IE 2011 2 Matematicas Financieras Parte 1
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EIQ 657: Ingeniería Económica
Versión 2011Profesor: Luis Vega Alarcón
Matemáticas Financieras
2
Valor del dinero en el tiempo
El valor del dinero en el tiempo es el concepto
fundamental de la Ingeniería Económica.
3
El dinero como cualquier otro bien, tiene un valor intrínseco. Un hombre puede tener una casa o puede cambiarla por
dinero en efectivo, o tener un auto y cambiarlo por dinero en efectivo. Si este hombre no es dueño de una casa y necesita
utilizar una, deberá rentarla, es decir, deberá pagar por ello; si
no posee un auto y necesita utilizar uno, deberá pagar una renta, no importando si es por media hora, como en el caso de
un taxi, o por un día o un mes. Del mismo modo, si este hombre no tiene dinero y lo necesita, deberá pagar cierta
cantidad para tenerlo.
En general, el uso de bienes ajenos con valor intrínsico implica necesariamente un pago por
ese uso. 4
“El interés es una medida del valor del dinero en el tiempo, representa el incremento entre la suma originalmente prestada
o invertida y la cantidad final debida o acumulada”.
Interés y tasa de interés
Para un préstamo
Original Prestamo -Debida CantidadInterés =
Original Inversión - AcumuladaCantidadInterés =
Para una inversión
5
Cuando se expresa el interés como porcentaje del monto
original por unidad de tiempo el resultado es la Tasa de Interés.
100 original Cantidad
tiempo de unidad por
acumulado Interés
Porcentual
Interés
de Tasa
×
=
Junto a la tasa de interés se debe identificar la unidad de
tiempo usada, a esta unidad de tiempo se le denomina
Periodo de Interés . El periodo más comúnmente empleado es
de 1 año, sin embargo, a menudo se utilizan periodos de
interés mas cortos que un año (interés trimestral, interés
mensual, etc.). 6
Interés simple e interés compuesto
Cuando se considera más de un periodo de interés es
necesario distinguir entre interés simple e interés compuesto.
El Interés Simple se calcula considerando el capital inicial
solamente sin considerar las ganancias generadas entre
los periodos.
El calculo con Interés Compuesto considera el capital y
las ganancias obtenidas entre los periodos.
7
Ejemplo. Se solicita un préstamo de $1000 a un 14% anual. ¿Cuanto dinero se deberá al cabo de 3 años?
a) Calculo con interés simple.
Fin de Capital Interes Cantidadaño adeudada0 10001 140 11402 140 12803 140 1420
420 $ .14)1000)(3)(0 $ (
interes) de tasaperiodos)( de número(Capital)(Interes
===
1420 $ 420 $ 1000 $
)(Intereses (Capital) AdeudadaCantidad
=+=+=
8
b) Calculo con interés compuesto .
Fin de Capital Interes Cantidadaño adeudada0 10001 140,00 1140,002 159,60 1299,603 181,94 1481,54
481,54
1481.54 $ 481.54 $ 1000 $
(Interés) (Capital) AdeudadaCandidad
=+=+=
Cantidad adeudada luego de tres años:
Interés Simple
Interés Compuesto $ 1481.54
$ 1420.00
9
Flujos de efectivo o Flujo de caja
Un flujo de efectivo (o flujo de caja) es el resultado neto de los
diversos ingresos de dinero y pagos de dinero (costos) que ocurren en ciertos intervalos de tiempo.
Una empresa tiene un flujo de efectivo positivo cuando recibe dinero por la venta de sus productos; de igual forma, tendrá un
flujo de efectivo negativo cuando el dinero salga de la empresa,
como cuando paga el sueldo a sus trabajadores.
Ingresos por Ventas + $ 10.000Pago de sueldos - $ 4.000Flujo de Efectivo Neto = $ 6.000
10
Un flujo de caja normalmente tendrá lugar en algún tiempo
dentro de un periodo de interés. Comúnmente para simplificar
se adopta la convención de fin de periodo que supone que
todos los flujos de dinero ocurren al final del correspondiente
periodo de interés.
Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic
Fecha real de pago
Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic
Con el convenio de fin de periodo
11
Se acostumbra representar los flujos de efectivo en forma gráfica .
“Al tiempo se le representa como una línea horizontal. El inicio
del periodo siempre se ubica en el extremo izquierdo y el final en el extremo derecho de la línea. Los flujos de efectivo estarán
representados por flechas, con la punta hacia arriba o hacia
abajo, según sea positivo o negativo el flujo analizado”.
+
-
0 1 2 3 4 5 6 7 8 Años
$ 3600
$ 700$ 1800
$ 600
$ 3200
12
Formulas de Ingeniería Económica
Las formulas matemáticas de ingeniería económica general-mente involucran los siguientes términos:
P : Suma de dinero en el tiempo presente.
F : Suma de dinero en algún tiempo futuro.A : Una serie consecutiva e igual de dinero al final
de cada periodo.G : Gradiente
n : Número de períodos.
i : Tasa de interés por período
13
Tanto P como F son valores sencillos que ocurren una sola vez en el tiempo, expresadas en unidades monetarias, mientras
que A se expresa en unidades monetarias por unidad de tiempo.
0 1 2 3 7 8años
P
F
4 5 6
A A A
14
0 1 2 3 n-1 naños
P conocida
¿ F ?
Considerando que se conoce el valor presente de una inversión
P y se quiere conocer su valor futuro F al final del periodo n con
una tasa de interés i.
15
0 1 2 3 n-1 naños
F1
¿ F ?
El monto de dinero acumulado al final del primer año seria:
)i1(PiPPF1 +=⋅+=
16
0 1 2 3 n-1 naños
F2
¿ F ?
Al final del segundo año la cantidad acumulada F2 será igual a
la acumulada al final del primer año F1 mas los intereses del
segundo periodo.2
112 )i1(Pi)i1(P)i1(PiFFF +=⋅+++=⋅+=
17
De la misma forma tenemos que la cantidad de dinero
acumulada al final del tercer año es:
32
2223 )i1(P)i1()i1(P)i1(FiFFF +⋅=+⋅+⋅=+⋅=⋅+=
De los resultados anteriores se puede generalizar para n años
como:
n)i1(PF +⋅=
Ejemplo. Si deposita hoy $ 50.000 en un banco que paga el 26% anual. ¿Qué cantidad de dinero habrá acumulado al cabo
de 5 años, si usted no hace ningún retiro durante dicho tiempo?
( ) 790.158$26.01000.50)i1(PF 5n =+⋅=+⋅=18
De la ecuación anterior obtenemos:
( )
+⋅=
ni1
1FP
Podemos conocer el valor presente de un valor futuro conocido
al fin del periodo n a un interés i.
Ejemplo. Cuanto debe depositarse hoy en un banco que da un 2% mensual para poder retirar dentro de un año $300000?
( ) 548.236 $02.01
1300000P 12 =
+⋅=
19
Si conocemos el valor de una serie de pagos o cuotas iguales
A en n periodos a una tasa de interés i y queremos conocer el
valor presente P.
0 1 2 3 n-1 naños
¿ P ?
A A A A A A
20
Considerando cada A como un valor futuro para el calculo del
valor presente tenemos:
+⋅+
+⋅++
+⋅+
+⋅+
+⋅= − n1n321 )i1(
1A
)i1(
1A.........
)i1(
1A
)i1(
1A
)i1(
1AP
0 1 2 3 n-1 naños
¿ P ?
A A A A A A
21
Factorizando y reordenado la relación anterior obtenemos:
0)(i )i1(i
1)i1(AP
n
n
≠
+⋅−+⋅=
Ejemplo. ¿Cuánto debe depositarse hoy en vez de depositar mensualmente $ 3000 en un banco al 2% mensual durante 3
años?
