Víctor M. Alfaro

IDENTIFICACIÓN DE PROCESOS SOBREAMORTIGUADOS UTILIZANDO

TÉCNICAS DE LAZO CERRADO

1. INTRODUCCIÓN

La puesta en servicio de un sistema de control in-dustrial requiere de la correcta sintonización delcontrolador, es decir de la selección adecuada desus parámetros.

Para poder sintonizar el controlador Gc(s) de un la-zo de control, como el mostrado en la Fig. Nº 1, esnecesario identificar primero la dinámica del pro-ceso que se va a controlar Gp(s), para luego obte-ner los parámetros del controlador, empleando elmétodo de sintonización seleccionado. El procesode sintonización del controlador consta así de dosetapas: identificación y sintonización.

La obtención de la información dinámica delproceso requiere que éste sea excitado de algu-na forma y que tanto la entrada aplicada así co-mo la respuesta del proceso, sean registradas.Por estas razones resulta necesario realizar unaprueba experimental que permita identificar unmodelo dinámico para el proceso.

Las técnicas de identificación experimental, quenos interesan, pueden clasificarse en:

• Métodos basados en la curva de reacción delproceso (respuesta al escalón)

• Métodos de oscilación mantenida• Métodos de realimentación con relé• Métodos de control P

Los métodos basados en la curva de reacción delproceso son métodos de lazo abierto, el controla-dor puede o no estar instalado y si lo está operaráde modo “manual” durante la prueba.

Los demás métodos son del tipo de lazo cerrado, endonde el controlador se encuentra operando en“automático”.

Las técnicas de identificación citadas anteriormen-te se basan, en consecuencia, en la curva de res-puesta del proceso obtenida a lazo abierto o lazocerrado y son procedimientos esencialmente gráfi-cos. Otros procedimientos que utilizan secuencias

Resumen

Se presentan varios de los métodos de identificación de procesos de lazo abierto, disponibles para la obtención de un modelo deprimer o segundo orden más tiempo muerto, para un proceso sobreamortiguado.Mediante pruebas de simulación digital, se compara el desempeño de estos métodos y se determina la bondad de los mismos conbase en el error de predicción cometido.Se dan recomendaciones sobre qué método utilizar con base en el modelo requerido.

Abstract

Several open loop identification methods for over damped process are presented, to obtain first and second order plus dead timemodels.A comparison based on the prediction error of the different models is made with the aid of digital simulation in order to measuretheir performance.Recommendations on the identification method to use are given based on the model required.

Ingeniería 11 (1,2):27- 40, 2 001 San José. Costa Rica

Víctor M. Alfaro

2. MODELOS

La mayoría de los métodos de sintonización decontroladores se basan en los parámetros de unmodelo de orden reducido que permita repre-sentar sistemas dinámicos de orden alto y poresta razón los más empleados son los de primero segundo orden más tiempo muerto, cuyasfunciones de transferencia son:

Primer orden más tiempo muerto

(1)Segundo orden sobreamortiguado más tiempomuerto

(2)Segundo orden subamortiguado más tiempomuerto

(3)

3. MÉTODOS DE IDENTIFICACIÓNDE LAZO CERRADO

A diferencia de los métodos de identificaciónde lazo abierto -en los cuales se aplica unaseñal directamente en la entrada de la planta,

para identificar los parámetros del modelodeseado a partir de la curva de respuesta de lamisma-, los métodos de lazo cerrado debenprimero obtener información del compor-tamiento del sistema bajo alguna condición decontrol realimentado, y a partir de ésta estimarlos parámetros del modelo para la planta.

Para efecto de los métodos de sintonización decontroladores, usualmente, se requiere que lossistemas sobreamortiguados de orden superior auno se representen por medio de un modelo deprimer orden más tiempo muerto, como el dadopor la ecuación (1); algunos pocos, sin embargo,requieren de un modelo de segundo orden mástiempo muerto, como el dado por (2). Si el sis-tema es subamortiguado debe representarse porun modelo como el dado por (3).

