ICEM Solucionario ONEM 2012-F1-N2

PRESENTACIÓN

La Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM) es organizada

cada año por el Ministerio de Educación desde el año 2004 y es una

competencia abierta a todos los estudiantes de Educación Secundaria de

Instituciones Educativas Estatales y Particulares de todo el Perú.

En este año 2012 se ha puesto de manifiesto un grave problema con

respecto a la continuidad de la ONEM, y es por eso que a todos aquellos que

estamos involucrados y comprometidos con el desarrollo de esta Olimpiada

nos corresponde velar por su vigencia, porque estamos seguros que nuestros

jóvenes estudiantes merecen un espacio en el que puedan poner a prueba su

talento e ingenio.

El Instituto de Ciencias y Educación Matemática (ICEM) reúne a un

grupo de docentes en el área de Matemática y desde el año 2009, aporta

proponiendo soluciones a las preguntas de la ONEM, claro que, como

siempre cualquier crítica o sugerencia es bienvenida escribiendo al correo

electrónico: [email protected] . Es importante manifestar que año tras

año se van sumando más docentes en esta causa cuyo interés es la difusión

de la Matemática y el apoyo a los estudiantes.

También queremos invitarlos al I Concurso de Matemática de

Arequipa (I COMAT – AQP), evento a llevarse a cabo el 18 de Noviembre y

del cual obtendrán mayor información en la siguiente dirección:

www.icemperu.org, dicho concurso tiene como meta brindar a los

estudiantes problemas interesantes que despierten el placer de razonar.

EQUIPO DIRECTIVO

mailto:[email protected]

http://www.icemperu.org/

OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA IX ONEM 2012

PRIMERA FASE – NIVEL 2

SOLUCIONARIO

Elaborado por un equipo de docentes en el área de Matemática integrantes del Instituto de Ciencias y Educación Matemática del Perú. (ICEM PERÚ) Responsables:

José Choque Rivera [email protected]

Juan Mamani Cayani [email protected]

Wilder Quispe Ccallisaya [email protected]

Este material se puede copiar, distribuir y comunicar libremente, pero no puede utilizarse con fines comerciales.




ONG ICEM PERÚ: INSTITUTO DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA DEL PERÚ

INVITACIÓN AL 1° PRIMER CONCURSO DE MATEMÁTICA DE AREQUIPA 2012 - COMAT AQP

Domingo 18 de Noviembre - INSCRIPCIONES en: www.icemperu.org

IX OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA

ONEM 2012

Primera Fase – Nivel 2 29 de Agosto de 2012

01. Las edades de un padre y su hijo son 35 y 11 respectivamente, dentro de cuántos años la edad del padre será el doble de la del hijo? A) 11 B) 24 C) 12 D) 35 E) 13

RESOLUCIÓN

Del enunciado tenemos como datos las edades actuales del padre y del hijo. Piden encontrar cuántos años tienen que pasar para que la edad del padre sea el doble de la del hijo, luego tenemos que:

PRESENTE FUTURO

PADRE 35 35 x

HIJO 11 11 x

Considerando que pasaron “x” años, se debe cumplir:

35 2 11x x

35 22 2x x 13 x

EClave

02. Si 1

2

a

b y

1

4

b

c , calcular

a b

b c

.

A) 0 B)1

3 C)

1

6 D)

1

4 E)

1

2




RESOLUCIÓN

De la 1ra proporción: 1

22

ab a

b

De la 2da proporción: 1

4 4(2 ) 84

bc b c a a

c

Reemplazando en la expresión pedida: 2 1

2 8 6 6

a b a a a

b c a a a

CClave

03. En una tienda cada caramelo cuesta 10 céntimos y por la compra de cinco

caramelos regalan un caramelo más. Si un niño recibió 32 caramelos,

¿Cuánto gastó en total?

