EMPLEO DE LA CARTA DE SMITH PARA EL CÁLCULO DE LA IMPEDANCIA DE ENTRADA

DE UN CIRCUITOUNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO, INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA Y

COMUNICACIONES

Tomalá V. *, Molina E. *** Estudiante de Ingeniería Electrónica y Comunicaciones, vtomala3725@uta.edu.ec, victor_jr92@hotmail.com ** Estudiante de Ingeniería Electrónica y Comunicaciones,mmolina9420@uta.edu.ec,edu-yaso55@hotmail.com

Fecha de presentación: 27/10/2015

RESUMEN

La Carta de Smith permite resolver gráficamente problemas de adaptación de impedancias. Su uso está extendido a otras aplicaciones de alta frecuencia como Diseño de amplificadores y Diseño de osciladores. En la actualidad, la Carta de Smith sigue siendo la representación más habitual de impedancias en circuitos de microondas. La carta se debe a P.H. Smith (1905-1987). Su origen se remonta a 1939. Fue inventada por Phillip Smith en 1939 mientras trabajaba para RCA. El motivo que tenía Smith para hacer este diagrama era representar gráficamente las relaciones matemáticas que se podían obtener con una regla de cálculo. La carta de Smith fue desarrollada en los Laboratorios Bell. Debido a los problemas que tenía para calcular la adaptación de las antenas a causa de su gran tamaño, Smith decidió crear una carta para simplificar el trabajo.

Palabras claves: Carta de Smith, Impedancia, circuito, Líneas de Transmisión

I. INTRODUCCIÓN

La carta de Smith consiste en la representación gráfica, en el plano del coeficiente de reflexión, de la resistencia y la reactancia normalizadas. Esta herramienta gráfica permite la obtención de diversos parámetros de las líneas de transmisión y la resolución de problemas de adaptación de impedancias, evitando las operaciones con números complejos que suelen implicar estos cálculos.

II. MARCO TEÓRICO

Construcción de la carta de Smith [1].-

La expresión del coeficiente de reflexión

en la carga, ρL, en función de ésta, ZL, y

de la impedancia característica de la línea,

Z0: (1)

que se puede expresar en forma de módulo y fase ρL , өL, o como parte real e imaginaria ρr, ρi.

La impedancia de carga ZL, normalizada con respecto a la impedancia característica de la línea Z0, también puede escribirse en sus partes real e imaginaria como:

(2)

donde r y x son la resistencia y la reactancia normalizadas, respectivamente. A partir de (1) y (2) se pueden obtener las partes real e imaginaria de ρL:

(3)Tomando las dos ecuaciones contenidas en (3) para las partes real e imaginaria y por eliminación de r o x, pueden obtenerse las siguientes ecuaciones:

(4)

(5)Si representamos la ecuación (4) sobre el plano (ρr ,ρi ) para valores de r constante, las gráficas obtenidas son círculos de radio 1/(1+ r) centrados en el eje real en los puntos: ρr r/(1+r), ρr = 0. Los distintos valores de r dan lugar a círculos de radio diferente con centro en distintas posiciones del eje real. La figura 1 muestra, en línea continua, los casos r=0, 0.5, 1 y 2. Todos los círculos pasan por el punto (1, 0). La ecuación (5), para valores de x constante, también describe círculos de radio 1/ x , centrados en rr = 1, ri = 1/ x . En la figura 1 se muestra, en línea discontinua, los casos x=0, ±0.5, ±1 y ±2. Nuevamente, todos los círculos pasan por el punto (1, 0).

Fig.1. Carta de Smith.Impedancia de Entrada [2]: En los circuitos con una sola fuente es importante conocer los bornes de conexión o entrada. En la Fig. 2, la tensión aplicada se designa por V1 y la intensidad de corriente absorbida es I1. Puesto que sólo hay una fuente V1, la corriente I1 viene dada por la expresión:

(6)Se define la impedancia de entrada como una relación entre V1 e I1:

(7)

Fig.2. Impedancia de entrada, circuito una sola fuente.

