HOMOTECIA Nº 9-2009

EDITORIAL El pasado viernes catorce de agosto, a la edad de 83 años, y como consecuencia de afecciones cardio pulmonares, falleció el artista y maestro, profesor Don Pedro Gramcko Almeida, suegro del Profesor de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo Pedro Rueda, y tío del amigo periodista Vicente Gramcko. Decidimos dedicarle esta editorial al en vida apreciado profesor, puesto que no es un simple personaje que pasó por la historia de la ciudad de Valencia y del estado Carabobo sin dejar huellas. Don Pedro fue docente, artista plástico, historiador, precursor del Movimiento Scout en Carabobo, fundador del Rotary Club, así como del Club de Leones y de la escuela de Bellas Artes "Arturo Michelena", hijo Ilustre del municipio Montalbán y creador en 1985 de la recientemente modificada bandera de Valencia. Además colaboró en la elaboración del escudo de la capital carabobeña. Fue creador de la bandera de Tinaquillo, San Carlos y Cojedes, entidad a la que también diseñó su escudo aplicando las técnicas aprendidas del maestro Braulio Salazar y la escuela Bellas Artes, donde se graduó. Su habilidad para la caligrafía le permitió durante 40 años confeccionar los diplomas y reconocimientos otorgados por el Ejecutivo del estado, especialmente para la Orden Sol de Carabobo. Trabajó en el Teatro Municipal pintando los carteles de los espectáculos y fue, lo que consideró una osadía, el primer alumno de Nina Nikanorova para estudiar y bailar ballet clásico en la escuela que hoy lleva el nombre de esta connotada artista. Laboró en la Escuela Normal Simón Rodríguez, de Valencia, como docente y coordinador del bachillerato; también lo hizo en el Departamento de Tecnología Educativa de nuestra Facultad de Ciencias de la Educación. Descendiente de una familia de origen ucraniano que se residenció en Alemania, tuvo una vida intensa dedicada al deporte, la educación, el arte y a la familia que formó junto a su esposa Haydeé Tellería de Gramcko, unión en la cual nacieron sus siete hijos: Silvia, Haydée, Oscar, Greta, Guillermo, Patricia, Pedro y Oscar, y cuyo legado trascenderá a través de sus 24 nietos y 13 bisnietos. Residió en la Urbanización Trigal Centro, al lado de nuestra sede de la APUC. Para quienes tuvimos la suerte de ser sus vecinos por muchos años, lo recordaremos por varias cosas pero entre ellas su carácter alegre y cordial, hombre de quien nunca escuchamos un comentario que incomodara a su interlocutor, y por algo que se volvió tradicional hasta que sus fuerzas de adulto mayor se lo permitieron: verlo todos los domingos ir trajeado con el uniforme de “boy scout” a la sede del Movimiento Scout situada entre la Escuela “Lisandro Ramírez” y la plaza “La Bacante”, localizada en la urbanización donde vivió sus últimos años. Sirva esta editorial para dar nuestra despedida al apreciado amigo Don Pedro Gramcko.

REFLEXIONES

“Tengo muy claro que ninguna acción buena se pierde en este mundo. En algún lugar quedará para siempre”.

Vicente Ferrer.

RReevviissttaa HHOOMMOOTTEECCIIAA PPuubblliiccaaddoo ppoorr::

CCÁÁTTEEDDRRAA DDEE CCÁÁLLCCUULLOO

DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA YY FFÍÍSSIICCAA

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

UNIVERSIDAD DE CARABOBO

COORDINADORES DE PUBLICACIÓN

Prof. Rafael Ascanio H. Prof. Próspero González M.

JJoohhaannnn BBeerrnnoouullllii Johann Bernoulli nació en Basilea, Suiza, el 27 de julio de 1667 y falleció en esta misma ciudad, el 11 de enero de 1748. Se le conoce también como Jean o John. Fue matemático, médico y filólogo.

JOHANN BERNOULLI

(1667-1748)

Su padre de religión calvinista deseaba que su hijo se convirtiera en comerciante y aceptó entrar como aprendiz en el negocio familiar de especias y medicinas, pero terminó por hacerlo tan mal que su contrariado padre se vio obligado a rectificar su orientación originaria, entonces su padre decidió que se convirtiera en médico, profesión también relacionada con el negocio familiar. En 1683 ingresa en la Universidad de Basilea y saca el título de médico, sin embargo durante este tiempo junto a su hermano Jakob también se dedicó a aprender el lenguaje de los números.

Las novedades matemáticas de Leibniz sobre el cálculo infinitesimal cautivaron a ambos hermanos. En 1691 viaja a París para guiar a los matemáticos franceses en el uso del cálculo entre los cuales se hallaba el marqués de Guillaume de l'Hôpital. En Francia se convirtió en defensor de Leibniz en la polémica que mantenía con Isaac Newton por quien había sido el primero en enunciar los principios del cálculo infinitesimal. En 1695 el científico holandés Christiaan Huygens le invita a convertirse en presidente del departamento de matemáticas de la Universidad de Groninga. En 1705, tras la muerte de su hermano por tubercolosis, le sustituyó como catedrático de matemáticas en la Universidad de Basilea, donde permaneció durante 42 años como profesor, allí tuvo como discípulos a Johann Samuel König y Leonhard Euler. Se centró en el cálculo infinitesimal y resolvió la ecuación diferencial de Bernoulli, propuesta por su hermano. Sus hijos Nicolau, Daniel y Johann Bernoulli fueron grandes matemáticos

Tomado de: Wikipedia® Wikimedia Foundation, Inc.

21 Diciembre 2008

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HHOOMMOOTTEECCIIAA Tiraje: 100 ejemplares

CÁTEDRA DE CÁLCULO - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA - FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN - UNIVERSIDAD DE CARABOBO Publicación Periódica Nº 9 - AÑO 7 e-mail: [email protected]

© Rafael Ascanio H. – 2009. Hecho el Depósito de Ley. Depósito Legal: PP200902CA3088 - Valencia, 1º de Septiembre de 2009

HOMOTECIA Nº 9–Año 7 Martes, 1º de Septiembre de 2009

2

CCÁÁLLCCUULLOO IINNTTEEGGRRAALL

LLAA IINNTTEEGGRRAALL DDEEFFIINNIIDDAA INTEGRACIÓN APROXIMADA. VALOR NUMÉRICO APROXIMADO DE ∫

b

adxxf )( .

Cuando resulta difícil, o no se puede efectuar en términos de funciones elementales, el cálculo del valor numérico de una determinada

integral definida, entonces se recurre a determinar un valor aproximado de la misma. Mostraremos acá dos técnicas con las cuales se

suelen trabajar: Regla de los Trapecios y Regla de Simpson. En este número lo haremos con la Regla de los Trapecios.

REGLA DE LOS TRAPECIOS.-

Sea la gráfica de la función )(xfy = similar a la que se muestra en la figura, enmarcada en el intervalo [a, b]. Sobre el intervalo [a, b] se

realiza una partición regular de n subintervalos, todos con longitud igual a n

abh −= , con puntos límites para cada subintervalo según el

orden bxxxxa n =<<<<= L210. En la gráfica se forman puntos similares a ( ))(, ii xfx . Si estos puntos se unen mediante segmentos

de recta, se forman n trapecios.

La fórmula del área de un trapecio es igual: ( )2

AlturamenorBasemayorBaseA

⋅+= . Es decir que el área de cada trapecio en la gráfica,

viene dada por: [ ]2

)()( 1 hxfxfA ii

i

⋅+= − . Puede hablarse de área dirigida ya que si f es negativa en un subintervalo, entonces Ai será

negativa. Se establece entonces, que: n

b

aAAAAdxxf ++++≈∫ L321)( , es decir:

[ ] [ ] [ ][ ]

[ ]

[ ])()(2)(2)(2)(2

)()(2)(2)(2)(2

)()(2)(2)(2)(

)()()()()()()(

1210

1210

12102

12212102

nn

nnn

ab

nnh

nnhhh

b

a

xfxfxfxfxfn

ab

xfxfxfxfxf

xfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxfdxxf

++++⋅−=

=++++⋅=

=++++=

=++++++≈

−

−

−

−

−∫

L

L

L

L

Definición: Si la función f es continua en [a, b] y los números bxxxxa n == ,,,, 210 L forman una partición regular de [a, b], entonces:

[ ])()(2)(2)(2)(2

)( 1210 nn

b

axfxfxfxfxf

n

abdxxf ++++⋅−≈ −∫ L

Fórmula para aplicar la Regla de los Trapecios

(CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA)


3

(VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR)

Error en la Regla de los Trapecios:

Como el valor obtenido por la Regla de los Trapecios es un valor aproximado, existe una diferencia con respecto al valor exacto. Esta diferencia se llama Error (E).

