III. GRÁFICOS DE CONTROL POR VARIABLES (1)

III. Gráficos de Control por Variables (1)

III. GRÁFICOS DE CONTROL POR VARIABLES (1)

INTRODUCCIÓN____________________________________________________

En cualquier proceso productivo resulta conveniente conocer en todo momento hasta qué punto nuestros productos cumplen con las especificaciones preestablecidas. Como ya comentamos en el capítulo anterior, podemos decir que la calidad de un producto tiene dos grandes “enemigos”: (1) las desviaciones con respecto al objetivo especificado (falta de exactitud), y (2) una excesiva variabilidad respecto a los valores deseables (falta de precisión).

La idea consiste en extraer muestras de un proceso productivo que se encuentra activo y, a partir de las mismas, generar gráficos que nos permitan tanto estudiar la variabilidad del mismo como comprobar si los productos obtenidos cumplen o no con las especificaciones preestablecidas. En caso de apreciar en tales gráficos tendencias no aleatorias o bien muestras que se sitúen más allá de los límites de control consideraremos que el proceso está fuera de control. Si así ocurre, estaremos interesados en averiguar las causas especiales que afectan al proceso.

En un gráfico de control se representa gráficamente una característica de calidad T, medida o calculada a partir de muestras del producto, en función de las diferentes muestras. La gráfica tiene una línea central que simboliza el valor medio de la característica de calidad. Finalmente, otras dos líneas (los límites superior e inferior de control) flanquean a la anterior a una distancia determinada. Estos límites son escogidos de manera que si el proceso está bajo control, casi la totalidad de los puntos muestrales se halle entre ellos. Así, un punto que se encuentra fuera de los límites de control se interpreta como una evidencia de que el proceso está fuera de control. Además, incluso si todos los puntos se hallan comprendidos entre los límites de control, pero se comportan de manera sistemática o no aleatoria, también tendríamos un proceso fuera de control (veremos cómo estudiar la existencia de tales patrones no aleatorios mediante los llamados tests para causas especiales). Límite superior (LSC) 3 * σT Línea central Límite inferior (LIC)

Varia

ble

T

Número de muestra o tiempo

La determinación de los límites de control se basa en conceptos y resultados estadísticos: supongamos, p.e., que estamos interesados en “controlar” la media µ de una variable aleatoria X cuya distribución tiene una desviación estándar σ (µ y σ constantes durante el proceso). Sabemos (por el TCL) que, para un tamaño muestral n grande, la distribución de las medias muestrales será aproximadamente normal con media igual a µ y desviación estándar igual a σ/√n . De este hecho se deduce que aproximadamente el 99,7% de las medias muestrales estarán contenidas en el intervalo µ ± 3 * σ/√n , intervalo que viene definido por los límites de control. Este sencillo razonamiento es la base para la construcción de todos los gráficos de control.

Observar que, como el intervalo anterior depende de n, si trabajamos con muestras de distintos tamaños

los límites de control no formarán una línea recta, pues la distancia que les separa de la línea central aumentará conforme n disminuya (serán límites “escalonados”).

III - 1

Control Estadístico de la Calidad con MINITAB

Si dejamos momentáneamente al margen el estudio de posibles patrones no aleatorios en el gráfico de control, podemos considerar que éste no es más que un contraste de hipótesis en el que podemos considerar como hipótesis nula Ho el hecho de que el proceso está bajo control estadístico. El que un punto se ubique entre los límites de control es equivalente a no poder rechazar la hipótesis nula Ho; por el contrario, el que un punto se ubique fuera de los límites de control equivale al rechazo de la hipótesis del control estadístico.

Observar que la selección de los límites de control equivale pues a determinar la región crítica para probar la hipótesis nula Ho de que el proceso está bajo control estadístico: alejando dichos límites de la línea central se reduce α (o probabilidad de cometer un error de tipo I, i.e.: que un punto caiga fuera de los límites de control sin que haya una causa especial), si bien también se eleva con ello β (o riesgo de cometer un error tipo II, i.e.: que un punto caiga entre dichos límites cuando el proceso se encuentra en realidad fuera de control).

En general, para un α determinado, cuanto más grande sea el tamaño muestral n, tanto más “sensible” será el gráfico a la hora de detectar pequeños cambios en el proceso (i.e., para α fijo, a mayor n mayor será la potencia del contraste 1-β).

