dice que el material es perfectamente elstico y en el segundo caso se habla de materiales parcialmente elsticos. Para la fuerza i =

cii drFW

Para el sistema { }iF i = 1,..,n Se obtiene

==

n

11iWW




Ejemplo: Barra Traccionada Considere una barra de seccin A y modulo de elasticidad E, el cual se aplica gradualmente una carga axial de magnitud P1, generando una deformacin 1. Posteriormente, se aplica una segunda carga adicional, de magnitud P2, generando una deformacin 2.sobre la anterior.

2P

2LAEd

LAEdPW 11

21

001

11 ====

( )

+===

+

+

22LAEd

LAEdPW

21

221

2

21

1

21

1

[ ] [ ]2122212122212 2L2AE2L2AEW +=++=

''

1221

2221

222 WWP2

P2

L2AE

L2AEW +=+=+=

121 WWWW ''++=

4 Energa complementaria de deformacin La energa complementaria de deformacin corresponde al rea ubicada por encima de la curva carga-deformacin y limitada por una recta horizontal correspondiente a la carga P. Esta energa cobrar importancia cundo se aborden los teoremas de Castigliano. Su valor se calcula con la integral:

= dPW *

P

L

1 2 0 P1

0 P2

P1+P2

P1

1 1+2

W1

W2

W1




Para materiales lineales W*=W Para materiales no lineales W*W

5 Energa especifica de deformacin

5.1 Esfuerzo Normal

= P21W

AP =

L=

V21LA

21W ==

21

Vu

VWw =

== Energa especfica de deformacin

5.2 Esfuerzo Tangencial

= P21W

yxP =

z=

V21zyx

21W ==

21

Vu

VWw =

== Energa especfica de deformacin

P

L

A, E

P

W*W

PW*

W

P

z

y x

=/z

x

y

z yxP=




5.3 Caso General

( )yzyzxzxzxyxyzzyyxxv

21w

dVwu

+++++==

x

y

zz yx

x

z

y




6 Energa de deformacin en barras Se considera una barra prismtica elaborada con un material elstico en un espacio tridimensional sometida a fuerzas cortantes y normales, adems de momentos flectores y de torsin.

Fx = Qx Fuerza de Corte en x Fy = Qy Fuerza de Corte en y Fz = N Fuerza Normal Mx Momento Flector en torno a x-x My Momento Flector en torno a y-y Mz = Mt Momento de torsin en torno a z-z

x Fx

z y

Mx

Fy Fz

Mz My




6.1 Barras Sometidas a Esfuerzo Axial

zz21w =

AN

z =

Ez

z =

E1

AN

21

E21w

2z

z

==

dVwu

v= dV

E1

AN

21u

v

2

= =L

0A

2

dzdAE1

AN

21u

= L0 A

2

2

dsdAAE2

Nu

= Lo

2

dzAEN

21u

= Lo

2

dsAEN

21u

N

N

A, E, L




6.2 Barras Sometidas a Flexin

zz21w =

Ez

z =

x

xz I

yM =

2x

22x

2z

IEyM

21

E21w

==

dVwuv=

dVIEyM

21u

vx

22x =

=L

0 A

22x

2x dzdAyIE

M21u

=L

0x2

x

2x dzIIE

M21u

=L

o x

2x dzIE

M21u

=L

o x

2x dsIE

M21u

P1 P2

Mx(z)

z

A

A

Seccin A-A

x

y

G

Qy

Mx(z)

Def.Tensin

Mat. Lineal

y

z = E = Mxy/Ix y




6.3 Barras Sometidas a Esfuerzo de Corte

S : Momento esttico de Area bajo o sobre la zona en que se desea evaluar el esfuerzo tangencial () con respecto a la linea neutra

=21w

G =

IbSQ= Jourasky

22

IbSQ

G21

G21w

==

dVwuv=

dVG1

IbSQ

21u

v

2

=

dzAdIb

SI1

G2Qu

A 2

22 =

AiIAIi 22 ==

dzdAAib

SI1

G2Qu

A 22

22

=

P1 P2

Qy(z)

z

A

A

(+) (-)

Seccin A-A

x

y

S b

y z




dzdAib

SI1

AGQ

21u

A 22

22

=

yA 2x

2

2x

x

dAib

SI1 = actor de forma al corte actuando en direccin y-

y

dzAG

Q21u

2yy

=

dsAG

Q21u

2yy

=

6.4 Barras Sometidas a Torsin

=21w

G =

rJ

Mt = J : Momento Polar de Inercia

2

t rJ

MG21w

=

dVwuv=

dVrJ

MG2

1uv

2t

=

( )dzdArGJM

21u

A

22

2t = dz

GJM

21u

2t=

Mt

r r

JMt =




En secciones no circulares se produce alabeo, para estos casos se debe reemplazar en la ecuacin J por J0 (Momento polar de inercia equivalente o Cte de Saint Venant)

dsGJM

21u

0

2t=

Para secciones rectangulares: hb3

bhJ3

0 >=

6.5 Caso General Para una barra cualquiera se tiene:

dsGJM

21ds

GAQ

21ds

GAQ

21ds

EIM

21ds

EIM

21ds

AEN

21u

0

2t

L

0

2xx

L

0

2yy

L

0 y

2y

L

0 x

2x

L

0

2 +++++= Ejemplo:

dsGA

Q21ds

EIM

21u

L

0

2yy

L

0 x

2x +=

dsGA

Q21ds

EIM

21u

L

0

2yy

L

0 x

2x +=

(+)

P L/2 L/2

(-) (+)

Mx(z)

Qy(z)

PL/4 P/2

P/2

y

x h

b

2Lz2P

zQ

2Lzz2P

zM

y

x

/)(

/)(

=

=




( ) ( )dz

GA2

P

212dz

EI2

Pz

212u

2L

0

2

y2L

0 x

2

+= //

2L

0

22L

0

32

zGA4P

3z

EI4Pu

//

+=

GA8LP

EI96LPu

232 +=

+=GAEI

L8961

EI96LPu

2

32

Si se considera seccin rectangular:

( ) 25

GE250

12EG ==+= .

21.=

32h

bh12

bh

AIi

3

=== Entonces:

( )

+=

+= 2

32232

iL361

EI96LP

Li

2512211

EI96LPu .

40iLL

121hsi

( )EI96LP022501

EI96LP

40361

EI96LPu

3232

2

32

+=

+= .




7 Principio de Trabajos Virtuales

7.1 Principio de Desplazamientos Virtuales:

Virtual : Ajeno al sistema de fuerzas e independiente Compatible : Consistente con las posibilidades de desplazamiento del slido.

Cuando a un slido rgido sometido a un sistema de fuerzas en equilibrio, se le aplica un campo de desplazamientos virtuales compatibles y permanece en equilibrio, entonces el trabajo de las fuerzas internas es nulo.

7.2 Principio de Trabajos Virtuales: Si un slido deformable sometido a un sistema de cargas est en equilibrio y permanece en equilibrio al ser sometido a un campo de deformaciones virtuales compatible, entonces el trabajo virtual de las fuerzas externas es igual al trabajo de las fuerzas internas actuando sobre los desplazamientos virtuales internos

8 Teorema de Betti Considere un slido deformable sometido a dos estados de fuerza (A y B). Cada sistema se encuentra en equilibrio independientemente y tambin al ser aplicados simultneamente. Caso 1: Se aplica el estado de carga A y luego el B.

++

= j

jji

ijii

ii1 F21PP

21W

Donde:

Pi : Fuerzas y momentos del estado de carga A Fj : Fuerzas y momentos del estado de carga B i : Desplazamientos producidos en el punto de aplicacin de las cargas Pi debido a

ellas mismas. j : Desplazamientos producidos en el punto de aplicacin de las cargas Fj debido a

ellas mismas. ij : Desplazamientos producidos en el punto de aplicacin de las cargas Pi debido a

las cargas Fj.