Definición: Si existe f ′′ en el intervalo [a, b], entonces el valor exacto de la integral ∫b

adxxf )( viene dado por:

[ ] Exfxfxfxfxfn

abdxxf nn

b

a±++++⋅−= −∫ )()(2)(2)(2)(

2)( 1210 L

donde el error, E, se determina por: [ ])(.12

)(2

3

xfMáxn

abE ′′−≤ donde )(. xfMáx ′′ es el máximo valor de la segunda derivada de la función en

[ ]ba, .

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS.

1.- Aplicando la Regla de los Trapecios, obtenga el valor aproximado de dxx∫ +1

01 .

Solución:

Si se hace n=4, entonces 41== −

nabh y se tiene que 1)( += xxf . Luego, se determinan los ix de la partición y se calculan los

)( ixf ;

211)(1

1)(

1)(

1)(0

11)(0

441

43

4

27

47

43

343

41

21

3

26

23

21

221

41

41

2

25

45

41

141

41

1

00

=+==+==

==+==+=

==+==+=

==+==+=

====

xfbx

xfx

xfx

xfx

xfax

Aplicando la Regla de los Trapecios:

( ) ( ) 2182,17455,927651222211 81

81

27

26

25

81

1

0=⋅=++++⋅=+⋅+⋅+⋅+≈+∫ dxx

2.- Hallar el valor aproximado de dxx∫ +2

0

34 por la Regla de los Trapecios, tomando n=4.

Solución:

Si n=4, entonces 5,0402 === −−

nabh . Luego, se determinan los ix de la partición y se calculan los )( ixf :

464,3)(25,05,1

716,2)(5,15,01

236,2)(15,05,0

031,2)(5,05,00

000,2)(0

44

33

22

11

00

==+====+===+===+====

xfbx

xfx

xfx

xfx

xfax

Aplicando la Regla de los Trapecios:

( ) 858,443,19464,3716,22236,22031,22000,24 25,0

25,02

0

3 =⋅=+⋅+⋅+⋅+⋅≈+∫ dxx



4


3.- Use la Regla de los Trapecios con n=6 para dar el valor aproximado de ∫−1

0

2

dxe x .

Solución:

Como n=6, entonces: 1667,06

1

6

01 ≈=−=−=n

abh . Como

2

)( xexf −= , luego:

3679,0)(1999,01667,0833,0

4994,0)(833,01667,0667,0

6412,0)(667,01667,0501,0

7788,0)(501,0167,0334,0

8948,0)(334,01667,01667,0

9726,0)(1667,01667,00

0000,1)(0

66

55

44

33

22

11

00

≈≈=+==≈=+=≈=+=≈=+=≈=+=≈=+=

===

xfbx

xfx

xfx

xfx

xfx

xfx

xfax

En Consecuencia:

[ ] 7451,03679,04994,029726,020000,1121

1

0

2

≈+⋅++⋅+≈∫−

Ldxe x

4.- Estime el posible error ocurrido al calcular el valor aproximado de ∫−1

0

2

dxe x con n=6.

Solución:

Obteniendo f ′′ : )12(2)(2)()( 2222

−=′′⇒−=′⇒= −−− xexfxexfexf xxx . Luego, 0)( =′′ xf en [ ]1,0 si 012 2 =−x ; esto ocurre cuando

...707106781,02

1 ==x y este valor de x pertenece al intervalo [ ]1,0 : [ ] 0)(1,0...707106781,02

1=′′∧∈== xfx

.

Esto quiere decir que las condiciones en las cuales se aplicó la Regla de los Trapecios para obtener un valor aproximado de la integral dada,

no se cometió ningún error y valor obtenido es teóricamente el exacto.

5.- Calcular el error cometido al obtener el valor aproximado de dxx∫ −3

21 cuando n=4.

Solución: Obteniendo la segunda derivada:

( ) 23

21

21

)1()()1()(11)( 41

21 −− −−=′′⇒−=′⇒−=−= xxfxxfxxxf

Igualando a cero la segunda derivada:

( )0

14

1)1()(

341 2

3

=−

−=−−=′′ −

xxxf

Pero esta posibilidad no es cierta; por lo tanto no existe en el intervalo [ ]3,2 un valor que haga a la segunda derivada igual a cero.

[ ] 0)(3,2 =′′∧∈∃/∴ xfx

Se calcula entonces el máximo valor de la segunda derivada, utilizando los límites de integración:

25,0)12()2( 41

41 2

3

−=−=−−=′′ −f

088,0313,11

1

84

1

24

1)13()3(

341 2

3

−=−=−=−=−−=′′ −f

Luego, como )2()3( ff ′′>′′ entonces 088,0)(. −=′′ xfMáx .

Calculando el error:

[ ] ( ) ( )

0004583,0

0004583,00004583,0192

088,0

1612

088,0088,0

412

23)(.

12

)(2

3

2

3

≤⇒

=−=−=⋅

−=−⋅⋅

−=′′⋅−≤

E

xfMáxn

abE

En el próximo número trataremos sobre la Regla de Simpson.


5

En esta primera década del Siglo XXI, ¿qué es lo que ocurre cuando un joven egresa de una universidad como docente? La respuesta es

ésta: comienza a andar hacia su futuro. Un futuro con un destino que no está escrito, pero que es obligación de este joven docente construir. Es decir, debe comprometerse a labrar su propio porvenir. Debe tener muy en claro que casi de inmediato tiene la responsabilidad de ser uno de los principales actores, y en consecuencia autor, de la sociedad en la cual convive. Es decir, la sociedad necesita que él participe en la transformación de ella para mejorar, lo que obliga a este joven a tomar decisiones y a ser responsable de sus acciones.

Se incorpora a un medio laboral al que la coyuntura social actual le reclama sea promotor de transformaciones, quizás radicales. Comprenderá entonces que en estos nuevos tiempos, la sociedad se transforma desde la escuela hacia el hogar. Aquí estriba la importancia de desempeñarse como docente. Todo educador tiene que asumir el compromiso de producir en ambas instituciones, la escuela y el hogar, una revolución que permita el surgimiento de un nuevo ciudadano, un ciudadano que debe nacer en la escuela, en cada niño que entra al primer grado, en cada joven que egresa del bachillerato, en cada joven que entra a la universidad. Así se tendrán bases para afirmar con propiedad que en la juventud está realmente el futuro de este país.

Por lo tanto, la educación venezolana deberá tener como uno de sus objetivos principales, además de instruir al alumno, hacerlo un mejor ciudadano, convertirlo en el habitante venezolano deseado. Los planteles deben ser lugares con un óptimo ambiente educativo, donde se inicie a la persona en el hacer científico y deben ser recintos donde existan los elementos que permitan el crecimiento de la personalidad del estudiante. En resumen, la educación necesita basarse en la continua aplicación de nuevos paradigmas y nuevos modelos.

El efecto de las nuevas concepciones paradigmáticas debe afectar positivamente el ambiente educativo, convirtiendo a cada instituto en una sociedad dentro de otra sociedad, debido a que pasaría a ser el verdadero segundo hogar del alumno, donde éste satisfaga las necesidades que le surjan en su devenir educativo, de la misma forma en que satisface o desea satisfacer, las que le surgen en el hogar con sus padres y dentro de su comunidad.

El ambiente escolar ya no sería tan trivial como lo es en la actualidad. Disfrutarían los alumnos de un ambiente pro adulto, que les ayude a desarrollar su personalidad y donde podrían ser preparados en un área útil, que les permita incorporarse socialmente como parte de la fuerza de trabajo productivo. Esto debe ir unido a la integración en un todo de la escuela y la comunidad.

