IDENTIFICACIÓN DE SISTEMASIDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS

Ing. Fredy Ruiz Ph.D.ruizf@javeriana.edu.co

Maestría en Ingeniería ElectrónicaPontificia Universidad JaverianaPontificia Universidad Javeriana

20132013

SISTEMAS LINEALES Y PROCESOS ESTOCÁSTICOSSISTEMAS LINEALES Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS

Sistema• Un sistema S es un operador que relaciona una señal

u(t) denominada entrada con una señal y(t) denominada salida.

y(t)=S(u(t))

• El sistema es lineal si:

S(a u1(t) + b u

2(t) + .. ) = a S(u

1(t) + b S(u

1(t)) + ...)

Sistema• El sistema es invariante con el tiempo si su

respuesta a una entrada no depende del instante en el cual viene aplicada.

y(t-t')=S(u(t-t'))

• El sistema es causal si su respuesta al instante t depende solo de los valores de la entrada para

t' ≤ t

Sistemas LTI

• Un sistema lineal e invariante con el tiempo relaciona entrada-salida como:

• Donde g(t') es la respuesta al impulso de S.• Si S es causal g(t')=0 para t'<0.• g(t') contiene toda la información del sistema.

Sy(t)u(t)

y(t)=∫−∞

∞g (t ' )u (t−t ' )dt '

Sistemas LTI en tiempo discreto

• En el curso trabajamos únicamente con sistemas en tiempo discreto.

• En la práctica las señales son muestreadas.• En este caso

• Si el sistema es causal:

y(t)=∑k=−∞

∞g (k )u (t−k )

y(t)=∑k=0

∞g (k )u (t−k )

Modelos con perturbacionesConsideramos dos tipos de señales no manipulables

– Ingresos no medibles, e.g.• Torque de carga en un motor• Rafagas de viento en un avion

– Ruido de medida• Ruido térmico, deriva y otros efectos de la

instrumentación

Sy(t)u(t)

+

v(t)

Modelos con perturbacionesConsideramos dos tipos de señales no manipulables

– Ingresos no medibles, e.g.• Torque de carga en un motor• Rafagas de viento en un avion

– Ruido de medida• Ruido térmico, deriva y otros efectos de la

instrumentación

y(t)=∑k=0

∞g (k )u (t−k )+v (t )

Modelos de perturbaciones– Señales desconocidas. Se describen por sus

propiedades estadísticas.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-4

-3

-2

-1

0

1

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4

Modelos de perturbaciones

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-4

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– Señales desconocidas. Se describen por sus propiedades estadísticas.

– v(t) es un proceso estocástico:Secuencia de variables aleatorias!!!

Modelos de perturbaciones

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-4

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– Señales desconocidas. Se describen por sus propiedades estadísticas.

– v(t) es un proceso estocástico:Secuencia de variables aleatorias!!!

Cómo se describe ??????Cómo se describe ??????

Modelos de perturbaciones– Señales desconocidas. Se describen por sus

propiedades estadísticas.– v(t) es un proceso estocástico:

Secuencia de variables aleatorias!!!

– Cómo se describe ??????

F (X (t1) ,... , X (t k))(x1, x2,... , xk)→ fdp conjunta

Procesos estocásticos

– Esta representación es muy compleja– Se requieren infinitas fdp, una por cada valor k

Primeros momentos:– Valor medio

– Autocorrelación

F ( X (t1) , ... , X (tk))(x1, x2,... , xk)= fdp conjunta

RXX (t k , t l)=∫−∞

∞

∫−∞

∞xk xl F ( X (t k) , X (t l))

( xk , x l ; t k , t l)dxk dxl

μX (t k)=E X (t k )=∫−∞

∞x F X (t k)

(x ; t k)dx

Procesos estacionariosSi las propiedades estadísticas no cambian al desplazar el tiempo, el proceso es estrictamente estacionario:

– Esto es imposible de verificar:• Para todo τ• Para todas las combinaciones de tiempo:

t1, t

2, …, t

k

F (X (t1) , ... , X (tk))(x1, x2,... , xk)=F ( X (t1+τ) , ... , X (t k+τ))( x1, x2,... , xk )

Procesos estacionariosProceso estacionario en sentido amplio:• El valor medio es constante:

• La autocorrelación depende de la diferencia entre los tiempos de observación:

E X (t k )=∫−∞

∞x F X (t k)

(x ; t k)dx=μX

RXX (t k , t l)=RX (t k−t l)=RX (τ)

Procesos estacionariosProceso estacionario en sentido amplioAdemás:

RX (0)=E [ X 2(k )]

RX ( τ)=RX (−τ)

∣RX (τ)∣⩽RX (0)

Ergodicidad

Un proceso estacionario es ergódico de primer orden si:– La media temporal converge a la media

estadística:

limT →∞ E [μX (T )]=μx

μX (T )= 1T ∑0

T −1x(t)

limT →∞ var [μX (T )]=0

ErgodicidadUn proceso estacionario es ergódico de segundo orden

si: -: La correlación temporal converge a la correlación

estadística:

Se puede definir ergodicidad de cualquier orden.

limT →∞ RX ( τ ,T )=RX ( τ)

RX ( τ ,T )= 1T ∑t=0

T−1x (t+τ) x (t)

limT →∞ var [RX (τ ,T )]=0

Ruido blanco

• Secuencia de variables aleatorias independientes, idénticamente distribuidas (i.i.d.), con media cero y varianza conocida.

• No se especifica la distribución, puede ser– Gausiana: N(0,λ) útil para obtener resultados

formales– Uniforme: Buena representación del ruido de

medida– Arbitraria

Sea v(t) P.E. estacionario en sentido amplio, con:– E{v(t)} valor esperado– E{v(t)v(t-t')} Autocorrelación

¿Qué sucede al aplicar v(t) como entrada a un sistema LTI con respuesta impulso g(t)?

Procesos estocásticos a través de sistemas lineales

g(t)y(t)v(t)

• Valor esperado de y(t)– Condiciones para su existencia?

• Covarianza de y(t)

Propiedades de y(t)

• Densidad espectral de potencia

Propiedades de y(t)

• Relaciones entrada-salida en frecuencia

Propiedades de y(t)

EjerciciosDado un sistema

y(t)=G(z)e(t)

con respuesta impulso

g(0)=1, g(1)=-0.5, g(t)=0 para t<0 y t>1.

– Escribir la ecuación de diferencias

– Calcular la función de transferencia

– Graficar la respuesta en frecuencia

– Si e(t) es ruido blanco con varianza 1, obtener analíticamente Ry(t') y el espectro de potencia de y(t).

– En matlab:• Generar un vector e(t) de longitud N=100. distribuido gausaino con media cero.• Obtener su función de correlación y su espectro de potencia (ver funciones idinput, covf,

spa, idpoly)• Simular el sistema.• Obtener la función de correlación y el espectro de potencia de y(t) y confrontar con el

obtenido teóricamente• Repetir para N=1000, N=10000 y analizar las diferencias.