Hormigon i 4to A

Hormigón Armado I Cuarto Año”A”

H O R M I G O N I

1. Diseño sísmico y desempeño sísmico

2. Análisis y diseño de elementos sometidos a compresión

3. Análisis y diseño a flexión de vigas

4. Análisis y diseño a cortante

5. Adherencia, anclajes y longitud de desarrollo

6. Análisis y diseño de columnas cortas


DISEÑO SÍSMICO Y DESEMPEÑO SÍSMICO

FILOSOFÍA DEL DISEÑO.-Es un término muy abarcador, se usa para los

fundamentos básicos del diseño.

1. Proporciona razones para recoger cargas y fuerzas de diseño.

2. Técnicas de análisis y procedimiento de diseño.

3. Preferencias por una particular configuración estructural.

4. Preferencias para utilizar materiales.

5. Objetivos de optimización y economía.

Profender aun diseño sísmico de edificaciones, significa escoger cargas sísmicas

mediante un análisis dinámico adecuado (o un análisis estático equivalente).

Podemos realizar análisis dinámico modal a un análisis tiempo, historia mediante la

utilización de un acelorograma real.

Diseño por esfuerzo de trabajo; diseño por el método de la fuerza; método diseño por

capacidad.

DISEÑO POR ESTADOS LÍMITES

Se acostumbra considerar varios niveles de protección para las edificaciones, cada

uno de ellas presenta aspectos diferentes que deben ser considerados por el

diseñador.

Los estados límites son:

a) Estado límite de servicio

b) Estado límite de control de daño

c) Estado límite de supervivencia

a) ESTADO LÍMITE DE SERVICIO

Para terremotos frecuentes, es decir aquellos que se producen cada 50 años

de vida de la estructura (probabilidad de ocurrencia 1:50).

Para este estado límite ocurre poca fisuraciòn en la estructura

Los daños son reparables (evita corrosión con una lechada de algún material

especial).

No ocurre fluencia de acero.


b) ESTADO LÍMITE DE CONTROL DE DAÑO

El terremoto de servicio es mayor que el utilizado para el límite anterior.

Habrá fluencia en el acero de esfuerzo.

Aparecerá grietas mayores de difícil reparación.

El daño en la estructura es inminente e inevitable.

Como la estructura entra al rango inelástico; las deformaciones; producidas

ocasionan grietas en elementos soportantes (columnas).

Hay pérdida sustancial de rigidez y de resistencia.

c) ESTADO LÍMITE DE SUPERVIVENCIA

La filosofía del diseño actual le apuesta a la protección de la vida humana, en

este estado la estructura entra al rango inelástico.

Los daños que sufren son severos.

Los daños son irreparables.

La estructura no colapsa (no se desploma) permitiendo así la supervivencia de

vidas humanas.

TIPOS DE FALLAS

FALLA FRÁGIL.-Consiste en que un elemento estructural el hormigón se aplasta en

compresión antes de que el acero fluya en la zona de tensión.

FALLA DÚCTIL.-Cuando el acero fluye en tensión antes de que el hormigón se

aplaste en compresión.

El primer tipo de falla indeseable, es catastrófica es explosiva y no da aviso.

El segundo tipo de falla es deseable, es a lo que debe propender el diseñador, es lenta

es gradual, da avisos, permite la excavación y la funcionalidad no se pierde.

PROPIEDADES ESTRUCTURALES

Las propiedades estructurales que están en relación con los tres niveles de protección

sísmica son:

a) Rigidez

b) Ductibilidad

c) Resistencia


a) RIGIDEZ.-El concepto de rigidez que se maneja esta en relación con la geometría

del elemento con los materiales, por ejemplo si nos referimos a la rigidez a flexion de

un elemento (el elementos prismáticos la inercia puede ser centroidal es decir h/12 y si

denotamos la rigidez por k esto sería igual a la inercia dividiendo para la longitud del

elemento). En los análisis que realizamos incluyendo, el análisis sísmico de

estructuras se utiliza la rigidez elástica, es decir una relación entre la resistencia ideal

y desplazamiento esta rigidez es posible obtenerla con un elemento de prueba

previamente dimensionada gráficamente una curva, carga o desplazamiento vs

resistencia.

La cantidad relacionada a las cargas o resistencia o fuerzas con las

consiguientes deformaciones en la estructura.

Fig. Curva carga desplazamientos para un elemento de concreto reforzado

Esto se logra mediante un análisis no lineal del elemento la rigidez que acabamos de

definir es una rigidez secante (no es rigidez tang.) y por tomarse en el análisis la

rigidez secante se debe considerar una resistencia disminuida en un 75% de la

resistencia ideal.

(Si) Resistencia Ideal.-Es la resistencia nominal sin afectarle de un factor de

reducción de resistencia.


b) RESISTENCIA.-La estructura debería tener una adecuada resistencia para resistir

accidentes internos generados durante las respuestas dinámica elástica de la

estructura.

c) DUCTILIDAD (µ).-Es la habilidad d la estructura de sus componentes o de los

materiales utilizados a ofrecer resistencia en el dominio inelástico de la respuesta.

Es la habilidad que posee a estructura para deformarse inelásticamente, sin llegar al

colapso.

Como se aprecia en la Fig. 1 la estructura logra grandes desplazamientos o

deformaciones una vez que entran al rango inelástico hasta alcanzar un

desplazamiento Δµ que produce, la falla d la estructura, a la curva continua la

llamamos, la respuesta observando y el diagrama bilineal determina un

comportamiento suavizado de la curva observada.

Podemos calcularlo mediante un desplazamiento de fluencia

También podemos definir a la ductilidad como la capacidad de la estructura que tiene

al llegar al segmento elástico sin deformarse.

CARGAS CON FUERZA DE DISEÑO

1.- Cargas de gravedad. Carga muerta, carga viva, carga de nieve.

2.- Viento, sismo o restricciones a deformaciones.

Carga Muerta.-resulta del peso de la estructura

La carga muerta puede evaluarse con precisión, son cargas que ocupan un lugar fijo

en la estructura y permanecen durante toda la vida útil.

EJEMPLO

=2.4ton/m3

W=2.4* 1.8

W=0.43ton/m


Sin embargo los códigos sugieren utilizar factores de carga, para la carga muerta

admitiendo la aleatoriedad en el cálculo de dicha viga.

Carga Viva.- Es la carga de ocupación del edificio, las cargas móviles en los

puentes.

Las cargas vivas son cargas puntuales pero se las considera como cargas uniformes

distribuidas para el caso de edificio.

FUERZAS SÍSMICAS

Hay varias técnicas d simulación de terremotos, una de ellas podemos

conseguirlamediante un análisisestático equivalente.

Actualmente se evalúan las cargas sísmicas haciendo un análisis estático equivalente

esto relaciona a este en relación, con muchas variables.

La carga reactiva

Un coeficiente sísmico que depende de la sismicidad del lugar la importancia

del edificio, las condiciones de regularidad de edificio y las condiciones de

suelo.

ANÁLISIS ESTÁTICO EQUIVALENTE

V=cortante

C.E.C.= código ecuatoriano de la construcción.

Donde:

Z= factor de zona (0.25 en Machala)

I= factor de la importancia de la estructura.

Factores que toman en cuenta la irregularidad del edificio.


CARGAS FUERZAS DE DISEÑO

CARGAS Y FUERZAS DE DISEÑO

1.- Cargas de gravedad. Carga muerta, carga viva, carga de nieve.

2.- Viento, sismo o restricciones a deformaciones.

La mayoría de los códigos dan valores característicos para cargas de diseño o fuerzas

cuando éstas no pueden ser obtenidas de los pesos de los materiales

a) Carga Muerta (D). Resulta del peso de la estructura y todo lo permanente atribuible

a los materiales. Ciertos valores promedios típicos son obtenidos de los manuales

existentes.

Son cargas permanentes.

En cierto modo se las sobreestima por razones de seguridad. Este aspecto

debería ser considerado en el diseño sísmico.

b) Carga Viva (L)Resulta del uso esperado.

Pueden ser móviles y la intensidad puede variar

Las intensidades máximas que constan en los códigos son basadas en estimaciones

probabilísticas.

En la mayoría de los casos son cargas uniformes distribuidas cubriendo toda el área

de los pisos.

Para ciertas áreas con uso especial, se consideran cargas puntuales.

c) Fuerza Sísmica (E)

Hay varias técnicas de simulación de los efectos de los sismos en los edificios.

Los valores de diseño se pueden obtener de la aplicación del método de la fuerza

sísmica estática horizontal equivalente.


RESISTENCIA

Resistencia Requerida (Su).-Es la demanda de resistencia que surge de la aplicación

de las cargas o fuerzas en la estructura.

Resistencia Ideal (Si).- o resistencia nominal de una sección de un miembro

estructural, es el término más comúnmente usado, está basado en la teoría de

predicción de la estabilidad para un estado límite con respecto a la falla de la sección.

Depende de las dimensiones de los elementos

Depende del contenido del refuerzo

Depende de los detalles de la sección diseñada.

Depende de las resistencias de los dos materiales especificadas en los

códigos.

La resistencia ideal Si se relaciona con la resistencia requerida mediante la expresión

ΦSi ≥ ϒ Su.

F, es un factor de reducción de resistencia

BASES DE DISEÑO

La resistencia de cualquier elemento estructural debe ser superior para que pueda

resistir todas las cargas que actúan sobre dicho elemento durante la vida útil de la

estructura, sin fallar.

Debe dimensionarse adecuadamente los elementos (obtener secciones de Ho y

acero), de manera que sus resistencias soporten las fuerzas de ciertos estados de

carga. Esta metodología de diseño se conoce como «Diseño a la carga de rotura» o

«Diseño a la resistencia»

La resistencia nominal o ideal Si de un elemento deben calcularse con base en el

comportamiento inelástico de los materiales que lo conforman.

Una alternativa al método de diseño por carga de rotura, es el método de los esfuerzos

admisible de trabajo.

En este método se aplican cargas normales de servicio.

Los esfuerzos en el Ho y el acero se los considera como un porcentaje de sus

esfuerzos de falla, fc =0.50f´c; fs = 0.60 fy, para que permanezcan elásticos.

El método también se conoce como «Método por cargas de servicio».


El método por carga de rotura, se aplican factores de carga mayores que «1», a las

cargas nominales, y factores de reducción de resistencia, Φ ˂ 1, a las resistencias

(flexión, cortante, axial, torsión, flexión mas compresión, etc.).

En este curso se aplicará casi exclusivamente el método de diseño «a la resistencia» o

«método de carga de rotura».

DISEÑOPOR CAPACIDAD

Centrarse fundamentalmente en la capacidad, en el caso sísmico, significa crear

estructuras que sean ampliamente tolerantes a las deformaciones impuestas, esto es,

que tengan una capacidad de deformación inelástica muy superior a la máxima

demanda esperada, la cual, es incierta.

El denominado «Diseño por capacidad» es un procedimiento de diseño no de análisis,

determinístico, racional y relativamente simple, desarrollado en Nueva Zelanda,

durante los últimos 26 años; ha sido adoptado en otros países

CODIGO Y ESPECIFICACIONES DE DISEÑO

El AMERICAN CONCRETE INSTITUTE (A.C.I.), no es un documento oficial por sí

mismo; sin embargo, es reconocido ampliamente como un documento autorizado para

la buena práctica en el campo del diseño de estructuras de hormigón armado y

pretensado.

Muchos países de Sudamérica lo han adoptado como un código de carácter legal.

Contiene la parte reglamentaria, y, el lado derecho contiene los comentarios, que es

un material de apoyo e interpretación de las disposiciones reglamentarias.

La mayor parte de los puentes vehiculares están diseñados de acuerdo con los

requisitos de las especificaciones para puentes AASHTO (American Association of

StateHighway and TransportationOfficial), a más de las disposiciones relacionadas con

la carga y su distribución, contiene disposiciones específicas para el diseño y

construcción de puentes de hormigón.

Ningún código o especificación de diseño puede utilizarse como sustituto de un criterio

de ingeniería sólido, para el diseño de estructuras de hormigón.


DISPOSICIONES DE SEGURIDAD DEL CÓDIGO ACI

La resistencia de diseño Fsi, de una estructura o elemento estructural debe ser por lo

menos igual a la resistencia requerida, Sn, calculada a partir de las cargas mayores

dadas, así:

Fsi = Sn

Las cargas se definen en un sentido general para incluir ya sea cargas directas o

efectos internos relacionados, tales como axiales, momentos flectores, fuerzas

cortantes, momentos torsonantes, etc. Así:

FMu = Mu

FVn = Vu

FPn = Pu

n = es un subíndice que indica resistencia nominales.

u = es un subíndice que indica los esfuerzos mayores.

Los factores de carga pueden ampliarse ya sea a las cargas de servicio directamente

o a los efectos internos de las cargas calculadas a partir de las cargas de servicio.

FACTORES DE CARGA, SEGÚN EL CODIGO ACI

1.4D

1.2(D+F+T) + 1.6(L+H) + 0.50(LroSoR)

1.2D + 1.6(LroSoR) + (1.0 Lo 0.87W)

1.2D + 1.0 E + 1.0 L + 0.205

0.90D + 1.6 W + 1.6 H

0.90D + 1.0 E + 1.6 H

FACTORES DE RESISTENCIA DE REDUCCIÓN (ACI)

Tipo de resistencia Factor de reducción

Flexión simple 0.90

Compresión axial y compresión mas flexión

Elemento con refuerzo en espiral 0.45

Elementos con estribos 0.65

Cortante y torsión 0.75

Contacto sobre el hormigón 0.65


El cuerpo principal del código ACI esta formulado en términos del diseño a la

resistencia con los factores γ, y los factores φ.

Un apéndice especial del código, es el apéndice A, que permite el uso del método de

diseño de cagas de servicio.

Significados

D= Carga muerta

E= Terremoto

S= Nieve

L= Carga viva

Lr= Terraza

R= Lluvia

F= Empuje lateral del fluido

H= Empuje lateral del suelo

W= Viento

CURVAS ESFUERZO VS DEFORMACION

Para hº Para Acero de Refuerzo

0.01 0.02 0.03 0.04

1.00 0.85 0.75 0.60

F’c

Єc

0.021

4200

Fs

Єs

Fs = Єs Es


COMPORTAMIENTO DE ELEMENTOS SOMETIDOS A CARGAS

AXIAL

Todos los conceptos que se anotan en ese capítulo va a servir para el análisis y el

diseño de elementos sometidos a compresión axial, compresión simple, adherencia,

fuerza cortante y flexo compresión.

COMPRESION AXIAL:Las columnas de hormigón armado son elementos que

trabajan preferencialmente a compresión pero siempre van acompañados de la flexión.

Existen pocos casos o casi nunca en los cuales las columnas trabajan a compresión

axial pura.

COMPRESION AXIAL PURA: Estos elementos se los diseña considerando pequeños

Excentricidades requisito que está contemplado a la norma. ACI 318 – 2008 la norma

para considerar pequeños Excentricidades aplicada factores de reducción de

respuesta como lo que vamos a ver oportunamente.

Las columnas pueden ser de diferentes formas hay columnas rectangulares con

estribos, columna circular con zuncho helicoidal. También tomamos las llamadas

columnas compuestas, que pueden ser cerradas con barras longitudinales y estribos; y

llevan en su núcleo perfiles de acero tipo I como muestra la figura.

P

Columna rectangular Columna circular con

zunchos helicoidales

Columna compuesta


Otro caso de columna compuesta es lo que tiene un tubo en acero estructural

revestido de hormigón.

COMPORTAMIENTO ELASTICO

Para el caso de comportamiento elástico el hormigón se comporta como tal para

fuerzas hasta el 50% de la resistencia f’c mientras que el acero es casi elástico en

toda la escala de carga para aceros de 4200 kg/cm2 de fluencia.

⁄

⁄

Para esta deformación corresponde un esfuerzo en el hormigón de acuerdo con las

curvas esfuerzo deformación dibujada anteriormente.

De acuerdo a la ley de Hooke la deformación del hormigón es igual a:

(1)

Donde:

c= deformación del hormigón

Fc= esfuerzo nominal del ho

Ec= módulo de elasticidad ho

Y la deformación en el acero es igual a:

(2)

Donde:

s= deformación de acero

Tubo de acero estructural

Columna compuesta


Fs= esfuerzo nominal del acero

Es= módulo de elasticidad del acero

Tal como lo hemos definido en el rango elástico E y la formación son proporcionales

en el rango elástico. Igualamos los dos miembros de la ecuación (1) y(2)tenemos:

=

→Fs = Fc *

(3)

= n donde n = relación modular

Fs = n Fc(4)

Para el caso de una columna sometida a carga concéntrica

P= Ac*Fc+As(5)

P= Carga a compresión axial

Ac= Área del hormigón = Área gruesa – Área de las barra de acero

Ac= Ag – As

Donde:

Ag = b * h

Ac = b * h – Ag

Reemplazo (3) en (5) o (4) en (5)

P = Ac*Fc + As*Fc*n

P = Ac*Fc + n*As*Fc (6)

P = Fc (Ac + n As) (7)

P = Fc [ Ag + (n-1) As ] (8)

b

h


EJEMPLO

2.1. Calcular la Carga Axial que producirá un utilice un hormigón

de

Datos

P = ?