Podemos distinguir dos grandes clases de gráficos de control: los gráficos de control por variables hacen uso de estadísticos obtenidos a partir de datos tales como la longitud o grosor de un elemento, mientras que los gráficos de control por atributos se basan en frecuencias tales como el número de unidades defectuosas. Así, en los gráficos de control por variables es posible medir la característica de calidad a estudiar. En estos casos conviene describir la característica de calidad mediante una medida de tendencia central (usualmente la media muestral) y una medida de su variabilidad (usualmente el rango o la desviación estándar).

Los gráficos de control por variables son más “sensibles” que los gráficos de control por atributos, razón por la cual son capaces de “avisarnos” de posibles problemas de calidad incluso antes de que éstos sean ya relevantes. Por su parte, los gráficos de control por atributos tienen la ventaja de sintetizar de forma rápida toda la información referida a diferentes aspectos de calidad de un producto, ya que permiten clasificar éste como aceptable o inaceptable; además, no suelen necesitar de sistemas de medición muy complejos y son más fácilmente entendibles por los no especialistas.

A continuación se agrupan los gráficos de control por variables según el tipo de datos de que

dispongamos:

TIPO DE DATOS

ESTADÍSTICOS A REPRESENTAR NOMBRE DEL GRÁFICO

Datos en subgrupos

• Medias de subgrupos, X-barra • Rangos de subgrupos, R • Desviaciones estándar de subgrupos, S • X-barra y R • X-barra y S

X-barra

R S

X-barra y R X-barra y S

Observaciones individuales

• Observaciones individuales • Rangos móviles • Obs. Individuales y rangos móviles

Individual

Rangos móviles I – MR

Combinaciones de subgrupos

• Medias móviles con peso exponencial • Medias móviles • Sumas acumuladas • Obs. Individuales o medias de

subgrupos según su distancia a la línea central

EWMA

Medias móviles CUSUM

Zona

Series cortas

• Obs. Individuales estandarizadas y

rangos móviles

Z - MR

III - 2


TRANSFORMACIÓN BOX-COX PARA DATOS NO NORMALES_____________

A fin de poder interpretar correctamente los gráficos, resulta imprescindible que las observaciones provengan de una distribución aproximadamente normal. Si nuestros datos provienen de una distribución notablemente asimétrica, podemos aplicarles la transformación Box-Cox para inducir normalidad.

Dada una variable aleatoria Y asociada a una distribución asimétrica, pretendemos transformarla en otra

variable Y’, donde Y’ = Y λ ó Y’ = Ln Y. El método de Box-Cox estima aquel valor para λ el cual minimiza la desviación estándar de Y’ . Si λ ≠ 0, entonces Y’ = Y λ ; en caso contrario, Y’ = Ln Y . Observar que si el valor obtenido para λ es próximo a la unidad el transformar la variable no nos supondrá una gran ventaja.

Ejemplo Box-Cox: Los datos contenidos en el archivo BoxCox.mtw provienen de una distribución sensiblemente sesgada a la derecha. Consisten en 50 subgrupos de tamaño 5. Los datos se encuentran en la columna C1.

Seleccionar Stat > Control Charts > Box-Cox Transformation :

Rellenar los campos como se indica en la siguiente imagen:

III - 3


3,02,52,01,51,00,50,0-0,5-1,0

1211

109

876

54

32

95% Conf idence IntervalSt

Dev

Lambda

Last Iteration Info

2,855

2,856

2,861

0,056

0,000

-0,056

StDevLambda

Up

Est

Low

Box-Cox Plot for Datos

La “Tabla de Información” correspondiente a la última iteración contiene el mejor estimador para λ, el cual resulta ser de 0,000. Otros dos buenos estimadores serían –0,056 y 0,056. Las dos líneas rojas del gráfico determinan un intervalo de confianza a nivel del 95% para el verdadero valor de λ. Dicho intervalo contiene a todos los posibles valores de λ cuya desviación estándar es menor o igual a la indicada por la línea horizontal discontinua, en este caso sería el intervalo de extremos –0,3 y 0,4. Dado que el mejor estimador para λ es el cero, la transformación que tomaríamos sería Y’ = Ln Y .