La formación, afianzamiento y fortalecimiento de los valores de la personalidad no deben limitarse simplemente a que en la escuela se informe sobre la necesidad de manifestarlos, sino que debe promoverse su práctica.

En la búsqueda de la formación integral del ciudadano, será muy importante atender con sumo cuidado el aspecto afectivo de los jóvenes. Debe orientarse al alumno hacia la convivencia comunitaria, hacia la formación de la pareja mediante el matrimonio como elemento estabilizador del núcleo social y proveedor de su solidez, y en el conocimiento de los elementos que permiten la práctica cotidiana de la conducta familiar. Esto tiene su base en que ante la manifiesta crisis de valores y virtudes, es la unidad familiar la que va a ser el eje de la vida social y fuente para todas las soluciones, y su presencia duradera la convierte en un elemento integrador de la sociedad civil y, por lo tanto, base primordial de las instituciones democráticas, que unido al respeto y aceptación de los deberes y derechos ciudadanos en forma efectiva, así como la fomentación de sentimientos basados en la fe, será el verdadero camino a tener esperanza en alcanzar un mundo mejor. Estos elementos irán moldeando en cada individuo los valores que deben caracterizar al nuevo ciudadano venezolano. Como consecuencia, en la escuela se debe promover un proceso educativo signado por los valores y los principios éticos.

También es indispensable formar al alumno desde temprana edad bajo el principio de combatir la violencia con la paz. Se debe erradicar el castigo de cualquier tipo de las instalaciones escolares porque este es un acto que se entiende como deliberado, que daña al cuerpo y la autoestima del estudiante. Enseñar desde pequeño al ciudadano a respetar y a ser respetado, da un efectivo impulso a un trabajo por alcanzar la paz. Si la noción de guerra tiene su origen en la mente del hombre, indudablemente que es en la mente del hombre donde se deben inculcar los valores para alcanzar la paz.

Las acciones pedagógicas que debe propiciar la sociedad tienen que identificarse con la conservación del medio ambiente, el equilibrio en la distribución de la riqueza, respeto a los derechos humanos, la no discriminación y la participación no sólo formal sino activa, en la toma de decisiones de carácter colectivo.

Unido a esto, se hace evidente que cada día es inevitable vivir en una sociedad donde la información y la tecnología se han jerarquizado, por lo que se deben hacer previsiones para evitar que en el intento por alcanzar la computopía, que se entiende como la tendencia del hombre a entrelazar toda actividad humana con las técnicas informáticas, origine elementos deshumanizadores que inhiban la interrelación social persona a persona.

Urge, también, la necesidad de cultivar la autonomía e involucrar con eficiencia el entorno escolar y la familia en las actividades que afianzan valores éticos, para que se pueda consolidar la democracia, siendo trascendente para el país la incorporación para vivir el proceso social, del nuevo ciudadano surgido de la escuela.

No es tan fácil el compromiso para los nuevos docentes pero el reto hay que asumirlo. Es inevitable.

NNuueevvooss DDoocceenntteess:: hhaacciiaa uunnaa ccoonncciieenncciiaa ssoocciiaall yy llaabboorraall Por: Rafael Ascanio Hernández

RESUMEN

Adentrarse en el Siglo XXI, causó en la sociedad venezolana una sensación similar a la que una persona siente cuando se ve obligada a cambiar sus hasta ahora patrones de pensar y de actuar. De igual manera, cuando un novel docente se incorpora al medio laboral en esta década inicial, encuentra que la experiencia de quienes lo han precedido, aunque útil, no es suficiente guía para su futuro profesional. Así, de buenas a primera, se encuentra en la necesidad de analizar, reflexionar y discutir consigo mismo, elementos que posiblemente serán incorporados a los nuevos paradigmas socio-educativos que surgen en estos primeros años del milenio, los cuales afectarán su conducta social y su desempeño profesional.

PALABRAS CLAVE: Nuevos docentes, nuevos paradigmas, escuela, hogar, necesidades socio-educativas, valores.


6

MMEENNCCII ÓÓNN MMAATTEEMMÁÁTTII CCAA

Los integrantes de la LII Promoción de Licenciados en Educación Mención Matemática, el día martes 4 de agosto pasado a las 3:00 PM, celebraron la misa de Acción de Gracia por su graduación y la misma fue realizada en la Iglesia de la Casa Don Bosco, ubicada en la Redoma de Guaparo.

En el auditorio del mismo lugar pero el viernes 7 a las 2:00 PM, realizaron su Última Clase. La Promoción fue apadrinada por el destacado Profesor Samir El Hamra. Por los graduandos, asistieron a esta actividad: ACEVEDO MARCO, ACEVEDO ORFANDA, ÁLVAREZ JOSÉ, ANDRADE BELTRÁN, AQUINO DAYANA, BASANTA ANNY, BAYONA FABIOLA, BETANCOURT JOSÉ, BETANCOURT LUIS, BLANCO YORMARY, BRITO ORLANDO, CAÑIZALEZ MILANYELA, CÁRDENAS JUAN, CARO IVANA, CEBALLOS LIGIA, CEGARRA MELVIS, CORDERO YENNY, CORONADO ANDRELIS, CHIRINOS ANA, ESCORCIA JULIO, FARFÁN GREYLIS, FLORES JUAN, FLOREZ LUIS, GONZÁLEZ AREIDA, GONZÁLEZ EDUARDO, GONZÁLEZ WILMARYS, GUEVARA ALÁN , GUTIÉRREZ MILAGROS, HIDALGO JOELS, IZAGUIRRE GERSON, JIMÉNEZ ALITZA, LEÓN CÉSAR, MAES NAYERLIN, MANILLO LISBETH, MARIN JEAN CARLOS, MÁRQUEZ ADDYS, MARTÍNEZ MANUEL, MARTÍNEZ MARÍA, MÉNDEZ RONNY, MENDOZA YOURESKA, MONTAÑEZ RAIMAR, OLIVO YOSMARY, OROPEZA CARLOS, OSTO WILLIAN, PADILLA JONECXY, PÁEZ ANA, PERDOMO JOSÉ, PÉREZ ALEXIS, PÉREZ ANYELA, PERNÍA LUIS, PIGNATELLI GIOVANNI, RENGIFO YADSON, REYES ERWIN, RÍOS CELISBETH, ROA TITO, RODRÍGUEZ HECYALIN, RODRÍGUEZ LEONELA, RODRÍGUEZ MARÍA DE LOS ÁNGELES, RODRÍGUEZ MARÍA EUGENIA, RODRÍGUEZ YENNIFER, ROSARIO YUSLEIDY, SÁNCHEZ KERVIS, SERRANO DESIREE, SOTILLO FRANCIS, SUÁREZ ERNESTO, SUÁREZ NORELYN, TOVAR ENMA, VALECILLOS NACARY, VÁSQUEZ CHERRY, VÁSQUEZ MARYURIT Y ZAMBRANO YAKEMARE. Otros integrantes no pudieron asistir.

La mesa académica fue conformada por los profesores Samir El Hamra, Padrino de la Promoción, Pedro Briceño, en representación del Departamento de Matemática y Física de la Facultad de Ciencias de la Educación, Nelly Cañizalez de la Facultad de Ciencias de la Educación y Rafael Ascanio Hernández, quien tuvo a su cargo la realización de la última clase.

La graduando Maryurit Vásquez, en nombre de sus compañeros de promoción dirigió unas palabras muy emotivas y significativas a los presentes. De igual forma lo hizo el padrino profesor Samir El Hamra.

Hubo reconocimientos de los mismos graduandos a varios de sus compañeros, quienes se destacaron durante el transcurso de la carrera.

También la Cátedra de Cálculo del Departamento de Matemática y Física de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo, representada por los profesores Rafael Ascanio Hernández y Pedro Briceño Bencomo, en compañía de los profesores Nelly Cañizalez y Samir El Hamra, aprovechó la oportunidad para hacer entrega pública de un reconocimiento, consistente en un diploma y una medalla, a aquellos graduandos quienes como preparadores, hicieron paradocencia con algunas de las asignaturas adscritas a la cátedra. Ellos fueron: Julio Escorcia, Manuel Martínez, Celisbeth Ríos, Tito Roa, María de los Ángeles Rodríguez y Maryurit Vásquez. También se le hizo igual reconocimiento en este sentido al graduando Joan Ordóñez pero no estuvo presente.

