ICEM Solucionario ONEM 2012-F1-N3

PRESENTACIÓN

La Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM) es organizada

cada año por el Ministerio de Educación desde el año 2004 y es una

competencia abierta a todos los estudiantes de Educación Secundaria de

Instituciones Educativas Estatales y Particulares de todo el Perú.

En este año 2012 se ha puesto de manifiesto un grave problema con

respecto a la continuidad de la ONEM, y es por eso que a todos aquellos que

estamos involucrados y comprometidos con el desarrollo de esta Olimpiada

nos corresponde velar por su vigencia, porque estamos seguros que nuestros

jóvenes estudiantes merecen un espacio en el que puedan poner a prueba su

talento e ingenio.

El Instituto de Ciencias y Educación Matemática (ICEM) reúne a un

grupo de docentes en el área de Matemática y desde el año 2009, aporta

proponiendo soluciones a las preguntas de la ONEM, claro que, como

siempre cualquier crítica o sugerencia es bienvenida escribiendo al correo

electrónico: [email protected] . Es importante manifestar que año tras

año se van sumando más docentes en esta causa cuyo interés es la difusión

de la Matemática y el apoyo a los estudiantes.

También queremos invitarlos al I Concurso de Matemática de

Arequipa (I COMAT – AQP), evento a llevarse a cabo el 18 de Noviembre y

del cual obtendrán mayor información en la siguiente dirección:

www.icemperu.org, dicho concurso tiene como meta brindar a los

estudiantes problemas interesantes que despierten el placer de razonar.

EQUIPO DIRECTIVO

mailto:[email protected]

http://www.icemperu.org/

OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA IX ONEM 2012

PRIMERA FASE – NIVEL 3

SOLUCIONARIO

Elaborado por un equipo de docentes en el área de Matemática integrantes del Instituto de Ciencias y Educación Matemática del Perú. (ICEM PERÚ) Responsables:

José Choque Rivera [email protected]

Juan Mamani Cayani [email protected]

Wilder Quispe Ccallisaya [email protected]

Este material se puede copiar, distribuir y comunicar libremente, pero no puede utilizarse con fines comerciales.




ONG ICEM PERÚ: INSTITUTO DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA DEL PERÚ

INVITACIÓN AL 1° PRIMER CONCURSO DE MATEMÁTICA DE AREQUIPA 2012 - COMAT AQP

Domingo 18 de Noviembre - INSCRIPCIONES en: www.icemperu.org

IX OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA

ONEM 2012

Primera Fase – Nivel 3 29 de Agosto de 2012

01. Un tonel lleno de vino tiene un peso de 265 kg. Cuando está hasta la mitad de su capacidad pesa 160 kg. ¿Cuánto pesa el tonel vacío? A) 40kg. B) 45kg. C) 50kg. D) 55kg. E) 60kg.

Resolución:

Sean los pesos del: Tonel: T Vino: V

Conforme a las condiciones se pueden plantear el siguiente sistema de ecuaciones:

265

1160

2

T V

T V

Restando: V=210 Luego: T=55 Rpta: D)55

02. Un alumno dio un examen que consistía de 3 partes. En la primera parte

había 25 preguntas y él contestó correctamente el 60%; en la segunda parte

había 30 preguntas y él contestó correctamente el 70%; en la tercera parte

había 45 preguntas y él contestó correctamente el 80%. ¿Qué porcentaje

del total de preguntas del examen contestó correctamente el alumno?

A) 68% B) 70% C) 72% D) 74% E) 76%

Resolución:

Basta determinar el total de preguntas correctamente contestadas, ya que

se ve que el total preguntas es 100:




1°Parte: 60(25) 15

100 preguntas correctas

2°Parte: 70(30) 21


3°Parte: 80(45) 36


Sumando tenemos 72 preguntas correctas, que representa el 72% del total

Rpta: C)72%

03. Juan tiene en su maletín tres monedas de 2 soles y muchas monedas de 5

soles. Si quiere pagar una cuenta sin recibir vuelto, ¿Cuál de las siguientes

cantidades no podría pagar?