# de varillas 6

En Porcentaje:

𝐛 𝐡

𝐧

𝐧

√

𝐧

𝐧

( )

𝐡 𝐧

𝐡

𝐡 (Carga que produce el esfuerzo del h0)

(Carga que produce el esfuerzo de acero)


RESISTENCIA ÚLTIMA O CARGA DE ROTURA EN UN ELEMENTO

ESTRUCTURAL

La resistencia ultima o carga de rotura en un elemento estructural es el valor de mayor

importancia para el ingeniero la carga máxima que puede soportar la columna.

Entonces el Esfuerzo de fluencia del acero es decir:

Suponiendo además para esa deformación la resistencia nominal la del hormigón es

entonces la carga Axial de Fluencia llamada será igual:

(Para un comportamiento Inelástico)

Ahora para el problema anterior (Fluencia en el medio)

Para la carga el hormigón no alcanzado su resistencia última, la cual la suponemos

para los cálculos como . Entonces para carga de rotura carga que

produce la rotura en la columna:

(9)

La expresión (9) sirve para calcular la carga que produce la rotura en la columna. Para

la columna. Para el ejemplo anterior la carga rotura:

𝐡

Ahora:

Para Carga Axial de Fluencia:

𝐡

𝐡


En Porcentaje:

Para Carga que produce la rotura en la Columna:

𝐡

𝐡

𝐡

En Porcentaje:

Resumen:

Para el caso de que los materiales h0 y acero (s) se encuentran en un rango

elástico, el hormigón trabaja con un esfuerzo que produce una carga de 145,2

Ton mientras que el acero asume una carga de 21,7 Ton. Para este caso el

hormigón (h0) contribuye a la carga un 87% y el acero (s) lo hace con 13%.

Cuando se produce la fluencia de la barra de acero el hormigón (h0) resiste 301

Ton es decir contribuye un 71%a resistir la carga mientras que el acero (s)

resiste el 29%.


Cuando se produce la rotura del elemento el hormigón (h0) contribuye con el

75% de la carga mientras que el acero (s) lo hace el 25% es decir a medida

que aumenta la carga se produce una retribución de los porcentajes que toma

cada material y el acero (s) va tomando un poquito mayor a la carga al que se

asumió para el comportamiento elástico.

Columnas Circulares con Zunchos Helicoidales.-

Para el caso de columnas circulares con hélice experimentalmente se ha

demostrado que la resistencia a la compresión del núcleo de hormigón de una

columna que se suministra mediante refuerzo helicoidal se gobierna mediante la

expresión:

(I)

Resistencia o Esfuerzo del Núcleo Confinado del hormigón (h0).

Resistencia o Esfuerzo con el h0 Sin Confirmar.

Esfuerzo o Resistencia de Confinación.

(10)

(11)


(

)

(12)

(13)

(12)------>(13)

(14)

Para encontrar la cantidad adecuada de acero en espiral se obtiene se sigue el

siguiente proceso:

La resistencia del cascaron con la Resistencia es igual a:

' (16)

𝐡 Es el núcleo del área confinada del hormigón.

Una vez obtenida la contribución sustituyo (14) en I y multiplico por el área del núcleo

del hormigón Ac:

(Es la resistencia proporcionada por la espiral)

La base de diseño según el código ACI la ganancia de la resistencia proporcionada

por la espiral debe ser al menos igual a la perdida de resistencia cuando se (descasa,

desprende o desconcha) el recubrimiento del hormigón.

' (Según México)

' (ACI)

Perdida cuando

se desprende el

recubrimiento

Lo que gana


(

)

(

)(16) ------->Numeral ACI

As = Área de las barras de Acero

Ac = Área neta del Hormigón

Ag = Área gruesa

Ach =An = Area neta del zuncho

Columna con zuncho helicoidal Tipos de columnas

(16)


35cm

45cm

35cm

PASOS PARA EL DISEÑO DE ZUNCHOS

1. Calculamos (% volumétrico del refuerzo helicoidal)

2. Comparamos con la fórmula

3. Resolvemos ya sea para Aspo para s, siendo Asp(área del zuncho y s el

paso)

- Asumiendo del zuncho y obteniendo “s”

- Asumiendo s y obteniendo del zuncho

EJEMPLO

La columna de la figura se ha utilizado un hormigón de una resistencia de 250

kg/cm2 y fy= 4200 kg/cm2. Obtener la carga con la cual se rompe la columna.

EJEMPLOS DE COLUMNAS RECTANGULARES POR EL METODO DE

ESFUERZOS DE TRABAJO

Al referirnos al método de trabajo éstos son los porcentajes de las resistencias del

hormigón y del acero, para diseño vamos a utilizar el esfuerzo del trabajo del hormigón

0.5f’c y el esfuerzo de trabajo para el acero 0.5fy.

Para este tipo de diseño podemos trabajar con cuantías entre el 1% y 6%. Llamamos

cuantías de acero “ ” a la relación entre el área de acero de las barras principales

dividida para el área gruesa del hormigón.

(Es a dimensional)


35cm

45cm

La ecuación que debemos aplicar es la ecuación (I) y las cargas que se consideran

son las cargas nominales (no últimas).

EJEMPLO 2.3

Diseñar mediante los esfuerzos de trabajo una columna rectangular sometida a

una carga muerta de 115 ton (Wm) y una carga viva de 82 ton (Wv). Utilice un

hormigón de 210 kg/cm2 de resistencia a la compresión a los 28 días de edad y

un acero cuyo límite de fluencia Fy=4200 kg/cm2. Utilice una cuantía de Acero de

1.23%.

Diseñar en hormigón armado significa obtener la sección de hormigón y obtener la

sección de acero requeridas para hacer frente a las cargas externas al que el elemento

está sometido.

b h

25 21

30 31

35 45


40cm

55cm

EJEMPLO 2.4

DISEÑO NO COLUMNAS RECTANGULARES POR EL METODO DE CARGA DE

ROTURA (O RESISTENCIA ÚLTIMA)

Para el diseño del método por carga de rotura el código ACI en el capítulo 10 le

sugiere considerar pequeñas excentricidades mediante un columnas

rectangulares con estribos y para columnas circulares con zunchos

helicoidales.

Las fórmulas son las mismas pero aplicadas factores de red del esfuerzo. Recordando

que para columnas rectangulares es de 0.65 y 0.75 para columnas circulares.

Utilizando el método de carga de rotura o resistencia última diseñe la columna del

ejemplo 2.3.

[ ]

[ [ ] ]

Comentario

Aplicando los esfuerzos de trabajo la columna sale más económica que aplicando el método de

carga de rotura según la 10-1 del código ACI 3.12.2008 con lo que concluimos que ésta versión

es la más exigente en términos de seguridad para las estructuras de hormigón armado.


EJEMPLO 2.5

Diseñe una columna circular con zunchos helicoidales, utilice el método de la

carga de rotura. Utilice un hormigón de f’c= 210kg/cm2 y un acero fy=4200 kg/cm2

y una cuantía de =1.1%, carga muerta de 72ton (Wm) y una carga viva Wv=108

ton.

Para considerar pequeñas excentricidades utilice la fórmula 10.2 del código

A.C.I. aplique las disposiciones 7.6.3 respecto de la distancia libre entre barras

longitudinales 7.1.3; 7.10.4 y la pagina 101 ; 7.10.4.2; 7.10.4.3.

[ ( ) ]

REGLAMENTO A.C.I.

Espirales

7.10.4.2.-Para elementos construidos en obra, el diámetro de barra utilizada en

espirales no debe ser menor de 10 mm.

7.10.4.3.-El espaciamiento libre entre hélices de la espiral no debe exceder de 75 mm

ni ser menor de 25 mm.

Desarrollo:

[ ( ) ]

Igualando Ecuaciones:

[ (

)

]

(

)

√


(

)

Para obtener el área neta en la columna circular el diámetro exterior le quitamos el

recubrimiento libre entre varillas es decir 5 cm y el área neta será el área cuantificada por el

zuncho.

(

) (

)

Reemplazando Valores:

(

)

Utilizo como zuncho Ø 10 mm para (S).

8Ø 10 mm. 7.5 cm

45 cm

48cm 43 cm

48 cm

Resumen del diseño:

Una columna con diámetro exterior de 48 cm y diámetro interior de 43 cm y

paso de 7.5 cm.


ANÁLISIS Y DISEÑO A FLEXIÓN DE VIGAS

Suposiciones Fundamentales Para El Comportamiento Del Hormigón Armado

La mecánica del hormigón se basa en las siguientes premisas fundamentales:

1. Las fuerzas internas tales como (momentos flectores, fuerzas cortantes,

momentos flexionantes y esfuerzos de tensión y compresión) en unasección

cualquiera de un elemento estructural se encuentra en equilibrio con los

efectos de carga externas de la sección.

2. La deformación unitaria en una barra inclinada en el hormigón es de la misma

magnitud que la del hormigón a cortante (si se deforma la barra se deforma el

hormigón).

3. Las secciones son planas antes y después de que el elemento haya sido

cargado.

La deformación es nula

4. Debido a que la resistencia a la tensión del hormigón es una pequeña parte de

su resistencia a su compresión el hormigón en aquella parte del elemento

sometido a tensión se encuentra usualmente agrietado.

Fibras comprimidas.

h E.N.

Fibras en tensión no se toman en

cuenta en el análisis de flexiona.

5. La teoría se basa en el esfuerzo-deformación real y en las propiedades del

hormigón y acero o en alguna simplificación razonable realizada.

Los 5 permisos anotados sirven para predecir el comportamiento del Hormigón

Armado.


ANÁLISIS Y DISEÑO A FLEXIÓN

En este capítulo se aplicaran las mismas supuestas y se utilizaran conceptos para el

análisis y diseño de vigas.

Fuerzas en Vigas Homogéneas:

Las vigas del hormigón armado no son homogéneas sin embargo los principios

fundamentales son los mismos para las vigas compuestas de un solo material; estos

principios son:

1. En una sección transversal existen fuerzas internas que pueden

descomponerse en componentes normales y tangenciales. Las fuerzas son los

esfuerzos a flexión (compresión de un lado del eje neutro y en tensión del otro

lado) y las fuerzas tangenciales son las llamadas esfuerzos cortantes.

Compresión

E.N.

Tensión Los esfuerzos normales que nacen frente a los extremos de

compresión en el Eje Neutro son

0 y máximo en sus extremos.

Las componentes normales son los esfuerzos de compresión de un lado del Eje

Neutro y de tensión del otro lado tal como observamos en la figura.

2. Los esfuerzos tangenciales son los esfuerzos cortantes que resisten las

fuerzas tangenciales o cortantes.

a) Las secciones planas antes de que el elemento se someta a carga sigue

siendo en el elemento cargado.La expresión significa que las

deformaciones unitarias por encima y por debajo del eje neutro son

proporcionales a las distancias desde este eje.


b) Los esfuerzos de flexión dependen de la (distancias) deformaciones

unitarias en un punto específico de la misma manera que el diagrama

esfuerzo vs deformación para el material.

Ep y Fp es el límite ante la parte elástico.

Ep= deformación proporcional.

FP= esfuerzo proporcional.

La figura 2 representa un diagrama esfuerzo-deformación para el hormigón en el cual

se ha en los esfuerzos Fp es dibujado en el eje horizontal las deflexiones y en el

vertical los esfuerzosEp. Que le corresponden en los esfuerzos Fp es el límite de

proporcionalidad es decir el límite para el comportamiento lineal y el comportamiento

inelástico o no lineal.


Si la deformación es menor Epla distribución es como se aprecia en la figura (a) y el

esfuerzo es como se aprecia en la figura (b). Si la deformación en el material supera la

deformación proporcional la distribución es como se muestra en la figura (c) y la

distribución de esfuerzos es como se aprecia en la figura (b).

3) la distribución de los esfuerzos cortantes (v) en la altura de la sección depende de la

sección transversal y del diagrama esfuerzo- deformación unitaria para el material en

el eje neutro.

Los esfuerzos cortantes son máximos mientras que los momentos flectores son nulos.

En cambio en las fibras exteriores los esfuerzos cortantes son nulos mientras que los

momentos flectores son máximos.

4) debido a la acción cámbiate de esfuerzos cortantes horizontales y verticales y alos

esfuerzos de flexión se presenta esfuerzos inclinados de tensión y compresión

encualquier punto de la viga el cual forma 90° con el otro, la magnitud del máximo

esfuerzo inclinado o esfuerzo principal (t) es igual a:

√

F= magnitud del esfuerzo normal en la fibra

V= magnitud de los esfuerzos cortantes tangenciales.

Si F<F posea el esfuerzo nominal es menor que esfuerzo proporcional de la viga se

comporta elásticamente en este casi se puede afirmar que:

a) El eje neutro pasa a través del centroide de la sección transversal

b) La magnitud de los esfuerzos de flexión normales a la sección directamente

con las medidas desde el eje neutro y es máximo en las fibras extremas y se lo

obtiene mediante la expresión:

F= es el esfuerzo de flexión a una distancia y medida a una distancia y del eje

neutro.

I= momento de inercia de la sección transversal correspondiente al eje neutro.

Y= distancia del eje neutro.

M= momento flector externo.


Fcc= el esfuerzo de flexión máxima en la fibra de flexión superior exterior.

=>

=>

S= módulo de elasticidad de la sección.

c= posición del eje neutro.

c) El esfuerzo cortante “v” es la longitud igual al transversal en cualquier punto de

la sección transversal, esta dad por:

V= fuerza cortante total en la sección.

a= eje estático con respecto al eje neutro.

ESFUERZOS ELASTICOS SECCION NO AGRIETADA

La sección transversal de una viga de ancho b con peralte total h, acero de tensión As

y d igual a peralte efectivo.

Para pequeñas cargas a las queestá sometida ele elemento toda la sección del

hormigón es útil y contribuyente a la flexión.

El diagrama de deformación es idéntico al

presentado en la figura A y el diagrama de

esfuerzos es parecido al de la figura B con la

consideración de que hay que tomar en cuenta

el esfuerzo a tensión.

Fct= máximo esfuerzo a tensión del hormigón

Fcc= máximo esfuerzo a compresión del

hormigón.

Fs= esfuerzo nominal en la barra de acero.


ANALISIS:

Si los esfuerzos de tensión son menores que Fr (módulo de rotura) al módulo de rotura

se lo conoce como esfuerzo a tensión, pero pro flexión de manera que no se desarrolle

grietas debajo del eje neutro la sección se la puede considerar como no fisurada y

para resolver el problema utilizamos la expresión:

Explicada anteriormente debemos transformar la sección de acero en la sección

equivalente de hormigón tal como se aprecia en la figura.

a) Sección transformada utilizando área neta.

b) Sección transformada utilizando área gruesa.

La sección transformada se aplica los métodos para las vigas elásticas

homogéneas.


EJEMPLO 3.1

Determine los esfuerzos causadas en la viga de la figura para un momento flector

externo de 7 toneladas-metro.

F´c= 210 kg/cm^2

Fy= 4200 kg/cm^2

Fr= 32 kg/cm^2

*cap. 9 del código ACI =>Ec. 9.10 (para cálculo de módulo de rotura).

√ ; Mpa; l = h° normales

√ ; Kg/cm^2

n= relación modular.

√ ;

[ ]

TEOREMA DE STEINER

∑(

)


1)

2)

3)

1)

2)

OK

3)

ENCUADRE:

Fct= Esfuerzo a tensión del hormigón.

Fct<Fr ; √ ; Fr= Kg/cm^2

Se considera sección Transformada No Agrietada.

En el caso que el esfuerzo a tensión del hormigón supere el módulo de rotura (

)todo el hormigón que se encuentra debajo del Eje Neutro esta agrietado y no debe

ser tomado en cuenta en el análisis. En esta circunstancia todavía es válido aplicar el

método de la sección transformada que le llamamos “Sección Transformada

Agrietada”


√

(1)

C = T

Calculo Momento en C

(

) (

) (

)

(

)

Calculo Momento en T

(

)

(

)

(

)

(

)

Para Diseño

(

)

(

)


55cm 50cm

30cm

3 22mm

(

)

(

)

Con fines para diseño si reemplazamos la posición del Eje Neutro como 1% de k del

peralte efectivo (d) y el brazo del par como un %j del peralte efectivo entonces la

ecuación 1 se transforma:

𝐧

√

√

(9)

NOTA.-k y j solo para vigas Rectangulares

EJEMPLO 3.2

Calcular los esfuerzos del hormigón del acero para la viga de la figura, la viga

está sometida a un momento flector externo de 9 Ton – m.