Acto de Grado Quincuagésima Segunda Promoción LICENCIADOS EN EDUCACIÓN

MENCIÓN MATEMÁTICA El Acto de Grado de la LII Promoción de Licenciados en Educación Mención Matemática, se realizó el día miércoles 12 de agosto del presente año, a las 8:00 AM, en el Anfiteatro “Doctor Alfredo Celis Pérez”, donde la Rectora de la Universidad de Carabobo, Prof. Jessy Divo de Romero les confirió el respectivo Título y les entregó la Medalla Conmemorativa de tan significativa fecha. ¡Felicitaciones a todos!

La Coordinación de Publicación de HOMOTECIA quiere aprovechar esta oportunidad para felicitar a colaboradores y amigos de nuestra revista, quienes también recibieron en esta misma oportunidad, sus títulos por grados académicos obtenidos. Ellos son: Víctor Manuel Hermoso Aguilar de Doctor en Educación; Iliana Rodríguez, Elisa Pereira y Luis Díaz Bayona de Magíster en Educación Matemática. ¡Felicidades a todos!


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FUENTE: Vera, Francisco (1961). “20 Matemáticos Célebres”. Buenos Aires: Compañía General Fabril Editora. Preparado por Patricio Barros. www.geocities.com/veintematematicoscelebres

PRESENTACIÓN. Las páginas de este libro exponen en forma clara y didáctica la vida y obra de los matemáticos más célebres, ubicándolos como seres de carne y hueso, buscando en el curso paralelo que siguieron sus trabajos, y en otras el contraste u oposición en que se desarrollaron. De esta manera, el lector logrará una fácil comprensión del valor y las influencias de unas tendencias sobre otras, y de sus puntos de convergencia, a veces aparentemente paradójicos. El profesor Francisco Vera de vasta y reconocida autoridad en la materia, ha escrito “20 matemáticos célebres” con un criterio ágil, a la vez que esclarecedor, que posibilita el acceso de vastos sectores de público a una actividad científica realmente fascinadora.

Capítulo Cuarto EELL MMAAEESSTTRROO YY LLAA DDIISSCCÍÍPPUULLAA

WWEEIIEERRSSTTRRAASSSS YY SSOONNJJAA KKOOWWAALLEEWWSSKKII

KARL WEIERSTRASS

(1815-1897)

SSOONNJJAA KKOOWWAALLEEWWSSKKII

(1850-1891)

Si hay un matemático a quien se pueda calificar de analista puro, sin la más pequeña mezcla de geómetra, este matemático es Weierstrass, con quien se inicia la que se ha llamado aritmetización de la Matemática.

En su tiempo, el Análisis había hecho grandes progresos, pero era necesario coordinar las investigaciones de Gauss en Aritmética superior con la teoría de funciones elípticas de Abel y Jacobi y con la de invariantes de la escuela inglesa: labor de ordenación y sistematización que exigía un cerebro privilegiado que no sólo asimilara toda la producción analítica del siglo XVIII y buena parte del XIX, sino que, además, estuviese dotado de genio creador. Este cerebro fue Carlos Weierstrass, quien, de haber vivido en la época de Platón, se habría declarado adversario ideológico del fundador de la Academia y amigo de Eudoxio de Cnido, el sagaz crítico constructivo que tuvo la valentía de enfrentarse con el heredero espiritual de Sócrates. Sin los intelectuales ociosos que rodearon a Platón y sin las alucinaciones místicas del Timeo, la que llamamos hoy Matemática moderna hubiera empezado dos mil años antes.

La Matemática actual, la Matemática que se inicia con Weierstrass, no tiene nada de misteriosa, ni de esotérica, ni de mística, ni de mágica: Matemática al margen del idealismo platónico que, para satisfacer las necesidades emocionales de los griegos del siglo IV antes de J. C., dejó el animismo fuera de los límites de la investigación experimental inventando un mundo real de símbolos y de números, del que sólo es una sombra nuestro mundo, y afirmando que los juicios matemáticos son verdades eternas, opinión que habría de esgrimir Kant contra los materialistas de su tiempo. También es culpable Kant del retraso de la Matemática porque su consejero áulico, Segnier, era un expositor y no un investigador. Sírvale de disculpa el hecho de que cuando publicó la Crítica de la razón pura, se ignoraba aún la función no auditiva de los conductos semicirculares del oído, de cuya disposición anatómica depende el número de dimensiones del espacio; pero desde que las dos ciencias más recientes, la Biología y la Psicología experimental, con la audacia propia de la juventud, le han faltado al respeto a las creencias tradicionales, los argumentos ex mathematicis kantianos están derogados. En el capítulo de cargos no olvidemos tampoco a Hegel, cuyos razonamientos triangulares hicieron resucitar el culto mágico del número 3, que se creyó derrotado en el siglo XVIII cuando ya parecía olvidada la filosofía de los doctores de la Sorbona, quienes al poner la lógica aristotélica al lado de la teología católica, empezaron por admitir la trinidad de pensamiento, sentimiento y volición, que todavía no ha desaparecido por completo, y subdividieron tales potencias en tres categorías, y así sucesivamente, para colocar lo Absoluto en el vértice común de todos estos triángulos desvanecientes.

Weierstrass comprendió que era necesario podar la manigua que rodeaba a la Matemática para que ésta alcanzase su pleno desarrollo, y atacó el problema en su raíz: el número irracional, cuyo estudio comenzó en el punto en que lo había dejado Eudoxio, lo que le llevó al convencimiento de que todo el Análisis había que construirlo sobre el número entero y de que toda la Matemática tenía que hablar no el lenguaje oscuro de la filosofía hegeliana, sino el claro lenguaje de los números naturales.

Y en esto, que era en cierta forma la realización del ideal pitagórico en cuanto hipóstasis del Número, consiste uno de los méritos de Weierstrass, que hubiera bastado para incorporar su nombre a la historia de la Matemática si no tuviera, además, otros títulos que lo hacen acreedor a ello. Carlos Weierstrass nació el 31 de octubre de 1815 en Ostenfeld, Westfalia, donde su padre, Guillermo Weierstrass, desempeñaba el cargo de funcionario de Aduanas al servicio de Francia, recuérdese que el año 1815 fue el año de Waterloo y hasta entonces Francia dominaba en Europa, y era un idealista teórico y un tirano práctico. Le gustaba intervenir en todos los asuntos de su hijo hasta cuando éste tenía cuarenta años y estaba ya en la cima de su reputación. La madre, Teodora Forst, era católica, religión que adoptó su marido al casarse, abjurando del protestantismo. Murió cuando su hijo Carlos tenía once años, dejando a éste y a dos niñas: Clara y Elisa, quienes cuidaron de su hermano con solicitud maternal. El padre contrajo segundas nupcias al año de enviudar, pero nunca se llevó bien con su segunda esposa. Trasladada su familia a Westernkotten, pequeño pueblo, también de la Westfalia, en el que no había colegio de enseñanza secundaria, su padre lo mandó a Münster. Allí perdió el tiempo. O no lo perdió. Todo depende del punto de vista en que nos coloquemos. Concurría a los premios, no por la gloria, sino por su importe en marcos para bebérselos en cerveza, y con el mismo objeto llevó la contabilidad de un almacén. Este es un detalle interesante de la vida de Weierstrass. Él, que era un matemático puro, es decir, un espíritu idealista, era también un espíritu práctico. En vista de lo ocurrido en Münster, el padre lo envió a estudiar Derecho a Bonn, donde estuvo cuatro años: desde 1834 a 1838. Durante los cuales no hizo otra cosa que beber cerveza y divertirse. Le molestaba tanto la Jurisprudencia como el entusiasmo de las gentes de la patria de Beethoven por las sinfonías del sordo genial. Porque otro detalle de Weierstrass es que no le gustaba la música: cosa rara en un matemático. En la Opera se dormía. En cambio adoraba la esgrima. Alto, corpulento, macizo, llegó a ser un virtuoso de florete. Como su amigo personal y adversario científico, Leopoldo Koneeker, quien, físicamente, era la contrafigura de Weierstrass. Sólo medía metro y medio de estatura.