A) 35 B) 36 C) 37 D) 38 E) 39

Resolución:

Analicemos el total de dinero con que cuenta Juan:

Si tiene tres monedas de S/.2 y “x” monedas de S/.5 0

0 0

0

3(2) (5) 6 5

1 5 5 5 1

5 1

T x

T

Se ve que Juan tiene un múltiplo de 5 más un sol

Observando las alternativas, puede pagar 35 pues es 0

5 (múltiplo de 5),

puede pagar 36 pues es 0

5 1 , puede pagar 37 pues es 0

5 2 , No puede

pagar 38 pues es 0

5 3 y necesitaría una moneda de S/.1 mas, Si puede

pagar 39 pues es 0

5 4 , es decir S/.35 mas dos monedas de S/.2

Rpta: D)38




04. Calcula el valor de:

tan 35 · tan55 · tan60 · tan65 cot 25 · cot 40 · cot 45 · cot 50

A) 2 B) 1 C) 3 D) 2

2 E)

3

3

Resolución:

Recordemos que: Tan35°=Cot55°

Cot40°=Tan50°

Cot25°=Tan65°

Además que: TanX.CotX=1 Remplazando y ordenando

1 .............. 3

........................... 1 .......... 1

(1)( 3) 6555 . 55 . 60 . 653

65 . 50 . 50 . 45 65 .(1).(1)

TanCot Tan Tan Tan

Tan Tan Cot Cot Tan

Rpta: C) 3

05. ¿Qué dígito debemos borrar del número 43620 para que el número de 4

dígitos que quede sea múltiplo de 105?

A) 4 B) 3 C) 6 D) 2 E) 0

Resolución:

Primero descomponemos al número:

105 3

35 5

7 7

1

Se ve que :

0

....0.... 0

0

3

105 5

7

Observando el número 43620:

-El dígito 0 tiene que quedarse pues sólo así podrá ser 0

5 (múltiplo de 5)

-Si borramos el dígito 4, resultaría: 0 0

3620 3, 3 6 2 0 3pues




-Si borramos el dígito 3, resultaría: 0 0

4620 3 4620 7y también

Luego concluimos que: 0

4620 105 , por ende diremos que se debe borrar

el dígito 3.

Rpta: B)3

06. Don José tiene en su corral patos y conejos. Al contarlos se dio cuenta de

que la cantidad de conejos menos la cantidad de patos es igual a la mitad

del total de animales en su corral. ¿Cuál es la razón entre el número de

conejos y el número de patos?

A) 3

2 B) 2 C)

5

2 D) 3 E) 4

Resolución:

Sea: C: número de conejos

P: número de patos

De la condición del problema se plantea lo siguiente:

2

C PC P

Luego: 2C - 2P = C+P

C = 3P

La razón entre el número de Conejos y el número de Patos, resulta ser:

3C

P

Rpta: D)3




07. Un triángulo rectángulo tiene ángulos agudos θ y . Si 1

sen tan3

,

calcula el valor de cot .

A) 2

4 B) 2 C) 2 2 D) 2 E) 4

Resolución:

Veamos la siguiente ilustración:

Tomemos en cuenta la condición: 1.

3Sen Tan

Al ser y complementarios: Sen Cos

SenTan

Cos

Remplazando en la condición: 1.

3

SenCos

Cos

1

3Sen

Resolviendo el Triángulo Rectángulo 2 2x . Luego 2 2

1Cot

Rpta: C) 2 2

1

3

x




08. Sea ABC un triángulo recto en B y sea D el pie de la perpendicular trazada

desde B hacia la hipotenusa AC. Si 2BC AD , halla tan cosC A .

A) 1

4 B)

1

2 C) 1 D) 2 E) 4

Resolución:

Podemos plantear el siguiente gráfico:

Nos piden: .E TanC CosA

Del gráfico se tiene

Para TanC en el triángulo ABC

Para CosA en el Triángulo ABD

2

m aE

a m

1

2E Rpta: B)

1

2

09. Coloca los dígitos 4, 5, 7, 8 en los cuadraditos de la figura (usando cada

dígito exactamente una vez) de tal forma que el cociente sea un número

entero. ¿Cuál es la suma de los dígitos de este cociente?

