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Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

1

MATEMÁTICAS BÁSICAS

DETERMINANTES CONCEPTO DE DETERMINANTE DEFINICIÓN

Sea A una matriz cuadrada de orden n . Se define como determinante de A (denotado como A ,

( )Adet ó A∆ ) a la suma de los n productos (signados) formados por n-factores que se obtienen al multiplicar n-elementos de la matriz de tal forma que cada producto contenga un sólo elemento de cada fila y columna de A . Esto significa que un determinante es un valor numérico κ que está relacionado con una matriz cuadrada y que sigue ciertas reglas para su cálculo .

( ) κ==

nnnnn

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

⋯

⋮⋮⋮⋮⋮

…

…

…

321

3333231

2232221

1131211

det

Dos matrices diferentes (tanto en orden como en elementos) pueden tener igual determinante. Nótese como la notación de determinante no presenta los corchetes (a diferencia de las matrices) sino sólo líneas. CÁLCULO DE DETERMINANTES DE SEGUNDO Y TERCER ORDEN. REGLA DE SARRUS Para calcular determinantes de segundo y tercer grado el método más simple es el de multiplicación diagonal, mejor conocido como Regla de Sarrus.

Esta regla establece que para una matriz de segundo orden

=

2221

1211

aa

aaA , su determinante se calcula

de la siguiente manera:

( )12212211

2221

1211det aaaa

aa

aaA −==

esto significa que el determinante de segundo orden es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. Ejemplos.

1) ( ) ( ) 21012524342

53=−=−=


2

2) ( ) ( ) 42428837473

84−=+−=−−−=

−−

3) ( ) ( ) 7830486541245

612=+=−−−−=

−−−

La regla de Sarrus aplicada a una matriz de tercer orden

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A , establece que su

determinante se calcula como:

( )233211331221132231231231133221332211

333231

232221

131211

det aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

A −−−++==

esto significa que el determinante de segundo orden es la suma de los productos de los elementos de la diagonal principal y sus dos paralelas, menos la suma de los productos de los elementos de la diagonal secundaria y sus dos paralelas. Ejemplos.

1) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )101637542132507641

602

147

531

−−−−−−−−−++=−

−−

1840126406024 =+++−+=

2) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )10728130511011073852

871

1053

012

−−−−−−++−=−

−

25414024010080 −=−−−−+−=

3) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )393154827357894123

197

324

853

−−−−−−−+−+−=−

−−

57281201121052886 −=−+−−−−= PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1. Si todos los elementos de una columna o de un renglón son cero, entonces el determinante es cero.

Ejemplos.

1) ( ) ( ) 000060206

02=−=−=


3

2) ( )( ) ( ) 000100900

19=−=−−=

−

2. El determinante de la matriz A es igual al determinante de la matriz TA

Ejemplo.

−=

38

15A

( ) ( ) ( )( ) 23815183538

15det =+=−−=

−=A

−=

31

85TA

( ) ( ) ( )( ) 23815813531

85det =+=−−=

−=TA

3. Si cada elemento de un renglón o una columna es multiplicado por un escalar k , el determinante es

también multiplicado por k . Ejemplos.

( ) ( ) 21210345254

32−=−=−=

Multiplicando el primer renglón por 3=k

( ) ( )( ) 63630945654

96−=−=−=

Multiplicando la primera columna por 3=k

( ) ( ) 6363031256512

36−=−=−=

en general:

nnnn

n

n

nnnn

n

n

nnnn

n

n

aaa

aaa

kakaka

aaka

aaka

aaka

aaa

aaa

aaa

k

…

⋮⋮⋮⋮

⋯

⋯

⋯

⋮⋮⋮⋮

⋯

⋯

⋯

⋮⋮⋮⋮

⋯

⋯

21

22221

11211

21

22221

11211

21

22221

11211

==

4. Si se intercambian dos renglones o (columnas) el signo del determinante cambia. Ejemplos.

( ) ( ) 358512421

54=−=−=

intercambiando renglones:


4

( ) ( ) 385245154

21−=−=−=

intercambiando columnas:

( ) ( ) 385421512

45−=−=−=

5. Si un renglón (o columna) se traslada p renglones (o columnas) entonces el determinante obtenido

es igual a: ( ) ∆− p1

Ejemplo.