MODELO DE SHEWART PARA GRÁFICOS DE CONTROL_________________

Sea T un estadístico muestral que mide alguna característica de calidad, y supongamos que T se distribuye de forma aproximadamente normal, con media µT y desviación estándar σT . Entonces, la línea central y los límites superior e inferior del gráfico de control vendrán dados, según el modelo de Shewart, por:

TT

TT

LIC

LSC

σµµ

σµ

3central Línea

3

T

−==

+=

Un método alternativo al de Shewart sería el modelo probabilístico: en vez de especificar los límites de

control como un múltiplo de la desviación estándar, se hubiera podido escoger directamente la probabilidad de un error de tipo I y calcular el límite (probabilístico) de control correspondiente. Por ejemplo, si se hubiera tomado α = 0,001, entonces el múltiplo adecuado de la desviación estándar habría sido 3,09. Observar que si la distribución de T es aproximadamente normal, habrá poca diferencia entre los límites de tres sigma y los probabilísticos de 0,001.

III - 4


TESTS PARA CAUSAS ESPECIALES__________________________________

Como dijimos en la introducción, cuando alguno de los estadísticos muestrales cae fuera de los límites de control, hay razones para pensar que el proceso está fuera de control. Además, también es importante estudiar la posible existencia de patrones no aleatorios en la representación de dichos estadísticos muestrales, ya que tales patrones suelen ser un síntoma de que la los parámetros del proceso están cambiando. A tal efecto se utilizan los tests para causas especiales o asignables, término que se contrapone al de causas comunes o aleatorias (inherentes a todo proceso).

Al igual que los límites de control, los tests para causas especiales tienen un fundamento estadístico. Así,

por ejemplo, la probabilidad de que un estadístico muestral caiga por encima de la línea central será de 0,5 bajo los siguientes supuestos: (1) que el proceso esté bajo control, (2) que estadísticos muestrales consecutivos sean independientes, y (3) que la distribución de los estadísticos muestrales sea aproximadamente normal. Por tanto, en tales condiciones, la probabilidad de que dos estadísticos consecutivos caigan por encima de la línea central será de 0,5*0,5 = 0,25 , y la probabilidad de que 9 estadísticos consecutivos caigan en el mismo lado de la línea central será de 0,5^9 = 0,00195. Este último valor se aproxima mucho a la probabilidad de un estadístico muestral caiga más allá de los límites de control de 3 sigma (suponiendo una distribución normal y un proceso bajo control), por lo que la existencia de estos 9 estadísticos podría interpretarse como otro indicativo de que el proceso está fuera de control.

La franja comprendida entre dos y tres sigmas respecto a la línea central se denomina zona A, la

comprendida entre 1 y 2 sigmas se llama zona B, y la franja situada a menos de 1 sigma se denomina zona C. El programa Minitab permite realizar varios tests para determinar la posible existencia de causas

especiales que influyan sobre la variabilidad de las observaciones (comportamiento no aleatorio de los datos):

Cada uno de los tests detecta un determinado comportamiento no aleatorio en los datos. Cuando alguno de los tests resulta positivo entonces hay indicios de que la variabilidad de las observaciones se debe a causas especiales, las cuales deberán investigarse.

Es importante notar que para realizar estos tests todas las muestras han de ser del mismo tamaño.

III - 5


III - 6

109876543210

3

2

1

0

1

2

3

número de muestra

sigm

a

Zona A

Zona A

Zona B

Zona B

Zona C

Zona C

0 5 10 15

3

2

1

0

1

2

3

muestra

sigm

aZona A

Zona A

Zona B

Zona C

Zona C

Zona B

109876543210

3

2

1

0

1

2

3

número de muestra

sigm

a

Zona A

Zona A

Zona B

Zona B

Zona C

Zona C

151050

3

2

1

0

1

2

3

muestra

sigm

a

Zona A

Zona A

Zona B

Zona C

Zona C

Zona B

Test 1: un punto situado más allá de los límites de control

Test 2: nueve puntos consecutivos en el mismo lado

descendentesTest 3: seis puntos consecutivos ascendentes o

arriba y abajoTest 4: catorce puntos consecutivos alternando


III - 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3

2

1

0

1

2

3

número de muestra

sigm

a

Zona A

Zona A

Zona B

Zona B

Zona C

Zona C

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3

2

1

0

1

2

3

número de muestra

sigm

a

Zona A

Zona A

Zona B

Zona B

Zona C

Zona C

151050

3

2

1

0

1

2

3

muestra

sigm

a

Zona A

Zona A

Zona B

Zona C

Zona C

Zona B

151050

3

2

1

0

1

2

3

muestra

sigm

a

Zona A

Zona A

Zona B

Zona C

Zona C

Zona B

Test 5: dos de tres puntos consecutivos situados másallá de 2 sigmas (mismo lado)