Caso 2: Se aplica el estado de carga B y luego el A.

++

= i

iij

jijj

jj2 P21FF

21W

Donde:

Pi : Fuerzas y momentos del estado de carga A Fj : Fuerzas y momentos del estado de carga B i : Desplazamientos producidos en el punto de aplicacin de las cargas Pi debido a

ellas mismas. j : Desplazamientos producidos en el punto de aplicacin de las cargas Fj debido a

ellas mismas. ji : Desplazamientos producidos en el punto de aplicacin de las cargas Fj debido a

las cargas Pi. Dado que la energa de deformacin final es independiente de la secuencia de carga se obtiene:

21 WW =

++

=

++

i

iij

jijj

jjj

jji

ijii

ii P21FF

21F

21PP

21

=

jjij

iiji FP

TEOREMA: Sobre un slido deformable, el trabajo de un sistema de fuerzas A (Pi i = 1..n)

cuando acta otro sistema de fuerzas B (Fj j = 1..m), es igual al trabajo del sistema de fuerzas B cuando sobre el slido acta el primer sistema de fuerzas A.




9 Teorema de Maxwell Corresponde a un caso especial del teorema de Betti. TEOREMA: En un slido deformable, el desplazamiento originado sobre un punto i en

direccin AB, debido a una fuerza P actuando en un punto j en la direccin CD, es igual al desplazamiento originado sobre el punto j en direccin CD, si se aplica una fuerza P de igual magnitud sobre el punto i en la direccin AB.

Ejemplo:

CBBC

CBBC PP=

=

D

P

CB A B C

Estructura I

P

BC A B C D

Estructura II

P

A

B D

C

j i

Sistema i

P A

B D

C

j i

Sistema j




10 Teoremas de Castigliano

10.1 Primer Teorema de Castigliano Sea un slido sometido a un sistema de fuerzas Fi

Supngase que adicionalmente se deforma la estructura de manera que slo vara la deformacin en el punto de aplicacin de la fuerza Fk, resulta: u pasa a u+= u u' Fk pasa a kkk F F 'F += W pasa a k+= 'F W W' k kk ++= F F W W' kk Se tiene:

(1) u W = (2) u'W' =

uukk +=++ F F W kk

kkk

1u =+ F F kk

lim0k k

u

=+kk FF

k00

u

kk =+

limlim kk FF

Configuracin Inicial Configuracin deformada por Fi Deformacin adicional k0 i=0 ik

F1

F3

Fi

Fk k

F2




Ahora bien, si 00k kF

k

u=kF Primer Teorema de Castigliano

10.2 Segundo Teorema de Castigliano A fin de simplificar el procedimiento considrese una viga simplemente apoyada, sometida a cargas F1 y F2 gradualmente aplicadas, provocndose bajo ellas las deflexiones 1 y 2 respectivamente. Se desea encontrar la deflexin 1 bajo F1.

Se tiene que:

2F

2F 2211 +=W

Si se incrementa la carga F1 en una pequea cantidad dF1 el trabajo adicional realizado es:

22112211

112211

1 dFdFdF2ddFdFdFd

2dFF +=+

+=+

+=W d

por otro lado, el trabajo total es: ( ) ( ) ( )

2dF

2ddFF 2221111 ++++=W'

adems:

2F

2F

2dF

2F

2ddF

2dF

2dF

2F 2211222211111111 +++++==W'-WdW

2dF

2dF

2dF 221111 ++=dW

se sabe que : 1122 dFdF = W d entonces:

F1+dF1

1

F2

d1 2

d2




2dF

2dF

2dF 111111 ++= W ddW

22dF 11 W ddW +=

11dF =dW

11dF

=dW Generalizando:

F= W Segundo Teorema de Castigliano

10.3 Mtodo de la carga unitaria Suponga una estructura sometida a un sistema de cargas que generan los esfuerzos internos N0, M0, Q0 y T0. Para calcular el desplazamiento (o giro) i en un punto i donde no acta ninguna fuerza del sistema se procede de la siguiente manera: Se aplica una carga virtual pv en el punto y direccin del desplazamiento (Desplazamiento Carga puntual; Giro Momento). Esta carga virtual generar en una seccin cualquiera los esfuerzos internos Nv, MV, QV y Tv. Si no se excede el lmite elstico dichos esfuerzos sern proporcionales a la carga virtual.

TpTQpQMpMNpN

vv

vv

vv

vv

====

Donde TQMN ,,, son valores caractersticos para cada seccin de la estructura y cada variable, obtenidos a partir del anlisis del efecto de un carga virtual unitaria. La energa de deformacin de la estructura debido al sistema original y la carga virtual ser:

dsGJT

21ds

GAQ

21ds

EIM

21ds

AEN

21u

0

2L

0

2L

0

2L

0

2 +++=

( ) ( ) ( ) ( ) dsGJ

TpT21ds

GAQpQ

21ds

EIMpM

21ds

AENpN

21u

0

2v0

L

0

2v0

L

0

2v0

L

0

2v0 +++++++=




Del segundo teorema de Castigliano se sabe:

Fu

=

vi p

u=

( ) ( ) ( ) ( )

+++++++

= dsGJTpT

21ds

GAQpQ

21ds

EIMpM

21ds

AENpN

21

p 0

2v0

L

0

2v0

L

0

2v0

L

0

2v0

vi

( ) ( ) ( ) ( ) dsGJ

TTpTdsGA

QQpQdsEI

MMpMdsAE

NNpN

0

v0L

0

v0L

0

v0L

0

v0i +++++++=

Anulando el efecto de la carga virtual se obtiene:

dsGJ

TTdsGA

QQdsEI

MMdsAE

NN

0

0L

0

0L

0

0L

0

0i +++=

En donde:

0000 TQMN ,,, : Esfuerzos (Funciones-Diagramas) provocados por el sistema de carga original.

TQMN ,,, : Esfuerzos (Funciones-Diagramas) provocados por la accin de una carga unitaria aplicada en el punto y direccin donde se desea obtener el desplazamiento.

Ejemplo 1: Calcular deflein en el extremo A

L

A

q A B




Diagramas de esfuerzos del sistema de carga original:

Diagramas de esfuerzos por efecto de carga unitaria en A:

Por lo tanto, la deformacin en el extremo es:

dsGJ

TTdsGA

QQdsEI

MMdsAE

NN

0

L

0

L

0

L

0A +++=

0dsGA

QQdsEI

MM0L

0

L

0A +++=

Lz

(-)

M(z(-)

Q(z)

q

L2qzzQ

L6qzzM

2

3

=

=

)(

)(

2qL

6qL2

Lz

(-)

(-)

1

1zQzzM

==

)()(

)(zM

)(zQ-1

-L




( ) ( )0dz

GA

1L2zq

dzEI

zL6zq

0L

0

2

L

0

3

A +

+

+=

GA6Lq

EI30Lq 24

A+=

Anlisis de Estructuras Captulo 3 Mtodos de las Fuerzas


Facultad de Ingeniera - UCSC

Captulo 3 Mtodo de las Fuerzas

1 Prembulo En este captulo se estudiar el mtodo de resolucin de vigas, marcos y estructuras reticulares planas hiperestticas conocido como mtodo de las fuerzas o de las flexibilidades Dado que las estructuras que se analizarn son hiperestticas, las ecuaciones de equilibrio (F=0 y M=0) no sern suficientes. As pues, para la resolver este tipo de estructuras se necesitara calcular esfuerzos y deformaciones virtuales los cuales sern luego compatibilizados con las condiciones de borde de esfuerzo y desplazamiento definidas en los apoyos. Este tipo de anlisis se limitar al rango elstico de deformaciones.