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )114221300120311204

210

101

324

−−−−−−−+−+−=−−−=∆

3440030 −=−+−+−= si se mueve la primera columna, dos posiciones, entonces:

( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )122030411131420012

021

110

432

1−−−−−−−+−+−=

−−−=∆

( ) ∆−=−=+−−−−= 213404300

si se mueve el primer renglón, una posición, se tiene:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )311204120300114221

210

324

101

2−−−−−−+−−+−=

−−

−=∆

( ) ∆−==+++++−= 113300044

6. Si dos renglones o dos columnas son iguales, entonces el determinante es cero. Ejemplos.

1) ( ) ( ) 066166166

11=−=−=

2) ( )( ) ( )( ) 01010525252

52=+−=−−−=

−−

7. Un determinante no cambia de valor si a todos los elementos de un renglón (o columna) le son

sumados o restados los elementos de otro renglón (o columna) multiplicados por un escalar:

innninin

n

n

nnnnjn

nj

nj

nnnn

n

n

kaakaakaa

aaa

aaa

aakaa

aakaa

aakaa

aaa

aaa

aaa

+++

=

+

++

=

…

⋮⋮⋮⋮

⋯

⋯

⋯

⋮⋮⋮⋮

⋯

⋯

⋯

⋮⋮⋮⋮

⋯

⋯

2211

22221

11211

21

222221

112111

21

22221

11211


5

Ejemplo.

( ) ( ) 538314241

32=−=−==∆

sumando a la primera columna la segunda multiplicada por 2 : ( )( ) ( ) ( ) 527323948

49

38

4421

33222 =−=−==

++

=∆

al segundo renglón de ∆ se le resta tres veces el primer renglón:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 51510355255

32

334231

322 =+−=−−−=

−−=

−−=∆

Esta propiedad es muy empleada para obtener ceros y así simplificar el cálculo del determinante. Ejemplo.

( )( )( )

15

300

250

111

30326

25224

11123

306

254

113

=−

=−−

−−=

−=∆

MENOR DE UN ELEMENTO Sea un determinante de orden n , correspondiente a una matriz A :

( )

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

⋯

⋮⋮⋮⋮

⋯

⋯

21

22221

11211

det =

Se define el menor de un elemento ija al determinante que resulta de eliminar el renglón i y la columna

j . Si se denota como ijM a tal determinante, se tiene:

nnnjnn

inijjj

nj

nj

ij

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

M

⋯⋯

⋯⋯⋯⋯⋯⋯

⋯⋯

⋯⋯⋯⋯⋯⋯

⋯⋯

⋯⋯

21

21

222221

111211

=

Ejemplos. Dado el determinante:

2610

412

351

−

−−=∆


6

Algunos menores son:

32302210

31

2610

412

351

22=+=

−−−

=−

−−=M

2332041

35

2610

412

351

31=+=

−=

−

−−=M

56506610

51

2610

412

351

23−=−−=

−=

−

−−=M

Ejemplo. Dado el determinante:

6132

4578

10209

2315

−

=∆

Encontrar el menor 43M

Solución:

180350360801260

478

1009

215

6132

4578

10209

2315

43 −=−−−++==

−

=M

COFACTOR DE UN ELEMENTO

Se define el cofactor de un elemento ija , el cual se denota ijA , como:

( ) ij

ji

ij MA+−= 1

es decir, el cofactor es igual al menor multiplicado por 1 ó 1− , dependiendo si la suma de los dos subíndices es par o impar, respectivamente. Ejemplo. Calcular los cofactores del siguiente determinante:

( )85

114det

−−=A

Solución:

811

−=A

512

=A


7

1121

−=A

422

=A Ejemplo. Calcular los cofactores de los elementos correspondientes al primer renglón del siguiente determinante:

( )2103

452

101

det −=A

Solución.

304010210

4511 −=−==A

( ) 1612423

4212 =−−−=

−−=A

351520103

5213 −=−−=

−=A

El determinante de una matriz A de cualquier orden puede obtenerse mediante la suma de los productos de los elementos de cualquier renglón o columna por sus respectivos cofactores:

( ) ∑ ∑= =

==n

j

n

i

ililkjkj AaAaA1 1

det

Para el renglón k o la columna l . Así, para un determinante de tercer orden, se tiene:

( )131312121111

333231

232221

131211

det AaAaAa

aaa

aaa

aaa

A ++==

3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa +−=

esto significa que se elige el primer renglón y se suman los elementos por sus respectivos cofactores. Este procedimiento también puede aplicarse a columnas, por ejemplo, para el caso anterior:

( )2221

1211

33

3231

1211

23

3231

2221

13det

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaaA +−=

esto significa que se elige la tercera columna y se suman los elementos por sus respectivos cofactores. Ejemplo. Calcular el siguiente determinante aplicando cofactores:


8

( )312

546

821

det

−−

−=A

Tomando el primer renglón se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )( )86810182512112

468

32

562

31

541 +−−+−−+−=

−−

−+−−−

=

( ) ( ) ( )( ) 3916167288271 −=−−−=−+−−= Ahora, tomando la segunda columna se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )485116341018256

811

32

814

32

562 +−−+−+−−=

−−−

−−+−=

( ) ( ) ( ) 3953761653119482 −=+−−=+−−= Cuando aparecen varios ceros en un renglón o en una columna, a fin de simplificar el cálculo de un determinante, es conveniente utilizar ese renglón o columna. Ejemplo.