Test 6: cuatro de cinco puntos consecutivos situados amás de un sigma (mismo lado)

Test 7: quince puntos consecutivos situados a menosde un sigma (ambos lados)

Test 8: ocho puntos consecutivos situados a más deun sigma (ambos lados)


GRÁFICOS X-BARRA Y R____________________________________________

En la introducción comentamos que los gráficos por variables se utilizan para “controlar” una característica mesurable del producto, como puede ser la longitud, el peso, la altura, etc. Un gráfico X-barra contiene las medias muestrales de la característica que se pretende estudiar, por lo que mediante él podremos detectar posibles variaciones en el valor medio de dicha característica durante el proceso (desviaciones con respecto al objetivo). Un gráfico R es un gráfico de control para rangos muestrales. Se utiliza para medir la variación del proceso y detectar la posible existencia de causas especiales. Es habitual usar los gráficos R para estudiar la variación en muestras de tamaño no superior a 10, recurriendo a los gráficos S para muestras mayores.

Sea X la característica de calidad que nos interesa medir, donde X ≈ N(µ,σ). Tomaremos k muestras, cada una de ellas de tamaño n. Denotaremos por Xi1 , Xi2 , ..., Xin a las n observaciones que forman la muestra i-ésima, donde i = 1,2,...,k. Veamos cómo construir un gráfico X-barra:

• Por el Teorema de Distribución Muestra, sabemos que: µµ =x y nx

σσ =

• Por el Teorema Central del Límite,

→ ∞→ n

NX n

σµ,

• Según el modelo de Shewart tendremos que:

nLIC

nLSC

σµ

µ

σµ

3

central Línea

3

−=

=

+=

• Si µ es desconocida, la podemos estimar (observar que tal estimación se realizará a partir de las k

muestras obtenidas, k > 25, tomadas cuando se considera que el proceso está bajo control):

∑=

==k

iiXk

X1

1µ̂ donde ∑=

=n

jiji X

nX

1

1

Observar que es estimador insesgado de µ ya que µ̂ [ ] [ ] µµ === ∑=

x

k

iiXEk

XE11

1.

• Si σ es desconocida, la podemos estimar a partir de los rangos Ri (observar que tal estimación se

realizará a partir de las k muestras obtenidas, k > 25, tomadas cuando se considera que el proceso está bajo control):

- ∀ i = 1,2,...,k , sea { } { }njXMinnjXMaxR ijiji ≤≤−≤≤= 1/1/ . Se cumple que

, donde dσµ ⋅= )(2 ndRi 2(n) es un valor tabulado que depende de n . - Notar que Ri / d2(n) es un estimador insesgado de σ, ya que:

[ ]

σσ

=⋅

==

)(

)()()( 2

2

22 ndnd

ndRE

ndR

E ii

III - 8


Así, es buena idea tomar como estimador de σ el promedio de los Ri / d2(n) :

)()(1ˆ

21 2 ndR

ndR

k

k

i

i == ∑=

σ ( es estimador insesgado de σ) σ̂

• En caso de que el tamaño muestral (ni ) sea diferente para cada subgrupo, a la hora de calcular los límites

según el modelo de Shewart, podemos optar por:

1. Obtener los límites usando el ni asociado a cada muestra, con lo que las líneas de control no serán rectas (darán “saltos” arriba y abajo según ni disminuya o aumente),

2. Si los ni no difieren mucho unos de otros, podríamos tomar ∑=

=k

iink

n1

1.

En esta situación de tamaños muestrales diferentes, los estimadores para µ y σ serán:

∑∑=

i

ii

nXn

µ̂ y ∑=)(

1ˆ2 i

i

ndR

kσ

Ejemplo gráfico X-barra: Supongamos que trabajamos en una planta de montaje de coches. A la hora de montar los motores, partes de la cadena de montaje se mueven verticalmente arriba y abajo a cierta distancia del nivel horizontal de referencia. A fin de asegurar la calidad de la producción, realizamos cinco mediciones cada día laborable desde el 28 de septiembre hasta el 15 de octubre, y diez mediciones diarias desde el 18 hasta el 25 de octubre. Los datos están contenidos en el archivo Motores.mtw .