A) 5 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9

Resolución:

En el recuadro del divisor, no puede ubicarse el dígito 5, pues el numeral resultante

con los dígitos restantes no terminarían ni en 0 ni en 5. De la misma forma no puede

A

B

CDa

2am




ser divisor 4 pues los números 578, 758; no son divisibles entre 4. Finalmente se

prueba que:

Produce un cociente entero de 122. Nos piden la suma de dígitos de dicho cociente:

1 2 2 5S

Rpta: A)5

10. Si a, b, c, d son enteros positivos tales que 2a b , 3b c y 4c d ,

encontrar el menor valor posible de d.

A) 25 B) 29 C) 37 D) 39 E) 41

Resolución:

Observando las tres desigualdades, al primero le multiplicamos por 12; al

segundo le multiplicamos por 4, al tercero mantenemos tal como está;

resulta lo siguiente:

24 12 ; 12 4 ;4a b b c c d

Por transitividad, obtenemos la siguiente relación conveniente para lograr

el mínimo valor para d.

Se ve que los valores mínimos

Son las que se indican, iniciando de a=1. Luego el valor mínimo de

d=41.

Rpta: E)41

8 5 4 7

24a < 12b < 4c < dmin = ??

1 3 10 41




11. Si a, b, c, d son dígitos tales que 2 3

aba bc , calcula el valor de a b c

A) 16 B) 8 C) 15 D) 12 E) 18

Resolución:

Observando se tiene que aba , es un número cúbico:

125;216;343;512;729aba

Pero como, aba es un número capicúa, el único valor que cumple es: aba

=343…..( )

Y que también, bc es número cuadrático: 16;25;36;49;64;81bc

De ( ), se ve que b=4, entonces necesariamente: bc=49

Es claro que a=3; b=4; c=9 luego: 16a b c

Rpta: A)16

12. En una reunión cada persona saludó a por lo menos 2 hombres y a por lo

menos 3 mujeres. ¿Cuántas personas había como mínimo en esa reunión?

A) 8 B) 4 C) 6 D) 7 E) 5

Resolución:

Conforme a las condiciones del problema, una persona que saluda por lo

menos a 2 hombres y por lo menos 3 mujeres, esa persona puede ser

Mujer o puede ser Hombre.

1°Caso: Si el que saluda es Hombre, entonces el mínimo número de

hombres debe ser 3, para que salude por lo menos a 2 hombres.




2°Caso: Si el que saluda es Mujer, el mínimo número de Mujeres debe

ser 4, para saludar a por lo menos a 3 Mujeres.

Luego sumamos el mínimo número de personas en la reunión: 3+4=7

personas

Rpta: D)7

13. En la figura mostrada, el cubo más grande tiene 5 m de arista y el más

pequeño tiene 3 m de arista y están pegados formando un nuevo sólido.

Un artista quiere pintar este sólido (incluyendo a la base del cubo grande),

para lo cual utiliza tarros de pintura. Si cada tarro alcanza para pintar 1 m2

de superficie, ¿cuántos tarros de pintura necesitará el artista?

A) 170 B) 179 C) 186 D) 195 E) 204

Resolución:

Es sabido que los cubos tienen 6 caras, en total.

Parte I: En el cubo pequeño, el artista sólo pintará 5 caras de 3m de

arista.

AL=5(3)2 =45m2




Parte II: En el cubo grande, pintará las 6 caras, de 5m de arista,

menos el área de una cara del cubo pequeño pegado en la parte superior

del cubo grande:

Al=6(5)2 - 32 =150 – 9 = 141m2

Finalmente AT =141+45 = 186m2

Rpta: C)186

14. En la siguiente figura se muestra un triángulo rectángulo cuyos catetos

miden 6cm y 8cm. En la altura relativa a la hipotenusa se han marcado

dos puntos cuya distancia es x. Si la suma de las áreas de las regiones

sombreadas es 19 cm2, calcula el valor de x.

A) 1

2cm B) 1cm C) 2cm D) 5cm E)

1

5cm

Resolución:

Es dato del problema que el área sombreada es 19cm2. También el área

Total es: 2(6)(8)24

2TA cm




Luego el área blanca se puede saber, mediante una diferencia; área Total

menos el área sombreada 2 2 224 19 5BlancaA cm cm cm

1 2 5BlancaA A A

Los dos triángulos de base “x” y de alturas

h1 y h2 respectivamente.