En Bonn, y sin saber por qué, los caminos de la inspiración científica son más misteriosos aún que los de la inspiración artística, se despertó su afición por la Matemática. Acaso fue la actuación de Plücker en la Universidad, donde la presencia del iniciador de la dirección analítica de la Geometría Proyectiva se destacaba más, ya que, a diferencia de Gotinga, en Bonn no había tradición matemática. El hecho es que Weierstrass leyó en la pintoresca ciudad del Rhin a Abel y fue tal su admiración por el matemático noruego que lo primero que decía a sus discípulos cuando llegó a profesor era: "Leed a Abel", y lo último que les recomendaba era: "Leed a Abel."

Weierstrass volvió sin ningún grado académico al lado de su padre, quien lo envió otra vez a Münster para que estudiase lo que quisiera. En Münster estaba entonces Cristóbal Gudermann, poco conocido a pesar de sus trabajos en el Journal de Crelle, que era un entusiasta de la teoría de funciones elípticas. Diez años antes Jacobi había dado a conocer sus Fundamenta novatheoriae functionum ellipticarum y tenía en el profesor de Münster tan profundo admirador que anunció un curso sobre dicha teoría. Tuvo un éxito. A la primera lección de Gudermann asistieron trece alumnos; a la segunda uno solo: Weierstrass. En el fondo se alegraron los dos. Nadie interrumpiría los diálogos entre el maestro y su único discípulo.



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En 1841 se preparó para ingresar en el profesorado secundario y, a petición suya, Gudermann le propuso un tema verdaderamente matemático: demostrar los desarrollos en serie de potencias de las funciones elípticas. Otro de los temas, eran tres en total, para cuya preparación se concedían seis meses a los candidatos, fue un estudio sobre el procedimiento de Sócrates aplicado a los alumnos medios, que Weierstrass siguió incluso cuando fue catedrático de Matemática superior. Las preguntas, hábilmente escalonadas, a la manera del filósofo de la mayéutica que hizo geometrizar al esclavo ignorante del Menón, son, en efecto, el método más fecundo que puede utilizarse con los estudiantes de Matemática. En la enseñanza secundaria estuvo Weierstrass quince años, los más fecundos de su vida de investigador, y como su escaso sueldo no le permitía sostener una correspondencia científica ni leer revistas, destaca en ellos más profundamente su poderosa originalidad. Trabajaba incansablemente. Como Don Quijote, se pasaba las noches leyendo de claro en claro y los días de turbio en turbio, pero, el Amadís de Gaula de Weierstrass era Abel y, a diferencia del héroe manchego, a quien del mucho leer y poco dormir se le secó el "celebro", el de Weierstrass fue cada vez más jugoso. El mismo año de ser profesor de enseñanza secundaria escribió una memoria sobre funciones analíticas y llegó al que se llama teorema fundamental del Análisis, independientemente de la integral de Cauchy. Al año siguiente conoció el trabajo de éste, mas no reivindicó el derecho de prioridad que, en realidad, pertenece a Gauss, quien lo había descubierto en 1811; pero siguiendo su costumbre de no dar a conocer sus investigaciones sino muchos años después de realizadas, el princeps mathematicorum se dejó adelantar en éste como en otros puntos. Poco después, Weierstrass aplicó su método a los sistemas de ecuaciones diferenciales que se presentan en el problema de los tres cuerpos, problema que, desde Euler, se considera uno de los más difíciles. Matemáticamente, se reduce a resolver un sistema de nueve ecuaciones diferenciales simultáneas lineales o de segundo grado. Si existe una solución, ésta vendrá dada bajo forma de series infinitas, y la solución existe si estas series satisfacen las ecuaciones, y, además, son convergentes para ciertos valores de las variables. Weierstrass atacó el problema con todo rigor, haciéndolo progresar de manera notable. Posteriormente lo estudiaron: el francés Henri Poincaré en 1905, el finlandés Carlos Frithiof Sudmann en 1906, el español José María Plans en 1916, el colombiano Julio Garavito en 1918 y el peruano Godofredo García en 1950. El año a que nos estamos refiriendo, 1842, Weierstrass era profesor del Pro-Gymnasium de Deutsch-Krone, oscuro pueblecito de la Prusia Oriental, que tiene el honor de haber sido donde Weierstrass hizo su primera publicación: el Programa que tenían que redactar todos los profesores de enseñanza pública en Alemania. De Deutsch-Krone pasó al Gimnasio de Braunsberg en 1848, año de hondas perturbaciones políticas. La caída de la Monarquía de julio, con la huida de Luis Felipe, tuvo gran repercusión en el centro de Europa y ocasionó, sobre todo en Alemania, un cambio radical, iniciado en la segunda Cámara del Gran Ducado de Baden, cuyas sesiones asumieron categoría histórica porque determinaron la libertad de los pueblos germánicos en el siglo XIX. El partido realista estableció la censura previa para la prensa, que, como siempre, hizo brotar la literatura clandestina, y en Braunsberg floreció una serie de poetas que cantaban la libertad en inflamados versos, los cuales aparecían impunemente en la hoja local porque el censor, que odiaba la literatura y sólo leía los artículos políticos, había dejado la censura de los versos a Weierstrass y éste los dejaba pasar con gran regocijo de las gentes. Enterado el Gobierno, tomó cartas en el asunto, pero como oficialmente el responsable era el censor, a Weierstrass no le pasó nada. También intervino en este movimiento democrático otro matemático ilustre: Jacobi, a quien el exceso de trabajo le había ocasionado una gran depresión, y su médico le recomendó que se metiera en política "para bien de su sistema nervioso". El bueno de Jacobi creyó en la eficacia de tan extraña receta y tomó parte en algunas reuniones públicas. Acusado de espía por los realistas, se defendió de la falsa acusación en un discurso que, como buen matemático, cimentó sobre la lógica más inflexible. Fracasó. Indudablemente, no servía para político, porque la lógica es la única arma que no debe esgrimir un político, y el rey de Prusia le suprimió la pensión que le habla concedido ocho años antes.

Durante los seis años que siguieron al de 1848, Weierstrass trabajó intensamente hasta el de 1854 que fue el de su consagración como matemático. El Journal de Crelle publicó su memoria sobre las funciones abelianas y eran tan nuevas y tan profundas las ideas de Weierstrass que Richelot, que ocupaba en Königsberg la cátedra que Jacobi había dejado vacante al morir tres años antes, consiguió que le nombraran Doctor honoris causa y él mismo fue a Braunsberg para entregarle el diploma. En la cena que el director del Gimnasio organizó en su honor, Richelot dijo: "Hemos encontrado en Weierstrass a nuestro maestro", y Brochard, editor del Journal de Crelle, que también acudió al homenaje, lo llamó "el mejor analista del mundo", título que ha recogido la Historia.

El Ministerio de Instrucción Pública le concedió una licencia de un año para que se dedicara a la investigación pura y poco después fue profesor de la Escuela Politécnica, de la Universidad, académico, etc., en una ininterrumpida sucesión de triunfos que nunca le envanecieron. Weierstrass fue siempre un hombre modesto. Ante un vaso de cerveza y acompañado de unos cuantos discípulos, se sentía feliz. Además, era siempre él quien pagaba las consumiciones.

En cátedra no escribía jamás en la pizarra. Dictaba a un alumno, y si éste se equivocaba, borraba tranquilamente y volvía a dictar. Nada desconfiado, prestaba sus manuscritos a todo el mundo, de lo que se aprovecharon algunos para tomar notas y publicarlas como suyas, sin que Weierstrass protestara nunca. Era, además, lento en publicar, y si no hubiera sido por sus discípulos se habría retrasado su influencia en el desarrollo de la Matemática.