2 Formulacin del Mtodo Para este mtodo se considera, en primer lugar, una estructura que llamaremos primaria. Esta se obtiene a partir de la estructura original eliminando las reacciones redundantes para obtener una estructura estticamente determinada, y conservando el sistema de cargas original. Esta estructura primaria deber ser estable y las reacciones redundantes sern aquellas que exceden el numero posible de determinar mediante las ecs de equilibrio. Luego, aplicado el principio de superposicin, se ir incluyendo el efecto de cada una de las redundantes, modeladas como fuerzas de magnitud desconocida. De esta forma se obtendr un set de ecuaciones para cada una de las redundantes. Superponiendo cada uno de estos efectos y aplicando las condiciones de borde impuestas por los apoyos ser posible resolver la estructura. El mtodo considera entonces una estructura isosttica, denominada primarias, en la que se calculan desplazamientos (lineales y/o angulares) en los apoyos que se eliminaron de la estructura hiperesttica inicial, y en las direcciones en las que se eliminaron dichas restricciones. Estos desplazamientos se calculan tambin en estructuras de misma geometra que la estructura primaria, siendo las cargas las reacciones redundantes correspondientes. La correccin de los desplazamientos de la estructura primaria con los generados por las reacciones redundantes, aplicadas de manera que se cumplan las condiciones geomtricas de la estructura original, permite establecer un sistema de ecuaciones cuyo nmero es igual al nmero de reacciones redundantes. La solucin del sistema de ecuaciones permite determinar los valores de las reacciones redundantes. Una vez determinadas estas reacciones en los apoyos, los esfuerzos se pueden calcular en todos los miembros de la estructura por medio de las ecuaciones de equilibrio de la esttica, pudiendo aplicarse, tambin, el principio de superposicin.




Ejemplo 1:

Resolucin:

Ecs de compatibilidad geomtrica:

01211101 =++= 02221202 =++=

Aplicando el teorema de Castigliano y mtodo de la carga unitaria podemos obtener el desarrollo de las ecuaciones para el desplazamiento en la redundante 1:

( ) = elementosL

0i

1010

i dsEI

MM

P1 P2

R1

R2 R3

R4

R5

Estructura 2 veces hiperesttica

=

P1 P2

R1

R2 X1

R4

X2

Estructura Primaria isosttica

1=0

2=0

X1, X2 : Redundantes 1, 2 : Ecs de Compatibilidad

+ +

P1 P2

Estructura Primaria (0)

M0 X1

Primera redundante (1)

M1

X2

Segunda redundante (2)

M2




( ) ( ) ( ) ==== elementosL

0 111i

21

1elementos

L

0i

111

elementos

L

0i

1111

iii XdsEIMXds

EIMMXds

EIMM

( ) ( ) ( ) ==== elementosL

0 122i

212

elementos

L

0i

122

elementos

L

0i

1212

iii XdsEI

MMXdsEI

MMXdsEI

MM Haciendo lo mismo con la redundante 2:

( ) = elementosL

0i

2020

i dsEI

MM

( ) ( ) ( ) ==== elementosL

0 121i

211

elementos

L

0i

211

elementos

L

0i

2121

iii XdsEI

MMXdsEI

MMXdsEI

MM

( ) ( ) ( ) ==== elementosL

0 222i

22

2elementos

L

0i

222

elementos

L

0i

2222

iii XdsEIMXds

EIMMXds

EIMM

Finalmente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

0XX 122111101 =++= 0XX 222121202 =++=

Expresado matricialmente:

=

+

0

0

X

X

2

1

2221

1211

20

10

0k : Desplazamiento en (k) debido a las cargas externas actuando sobre la estructura

fundamental. kj : Desplazamiento en (k) debido a las cargas unitaria actuando sobre el punto y direccin

(j) la estructura fundamental. Mtodo:

1. A partir de la estructura hiperesttica, definir la estructura primaria, eliminando las restricciones redundantes y reemplazndolas por fuerzas o momentos Xk.

2. Obtener las distribuciones de esfuerzos internos (axial, flexin, corte y torsin) de la

estructura primaria bajo el efecto de las cargas externas originales.




3. Aplicar en cada una de las k redundantes una carga unitaria y obtener los diagramas de esfuerzos internos (axial, flexin, corte y torsin) de la estructura.

4. Calcular las deformaciones en las redundantes debido al sistema de carga original.

( ) ( ) ( ) ( ) +++= iiiiL

0i

k0L

0i

k0L

0i

k0

elementos

L

0i

k00k dsGJ

TTdsGA

QQdsEI

MMdsEA

NN

5. Calcular las deformaciones en las redundantes debido a una carga unitaria sobre el

mismo punto y las dems redundantes.

( ) ( ) ( ) ( ) +++= iiii L

0i

jkL

0i

jkL

0i

jk

elementos

L

0i

jkkj dsGJ

TTds

GAQQ

dsEI

MMds

EANN

6. Aplicar las condiciones de compatibilidad geomtrica para obtener el sistema de

ecuaciones.

+=j

kjj0kk X 7. Resolver el sistema de ecuaciones para obtener el valor de las redundantes Xk.

8. Obtener el valor de las dems restricciones (no redundantes) mediante las ecuaciones

de equilibrio esttico.

9. Aplicar superposicin.




Ejemplo 2: Determinar las reacciones y los diagramas de momento de la estructura de la figura. Obtener adems el desplazamiento vertical del punto B utilizando un sistema virtual apropiado.

Hormign Madera

E Kg/cm2 250000 80000 G Kg/cm2 100000 32000

1.2 1.2

200 kg/m

500 kg/m

4 m

5 m 3 m

Hormign

Madera

Rtula

A

B C

0.2 m

0.4 m

Hormign

0.2 m

0.2 m

Madera




3 Efectos adicionales a las ecuaciones de compatibilidad

3.1 Asentamientos Este caso se refiere a los efectos provocados por un desplazamiento de la redundante en estudio. Se analizara el efecto de los desplazamientos anelsticos (independientes de la magnitud de la carga). Supongamos un desplazamiento (asentamiento o giro) del grado de libertad k. Para esta situacin, en la ecuacin de compatibilidad geomtrica correspondiente al grado de libertad en cuestin, se conservara a expresin:

+=j

kjj0kk X con la diferencia de que el valor de k ser distinto de cero y conocido.

3.2 Defectos de fabricacin, montaje o construccin. Un desplazamiento de un grado de libertas, provocar, adems del efecto sobre la ecuacin de compatibilidad correspondiente, un efecto sobre las dems ecuaciones. Pues generar deformaciones y desplazamientos en toda la estructura, por lo tanto un trabajo. Este es el tpico caso de tensiones generadas por defectos de fabricacin, montaje o construccin. Este efecto se deber incluir en las dems ecuaciones mediante le trmino ka. Vale decir las dems ecuaciones adoptaran la forma:

kaj

kjj0kk X ++=

El valor de este trmino de correccin se determinara mediante el principio de los trabajos virtuales (Carga unitaria).




Ejemplo 1

ka : Desplazamiento en punto y direccin k debido a un desplazamiento de otro apoyo.

0Wext =

( ) ( ) 0vL1u

h211 a1 =++

Lv

h2u

a1 +=

u v

u v

1a X1

X3

X2

=

h

1t-m1

1/(2h)

= 1a

1/L 1/L

1/(2h)

L




Ejemplo 2 Problema tpico de error de fabricacin.

ka : Desplazamiento en punto y direccin k debido a un desplazamiento de otro apoyo.