De la gráfica, se ve que: h1+ h2 = 10

1 2. .5

2 2Blanca

x h x hA

1 2( ) 52

Blanca

xA h h

(10) 52

x . Luego finalmente 1x Rpta: B)1cm

15. Para cada entero positivo n sea ( )f n el menor entero positivo tal que

( )n f n es múltiplo de 6. Por ejemplo, (2) 3f y (9) 2f . Calcula el valor

de la suma 100

1

(1) (2) (3) (4) (99) (100) ( )n

S f f f f f f f n

A) 345 B) 357 C) 347 D) 356 E) 350

Resolución:

Nos piden: 100

1

(1) (2) (3) (4) (99) (100) ( )n

S f f f f f f f n

Dado un “n” necesitamos identificar un f(n) que sea el menor número

entero/ 0

. ( ) 6n f n

Así cuando 0

1 1. ( ) 6, ( ) ( ) 6n f n el menor entero f n que cumple es f n

6 8

10

x

h2h1

A A1 2




1 (1) 6

2 (2) 3

3 (3) 221

4 (4) 3

5 (5) 6

6 (6) 1

Si n f

Si n f

Si n fsuman

Si n f

Si n f

Si n f

7 (7) 6

8 (8) 3

9 (9) 221

10 (10) 3

11 (11) 6

12 (12) 1

Si n f

Si n f

Si n fsuman

Si n f

Si n f

Si n f

Se logra identificar que este ciclo de valores se repite en grupos de 6,

luego hasta el f(96) hay 16 grupos de 6. Entonces se logra plantear lo

siguiente.

1 16

(1) (2) ... (6) (91) ... (96) (97) (98) (99) (100)

grupo grupo

S f f f f f f f f f

Como los valores de cada grupo suman 21, se tiene:

16 6 3 2 3

21 21 21 .... 21 (97) (98) (99) (100)veces

S f f f f

21(16) (6 3 2 3) 350S

Rpta: E)350

16. Si a y b son números reales diferentes tales que: 2

2

1

1 ,

a b

b a

calcula el valor de 3 3a b .

A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2




Resolución:

Restando y sumando las dos condiciones del problema, tenemos:

2 2 2 2

2

2

( ) 2

1

1

sumandorestando

a b a b a b a b

a b

b a

Resolviendo, recordemos que a-b≠0, pues son reales diferentes,

obtendremos:

2 2 2 2

Im tan

2 2 2

1 ( ) 1 ( )

2

( ) : 2 1 1....( )( )( ) ( ) 0

( ) 1 0 : ( ) 2

0 1.......( )( 1) 1 2

por te

de de

Solución absurda Solución válida

Aplicando a b a ba b a b a b

a b a b Sabemos que a b a b ab

a b a b

Re

0.......( )

cordar

ab ab

Finalmente, podemos disfrutar las dos opciones para llegar al resultado, veamos:

3 3 33 3 2 2

1 0 10 ( ) 2 3 31 ( ) 1 ( )

3 33 3

3 33 3

( ) 3 ( )( ) ( )

( 1) 3(0)( 1)( 1)(1 0)

1 0

11

porpor por

POR BINOMIO AL CUBOPOR SUMADECUBOS

a b a b a b a ba b a b a b ab

a ba b

a b

a ba b

Rpta: B)-1

17. Algunas de las casillas de un tablero de 4 4 deben ser pintadas. En la

figura se muestra dicho tablero y los números que representan la cantidad

de casillas que deben estar pintadas en la respectiva fila o columna. Halla

el mayor valor posible de a b .




A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

Resolución:

Para maximizar el valor de “a+b”, sin dejar de cumplir las condiciones,

convenientemente

Tenemos que lograr el valor de: max( ) 2 4 6a b

Rpta: C)6

18. Un triángulo acutángulo cumple que sus ángulos están en progresión

aritmética, además, los pies de sus alturas son los vértices de un triángulo

rectángulo. Halla el mayor ángulo del triángulo inicial.

Nota: Tenga en cuenta que en cualquier triángulo sus tres alturas pasan

por un mismo punto.