76.467 $ )02.01(02.01)02.01(
3000P 36
36
=
+⋅−+⋅=
22
De la relación anterior podemos conocer el valor de una serie
de cuotas o pagos iguales equivalentes a realizar hoy una
inversión P.
−++⋅⋅=
1)i1(
)i1(iPA
n
n
Ejemplo. Un banco otorga un crédito de $5.000.000 a 2 años a una tasa del 3% mensual. ¿Cuál será el valor del dividendo
mensual?
295237 $1)03.01()03.01(03.0
5000000A 24
24
=
−++⋅⋅=
23
Para conocer el valor A de la serie de cuotas uniformes
equivalentes a un valor futuro F conocido en el periodo n a una tasa de interés i.
0 1 2 3 n-1 naños
F
A A A A A A ¿A?
24
Combinando las dos ecuaciones anteriores:
−+⋅=
1)i1(
iFA
n
n)i1(PF +⋅=
0)(i )i1(i
1)i1(AP
n
n
≠
+⋅−+⋅=
Obtenemos:
Ejemplo. ¿Cuanto debe depositar mensualmente en un banco
que da un 3% mensual, para tener acumulado al final de dos
años la suma $5.000.000?
145.237 $1)03.01(
03.0000.000.5A 24 =
−+⋅=
25
De la relación anterior obtenemos:
i
1)i1(AF
n
−+⋅=
670604.5 $ 02.0
1)02.01(50000F
12
=
−+⋅=
Ejemplo. ¿Cuánto se tendrá acumulado al final de un año en un
banco que da un 2% mensual si se hacen depósitos mensuales de $50.000?
26
n)i1(PF +⋅=
( )
+⋅=
ni1
1FP
+⋅−+⋅= n
n
)i1(i1)i1(
AP
−++⋅⋅=
1)i1(
)i1(iPA
n
n
Factor Cantidad Compuesta Pago Unico (FCCPU).
Factor Valor Presente Pago
Único (FVPPU).
Factor Valor Presente Serie
Uniforme (FVPSU).
Factor de Recuperación de Capital (FRC)
27
−+⋅=
1)i1(i
FA n
−+⋅=i
1)i1(AF
n
Factor Fondo de Amortiza-ción (FFA).
Factor Cantidad Com-puesta Serie Uniforme
(FCCSU).
28
P
A F
n)i1(PF +⋅= )i1(i
1)i1(AP
n
n
+⋅−+⋅=
−+⋅=
1)i1(
iFA
n
i y n
En resumen:
29
En algunos casos se conoce la cantidad de dinero invertida P y la recibida F después de un numero especifico de años, y se
desea determinar la tasa de interés o tasa de retorno. La tasa de interés desconocida puede determinarse por solución directa
de la ecuación cuando sólo están involucrados un pago único y
una entrada única, o una serie uniforme de pagos o entradas. Sin embargo, cuando se trata de pagos no uniformes o varios
factores están involucrados, el problema debe resolverse por medio de métodos de ensayo y error.
30
Ejemplo. Si hoy se hace una inversión comercial que de $3.000
para recibir $ 5.000 dentro de 5 años. ¿Cual sería la tasa de retorno sobre la inversión?
( ) 1076.0135
i i130005000
)i1(PF
51
5
n
=−
=⇒+⋅=
+⋅=
0 1 2 3años
F =5000
P=3000
¿ i ?
4 5
31
En otro casos, se requiere determinar el numero de periodos
requeridos para que una inversión produzca una cantidad
determinada de dinero.
32
Ejemplo. ¿En cuánto tiempo se duplicarán $ 1000 si la tasa de
interés es de 5% anual?
0 1 2 3 n-1 naños
F=2000
i=5%
P=1000
¿ n ?
( )( )n
n
n
05.012
05.0110002000
)i1(PF
+=
+⋅=
+⋅= Aplicando logaritmo: n=14.2
Luego, en 14.2 años se duplica el capital.