INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

SIMULACION

UNIDAD III

TEMA: GENERACION DE VARIABLES ALEATORIAS

ISC ENRIQUE PONCE RIVERA

S501 14-12-2016

SOSA MEJIA ANEL VERONICA

Fecha de entrega: 15/12/2016

INDICE

Contenido INTRODUCCION ................................................................................................................... 3

3. Generación de variables aleatorias 3.1 Conceptos básicos ............................................ 4

3.2 Variables aleatorias discretas. ...................................................................................... 5

3.3 Variables aleatorias continuas. ..................................................................................... 7

3.4 Métodos para generar variables aleatorias. ................................................................. 8

3.4.1 Método de la transformada inversa. ......................................................................... 8

3.4.2 Método de convolución ............................................................................................. 9

3.4.3 Método de composición ............................................................................................ 9

3.5 Procedimientos especiales ......................................................................................... 11

3.6 Pruebas estadística. (Pruebas de bondad de ajuste) .................................................. 11

CONCLUSION ..................................................................................................................... 13

REFERENCIAS ..................................................................................................................... 14

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INTRODUCCION

En esta investigación se hablara sobre La generación de variables aleatorias que es un

proceso que enfrenta la simulación debido a que cuenta con variables con un

comportamiento probabilístico. En donde dicha variabilidad se pudiera clasificar dentro de

alguna distribución de probabilidad conocida.

Se abordaran los temas de variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas.

Para la generación de las variables aleatorias discretas o continuas, es necesario contar

con la información especifica de la distribución deseada, la aplicación de un método para

la generación de la variable aleatoria, y la implementación computacional para usarse en

la simulación de estas se explicara detalladamente en el tema correspondiente.

Las distribuciones más utilizadas son: Bernoulli, uniforme, binomial, Poisson, y

geométrica. En cambio las distribuciones continuas modelan la aleatoriedad en eventos en

los cuales los valores de las variables pueden estar dentro de un rango de valores reales.

También se explicara los métodos de convolucion, método de composición, método de

transformada inversa y procedimientos especiales.

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3. Generación de variables aleatorias

3.1 Conceptos básicos

Numero Aleatorio:

Es un resultado de una variable al azar por una función de distribución.

Variable:

Entidad que puede tomar un valor cualesquiera durante la duración de un proceso dado.

Tipos de Variable:

Variable Aleatoria: Son aquellas que tiene un comportamiento probabilístico en la

realidad. Se usan letras como X, Y y Z para denotar una variable aleatoria.

Variable Discreta Una variable aleatoria discreta puede tomar valores numéricos

específicos. Se divide en variable aleatorias finitas e infinitas.

Generador de números aleatorios: Es un dispositivo informático o físico diseñado para producir secuencias de números sin un orden aparente. Los métodos para generar números aleatorios son:

Método de la transformación inversa

Método de aceptación-rechazo

Método de Composición

Algoritmo:

Los algoritmos para la generación de valores uniformemente distribuidos están presentes

en todas las calculadoras y lenguajes de programación y se basan en:

Generador de Variables Aleatorias

La generación de variables aleatorias o estocásticas significa la obtención de variables que

siguen una distribución de probabilidad determinada.

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3.2 Variables aleatorias discretas.

Una variable aleatoria es una variable cuyo valor depende del resultado de un

experimento aleatorio. Las variables aleatorias discretas toman un conjunto de valores

finitos de valores, los cuales son enteros no negativos (usualmente utilizados para

conteo). La distribución de probabilidad es un conjunto de probabilidades para los

posibles distintos sucesos o eventos que pueden darse en un experimento aleatorio. Es

decir nos proporciona como distribuir la probabilidad entre los sucesos que pueden

producirse. Existe un gran numero de distribuciones de probabilidad para variables

aleatorias que únicamente tiene valores enteros no negativos. Las distribuciones discretas

de probabilidad son útiles cuando se usan procesos de conteo en muestras aleatorias. Las

distribuciones discretas generalmente se utilizan en la práctica como resultado de

redondear medidas continuas basada en una escala discreta.