Restringiremos la presentación de los métodosde identificación, así como los resultadosobtenidos en su comparación, a aquéllos que per-mitan identificar un modelo de primer o segundoorden más tiempo muerto, y en particular a lossiguientes:

• Métodos que utilizan la información última(Chen, Ho et al., Lee y Sung)

• Métodos de control P (Jutan y Rodríguez,Lee, Yuwana y Seborg)

1)(

+=

−

s

eksG

stp

p

m

τ

)1)(1()(

21 ++=

−

ss

eksG

stp

p

m

ττ

122)(

2222

2

++=

++=

−−

ss

ek

ss

eksG

stp

nn

stpn

p

mm

ςττωςωω

INGENIERÍA28

binarias seudo-aleatorias (PRBS), como señales deprueba y métodos numéricos basados en los míni-mos cuadrados para la identificación de modelosen tiempo continuo o en tiempo discreto del tipoARX, ARMA, ARMAX y otros, están fuera del al-cance de este trabajo.

Se presentan a continuación, algunos méto-dos de identificación de procesos sobreamor-tiguados basados en la curva de reacción ylos resultados comparativos de la bondad delos mismos, obtenidos mediante pruebas desimulación digital.

ALFARO: Identificación de procesos Sobreamortiguados... 29

3.1 MÉTODOS PARA LA OBTENCIÓNDE LA INFORMACIÓN “ÚLTIMA”

Se denomina información última o crítica a laque se obtiene de la operación del sistema decontrol en el límite de su estabilidad. Estainformación –ganancia última Kcu y periodo deoscilación último Tu–, corresponde a la ganan-cia del controlador proporcional que lleva elsistema de control al límite de su estabilidad–oscilación mantenida – y al periodo de laoscilación del sistema.

Los valores de los parámetros últimos Kcu, Tu

pueden ser utilizados directamente en un pro-cedimiento de sintonización de controladores opara estimar los parámetros de un modelo parala planta.

3.1.1 MÉTODO DE OSCILACIÓNMANTENIDA

Este método fue desarrollado por Ziegler yNichols[16], como parte de un procedimientode sintonización de controladores. Con estemétodo se determinan los parámetros Kcu y Tu

a través de un procedimiento iterativo queemplea un controlador básicamente propor-cional al que se le han desactivado los modosintegral y derivativo. La ganancia del contro-lador aumenta paulatinamente hasta lograr quela respuesta del sistema a un cambio escalón enel valor deseado sea oscilatoria. El valor deesta ganancia es Kcu y el periodo de la respues-ta oscilatoria es Tu.

3.1.2 MÉTODO DE REALIMENTACIÓNCON RELÉ

Para obtener la misma información que el méto-do de oscilación mantenida de Ziegler y Nichols,sin necesidad de llevar el sistema al límite de laestabilidad y poder incorporar el procedimientocomo parte de un sistema de auto-sintonía delcontrolador, Aström y Hägglund[2,3] se basaronen el siguiente hecho: un proceso que tenga unretraso de fase de por lo menos 180º a altas fre-cuencias, oscilará con un periodo de oscilaciónigual al periodo crítico bajo el control de un relé.El procedimiento de auto-sintonía incluirá unrelé para realizar la prueba de identificación,como se muestra en la Figura Nº 2. En la FiguraNº 3 se muestra la respuesta del sistema.

Si la amplitud del relé es d, de la expansión en unaserie de Fourier se obtiene que la amplitud de laprimera armónica de la salida del relé es igual a4d/π. Si a es la amplitud de salida del proceso, laganancia crítica estará dada entonces por:

(4)

y el periodo de oscilación de las señales será elperiodo de oscilación último

(5)

La amplitud de la oscilación puede cambiarsemediante la variación de la amplitud d del relé.

En los casos en los que el ruido en la señal puedaocasionar una conmutación intermitente del reléideal, se debe emplear un relé con histéresis.

Kcu =4d

πa=

4d '

πa'

Tu = Tc

(7)

(8)

3.3.2 MÉTODO DE Ho et al.[7]

Ho utiliza la información última para identi-ficar un modelo con un polo doble más tiempomuerto dado por:

(9)

Mediante las siguientes ecuaciones:

(10)

(11)

INGENIERÍA30

3.2 MÉTODOS DE IDENTIFICACIÓNBASADOS EN LA INFORMACIÓNÚLTIMA

La información última, ya sea obtenida por elmétodo de oscilación mantenida de Ziegler yNichols o por el de realimentación con relé deAström y Hägglund, puede emplearse paraidentificar un modelo para el proceso.