Seleccionar Stat > Control Charts > Xbar Rellenar los campos como se indica a continuación:

III - 9


2520151050

5432

10

-1-2-3-4-5

Sample Number

Sam

ple

Mea

n

X-bar Chart for Distanci

X=0,4417

1,0SL=1,861

2,0SL=3,281

3,0SL=4,700

-1,0SL=-0,9778

-2,0SL=-2,397

-3,0SL=-3,817

6

Test Results for Xbar Chart TEST 6. 4 out of 5 points more than 1 sigma from center line (on one side of CL). Test Failed at points: 5

Observamos que el subgrupo 5 no ha superado el Test 6 ya que es el cuarto punto situado en la zona B (entre 1 y 2 desviaciones estándar de la línea central), lo cual sugiere la existencia de causas especiales en el proceso.

III - 10


Veamos ahora cómo construir un gráfico R. Recordemos que X era la característica de calidad que nos interesa medir, donde X ≈ N(µ,σ), y que denotamos por Xi1 , Xi2 , ..., Xin a las n observaciones que formaban la muestra i-ésima, donde i = 1,2,...,k. • ∀ i = 1,2,...,k , sea { } { }njXMinnjXMaxR ijiji ≤≤−≤≤= 1/1/

σ⋅= )(3 nd. Se cumple que

, y , donde dσµ ⋅= )(2 ndRi σ Ri 2(n), d3(n) son valores tabulados que dependen de n. • Se cumple que: ( )σσ ⋅⋅ → ∞→ )(,)( 32 ndndNR ni

• Por tanto, según el modelo de Shewart, tendremos que:

σσσ

σσ

⋅−⋅=⋅=

⋅+⋅=

)(3)()(central Línea

)(3)(

32

2

32

ndndLICnd

ndndLSC

• Si σ es desconocida, la podemos estimar a partir de los rangos Ri como vimos para el gráfico X-barra. • Asimismo, la observación que vimos en los diagramas X-barra para el caso en que el tamaño muestral

(ni ) sea diferente para cada muestra es igualmente aplicable aquí.

Ejemplo gráfico R: A fin de estudiar la variación en el proceso, realizaremos ahora el gráfico R de los datos del ejemplo anterior (archivo Motores.mtw): Seleccionar Stat > Control Charts > R

Completamos los campos:

III - 11


0 5 10 15 20 25

0

5

10

15

Sample Number

Sam

ple

Ran

ge

R Chart for Distanci

R=7,559

3,0SL=15,98

-3,0SL=0,00E+00

Test Results for R Chart TEST 6. 4 out of 5 points more than 1 sigma from center line (on one side of CL). Test Failed at points: 5

Vemos en el gráfico anterior que los puntos se encuentran aleatoriamente distribuidos en la zona comprendida por los límites de control, lo que significa que el proceso es estable. Resulta también importante comparar los puntos del gráfico R con los del gráfico X-barra para ver si siguen las mismas tendencias.

En la práctica se suelen considerar los diagramas Xbarra-R, que no son otra cosa sino la presentación conjunta de un diagrama X-barra y otro R. La razón de usar dicho diagrama conjunto es la siguiente:

Si la distribución de la v.a. X es normal (como hemos supuesto), entonces las v.a. X-barra y R son

independientes (Teorema de Cochran). Por tanto, si existiese una correlación entre los valores de X-barra y R (es decir, si los puntos en ambas gráficas presentasen gráficos paralelos), ello indicaría que la distribución subyacente sería sesgada (no normal), con lo que los análisis posteriores podrían estar equivocados.

III - 12


Ejemplo gráfico Xbarra-R: En nuestra planta de montaje de vehículos, sabemos que una de las piezas del motor debe tener una longitud de 600 ± 2 mm a fin de satisfacer las especificaciones técnicas. Durante un mes hemos efectuado un total de 100 mediciones (20 muestras de 5 piezas cada una) de piezas usadas en la planta, y otras 100 por cada uno de nuestros dos proveedores. Las observaciones están contenidas en el archivo Motores2.mtw. Queremos analizar las piezas que nos ha suministrado el segundo de los proveedores:

Seleccionar Stat > Control Charts > Xbar-R


2010Subgroup 0

603

602

601

600

599

598

Sam

ple

Mea

n

X=600,2

3,0SL=602,4

-3,0SL=598,1

9876543210

Sam

ple

Ran

ge

R=3,720

3,0SL=7,866

-3,0SL=0,00E+0

Xbar/R Chart for Proveedor2

1

6

1

III - 13


La línea central del gráfico X-barra está situada al nivel 600,2 , lo que significa que nuestro proceso está situado dentro de los límites establecidos, pero dos de los puntos caen fuera de los límites de control, por lo que el proceso es inestable. Por su parte, la línea central en el gráfico R está situada en el nivel 3,720 , valor que parece excesivo si tenemos en cuenta que la máxima variación permitida era de ± 2 mm, por lo que es muy probable que nuestro proceso sufra de una variación excesiva.