Impedancia de entrada para un circuito con resistencia de carga ZL y coeficiente de reflexión. Considérese el siguiente circuito:[3]

Fig.3. Impedancia de Entrada e Impedancia de Carga

Impedancia de entrada:

(8)Impedancia normalizada:

(9)

Para determinar la Impedancia de cualquier circuito y con la ayuda de una carta de Smith, nos plantearemos un problema para poder explicarlo paso a paso.

Entonces tenemos:

Una línea de transmisión de 50 Ω está terminada en una impedancia de carga de 30+j40 Ω. Calcular el coeficiente de reflexión r en la carga, ROE y la impedancia de entrada a 0.15λ de la carga, empleando la carta de Smith.

Primer paso

Se realiza la ubicación de la impedancia de carga en la carta. Como se sabe los valores sobre la carta de Smith están normalizados con respecto a la impedancia de la línea, por lo tanto; cualquier valor de impedancia que se desee ubicar en ella debe ser dividido por Zo. De esta manera:

ZZo

=3050

+ j 4050

=0.6+ j0.8 (10)

Fig.4. Ubicación de impedancia Normalizada (Punto A)

Segundo pasoPosteriormente para hallar la magnitud del mismo, se toma la distancia desde el centro de la carta hasta el punto A, ubicando la misma en la escala inferior izquierda, la cual corresponde a la magnitud del coeficiente de reflexión, de izquierda a derecha (punto C). La figura 5, ilustra la magnitud y fase del coeficiente de reflexión con los puntos B y C.

Fig.5. Trazo de línea desde centro dela Carta hasta el contorno donde se ubican los ángulos.

En la parte inferior podemos calcular el coeficiente de reflexión, el cual sería la distancia desde el centro de la Carta y el Punto A. así:

Fig.6. Ubicación del coeficiente de reflexión

Donde el valor del coeficiente de reflexión es:

ρ = 0.5∟90°Tercer paso

Para determinar el ROE, se toma la distancia desde el centro de la circunferencia hasta el punto A y se traza una circunferencia, con centro en el

centro de la carta, luego el punto de tangencia entre esta circunferencia y los círculos de rn, corresponderá al valor de ROE (Punto D).

Fig.7. Trazo de Círculo y encuentro punto D

ROE ≈3

Por ultimo para determinar la impedancia de entrada a 0.15 λ de la carga, se avanza desde el punto B hacia el generador, en la escala de las longitudes de onda (escala circular más externa) la cantidad de 0.15 λ, y sobre el círculo de ROE constante estará ubicada la impedancia de entrada

A

C

A

D

Fig.8. movilización hacia el generador 1.5 λ

Esta impedancia corresponde a: Zent = 2.6 - j0.9 Ω, el cual denormalizando es:Zent =130 - j45 Ω

A

D

B

F

III. CONCLUSIONES

• La carta de Smith constituye la herramienta básica para el análisis de cualquier circuito de microondas.

• Consiste en una representación en el PLANO POLAR de los coeficientes de reflexión de los coeficientes de reflexión.

• Por la aplicación biyectiva entre coeficientes de reflexión e impedancias a cada coeficiente de reflexión en el e impedancias a cada coeficiente de reflexión en el plano polar le corresponde un valor de impedancia o admitancia.

4. Referencias

[1] VARIOS, 2010, “Radiación y ondas guiadas”, Carta de Smith, disponible [on-line] en: http://materias.fi.uba.ar/6644/info/varios/smith%20chart/basico/smith_01.pdf

[2] VARIOS, 2007, “Circuitos Electrónicos”, Impedancia de Entrada, disponible [on-line] en: http://circuitos-de-electronica.blogspot.com/2007/11/impedancia-de-entrada.html

[3] TOMASI Wayne, 2003, “Sistemas de comunicación electrónicas”, Apéndice a la carta de Smith. Pags. 907-225.

[4] León Alejandro, 2011,”Ayudas graficas Carta de Smith y aplicaciones”, Impedancia de Entrada, disponible [on-line] en: http://www.el.bqto.unexpo.edu.ve/ajleon/capitulo4.pdf