A) S/. 2,5 B) S/. 2,7 C) S/. 3 D) S/. 3,2 E) S/. 3,8

RESOLUCIÓN

Para realizar una regla de tres simple el total de caramelos comprados

debería ser o

6 , por lo tanto analizaremos cuando compró sólo 30

caramelos por ser el múltiplo más cercano, entonces tendremos:

CARAMELOS (Compra + Regalo)

COSTO

(Céntimos) 6 0,50

30 x

30 0, 502, 50

6x

De donde para irse con 30 caramelos sólo gastaría S/. 2,50 a lo que debemos añadir el precio de los dos caramelos restantes, en total se ha gastado S/. 2,70.

BClave




04. En un salón de clase hay 10 niñas más que niños. Un día faltaron 3 niñas y

2 niños, y se contó en total 31 alumnos. ¿Cuántos niños asistieron ese día?

A) 10 B) 11 C) 13 D) 20 E) 23

RESOLUCIÓN

Del enunciado tenemos la cantidad total de niños y niñas del salón: #Niños x

# 10Niñas x

Como en cierto día faltaron 3 niñas y 2 niños, es decir: # 2Niños x # 7Niñas x

Sumando los valores obtenidos calculamos el valor de “x”:

2 7 31x x

13x

La cantidad de niños que asistieron ese día es: 2 13 2 11x

BClave

05. Una encuesta realizada a un grupo de alumnos de cierto colegio sobre el

tiempo dedicado a los videojuegos semanalmente estaba dividida en 4

categorías: 0 a 2 horas, 2 a 6 horas, 6 a 8 horas y más de 8 horas. Si el 50%

juega de 0 a 2 horas, el 44% juega de 2 a 8 horas y el 9% juega de 6 horas a

más, ¿qué porcentaje juega de 2 a 6 horas?

A) 41% B) 47% C) 44% D) 46% E) 40%

RESOLUCIÓN

Vamos a ordenar los datos en una pequeña tabla:

0 2 50%

2 6 a%

6 8 b%

8 a más c%

Total 100%




Se observa que: % % % 50%a b c

Por datos del enunciado, el 9% juega de 6 horas a más:

% % 9%b c

Reemplazamos en la ecuación anterior:

9%

% % % 50%a b c

41%a

Por lo tanto, el 41% juega de 2 a 6 horas.

AClave

06. El profesor le pidió a Pedrito escribir en la pizarra un número de tres

dígitos que sea múltiplo de 3 pero no de 4, ¿cuál de los siguientes

números pudo haber escrito Pedrito?

A) 216 B) 254 C) 228 D) 240 E) 222

RESOLUCIÓN

Para que un número de tres dígitos sea múltiplo de tres la suma de

sus cifras debe ser o

3 , con lo que descartamos el número 254.

Como no se quiere que el número sea o

4 , sus dos últimas cifras no deben formar un múltiplo de 4, y por lo tanto también se descartan los números 216, 228 y 240.

El único número que cumple con ambas condiciones es el 222.

EClave

07. En la figura ABCD es un cuadrado y las rectas L1 y L2 son perpendiculares.

Halla la medida del ángulo x.




A) 40º B) 45º C) 50º D) 60º E) 70º

RESOLUCIÓN

Primero agregamos los ángulos rectos (90º) que se generan en la figura del cuadrado y en la intersección de las rectas perpendiculares.

Se deduce en el gráfico el ángulo que falta en la recta L1 (50º) y

completamos ángulos sea por complemento o por opuestos por el vértice hasta tener el valor pedido, como se ve en la figura, por lo tanto la medida del ángulo 50ºx

CClave

A B

CD

L1

L2

40º

50º

50º

Xº




08. Se pinta de rojo las seis caras de un cubo de 3 cm de arista. Luego se

recorta el cubo en pequeños cubos de arista 1 cm, tal como se muestra en

la figura. ¿Cuántos de estos cubos de arista 1 cm tienen exactamente dos

caras pintadas de rojo?

A) 8 B) 10 C) 12 D) 16 E) 24

RESOLUCIÓN

Podemos considerar que los cubitos forman tres niveles luego de haber cortado el cubo pintado de rojo, con 3 x 3 = 9 cubitos en cada nivel.

Por condiciones del problema vemos que los pequeños cubos que cumplen con tener dos caras pintadas de rojo son:




Luego, son 4 + 4 + 4 = 12 cubitos que tienen exactamente dos caras pintadas de rojo.

