COLEGIO PREUNIVERSITARIO TRILCEIII BIM ARITMTICA 3ER. AO

CUADRADOS MGICOSExiste un libro chino muy antiguo llamado Yih King. Nadie sabe quin lo escribi. En el libro se cuenta la historia de una gran tortuga que apareci un da en el ro Amarillo. En el dorso de su caparazn haba extraa marcas. Las marcas eran puntos que indicaban los nmeros del 1 al 9. Estaban dispuestos de la forma que, no importaba en qu direccin sumaron los nmeros, la respuesta era siempre 15. Era un cuadrado mgico. Supongamos ahora que tenemos un tablero cuadrado que comprende 5 casillas por lado o sea 25 casillas en total; inscribamos en cada casilla uno de los nmeros 1, 2, 3 .. 25, de forma que la suma de los nmeros de una lnea cualquiera, la de los nmeros de una columna cualquiera o de una de las dos diagonales sean iguales. Un cuadrado as, se denomina cuadrado mgico de 5 orden (es un cuadrado de orden impar, puesto que 5 es un nmero impar), de forma general un cuadrado mgico de n casillas por lnea comprender n casillas en total, y se llamar par o impar segn la paridad de n; en cada casilla estar (una sola vez) uno de los nmeros de la sucesin: 1, 2, 3, n. La construccin de un cuadrado mgico es un problema terico bastante difcil, los primeros estudios se remontan al bizantino Emanuel Moschopoulos en el siglo XIII. Damos, aqu, el mtodo dado por Bachete de Meziriac en 1612, en su libro: Problemas Placenteros y Deleitables, este mtodo es slo vlido para un cuadrado de orden impar (que supondremos de 5 casillas por lnea, para simplificar la explicacin).1. Dibujar el cuadrado, trazando lneas paralelas a los lados.

2. Alargar las paralelas ms all de cada lado, y construir as, fuera del cuadrado unos pequeos cuadrados semejantes a los primeros y que vayan decreciendo siempre en nmero de dos hasta que terminen en un solo cuadradito de arriba. (ver la figura).

3. Inscribir la cifra 1 en el cuadradito de arriba despus en diagonal inscribir los nmeros en su orden natural: 1, 2, 3, 4, Se sitan as dentro del gran cuadrado leyndolos lnea a lnea los nmeros 11, 7, 3 para la primera lnea (separadazos por dos casillas blancas). Los nmeros 12 y 8 para la segunda lnea, etc.4. Para terminar pasamos los nmeros que rebasan, dentro del cuadrado grande segn lo siguiente: los de arriba van abajo, los de abajo van arriba, los de la derecha van a la izquierda y los de la izquierda van a la derecha, sealando que hay que llevar el nmero que se halla fuera del cuadrado a la misma fila donde se encuentra tantos lugares ms adelante como unidades hay en el lado del cuadrado. En nuestro ejemplo, la cifra 1 debe bajarse 5 casillas puesto que el cuadrado tiene un lado de 5 unidades.

AOSACONTECIMIENTOS

1631Los signos de razn y de proporcin: Fueron introducidos por Guillermo Oughtred.

V a.C.Las escuelas pitagoricas tuvieron conocimiento de las proporciones aritmtica, geomtrica y armnica. Fue en esta etapa que Pitgoras crea su famoso teorema: a2 = b2 + c2.

1200Leonardo Pisano. Escribi un libro titulado Liber Abaci, donde explica las matemticas usada por los rabes que fue aprendida de los Indus. El cero es la nada.

406 a.C.

al

315 a.C.El astrnomo Eudoro, establece una teora de la semejanza.

1100 d.C.Omar Khayyan desarrolla un mtodo para dibujar un segmento cuya longitud fuera igual a una raz real positiva de un polinomio cbico dado.

El hombre fuerte crea los acontecimientos y el dbil

soporta lo que el destino le impone

PROPORCIN ARITMTICA (P.A.)