0Wext = 0v

L1u

h211 a1 =++

Lv

h2u

a1=

h

1t-m1

1/(2h)

1/L 1/L

1/(2h)

L

u

v

1t-m1

1/(2h)

1/L 1/L

1/(2h)

1/L 1/L

1/(2h) 1/(2h)




3.3 Efecto Trmico Para incluir los efectos asociados a la variacin de temperatura (dilatacin-contraccin) se deben agregar trminos relativos a los esfuerzos axiales y de flexin. Si el elemento estructural esta sometido a una variacin de temperatura uniforme, esta generar una dilatacin-contraccin uniforme expresada de la sgte forma:

=elementos

L

0kkkkt dstN

k

dnde: k : Coeficiente de dilatacin trmica. tk : Aumento uniforme de temperatura en el elemento k.

Ahora bien, si el elemento estructural esta sometido a una variacin de temperatura no uniforme, vale decir, existe un gradiente de temperatura entre las caras de la barra. Se generar una dilatacin-contraccin de diferente magnitud:

La expresin asociada a este fenmeno es la sgte:

==elementos

L

0 k

kkk

elementos

L

0 k

kkkkt dsh

t2Mds

2h

tM kk

dnde: k : Coeficiente de dilatacin trmica. 2tk : Aumento diferencial de temperatura en el elemento k. hk : Altura de la barra k

-T= t ds

+T= t ds ds

d = ( t ds)/(h/2)




3.4 Apoyo Elstico En este caso se modelaran los efectos propios de apoyos elsticos. Este tipo de apoyo corresponde a los que realmente se generan en el suelo, en que la reaccin generada en el vnculo es proporcional a la deformacin.

kkkk

k XfXK1 ==

ktkaj

kjj0kk X +++=

ktkaknnkkk2k21k10kkk XXXXXf ++++++++= ....

ktkaknnkkkk2k21k10k XfXXX0 +++++++++= ..)(..

3.5 Expresin General

=

+

+

+

+

+

++

n

k

2

1

nt

kt

t1

t1

na

ka

a1

a1

0n

0k

20

10

n

k

2

1

nnnnk1n

knkkk1k

22221

n1k112111

X

X

X

X

f

f

f

f

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

MOM

MOM

M

.........

......

Kk

X1 X2 K2

-X2 = K2 2




4 Modelacin de estructuras reticulares.

4.1 Estructuras reticulares con redundantes externas En esta seccin estudiaremos enrejados con redundantes externas, basando nuestro anlisis en la determinacin de deflexiones, algo muy similar a lo realizado en vigas y marcos. Considere el siguiente enrejado a modo de ejemplo:

Para resolver este enrejado eliminaremos la redundante del apoyo B (Xb). Determinaremos la deflexin generada en este punto debido a las cargas externas. Luego se determinara la deflexin provocada en el mismo punto debido a una carga unitaria aplicada en dicho punto.

Finalmente se aplican las condiciones de compatibilidad geomtrica.

AB

C

P

A

Xb

C

P

A C

P

A

1

C

iN 0iN1




0X bbbb0b ==+ Dado que en los enrejado se supone que las barras se ven sometidas solo a esfuerzo axial:

==barras

iii

ii0

i ii

ii00b LAE

NNdlAENN

==barras

iii

2i

i ii

iibb LAE

NdlAENN

Entonces:

==

barrasi

ii

i

barrasi

ii

ii

bb

bb

LAE

N

LAENN

X

2

0

0

y la fuerza real sobre cada una de las barras ser:

ibii NXNN 0 += Ver Ejemplo 13.7.: Anlisis de Estructuras. McCormac-Nelson. La metodologa se hace extensiva a 2 o ms redundantes.




4.2 Estructuras reticulares con redundantes internas A continuacin, estudiaremos enrejados con redundantes internas, es decir, tiene ms barras de las necesarias para garantizar la estabilidad. Basaremos nuestro anlisis en la determinacin de tensiones-deformaciones en barras, tal como se realiz en el mtodo de Castigliano y de la carga unitaria. Considere el siguiente enrejado a modo de ejemplo:

Los enrejados con redundantes internas pueden analizarse en forma semejante a la empleada en la relacin con las armaduras con redundante externa. Se supone que una barra es la redundante y se elimina tericamente de la estructura. Las barras restantes deben constituir una estructura estticamente determinada y estable. Se supone que los esfuerzos N0, provocados por las fuerzas externas, son de naturaleza tal que generan una separacin de los nudos ubicados en los extremos de la redundante eliminada, provocando un desplazamiento 10. Acto seguido se realiza un anlisis de tensiones y deformaciones suponiendo un par de fuerzas unitarias, actuando en la direccin de la barra eliminada simulando una traccin. Se calcularn los esfuerzos internos N , provocados por la carga unitaria. Esto originara un desplazamiento de los nudos (alargamiento de la barra) 11. Finalmente se aplica el principio de superposicin y las condiciones de compatibilidad geomtrica.

0111110 ==+ X

A B

P P




Dado que en los enrejado se supone que las barras se ven sometidas solo a esfuerzo axial:

==barras

iii

ii

i ii

ii LAENN

dlAENN

0010

==barras

iii

i

i ii

ii LAE

Ndl

AENN

2

11 Entonces:

==

barrasi

ii

i

barrasi

ii

ii

LAE

N

LAENN

X

2

0

11

101

y la fuerza real sobre cada una de las barras ser:

iii NXNN 10 += Ver Ejemplo 13.8.: Anlisis de Estructuras. McCormac-Nelson. La metodologa se hace extensiva a 2 o ms redundantes.

iN 0

A C

P

X1 X1

A C

PP

A C

1 1

iN1

Anlisis de Estructuras Captulo 4 Deformacin en Estructuras Mtodos alternativos



Captulo 4

Deformacin en Estructuras. Mtodos alternativos.

1 Prembulo En este captulo se estudiar el mtodo de resolucin de vigas y marcos mediante mtodos basado en deformaciones. En particular analizaremos el mtodo de la viga conjugada, los teoremas de Mohr y una aproximacin al mtodo conocido como Slope & Deflection (Pendiente-Desviacin). Tambin se revisar el planteamiento clsico del Mtodo de las deformaciones o de la rigidez. Como de costumbre este tipo de anlisis se limitar al rango elstico de deformaciones.

2 Teoremas de Mohr. Los teoremas de rea-momento datan de fines del siglo XIX y son fruto de los trabajos desarrollados por el investigador Otto Mohr y establecidos formalmente por Charles Green en 1872. Estos teoremas proponen una tcnica grfica determinar deflexiones y giros en vigas a partir de sus diagramas de momento. Son de especial utilidad en la resolucin de vigas sometidas a una serie de cargas puntuales o distribuidas, en especial aquellas que generen distribuciones de momento flector de geometras simples (rectangulares, triangulares, parablicas y combinaciones de ellas). Las frmulas se establecen considerando la geometra de la curva elstica ( )(xv ) y los

diagramas de momento normalizados

EI

M x )( , tendiendo como condicin que la curva de la

elstica sea continua entre los puntos en que se realiza el anlisis.




Para entender este mtodo considere la siguiente figura:

Se sabe que:

EIM

dxd x )(=

Por lo tanto:

dxEI

Md x )(= dx

EIM2

1

x12 = )(

Primer Teorema de Mohr: El ngulo que forman las tangentes en dos puntos de la elstica, es igual al rea bajo la curva

del diagrama

EI

M x )( entre los mismos puntos.