No es posible hablar de Weierstrass, sobre todo dado el carácter de estos ensayos, sin decir algunas palabras acerca de su teoría del número irracional. Sus otras contribuciones exigen conocimientos de Matemática superior, fuera de los límites de este cursillo de vulgarización. El antes citado Eudoxio de Cnido, que había heredado de Zenón lo que el jefe de los eleáticos legó al mundo, y nada más, y cuyo concepto de la realidad matemática le hizo alzarse contra su maestro Platón, sostuvo que, en Matemática, no hace falta suponer la existencia de cantidades infinitamente pequeñas, sino que basta conseguir una magnitud tan pequeña como queramos mediante la división continua de una magnitud dada. Esta idea genial que permitía tratar los números irracionales con la misma precisión que los racionales, pasó inadvertida durante veintitrés siglos, y aún hoy, medio siglo después de muerto Weierstrass, todavía tropieza con la pereza dogmática de muchos profesores que sigue teniendo la opinión de que la Matemática moderna es la Matemática superior y que las ideas actuales no deben llevarse a la Matemática elemental. Con este criterio se consiguen, entre otras cosas, todas ellas perjudiciales, estas cuatro:

1. empedrar el cerebro del alumno de conceptos anquilosados, ahogar su espíritu crítico, 2. desarrollar teratológicamente su intuición en perjuicio de su facultad razonadora 3. y obligarle, cuando llega a los estudios universitarios, a un doble trabajo: olvidar lo aprendido para construir, sobre el solar

limpio de escombros, un nuevo edificio que podría elevarse más de lo que se eleva hoy en los países en que todavía se explica la Matemática clásica, si los cimientos se colocaran lógica y no dogmáticamente.

Las paradojas de Zenón de Elea sobre el infinito y la continuidad fueron acalladas por Eudoxio, pero las resucitó la filosofía medieval, las adornó el Renacimiento y las acarició el siglo XVIII, determinando la crisis del XIX que conjuró Weierstrass con su teoría del número irracional.

Supongamos, para fijar las ideas, que queremos extraer la raíz cuadrada de 2 con bastantes cifras decimales. La Aritmética elemental da el medio de obtener, como aproximaciones sucesivas, 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, etc.

Si examinamos esta sucesión observaremos que, llevando la aproximación bastante lejos, encontraremos un número racional perfectamente definido con tantas cifras como queramos, o sea: que un número cualquiera de la sucesión difiera del siguiente en un número decimal, y concebimos la raíz cuadrada de 2 como el número definido por una sucesión convergente de números racionales, lo que quiere decir, sencillamente, que hemos indicado un método para calcular un término cualquiera de la sucesión en un número finito de etapas.



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Hoy se hacen ciertas objeciones al método genético de Weierstrass, y es precisamente el ejemplo de la raíz cuadrada de 2 el que ha vuelto a hacer pensar en las dificultades con que tropezaron los griegos al aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo isósceles de catetos iguales a la unidad; pero esto nos llevaría a discutir el problema del continuo y del ultra continuo, que se sale de nuestro propósito. Diremos, no obstante, que, a pesar de que el problema no está resuelto de una manera definitiva, tenemos sobre los contemporáneos de Eudoxio la ventaja de que conocemos la naturaleza de las dificultades.

La guerra franco-prusiana obligó a Weierstrass a no tomar sus vacaciones en el verano de 1870 y permaneció en Berlín explicando un curso sobre funciones elípticas, tema que estudiaba por entonces en Heidelberg una joven rusa cuya belleza corría pareja con su talento. Esta joven había nacida en Moscú el 15 de enero de 1850 y era una lejana descendiente de Mateo Corvino, rey de Hungría. Llamábase Sonja Corvino-Kruxowski. A los quince años empezó a estudiar Matemática, ciencia que la cautivó desde el primer momento de tal manera que a los dieciocho había hecho grandes progresos y a los veinte decidió marchar a Alemania para dedicarse de lleno a su estudio.

En aquella época, la situación de la mujer era completamente distinta de la da hoy, sobre todo en Rusia. La conmoción de 1914, al transformar las condiciones de vida, ha hecho que la mujer sea la colaboradora y, en muchas ocasiones, la rival profesional del hombre. Mecanógrafa, empleada de almacén, bachillera, doctora, funcionaria, la mujer actual goza de los mismos derechos políticos y sociales que el hombre, mientras que a mediados del siglo XIX todavía los maridos decían de su esposa, como en los tiempos de Moliére:

Et c'est assez pour elle, à ne vous rien celer de savoir prier Dieu, m'aimer, coudre et filer

y se creía aún que la mujer tenía los inconvenientes que señaló Quevedo en un soneto famoso:

Muy buena es la mujer si no tuviese ojos con que llevar tras sí la gente, si no tuviese lengua maldiciente, si a las galas y afeites no se diese.

Si las manos ocultas las tuviese, los pies en cadenas juntamente, el corazón colgado de la frente que en sospechando el mal se le encendiese.

Muy buena, si despierta de sentido, muy buena, si está sana de locura; buena es con el gesto, no raído; poco ofende encerrada en cueva oscura; mas para mayor gloria del marido es buena cuando está en la sepultura.

Ni Molière ni Quevedo tenían razón. Eran antifeministas porque estaban llenos de los prejuicios de la época, de los cuales hemos prescindido nosotros, para nuestro bien y para el de ellas. Esto no quiere decir que la mujer deje de inquietarnos como, evidentemente, nosotros la inquietamos a ella.

Madre, esposa, hija, hermana y amante, la mujer ha sido estudiada desde todos los puntos de vista: en el hogar y en la calle, en el tálamo y en la mesa de disección, y podemos afirmar que ha sido, es y será la preocupación del hombre. Bien es cierto que mientras no aparece en nuestra vida, todo es paz y calma en nuestro espíritu, y que en cuanto se atraviesa en nuestro camino, nuestro corazón se agita y nuestra alma se altera, pero también es cierto que como esta agitación y esta alteración son biológicamente normales, no debemos hipertrofiar su importancia, ni aun literariamente. En la época de nuestras abuelas, la mujer era el enemigo; en la nuestra es el amigo.

Se comprende, pues, el asombro de la aristocrática sociedad rusa en que vivía Sonja cuando manifestó su deseo de ir a Alemania a estudiar Matemática, es decir: la ciencia que diríase más alejada de toda preocupación femenina si no supiéramos ya que la bella veneciana que una noche, paseando por el "piccolo canale" en la inevitable góndola a la no menos inevitable luz de la luna, dijo a Rousseau: "Lascia le donne e studia la Matematica", daba al filósofo ginebrino una lección de bovarysmo integral, que los días que corren han demostrado que es falsa.

Hoy estamos convencidos de que la inteligencia no tiene sexo; pero en aquella época había que salvar las apariencias y, para realizar sus propósitos, Sonja contrajo un matrimonio blanco, conviniendo con su esposo de que sólo serían como hermanos hasta que ella terminara sus estudios, y salió de Rusia para Alemania siendo oficial y legalmente la señora Kowalewski, que viajaba sola sin escandalizar a nadie. Siguió los cursos de Física de Kirchoff y de Helmholtz y conoció a Bunsen en circunstancias que vale la pena de recordar. El famoso químico había dicho: "Ninguna mujer profanará con su presencia mi laboratorio". Sonja Kowalewski, que era un diablillo, lo supo y fue a visitar a Bunsen dejándose el sombrero en casa. Esto del sombrero tiene su explicación. Sonja era bellísima y, sobre todo, tenía unos ojos fascinadores que ocultaba con un sombrero de anchas alas bajas porque, al decir de un contemporáneo, "a la elocuencia de sus ojos nadie podía resistir cuando quería obtener algo". A fines del 1869 Sonja estudiaba funciones elípticas en Heidelberg con Leo Königsberger, que había sido discípulo de Weierstrass en Berlín, y tantos elogios hacía del maestro que Sonja decidió ir a estudiar con Weierstrass.

Cuando se enteró Bunsen, previno al matemático. "Es una mujer que me ha hecho renegar de mis propias palabras. Que no se quite el sombrero, porque sin él es muy peligrosa". Hoy el químico hubiera dicho que Sonja tenía ojos de mujer fatal. Weierstrass se rió. No es que Weierstrass fuese un misógino, ni mucho menos. Cuando se cruzaba en la calle con una mujer bonita volvía la cabeza para contemplarla. El aspecto serio de Sonja y sus conocimientos matemáticos encantaron a Weierstrass quien escribió a Königsberger pidiéndole informes. Fueron excelentes: Sonja tenía condiciones intelectuales para hacer de ella una gran matemática.

Como la Universidad de Berlín no admitía entonces inscripciones femeninas, Weierstrass pidió al Consejo universitario que exceptuara de tal prohibición a la joven rusa. No lo consiguió, y ella entonces propuso al gran matemático que le diera lecciones particulares, a lo que accedió Weierstrass.