3.2.1 MÉTODO CHEN[5]

Este procedimiento combina una prueba de lazocerrado con un controlador proporcional paradeterminar la ganancia de la planta, junto con lainformación última para identificar un modelo deprimer orden más tiempo muerto, como el dadopor (1) mediante las siguientes ecuaciones:

(6))( yuK

yk

c

p ∆−∆∆

=

12

22 −= pcuu kK

T

πτ

−= −

u

um

T

Tt

πτπ

π2

tan2

1

2)1'()(

+=

−

s

eksG

stp

p

m

τ

12

' −= pcuu kK

T

πτ

−= −

u

um

T

Tt

'2tan2

21 πτ

ππ

en lazo abierto, lo cual significa que no existe nin-gún control sobre el proceso e inutilización conplantas inestables.

Las características deseables de un método de iden-tificación experimental requieren de una sola prue-ba en lazo cerrado. Se han desarrollado los métodosde identificación de control P, los cuales se basan enla identificación del proceso a partir de la curva derespuesta del sistema a un cambio escalón en el va-lor deseado, cuando éste se controla con un contro-lador proporcional: .

3.3.1 MÉTODO DE YUWANA YSEBORG[15]

Este método fue el primer procedimiento deidentificación de lazo cerrado que empleó uncontrolador proporcional, sin la necesidad de lle-var el sistema al límite de la estabilidad. El pro-cedimiento requiere la respuesta del sistema a uncambio escalón en el valor deseado, la cual debeser subamortiguada. Se modela la misma comola respuesta de un sistema de segundo orden mástiempo muerto, y se identifica para el proceso unmodelo de primer orden más tiempo muerto.

De la respuesta del sistema deben obtenerse lossiguientes valores: yp1, yp2, ym1, yu y ∆t, corres-pondientes a los valores del primer y segundo picode la respuesta, el primer mínimo, el valor final yel semiperiodo, respectivamente, como se mues-tra en la Fig. Nº 4.

Suponiendo un modelo de segundo orden mástiempo muerto para el sistema de lazo cerrado, yel empleo de una aproximación de Padé deprimer orden para el tiempo muerto dada por:

(15)

La ganancia del modelo de la planta se puedeidentificar utilizando (6), y la constante de tiem-po y el tiempo muerto aparente de:

(16)

En donde la ganancia de la planta se ha obtenidoa partir de una prueba de lazo cerrado con uncontrolador proporcional con (6).

3.2.3 MÉTODO DE LEE Y SUNG[11]

Combinando un procedimiento de identificacióndel relé con una prueba de un controlador pro-porcional, se obtiene la información necesariapara identificar un modelo de primer orden mástiempo muerto.

Se realiza primero una prueba de retroalimenta-ción con un relé de amplitud d para obtener laamplitud de la salida a, y luego una prueba conun controlador P con una ganancia:

(12)

El modelo se identifica entonces a partir de:

(13)

(14)

En donde, la ganancia de la planta se ha obtenidode una prueba con control P con (6).

3.3 MÉTODOS DE CONTROL P

Una de las desventajas del método de identificaciónde oscilación mantenida de Ziegler y Nichols [3.3.1]radica en la necesidad de llevar el sistema hasta ellímite de la estabilidad y puede presentar unaoperación inestable en presencia de perturbacionesexternas. Además, el procedimiento es de prueba yerror, por lo tanto, puede llegar a consumir bastantetiempo.

Los métodos basados en la curva de reacción delproceso, tienen la ventaja de requerir una sola prue-ba, aunque tienen el inconveniente de efectuar ésta

ALFARO: Identificación de procesos Sobreamortiguados... 31

ad

Kc π4

6.0=

−

+

=

dk

a

dk

a

T

pp

u

1/1ln

2/τ

+=2

1ln

2/ τ

τuT

m

et

cc KsG =)(

st

ste

m

mstm

5.01

5.01

+−

=−

pckKK =

,

,

Donde:

(25)

(26)

3.3.3 MÉTODO DE LEE[10]

A diferencia de Yuwana y Seborg [3.3.1] y de Jutany Rodríguez [3.3.2], ambos utilizan aproxima-ciones para sustituir el tiempo muerto que apareceen el denominador de la función de transferenciade lazo cerrado. Lee logra que los polos de la fun-ción de transferencia, identificada para la respues-ta subamortiguada con control P, coincidan con losde la desarrollada a partir del supuesto de que laplanta controlada sea de primer orden más tiempomuerto.