GRÁFICOS X-BARRA Y S____________________________________________

Ya sabemos que siempre que se intente controlar una característica de calidad cuantitativa, es una práctica habitual controlar el valor medio de la característica de calidad y su variabilidad. Esta última se estudia mediante un gráfico R (como ya vimos), o mediante un gráfico S, el cual es un gráfico de control para desviaciones estándar muestrales. Por tanto, podemos usar los gráficos S para estudiar la variabilidad del proceso y detectar la posible existencia de causas especiales. Resulta habitual utilizar los gráficos S para muestras de tamaño superior a 10, utilizando los gráficos R en caso contrario.

Sea X la característica de calidad que nos interesa medir, donde X ≈ N(µ,σ). Tomaremos k muestras, cada una de ellas de tamaño n. Denotaremos por Xi1 , Xi2 , ..., Xin a las n observaciones que forman la muestra i-ésima, donde i = 1,2,...,k. Ya vimos cómo construir un gráfico X-barra:

• Por el Teorema de Distribución Muestra, sabemos que: µµ =x y nx

σσ =

• Por el Teorema Central del Límite,

→ ∞→ n

NX n

σµ,

• Según el modelo de Shewart tendremos que:

nLIC

nLSC

σµ

µ

σµ

3

central Línea

3

−=

=

+=


muestras obtenidas, k > 25, tomadas cuando se considera que el proceso está bajo control):

∑=

==k

iiXk

X1

1µ̂ donde ∑=

=n

jiji X

nX

1

1

Observar que es estimador insesgado de µ ya que µ̂ [ ] [ ] µµ === ∑=

x

k

iiXEk

XE11

1.

• Si σ es desconocida, la podemos estimar a partir de las desviaciones estándar Si (observar que tal

estimación se realizará a partir de las k muestras obtenidas, k > 25, tomadas cuando se considera que el proceso está bajo control):

III - 14


- ∀ i = 1,2,...,k , sea ( )∑=

−−

=n

jiiji XX

nS

1

2

11

. Se cumple que , donde

c

σµ ⋅= )(4 ncSi

4(n) es un valor tabulado que depende de n . - Notar que Si / c4(n) es un estimador insesgado de σ, ya que:

[ ]

σσ

=⋅

==

)(

)()()( 4

4

44 ncnc

ncSE

ncS

E ii

Así, es buena idea tomar como estimador de σ el promedio de los Si / c4(n) :

)()(1ˆ

41 4 ncS

ncS

k

k

i

i == ∑=


• En caso de que el tamaño muestral (ni ) sea diferente para cada subgrupo, a la hora de calcular los límites

según el modelo de Shewart, podemos optar por:

1. Obtener los límites usando el ni asociado a cada muestra, con lo que las líneas de control no serán rectas (darán “saltos” arriba y abajo según ni disminuya o aumente),

2. Si los ni no difieren mucho unos de otros, podríamos tomar ∑=

=k

iink

n1

1.

En esta situación de tamaños muestrales diferentes, los estimadores para µ y σ serán:

∑∑=

i

ii

nXn

µ̂ y ∑=)(

1ˆ4 i

i

ncS

kσ

Veamos ahora cómo construir un gráfico S. Recordemos que X era la característica de calidad que nos

interesa medir, donde X ≈ N(µ,σ), y que denotamos por Xi1 , Xi2 , ..., Xin a las n observaciones que formaban la muestra i-ésima, donde i = 1,2,...,k.

• ∀ i = 1,2,...,k , se cumple que , y σµ ⋅= )(4 ncSi ( )24 )(1 ncSi −= σσ , donde c4(n) es un

valor tabulado que depende de n.