10 2 = 12 4

R. Aritmtica = R. Aritmtica

Luego:

Completa las siguientes proporciones:

13 2 = 16 - = - 1

EN FORMA GENERAL:

a - b = c d

Luego:

Completa las siguientes proporciones:

EN FORMA GENERAL

ClasesTipos

DiscretaContinua

Proporcin AritmticaA B = C D

D es cuarta diferencial de A, B y CA B = B C

C es tercera diferencial de A y B

B media diferencial de A y C

Proporcin Geomtrica

D cuarta proporcional de A, B y C

C: Tercera proporcional de A y B

B: Media proporcional de A y C

1. En una proporcin geomtrica discreta los consecuentes son 2 y 7 hallar el 1er. antecedente. Si los antecedentes suman 90.

a) 20

b) 30

c) 40

d) 50

e) N.A.

2. En una proporcin geomtrica continua se sabe que A = 8 y B = 4. Hallar la tercera proporcional.

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) N.A.

3. Coloca verdadero o falso:

A) P.G. es comparar razones Aritmtica()

B) P.A. es comparar razones geomtricas()

C) P.G. es comparar R. Geomtricas()

4. El producto de los extremos de una proporcin geomtrica es 12; hallar el producto de los cuatros trminos.

Rpta. ____________________

5. En una proporcin aritmtica se sabe que los extremos son 10 y 2 hallar la media diferencial.

Rpta. ____________________

6. Relaciona la correcta:

A) P. Geomtrica

( Razn Aritmtica

B) P. Aritmtica

( R. Geomtrica7. En una proporcin aritmtica, continua, se sabe que los extremos son 10 y 4. Hallar media diferencial.a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) N.A.

8. Marca con un aspa la respuesta correcta:

En una proporcin geomtrica continua:

A) Los cuatros trminos son iguales()

B) Los cuatro trminos son diferentes()

C) Los medios son iguales()

9. Completa:Si:

a, c : _________________

b, d : _________________

a, d : _________________

b, c : _________________

10. Si:

y A + B + C = 18

Hallar: B

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) N.A.

11. a)Si: ; adems:

A x C = 10. Hallar: A x B x B x C

a) 80

b) 90

c) 100

d) 110

e) N.A.

b)Si: . Hallar la media proporcional:

a) 4

b) 3

c) 2

d) 1

e) N.A.

12. a)En una proporcin geomtrica continua la suma de los extremos es 90 y la diferencia de los mismos es 54. Hallar la media proporcional.

a) 18

b) 24

c) 32

d) 36

e) 30

b) En una proporcin geomtrica continua la suma de los 4 trminos es 405. El primer trmino excede al ltimo en 315 unidades. Halle la media proporcional.

a) 12

b) 30

c) 35

d) 40

e) N.A.

13. Calcular la media diferencial de: 18, 12 y 15.a) 17

b) 15

c) 12

d) 10

e) 9

14. Sea: donde la constante de proporcional vale 2. Hallar el producto del primer y ltimo antecedente.

a) 144

b) 108

c) 72

d) 156

e) 124

15. En una proporcin geomtrica continua la suma de los trminos de la primera razn es la suma de los trminos de la segunda razn como 3 es a 1 adems. La suma de los cuadrados de los cuatro trminos es 400. Hallar la media proporcional.

a) 15

b) 12

c) 10

d) 6

e) 8

1. Hallar x:

a) 4

b) 8

c) 10

d) 12

e) 1

2. Cul es la tercera diferencial de 30 y 23?

a) 16

b) 15

c) 14

d) 12

e) N.A.

3. Calcular la cuarta proporcional de 36, 12 y 9.

a) 3

b) 5

c) 7

d) 11

e) N.A.

4. Cul es la tercera proporcional de 9 y 12?

a) 16

b) 15

c) 20

d) 18

e) N.A.

5. Cul es la tercera diferencial de 30 y 23?

a) 16

b) 15

c) 12

d) 14

e) N.A.

6. Calcular la tercera proporcional de 9 y 12.

a) 13

b) 14

c) 15

d) 16

e) N.A.

7. Determinar la media proporcional de 9 y 25.

a) 13

b) 14

c) 15

d) 16

e) N.A.

8. Julio tiene 38 aos y Juan 24 aos hace cuntos aos sus edades fueron como 2 es a 1.a) 15

b) 12

c) 10

d) 8

e) N.A.

9. La suma de los 4 trminos de una proporcin geomtrica y continua es 18. Hallar la diferencia de los extremos.

a) 7

b) 4

c) 6

d) 5

e) N.A.