Desarrollo:

Fr = 2√ fr= 30

√

𝐧

n = 9

(3.8*3) = 11.4

(9 * 11.4)= 102.6 cm2


Utilizando la fórmula (8)

Fórmula(11)

CASO DE UNA VIGA DOBLEMENTE REFORZADA

Se llama así porque tiene acero de tensión y de compresión. Colocar acero de

compresión es antieconómico.

Sin embargo se coloca acero de compresión por varias causas:

1 La presión del acero de compresión disminuye la flexión a largo plazo la deflexión.

2 Sirve para sostener los estribos (refuerzo a cortante). Al compactarse el hormigón a

compresión causa en las barras de refuerzo un aumento de capacidad para tomar

cargas como consecuencia de la fluencia plástica del hormigón.

Se supone que los esfuerzos de las barras de compresión calculadas en el método de

la sección transformada se duplico con el tiempo

El área transformada de las barras de compresión se supone igual a dos veces al área

del acero a compresión A’sK

Si se considera el área total de la sección del hormigón las aletas de compresión es

20-1 = As la tención son iguales (n – 1) As

Para el caso de considerar la sección transformada agrietada la interpretación para el

área de las aletas será

El área de las aletas de compresión es igual (211-1)A’s y para el caso de las aletas de

tención (n As)

Los esfuerzos en la varilla de compresión se determinaran multiplicando por 2n los

esfuerzos en el hormigón situado en la misma distancia del eje neutro


Calcular los esfuerzos de compresión a tención en la viga producido por un

momento Flector de 2.7 ton-m por la viga de la figura.

Utilice un h° = 280 kg/cm² y A = 4200 kg/cm²

A’s = 2 (5.54) = 5.08

As = 4 (3.8) = 15.2

(2n-1) A’s = 76.2

(n-1) As = 106.2

Utilizamos sección Transformada no agrietada porque el momento es menor

Y= 22.85cm = y = 22.9cm

√


Inercia con respecto al eje neutro

I=283375

Fr=2√

F’s = 2N FccF´s= 2(8)(31.52) F´s = 504.26kg/cm²

FS = N FccF´s= (8)(31.52) Fs = 252.16kg/cm²

EJEMPLO 3.4

Para la viga doblemente reforzada obtener el esfuerzo a compresión del

hormigón y el esfuerzo en las barras de Acero tanto en compresión como en

tensión para el caso en la que la viga se someta a un momento Flector de8

ton/m.

Si en las ecuaciones reemplazamos 8 tan/m en vez de 3.9 obteneos un esfuerzo a

tensión de 62.4 Kg/cm valor muy superior al módulo de Rotura (33.47).

En consecuencia debemos analizar la viga mediante el método de la sección

Transformada.

y² + 13.17y – 349.6 =0

y=13.24

I= 115447

FR = 33.47


DISEÑO DE VIGA A FLEXION UTILIZNDO EL METODO

DE LOS ESFUERZOS DE DETRABAJO

Viga Isostática calcular momento

Vigas hiperestáticas calcular por fórmula

M

M

M


Diseñar la viga de la figura sometida a una carga muerta de ton/m y carga viva 2

ton. Utilice el método de los esfuerzos de trabajo de hormigón de 210 tan, y

Fy=4200

En los valores de las cargas ya están incluidas el peso propio de las vigas utilice una

cantidad de 8%

DESARROLLO

Wm= 3ton –m Wv= 2ton-m

F’c = 210 Fy= 4200

1) Calcular carga nominal : 3+2=5 ton/m

Importante

Diseñar una estructura de hormigón amado significa determinar la sección de

hormigón y la sección de acero necesario para hacer frente a las cargas exteriores.

2) Calcular carga el momento (m) Flector Externo

Aclaraciones al Diseño

FS = 0.45 (2.10) = 94.5

FS = (0.5) (4200)=2100


K=√

K= 0.317

J = 1 -

As= 0.008(25)(40)=8cm²

Aclaraciones al diseño

En vista que la sección del diseño de hormigón dio de 25x35 de peralte efectivo. Si

consideramos esa sección efectiva nos daría una sección de acero de 7.8 cm que equivale

aproximadamente a 3 barras de 18mm.


Diseñar una viga rectangular a flexión simplemente apoyada reforzada que está

sometida a cargas para calcular los momentos flectores utilizamos el método de

las secciones.

3.5 9 9 3.5 9 9

C RB

10m

∑ ∑

RA= 3.5+9+9-RB RB = 3.5 (0.7)+9(5)+9(5)+9(9.3)+10

RA=8.385 RB = 13.115

Tramo AB

RA

Tramo BC

RA M=8.385(5)-3.5 (5-0.7)

M=26.875

FC=0.5 (210)=105 J=0.345 K=0.885

b d h

40 65 70

B C D

3.5


Calcule la carga uniforme adicional al piso de la viga que ocasionara que las

secciones empiecen a agrietarse si se usan en vigas simplemente apoyadas de

8m.

Fct> FR Fct>FR Fct = FR

Fcc=? f’c=2880 fy=4200 fs=n Fcc

Método no agrietado

⌊ ⌋

Teorema Del Eje Paralelo

FR = 2 √ =33.5

8m

22

22


EJEMPLO 2 VIGA EN i

METODO NO AGRIETADO

⌊ ⌋

[ ]

(

)

D=804.52 kg-m

*Si aumenta la carga aumenta el momento


METODO AGRIETADO

n=8

(8)(9.42) = 75.36 cm2

[ [ ] ] (

)


d h

b

d

c

Es

b

As = Fs = T

C

c

FLEXION SIMPLE

RESISTENCIA ÚTIL.-Cuando las cargas aplicadas sobre cargas son pequeñas que

los esfuerzos en los dos materiales (hormigón y acero) no rebasen los esfuerzos de

trabajo Fc 0.45 f’c; Fs0 0.50 fy,la viga se la puede analizar utilizando el método de

la sección transformada no agrietada y agrietada.Si los esfuerzos a los materiales

rebasan los esfuerzos de trabajo entonces hay que aplicar métodos que toman en

cuenta el comportamiento no lineal del hormigón y el acero.

Existen varios métodos para evaluar flexión mediante ese enfoque. En este curso

vamos a estudiar 2 métodos. EL método general y el método del Bloque Rectangular

Equivalente de Esfuerzos (método de C Withney).

MÈTODO GENERAL.-Consideramos la sección transversal de la figura 1, viga

rectangular.

Fig. 1 Fig. 2

EL diagrama de deformación (D.D.D) se presenta en la figura 2 en el cual se presenta

“c” posición del eje neutro.

Ec es la deformación del hº a compresión.Es la deformación del Acero a tensión.

LA distribución de los esfuerzos de compresión reales no tienen ninguna forma de

alguna figura geométrica conocida como es el caso de la distribución triangular para

los esfuerzos elásticos.

As


F’c (Kg/ cm2)

100

200

300

400

500

600

0.8

0.6

0.4

0.2

La distribución real se la presenta la fig. 3. Parael análisis nos podemos valer de los

principios de la mecánica estructural combinados con una gran información empírica.

Sidamos ese enfoque ya que no importa la formación real que tiene los esfuerzos de

compresión.

Loque importa es:

A que es igual la Resultante de las fuerzas totales de compresión C y su ubicación

respecto de la fibra exterior superior.

C = (Fav) * (b) (c) Fav = Esfuerzo promedio

Fav= () (F’c)=

C = () (F’c) (b) (c) 1

= 0.72 para hº hasta de 280Kg/ cm2disminuyen 0.04 por cada 70 Kg/ cm2de

aumento sobre 280 Kg/ cm2hasta 0.56

=0.425 para h hasta 280 Kg/ cm2 disminuye 0.025 por cada 70 Kg/ cm2 de aumento

sobre 280Kg/ cm2hasta 0.325 que corresponde a 560 Kg/ cm2

.


Reconocemos 3 tipos de fallas en elementos sometidos a fallas:

1 Se produce cuando el acero fluye en tensión mucho antes que el hormigón se

aplaste en compresión; física y matemáticamente se produce Fs =Fy.

2 Este tipo de falla experimentael elemento cuando (el acero fluye) empieza por un

aplastamiento del hormigón en la zona de compresión mucho antes que el acero

fluyea tensión.

Se ha demostrado mediante pruebas de laboratorio que el hº empieza a dañarse, para

deformaciones comprendidos entre 0.003 y 0.005 para estar a nivel protegido

(obrando conservadoramente se recomienda utilizar un valor de 0.003=Ec= Eu

Eu=Deformación ultima.

EL primer tipo de falla es deseable y el segundo tipo no es recomendable

3 Este tipo de falla se produce cuando el hormigón se aplasta en compresión al mismo

tiempo que el acero fluye a tensión; física y matemáticamente seria Fs =Fy y Ec = Eu=

0.003

La falla balanceada esta en relación con la cuantía balanceada ( )

Calculo de la de la figura 3, tenemos que C = T (porque es un par de fuerza osea

tiene igual magnitud, dirección pero sentido contrario)

() (f’c) (b) = (As) (Fs) () (f’c) (b)(c) = (As) (Fy)

pero sabemos que:

() (f’c) (b)(c) =

Consideramos la figura 2.(calcular la posición del eje neutro)

3

Falla balanceada


Reemplazo 3 en 2

(

)

(

) 4

Cuantía balanceada

Si la cuantía de la viga es menor que la cuantía balanceada se presentara en

elElemento una Falla Dúctil. (<b)

SI la cuantía de la viga es mayor que la cuantía balanceada se presenta en el

Elemento una Falla Frágil.(>b)

Los elementos que presenta Falla Dúctilse les llama elemento subreforzados y los

elementos que presentan Falla Frágilse les llama sobrereforzados.

ELEMENTOS SOBREFORZADOS(

Mn= momento nominal externo

Tomando momento en C

Mn = Fy.As.(d-βc) (5)La ecuación 5 y 6 deben dar igual respuesta

Tomando momento en T

Mn = α.F’c.b.c.(d-βc) (6)

Considere ecuación (5)

Mn=ρ.d.b.Fy.(d-

)

Mn=ρ.d^2.b.Fy.(1-

)

)

Mn= ρ.d^2.b.Fy.(1-0,59

) (7)

Mn= ρ.d^2.R

R=ρ.Fy.(1-0,59

)

En términos de diseño es igual al Mu del diseño Mu=φMn; φ=0,90


VIGAS SOBREREFORZADOS

Para el caso de vigas sobrereforzados hay que obtener la real resistencia del acero.Fs

puesto que en este caso el acero ha alcanzado el esfuerzo de fluencia entonces:

(12)Mn= As.Fy.(d-β )

La posición del eje neutro C se obtiene de una ecuación de segundo grado de la

siguiente manera:

As.Fy= (8)

Como de la relación de triángulos semejantes (figura 2) obtenemos que:

:

Reemplazo 8 en 9

As.Eu. .

= (10)

La ecuación número10 es una ecuación de segundo grado en c. Obteniendo la

posición del eje neutro c. Calculamos Fs por la ecuación 9 y luego reemplazamos en

ecuación 12 para obtener el momento nominal externo de la viga tan reforzada que la

falla se produce por aplastamiento de hormigón en la zona de compresión.

RESUMEN DE FÓRMULA:

Falla balanceada= Cuantía balanceada.

ρ b= ( ’

).

(4)

Falla Subreforzada= falla dúctil

Mn = Fy.As.(d-βc)

Mn = α.F’c.bc.(d- βc)

C=

=

(11)

Vigas sobre reforzadas = Falla Frágil

Mn = Fy.As.(d-βc)

Mn = α.F’c.bc.(d- βc)

Eu. .

(9)


EJEMPLO 3.6

Calcular el Mn y el diseño para la viga mostrada en la figura. Además obtener la

posición del eje neutro.

F’c= 240

Fy=4200

ρ=

ρ=

ρ= 0,012

ρ b= ( ’

).

ρ b= (

ρ= cuantía de la viga

ρ b= 0.024 ρ > ρ b (falla dúctil)

Para un h* DE 280 β valdrá 0,425

Mn =Fy.As.(d-βc)

Mn=

’ )

c= 17,11 c es la posición del eje neutro.

Mu= φ Mn

Mu= 0,9 (54,6) Mu= 49,14

Φ=0,90 siempre porque esta dado en términos de diseño


EJEMPLO 3.7

Calcular Mn, Mu y C para la viga mostrada en la fig.

F’c= 240

Fy=4200

ρ =

ρ =

ρ= 0,027

ρb= (

ρb= 0.024 ρ > ρ b(falla frágil)

En la ecuación 10 calculamos C.

As x Eu x Es x

x b x c

As = (8 x 7.07) = 56.56 Es= 2 x 106

Eu = 0.003

(

)

(

)

√ (– )


(

)

(

)

( )

Notas importantes

El acero fluye a tensión en es el recomendable.

El hormigón (amplia) empieza a deformarse para una fluencia del acero que

varía de :

En las fallas balanceadas obtendremos también

Siempre será (falla fragil)


METODO DEL BLOQUE RECTANGULAR EQUIVALENTE DE ESFUERZO: METODO DE

WHITNEY

Whitney propuso un método sencillo para evaluar Flexión Simple, basado en una

distancia rectangular de esfuerzos en la cual considera que la profundidad del bloque

“a” es la que varía y la otra dimensión es la que permanece constante.

Como el método es sencillo sus formulas son fáciles de obtener y se presta para el

análisis de esfuerzos combinados de flexión mas cortante, flexión mas compresión;

flexión mas torsión mas cortante, flexión mas carga axial. El método se presta para el

análisis de vigas de cualquier forma geométrica.

a

h a

b

SECCION DE VIGA DIAGRAMA DE DEFORMACION

a=

a/2

a c= rfc1a.b

DISTRIBUCION DE TRIANGULO DE ESFUERZOS

Entonces

Para la confiabilidad del método y su posterior aplicación se plantea que la posición de

las fuerzas totales de comprensión

del nuevo método. También hay la


necesidad e expresión de profundidad de bloque “a” con términos de posición del eje

Neutro C así . Siendo un parámetro menor de 1 a definirse

posteriormente.

Posteriormente debe comprobarse que lo resultante de las fuerzas de comprensión

den los mismos resultados para lo cual debe definirse el valor de entonces:

(4) - Debe darse esta igualdad para que este método

funcione.

Por otro lado:

(5)

La fórmula4 y 5 validan el método expuesto de la siguiente manera.

F2c ≤ 280 350 420 490 ≥ 560

0.725 0.68 0.64 0.60 0.56

0.425 0.40 0.75 0.35 0.325

0.85 0.80 0.75 0.70 0.65

0.85 0.85 0.85 0.85 0.85

Conclusión:

De acuerdo con la tabla obtenida adopta valores constantes de 0.85 y disminuye

con el aumento de la resistencia del hormigón disminuye 0.05 por cada 70 kg – cm 2

de aumento de resistencia el hormigón hasta un valor tope de 0.65 correspondiente a

un hormigón de 50 kg/cm.

La variación de es lineal y para obtener valores intermedios entre 280 kg – cm2

por ejemplo debe hacerse una interpolación lineal. Una vez validado el método los

tipos de falla conocidos son los ismos que el método anterior.


1. Falla dúctil el acero fluye en tensión antes que el hormigón se aplaste en

compresión, se cumple que Fs. = Fy.

2. El hormigón se aplasta en comprensión antes que el acero fluya en tensión se

cumple que

3. El acero fluye en tensión al mismo tiempo que el hormigón se aplasta a

comprensión se produce lo siguiente y este tipo de

falla es balanceada.

Formulación

Cuantía balanceada (pB) corresponde a la falla balanceada.

C = T

(

) Calculo “C” utilizando el D.D.D

Reemplazo 7 en 6 y obtengo.


(

)

(

)

(

)

si < B Falla dúctil ( F. Sub-reforzada)

si > B Falla frágil (F. Sobre reforzada)

VIGA SUBREFORZADA

0.85 Fc`* a * b = As* Fy

a=

(9)

Mn= As Fy( d-

(10) Momento en “C”

Momento tomado en T

Mn= 0.85 Fc`* a * b*( d-

(11)

a=

(9`)

Si reemplazo 9` en 10 obtengo:

Mn= As* Fy( d -

) ; As= *d*b

Mn= * *b* Fy *(1-

)

Mn= * *b* Fy * (1-

) (12)

Para diseño

Mu= Φ Mn Φ =0.90

La fórmula12 podemos escribirla como:

Φ Mn= Φ R * b * R= Factor de Resistencia a la flexión.