La ganancia se obtiene con (6) y la constante detiempo y el tiempo muerto de:

(27)

(28)

Donde y (29

INGENIERÍA32

(17)

(18)

Donde:(19)

(20)

(21)

3.3.2 MÉTODO DE JUTAN YRODRÍGUEZ[9]

Yuwana y Seborg [3.3.1] utilizaron en su métodode identificación una aproximación de Padé deprimer orden para el tiempo muerto, lo cualintroduce errores en el proceso de identificación.En vez de ésta, Jutan y Rodríguez proponen uti-lizar la siguiente aproximación:

(22)

con γ1=-0,61453, γ2=0,1247 y δ=0,3866.

La ganancia del modelo se obtiene de (6) y losotros parámetros de:

(23)

(24)

[ ] )1)(1()1(1 22 +−++++∆= KKKKt ςςς

πτ

[ ]KKK

Kttm

++++

+−∆=

)1(1

)1)(1(22

2

ςςπ

ς

2/)( 21 ςςς +=

[ ][ ])/()(ln

)/()(ln

1122

11

1

upmu

upmu

yyyy

yyyy

−−+

−−−=

πς

[ ][ ])/()(ln4

)/()(ln

1222

12

2

upup

upup

yyyy

yyyy

−−+

−−−=

πς

st

stste

m

mmstm

δγγ

+++=−

1

1 2221

a

acbb

2

)4( 2/12 −±−=τ

τβα +=mt

)1('

222

2

2

22

KKc

Kb

Ka

+−=+=

+=

ταγδαβαγ

δβγβ

yu

yK

K

K

K

∆−∆∆=

+−=

++

=

−11

1

)(

)1(''2

γδβ

γδτς

α

[ ]

2

1

11

2/1

122

1

'1'

ln

ln'

ςπ

τ

α

απ

ας

−∆

=

−−=

+

−=

t

yy

yy

up

mu

[ ] 0)cos()( =−−−mm

pcst ttsenkK

e m βββαβ

α

[ ])cos(11

mt

pc tekK m βα

τ α+=

'/τςα = '/1 2 τςβ −=

La ecuación (27) es no lineal y debe resolverse enforma iterativa utilizando el siguiente algoritmo:

(30)

ALFARO: Identificación de procesos Sobreamortiguados... 33

tm,k +1 = 1β

υ + tan−1 Ψ( )[ ]

Ψ =β e−α tm ,k

Kck p α 2 + β 2 cos β tm .k −υ( )υ = tan−1(β /α )

βπυ /)4/(0, +=mt

Iniciándolo con:

Una vez que (30) converja, el valor obtenidodel tiempo muerto tm se utiliza para calcular laconstante de tiempo τ con (28).

4. PRUEBAS COMPARATIVAS PORSIMULACIÓN

La bondad de las técnicas de identificacióndescritas anteriormente se evaluó mediante lasimulación digital, tanto de las plantas de pruebacomo de los modelos identificados, para ello seutilizó el programa VisSim 3.0[13].

4.1 PLANTAS DE PRUEBA

La selección de las plantas empleadas para laspruebas comparativas se basó en las plantas utili-

zadas para tal fin en otras investigacio-nes[4,6,7,8,12,14], así como en variantes de lasmismas. Estas son

(31)

(32)

(33)

0.2,5.1,0.1,5.0,)1(

1)(

31 =+

= ττ s

sG p

)1)(15)(.12(.

1)(2 +++

=sss

sG p

)12)(1)(15)(.12)(.11(.

1)(3 +++++

=sssss

sG p

,

(0,1s+1)(0,2s+1)(0,5s+1)(s+1)(2s+1)

(0.2s+1)(0,5s+1)(s+1)

INGENIERÍA34

(34)

4.2 ÍNDICES DE DESEMPEÑO

Definiendo el “error de predicción” de un modelocomo la diferencia entre la salida de la planta y lapredicha por éste, se establecieron los siguientesíndices de desempeño:

Integral del error de predicción absoluto

(35)

Integral del error de predicción cuadrático

(36)

En donde yp(t) es la salida de la planta, y ym(t)la del modelo identificado para la misma.

El índice IEAP representa el área diferencialentre la respuesta de la planta y la del modelo, demanera que si la IEAP → 0 entonces ym(t) →yp(t).

Cuanto menor sea este índice de desempeño mejorserá la representación dada por el modelo.

El índice IECP da mayor peso a las desviacionesgrandes que a las pequeñas, por ello considerandodos modelos que posean valores del IEAP simi-lares, el que posea un menor IECP predecirá la sal-ida de la planta con desviaciones máximasmenores.