• Se cumple que: ( )

−⋅ → ∞→

244 )(1,)( ncncNS ni σσ


( )

( )244

4

244

)(13)(

)(central Línea)(13)(

ncncLIC

ncncncLSC

−−⋅=

⋅=

−+⋅=

σσ

σσσ

• Si σ es desconocida, la podemos estimar a partir de las desviaciones estándar Si como vimos para el

gráfico X-barra. • Asimismo, la observación que vimos en los diagramas X-barra para el caso en que el tamaño muestral

(ni ) sea diferente para cada muestra es igualmente aplicable aquí.

III - 15


GRÁFICOS INDIVIDUAL Y MR-BARRA_________________________________

Los gráficos de control por variables pueden también construirse para observaciones individuales procedentes de la línea de producción. Esto puede resultar necesario cuando el considerar muestras de tamaño mayor que 1 resulte demasiado caro, inconveniente, o imposible. En este procedimiento de control se emplea el rango móvil de dos observaciones sucesivas para estimar la variabilidad del proceso.

Sea X la característica de calidad que nos interesa medir, donde X ≈ N(µ,σ). Denotaremos por X1 , X2 , ..., XK a las k observaciones. Veamos cómo construir un gráfico Individual: • Observar que ∀ i = 1,2,...,k , Xi ≈ N(µ,σ) . • Según el modelo de Shewart tendremos que:

σµµ

σµ

3central Línea

3

−==

+=

LIC

LSC


observaciones obtenidas, k > 25, tomadas cuando se considera que el proceso está bajo control):

∑=

==k

iiXk

X1

1µ̂

Observar que es estimador insesgado de µ ya que µ̂ [ ] [ ] µ== ∑=

k

iiXEk

XE11

1.

• Si σ es desconocida, la podemos estimar a partir del rango móvil MRi (observar que tal estimación se

realizará a partir de las k observaciones obtenidas, k > 25, tomadas cuando se considera que el proceso está bajo control):

- ∀ i = 2,...,k , sea . Se cumple que

, donde d

{ } { 11, −− −−= iiiii XXMinXXMaxMR }σµ ⋅= )1(2dMRi 2(1) es un valor tabulado.

- Notar que MRi / d2(1) es un estimador insesgado de σ, ya que:

[ ]

σσ

=⋅

==

)1(

)1()1()1( 2

2

22 dd

dMRE

dMR

E ii

Así, es buena idea tomar como estimador de σ el promedio de los MRi / d2(1) :

)1()1(11ˆ

22 2 dMR

dMR

k

k

i

i =−

= ∑=


III - 16


Como hemos comentado, junto a los gráficos de control individuales podemos considerar también los gráficos de control para los rangos móviles asociados, gráficos que nos ayudarán a controlar la variabilidad de las observaciones registradas.

Veamos cómo construir un gráfico MR-barra. Recordemos que X era la característica de calidad que nos

interesa medir, donde X ≈ N(µ,σ), y que denotamos por X1 , X2 , ..., Xn a las k observaciones. • ∀ i = 2,...,k , sea . Se cumple que ,

y donde d

{ } { 11, −− −−= iiiii XXMinXXMaxMRσ⋅

} σµ ⋅= )1(2dMRi

σ = )1(3dMRi 2(1) , d3(1) son valores tabulados. • Se cumple que: ( )σσ ⋅⋅ → ∞→ )1(,)1( 32 ddNMR ni


σσσ

σσ

⋅−⋅=⋅=

⋅+⋅=

)1(3)1()1(central Línea

)1(3)1(

32

2

32

ddLICdddLSC

• Si σ es desconocida, la podemos estimar a partir de los rangos móviles MRi según ya vimos.

Ejemplo gráfico I: Hemos registrado en la columna C1 del archivo Mat_Prima.mtw el peso de cada lote de una determinada materia prima.

Seleccionar Stat > Control Charts > Individuals


III - 17


50403020100

1050

950

850

Observation Number

Indi

vidua

l Val

ue

I Chart for Peso

X=936,9

3,0SL=1011

-3,0SL=862,8

666

2222

2

1

222

222

2

15

6

11

6

222

2

11

TEST 1. One point more than 3,00 sigmas from center line. Test Failed at points: 14 23 30 31 44 45 TEST 2. 9 points in a row on same side of center line. Test Failed at points: 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 33 34 35 36 TEST 5. 2 out of 3 points more than 2 sigmas from center line (on one side of CL). Test Failed at points: 24 30 31 45 TEST 6. 4 out of 5 points more than 1 sigma from center line (on one side of CL). Test Failed at points: 5 6 7 29 30 31 32 45

El gráfico nos muestra 6 puntos situados fuera de los límites de control, así como 17 puntos localizados dentro de los mismos pero que no han cumplido el segundo de los tests, lo que sugiere la existencia de causas especiales de variación.