10. Hallar la tercia proporcional entre la media proporcional de 9, 16 y la cuarta proporcional de 10, 15 y 14.

a) 38

b) 36,75c) 40

d) 34,25

e) N.A.

11. En una proporcin geomtrica continua los trminos extremos estn en relacin de 4 a 9 siendo su suma 65. Hallar la media proporcional.a) 30

b) 45

c) 50

d) 60

e) 90

12. Tres nmeros estn en la misma relacin que 5, 9 y 13. Si la suma de ellos es 216. indicar el mayor de ellos.a) 100

b) 104

c) 28

d) 29

e) 30

13. En una proporcin geomtrica continua la suma de los extremos es 34 y su diferencia es 16. Hallar la media proporcional.

a) 12

b) 15

c) 13

d) 14

e) 16

14. La media proporcional da a y 27 es b y adems a es la tercera proporcional entre 3 y 27. Hallar (a - b)

a) 81

b) 162

c) 243

d) 30

e) 54

15. En una reunin se observ que por cada 5 hombres hay 3 mujeres si llegaron 10 hombres y 8 mujeres la nueva relacin ser de 3 hombres por cada 2 mujeres. Cuntas personas haban inicialmente en la reunin?

a) 48

b) 42

c) 32

d) 38

e) 24

ADIVINA EL DA Y EL MES DE NACIMIENTO

DE QUIEN QUIERAS:Pdele a una persona que escriba el nmero del da que naci; que a este nmero le agregue un cero a la derecha; que a este total lo multiplique por 2 y luego le sume 73; a ese nuevo total lo multiplique por 5; finalmente que sume el nmero del mes de su nacimiento. El resultado ser un nmero al que t le restars 365 y obtendrs la respuesta.

Por ejemplo: Si una persona naci el 28 de Setiembre har lo siguiente: a 28 le agrega 0 ( 280, lo multiplica 2 ( 560, luego le suma 73, quedando 633, lo que multiplica por 5, 3165, a lo que les suma 9 (que corresponde a Setiembre) y obtiene 3174, lo que l te dice a ti. Ahora t a 3174 le restan 365 (siempre se resta 365) ( 3174 365 = 280928 09

PROPORCIONES

NIVEL: SECUNDARIASEMANA N 2TERCER AO

18

22

22

5

9

El nmero secreto en un cuadrado mgico de orden impar es el del centro. Multiplica este nmero por cinco para obtener los totales de las lneas. En este cuadrado mgico dicho total es 65.

13

28 de Setiembre

Interesante No?!

Prcticalo y lo ms importante, intenta averiguar porqu se obtiene este resultado tan preciso.

Recuerda: Las matemticas pueden ser divertidas, slo debes conocerla ms!

da

mes

Algo ms sobre proporciones.

Existe 2 tipos de P.G.

EMBED Equation.3 ( P.G. Discreta

EMBED Equation.3 ( P.G. Continua

a y c: antecedentes

b y d: consecuentes

a y d: extremos

b y c: medios

Proporcin Geomtrica: Es comparar 2 ms razones geomtricas.

R. Geomtrica

R. Geomtrica

P.A. Discreta Cuarta

Diferencial

12

P.G. Continua Tercera Y Media Proporcional

17

3

7

11

P.G. Discreta Cuarta Proporcional

Proporcin

Aritmtica

Proporcin Geomtrica

PROPORCIN

El pensamiento es ms que un derecho, es el aliento mismo del hombre

2

6

15

2

19

Tratemos de buscar cocientes que den como resultado 5.

a y c: antecedentes

b y d: consecuentes

6

21

Existe 2 tipos de P.A.

a b = x y ( P.A. Discreta

a b = b c ( P.A. Continua

Proporcin Aritmtica: Es comparar 2 ms razones aritmticas.

1

Prop. Arit. ( R. Aritmtica

Prop. Geomtrica ( R. Geomtrica

PROPIEDADES

PROPIEDADES

P.A. Continua Tercera y Media Diferencial

14

1

18

10

25

16

9

21

13

5

17

16

8

20

24

25

12

4

3

20

15

19

23

7

23

4

8

24

11

10

14

PAGE 70SAN MIGUEL FAUCETT MAGDALENA

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