Distribución geométrica:

La distribución geométrica esta descrita por la siguiente función de probabilidad:

Donde p es la probabilidad de éxito y q= (1-p) la probabilidad de fracaso. La distribución

acumulada se define por:

Con media igual a:

Y varianza igual a:

Al aplicar el método de la transformada inversa para encontrar la variable aleatoria

geométrica se obtiene que:

Al despejar x tenemos lo siguiente:

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Como 1-p es la probabilidad de fracaso, se describe la variable aleatoria en esos términos:

En donde el valor de x, se debe redondear enteros, truncando los decimales.

Función binomial negativa:

La función de probabilidad esta dada por:

Donde k es el numero total de éxitos en una sucesión de k + x ensayos, con x el numero

fallas que ocurren antes de obtener k éxitos.

La distribución geométrica es un caso especial de la distribución binomial negativa con k =

1. La distribución binomial negativa también se le conoce como la distribución Pascal, la

cual está definida

Con media igual a:

Y varianza igual a:

Despejando los parámetros p y k se obtiene que:

Si k es un entero y q = (1-p) entonces la variable aleatoria binomial negativa esta dada por:

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La x se redondea al menor entero más próximo. Distribución Binomial:

La función de probabilidad para la distribución binomial se expresa:

Con media igual a:

Y varianza igual a:

Los valores de n y p se obtienen de la media y varianza:

Para generar la variable aleatoria binomial se aplica el método de rechazo en el cual se

inicia con los valores conocidos de p y n, y realiza un conteo de los n números

pseudoaleatorios, que sean menores o iguales a p.

3.3 Variables aleatorias continuas.

Una variable aleatoria continua teóricamente puede asumir cualquier valor entre dos

límites dados, o sea que sus variaciones son infinitesimales, mientras que en las variables

aleatorias discretas existen “saltos” o “interrupciones” entre los valores que puede tomar.

De acuerdo a lo anterior podemos decir que:

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Una variable aleatoria X es discreta, si solamente puede tomar un conjunto numerable de

valores.

Como ejemplos de variables aleatorias discretas podemos mencionar: el número de libros

en una biblioteca, el número de habitantes en una población, la cantidad de dinero que

una persona trae en su bolsillo, el número de aves en un gallinero, el número de

admisiones diarias a un hospital, el número de accidentes automovilísticos en una

carretera durante un año, etc.

La variable aleatoria, permite ofrecer una descripción de la probabilidad de que se

adoptan ciertos valores. No se sabe de manera precisa qué valor adoptará la variable

cuando sea determinada o medida, pero sí se puede conocer cómo se distribuyen las

probabilidades vinculadas a los valores posibles.

Las variables aleatorias discretas son aquellas cuyo rango está formado por una cantidad

finita de elementos o que sus elementos pueden enumerarse de manera secuencial.

Supongamos que una persona arroja un dado tres veces: los resultados son variables

aleatorias discretas, ya que pueden obtenerse valores del 1 al 6.

En gran cantidad de experimentos aleatorios es necesario cuantificar los resultados, es decir, asignar a cada resultado del experimento un número, con el fin de poder realizar un estudio matemático.

3.4 Métodos para generar variables aleatorias.

Un modelo de simulación involucra variables aleatorias, las cuales siguen distribuciones de

probabilidad teóricas o empíricas. Estas variables usualmente tienen un comportamiento

no uniforme, por lo que es necesario simular estas variables mediante generadores que

utilizan variables uniformes y una función de transformación a la distribución de

probabilidad deseada. Existen varios procedimientos para lograrlo, entre ellos están el

método de la transformada inversa, el método de convolución, método de aceptación y

rechazo, y el método directo.

3.4.1 Método de la transformada inversa.

La transformada inversa en un método que usa la distribución acumulada F(x) de la

distribución que se desea simular. La función F(x) se encuentra en el intervalo de cero a

uno, y es posible generar un numero pseudoaleatorio R y tratar de determinar el valor de

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la variable aleatoria para la cual su distribución acumulada es igual a R. Se determina al

resolver la siguiente ecuación:

La dificultad en este método radica en que en algunas ocasiones es muy difícil encontrar la

transformada inversa debido a que no es posible integrarse analíticamente (ej.

distribución normal o gama). Cuando se presenta este caso se puede intentar el uso de

propiedades estadísticas como el limite central o la propiedad de convolucion, como

alternativas matematicas exploratorias.