R= * Fy * (1- 0.59* *

) (13)

Vigas Sobrereforzadas (ρ>ρB)

As Fs = 0.85 Fc` *a *b 0.85 β1* Fc`*a*b

ρ * b * d * Fs= 0.85 β1* Fc`*b*c

(14)

Para el caso de vigas sobrereforzadas en las cuales las vigas es mayor a B (1) igualo

la respuesta en toneladas con la respuesta en compresión y obtengo:

As* Fs= 0.85 Fc`* a * b 0.85 β1* Fc`*b*c

Como: Fs=εs Es (15) y a su vez εs=

(14)

Al reemplazar estos valores obtengo:

εsAs= 0.85 β1* Fc`*b*c

As* Es(

) = 0.85 β1* Fc`*b*c (16)

La ecuación 16 debe resolverse para c' y luego el valor de C reemplazarlo en (14) para

obtener.

Posteriormente este valor se lo reemplaza en la ecuación 15 para obtener el verdadero

esfuerzo al cual están sometidas las barras de tensión en la viga. Finalmente:

Mu= ΦAsFy (

)

Dará el momento de diseño de una viga tan reforzada que la falla se produce por el

aplastamiento de la viga.Hormigón en la zona de compresión.


EJEMPLO 3.8

Obtener Mn, C; de la siguiente viga Fy= 4200 Fc`= 210; Utilice el método de

withney.

30

55 50

1) Obtener cuantía de la viga

ρ=

= 0.01232

ρb= 0.85 β1

ρb= 0.02125

0.01232 < 0.02125 falla dúctil

a=

a=

= 14.5

Mn= As* fy( d –

)Mn 18.47 *4200*( 50-

)

Mn= 3316288.5 kg-cm Mn= 33.16 ton-m

Mu= Φ Mn Mu= 0.90 ( 33.16)

Mu= 29.85 ton-m

C=

C=

C= 17.06cm

3 Φ 28 mm


EJEMPLO 3.9

Obtener Mn, Mu, C; y el diseño para la viga de la figura: f'c=210 fy= 4200; Utilice

el método de whitney.

15 15 15

a/2= 14.5

15 225 = 0.012729

354.53 𝐛 0.02125

38 b falla dúctil

7 4Φ28mm

45

As Fy= 0.85 fc' a b As Fy = 0.85 Fc' Ac

Ac=

Ac=

Ac= 579.63

Altura=

Altura=

a= 15+7.88= 22.88

y(579.53) = 225( 7.5) + 354.53 ( 3.94+15)

y =

= 14.50cm

y = a/2

Mn = 24.63 ( 4200) ( 53-14.5) Mn = 3982671 kg-cm

Mn = 39.83ton-m

Mu= 39.83 ( 0.9) = 35.847 ton –m

C=

=

= 26.91 cm


METODO DEL BLOQUE RECTANGULAR EQUIVALENTE DE ESFUERZO

C.SWHITNEY

3 ton 3ton

3m

3ton 3ton3ton3ton 3m

3m

6m 4m 4m 6m

Para el pre-diseño de vigas considerar una altura (h) igual a 7cm por cada metro d luz

de viga.

Wm=3 ton

H=7*6 =42

H= 1.5b b=45/1.5 b= 30cm

Ag= Ac Pn= carga que soporta una columna

Pn= 0.85 fc´ *ag*As fy

Pn= 030*fc´ b*h

Carga axial= Pn

Pn = (# pisos) (……………..)(Carga promedio)

Pn = (3*30) (1.2ton\m2) = 108 ton 110 ton

Pn = 110000 kg


Igualando tenemosf´c=240

110.000= 0.30 * 2.40 * (b*h)

B*h= 1550 b= 40 h=40

DISEÑO DE VIGAS

Cuando se utiliza programa de computadora como elSAP y se analiza una estructura

con carga de gravedad únicamente es necesario hacer un predimensionamiento de

elementos estructurales, para el caso de las vigas la altura de ellas se las asume igual a

7cm multiplicando por la luz de la viga en metros. Para el caso del pórtico plano

analizado por elSAP, todas las secciones de la viga son de 45 x 30, reconociendo que el

ancho b resulta de dividir h por 1.5.

Para el caso de las columnas se asumió el criterio de la carga nominal Pn= 0.30 f´c b x

h; Pn se lo obtuvo multiplicando el área de ascendencia de la columna por 1.2 ton\m2.

Así se obtuvo se obtuvo una sección de 40 x 40 para todas las columnas y de 45 x 30

para todas las vigas la carga muerta incluida al peso propio es de 3 toneladas-metros la

carga viva 1.6 ton-m y existen cargas puntuales de 3 toneladas, en el primero y

segundo piso alto ubicados como se muestra en la figura; realizado el análisis los

métodos son como se muestran en las diferentes graficas obtenidas del programa,

este ejemplo de diseño a flexión es para la viga de 6m cuyo diagrama de cuerpo libre

se muestra en la figura 1 (a) y diagrama de momentos 1 (B)

DEDUCCION DE LA ECUACION DE MOMENTOS

Queda claro que cualquier estructura hiperestática se la puede convertir en una

estructura isostática equivalente tal como muestrea el D.C.L. de la figura (1a)

Aplicando los criterios de los esfuerzos y utilizando los métodos de las secciones

tenemos

X

18.36 6.16

Mμmμ+18.36-21.34x+6.16 x2/2=0

X 1) mμ=21.34x – 3.08x2 – 18.36

21.34 Va


6.16 3.6

Mμ – 18.36 – 21.34x + 3.6(x-1.5)+6.16 x2 \2= 0

Mμ= 21.34x -3.6x +5.4 – 3.08x2– 18.36

Mμ =-3.08x2 + 17.74x – 12.96

0˂x˂4.5

1) Mμ= -8.46 x= 0.5 x=1.5 Mμ=6.72

2) X=3 Mμ= 12.54

Diseño: se puede utilizar tres métodos distintos

1._ Diseñando con el algoritmo Mμ = φ Rbd2 por lo que R= mμ\ φbd2 luego en la tabla

de ayuda leo “ρ”, finalmente As= ρ bd se reparte el acero de barras

2._ Asumir la profundidad a del bloque, calcular As con Mμ= As fy( d– a\2 ) entonces

As= mμ\fy( d – a\2 ) luego compruebo a= As Fy\0.85 f´cbluego si el valor de “a”

asumido es parecido al valor de “a” comprobado el área de las barras es correcto, de la

contrario asumir nuevo valor de “A” y comprueba el otro . etc.

PRIMER METODO

R= 1836000\0.9*30*402= 42.5 kg\cm

Lea R y ρ ρ= 0.0115

As= 0.0115 * 30*40 = 13.8

R = 2277000\0.9*30*402= 527 kg\cm

R = 1256000\0.9*30*402= 29.07 kg\cm

1) ρ= 0.014 ρ= 0.014

2) As = 0.01475 x 30 x45=17.7cm2

3) As= 0.0075 x 30 x45= 9cm2

Ρmin=14/Fy o 0.0033 ˂ 0.0075 ok


DISEÑO DE VIGAS A FLEXION

1.- Para obtener el área del acero

Mμ= φbd2 R= mμ/φbd2

En las ayudas leemos “ ” luego de As = bd

2.- Asumo “a” obtengo As=mμ/fy( d – a\2 ) compruebo “a”

Asumiendo con: a= As fy/0.85f´c b

Si “a” es similar al valor calculado As es correcto de lo contrario repetir los cálculos

3.- Aplicando la ecuación que define “ ”

-18.36 -22.77

6m 45cm 40cm

30cm

Un valor inicial de la profundidad del bloque puede ser d/4 , es de a= 40/4 a= 10

a= 1836000/4200(40-5) (0.9) =12.5cm

a= As x fy/0.85 f´c b = 12.5 x 4200/ 0.85 x 240 x30

a= 8.6cm

2.- iteración

A=1836000/4200(40-5)=13.61 a= 13.61 x 4200/0.85 x 240 x 30= 9.33 ok

Para el momento de 22.77 ton: 1ra interacción

a= 9cm (asumiendo)

As= 2277000/0.9 x 4200 ( 40-45) = 17.0 as= 17.0 x 4200 / 0.85 x240 x30 = 10.5

Segunda interacción

As= 2277000/0.9 x 4200 ( 40-5.25)= 17.30 as= 17.30 x 4200 / 0.85 x240 x30

=10.41


DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DE “ ”

Como:

Mμ = φ As fy d (1- 0.59 ρfy/fć)

Mμ = φ ρbd2( 1- 0.59 ρfy/fć) conociendo que

Mμ = φ Rbd2 Igualando Tenemos

φ Rbd2= φ ρbd2Fy ( 1- 0.59 ρfy/fć)

0.59 fy2/ fć x ρ – ρfy + R= 0

√

√

Para saber de cual valor de “a” partir se divide el m (+) para el momento máx. (-); ese valor

será el porcentaje

12.56/22.77= 0.55 % 0.6 % a= 10.7

Entonces: 0.6 x 10.7 = 6.42

3er METODO

Aplicando La Fórmula

√

√

ρ= 0.0115


As= ρbd AS= (0.0115*30*40)

As= 13.82

= 52.70

Ρ=

*(1-√

)

As=0.0149*30*40

As=17.88

1.15 1.4

Según el código A.C.I. la longitud de las barras para cubrir el momento

negativo en vigas es igual al punto de inflexión mas 12 veces el diámetro de las

barras de mayor diámetro.

VIGAS DE GRAN PERALTE

Las vigas de gran peralte son aquellas cuya altura supera los 90cm. El refuerzo

superficial en vigas de gran peralte o refuerzo condicional Ack, la obtenemos con la

expresión Ack<= (d – 750) ¨d¨ debe estar dado en mm y Ask en mm2. La separación

máxima entre las barras adicionales no debe exceder a (¨d¨/6) o 300mm.

2Ǿ25mm 2Ǿ22mm

3Ǿ22mm

Zona a

compresión

Refuerzo adicional

a cada lado

As

Eje neutro


ANALISIS Y DISEÑO DE VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS.

Las vigas doblemente reforzadas son aquellas que llevan acero de compresión y de

tensión.

El acero a compresión resulta necesario cuando se limita el tamaño de la viga por

estética o por falta de espacio disponible, además el acero de tensión, el acero de

compresión es útil porque no solamente aumenta los momentos resistentes a las

secciones de la viga si no que también incrementa la magnitud de curvatura que un

miembro puede absorber antes de fallar a flexión.

La ductilidad de tales secciones aumenta considerablemente.

El acero a compresión hace que las vigas sean tenaces y dúctiles permitiéndoles

resistir grandes momentos y deformaciones.

Así como inversiones de esfuerzo que son los que ocurren durante un terremoto. El

código A.C.I.

Establece la exigencia de colocar una cantidad mínima de acero de compresión en

elementos que trabajen a tensión.

El acero de compresión reduce deflexiones a largo plazo y sirve para sostener los

estribos, acero para hacer frente a los esfuerzos de compresión.

Para este caso aplicaremos el método de Withney para el análisis.

Acero a

compresión

Acero a

tensión

As

As´

b

d

c a

Td´ a/2

d-d´

T=AsFy

T´=As´Fy

Figura (a) Figura (b) Figura (c)

Bloque de Withney


En esta parte consideramos que tanto acero el acero de compresión como el de

tensión fluyen a la falla respecto a que no corre siempre para esto vamos a dividir el

momento nominal en dos partes.

M1= acero de compresión cuyo elemento de par se presenta en la figura (c) y su brazo

es d-d´ más el momento producido por el excedente de las dos barras de tensión (As-

As´), que se equilibra con los esfuerzos de tensión en hormigón. El brazo del par ((d-

a)/2) tal como se presenta en la figura (a).

El primer término produce m1 y el segundo m2 .

Entonces:

Mn = m1+m2

1) Mn = As´fy(d-d´)+(As-As´)fy(d-a/2)

0.85fc´a.b = (As-As´)fy

2) a =

3) a =

La cuantía de la viga para acero doblemente reforzada es:

4) ρb = ρb+ ρ1´

b = cuantía de acero para una viga doblemente reforzada.

Ρb = cuantía balanceada de acero para una viga simplemente reforzada.

1 = cuantía del acero a compresión.

5) Ρmax = 0.75 ρb+ ρ1´

Figura (1) Figura (2)

d-d´

As´fy

Asfy

C=0.85fc´ab


CASO EN EL QUE EL ACERO A COMPRESION SEA MENOR QUE fy

Fs´<Fy

Las ecuaciones deducidas anteriormente se aplican (1-3) al caso que Fs´ fluya a la

falla (Fs´= fy) para el caso de vigas anchas de poca altura o vigas con el esfuerzo del

hormigón sobre las barras de compresión mayor de lo usual o vigas con cantidades

relativamente pequeñas de refuerzos a tensión, el esfuerzo en la barras de

compresión está por debajo del esfuerzo de fluencia a la falla.

Del diagrama de deformaciones obtenemos Es´

EU.d´= C( -Es´)

Es´=

6) Es´=

Sumando fuerzas horizontales y considerando que tanto el acero de compresión con el

acero de tensión fluye a la falla como la ecu 6).

Es´= Ey

Y despejo C la posición del eje neutro.

-As´fy – 0.85 fc´ a-b +Asfy = 0

As fy = As´fy+ 0.85fc´β1. Cb

Dividiendo la ecuación para (bdfy) y remplazando la cuantía del primer miembro min

Ρbdfy = ´bdfy + 0.85 fc´ β1

7) obtengo min = 0.85 β1

´

=

=


Si la de acero a tensión < min el acero a compresión fluye a la falla esto significa

que el eje neutro se encuentra en fluencia.

8) Ρb = b + ´

Para evitar una falla frágil

Las ecuaciones 8) y 9) son las fórmulas generalizadas de las ecuaciones 4) y 5)

ENCUADRE

Mn= m1+m2 = As´ fy (d-d´) + (As-As´)(d-a/2)

a =

=

Para fs´<fy

Ρb = b + ´

Ρmax = 0.75 β + ´

Pmin = 0.85 β1

´

< min= el acero a compresión no se encuentra a fluencia.

Conocido la expresión para determinar la ρmin de acero en una viga con armadura

doble y al compararla con de acero de tensión de la viga que resulta ρ<ρminsignifica

que el acero a compresión no se encuentra en el límite de fluencia y tenemos que

desarrollar una ecuación en la cual se considere la posición real del eje neutro que se

encontrara un poco subido hacia las fibras de compresión. Esta ecuación la

obtenemos sumamos fuerzas horizontales y reemplazando el valor de εs’ obteniendo

relaciones triangulares semejantes del diagramas de deformación.

El valor de εs’ es reemplazado en la expresión f’s = εs’ Es

Para obtener la ecuación As.fy = 0.85 β1.f’c.b.c + As’.εs’.εu.[(c-α)/c](10)

Con la ecuación (10) obtengo “c” la profundidad del eje neutro con “c” obtengo “a” la

profundidad del bloque, finalmente.

mn = As’.f’s.(d-d’) + (As – As’).fy[d-(a/2)]

mn = Φmu Φ = 0.90


En este caso ρB = ρB+ ρ’.(fs’/fy) (8)

ρMAX= 0.75 ρB+ρB’ (f’s/fy) (9)

La fórmula (9) se debe verificar para asegurar una falla dúctil en la viga doblemente

reforzada.

EJEMPLO DE ANALISIS

Determinar el momento nominal y el de diseño para la viga mostrada en la figura

utilice un fc’ = 210 kg/cm2 ;fy = 4200 kg/cm2

La viga se analiza como doblemente reforzado.

ρMIN = para comprobar si fluye o no a la falla.

El acero a compresión si fluye a la falla.

Para comprobar la de la viga.

; La cuantía de acero a tensión es < que ρmax como debe de ser.

60 cm. .

35 cm. .

2Φ28mm.

4Φ36mm.

6 cm. .


[ ]

SEGUNDO METODO DE SOLUCION

Si tenemos la sección de la viga con armadura doble un acero As, actuando a un plazo

(d-d’). Entonces As y As1 no son iguales y un acero As2 distantes de la fibra exterior

entonces.

Si suponemos que el acero de tensión ha entrado en fluencia por lo que:

La posición del eje neutro será:

y

Si ε’ses mayor que εy (ε’s>εy) el acero de compresión se encuentra en fluencia.

Entonces

=

As

’

As

As

’

As =

As2


;

SOLUCION

El acero a compresión si fluye a la falla.

(

)

EJEMPLO Nº 2

Calcular el mn y mu de diseño para la viga mostrada en la figura. Utilice

f’c=280kg/cm2fy=4200kg/cm2

35 cm.

.

2Φ22mm.

4Φ32mm.

6 cm. .


La viga se analiza como doblemente reforzada

El acero en compresión no fluye a la falla

De la fórmula 10 obtengo “c”

(

)

(

)

(

)

Comprobado falla dúctil

; Si esto sucede se la analiza como viga doblemente reforzada.

Calculamos como viga doblemente reforzada.


Si como viga doblemente reforzada entonces fs=fy (está en

fluencia), lo contrario es decir lo que significa que f`s<fy (no

concurre a la falla).

Si la del acero a tensión es menor que la cuantía máxima como viga

simplemente reforzada, significa que la viga hay que analizarla como viga

doblemente reforzada. Luego hay que comprobar si el acero a compresión

fluye a la falla.