Tambin sabemos por la geometra que:

dxdz = Por lo tanto:

dxEI

Mxdz x )(= dxx

EIM

z2

1

x12

= )(

1 2

12 z12

EIM x )(

x




Segundo Teorema de Mohr: La distancia vertical de un punto 2 de la elstica a la recta que es tangente a la elstica en un

punto 1, es igual al momento esttico del rea bajo la curva del diagrama

EI

M x )( entre estos

dos puntos respecto al punto 2. Ejemplos: Ejemplo1: Calcule el giro y desplazamiento del extremo de la viga en voladizo

dxEI

M21

x12 = )( 12 = rea diagrama

EIM x )( = ( )

2a

EIPa =

EI2Pa2

dxxEI

Mz

2

1

x12

= )(

12z = Mto. Esttico del diagrama

EI

M x )( c/r a pto 2.

+= a32b

EI2Paz

2

12

a b

P

+ Pa

(+)

z12 12

1 2




Ejemplo 2: Calcule los desplazamientos y los giros bajo la carga aplicada sobre la viga.

LEI2bPa2

12 =

L3b2

LEI2Pab

3ab

LEI2bPa

Lz

22

31

+

+

==

( )))((

b2abaLEI6

PabL

3b2

3aab

LEI2Pab

2

22

1 ++=

++

=

( ) ( )bLLEI6

Pabb2aLEI6

Pab1 +=+=

( ) ( )bLa3LEI6

PabbLLEI6

PabLEI2bPa2

1122 =+== ( ) ( )ba

LEI3Pabb2a2

LEI6Pab

2 ==

( ) ( )LEI3

bPaabbaLEI6bPa

3a

LEI2bPaabL

LEI6Pabzaz

2222

1212

=++=

+==

Pba

LaP

LbP

LbaP

2 12 1

z12

z2

z3




Ejemplo 3: Determine los momentos de empotramiento de la viga de la viga.

Por las condiciones de apoyo se sabe que el giro en B es nulo. Aplicando primer teorema de Mohr:

0LEIM

21L

EIM

21b

EILPab

21a

EILPab

21 BA =+++

0LMLML

PabL

bPaBA

22

=+++

( )baL

PabMM 2BA +=+

LPabMM BA =+

Por las condiciones de apoyo se sabe que el desplazamiento en B es nulo. Aplicando segundo teorema de Mohr:

03LL

EIM

21

3L2L

EIM

21

3b2b

EILPab

21

3aba

EILPab

21 BA =++

+

+

03LLM

3L2LM

L3Pab2

L3bPa

LbPa

BA

3322

=++++

++=+

3b2

3aab

LPabM

31M

32 22

3BA

BM

Pba

LbaP

BM

AM

AM




))(( b2abaL

PabMM23BA

++=+

)( b2aL

PabMM22BA

+=+ Entonces resolviendo el sistema:

)( b2aL

PabMM2

LPabMM

2BA

BA

+=+

=+

Se obtiene:

AB MLPabM =

)( b2aL

PabML

PabM2 2AA +=

2

2

2

2

2A LPab2

LbPa

LPabb2a

LPab

LPabM =+= )(

2

2

2

2

2

2

A LPab

LPab

LbPa

LPabM =

2

2

2A LPabba

LPab

LPabM += )(

Finalmente:

2

2

A LPabM =

2

2

B LbPaM =




3 Mtodo de los Desplazamientos. Planteamiento Tradicional.

El mtodo de los desplazamientos o la rigidez se caracteriza por tener como incgnitas los desplazamientos generados en las estructuras debido a las cargas aplicadas y en funcin de parmetros de rigidez de la estructura, tal como lo indica su nombre. El mtodo propone fijas los nudos tanto angular como linealmente, analizando el efecto que tienen las cargas externas sobre la estructura; para luego imponer pequeos desplazamientos a las estructuras para cada una de las restricciones impuestas y calcular su efecto sobre los esfuerzos internos. Finalmente, aplicando el principio de superposicin, se determina el efecto conjunto. Por cada componente de desplazamiento desconocida se establece una ecuacin de equilibrio. Formando un sistema de ecuaciones que permite determinar dichas deformaciones y mediante las mismas obtener los esfuerzos internos en la estructura. Ejemplo:

Mtodo de las Flexibilidades

Ecs de compatibilidad: 1 = 0 2 = 0 3 = 0

P

A

D

CB

P

A

D

C B

P

A

D

C B

(0) X1

A

D

CB

(1) X3

A

D

CB

(3) X2

A

D

C B

(2) = + + +




Sistema de Ecuaciones:

=

+

000

XXX

3

2

1

333231

232221

131211

30

20

10

Coeficientes de flexibilidad:

( ) ( ) ( ) ( ) +++=

= iiii L0

i

jkL

0i

jkL

0i

jk

elementos

L

0i

jk

jk

2

kj dsGJTT

dsGA

QQds

EIMM

dsEA

NNXXu

Mtodo de las deformaciones:

Ecs de compatibilidad: R1 = 0 R2 = 0 R3 = 0 Sistema de Ecuaciones:

=

+

=

000

zzz

rrrrrrrrr

RRR

RRR

3

2

1

333231

232221

131211

30

20

10

3

2

1

P

A

D

C B

= + +

P

(0)

(1)

(2)

+ + (3)

R10

R30

R20 r11 r12

r13

r21 r31

r23

r22 r32

r33

z1

z2

z3




Coeficientes de rigidez:

jk

2

kj zzur

=

4 Mtodo Slope & Deflection El mtodo pendiente-deflexin se basa en expresar los momentos de los extremos de los miembros de estructuras estticamente indeterminada en funcin de los giros y deflexiones observadas en los nudos, teniendo como supuesto que si bien los nudos pueden girar o deflectarse, los ngulos entre los elementos que convergen en el nudo se mantienen constantes. Este mtodo considera slo el efecto de la flexin sobre los elementos y omite el efecto del corte y axial. Este mtodo es adecuado para el anlisis de estructuras pequeas, corresponde a un caso especial del mtodo de las deformaciones o rigideces y proporciona una muy buen aproximacin inicial para presentar la formulacin matricial del mtodo de la rigidez. Este mtodo presenta adems la ventaja de proporcionar de manera inmediata un primer esbozo de la deformada. A fin de presentar la ecuaciones que definen este mtodo considere el siguiente elemento estructural ubicado entre los puntos A y B:

Si descomponemos los esfuerzos reales originados solo por las cargas externas impidiendo los giros y desplazamientos en los extremos y aquellos generados por estas deformaciones, se puede afirmar que los valores totales de los momentos en los extremos (MAB y MBA) deber considerar el efecto de:

B A

P1 P4P2 P3 P5 q




1. Los momentos de empotramiento (MeAB y MeBA) debidos a las cargas externas, que es posible calcular mediante los teoremas de Mohr o son fciles de encontrar tabulados.

2. Los momentos generados por los giros en los nudos A y B.

3. Los momentos originados por la rotacin de la cuerda si uno o ambos extremo sufren un

desplazamiento.

Si conocemos los momentos generados en los extremos (MAB y MBA), es posible calcular por el 2 Teorema de Mohr los giros que los originan.

L3L

2L

EIM

3L2

2L

EIM

Lz

BAAB

BA

==

B A

P4P3q

MeAB MeBA

B A

MAB

MBA

A

B

(-)

(+)

B A

L




=

EI6LM

EI6LM2 BAAB

A

( )BAABA MM2EI6L =

Anlogamente:

( )BAABB M2MEI6L +=

Adems debemos incluir el efecto de giro debido al desplazamiento relativo de los apoyos:

( ) += BAABA MM2EI6L

( ) ++= BAABB M2MEI6L

De estas ecuaciones es posible despejar el valor de los momentos flectores en los extremos (MAB y MBA), a los cuales se les debe sumar los efectos de las cargas externas (MeAB y MeBA). Finalmente las ecuaciones que define este mtodo para cada elemento son las siguientes.

