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CÁLCULO I

Ejercicios

I FUNCIONES DE UNA VARIABLE, LÍMITES Y CONTINUIDAD 1.- Encontrar la representación decimal para

a) 57 b)

32 c) 21.1

2.- Encontrar el número racional que corresponde a: a) 2.34 b) 2.1737373… 3.- ¿La suma de dos racionales es racional? Justificar la respuesta. 4.- ¿Se puede decir que los racionales son densos? Justificar. 5.- Obtener un número racional y un irracional entre

13.456787874… y 13.456878754 6.- ¿Qué representa la notación que aparece en cada uno de los incisos?

a) ∑=

8

1ii b) ( )∑

=

8

12

ii c) ∑

=

n

iia

1

7.- Expresar como ∑=

n

iia

1 las sumas de cada inciso:

a) 10248421 +++++ L b) 121 −++++ nxxx L

8.- Calcular ∑=

−n

i

ix1

1 . Si ∑∞

=

−

1

1

i

ix bajo que condiciones se puede calcular.

9.- Calcular

a) ∑=

−11

1

12i

i b) ∑=

−n

i

i

1

12 c) ∑∞

=

−

1

12i

i d) ∑∞

=

−

1

1

31

i

i

10.- De qué forma puede indicarse que un número es impar. 11.- Probar que si 2p es par ⇔ p es par. 12.- Probar que 2 es un número irracional. 13.- ¿Cuáles de los conjuntos de los números que se indican en cada inciso con sus

operaciones de suma y producto tradicionales cumple con los axiomas de campo? Justificar las respuestas.

a) naturales b) enteros c) racionales d) reales

3

14.- ¿Se puede decir que los reales forman un campo ordenado? 15.- Demostrar que para dos números reales cualesquiera si ba ≤ se cumple que

bbaa ≤+≤2

.

16.- Determinar en los siguientes conjuntos si hay cota superior, inferior, ínfimo, supremo.

a) { }23, <≤−∈ xRxx b) { }2, 2 ≤∈ xQxx

c) { }25, <+∈ xRxx d) { }16, 2 ≥∈ xRxx

e)

∈ Nnn1 f) { }L,333.0,33.0,3.0

17.- Encontrar una aproximación a a) 29 b) 3 9 18.- Proporcionar un ejemplo en el que n ba + no sea igual a nn ba + . 19.- Demostrar que

a) baba +≤+ b) Si 0>ab entonces baba +≤− . 20.- Resolver

a) 954 −=+−− xx b) 1342 +=+ xx c) 1342 +=+ xx

d) ( )( ) 0106532

2 ≥−+−+−xxxx e) (SA.7,4e) ( ) ( ) 0115 11 <−− xx

f) (SA.7,4e) 313 +>− xxx

g) 12

<+xx

21.- Para 0322 =−− xx

a) Analizar geométricamente cuántas soluciones tiene la ecuación. b) (S1.5,5c) Resolver la ecuación analíticamente.

22.- Resolver utilizando la definición de valor absoluto 9421 =−++ xx . 23.- (S1.4,4c) Resolver para y , mqypx ≤+ si 0>q . 24.- Determinar cuáles de las siguientes desigualdades son válidas para todo x y y. (SA.7,6) a) xx >+1 b) xx >2 c) xxx >+ d) xyyx 222 ≥+ S1 corresponde al libro Matemáticas para economistas de Sydsaeter, 1ª Ed. S3 corresponde a Essential Mathematics for Economic Analysis de Sydsaeter, 3ª Ed. Observación: Para repasar los conceptos que aparecen en la tarea de Preliminares

pueden revisarse del S1 el Apéndice A y Sec. 1.4, o bien del S3 los capítulos 1 y 2.

TAREA: Hacer algunos de los ejercicios de S1, Apendice A Sec. 7 y Sec. 1.4, o bien de S3 los ejercicios de las Sec. 1.4, 1.6 y 1.7.

De la Tarea de Cálculo I hacer los ejercicios de 1. Números Reales.