SEGUNDO METODO PARA f`s<fy

Calcular “a” suponiendo que f`s=fy; calculamos As1 y As donde As1= As’,

calculamos “c”.

Calcular mediante r

Comparar r si r El acero a compresión no se encuentra en fluencia y hay

que calcular un nuevo valor de As1 con la expresión

debemos tomar en

cuenta que F’s= .

Con este valor de As1 nuevo valor de “a”

y lógicamente nuevo valor de

“c”.

Con este valor de “c” obtengo

y obtengo con este valor de f’s que es

F’s= ; así sucesivamente hasta obtener en 2 iteraciones continuas un valor

parecido f’s.

EJEMPLO 1

{ }


2da Iteración

DISEÑO DE VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS

Si (cuantía de acero a tensión) , el acero a compresión no se encuentra en

fluencia.

Para diseño de vigas doblemente reforzadas seguimos el siguiente procedimiento:

d .

b .

As’

As

d .


1) Calcular el momento máximo que se puede resistir la viga a tensión

considerando que:

2) Si existe como calcular el exceso de momento que debe resistir la vida,

asumiendo que m2= movimiento nominal, calculado en el paso 1; entonces:

Y el acero a tensión del paso 1, le llamamos As2; Es decir el acero de tensión cuya

fuerza equilibra con las fuerzas producidas en el hormigón en comprensión entonces:

Agregar una cantidad de acero a tensión As1 = As de esta manera el área total del

acero a tensión:

Revisar la viga doblemente armada para establecer si el esfuerzo en las barras de

compresión es igual al de fluencia, esto es comparar la cuantía de acero a tensión con

.

Si la cuantía de acero a tensión es menor que la como viga doblemente

reforzada así como a esfuerzo en las barras de comprensión no está en fluencia y el

área de acero a comprensión debe aumentarse con el fin de proporcionar así la fuerza

necesaria:

La profundidad de bloque se la obtiene a partir del requisito de equilibrio

horizontal. Luego se obtiene la posición del eje neutro, entonces;

El área revisada de acero a comprensión que actúa a un esfuerzo igual “a tentativo”

(

)


El área de acero a tensión no necesita su revisado puesto que está trabajando a fy

como se supuso.

PROBLEMA 1

Diseñar una viga rectangular de 34.6 ton – m de carga muerta y 55.4 ton – m de carga

viva, un hormigón de 280y un acero de 4200 kg – m. las dimensiones más máximas

para la viga se muestran en la figura.

35 cm

(

)

(

)


Momento actuante de carga que producen cargas exteriores= mu

1)

2)

3)

Si el eje neutro está dentro del alma se requiere un análisis como viga "T" la figura N 5

muestra el caso en que la viga es "T"

Si a es menor o igual a hf (figura 4) la viga se la puede analizar como rectangular.

Si se supone tentativamente que la profundidad del bloque está en el ala a<hf


Si la profundidad del bloque excede el espesor del ala Fig. 5 se requiere un análisis de

viga "T".

Con fines computacionales dividimos el área de acero en dos partes, se supone que la

resistencia de la viga está controlada por la fluencia del acero fy. Esto va a ser casi

siempre el caso debido a la gran resistencia a compresión que presente al ala de la

viga. Si consideramos Asf. "El área de acero" que al estar sometido a un esfuerzo fy

se requiere para balancear los esfuerzos en compresión producidos en la ala sobre

salientes a uno y otro lado del alma tal como se muestra en la figura 6.

Si consideramos Asf "el área del acero" que al estar sometido a un esfuerzo en

compresión producidos en las alas sobre salientes a uno y otro lado del alma tal como

lo muestra la figura 6.

Esto genera un momento (mn1) más el esfuerzo que se produce en compresión

generado por parte de la viga y que se equilibra con el esfuerzo producido por las

barras restantes As-Asftrabajando a Fy esto produce un momento mn2 de tal forma

que el mn=mn1 + mn2 y el momento de diseño Φ mn = mu = Φ ( mn1 + mn2)

Formulación

Asf x Fy = 0.85 fc´ (b – bw) hf

(1)

Mn1=Asf x Fy (d – hf/2)(2)


Asw= As – Asf

(3)

(

)(4)

Para determinar el comportamiento de la viga, debemos calcular la cuantíamáxima;

esto se logra sumando fuerzas horizontales.

As Fy = 0.85 B1 fc´bw x C + As1 fy

Si consideramos que

Se recalca que las cuantías se las obtiene considerando la sección de la viga (neta).

Mediante un proceso adecuado obtenemos la ρwbde viga "T" mediante la expresión

(5) wb = 0.85 B1 fc´/ fy x 6000/6000+fy + f

Interpretando nos queda que para asegurar la falla dúctil

wb= b + f(6)

El códigoestablece que para asegurar una falla dúctil.

ρwbmax = 0.75(ρb+ ρf)(6)

ρb= es la cuantíabalanceada para una viga rectangular

ρf= es la cuantía de acero Asf

El código 10.5.1 establece que As proporcionado no debe ser menor que As min

As min= 0.79√ Fc´ w x d (En kg/cm2) ≥ 14/Fybw x d

Fy


Determinar la resistencia a diseño de la viga mostrada enla figura. F'c= 240

Kg/cmFy= 4200 kg -cm2

a= 5 356 cm

a <hf se realiza como viga rectangular

(

)

(

)

Mu=0.9 (88.98)=80.08 ton-m

ρmax = 0.75 ρb

ρmax =0.75 (0.0222619)= 0.016

ρ = 6(6.16)

60(155) ρ = 0.00397


ρ = <ρ(max)

min = 0.79√fc´

min = 0.79√220 ρ min= 0.002 7899

4200

ρ min <ρ

min= 14

fy

min = 0.0023 ρ min= 0.00333

4200

ρ min <ρ

SEGUNDO MÉTODO

1.Calcular T= As Fy

2.Obtener Ac= T/ 0.85 fc'

3.Si el bloque cae dentro del ala son aplicables las fórmulas para vigas rectangulares;

entonces:

Ac= a.b. a= Ac/b

4.El brazo de palanca: será: d - a/2

5.Mn=T( d- a/2)

6.Mu= Φ mn

Solución de problema 3 por método 2

1.T= (6.16 x E) (4200) = 155232

2.Ac = 155232/ 0.85 (220) = 830.12 cm2

A1= 155 x 11 = 1705 > Ac (830.12)

El eje neutro cae dentro del ala


ρ = As

d x b

3.

4.

5. T-m

6. T-m

En este método el comportamiento de la viga se lo obtiene revisando máx

para lo cual calcula más la posición del eje neutro asumiendo que la situación

balanceada respecto al hormigón y el acero. Luego obtiene más

obtenemos el área comprimida y como y para

asegurar una falla dúctil.

0.0021

0.003

C = T

c

d-c

628mm

11

19 x


PROBLEMA 4

Calcular la resistencia de diseño de la viga mostrada la figura utilice un f’c=240;

fy=4200kg/cm2

Se analiza como viga “T”

822mm

75 cm

35 cm

10 cm

75 cm


.m

(

)

SEGUNDO METODO

Se analiza como viga ”T”


CALCULO

10

27.5

35 cm

26.41 cm

75 cm

750

832 mm


DISEÑO DE VIGAS “T”

Para el diseño seguimos el procedimiento.

1) Determinar el espesor del ala con base en los requisitos de flexión de la losa.

2) Determinar el ancho efectivo del ala con base en los requerimientos del

capítulo 8 del código ACI 8-12-2-8-12-3; 8-12-4.

3) Seleccionar el ancho del alma (con base ) y peralte efectivo con base en :

a) Requiere una flexión negativa en los apoyos si se trata de una viga “T”

continua.

b) Requiere de cortantes estableciendo el límite superior razonable en el

esfuerzo unitario de cortante en el alma de la viga.

4) Calcular el valor tentativo de acero de tensión suponiendo que la profundidad

del bloque no exceda el espesor del ala utilizando para el efectivo a las

fórmulas de vigas rectangulares.

5) Para el área “las tentativas” verificar la profundidad del bloque “a” para

asegurar que este no exceda hfutilizando las fórmulas para vigas “T”.

6) Revisar la cuantía máxima para confirmar que no exceda la cuantía de acero a

tensión de la viga“

7) Revisar para confirmar que “ esto va hacer casisiempre

invariable.

PROCEDIMIENTO ALTERNATIVO DE DISEÑO

Si el eje neutro queda en el ama se utiliza un procedimiento de tanteos para

diseño, en este proceso se estima que un brazo de palanca / medida al centro del

bloque de compresión hasta el control de acero a tensión) se cree que es igual al

mayor de

Y con esto se calcula un área de prueba de acero igual

Luego con el procedimiento aplicado en ejemplos anteriores se realiza el valor

estimado de Z.


Si se tiene mucha diferencia el valor estimado de Z se revisa y luego se obtiene un

nuevo valor del área de acero.

El proceso se repite hasta que los valores de As consecutivas sean parecidas.

EJEMPLO 3

Diseñar una viga “T” para el sistema de pisos mostrado en la figura para un

momento de carga muerta de y momento de carga viva de y

un hormigón de Y una luz de .

1) Ancho del ala

1´) L/4=6/4=1.5

2´) 16hf+bw=16(10)+30=1.9

3´) 3m

2) Mu=1.2 (7)+1.6 (17.5)+30=36.4 ton-m

Supongo a=10=Hf

3)

4)

´ 𝐛

30 cm 30 cm 30 cm

3 m 3 m

10cm

45 cm

1.5 m


5)

´

𝐛

𝐛 𝐛

√

√

No menor a 14/4200

2 Ø 25mm

2Ø 28mm

a<hf (10) en consecuencia la profundidad del bloque está dentro del ala


Nuevo Z

SEGUNDA ITERACION


b

a

bw

hf

hf-a

Revisión de

En este método para determinar á se obtiene un acero de tensión máxima (Tmáx)

suponiendo una posición balanceada del eje neutro.

C

C-d

KgTreal 92904420016.629.42

125.298828.92904 TmáxT ok

Deducción de la Fórmula para determinar la cantidad máxima de acero a

tensión “As m x.”

CB (Prof. Eje neutro balanceado) aafy

x

fy

a5.0

6000

6000

102003.0

003.0

6

BB TC bwhfahfbcFFuerzaCB '85.0

a=0.85*26.47=22.5

Ac=10*150+22.5-10*30

Ac=1875

Cb=0.85fc´ Ac

Cb=0.85*250*1875

Cb=398437.5

125.2988285.39843775.0 Tmáx


d

a

bwbwbw

y

BB

F

TAs As máx 0.75 AsB

Para f’c=250 y fy= 4200

hfabbwhfbf

C

f

TdbAmáxA

y

B

y

BSS

4200

25075.085.075.075.075.0

.5.0038.0 hfdbwhfbmáxAS

2712510455.03010150038.0 cmAs

OK

PROBLEMA

Diseñar una viga T para el sistema de pisos mostrada en la figura para el ancho

del alma y peralte efectivo donde los momentos flectores MD=36 y ML= 60,

utilice un hormigón f´c= 250 y un acero de fy= 4200 y una luz de 5.5 m.

Ancho del alma

1) 5.5/4 = 1.40 m

2) 16(8) + 40 = 1.68

3) 1.8

MU = (36x1.2) + (60x1.6) = 139.2

37.60

2

865)4200(9.0

139200

As

299250420025.71 Tmáx


0062.014065

37.60

x

hfa

Se diseña como viga “T ”

fy

hfbwbcfAsf

)(´85.0

48.404200

8)40140)(250(85.0

Asf

21

hfdfyAsfMn

mTonMnMu

Mn .96.5071.1039.0

2.13922

Asumiendo a = 12

)2

(

2

adfy

MnAsfAs

56.2012

654200

5096000

a

AsfAs

)40)(250(85.0

)4200(26.20

´85.0

)(

bwcf

fyAsfAsa

52.8)250(95.0

65)4200(00663.0a

..103709762

465)4200(48.401 cmkgMn


10 o 28mm

16.10a

Asumiendo a = 10 (2da iteración)

22.2010

654200

5096000

a

AsfAs

1099.9)40)(250(85.0

)4200(22.20a

22.20 AsfAs

7.6022.2048.40 As

)(75.0 fBwmáx

03065.0)01557.002530.0(75.0 máxw

00663.035140

75.60

x

01557.04065

48.40

x

máxw OK

SEGUNDO MÉTODO

)5.0(038.0 hfdbwhfbAsmáx

61465

5.58)65(9.0

z

z


b

8

40

hf

hf-a

1120

732

20.1193)858250.0

)4200(37.60

37.60)9.0)(61(4200

102.139 5

Ac

As

ac> A1(1120) entonces A2=1193.20-1120=73.2

NUEVO Z

83.140

2.73n

a=1.83+8=9.83

y(1193.20)=1220(4)+73.2(8+1.83/2)

y= 4.30

NUEVO Z

Z= 65-4.3=60.7

OK

8655.0408140038.0 Asmáx

8.79Asmáx

T <Tmáx OK

74.602

52.865 z

67.60)7.60)(4200(9.0

1067.154 5

As

KgT

KgTmáx

594.2584200104

)8.2(

335160)4200(8.79

2


ANALISIS Y DISEÑO A ESFUERZO CORTANTE

Si se va a diseñar una estructura de hormigón armado debe dársele ductilidad

suficiente para el elemento así diseñado. La ventaja es que estos elementos dan aviso

en la falla lo contrario de los elementos que fallan por compresión cuya falla es frágil.

De lo expuesto el código exige aplicar factores de reducción de respuesta menores

para cortantes que para flexión 0.75 para cortante y 0.9 para flexión

CORTANTES EN VIGAS DE HORMIGON ARMADO

El estado de esfuerzo puro no existe en el elemento de hormigón armado. El hormigón

fallara por tensión antes de que falle por cortante, la viga simplemente apoyada de la

fig 1 de luz=1 es de hormigón armado. Tal como se aprecia si extraemos un elemento

en el eje neutro, este elemento está sometido a fuerzas cortantes puras (el cortante

horizontal es igual al cortante vertical). El elemento de fuerza de compresión y tensión

además de las fuerzas verticales y horizontales para el caso del elemento uno, si la

rotamos va a existir fuerzas de cortantes de compresión y tensión que forman un

ángulo de 45˚. Para el caso del elemento si componemos la fuerza tenemos como

resultado.


La combinación de fuerzas cortantes con flexión dan como resultado los esfuerzos de

tensión diagonal. Que se puede obtener mediante la expresión

T=

√

Estos esfuerzos de tensión diagonal forman un ángulo con el eje neutro que se

obtiene mediante la expresión.

ejeneutroTg 2 =

V= Es el esfuerzo cortante que se obtiene con v=

F= Es el esfuerzo a flexión que se obtiene f=

“v” también se lo obtiene como

vigas elásticas homogéneas

RESISTENCIA DEL HORMIGON AL CORTANTE.

Los procesos de diseño a cortante en vigas de hormigón armado se basan en

resultados obtenidos en pruebas de laboratorio se aclara que

se lo conoce como

esfuerzo promedio que es diferente al esfuerzo de tensión diagonal.

El código ACI presenta fórmulas para evaluar la fuerza cortante tal como la

fórmula11.3; Vc= ø 0.53 √ bwn

Vc= contribución del hormigón cortante; ø= 0.75

El código establece que el cortante nominal es igual a la contribución del refuerzo

transversal Vs= estribo

Consta de dos partes:

Existen elementos continuos o hiperestáticos la zona de grietas el momento flector y

pequeños esfuerzos cortantes y zona de momentos flectores y grietas de fuerza

cortante.


GRIETAS INICIALES

POR FLEXION O

POR CORTANTE

TENSION DIAGONAL

GRIETAS

SECUNDARIAS POR

FLEXION

Se ha investigado que para grandes momentos flectores y pequeños esfuerzos

cortantes √ y para el caso de grandes fuerzas cortantes

√ .

Alternadamente el código ACI presento la fórmula 11.5 para determinar la contribución

del al cortante:

(

) √ (11.5)

En la fórmula 11.5 se evidencia lo siguiente:

a) La presencia del acero a tensión si contribuye a aumentar la resistencia al

cortante de hormigón pero no significativamente vu y muson resistencia

requeridas que se corresponden

La aplicación de la fórmula 11.5 del código ACI se justifica para El caso de tener un

número considerable de viga.