CClave

09. Decimos que un anagrama formado con las letras A, A, B, B, C, C es

aceptable si la secuencia ABC aparece al menos una vez. Por ejemplo, el

anagrama CBABCA es aceptable pero ACBACB no lo es. ¿Cuántos

anagramas aceptables formados con dichas letras existen?

A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) 26

RESOLUCIÓN

Del enunciado un anagrama “aceptable” seria como muestra la figura:

Entonces la forma de ordenar estos cuatro elementos sería: 4

4 4 4! 4 3 2 1 24P P

Pero al efectuar este conteo, el anagrama A B C A B C lo habremos

contado dos veces.

Entonces # de formas distintas = 24 -1 = 23

BClave

Como debe aparecer esta secuenciala consideramos como un solo elemento




10. Si a,b,c,d son dígitos tales que 2 3

2ab cd , calcula el valor de

a b c d .

A) 14 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

RESOLUCIÓN

Tenemos:

2 3

2ab cd

32ab cd

Analizando cifras terminales de “cubos perfectos” de tres cifras. 35 ...5 36 ...6 37 ...3 38 ...2 39 ...9

Con esto podemos deducir:

3 32 512 64ab cd

Por lo tanto: 5a , 1b , 6c y 4d

Piden el valor de: 5 1 6 4 16a b c d

BClave

11. María debe comprar pastelitos para 7 personas, dándole a cada uno la

misma cantidad de pastelitos. En la tienda solo venden pastelitos en cajas

de 8 ó 15 unidades. ¿Cuántas cajas debe comprar María como mínimo?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7




RESOLUCIÓN

Los pastelitos comprados debe ser una cantidad o

7 para darles la misma cantidad a las 7 personas, luego como hay cajas de 8 y 15 unidades tendríamos:

o

8 15 7k m

Siendo “k” y “m” el número de cajas que compra de 8 y 15 unidades respectivamente.

Además tanto 8 como 15 al dividirlos entre 7 dejan residuo 1: o o o

7 1 7 1 7k m

o o o

7 7 7k m o

7k m

De la última expresión diremos que: 7mín

k m

Comprobando podría darse las siguientes situaciones:

0

8 15 7

8 6 15 1 63

8 5 15 2 70

8 4 15 3 77

8 3 15 4 84

8 2 15 5 91

8 1 15 6 98

k m

EClave

12. Tengo una bolsa de canicas, cada una de ellas es de color azul, rojo o

verde. Si hay al menos 10 canicas que no son azules, 20 canicas que no son

rojas y 40 canicas que no son verdes, ¿Cuántas canicas como mínimo

tengo en la bolsa?

A) 35 B) 42 C) 36 D) 41 E) 37




RESOLUCIÓN

Analicemos las proposiciones y formemos desigualdades: o Si hay al menos 10 canicas que no son azules, entonces mínimo hay

10 canicas que podrían ser rojas o verdes 10Rojas Verdes .

o 20 canicas que no son rojas, entonces mínimo hay 20 canicas que

podrían ser azules o verdes 20Azules Verdes .

o 40 canicas que no son verdes, entonces mínimo hay 40 canicas que

podrían ser azules o rojas 40Azules Rojas .

De esta última desigualdad se puede suponer como cantidad mínima para las bolas azules y rojas la de 40 a lo cual agregaremos una bola verde lo cual satisface todas las desigualdades.

Se tiene 41 bolas como mínimo en la bolsa.

DClave

13. La suma de los cuadrados de tres reales positivos es 160. Uno de esos

números es igual a la suma de los otros dos. La diferencia entre los dos

números menores es 4, ¿Cuál es la diferencia de los cubos de los dos

números menores?

A) 320 B) 360 C) 400 D) 480 E) 640

RESOLUCIÓN

Sean los números a, b y c; se tiene que: 2 2 2 160a b c ; del dato

“uno de esos números es igual a la suma de los otros dos” tenemos:

menores mayor

a b c

Luego reemplazamos en la primera igualdad y desarrollamos: 2 2 2 160a b c

22 2 160a b a b

2 2 2 22 160a b a ab b 2 22 2 2 160a ab b

2 2 80a ab b




Piden la diferencia de los cubos de los dos números menores sabiendo que la diferencia de ellos es 4, 4a b .