III - 18


EJEMPLOS DE APLICACIÓN_________________________________________ Ejemplo 1: En un proceso de manufactura se miden las presiones de rotura del alambre metálico en muestras de tamaño variable tomadas en 25 días consecutivos. Los datos están contenidos en el archivo presiones.mtw. Para analizar si el proceso está bajo control usaremos gráficos X-barra y R. El programa nos proporciona el siguiente gráfico X-barra:

2520151050

64,5

63,5

62,5

61,5

60,5

59,5

58,5

57,5

56,5

55,5

Sample Number

Sam

ple

Mea

n

X-bar Chart for presion

X=59,98

3,0SL=62,89

-3,0SL=57,06

El gráfico anterior indica la existencia de control estadístico (no hay puntos fuera de los límites de

control, ni tendencias, ni ciclos, ni patrones en los datos, etc.). A continuación realizaremos un gráfico X-barra/R:

0Subgroup 5 10 15 20 25

565758596061626364

Sam

ple

Mea

n

X=59,98

3,0SL=62,81

-3,0SL=57,14

0

5

10

Sam

ple

Ran

ge

R=4,913

3,0SL=10,39

-3,0SL=0,00E+0

Xbar/R Chart for presion

III - 19


En los gráficos anteriores se observa la presencia de control estadístico en el proceso. Tanto la media como la desviación típica varían dentro de los límites de control y no se observan problemas de tendencias, ni de patrones en los datos, ni de ciclos, ni de estratificación, ni de cambios bruscos en el proceso, etc.

Dada la situación clara de proceso bajo control, forzaremos a que el programa considere tamaños de

subgrupos iguales a su valor medio 5. Así podremos comprobar la existencia de control a través de los tests para causas especiales:

0Subgroup 5 10 15 20 25

5758

596061

6263

Sam

ple

Mea

n

X=59,98

3,0SL=62,71

-3,0SL=57,24

0

5

10

Sam

ple

Ran

ge

R=4,745

3,0SL=10,03

-3,0SL=0,00E+0

Xbar/R Chart for presion

Test Results for Xbar Chart Test Results for R Chart

Observamos que ninguno de los tests ha dado positivo, y que los gráficos muestran un proceso aparentemente bajo control.

III - 20


Ejemplo 2: En un proceso de fabricación de motores de aviones se controla el peso de 25 de ellos. Los resultados se guardan en el archivo aviones.mtw. Pretendemos comprobar si el proceso se encuentra bajo control.

Dado que estamos ante un proceso en el que disponemos de una única muestra de observaciones individuales, usaremos el gráfico I-MR.

0Subgroup 5 10 15 20 25

122012301240125012601270128012901300

Indi

vidua

l Val

ue

X=1256

3,0SL=1289

-3,0SL=1223

0

10

20

30

40

50

Mov

ing

Ran

ge

R=12,29

3,0SL=40,16

-3,0SL=0,00E+0

Gráfico de Medias y Rangos Móviles

1

1

Test Results for I Chart TEST 1. One point more than 3,00 sigmas from center line. Test Failed at points: 13 Test Results for MR Chart TEST 1. One point more than 3,00 sigmas from center line. Test Failed at points: 14

En el output anterior se observa la existencia de un punto fuera de control, e correspondiente a la observación número 13. Vamos a eliminar dicho punto del análisis usando la opción Estimate:

III - 21


El nuevo output que obtenemos es:

0Subgroup 5 10 15 20 25122012301240125012601270128012901300

Indi

vidua

l Val

ue

X=1254

3,0SL=1282

-3,0SL=1227

0

10

20

30

40

50

Mov

ing

Ran

ge

R=10,32

3,0SL=33,71

-3,0SL=0,00E+0

Gráfico de Medias y Rangos Móviles

1

1

Vemos que seguimos teniendo un problema de falta de control, por lo que deberemos analizar a fondo

las causas atribuibles y realizar un estudio exhaustivo de materiales, mano de obra y circunstancias que pudieran incidir en el proceso de fabricación.

III - 22

III. GRÁFICOS DE CONTROL POR VARIABLES (1)

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