De acuerdo con el código

Si las grietas se mantienen estrechas se aumenta la contribución al cortante. Por lo

tanto aumentara la resistencia al cortante por friccion, para el caso de hormigones

ligeros la contribución del hormigón es √

ʎ = 0.85 para hormigón ligero de arena

ʎ = 0.75 para hormigón de peso ligero

ʎ = 1 para hormigón normal

AGRIETAMIENTO POR CORTANTE EN VIGA DE HORMIGON ARMADO

Vd

C

Vcy Z

Viy

Vi


REFUERZO POR CORTANTE

Cosiste en estribos transversales tal como se muestra en la figura por zonas de alto

riesgo sísmico se recomienda estribos en u

La figura N°8 presenta la proyección de una grieta por cortante de acuerdo con el

principio de estructuras

En la figura N°8 se evidencia que ; y el cortante interno es la suma de los

cortantes verticales que se producen en la grieta

Vcy= Componente inicial en la parte inferior

Viy= Componente inicial al cortante que sigue la dirección de las grieta

Vd= es la acción del pasador

COMPORTAMIENTO DE VIGAS CON REFUERZO EN EL ALMA

(ESTRIBOS)

Una teoría sobre el comportamiento de estos elementos es la llamada analogía de la

armadura, según esta teoría la viga con refuerzo a cortante se comporta como una

armadura isostática de acuerdos paralelos a los nudos articulados.

El hormigón en la zona de compresión se identifica con la cuerda superior y el acero a

tensión se identifica con la cuerda inferior.

REFUERZO A

CORTANTE

6db


El alma de la armadura está constituida por los estribos actuando a tensión diagonal a

45° como miembros diagonales de compresión.

El estribo usado es similar en su acción a la celosía de una armadura. El estribo actúa

una vez que se forma la grieta diagonal incrementando la resistencia a cortante.

El Capítulo11.4.6 que debe colarse una armadura mínima por refuerzo al cortante

Av(min) en todo elemento de hormigón armado sometido a flexión donde

Las barras dobladas hacia arriba a 45° constituyen otro tipo de refuerzo del alma

satisfactorio. El problema es que muy pocas barras se doblan de esa forma en la viga

y puede no estar situada para usarse como estribos el código 11.4.2 establece que fyy

fyt

11.4.2.- fyy fytdebe ser menor o igual que 4200 kg/cm2 o 420 mpa

El estribo mantiene junto el hormigón en ambos lados de las grietas

importantes que se separan obteniendo así los siguientes beneficios el refuerzo

de acero que pasa la grieta toma el cortante directamente

Confinar el núcleo de hormigón incrementando la resistencia y ductilidad de la

viga

Al mantenerse unido en ambos lados de la grieta ayuda a impedir que los

grietas se muevan a la zona de compresión

NOTA:El acero que se utiliza es de 5280

DISEÑO A CORTANTE

Como se explicó anteriormente el cortante nominal resulta de la contribución del

refuerzo transversal (Vc+ Vs), Vcya ha sido evaluado anteriormente en la fórmula 11.3

y formula 11.5 para evaluar Vs nos referimos a la figura 11.9

Vs= cortante vertical

Es decir n representa al número de estribos que atraviesan la grieta diagonal.


Si consideramos que apropiadamente que las proyecciones de las grietas diagonales

es igual al peralte efectivo “d” esta con el numero “n”; n=d/s si reemplazamos este

valor

Av= área de la barra de estribos (por dos porque están cerrados)

Fyt= Es el límite de fluencia usada como estribo

S= separación de estribos

ENCUADRE: ANALISIS Y DISEÑO A LA FUERZA CORTANTE EN VIGAS

Vu= Fuerza cortante requerida por las cargas externas

Vu ≤ Ф Vn ; Ф Vn ≥ Vu

ФVn= Resistencia disponible o de diseño

ФVn= Ф Ve + Ф Vs

ФVc= Contribución de hierro de diseño (11.3 ; 11.5)

11.3 Vc= 0.53 F´cbw .d

11.5 (√ ´

) √

La fórmula 11.17 sirve para obtener la Resistencia cortante de una barra doblada que

todas estén equidistantes de las apoyadas.

11.17 Vs= As fySenα.

La fórmula 11.16; se la emplea para evaluar la contribución del estribo al cortante para

el caso de estribo inclinado como se muestra en la figura.

(

)


RESUMEN: Regiones donde es necesario refuerzo por cortante cuando Vu> ½ Ф

VcSe requieren estribos en la viga.

1.- Obtenga la resistencia requerida Vu (La producida por las cargas exteriores) y

dibuje el diagrama de cortante

2.- Calculé el Vu a una distancia “d” de la cara del apoyo que es cortante crítico.

3.- Calcule la contribución del hormigón al cortante del diseño Ф Vc utilizando ya sea

las formulas 11.3 u 11.5.

4.- Superpongan la garantía ФVc con Vu y determine gráficamente el punto hasta

donde necesitamos armar a la fuerza cortante.

5.- Necesitamos estribos cuando Vu es mayor al 50% de ФVc.

Una viga rectangular de 7m de luz simplemente apoyada con una carga muerta

nominal de 4.5 ton/m y una carga viva de 4.63 ton/m si se ha utilizado un hormigón de

240 kg-cm2 y un acero de Fy= 4200 kg/cm2. ¿Qué parte de la viga requiere refuerzo

en el alma?

Wv =4.63 Wd=4.5

A B

7m

DESRROLLO:

Wu = 1.2 (Wd) + 1.6 (Wv) Wu= 1.2 (4.5) + 1.6 (4.63)

Wu= 12.8

12.8 ton

Vu Mu

44.8

Ra= [12-8 (7)/2] = 44.8

(Mu-44.8x + 12.8 x²)/2 = 0

Mu = 44.8x – 6.4 x² Para x=3.5

Mu = 44.8(3.5)- 6.4(3.5)² Mu= 78.4


CORTANTE A B

-Vu + 44.8 – 12.8x = 0

Vu= 44.8-12.8x

Para x=0 44.8 78.4

O

Vu= 44.8 – 12.8(0) 44.8

Vu= 44.8

Mu = Ф R b d² ρmax= 0.5 ρb

Ρ max= 0.5 (0.02125) ρ max= 0.010625

Leo R= 39.1 Kg/cm².

7840000 = 0.9 (39.1) bd² bd²= 222791

As= 0.010625 (40) (75) As = 31.9 cm²

b d 4Ф 25 cm² 31cm²

40 75 3 Ф 22 cm²

ФVc = 0.75 ( 0.53 210 )(40)(75).

ФVc = 17.3 ρw= 31 / (40x75) = 0.01033


45

40

35

30

25

20

15

10

5

0 1 2 3 . 4

Formula 11.5 ACI.

(√

) √

PUNTO 1 2

3 4

Distancia desde Apoyo izq. (m)

0.75 1 1.5 2

Vu (ton) 35.2 32 25.6 19.2

Mu (ton-m) 30 38.4 52.8 64

0.5 F´c

(kg-cm²)

7.25 7.25 7.25 7.25

ρw 0.01033 0.01033 0.01033 0.01033

(176ρw Vu d) mu

1.59 1.14 0.66 0.41

Vc (ton) 26.55 25.17 23.73 22.98

Ф Vc (ton)

19.89 18.88 17.79 17.24

2.15

2.15

17.3

2.15

V requerido

2.15

ACI 11.3

2.15


Utilizando las formulas 11.3 se necesitan armar a la fuerza cortante desde el apoyo A,

con estribos cuya separación sea menor a D/2 desde el apoyo hasta el punto igual a

2.26 m, no se necesita estribos desde 2.75 m del apoyo 4.25.

Determine Ф Vc desde el punto de vista del cortante en el alma, y Vu= 20 ton, Fć=

280. Utilice la fórmula 11.3.

El código ACI del 2008; 11.4.6.1 indica que debe colocarse un área mínima de

refuerzo Au mínimo.

En todo elemento de Hº Aº a la flexión el cortante mínimo Vu= 50% supere del

cortante por hormigón del cortante de diseño.

11.3 Vc= 0.53 Fćbw .d

2000 = 0.5 (0.75) 280 bw.d

bw.d= 31878 cm²

bw d b

40 80

45 70 75

En que parte de la viga mostrada en la fig. requieren refuerzo en el alma. Vu= 20 ton;

Fć= 210 ton.

a) Vu= 5.8 ton.

b) Vu= 25 ton.


Øvc = 0.53 (0.75 √ (60) (35)

Øvc = 12.1 ton > 5.8 ton

0.5 Øvc = 6.05 ton > 5.8 ton 02 no se req. Refuerzo

0.5 Øvc = 6.05 < 20 ton

Se requiere refuerzo en el alma

0.5 Øvc = 6.05 < 25 ton

En que parte de la viga en la figura requiere referencia en el alma utilice un fc' = 240,

fy = 4200; wd = 6ton – m2 ,wv = 9ton – m2.

wd = 6 ton

wL = 9 ton

Vu = 2.25 (1.2x6 +1.6 x 9) = 48.6 ton

Mu =

wL2

Mu=

= 54 ton-m

Pmax = 0.5 (0.02429)→Pmax = 0.012145 Leo R = 44.41

Mu = ØRbd2 →5467000 = 0.9 (44.41) bd2

OOO

35

60

8

30 cm

4.5 m

30 cm


Bd2 =

= 136781

As = 0.012145 (35) (659) = 27.63

4 Ø30mm → 28.27

Pw=

= 52 .50

Considerando dos puntos

Un punto a 0.65m del apoyo

Segundo punto a 1.5m

50

40

30

20

10

1 2 3

b d

70

35

44

65

35

65

Vu=16.2

Vu=34.56

0.65

1.8


=

→y = 14.03

Vu = 48.6 - 14.04 = 34.56

=

→ Y = 32.4

Vu2 = 16.2

El momento flector a cualquier punto es igual al área bajo la curva de cortante.

Mud = (

) x 0.65 =27.03 ton

Mud2= (

) x 0.65 =0 48.6 ton

Mmax=48.6 (

) = 54.67 ton

ØVcd1 = 0.75 (0.5) √ + 176 (0.01243)

(65 x 35)

ØVcd1 = 16318.74 → ØVcd1 = 16.3 ton

ØVcd2 = 0.75 (0.5) √ + 176 (0.01243)

(65 x 35)

ØVcd2 = 14.03 ton

DISEÑO DEL HORMIGÓN ARMADO A LA FUERZA CORTANTE

Vu = ØVc + ØVs(I)

ØVc = Contribución del hormigón a la fuerza cortante de diseño

Ø = coeficiente de reducción de la respuesta para cortante

Ø = 0.75

ØVs = contribución del refuerzo transversal a cortante de diseño

ØVc = se lo obtiene con las formulas 11.3 y 11.5 del código ACI


ØVs=

Av = Área de la barra útil como estribo multiplicado por dos (ya que se trata de un

estribo cerrado)

Fyt = esfuerzo de la fluencia de estribo

d = peralte efectivo

S = separación entre estribos

Consideramos la figura 1

Un diagrama de fuerza cortante requerido obtenido mediante un análisis estructural.

En el que se ha superpuesto la contribución del h0 a la fuerza cortante 11 – 3 y a la

contribución del hormigón a la fuerza cortante Øvc → 11 – 5

De acuerdo con

la fórmula I

ØVs = Vu -

ØVc estos

valores se los

representa en el

diagrama de la

figura 1 que

resulta ser las

ordenadas


Esta fórmula posee 2 variables Av y S para resolver el algoritmo anterior precedemos

así:

-suponemos el diagrama de la barra utilizando como estribo con lo cual conocemos Av

y despejamos S(separación) de estribos

-Suponemos una separación de estribos S respetando la disposición del código ACI

que tiene al respecto. De todo el criterio para suponer S debe estar basado

estrictamente en la norma ACI.

-EL programa Sap 2000 al solicitarle realizar que realice el diagrama a cortante da

como resultado un numero un numero decimal que representa la relación

; es decir

DISEÑO DE ESTRIBOS

Una vez obtenido Vs:

1.) Determine la separación máxima para proporcionar una área mínima de

refuerzo por cortante de acuerdo con el capitulo 11 numeral 4.6.3 (11.1.6.3)

√

o

2.) Calcule la separación máxima

30 cm para el caso en que Vs> 1,06 √ bw.

d; refiérase al capítulo 11#11.4.5.3 del código ACI.

3.) Calcule la separación máxima

60 cm para el caso en que Vs 1,06 √ bw.

d refiérase al capítulo 11 #11.4.5.2

4.) Vs debe ser mayor que 2.16 √ bwd; refiérasecapitulo 11 #11.4.7.9 ( de

suceder esto hay que aumentar la sección de la viga

* La separación práctica mínima es de 7 a 10 cm


EJEMPLO

Diseñar los estribos de la viga isostática de la figura de luz 7,2 y Wo=3 ton-m,

Wv= 1,81 ton-m, F’c= 240 ,fyt=fy= 4200

Para obtener los cortantes y momentos requeridos para las cargas podemos hacerlo a

3 formas distintas

1.) Aplicando el método de las secciones y obteniendo los algoritmos para

momento Mu y para cortante Vu.

2.) Aplicando solamente el algoritmo de cortante; dibujando el cortante requerido

Vu. Luego aplica el teorema de estructuras para obtener Mu; que dice que el

momento Mu en cualquier punto de la viga es exactamente igual al área del

diagrama del cortante

3.) Aplicando el método de las secciones por separado, una para cargas uniformes

distribuidas y otro para cargas puntuales. Luego sumar los efectos para

cortante Vu y Mu producidos por la carga uniforme distribuida y cargas

puntuales

DESARROLLO

Wv= (1,2 x 3) + (1,6 x 1,81) = 6,5

0 x 1.8

Vu-28.4+6.5x=0

Vu= -6.5x+28.4


1.8 x 5.4

Vu-28.4+6.5x+5=0

Vu= 23.4 – 6.5 x

Mu= Rbd2

2

Bd2 = 128637.75

b d

35 60


PB= (0.85)2 x

x

= 0.02428

max = 0.5 B

max = 0.5 (0.02428) = 0.1214

Leo R = 44.155

As= 25.49

0.1216

- CON LAS ECUACIONES

Vud= 28.4 – 6.5 (60) = 24.3 ton

Vu(1) = 28.4 – 6.5 (1) = 21.9


-MEDIANTE FORMULA 11.5

√

√

√


Para comprobar.

√

√

√

Solución:

Utilizar un estribo de 10 mm separado 30 cm el primer estribo debe colocarse a 5 cm

del apoyo. Esta solución rige para toda l luz de la viga.

Área para sostener los estribos

2 Φ 22mm

5cm

30cm 30cm 3Φ28mm

1Φ20mm


Wd= 3 ton/m

Wv= 1.81 ton/m

2 Φ 22mm

1.80 m

3.60m 1.80m

8Φmm@20cm 8Φmm@30cm

1.80m 1.80m

5ton 5ton

7.20m

34.83

1.80m 1.80m

5ton 5ton

28.40 28.40

34.83


0 ≤ x ≤ 1.8

Vu – 28.4 + 6.5x = 0

Vu = 28.4 – 6.5

1.8 ≤ x ≤ 5.4

Vu + 5- 28.4 + 6.5x = 0

Vu = 28.4 – 6.5x -5

Vu = 23.4 – 6.5x

34.8

3

x

28.4

Mu

Wu=6.5

Vu

x

5ton

28.40

1.8


28.4

24.5 21.9

11.7

16.7

0 0

5

10

15

20

25

30

35

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

DIAGRAMA DE CORTANTE

34.83

18.96

9.86

-5.76

-16.29

-20

-10

0

10

20

30

40

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

DIAGRAMA DE MOMENTOS


Momento de Empotramiento.

max= 0,01214 b=0,02429 R=44,155 kg

b d h

30 55 60

Diseñar para los siguientes puntos.

1) d= 0,55m

2) d=1m

3) d=1,8m

calculo de ΦVc utilizando:

1) Formula 11,3

2) Formula 11,5}

ΦVc=0,75x 0,53x √ x (55 x 30)

ΦVc= 10,2

Calculo de estribo a “d” de la cara del estribo.

Vs1=28,4 – (6,5 x 0,55) = 24,825

Si d = 8mm

Calculo de estribo a d = 100cm

Vs1= 21,9 – 10,2 = 11,7

Vs1= 15,60


Si Φ 8 mm s = 26,93 = 27

Vs= 1,06 x √ x 30 x 55 = 27,095 ton.

De acuerdo con la norma AC 11.4.52, Vs = a “d” de la cara del apoyo nos dio

19,5 ton y Vs con la formula sugerida nos dio 27,1 ton entonces el cortante

requerido es menor que el de la formula y la separación sugerida

Debe ser igual o menor que d/2 es decir ≤ 22,5. Como la separación de cálculo

fue 12 cm, esta es la que rige para el diseño.


DESICIÓN PARA DISEÑO A CORTANTE

Leo en la tabla valor de ρ= 0,005

(

)

( √ (

))

Asumo φ 8mm donde Av = 1cm2


Calculo estribo d= 1m

( √ (

))

Asumo φ 8mm donde Av = 1cm2


ADHERENCIA, LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES

Las vigas de hormigón armado son elementos prismáticos en los cuales al momento

flector varia con respecto a las cargas y a lo largo de la luz para diseño a flexión se

utiliza siempre el momento máximo.