3.4.2 Método de convolución.

Este método permite la generación de variables aleatorias en función de una combinación

lineal ponderada de otras variables aleatorias. Es decir requiere que la variable a generar

se pueda expresar como una suma lineal ponderada de otras variables aleatorias. Las

variables aleatorias normal, binomial, Poisson, gamma y Erlang son un ejemplo de la

aplicación de este método. Este método es posible aplicarse siempre y cuando la variable

aleatoria x se pueda expresar como una combinación lineal de k variables aleatorias:

Donde xi es una variable aleatoria que se tiene definida previamente.

3.4.3 Método de composición.

Cuando la función de distribución puede ser expresada como una combinación convexa de

otras funciones de distribución, el método de composición es una alternativa que

simplifica la generación de variables aleatorias. En este método se expresa a f(x) como una

mezcla probabilística de las funciones de densidad fi(x). La función de distribución tiene la

siguiente forma:

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Para seleccionar las fi(x) que son componentes de la f(x) se debe contemplar

principalmente las consideraciones relativas a la geometría de la distribución y la

minimización de los tiempos esperados del cálculo computacional.

Ejemplo.

Generar la variable aleatoria para la siguiente distribución:

Solución

:

Aplicando la transformada inversa:

Despejando x se obtiene que:

Para x=-1, se obtiene r = 0

Para x=0, se obtiene r = ½ .

Sujeta a las siguientes restricciones:

Aplicando la transformada inversa:

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Despejando x se obtiene que:

Para x=0, se obtiene r=1/2 .

Para x=1, se obtiene r=1

Sujeta a las restricciones siguientes:

Formulando entonces la variable aleatoria:

3.5 Procedimientos especiales

Existen casos en que se requiere la aplicación de algunas propiedades estadísticas como el

teorema del límite central que permiten generar una distribución deseada.

El teorema del límite central indica que, en condiciones generales, si Sn es la suma de n

variables aleatorias independientes (x1 … xn) entonces la función de distribución de Sn se

aproxima a una distribución normal. Este teorema asegura que ocurre cuando n es lo

suficientemente grande.

3.6 Pruebas estadística. (Pruebas de bondad de ajuste)

Al construir el modelo de simulación un punto importante es decidir si el conjunto de

datos se ajusta apropiadamente a una distribución específica de probabilidad. El proceso

de análisis para conocer el comportamiento de los datos, se requiere formularlos

mediante tablas de frecuencias, para asi aplicar la prueba de bondad de ajuste (chi-

cuadrada) y la prueba de Kolmogorov-Smirnov, descritas anteriormente en la sección 2.21,

con la variante de que el calculo de las frecuencias esperadas será de acuerdo a la función

propuesta f(x), para luego obtener mediante integración la F(x) obteniendo la frecuencia

esperada en el intervalo i con la siguientes expresiones:

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Donde f(x) es la función de probabilidad propuesta, los limites superior e inferior será de

acuerdo al intervalo calculado y la N es la cantidad total de datos analizados.

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CONCLUSION

En el presente trabajo de investigación se analizo que las variables aleatorias son

presentadas por medio de distribuciones de probabilidad, el procedimiento es para la

generación de los números con variables aleatorias a partir de las distribuciones de la

probabilidad que se conoce como la generación de variables aleatorias.

El principio del muestreo es basado en la interpretación de frecuencia de la probabilidad y

requiere un flujo permanente de los números aleatorios.

Hay cuatro métodos generales de generación de variables aleatorias y una serie de

métodos particulares de las distintas distribuciones. La facilidad de aplicación de dichos

métodos, así como el coste computacional asociado a los mismos, varía mucho según la

familia de variables aleatorias a las que se apliquen. Normalmente existen varios

algoritmos que se pueden utilizar para generar valores de una determinada distribución, y

diferentes factores que se pueden considerar para determinar qué algoritmo utilizar en un

caso particular. Desafortunadamente dichos factores suelen entrar en conflicto unos con

otros y a veces se ha de llegar a una solución de compromiso.

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REFERENCIAS

Raúl Coss Bu. (2003). Simulación Un enfoque práctico. México, DF: Limusa S.A. de

C.V.

Ing. Sergio David Castillón Dominguez. (2014). SIMULACION. 17 de Septiembre

2016, de Academia Sitio web:

https://www.academia.edu/7207310/Librodesimulacion?auto