Cuando Sonja fue a Berlín tenía veinte años, edad peligrosa para una mujer, y Weierstrass contaba ya cincuenta y cinco, edad peligrosa para un hombre porque suele retoñar la juventud ida.

A la primera lección, Sonja acudió con sombrero. A la segunda, sin sombrero. Era el otoño: la dulce estación en que se deshojan las rosas.

Weierstrass era desordenado: perdía con frecuencia sus manuscritos y en más de una ocasión cuando, invitado a dictar una conferencia, se ausentaba de Berlín, tuvo que rehacer sus notas porque las primitivas se habían quedado en el vagón del tren. Sonja, que no era tampoco un dechado de orden, quiso corregir este defecto mandando hacer una caja de madera con llave para que Weierstrass guardase sus papeles. En el primer viaje, Weierstrass perdió la caja.



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Durante cuatro años Weierstrass dio a Sonja lecciones privadas, sólo interrumpidas por pequeños intervalos de vacaciones, y en el otoño de 1874 ella volvió a Rusia dejando escrita una memoria, que se publicó después en el Journal de Crelle t. LXXX, 1875, Zur Theorie der partiellen Differentialgleichungen, en donde expone, aplica y desarrolla algunos resultados inéditos de Weierstrass, y la Universidad le concedió el diploma in absentia. Weierstrass, con el prestigio que le daba su nombre, pidió a todas las universidades del mundo una cátedra para su discípula, pero no fue atendido, con gran disgusto del genial matemático, que no se recataba para censurar la incomprensión de la burocracia académica.

Mientras Weierstrass lanzaba en todas las direcciones de la rosa de los vientos el nombre de Sonja, ésta se entregaba de lleno a la vida mundana en San Petersburgo, cuya atención había atraído por su diploma alemán. Periodistas, literatos, poetas y hombres de mundo halagaron su vanidad femenina y Sonja se olvidó de la Matemática.

De la nueva vida frívola de Sonja se enteró Weierstrass por Chebycheff, catedrático de la Universidad de San Petersburgo que por aquellos días fue a visitar a su colega alemán, quien escribió a Sonja preguntándole cómo era posible que hubiera abandonado la Matemática. Sonja tardó en contestarle. ¿Será cierta la opinión que el donjuanesco tenor de Rigoletto expone entre gorgoritos en la empalagosa aria del último acto? Pero, como dice el poeta francés:

On revient toujours á ses premiers amours

y en octubre de 1878 Sonja escribe a su maestro haciéndole una consulta técnica, que fue el origen de una ininterrumpida correspondencia matemática e íntima, hasta 1880, en que, sin esperar respuesta a una carta suya, Sonja marchó a Berlín, donde, por sugestión de Weierstrass, estudió el problema de la propagación de la luz en un medio cristalino, y a los tres meses regresó a Moscú, tan transformada en su manera de ser, que no la conocieron sus estúpidos admiradores de antes. Ni su marido tampoco, con el cual no congeniaba.

El año 1883 fue a París para ponerse en relación personal con los matemáticos franceses y allí recibió la noticia de que su marido se había suicidado en Moscú a causa de dificultades económicas. Sonja se encerró en sus habitaciones, presa de un ataque de nervios, y estuvo cuatro días sin comer. Al quinto sufrió un desvanecimiento y, repuesta al día siguiente, pidió lápiz y papel, lo llenó de fórmulas y se marchó a Odesa a leérselo a los matemáticos reunidos allí en congreso, en el que tuvo un éxito delirante.

Mittag-Leffler pidió para ella una cátedra en la Universidad de Estocolmo. El matemático sueco fue más afortunado que el alemán, y Sonja conservó su puesto hasta el 10 de febrero de 1891 en que murió, recién cumplidos los cuarenta años, aquella mujer excepcional tanto por sus dotes intelectuales como por su belleza.

Su paso por la universidad sueca, además de los discípulos que formó, está señalado por tres notabilísimas memorias: Über die Reduction einer bestimmten Klasse Abel'scher Integraten 3-ten Bangeg auf eiliptische Integrale, Acta Mathematica, t. IV,1885; Über die Brechung des Lichtes in cristalinischen Mitteln, lb., t. XI, 1887, y el famoso estudio sobre la rotación de un cuerpo sólido alrededor de un eje, al que la Academia de París concedió el Premio Bordin de 1888 y cuyos resultados eran tan interesantes que la Academia elevó de 3000 a 5000 francos su recompensa en metálico. La concesión de este premio fue una de las mayores alegrías de Weierstrass, quien recibió la noticia el día 24 de diciembre de aquel año, cuyas fiestas navideñas tuvieron para el ya sexagenario profesor una nueva emoción. El premiado era él en su discípula, a la que consideraba como una prolongación de sí mismo. Lo mejor de su pensamiento se lo había comunicado a ella y ella lo había sublimado haciéndolo pasar por el crisol de su inteligencia privilegiada. Seis años le sobrevivió. Al cumplir los setenta, Weierstrass recibió el homenaje de todo el mundo científico y a los ochenta y dos, pocos antes de morir, el 19 de febrero de 1897, la Universidad de Berlín celebró su jubileo con solemnidad excepcional.

No se puede hoy andar por la ancha superficie del Análisis matemático sin encontrar el nombre de Weierstrass a cada paso. En todos los capítulos ha dejado impresa, con caracteres imborrables, una muestra de su genio. Weierstrass era también poeta en el más noble y elevado sentido de esta palabra. En una de sus cartas a Sonia, y hablando de Jacobi, dice: "Hay en él [Jacobi] un defecto que se encuentra en muchos hombres muy inteligentes, sobre todo en los de raza semítica: no tiene imaginación suficiente y un matemático que no es un poco poeta no será nunca un matemático perfecto. Las comparaciones son instructivas. La visión que abarca todo, dirigida hacia las cumbres, hacia el ideal, designa a Abel como superior a Jacobi... de una manera definitiva". A estas palabras pone Mittag-Leffler el siguiente comentario digno de ser traducido: "La opinión de Weierstrass es de gran interés por muchos conceptos. Al lado de la escuela del rigor matemático, cuyos más ilustres representantes modernos son Gauss, Cauchy, Abel y el mismo Weierstrass, se ha desarrollado poco a poco otra escuela que pretende percibir, gracias a ciertos aspectos geométricos, caminos transversales en las verdades matemáticas. Se presenta de buena voluntad en esta escuela el método de Weierstrass como una especie de lógica aritmética casi escolástica, y se profesa que las verdades descubiertas no se hacen jamás por vía puramente deductiva, en que cada proposición está ligada inflexiblemente a la que le precede. Esto es absolutamente justo, pero el ejemplo de Abel demuestra que es un error considerar los aspectos geométricos como la fuente única de descubrimientos nuevos. Abel no se entrega jamás a consideraciones geométricas y jamás mostró el menor interés por las proposiciones o por los métodos geométricos. Sin embargo, tenía un don de intuición como pocos lo han tenido antes o después de él. Y este don es el que le ha conducido a sus grandes descubrimientos. Pero, al propio tiempo, era completamente opuesto a la pretensión que preconizan los protagonistas de los aspectos geométricos en el Análisis: hacer aceptar como demostrados rigurosamente teoremas que deducían de vagas consideraciones espaciales. Abel era demasiado grande como pensador para tener tal pretensión. Había visto muy profundamente la íntima conexión de las cosas para no saber que incluso su intuición, necesitaba comprobarse por una deducción rigurosa. La frase de Weierstrass: “El verdadero matemático es poeta”, puede parecer singularmente extraña al gran público. Y, sin embargo, es así. Dicha frase no implica sólo que al matemático le haga falta, como al poeta, imaginación e intuición. Esto es verdad para todas las ciencias, pero no en el mismo grado que para la Matemática. La frase tiene un significado de mayor alcance. Los mejores trabajos de Abel son verdaderos poemas líricos, de una belleza sublime, en donde la perfección de la forma deja transparentar la profundidad del pensamiento, a la vez que llena la imaginación de cuadros de ensueños sacados de un mundo de ideas aparte, por encima de la trivialidad de la vida y más directamente emanados del alma misma que todo lo que haya podido producir ningún poeta en el sentido ordinario de la palabra. No hay que olvidar, en efecto, hasta qué punto el lenguaje matemático, hecho para las más altas necesidades del pensamiento humano, es superior a nuestro lenguaje ordinario. No hay que olvidar tampoco que el pensamiento interior está allí más completa y claramente expresado que en ningún otro dominio del hombre." Weierstrass, que conoció las mieles del triunfo, conoció también las hieles de la censura. Su adversario científico, antes aludido, fue Kronecker, que atacó sus ideas fundamentales. La hostilidad empezó en 1872 cuando Weierstrass presentó a la Academia de Berlín una curva continua en todos sus puntos y sin ninguna tangente, asestando con ello, un golpe de muerte a la intuición geométrica. La curva de Weierstrass tenía el valor de un experimentum crucis, al que Kronecker negó todo significado. Kronecker era un iconoclasta. En 1881 empezó también a atacar públicamente a Cantor, alma sensible empapada de transfinitud, genial creador de la Aritmética transfinita, a quien los ataques de Kronecker hicieron dudar de la solidez de su teoría de conjuntos. Sus contemporáneos creyeron que la actitud de Kronecker era producto de los celos, celos judíos, y no la tomaron en serio; pero hace pocos años se ha visto que la Matemática presenta fisuras y que la opinión de Kronecker es, en parte, responsable de la crisis actual. La Matematica de hoy padece, en efecto, una enfermedad de infinito, sin que hayan podido conjurarla los remedios drásticos de Weierstrass; pero cualquiera que sea el resultado de esta crisis, Weierstrass tendrá siempre el mérito de haber descubierto la raíz del mal, que es el primer paso indispensable para curarlo.