3 3 2 2

4 80

a b a b a ab b

3 3 4 80a b

3 3 320a b

AClave

14. ¿Qué elemento se debe eliminar del conjunto 42,44,45,60,80 para que

el mínimo común múltiplo de los cuatro elementos restantes sea el mayor

posible?

A) 42 B) 44 C) 45 D) 60 E) 80

RESOLUCIÓN

Dadas las descomposiciones canónicas de varios números el MCM de dichos números es el producto de sus divisores primos comunes y no comunes elevados cada uno a su mayor exponente.

Números Descomposición MCM de los restantes

42 2 3 7 4 22 3 5 11

44 22 11 4 22 3 5 7

45 23 5 42 3 5 7 11

60 22 3 5 4 22 3 5 7 11

80 42 5 2 22 3 5 7 11

El mayor MCM es 4 22 3 5 7 11 y se logra eliminando el número

60.

DClave




15. Decimos que un numero de cuatro dígitos es apocalíptico si tiene al

menos un 0, un 1 y un 2 entre sus dígitos. Por ejemplo el 2012 es

apocalíptico. Determina cuantas de las siguientes proposiciones son

verdaderas.

9210 es el mayor número apocalíptico.

1012 es el menor número apocalíptico.

No existe número apocalíptico que sea múltiplo de 101.

Ningún número apocalíptico se puede expresar como la suma de

dos números apocalípticos.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

RESOLUCIÓN

El mayor número “apocalíptico” es el 9210 , por lo que la primera

proposición es verdadera.

El menor número “apocalíptico” es el 1002 , por lo que la segunda

proposición es falsa.

Los números “apocalípticos” múltiplos de 101 tienen la forma:

101 ab abab , en donde sólo encontramos dos cifras diferentes que

no serían suficientes para obtener el número apocalíptico, por lo que la tercera proposición es verdadera.

La cuarta proposición es falsa, para lo cual mostramos el siguiente ejemplo:

1082

1022

2104

Encontramos que hay dos proposiciones verdaderas.

CClave




16. Los números reales a,b,c,d, son no nulos y tienen suma 0, además

1 1 1 1 10

a b c d abcd .

Halla ab cd c d .

A) 0 B) 1 C) – 1 D) 2 E) – 2

RESOLUCIÓN

Sean los números , , ya b c d no nulos, entonces:

0 (I)a b c d a b c d

Tenemos:

1 1 1 1 10

a b c d abcd

1 0bcd acd abd abc

1 (II)cd a b ab c d

Reemplazamos (I) en (II):

1cd c d ab c d

1c d ab cd

Que es precisamente lo que nos piden hallar.

CClave

17. Determina cuantos números de 4 dígitos son tales que al borrar cualquier

dígito el número de 3 dígitos resultante sea un divisor del número

original.

A) 14 B) 9 C) 13 D) 10 E) 15

RESOLUCIÓN

Sea el número de 4 dígitos N abcd , quien debe tener como divisores

a los números: , , yabc abd acd bcd .

Por lo tanto debe existir al menos un entero “k” de modo que:

10abcd abc k abc d abc k




esto sólo ocurre con 10k ; 0d , y entonces 0N abc .

También debe existir al menos un entero “q” de manera que:

0 0 10abc ab q abc ab q ab c ab q

esto sólo ocurre con 10q ; 0c , y entonces 00N ab .

Continuamos con el análisis, y decimos que también debe existir al menos un entero “r” tal que:

00 00ab a r ab ar

Este último resultado nos permite asegurar que ab es múltiplo de “a”.

Finalmente también debe existir al menos un entero “s” tal que:

00 00ab b s ab bs

Y en este caso se puede decir que ab es múltiplo de “b”.

Entonces para cumplir las dos últimas condiciones notamos que:

11;22;33;44;55;66;77;88;99;12;15;24;36;48ab

Por lo tanto existen 14 números que cumplen la condición del problema.