El momento máximo está relacionado con los esfuerzos de adherencia y estos a su

vez con el área de acero de las barras. Los momentos flectores guardan una relación

directa con el área de acero pero también varían con la profundidad del bloque de

esfuerzos. Recordemos que:

(

)

(

)

Las dos expresiones afirman el comentario que hemos realizado. Es posible cortar

varillas o barras en lugares donde los momentos flectores disminuyan

apreciablemente.

Consideremos a la viga de la figura cargada con carga W

Para obtener la longitud de las varillas cortadas podemos utilizar formulas empiricas,

puesto que el diagrama de momentos es parabolico:

(

)


(

)

Los puntos teóricos de corte los podemos obtener mediante un análisis adecuado de

la viga.

Ejemplo 5.1

Determinar los puntos teóricos de corte en cada extremos de la viga donde pueden

cortarse dos barras y luego determine los puntos donde 2 varillas mas pueden

cortarse.

Leo R= 44,61kg/cm2

As= 40,97cm2


PUNTO TEORICOS DE CORTE

Si se cortan 2 varillas entonces:

As(restante) = 7,07(4) = 28,28cm2

a=

Mu (para corte de dos barras) = 0,9Asfy(d-a/2)

Mu= 0,9(28,28)(4200)(75-6,47) = 73,26ton-m

Para corte de dos barras más

Mu= 0,9(14,14)(4200)(75-3,24) = 38,36ton-m

Calculo de la ecuación de momentos


Reemplazando momentos para encontrar distancias:

ok

ok

Con formulas empíricas:

(

)

(

)

Corte de barras utilizando valores teóricos

Longitud de las dos primeras barras cortadas= 10-(2(2.41))=5.18m.

Longitud de las dos siguientes barras cortadas = 10-(2(1.07))= 7.86m.


Corte de barras utilizando formulas empíricas

Longitud de las 2 primeras barras cortadas= 2.9+2.9=5.8m.

Longitud de las 2 segundas barras cortadas= 4.8+4.80 8.16m.

Se concluye que la utilización de las formulas empíricas de excelente resultado

para el corte de barras a flexión.

ESFUERZOS DE ADHERENCIA

Uno de los supuestos en la mecánica del hormigón armado indica que las

deformaciones producidas en una barra redonda de hormigón es la de la misma

magnitud que la del hormigón circundante. Si las barras no se encuentran ancladas en

sus extremos estas se desprenden del hormigón y el elemento estará expuesto a un

colapso repentino.

Los esfuerzos de adherencia cambian los momentos de la viga los esfuerzos de

adherencia son fuertemente afectados por el desarrollo de grietas a tensión en el

hormigón. La corrugación en las barras se lo hizo para que además de la adhesión y la

fricción hubiera una resistencia debido al apoyo del hormigón en las corrugaciones a

más de la llamada resistencia- fricción –cortante, entre las citadas corrugaciones.

Si los esfuerzos de adherencia a una viga llegan a ser muy grandes el hormigón

alrededor de las barras se separa y a la larga la separación se extiende hasta el fondo

y las paredes de la viga si cualquiera de este tipo de separación llega al extremo de la

barra, la barra se desplazara y la viga fallara. Cuantomás cerca se encuentre las

barras y menos sea el recubrimiento más delgado será el cilindro del hormigón

alrededor de cada barra y la falla debido a la ruptura de adherencia se producirá.

Separación en barras


a) recubrimiento lateras y media separación libre de barras ≤ al recubrimiento del

fondo

b) recubrimiento en los lados y en el fondo ≤ media separación libre de barras.

c) recubrimiento en el fondo ≤ el recubrimiento lateral y ≤ media separación libre

entre barras.

grietas

grietas


LONGITUD DE ANCLAJE PARA REFUERZO A TENSIÓN

La figura Nº 4(a) presenta una viga en cantiléver con acero a tensión (acero superior)

no presenta ningún anclaje dichas barras, pensando en que caso el diagrama de

momentos es nulo asea cero en un punto que se encuentra en la parte inferior de la

columna, fuera de la cara del apoyo.

En la figura Nº 4 (b) las barras del hecho superior entran al apoyo con una longitud

igual a ld; a esa longitud se la conoce como longitud de desarrollo, se llama ld a la

longitud mínimade empotramiento de una Barra que es necesaria para que trabaje a

su esfuerzo de fluencia más cierta distancia adicional que garantice la tenacidad del

mismo.

La longitud de anclaje usadas para barras o alambre corrugado no deben ser

menores que los valores calculados por la fórmula12.1del código A.C.I ni menor que

30 cm.

La ecuación 12.1 proporciona los valores de longitud de desarrollo en términos de

longitud de barras. Así la respuesta se la puede expresar en términos de 30db, 4db,

etc.

Ψt= factor que tiene en cuenta la localización del refuerzo

ΨE=recubrimiento del esfuerzo

p p

ld

ʎ√


ΨS=tamaño del esfuerzo

ʎ = factor que toma en cuenta las propiedades mecánicas producidas por el hormigón

de peso liviano relativo a los hormigones de peso normal de igual resistencia.

𝐛

𝐛 Factor del refuerzo transversal y toma en cuenta el recubrimiento del

hormigón a la separación libre entre barras si estos valores son pequeños el

hormigón puede agrietarse.

Cb=representa la menor de las distancias ya sea lo del centro de la barra a la

separación más cercana del hormigón o media separación entre centros de

barras.

Cb

Ktr=Selo llama índice de refuerzo transversal, tomo en cuenta la contribución de los

estribos atreves de los posibles planos de grietas.

El termino 𝐛

𝐛 no debe ser mayor que 2.5

El índice de refuerzo transversal puede hacerlo igual a 0 (Ktr) para simplificar los

cálculos aun cuando exista refuerzo transversal.

Elcódigo A.C.I. 12.2.4 indica que los factores a usar para determinar el factor de

desarrollo longitudinal los siguientes:

a) cuando el refuerzo del hormigón se colocan más de 300mm debajo de la

longitud de desarrollo a un empalme, Ψt =1.3 en otras situaciones Ψt =1.

b) las barras o alambre con recubrimiento epóxicocon menos de 3db de

recubrimiento o (superior) separación libre menor a 6db ΨE =1.5; para todas las

barras o alambre con recubrimiento epóxicoΨE =1.5;refuerzo sin recubrimiento

s/2

b

a

a

b

s/2


y refuerzo (con) recubrimiento con zinc galvanizado ΨE =1 no obstante el

productoΨE x Ψt no necesita ser ≥ 1.7.

c) para barras de 18mm y menores alambres corrugados Ψs =0.8 para barras de

22mm y mayores Ψs =1.

d) donde se usa hormigón liviano ʎ no debe exceder de 0.75 a menos que se

especifíquela verdadera resistencia o del hormigón .Donde se usa el hormigón

de peso normal ʎ =1

EJEMPLO 5.2

Determine la longitud para el desarrollo para las barras no recubiertas tal como

se muestran en la figura.

Interpretando el Artículo 12.2.4.

Ψt = 1; para barras de fondo

ΨE = 1; para barras no recubiertas.

Ψs = 1; para barras de 25mm.

a) suponiendo Ktr =0

b) usando el valor de Ktr de la

solución mediante el Art

12.2.4 del código A.C.I.

3Ø25mm

ʎ


ʎ = 1; para hormigón de peso normal.

Cb =7cm; recubrimiento libre de barras.

oCb≥ 3.75; media separación con cada barra.

√

b) Ktr= Índice de refuerzo transversal

Atr= área total de la barra de estribo mm2

S= separación (mm)

n= número de barras de empalme

Hay 2 especificaciones adicionales del código ACI

12.1.2 Los valores de √ usados en este capítulo no deben exceder a 8,3 MPa.

12.2.5. Refuerzo en exceso, se permite reducir la longitud de desarrollo cuando el

refuerzo es un elemento sometido a flexión excede el requerido análisis, excepto

cuando se requiere específicamente anclaje o desarrollo por el refuerzo de fluencia del

refuerzo sea diseñado por el capítulo 21 numerales 2.1.1


Si se usa un recubrimiento mínimo igual a db o una separación mínima libre entre

barras de 2db separación libre entre barras igual a 1db, junto con el mínimo de

estribos puede usarse las expresiones de la tabla 12.2.2 de otra manera aplicar la

ecuación 12.1 del reglamento.

UTILIZACIÓN TABLA 12.2.2 Y CONSIDERANDO HORMIGÓN DE PESO NORMAL

Espaciamiento y

recubrimiento

Barras #18 0 < y alambres

corrugados Barras # 22 mm y mayores

√

√

√

√

EJEMPLO 5.3

Las barras de 22 mm inferiores, mostradas en las figuras están recubiertas con

epóxido, suponiendo que el hormigón es de peso normal y ha utilizado un

hormigón de 240 y un acero de 4200 determine la longitud de desarrollo

requerido.

a) Utilizando las ecuaciones simplificadas de la tabla 12.2.2

b) Utilizando la ecuación completa de 12.1, con el valor de Ktr calculado

c) Utilizando la ecuación 12.1 con Ktr= 0

a)

= 1

Cb= 7 cm o

Cb = 0,5(8) = 4 cm O.K.

√


b)

√

Las respuestas indican que aplicando la ecuación 12.1 completamente hay un ahorro

apreciable cuando la longitud de desarrollo para empalmarse por traslape.

D Real

36.8

B

C

A

87 61 87

1.48

2.35

PLANTA


EJEMPLO 5.4

El área de acero requerida para la viga de peso ligero de la figura es de 18cm2,

las barras superiores de 25mm mostradas no están recubiertas. Calcule sus

longitudes de desarrollo si fy=4200 y f’c=240

a) Por medio de las ecuaciones simplificadas

b) Usando la ecuación completa 12.1

c) Aplicando la ecuación completa 12.1 con kte=0

7 10.3 10.3 10.3 7

Ø20mm @ 20cm 7

58 65

√

√

𝐛

4 Ø 25mm

As proporcionado 19.60cm2


Cuando Asreq Asprop

REDUCIDO

𝐛

REDUCCION DE ACERO EN EXCESO

√

REDUCCION

CON Ktr=0

𝐛

𝐛

√

Reduciendo -----------˃


LONGITUD DE ANCLAJE PARA PAQUETES DE BARRAS

De acuerdo con la norma ACI 12, 4,1 para paquetes de barras sea a tracción o

compresión a longitud de desarrollo debe ser aquella de la barra individual aumentada

en un 20% para paquete de 3 barras y un 33% para paquetes de 4 barras

EJERCICIO 5.5

Calcular Ld para las barrasen racimo no recubiertas mostradas en la figura utilice

un acero de Fy= 4200 Kg/cm2 y un f’c= 210 Kg/cm2 en hormigón de peso normal

utilice la ecuación 12,1 con ktr=0

Separación libre lateral: 25 –(2*1)-2(4,33)

Separación libre lateral: 14,34 cm

1. Obtener un diámetro promedio de la siguiente manera:

Si

Despejando db=4,33

=˃Con ktr=0


√

GANCHOS

Puede emplearse ganchos cuando no hay espacio suficiente para anclar las barras a

tensión ya que estas deben ser prolongadas según la longitud de desarrollo que se

requiera

Para ganchos de 90° extremo libre para una extensión de 12 db, para ganchos a 180°

extremo libre con una extensión de 4 db, este valor no debe ser menor de 7 cm, la

longitud básica de desarrollo para ganchos de esta nomenclatura

Ld= longitud de desarrollo para ganchos.

Se calcula mediante la expresión:

Calcular la longitud de desarrollo para barras recubiertas con epóxico

a) Si las barras son rectas suponiendo ktr=0

b) Si se usan ganchos de 180°

c) Si se usan ganchos de 90°


Utilice un f’c=280 Kg/cm2 y un fy=4200 Kg/cm2, las 6 barras se las considera como

superiores

Solución de A

√

YE = 1.3 barras superior

Ye = 1.5 barras recubiertas YE * YE 0 1.95 > 1.7 se coge el máx. Del código

Ys = 1 para una barra de 28mm

Cb = 6 cm

√

Ld=163


Solución de B

Solución de C

con recubrimiento lateral < 6 cm

54 cm

Gancho de 180◦

4db 28.8

Gancho de 90◦

12db=33.6 cm


LONGITUD DE ANCLAJE PARA BARRAS A COMPRESION

La longitud de empotramiento debe ser menor que la requerida para las barras a

tensión El código ACI 12.3.1 establece que:

Ldc= Longitud de desarrollo para barras o alambres a compresión > 20 cm. Esta

longitud no debe ser menor a 20 cm

12.3.2 La longitud de desarrollo debe ser el mayor valor entre

√ oLdc= 0.043 fy*d*b

En la última fórmula esta 0.043 mm2/N

12.3.3 Se permite afectar Lcd por un factor requerido para un factor seleccionado

EJEMPLO

Las fuerzas en las barras de la columna deben transmitirse por medio de

espigas 28 mm. Determina la longitud de desarrollo necesario para las espigas

a) Dentro de la zapata

b) Dentro de la columna

Utilice fy= 4200 Kg/cm2 y fc’ = 210 para la zapata de la columna fc’ = 300

55

65 Lcd zapata

a)

√

Lcd = 1.8 db

Lcd = 22(2.8) = 62 cm > 20 cm


Lcd = 65 cm

√ * db

Lcd=18.4 db

Lcd= 18.4 ( 2.8)

Lcd = 52 cm = 53 cm

DESARROLLO DEL REFUERZO A FLEXION

12.10.3 El refuerzo a flexión se debe extender más allá del punto del cual no es

necesario para revestir flexión más cerca distancia igual al peralte efectivo o 12

veces el diámetro de barras para que sea mayor excepto en los extremos de vigas

simplemente apoyadas y en los extremos libres de voladizos

Punto de inflexión: donde el cortante momento es cero y el cortante es máximo

Cortante O Doblado De Las Barras Para Minimizar la falla por cortante la sección

12.10.5 del código ACI, establece que por lo menos una de las siguientes condiciones

debe cumplirse si se cortan barras en una zona de tensión.

12.10.5.1 El cortante requerido en el punto terminal no debe exceder los 2/3del

cortante permisible en la viga φVn.

12.10.5.2 debe ser proporcionada un área de refuerzo por cortante que exceda la

requerida por cortante y torsión para una distancia igual a 0.75d (3/4 del peralte

efectivo del punto de corte). El área mínima de este refuerzo y su separación máxima,

el exceso de área de los estribos no debe ser menor a

; el espaciamiento no

debe exceder a: S ≤

.

= relación entre el área del refuerzo suspendida en una sección y el área total del

refuerzo en tracción de la sección.

12.10.5.3 Debe proporcionarse un área de refuerzos para barras de 36mm y menores

en las que el refuerzo que continua (barras no cortadas) proporciones el doble del área

requerida por flexión en el punto terminal y Vu no exceda los 3/4φVn.


EJEMPLO 5.8

Determinar el punto de corte para dos de las barras tomando en cuenta el

diagrama real de momentos y la longitud de desarrollo requerida para la

viga isostática mostrada en la figura. Utilice:

F’c= 280 kg/cm2

Fy= 4200 kg/cm2

Wu=4 ton/m

19.2 ton 19.2 ton

9.6m

4φ25mm

7 7 10.3 10.3 10.3

45cm

67cm

8cm

75cm

Wu=4 ton/m

19.2 ton

x

Mu Mu – 19.2x + 4x2 /2 = 0

Mu = 19.2x - 2 x2


DIAGRAMA REQUERIDO

a =

a =

= 3.84 cm

Mu =φ As fy (d -

)

Mu = 0.9(9.8)(4200)(67 -

)

Mu =24.1 ton-m

Mu = 19.2x - 2 x2

24.1 = 19.2x -2x2

x2 – 9.6x + 12.05 = 0

x1= 1.48

x2= 8.12

Mu =φ R b d2

=

= 0.0065 Leo R = 25.73mkg/cm2

Mu = (0.9)(25.73)(45)(67)2

Mu = 46.78 ton-m

15.1902 17.2

24.0352

30.4

34.075

39.6

44.8

46.08 46

43.2

36.4

25.6 24.0352

10.8

0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 2 4 6 8 10 12

46.78

B C

D

0.8

7

1.4

8

2.3

5


Ktr = 0

=

= 2.07

ld =

√ db = 34.65db

ld = 86.6cm = 87cm

Para el punto D:

87 + 87 + 61 = 235

Mu =19.2(2.35) – 2(2.35)2

Mu =34.075 ton-m

Para el caso de columnas con refuerzo en las 4 caras el proceso que se ha explicado

anteriormente para obtener un punto de coordenadas Pn y Mn del diagrama de

interacción de resistencia de las columnas es el mismo con la diferencia de que

tenemos que considerar las deformaciones, los esfuerzos y las fuerzas de todas las

barras que actúan en las caras de la columna como se ve en proceso es un poco más

largo pero la técnica es exactamente la misma.