( ) eABBAAB M32LEI2M ++=

( ) eBABABA M32LEI2M ++=

Las estructuras entonces sern resueltas aplicando las ecuaciones de equilibrio a cada uno de los nudos y niveles de la estructura respetando la siguiente convencin de signos:

Cabe hacer notar que esta ecuaciones slo son vlidas para barras homogneas, esbeltas y prismticas (seccin constante). Para barras no prismticas existen expresiones corregidas de mayor complejidad que se presentaran ms adelante. Finalmente, cabe destacar, que si hacemos una comparacin con el mtodo de las fuerzas, este mtodo presenta la ventaja de en algunos casos poder reducir el nmero de incgnitas del problema. El mtodo de las fuerzas genera un sistema con un numero de incgnitas igual al nmero de redundantes, mientras que el mtodo Slope & Deflection puede reducir el nmero de incgnitas a unas cuantas rotaciones y asentamientos en los nudos, an en el caso de estructuras de muchos niveles.

(+) (+) (+)




Ejemplos: Ejemplo 1: Ejemplo 16.2 McCormac (Pg. 470) Ejemplo 2: Ejemplo 16.3 McCormac (Pg. 472) Ejemplo 3: Ejemplo 16.6 McCormac (Pg. 477) Ejemplo 4:

A

C

D

F

E B

2P

P

L

L

L

EI = cte




Barras No prismticas Homogneas No Esbeltas: En el caso de barras de seccin variable y baja esbeltez, el corte asociado a las deformaciones no es despreciable, por lo tanto se obtiene los siguientes diagramas:

Adems consideremos que los diagramas de momentos y corte de las cargas externas corresponden a 00 MxM =)( y 00 QxQ =)( . Entonces, aplicando carga unitaria obtendramos:

2A1A0AA ++=

+=+= 10L0

L1

0L

0

Lx

o0A CdxGA

Qdx

EI1M )()(

)()( AB11ABL

0

2L

1AB

L

0

2L

xAB

1A McMdxGAM

dxEI1M +=+=

)())(( BA12BAL

0

2L

1BA

L

0

L1

Lx

BA2A McMdxGA

Mdx

EI1M +=+=

MAB

MBA

B A

B (-)

(+)

B A B

A B

(+) (+)MAB/L

MBA/L

= +

=Lx1MxM AB )(

=L1MxQ AB )(

=

Lx

1xM )(

=L1xQ )(

=LxMxM BA )(

=L1MxQ BA )(

=LxxM )(

=L1xQ )(




Entonces:

++++= )( BAABBA12AB1110A MMMcMcC Anlogamente:

++++= )( BAABBA22AB2120B MMMcMcC Finalmente: ( ) ( ) ( ) BA12AB1110A McMcC ++=

( ) ( ) ( ) BA22AB1220B McMcC +++= Puesto de otra forma:

BA12AB1110A MdMdD +=

BA22AB1220B MdMdD += Finalmente despejando los valores de momento y expresando las integrales en su versin de suma discreta, las ecuaciones de pendiente deflexin sern: ( ) eABABAABABAAAAB MKKKKM +++=

( ) eBABBABBBBAABBA MKKKKM +++= Donde:

( )212221122

AAddd

dK = ( )2122211

11BB

dddd

K = ( )212221112

ABddd

dK =

( )212221120121022e

ABddd

DdDdM

=

( )2122211

10122011eAB

dddDdDd

M =

Donde adems:

= 1010 CD += 2020 CD

+= 1111 cd += 2222 cd = 1212 cd




Y finalmente:

( )

=k K

kk

k0

10 EI

xLx

1MC

( )

=

k K

kk

k0

20 EI

xLx

MC

( )

=k K

k

2k

11 EI

xLx

1c

( )

=

k K

k

2k

22 EI

xLx

c

( )

=k K

kkk

12 EI

xLx

Lx

1c

( ) = k K kk0k LGAxQ

( )

=k

2K

kk

LGAx

Barras prismticas Homogneas No Esbeltas: Basados en las ecuaciones obtenidas anteriormente y aplicando las condiciones de barras prismticas, esto es:

( ) CteGA Kk =

Entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0MMLGAdzdzdMLGAdzQLGAdzLGAQ 00L0L

0

0L

00

L

0

0 ==

=== )()( Pues, 0MM 00L0 == )()( , momentos en los nodos.

( ) ( ) ==L

02 LGA

dxLGA

As:

( )( )( ) ( )+=

+=+== 2

EI6L

LGAEI62

EI6L

LGAEI3Ldd 2211

( )( )( ) ( )=

== 1

EI6L

LGAEI61

EI6L

LGAEI6Ld12




Donde:

( )

( ) 2LGAEI6

=

Reemplazando los factores en los coeficientes y estos en las ecuaciones correspondientes, acaba por entregarnos:

( ) ( ) ( )( ) eABBAAB M31221LEI2M ++++=

( ) ( ) ( )( ) eBABABA M32121LEI2M ++++=

En el caso de seccin rectangular:

2

Lh51

= .




Ejemplo 5: Calcular los coeficientes de la ecuacin de deformacin angular, para las barras del marco

de la figura. Determine los diagramas de momento y corte cuanto el punto D del marco desciende 3 cm.

0.5 [m]

= x10

sen501e .

e [m]

10 [m]

1 [m]

5 [m]

0.6 [m]

0.6 [m] 3 [m]

A

B C

D

= 0.03 [m]

E = 300000 [Kg/cm2] b = 30 cm

Anlisis de Estructuras Captulo 5 Mtodo de la Rigidez Enfoque Matricial

66 Claudio Oyarzo V.


Captulo 5

Mtodo de la Rigidez. Enfoque matricial.

1 Prembulo Como parte final de este curso se estudiara un enfoque especifico del mtodo de los desplazamientos. Este mtodo conocido como mtodo de la rigidez corresponde a un mtodo matricial que permite la resolucin de todo tipo de estructuras y se basa en la construccin y operacin de las matrices de rigidez de cada elemento y global de la estructura, los vectores de fuerzas externas y vectores de desplazamiento. Dada la simplicidad de la metodologa y lo estructurado de los algoritmos de resolucin mediante este mtodo, ha sido el utilizado en forma privilegiada en la construccin de mtodos computacionales y el diseo de herramientas informticas que ayuden al ingeniero en el anlisis de las estructuras y la determinacin de sus reacciones de apoyo y esfuerzos internos. En este punto, cabe recordar lo aprendido en cursos anteriores respecto a los materiales que cumplen con la ley de Hooke. En ellos la deformacin debido a una fuerza externa es proporcional a dicha carga, esto es:

= KF A esta constante de proporcionalidad K, llamaremos Rigidez.




2 Matriz de rigidez elementos tipo Barra. Enrejados.

2.1 Anlisis Bidimensional Considere un elemento tipo barra, el cual puede ser sometido slo a esfuerzos de traccin y compresin. Ubicado sobre el plano de la forma en que se indica en la figura.

Se han definido 1u y 2u : Grados de libertad locales.

1d , 2d , 3d y 4d : Grados de libertad globales.

1s y 2s : Fuerzas axiales. x : ngulo de la barra respecto al eje x. y : ngulo de la barra respecto al eje y.

Consideremos entonces la barra respecto a sus grados de libertad locales.