Como la evaluación hasta el infinito de los índices(35) y (36) es imposible de realizar, éstos se evalu-arán para un intervalo de tiempo

entre 0 y , siendo el

sumatorio de las constantes de tiempo de la planta.

4.3 PARÁMETROS ÓPTIMOS DE LOSMODELOS

Los índices de desempeño definidos en [4.2]permiten realizar una comparación entre losdiferentes modelos identificados para una plan-ta en particular, pero más importante que sucuantificación para un modelo dado, es su valorrelativo respecto al de otro.

Para establecer un valor o índice de referencia quecompare la bondad de los modelos, se identificaronlos parámetros del modelo de primer y segundoorden más tiempo muerto que minimizan el crite-rio IEAP, y se definió el porcentaje de error depredicción como:

(37)En donde IEAPi es el valor del índice IEAP para unprocedimiento de identificación en particular, y elIEAPopt el del modelo optimizado para esa mismaplanta.

4.4 RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN

Las cuatro plantas descritas en [4.1] se identifi-caron con los métodos enumerados en [3.0] ysu desempeño fue evaluado por medio de losíndices establecidos en [4.2].

Para el caso particular de la planta Gp3, en laTabla Nº 1 se muestran los modelos óptimos deprimer y segundo orden más tiempo muerto iden-tificados y utilizados para medir la bondad de losmétodos de identificación comparados; en laTabla Nº 2 se indican los parámetros últimosobtenidos con esta planta por el método deoscilación mantenida y por el de realimentacióncon relé; en la Tabla Nº 3 los modelos obtenidosa partir de esta información y en la Tabla Nº 4 losmodelos obtenidos con las técnicas de control P.

)1)(15)(133()(

15.

4 +++=

−

sss

esG

s

p

∫∞

−=0

)()( dttytyIEAP mp

∫∞

−=0

2))()(( dttytyIECP mp

Tτ10 ∑=

=n

iiT

1

ττ

opt

optii IEAP

IEAPIEAPPEP

−=100

(0,33s + 1)(0,5 + 1)(s + 1)

ALFARO: Identificación de procesos Sobreamortiguados... 35

* en el intervalo de solución de 0 a 38

* en el intervalo de solución de 0 a 38** respecto a la IAEP del modelo óptimo de segundo orden sobreamortiguado(1) Se emplea la información última de Ziegler y Nichols(2) Se emplea la información última de la prueba con relé de Aström y Hägglund

INGENIERÍA36

por ambos procedimientos son prácticamentelos mismos. En el valor del periodo deoscilación la diferencia es despreciable y en elcaso de la ganancia, el error cometido alemplear el método del relé fue poco más del2%.

Las pruebas demostraron que ambos proced-imientos identifican casi en forma idéntica elperiodo de oscilación, y que el error máximoen la estimación de la ganancia última cometi-do con el método de realimentación con reléfue del orden del 4%.

4.5 ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS

El análisis y la comparación del desempeño delos métodos de identificación estudiados, consid-eran los resultados obtenidos con las cuatro plan-tas de prueba.

4.5.1 MÉTODOS PARA LA OBTENCIÓNDE LA INFORMACIÓN ÚLTIMA

Como se puede apreciar en la Tabla Nº 2, parala planta Gp3, los parámetros últimos obtenidos

* en el intervalo de solución de 0 a 38

ALFARO: Identificación de procesos Sobreamortiguados... 37

4.5.2 MÉTODOS BASADOS EN LAINFORMACIÓN ÚLTIMA

Para identificar un modelo de primer orden mástiempo muerto se utilizó el método de Chen, y el deHo et al. para identificar uno con un polo doble.

En cada caso se identificaron dos modelos, unobasado en la información obtenida por el pro-cedimiento de Ziegler y Nichols, y el otro porla información del relé de Aström y Hägglund.

En el caso del método de Chen, el PEP de ambosmodelos fue muy alto y del mismo orden de mag-nitud, desde 740 % hasta más de 1 900 %, con unaligera ventaja en el identificado a partir de la infor-mación obtenida por el método del relé.

El modelo de polo doble de Ho mostró ser supe-rior al de Chen con valores del PEP entre el 235% y el 630 % al compararse con el modelo ópti-mo de segundo orden, siendo el modelo identifi-cado a partir de la información del relé ligera-mente mejor en todos los casos. Es importantedestacar que si se compara con el modelo óptimode primer orden, el modelo de polo doble de Hofue inferior en el caso de las dos primeras plantasy ligeramente superior en el caso de las otras dos.