EMPALME DE BARRAS EN MIEMBROS A FLEXION

Los empalmes de barras de refuerzo son necesarios debido a las limitaciones en las

longitudes de las barras que están disponibles en el mercado.

Otra de las razones es cuando combinamos barras.

Para combinar barras de 34mm o menores el método más común es traslape de una

sobre la otra.

TRASLAPE


Los empalmes por traslape no son satisfactorios cuando.

1. Ocasionan asinamiento

2. Cuando los traslapes resultan muy largos. Ejm: barras de 34mm

3. Las barras de 34 y 56mm no deben empalmarse por traslape, la referencia es

ACI 12.14.2.1

4. Cuando se dejan barras muy largas sobresaliendo en estructuras existentes de

hormigón con fines de futuras ampliaciones.

Hay otros tipos de traslape como las soldadas o las hechas con dispositivos

mecánicos. Leer ACI 12.14.3.4

EMPALMES A TENSION:

El código ACI 12.15.1 divide los empalmes a tensión A y B.

La clase de empalme a usarse depende del nivel de esfuerzo en el refuerzo y del

porcentaje del nivel de acero que va a empalmarse.

El empalme clase A es 1.0Ld; pero no menor a 30cm y donde la mitad o menos del

refuerzo se empalma en esa parte.

As proporcionado % max de As empalmado dentro de long de traslape requerido

As requerido 50 100

≥ 2 CLASE A CLASE B

< 2 CLASE A CLASE B

Los empalmes clase B son aquellos en los que los refuerzos traslapan 1.3 veces la

longitud de sello (30%); no menos a 30cm y donde tanto el refuerzo se traslape en la

misma sección.

ACI 12. 15. 2.- los empalmes por traslapes de alambres y barras conjugadas

sometidas a tensión deben ser de empalme tipo B a menos que:

1.- el área de refuerzo proporcionado es igual Asi = 2 veces o más que el requerido

sobre todo la longitud del empalme.

2.- una mitad del refuerzo se empalma dentro de la longitud de traslape requerida.


EMPALMES A COMPRESIÓN:

Se puede empalmar a:

a.- mediante traslape.

b.- mediante apoyo a tope, mediante soldadura o mediante dispositivos mecánicos.

12.16.2.- la longitud de un empalme mediante traslape a compresión.

Para hormigonesf¨c< 21 MPa debería incrementarse la longitud de traslape.

12.16.2.- se permite empalmar por traslape barras de 42mm y 56mm con barras de

diámetro de 36mm y menores.


DISEÑO DE COLUMNAS CORTAS SOMETIDAS A CARGA AXIAL Y FLEXIÓN

Para el diseño de columnas de cargas axial se utilizan las ecuaciones

1. 2.- 3.-

4.- 5.-

Las figuras del 1 al 6 presentan figuras cargadas con cargas grandes a compresión y

flexión dada por su excentricidad cada vez mayor.

La figura 1 presenta una figura con carga concéntrica en la cual debido a la magnitud

de la carga la falla se produce por aplastamiento con todas las barras alcanzando su

fluencia por compresión.

La figura 2 representa una carga axial grande y un momento pequeño pero todas las

seccio0es transversales a compresión. La falla ocurre por aplastamiento de hormigo y

todas las barras trabajan a compresión.

En el caso 3 representa la carga axial grande con un momento grande, las barras al

lado opuesto a la carga están a tensión.

Pn


EJEMPLO 6.2

Determine Pn y Mn que genera la distribución de deformación de la figura para la

columna mostrada.

35 cm

6cm 48cm6cm

0.002

Es c

Es’

0.003

Cs= 55440 Cs’= 77618

Cc= 254898

6 Ø 28mm


PUNTO DE CARGA AXIAL

ENCUADRE

db d’

h (con respecto al centro

de las columnas)

0.003

Es’

Esc

0.002

C Cs’

a/2

Cs

As4 As1

As3 As2


ANÁLISIS DEL DIAGRAMA DE INTERACCIÓN

Mn =Pnx e

e =

Mn = A’s fy (d - d’)

La Figura Nº5 representa un diagrama de interacción de resistencia para una

columna de prueba cualquiera, en ella se destacan 4 puntos importantes.

El punto Des para cargas concéntricas “Po” y se lo obtiene mediante la fórmula:

Pn = 0.85 f’c Ag + As fy

El punto C es un punto cualesquiera que define una carga Pn y Mn,si unimos O

con C obtenemos una excentricidad e constante.

El punto B es para carga balanceada, es decir para falla simultánea. El

hormigón se aplasta en compresión al mismo tiempo que el acero fluye en

tensión.

La línea OB radial define la excentricidad balanceada.

El punto A es un punto de flexión pura o simple, se la obtiene mediante la

expresión:

Mn = A’s fy (d – d’)

02468

1012141618202224262830323436384042

0 5 10 15 20 25 30A

B

C

D

e

eb

COMPRESIÓN

TENSIÓN

Mn

Pn

Pn1

Pn2

Mn1 Mn2

Fig. Nº5


Pero esta fórmula se la emplea para el caso de columnas con refuerzo en las

dos caras, para el caso de columnas con refuerzo en las 4 caras encontramos

el punto A por tanteo (usando una hoja electrónica).

De la línea que define la excentricidad balanceada hacia arriba hay predominio

de compresión, en esta zona aumenta la carga y disminuye el momento.

De la línea ebhacia abajo hay un predominio de tensión y cuando aumenta la

carga, aumenta el momento.

La figura Nº5 presenta un diagrama de interacción para las columnas de prueba, en el

primer caso usando 6 Φ 28 mm, 2do. Caso 8Φ 28 mmy 3er. Caso 10Φ 28 mm.

MODIFICACIÓN DEL CÓDIGO A LOS DIAGRAMAS

El código ACI 9.8.2 especifica los factores de resistencia:

Φ = 0.65 para columnas rectangulares

Φ = 0.75 para columnas con zunchos helicoidales

Estos valores se deben multiplicar a Pn tal como se indica en la expresión.

Pu = ΦPn


Para la parte D y A de la figura Nº5 para flexión pura Φ = 0.90 si el mismo miembro

tiene una pequeña carga axial Φse reduce de 0.90 a 0.65 o 0.75 según el caso.

Por eso según el código indica “En forma alternativa cuando se usa el apéndice B; fy

no exceda de 4200 kg/cm2 con refuerzo simétrico y cuando (

); no es ≥ 0.70 se

permite aumentar hasta 0.9 en la medida que ΦPn disminuya desde 0.10 fc’* Ag hasta

cero.

Para otros elementos reforzadosΦ puede aumentarse linealmente 0.90 en la medida

en que Φ As disminuye:

0.10 fc’ Ac ó ΦPn (el menor)

ESPIRAL → Φ= 0.75+(εt-0.002)(50)

RECTANGULAR →Φ= 0.65+(εt-0.002)(250/3)

C= distancia al eje neutro

dt = peralte efectivo

c/dt= 0.6 para sección controlada por compresión

c/dt= 0.375 para sección controlada a tensión

COLUMNAS RECTANGULARES → [

]


ANALISIS DE COLUMNAS SOMETIDAS A FLEXOCOMPRESIÓN UNIAXIAL

USO DE LOS DIAGRAMAS DE ITERACIÓN

Con fines de análisis de diseño se han elaborado diagramas de iteración de

resistencia para columnas con refuerzo en 2 caras y para columnas con refuerzo en

las 4 caras (caso de columnas rectangulares), de igual forma existen diagramas para

columnas circulares con zunchos helicoidales, en estos diagramas se ha diseñado

ΦPn/Ag → en vez de Pn (en las ordenadas)

(ΦPn.e)/(Ag.h) → en vez de Mn (en las abscisas)

Cada diagrama puede usarse en las secciones transversales con dimensiones

ampliamente variables la figura siguiente presenta 3 casos de columnas de la

colocación de las barras en columnas rectangulares.

A= Refuerzo en las 4 caras

B= Refuerzos frontales

C= Refuerzos laterales

PROBLEMA 6.3:

Usando los diagramas de iteración elaborados para el efecto determinar el valor

de Pn de la columna corta con estribos del problema 6.2 para:

a) ex= 45cm

b) ex= 20cm

Utilice un hormigón de fc’= 280 kg/cm2 y un acero de fy=4200kg/cm2.


Solución:

a) ex= 45cm

Leo

Leo

Pu= 54(35)(60)=113400 kg

Pn= 113400/0.65= 174.5 Ton

b) ex= 20 cm

Pu = 110*35*60 = 231


DISEÑO DE COLUMNAS A FLEXO COMPRESION UNIAXIAL

Diseñar una columna rectangular para que soporte una carga axial muerta de 46

ton y PL=50, Md= 8 ton ML= 11 ton-m

fć= 280, fy= 4200, utilizar barras de refuerzo ubicado en dos caras frontales.

Calcular Mu y Pu

Pu =1.2 (46) + 1.6 (50) = 133.2 ton

Mu =1.2 (8) + 1.6 (11) = 27.2 ton-m

Pre-diseño

Para determinar la sección de hormigón para la columna de prueba, podemos utilizar

la expresión:

Pu= (de 0.4 a 0.7) fć*Ag

De esta simple expresión obtenemos la sección tentativa de la columna de prueba,

para este caso vamos a utilizar:

0.5fć*Ag=Pu

Utilizar una columna de prueba de 30*40 cm


Si con esta columna de prueba obtenemos una cuantía entre 1 y 3% (req. de la norma

NEC 11) entonces, el diseño es satisfactorio, caso contrario ensayar otra sección de

hormigón.

6 cm

28

6 cm

30

De la gráfica correspondiente leo ρ = 0.042 (no correcto)

En consecuencia aumento la sección de prueba

Requiero una interpolación.

6

38

6


0.10 0.003

0.06 x

X= 0.0018

As = 30*50*0.0142 = 21.3

Diseñar una columna rectangular con estribo para soportar una carga última de

Pu = 273 ton, Mu= 19.4 ton

f´c = 280, fy = 4200; con refuerzo en las 4 caras.

Pre-diseño

Pn = 0.75*f´c*Ag = 0.7(280)*b*h

Columna de prueba de 40*50

γ 0.70 0.76 0.80

ρ 0.016 0.0142 0.013

6 cm

6 cm

3

8

40


Si bien es cierto que se requiere de una interpolación, no podemos leer en los

diagramas ya sea para 0.70 o 0.80 de ϓ en consecuencia ensayamos una columna de

40*45

0.1 0.003

0.03 X

X = 0.0009

γ 0.70 0.73 0.80

ρ 0.019 0.0181 0.0161

6 cm

6 cm

3

3

40


FLEXO COMPRESION BIAXIAL

Hay muchos casos en los cuales las columnas están sometidas a cargas de

compresión y flexión en los dos ejes perpendiculares:

1. Las columnas esquineras de los edificios.

2. Las columnas que soportan de fachada muy espirales.

3. Los estribos de puente, pilar de puentes casi siempre van a estar sometidas a

flexo biaxial.

Cuando existe flexión con respecto a los ejes el momento biaxial puede colocarse

combinando momento a sus excentricidades.

√ √ Mu Muy

Mux

Para columnas cuadradas o rectangulares el refuerzo debe colocarse en forma

uniforme a lo largo del perímetro para formas diferentes a la circular es conveniente

considerar caras de iteración en 3D (el programa SAP 2000tiene incorporado dentro

de los resultados de diseño y en las interfaces graficas diagrama de resistencia de

iteración de resistencia tridimensional.

Pn

Mnyo Mnxo

Mny Mnx

Mnxo= Representa la curva de iteración para el caso en que la flexión ocurra solo con

respecto al eje x.

Mnyo= Curva de iteración para el caso en que ocurra con respecto al eje Y.


En la figura 6 para el caso de Pn constante el plano pintado con puntos representa el

contorno Mn para flexión con respecto a cualquier eje.

El análisis de columna actual se hace por computadora pero puede realizárselo a

mano uno de los métodos aproximados que es útil en el análisis y que puede

realizarse con calculadora de bolsillo es el método de la carga in versa desarrollado

por el profesor Boris Bresler y la ecuación es:

Pni= Capacidad nominal de la sección o carga axial cuando se coloca con una

excentricidad dada a lo largo de los 2 ejes.

Pnx = Es la capacidad nominal a carga axial cuando la carga se coloca con ex.

Pny = Capacidad nominal a carga axial cuando la carga se coloca ex = Ey = 0

Po = 0.85f’c x Ag + Asfy

La ecuación de Bresler funciona bien para el caso de que Pni 0.10Po si Pni 0.10Po es

válido despreciar la fuerza axial por completo y diseñar la sección como un miembro

sometido a flexión biaxial, la ecuación de Bresler no se la aplica a cargas axiales de

tensión.

Leo en el diagrama respectivo

FLEXION RESPECTO AL EJE Y


Interpolar entre as curvas

0.01----------1

0.076--------X

X=

Carga concéntrica Po

Aplicando la ecuación de bresler

⁄

Si

es igualO menor que 0.2 se desprecia la excentricidad menor y se

analiza la columna con la excentricidad mayor en este ejemplo de acuerdo

con el análisis se aprecia que la capacidad carga axial se reduce en un 36.3%

EJEMPLO 6.7

Diseñar una columna corta con estribos sometidos a carga axial por carga

muerta Pm=46 ton, R=64 ton, Mmx=7 ton-m, Mmy =6 ton-m, Mvy=8 ton-m, f`c=280

kg/cm^2, fy=2400 kg/cm^2

Pu=1.2 (4.6)+1.6 (6.4)=157.6 Pn=242.6 ton

Mux=7(1.2)+10(1.6)=24.4 ex=

= 15.5

Muy= 1.2 (6)+16(8) =20 ey=

= 12.7

0.6 0.676 0.7

37 36.24 36


PREDISEÑO

Pn=0.4 fcAg conviene una columna cuadrada

Por qué ex≈εy

2424960=0.4 (280) (b*h)

h=47 ≈ 50

El proceso que seguimos es el

siguiente

Asumimos una cuantía razonable ρ=1.5%

La flexión con respecto al eje x

0.1-----------1.3

0.6------------x

X= 0.9

0.70 0.76 0.86

31 31.90 32.5

50

50


50

50

6

6 6

6

Curvas empleadas (2-280-7-39)

(2-280-7-38)

ton

FLEXION CON RESPECTO AL EJE Y

Comprobación por ecuación de Bresler

⁄

As=0.015 (50) ^2 =37.5

El diseño es aceptable por que Pni>Pn 284.85>242.5

8ϕ25mm

0.70 0.76 0.80

29 29.6 30


Comprobando el diseño con la ecuación de interacción del contorno de la carga de

Bresler, tenemos

(

) (

)

Bresler recomienda

Mux= 24.4 ton-m Muy=20 ton-m

Muxo=31.9(50)^3

(24.4/39.88)1.15 + (20/37)1.15 = 1.06 ≈ 1.00 OK

REFUERZO TRANSVERSAL

Referente al capítulo 21 del código ACI

(21.64) el refuerzo transversal especificado

desde 21.6.42 hasta 21.6.44 debe

suministrarse en una longitud (lo),medida

desde cara del nudo y a ambos lados de

cualquier sección donde pueda ocurrir fluencia

por sección donde pueda ocurrir como el

desplazamiento inelástico del pórtico

(lo) no debe ser mayor que la altura del

elemento en la cara del nudo donde puede

existir fluencia por flexión.

lo→

a) 50 cm

b) 55 cm

c) 45 cm


21.6.4.4 d)el área total de la sección transversal de la columna de refuerzo de estribo

cerrado de confinamiento rectangular Ash no debe ser menor que la requerida por las

ecuaciones 21.4 y 21.5

21.4 Ash= ((0.3*s*h*f’c)/fyt)*((Ag/Ach)-1)

21.5 Ash=(0.9*s*bc*f’c)/fy

Ash=es el área de ref. Transversal incluyendo ganchos suplementarios colocados

dentro del espaciamiento s y perpendicular a las distancias bc en mm

Ach= es el área de la sección transversal de un elemento estructural medido desde los

bordes exteriores del ref. Transversal en mm2

bc= es la dimensión transversal del núcleo del elemento medido desde los bordes

externos del refuerzo transversal en área con área Ash

Si quiero obtener el área total del refuerzo transversal de una columna utilizando la

formula 21.4 el Ash1 será el de los 4 ramales y el bc de la formula será el bc1

Para obtener el Ash2 (3 ramales) el bc de la formula será el bc2 del dibujo

6-2.25=3.75 entonces bc= 50-2(3.75) = 42.5

Suponiendo una barra de 10mm y

Ash = 3*0.78 = 2.34

21.4 2.34= ((0.3*s*42.5*280)/4200)*((2500/1806.25)-1)

S=7cm → estribos de 10 mm@ 7cm

Hormigon i 4to A

Documents

Transcript of Hormigon i 4to A