1. Sometida a una carga que genere una deformacin positiva en el punto 1.

Entonces

11111 kLAEs ==

11212 kLAEs ==

1u

2u

1s

2s

1d

2d3d

4d

x

y

x y

1

2

1u 2u1s 2s

1




2. Sometida a una carga que genere una deformacin positiva en el punto 2.

Entonces

22121 kLAEs ==

22222 kLAEs ==

3. La accin conjunta entonces ser.

Entonces

212111211 kkLAE

LAEs +==

222121212 kkLAE

LAEs +=+=


=

2

1

2221

1211

2

1

kk

kk

s

s

=

2

1

2

1

LAE

LAE

LAE

LAE

ss

{ } [ ] { }uks = La matriz [ ]k es conocida como Matriz de Rigidez del elemento respecto a sus grados de libertad locales.

1u 2u1s 2s2

1u 2u1s 2s

21




[ ]

=

11

11

LAEk

Pero para poder operar esta matriz con el resto de los elementos de la estructura es necesario convertirla a los grados de libertad globales (compatibilidad geomtrica). Esto se realiza mediante la matriz de transformacin [ ]T .

[ ]

=yx

yx

0000

T

coscoscoscos

Donde:

Lxx 12

x=cos

Lyy 12

y=cos

( ) ( )212212 yyxxL +=




2.2 Anlisis Tridimensional El anlisis anterior es posible hacerlo extensivo al espacio tridimensional.

Se han definido

1u y 2u : Grados de libertad locales.

1d , 2d , 3d , 4d , 5d y 6d : Grados de libertad globales.

1s y 2s : Fuerzas axiales. x : ngulo de la barra respecto al eje x. y : ngulo de la barra respecto al eje y. z : ngulo de la barra respecto al eje z.

Se aplica el mismo razonamiento, por lo que se obtiene que la Matriz de Rigidez del elemento respecto a sus grados de libertad locales tambin es:

[ ]

=1111

LAEk

Pero la matriz de transformacin ser:

[ ]

=

zyx

zyx 00

000

0T

coscoscos

coscoscos

Donde:

1u

2u

1s

2s

2d

3d

5d

6d

y

z

y z

1

2

1d

x

4dx




Lxx 12

x=cos

Lyy 12

y=cos

Lzz 12

z=cos

( ) ( ) ( )212212212 zzyyxxL ++=




3 Matriz de rigidez elementos tipo Viga. Marcos.

3.1 Anlisis Bidimensional Considere un elemento tipo viga, el cual puede ser sometido a esfuerzos de traccin-compresin, corte y flexin. Ubicado sobre el plano de la forma en que se indica en la figura.Se han definido

1u , 2u , 3u , 4u , 5u y 6u : Grados de libertad locales.

1d , 2d , 3d , 4d , 5d y 6d : Grados de libertad globales.

1s y 4s : Fuerzas axiales.

2s y 5s : Fuerzas de corte.

3s y 6s : Momentos Flectores. x : ngulo de la barra respecto al eje x. y : ngulo de la barra respecto al eje y.

6d

x

y

x y

1

2

1u

2u

1s

2s1d

2d 3d

3u

3s

4u4s

5s

4d

5d5u

6s6u




Consideremos entonces la barra respecto a sus grados de libertad locales.

1. Sometida a una carga que genere una deformacin positiva en direccin 1u .

Entonces

11111 kLAEs == 0s2 = 0s3 =

11414 kLAEs ==

0s5 = 0s6 =

2. Sometida a una carga que genere una deformacin positiva direccin 4u .

Entonces

44141 kLAEs ==

0s2 = 0s3 =

44444 kLAEs == 0s5 = 0s6 =

1u 4u1s 4s

1

1u 4u1s 4s4





Entonces 0s1 =

222232 kLEI12s ==

223223 kLEI6s ==

0s4 = 225235 kL

EI12s ==

226226 kLEI6s ==


Entonces 0s1 =

552532 kLEI12s ==

553523k

LEI6s ==

0s4 = 555535 kL

EI12s ==

556526 kLEI6s ==

2u

2s

2

5s

3s

6s

5u

2s 5

5s

3s6s





Entonces 0s1 =

332322 kLEI6s ==

33333 kLEI4s ==

0s4 = 335325 kL

EI6s ==

33636 kLEI2s ==


Entonces

0s1 = 662622 kL

EI6s ==

66363 kLEI2s ==

0s4 = 665625 kL

EI6s ==

66666 kLEI4s ==

3u

2s

3

5s

3s6s

6u

2s6

5s

3s6s




La accin conjunta entonces ser entonces:

441111411 kkLAE

LAEs +==

662552332222625332232 kkkkLEI6

LEI12

LEI6

LEI12s +++=++=

6635533332236523223kkkk

LEI2

LEI6

LEI4

LEI6s +++=++=

444114414 kkLAE

LAEs +=+=

665555335225625332235 kkkkLEI6

LEI12

LEI6

LEI12s +++=+=

6665563362266523226 kkkkLEI4

LEI6

LEI2

LEI6s +++=++=


=

6

5

4

3

2

1

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

s

s

s

s

s

s

=

6

5

4

3

2

1

22

2323

22

2323

6

5

4

3

2

1

LEI4

LEI60

LEI2

LEI60

LEI6

LEI120

LEI6

LEI120

00L

AE00L

AELEI2

LEI60

LEI4

LEI60

LEI6

LEI120

LEI6

LEI120

00L

AE00L

AE

s

s

s

s

s

s

{ } [ ] { }uks =




La matriz [ ]k es conocida como Matriz de Rigidez del elemento respecto a sus grados de libertad locales.

[ ]

=

LEI4

LEI60

LEI2

LEI60

LEI6

LEI120

LEI6

LEI120

00L

AE00L

AELEI2

LEI60

LEI4

LEI60

LEI6

LEI120

LEI6

LEI120

00L

AE00L

AE

k

22

2323

22

2323

Pero para poder operar esta matriz con el resto de los elementos de la estructura es necesario convertirla a los grados de libertad globales (compatibilidad geomtrica). Esto se realiza mediante la matriz de transformacin [ ]T .

[ ]

=

100000

0000

0000

000100

0000

0000

T

xy

yx

xy

yx

coscos

coscos

coscos

coscos

Donde:

Lxx 12

x=cos

Lyy 12

y=cos

( ) ( )212212 yyxxL +=




3.2 Anlisis Tridimensional El anlisis anterior es posible hacerlo extensivo al espacio tridimensional.

Se han definido

1u y 7u : Grados de libertad locales axiales.

2u , 3u , 8u y 9u : Grados de libertad locales de corte.

4u y 10u : Grados de libertad locales de torsin

5u , 6u , 11u y 12u : Grados de libertad locales tipo giros.

1d y 7d : Grados de libertad globales de desplazamiento en x.

2d y 8d : Grados de libertad globales de desplazamiento en y.

3d y 9d : Grados de libertad globales de desplazamiento en z.

4d y 10d : Grados de libertad globales de giro en torno a x .

5d y 11d : Grados de libertad globales de giro en torno a y.

6d y 12d : Grados de libertad globales de giro en torno a z.

1s y 7s : Fuerzas axiales.

2s , 3s , 8s y 9s : Fuerzas de corte.

4s y 10s : Momentos Torsores.