( )

3140

5230

2120

4121

det

−

−−

=A

11413121110001 AAAAA =+++=

calculando el cofactor 11A y tomando el segundo renglón se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )( )832209156214

232

34

531

31

522 −−−+−−+=

−−+−

−=

( ) ( ) ( )( ) 55221122112111112 =++=−−+−−= MATRIZ ADJUNTA

Si ijaA = es una matriz cuadrada y ijA es el cofactor de ija , se define la matriz adjunta de A ,

denotada AAdj , como la matriz de cofactores de su transpuesta.

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

AAdj

⋯

⋮⋮⋮⋮

⋯

⋯

21

22221

11211

=

Esto significa que para encontrar la matriz adjunta primero se traspone la matriz y después, con base en ella, se calcula la matriz de cofactores. Ejemplo. Obtener la matriz adjunta de:


9

−=

81

73A

La matriz transpuesta es:

−=

87

13TA

La matriz de cofactores de la matriz transpuesta es:

−=

31

78AAdj

Ejemplo. Encontrar la matriz adjunta de:

=433

232

321

A

Solución.

=423

332

321TA

−−−−

−=

−

−−

−

=133

452

516

32

21

32

31

33

32

23

21

43

31

42

32

23

32

43

32

42

33

AAdj

MATRIZ INVERSA MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE LA ADJUNTA En el álgebra matricial, la división no está definida. La inversión de matrices es la contraparte de la división en álgebra. La inversa de una matriz está definida como aquella matriz, que multiplicada por la original da por

resultado la matriz identidad, se denota como 1−A :

IAAAA =⋅=⋅ −− 11

esto se cumple siempre y cuando ( ) 0det ≠A .

La matriz inversa se obtiene en su forma clásica, de la siguiente manera:


10

( ) ( )nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

AAAdj

AA

⋯

⋮⋮⋮⋮

⋯

⋯

21

22221

11211

1

det

1

det

1 =⋅=−

El procedimiento para obtener la matriz inversa de una matriz A por el método de la adjunta es el siguiente:

• Se calcula el determinante de A . Si ( ) 0det ≠A entonces tiene matriz inversa (en caso contrario se dice que es una matriz singular)

• Se obtiene la transpuesta de A , es decir, TA

• Se calcula la matriz de cofactores de TA , dando lugar a la matriz adjunta de A , esto es, AAdj

• Se forma el producto ( ) AAdjA

⋅det

1.

Ejemplo. Obtener la matriz inversa de:

−−=

43

12A

Solución.

( ) ( ) 53843

12det −=−−−=

−−=A

−−

=41

32TA

−−=

23

14AAdj

−−=

−−−=⋅

−=−

5

2

5

35

1

5

4

23

14

5

1

5

11AAdjA

Comprobación:

+−+−

−−=

−−

−−=⋅ −

5

8

5

3

5

12

5

125

2

5

2

5

3

5

8

5

2

5

35

1

5

4

43

121

AA

I=

=

10

01

Ejemplo. Obtener la matriz inversa de:


11

−−

−=

634

215

012

A

Solución.

( ) 14123008012det −=+−−−+=A

−−−

=620

311

452TA

−−−

=

−−

−−−

−−

−−

−−

−−−−

−

=3211

41238

2612

11

52

31

42

31

45

20

52

60

42

62

45

20

11

60

31

62

31

AAdj

−−

−−

−−

=

−−−

−=⋅

−=−

14

3

14

2

14

1114

4

14

12

14

3814

2

14

6

14

12

3211

41238

2612

14

1

14

11 AAdjA

Comprobación:

−−

−−

−−

−−

−=⋅ −

14

3

14

2

14

1114

4

14

12

14

3814

2

14

6

14

12

634

215

0121AA

+−−+−−+−

++−−−−−

+−++−++−

=

14

18

14

12

14

8

14

12

14

36

14

24

14

66

14

114

14

4814

6

14

4

14

10

14

4

14

12

14

30

14

22

14

38

14

60

014

4

14

40

14

12

14

120

14

38

14

24

I=

=100

010

001

La inversa de una matriz diagonal se obtiene invirtiendo sus términos, esto es, si:


12

⇒

=

×

nn

nnnn

a

a

a

a

a

a

A

100

01

0

001

00

00

00

22

11

22

11

⋯

⋮⋮⋮⋮

⋯

⋯

⋯

⋮⋮⋮⋮

⋯

⋯

La inversa de un producto de matrices se obtiene de la siguiente regla:

( ) 111 −−− ⋅=⋅ ABBA SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Muchos problemas de la vida real obligan a resolver simultáneamente varias ecuaciones lineales para hallar las soluciones comunes a todas ellas. También resultan muy útiles en geometría (las ecuaciones lineales se interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema equivale a estudiar la posición relativa de estas figuras geométricas en el plano o en el espacio). Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que se puede escribir de forma tradicional así :

=+++

=+++=+++

mnmnmnm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

…

…⋯⋯…

…

⋯

221

22222121

11212111

Un sistema así expresado tiene m ecuaciones y n incógnitas, donde ija son los coeficientes reales del

sistema, los valores mb son los términos independientes del sistema y las incógnitas ix son las

variables del sistema. La solución del sistema es un conjunto ordenado de números reales nsss ,,,21⋯

tales que al sustituir en las incógnitas satisfacen a la vez las m ecuaciones del sistema. Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta forma :

[ ] [ ] [ ]BxA =⋅

=

mnmnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

……

⋯

⋯⋯⋯⋯

⋯

⋯

2

1

2

1

21

22221

11211

donde:

[ ]A es una matriz de coeficientes


13

[ ]B es un vector de constantes

[ ]x es un vector de incógnitas MÉTODO DE LA MATRIZ INVERSA

Sea la ecuación matricial: [ ] [ ] [ ]BxA =⋅ que denota un sistema de ecuaciones lineales.

Esta ecuación puede ser resuelta para [ ]x , premultiplicando [ ]A por su inversa, y para no alterar el

resultado, también se premultiplica [ ]B por la inversa de [ ]A :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]BAxAA ⋅=⋅⋅ −− 11, esto es:

[ ] [ ] [ ]BAx ⋅= −1

Ejemplos. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

1)

=+=+52

1543

21

21

xx

xx

Solución.

=

12

43A

( ) 58312

43det −=−==A

=

14

23TA

−−

=32

41AAdj

−

−=

−−

−=⋅

−=−

5

3

5

25

4

5

1

32

41

5

1

5

11AAdjA

[ ] [ ] [ ]

=

−+−

=

−

−=⋅= −

3

1

36

43

5

15

5

3

5

25

4

5

1

1BAx

3;121

==∴ xx


14

2)

−=−+=+−=++

2634

523

1154

zyx

zyx

zyx

Solución.

−−=

314

123

541

A

( ) 1121364016156det =−++++=A

−−=

315

124

431TA

−−=

−−

−

−−−

−

−−

−−

−

=141511

142313

14175

24

31

14

41

12

43

15

31

35

41

31

43

15

24

35

14

31

12

AAdj

−

−=

−−=⋅=−

112

14

112

15

112

11112

14

112

23

112

13112

14

112

17

112

5

141511

142313

14175

112

1

112

11 AAdjA

[ ] [ ] [ ]

−−

=

−

−

=

++

−−

−+

=

−

−

−=⋅= −

5

3

2

112

560112

336112

224

112

364

112

75

112

121112

364

112

115

112

143112

364

112

85

112

55

26

5

11

112

14

112

15

112

11112

14

112

23

112

13112

14

112

17

112

5

1BAx

5;3;2 =−=−=∴ zyx

REGLA DE CRAMER La regla de Cramer es aplicable para aquellos sistemas que tienen igual número de ecuaciones que de

incógnitas ( )mn = y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Es decir, para sistemas de que tienen siempre una solución única (compatibles determinados).


15

=+++

=+++=+++

nnnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

…

…⋯⋯…

…

⋯

221

22222121

11212111

El valor de cada incógnita jx se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinante de la

matriz de coeficientes y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna j del

determinante de la matriz de coeficientes por la columna de los términos independientes. Ejemplos. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

1)

=+=−1365

2343

21

21

xx

xx

Solución.

38201865

43=+=

−=∆

Para calcular 1x , se sustituyen los términos independientes en la primera columna:

538

190

38

52138613

423

1

1 ==+=∆

−

=∆

∆= x

x

Para calcular 2x , se sustituyen los términos independientes en la segunda columna:

238

76

38

11539135

233

2

2 −=−=−=∆

=∆

∆= x

x

2;521

−==∴ xx

2)

−=−−−=+−=+−

9396

28104

21732

zyx

zyx

zyx

Solución:

3618036421802526

396

1014

732

=+−−+−=−−−

−−

=∆

Para calcular 1x , se sustituyen los términos independientes en la primera columna:

436

144

36

189025263270176463399

10128

7321

==+−−+−=∆

−−−−−

=∆∆= xx


16

Para calcular y , se sustituyen los términos independientes en la segunda columna:

236

72

36

18025211761260252168396

10284

7212

−=−=+++−−−=∆

−−−=

∆∆

= yy

Para calcular z , se sustituyen los términos independientes en la tercera columna:

136

36

36

50410812650475618996

2814

2132

==+−−+−=∆

−−−−−

=∆∆= zz

1;2;4 =−==∴ zyx

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