El modelo identificado por el método de Lee ySung, que los autores proponen emplear a partir

de la información última obtenida por el métododel relé, tuvo el peor desempeño entre todos losmétodos de lazo cerrado probados, con valoresdel PEP entre 1 200 % y 2 620 %.

4.5.3 MÉTODOS DE CONTROL P

Los métodos de Jutan y Rodríguez y el de Leefueron propuestos para mejorar los de Yuwanay Seborg; los resultados muestran que los por-centajes de error de predicción son en prome-dio entre un 5 % y un 18 % menores en el casode Jutan y Rodríguez, y entre un 4 % y un 24% en el caso de Lee. Es importante notar quebasándose en los promedios del PEP, el méto-do de Lee resulta ser mejor que el de Jutan yRodríguez aunque éste último es superior al deLee para los valores bajos de la ganancia delcontrolador, deteriorándose a mayor velocidadcon el aumento de la ganancia.

En general, los métodos de control P mostraroníndices de PEP altos, entre 530 % y 1 900%,según el método empleado y la ganancia delcontrolador utilizada en la prueba.

En la Fig. Nº 5 se muestra la curva de reaccióndel proceso junto con la respuesta de los mode-los identificados por los métodos de Chen,Jutan y Rodríguez y de Ho (polo doble).

INGENIERÍA38

5. CONCLUSIONES

Los métodos de sintonización de controladoresparten de un modelo identificado para el procesoa controlar; por lo tanto, la fidelidad con que elmodelo represente su dinámica es de primordialimportancia para lograr los objetivos de controldeseados.

Se considera que la diferencia entre los valoresobtenidos para la información última Kcu y Tu

por el método de oscilación mantenida de Zieglery Nichols y el del relé de Aström y Hägglund noes significativa, con la ventaja de que el métododel relé no requiere llevar el sistema al límite dela estabilidad. Este procedimiento de identifi-cación ha sido incorporado dentro de varios con-troladores PID comerciales.

Aunque la información última se obtiene conbastante exactitud mediante cualquiera de los dosprocedimientos anteriores, los modelos identifi-cados a partir de ésta por Chen, Ho y Leemostraron resultados inferiores a los proced-imientos de identificación de lazo abierto, por elhecho de que sistemas con comportamientososcilatorios a lazo cerrado similares puedentener respuestas transitorias de lazo abierto bas-tante diferentes.

Para los métodos con control P, los resultadosmuestran claramente que la ganancia del contro-lador incide sobre los resultados obtenidos, amayor ganancia mayor es el porcentaje de error depredicción. En conclusión, en estos métodosdeberá utilizarse la menor ganancia del controladorque produzca una respuesta subamortiguada, en la

ALFARO: Identificación de procesos Sobreamortiguados... 39

cual se puedan identificar por lo menos los dosprimeros picos, y emplear el método de Jutan yRodríguez para la identificación, por no requerirresolver una ecuación no lineal por medios itera-tivos.

Los métodos de control P incluyen dos aproxima-ciones en el procedimiento de identificación,primero se aproxima el sistema de lazo cerrado porun modelo de segundo orden subamortiguado mástiempo muerto y luego, utilizando una aproxi-mación de Padé u otra similar para el tiempo muer-to, se deriva el modelo del proceso. La acumu-lación de los errores introducidos por estas dosaproximaciones les hace tener un desempeño infe-rior al de los métodos de lazo abierto.

Si se comparan los valores de los PEP de los méto-dos de identificación de lazo cerrado probadosaquí, con los valores de los métodos basados en lacurva de reacción del proceso comparados porAlfaro[1] con antelación, es evidente que estosúltimos son superiores, ya que en general tienenvalores del PEP mucho menores. Por ejemplo, losmodelos de primer orden más tiempo muerto iden-tificados con los métodos de dos puntos (Ho,Alfaro, Chen y Yang) tuvieron un PEP entre el 3 %y el 19 % solamente, en comparación con el PEPde 900 % del mejor modelo de primer orden iden-tificado con los procedimientos de lazo cerrado.

Los resultados permiten recomendar que se empleeun método de identificación de lazo abierto y queen los casos en que esto no sea posible, se utilice elmétodo de Chen para identificar un modelo deprimer orden más tiempo muerto o el de Ho parauno de segundo orden más tiempo muerto, a partirde la información última obtenida de la prueba delrelé.