5s , 6s , 11s y 12s : Momentos Flectores. x : ngulo de la barra respecto al eje x. y : ngulo de la barra respecto al eje y. z : ngulo de la barra respecto al eje z.

x

2d

3d

5d

6d

y

z

y z

1

2

1d

4d

x

8d

9d

11d

12d

7d

10d




Se aplica el mismo razonamiento, por lo que se obtiene que la Matriz de Rigidez del elemento respecto a sus grados de libertad locales pero se incluye el efecto de la torsin, por lo tanto al matriz de rigidez del elemento segn sus grados de libertad locales es :

[ ]

=

LEI4000

LEI60

LEI2000

LEI60

0LEI4

00000LEI2

0LEI6

00

00L

GJ00000L

GJ000

000LEI12

000LEI6

0LEI12

00

LEI6000

LEI120

LEI6000

LEI120

00000L

AE00000L

AELEI2000

LEI60

LEI4000

LEI60

0LEI2

0LEI6

000LEI4

0LEI6

00

00L

GJ00000L

GJ000

0LEI6

0LEI12

000LEI6

0LEI12

00

LEI6000

LEI120

LEI6000

LEI120

00000L

AE00000L

AE

k

x2

xx2

x

yy2

y

3y

2y

3y

2x

3x

2x

3x

x2

xx2

x

y2

yy2

y

2y

3y

2y

3y

2x

3x

2x

3x

Pero la matriz de transformacin ser:

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ] 12x12T0000T0000T0000T

T

=

**

**

Donde:

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

++

++

+=

2z

2x

x2

z2

x

z

2z

2x

zy2z

2x2

z2

x

yx

zyx

0

T

coscos

cos

coscos

coscoscos

coscoscoscos

coscos

coscoscoscoscos

*

Donde:

Lxx 12

x=cos

Lyy 12

y=cos

Lzz 12

z=cos

( ) ( ) ( )212212212 zzyyxxL ++=




Finalmente debemos hacer notar que si :

( ) ( ) 02z2x =+ coscos La matriz [ ]*T no esta definida. En este caso:

[ ]

=

100

00

00

T y

y

cos

cos

*

4 Matriz de rigidez global. Del anlisis anterior hemos determinado que la relacin existente entre las deformaciones en coordenadas locales y las fuerzas actuantes en dichas direcciones es:

{ } [ ] { }uks i = (1) Si deseamos convertir la anterior ecuacin a un sistema de coordenadas globales, podemos utilizar las ecuaciones de compatibilidad geomtrica, que relacionan los grados de libertad locales con los grados de libertad globales mediante la matriz de transformacin correspondiente: { } [ ] { }dTu = (2) Por lo tanto reemplazando en (1): { } [ ] [ ] { }dTks i = (3) Adems, podemos establecer las ecuaciones de equilibrio. En ellas se debe comprobar que la las componentes en los grados de libertad globales resultante de las cargas externas debe ser igual a las fuerzas internas expresadas en el mismo sistema de coordenadas (globales), esto es:

{ } [ ] { }WTs = O bien : { } [ ] { }sTW 1 = Que dadas las propiedades de la matriz [ ]T se puede demostrar que [ ] [ ]T1 TT = , por lo tanto:




{ } [ ] { }sTW T = Volviendo a la ecuacin (3), obtenemos: { } [ ] [ ] { }dTks i = Premultiplicando por [ ]TT , se tiene:

[ ] { } [ ] [ ] [ ] { }dTkTsT iTT = { } [ ] [ ] [ ] { }dTkTW iT =

{ } [ ] { }dkW i = Donde la matriz [ ]k se conoce como matriz de rigidez del elemento referido a los grados de libertad globales: [ ] [ ] [ ] [ ]TkTk iTi = Mediante la metodologa antes expuesta es posible obtener las matrices de rigidez de cada uno de los elementos referidos a grados de libertad globales. Esto se realiza operando matrices de manera muy simple. Solo resta, entonces, ensamblar utilizando las matrices [ ]k de cada elemento de manera adecuada a fin de obtener la matriz de rigidez de la estructura completa [ ]K , en que se considera como aporta la rigidez de cada elemento en las resistencia a la deformacin en los diferentes grados de libertad, previamente definidos.

5 Modelacin.

5.1 Ensamble de la matriz de Rigidez de la estructura. Una vez que todas las matrices de rigidez de los elementos se han expresado en coordenadas globales, resulta necesario ensamblarlas en el orden apropiado para poder encontrar la matriz de rigidez de la estructura completa [ ]K . Este proceso de combinar las matrices de cada elemento depende de una cuidadosa identificacin de las componentes de cada matriz. Para lograr lo anterior es necesario enumerar cada uno de los nodos de la estructura, luego enumerar cada elemento y direccionarlos a fin de determinar sus grados de libertar locales. En seguida, para cada nodo, indicar los grado de libertar globales. Cada componente de las matrices de rigidez de los elementos corresponder al efecto que dicho elemento ejerce sobre el grado de libertad global correspondiente de la estructura, y por lo tanto, se le asignara una posicin determinada (fila-columna) en la matriz de rigidez global de




la estructura [ ]K . Las dimensiones de la matriz [ ]K , entonces, quedarn definidas por el numero de grados de libertad de la estructura. Para entender mejor, veamos un ejemplo. Ejemplo 1: Determinar la matriz de rigidez de la siguiente estructura. Considere AE igual para todas la barras.

Desarrollo:

1) Enumerar Nodos, Enumerar Barras y direccionarlas.

2) Identificar los grados de libertad globales (incgnitas).

1 2

3 4

1

32

4

5

6

d1

d2

d3 d4

d5

2 m

2 m




3) Definir las matrices de rigidez por elemento en coordenadas locales [ ]ik y sus matrices

de transformacin [ ]iT .

[ ] ( )

=

11

11

LAEk

i

ii [ ]

=

yx

yx

i00

00T

coscos

coscos

Luego:

[ ]

=

11

11

2AEk1 [ ]

=

0100

0001T1

[ ]

=

11

11

2AEk2 [ ]

=

1000

0010T2

[ ]

=

11

11

22AEk3 [ ]

=

22

2200

0022

22

T3

[ ]

=

11

11

22AEk4 [ ]

=

22

2200

0022

22

T4

[ ]

=

11

11

2AEk5 [ ]

=

0100

0001T5

[ ]

=

11

11

2AEk6 [ ]

=

1000

0010T6

4) Definir las matrices de rigidez por elemento en coordenadas globales [ ]ik .

[ ] [ ] [ ] [ ]TkTk iTi =

Luego:




[ ]5

2

1

1

521

d0dd

00000500500000050050

AEk

d0dd

=

..

..

[ ]4

3

2

1

2

4321

dddd

5005000000

5005000000

AEk

dddd

=..

..

[ ]00dd

1760176017601760176017601760176017601760176017601760176017601760

AEk

00dd

2

1

3

21

=................

[ ]5

4

3

4

543

d0dd

176017601760176017601760176017601760176017601760

1760176017601760

AEk

d0dd

=

............

....

[ ]00dd

00000500500000050050

AEk

00dd

4

3

5

43

=

..

..

[ ]00d0

5005000000

5005000000

AEk

00d0

56

5

=..

..




En la matrices se ha indicado a que grado de libertad de la estructura corresponde cada componente.

5) Ensamble de la matriz de rigidez de la estructura en coordenadas globales [ ]K . Debido

a que existen 5 grados de libertad la matriz tendr dimensiones 5x5.

[ ]5

4

3

2

1

54321

ddddd

501760176017600017601760501760500

1760176050176000050017605017600001760176050

AEK

ddddd

++

++

+

=

.........

........

...

[ ]5

4

3

2

1

54321

ddddd

67601760176000176067601760500

1760176067600005006760176000017606760

AEK

ddddd

=

.......

......

..




6) Generar la ecuacin de rigidez de la estructura. { } [ ] { }dKW =

{ }

=

5

4

3

2

1

d

d

d

d

d

67601760176000

176067601760500

17601760676000

050067601760

00017606760

AEW

...

....

...

...

..




5.2 Condiciones de Apoyo. Definicin de Grados de libertad activos. (Vectores de conectividad).

Como se ve en el ejemplo anterior, solo algunos grados de libertad de todos los posibles son los que participan de la deformacin de la estructura, vale decir, solo algunos, estn activos. Por lo tanto de las matrices de rigidez de cada elem

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