AClave

18. En la figura mostrada se puede aplicar la siguiente operación: se eligen

dos números adyacentes y se le suma la misma cantidad entera a ambos.

¿Cuántas operaciones se necesita como mínimo para que los siete

números sean iguales?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7




RESOLUCIÓN

Sea : la cantidad que se suma a los vecinos ija i y j ; y representa

una operación definida en el problema.

Como en el círculo se forma siete parejas de vecinos, y si hubiera más de una operación aplicada a una pareja de vecinos, se podrían agrupar

en una sola; tenemos 7 operaciones: 12 23 34 45 56 67 71; ; ; ; ; ;a a a a a a a .

Tomando en cuenta que al final los siete números deben ser iguales, representamos con N a dicha cantidad, obtenemos:

71 12 71 12

12 23 12 23

23 34 23 34

34 45 34 45

45 56 45 56

56 67 56 67

67 71 67 71

1 1

2 2

3 3

4 4 cambiando los signos

5 5

6 6

7 7

a a N a a N

a a N a a N

a a N a a N

a a N a a N

a a N a a N

a a N a a N

a a N a a N

67 10 2 = N a

En esta última expresión el mínimo valor que N puede tomar es 10, y se

dará cuando 67a sea cero; es decir no se le aplique la operación a la

pareja de vecinos formada por los números 6 y 7, y nos quedaremos únicamente con las otras seis operaciones que será la mínima cantidad necesaria para que los 7 números sean iguales.

Sólo nos quedaría determinar los valores de cada una de las 6 operaciones, haciendo los remplazos en las ecuaciones, obtenemos:

71 12 23 34 45 563; 6; 2; 5; 1; 4a a a a a a .

D Clave




19. En un tablero de 5 5 fueron pintadas N casillas de tal modo que cada

subtablero de 2 2 contiene exactamente 2 casillas pintadas y cada

subtablero de 3 3 contiene 4 ó 5 casillas pintadas. ¿Cuántos valores

puede tomar N?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

RESOLUCIÓN

Es probable que existan varias posibilidades de colorear, pero que en conciso se logra el mismo número de valores de N.

Los valores diferentes de N se pueden dar en los siguientes casos:

Los valores de 11;12;13;14N . N toma cuatro valores.

D Clave




20. Halla el coeficiente de 2012x al desarrollar el siguiente producto:

2 2 2 2 2 22 3 9 27 81 243 7291 1 1 1 1 1 1x x x x x x x .

A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 8

RESOLUCIÓN

Tenemos:

2 2 2 2 2 22 3 9 27 81 243 7291 1 1 1 1 1 1x x x x x x x

Desarrollando los binomios al cuadrado:

2 3 6 9 18 27 541 2 1 2 1 2 1 2 ..x x x x x x x x

81 162 243 486 729 1458.. 1 2 1 2 1 2x x x x x x

Expresamos 2012 en base 3 y obtenemos: 32012 2202112 ; es decir: 2 3 5 62 1 12012 2 23 3 3 323

Vamos a expresar los exponentes de “x” como potencias de 3:

2 2 3 32 3 2 3 3 2 3 3 2 31 2 1 2 1 2 1 2 ..x x x x x x x x

4 4 5 5 6 63 2 3 3 2 3 3 2 3.. 1 2 1 2 1 2x x x x x x

Con la observación hecha anteriormente, seleccionamos los términos que al multiplicarse dejarán al final a la variable x con exponente 2012:

2 32 32 1 13 3 22 3 2 3 3 31 2 1 2 1 2 1 2 ..x x x x x x x x

4 4 5 5 663 2 3 3 323 32.. 1 2 1 2 1 2x x x x x x

Dichos términos aislados son:

2 3 5 62 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3 20122 2 4x x x x x x x

Por lo tanto el coeficiente pedido es 4.

DClave




01 E

11 E

02 C 12 D

03 B 13 A

04 B 14 D

05 A 15 C

06 E 16 C

07 C 17 A

08 C 18 D

09 B 19 D

10 B 20 D

Agradecemos la atención que se le brinde a este pequeño aporte

a la educación matemática.

"La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de

razonamientos, todos sencillos y fáciles"

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