A) 75 B) 45 C) 80 D) 60 E) 85

3

1

2

b=2

3 0 1 a=4

x

x xx

x

x

xx




Resolución:

Ilustrando gráficamente, tenemos:

Sumamos los ángulos en P.A. ( ) ( ) 180x r x x r

3 180x

60 ..........( )x

Se ve que el cuadrilátero AQPB, es Inscriptible:

Pues sus diagonales forman ángulos inscritos

Correspondientes a un arco capaz, es decir:

90AQB APB

Luego por la propiedad de cuadrilátero inscriptible

se cumple que: ( )BAQ QPC x r

El cuadrilátero AOPC, también es un cuadrilátero

inscriptible, pues:

90APC COA

Luego por la propiedad de ser, iscriptible

se debe cumplir que: ( )OAC OPB x r

También en el lado BC, se forma un ángulo llano con centre en P,

donde , como 90OPQ




Definitivamente: ( ) ( ) 90x r x r , recordemos que ya conocemos

que: 60x

2 2 90x r

45x r

60 45r

15r

Finalmente, nos piden dar como respuesta la medida del mayor ángulo del

triángulo inicial, ABC

( )ABC x r

(60 15) 75ABC

Rpta: A)75°

19. Sean a, b, c las raíces de la ecuación 3 23 5 7 0x x x . Sea ( )P x un

polinomio cúbico tal que ( )P a b c , ( )P b c a , ( )P c a b y

( ) 16P a b c . Halla (0)P .

A) 17 B) 11 C) 14 D) 14 E) 10

Resolución:

En la ecuación:

Conforme a los propiedades de Cardano para las ecuaciones de grado superior, se tiene:

3a b c

5ab bc ca

7abc

Importante del primer resultado se tiene, que:




3 ( ) 3( ) 3

3 ...... ...... ( ) 3 ..... ....( ) 3 0

3 ( ) 3

a b c P a aP x x

b c a P b bP x x

c a b P c c

En el P(x), polinomio cúbico:

Es fácil comprobar que se puede formar un polinomio, con raíces de la

ecuación original a,b,c

( ) ( ) 3Q x P x x

( ) ( ) 3 0

( ) ( ) 3 0 .... ..... 3

( ) ( ) 3 0

b c

a c

a b

Q a P a a

Q b P b b pues a b c

Q c P c c

Luego se puede establecer que: ( ) ( ) 3 ( )( )( )Q x P x x k x a x b x c , es

un polinomio de 3° grado, con raíces a,b,c: (Recordemos que

( ) 16P a b c )

3 3

: ( ) 3 ( 3 )( 3 )( 3 )Si x a b c P a b c a b c K a b c

73 5

16 3 3 27 9( ) 3( )k a b c ab bc ca abc

2 k

Rescatando el resultado de que: ( ) 3 2( )( )( )P x x x a x b x c

: 0 (0) 0 3 2(0 )(0 )(0 )Si x P a b c

7

(0) 3 2 ( )P a b c

(0) 3 14P

(0) 11P

Rpta: B)11




20. Sea ABCD es un cuadrilátero convexo con ABC BCD , 6AB y

8CD . Se sabe que existe un punto P en el lado BC tal que

BAP PAD y PDA PDC . Halla BC.

A) 4 3 B) 10 C) 48

7 D) 8 3 E) 14

Resolución:

Es posible ilustrar el enunciado como sigue:

En el cuadrilátero, la suma de ángulos interiores

Es 360°: 2 2 2 360

180 ......( )

Luego en triangulo APD, ( ) se cumple,

ya tiene , entonces necesariamente:

APD

El ángulo exterior del triángulo ABP, es APC

Pero del Gráfico, se ve que: APC APD DPC

DPC Simplificando DPC

En el ángulo plano BPC , se cumple que mide 180°, como ya existe

Como se ve en la figura Necesariamente BPA

Conforme a la semejanza de los triángulos: ABP APD PCD

6......( )

b m abm

b c a c

8......( )

a n abn

a c b c

De ( ) y ( ) se concluye que: m n




También por semejanza se puede saber que:

6. 48

8

mmn

n

Pero como m n tenemos lo siguiente:2 48

4 3

m

m

Finalmente para concluir con el problema nos piden:

8 3x m n

Rpta: D) 8 3

01 D

11 A

02 C 12 D

03 D 13 C

04 C 14 B

05 B 15 E

06 D 16 B

07 C 17 C

08 B 18 A

09 A 19 B

10 E 20 D

Agradecemos la atención que se le brinde a este pequeño aporte

a la educación matemática.

"La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de

razonamientos, todos sencillos y fáciles"

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