6. BIBLIOGRAFÍA

1. Alfaro, V.M. – “Identificación de procesossobreamortiguados utilizando técnicas delazo abierto”, Ingeniería (Costa Rica), Vol.11 Nº 2, 2 001.

2. Aström, K.J. y T. Hägglund – “AutomaticTuning of Simple Regulators withSpecifications on Phase and AmplitudeMargins”, Automatica (UK), Vol. 20 Nº 5,pág. 645-651, 1 984.

3. Aström, K.J. y T. Hägglund – “AutomaticTuning of PID Controllers”, ResearchTriangle Park, NC. EUA, InstrumentSociety of America, 1 988.

4. Aström, K.J. y T. Hägglund – “BenchmarkSystems for PID Control”, IFAC Workshopon Digital Control: Past, Present andFuture of PID Control, Terrassa, España,Abril 5 – 7, 2 000.

5. Chen, C.L. – “A Simple Method for On-LineIdentification and Controller Tuning”, AIChEJournal (EUA), Vol. 35 Nº 12, Dic. 1 989.

6. Chen, C.L. y S.F. Yang – “PI tuning basedon peak amplitude ratio”, Preprints ofIFAC Workshop on Digital Control: Past,Present and Future of PID Control,Terrassa, España, Abril 5 – 7, 2 000.

7. Ho, W.K., C.C. Hang y L.S. Cao – “TuningPID Controllers Based on Gain and PhaseMargin specifications”, Automatica (UK),Vol. 31 Nº 3, pág. 497-502, 1 995.

8. Jahanmiri, A. y H.R. Fallahi – “NewMethods for Process Identification anddesign of Feedback Controllers”,Transactions of The Chemical Engineers(EUA), Vol. 75 Part A, Jul. 1 997.

9. Jutan, A. y E.S. Rodríguez – “Extension ofa New Method for On-Line ControllerTuning”, The Canadian Journal ofChemical Engineers (Canada), Vol. 62,Dic. 1 984.

10. Lee, J. – “On-Line PID Controller Tuningfrom a Single, Close –Loop Test”, AIChEJournal (EUA), Vol. 35 Nº 2, Feb. 1 989.

INGENIERÍA40

11. Lee, J. y S.W. Sung – “Comparison of TwoIdentification Methods for PID Controllertuning”, AIChE Journal (EUA), Vol. 39 Nº4, Abril 1 993.

12. Nishikawa, Y., N. Sannomiya, T. Ohta y H.Tanaka – “A Method for Auto-Tuning ofPID Controller Parameters”, Automatica(UK), Vol. 20 Nº 3, pág. 321-332, 1 984.

13. Visual Solutions - “VisSim User’s GuideVersion 3”, Westford, Ma., EUA, VisualSolutions, 1 999.

14. Vitecková, M., A. Viecek y L. Smitny –“Simple PI and PID Controllers tuning formonotone self regulation plant”, IFACWorkshop on Digital Control: Past,Present and Future of PID Control,Terrassa, España, Abril 5 – 7, 2 000.

15. Yuwana, M. y D.E. Seborg – “A NewMethod for On-Line Controller Tuning”,AIChE Journal (EUA), Vol. 23 Nº 3, Mayo1 982.

16. Ziegler, J.B. y N.B. Nichols – OptimumSettings for Automatic Controls”, ASMETransactions (EUA), Vol. 64, pág. 759-768, 1 942.

7. SIMBOLOGÍA

Gp(s) función de transferencia (modelo)Gc(s) función de transferencia (contro-

lador)kp ganancia estáticaτ, τ1, τ2 constantes de tiempotm tiempo muerto aparenteωn frecuencia naturalζ razón de amortiguamientos variable compleja∆y cambio en la señal de salida∆u cambio en la señal de entradaKcu, Tu parámetros últimosyp1,yp2,ym1 máximos y mínimos de y(t)yu valor final de y(t)∆t semiperiodoKc ganancia del controlador P

SOBRE EL AUTOR

Víctor M. AlfaroProfesor Asociado, Departamento de Automática,Escuela de Ingeniería Eléctrica, Universidad deCosta RicaApartado postal 1122, 2050 San Pedro, San José,Costa RicaTel. 234.2494, Fax. 280.6370, correo electrónico:valfaro@pacuare.eie.ucr.ac.cr