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Discusiones de Postgrado

EEPPIISSTTEEMMOOLLOOGGÍÍAA DDEE LLAA EEDDUUCCAACCIIÓÓNN MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA..

Dentro de las asignaturas conducentes de la Maestría en Educación Matemática, ofertada por la Dirección de Estudios de Postgrado de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo, está incluida “Epistemología de la Educación Matemática”, y esto con el propósito de fortalecer los fundamentos filosóficos y epistemológicos en el docente de matemática durante sus estudios de cuarto nivel, tanto en la matemática dimensionada ciencia en sí como sobre el conocimiento propio de su ejercicio profesional. Fundamentado en este principio, una de las estrategias de trabajo es la lectura y discusión crítica de la obra de algunos autores sobre epistemología en general, epistemología de la matemática y de la educación matemática. Las discusiones realizadas durante el periodo lectivo 1-2009 (enero-abril) se realizaron sobre los textos: “La Epistemología” de Robert Blanché (1973), “Epistemología de la Matemática” de Jean Piaget (1979) y “La epistemología del profesor sobre su propio conocimiento profesional” de Gerardo Perafán (2004). Las mismas tuvieron como producto la elaboración de ensayos pensatorios conclusivos por los participantes, en su mayoría de gran calidad. Esto motivó a solicitarles permitieran publicar en nuestra Revista HOMOTECIA los considerados mejores, lo que resultó bastante difícil determinar por la calidad antes señalada y a la f inal dada una selección previa, se recurrió al azar para tal escogencia. A partir de esta edición, comenzaremos a publicar la selección mencionada, uno por sección, con características parecidas a artículos de opinión. Siguiendo las pautas que siempre hemos establecido, queremos traer a colación lo citado en nuestra portada: si algún lector tiene objeciones sobre las ideas planteadas por los autores de los artículos que publicamos en la revista, agradecemos nos haga llegar a través de nuestra dirección electrónica sus comentarios.

El trabajo de lectura y discusión se inició en el periodo lectivo señalado, con la obra de Robert Blanché, “La Epistemología”.

En este libro, el autor nos presenta algunas posiciones muy particulares sobre la epistemología y refuerza las mismas confrontando los aportes de otros autores, a los cuales se les reconoce mundialmente su condición de epistemólogos.

A partir de hoy presentaremos una serie de seis artículos, uno por edición, sobre lo discutido referente a este texto. Más adelante publicaremos los resultados de las discusiones sobre otros libros. A continuación presentamos el primero de ellos, cuyo autor es el participante Luís Pérez Godoy.

LLAA EEPPIISSTTEEMMOOLLOOGGÍÍAA Por: LUÍS PÉREZ GODOY

C.I. Nº: 9.176.306

La obra de Robert Blanché titulada La Epistemología, Ediciones Oikut- tau (1973), plantea en sus capítulos I, II, III y IV, correspondientes a la primera parte, los aspectos concernientes a los orígenes de la epistemología, su ámbito, las aproximaciones a otras disciplinas y los problemas inherentes a la filosofía.

En cuanto a sus orígenes, Blanché la considera como una palabra que alude a “Teoría de la ciencia”, de reciente creación. Sin embargo los orígenes a los que el término hace referencia como son: ciencia o conocimiento ya aparecen en los diálogos de Platón.

El autor considera que los libros Ensayo sobre la inteligencia humana de John Locke (1932) y Nuevos Ensayos del filósofo Alemán Gottfried Leibniz (1646), son los que marcan el camino del inicio de lo que sería la epistemología.

Luego, esta idea en el siglo XVIII se verá reflejada en el discurso preliminar a la enciclopedia de D’Alembert. En el siglo XIX, se considera como los seguidores de lo que sería la teoría de los conocimientos a los escritos de Dugald Stewart (1814) en la filosofía del espíritu humano, y el volumen curso de filosofía positiva de Augusto Comte (1826). El siglo XIX también está representado por las obras de Bolzano y William Whewell. Es Bolzano quien utiliza la palabra wissenschaftslere para designar lo que se conoce como teoría del conocimiento.

El uso del método histórico-critico, empleado por Whewell en el siglo XIX, de carácter inductivo, sirvió de base para que Antoine Cournot publicara Ensayos Fundamentales del conocimiento humano, siendo considerado el mayor epistemólogo de su siglo.



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Durante el desarrollo del siglo XX, se pone en duda algunos de los principios de la ciencia clásica o ciencia normal, y se desarrolla un movimiento llamado “critica de las ciencias”, inspirada principalmente en la mecánica relativista de Einstein, la mecánica cuántica, el principio de incertidumbre, el principio de incompletitud de Kurt Gödel y los trabajos adelantados por Poincaré, entre otros.

Al delimitar el campo de estudio de la epistemología, se plantea la necesidad de deslindarla de la teoría del conocimiento, la filosofía de la ciencia y en general del positivismo lógico, ya que cada una de ellas trata el tema del conocimiento y el análisis lógico del lenguaje científico; sin embargo se separa de la lógica y la metodología en cuanto al objeto del conocimiento. Se considera que tanto la lógica como la metodología están dentro de la epistemología, y que la historia de la ciencia y la psicología del descubrimiento científico están fuera de su campo de acción.

El autor indica que la epistemología se ha ido separando cada vez más de la filosofía, y más estrictamente de la teoría del conocimiento, para hablar más bien de aproximaciones científicas o aproximaciones filosóficas. Bajo esta consideración se hallan los estudios de Bachelard, Russell, y Wittgensteín, al considerar este último a la lógica como un simple lenguaje de proposiciones tautológicas. Por otra parte, señala que Piaget considera la Epistemología Genética como la génesis de las estructuras lógicas elementales, al buscar una explicación causal de los mecanismos intelectuales a través del análisis de su formación y desarrollo.

En cuanto a los problemas que le son propios a la epistemología, se pueden dividir en aquellos de carácter general y los propios de cada disciplina científica. En este sentido se puede hablar, por ejemplo, de problemas epistemológicos de la matemática o problemas epistemológicos de la educación matemática.

Desde esta perspectiva valdría la pena someter al ejercicio de la duda metódica cartesiana la siguiente interrogante: ¿Cuáles son los problemas epistemológicos más relevantes de la educación matemática en Venezuela?

En la segunda parte del libro La Epistemología, titulada Algunos problemas de Epistemología, se reflexiona acerca de la organización de las ciencias, su unidad o división, el orden en el estudio de las ciencias, la naturaleza de la matemática, sus fundamentos y el sentido de verificación que presentan los resultados empíricos. Se concluye con una indagación en cuanto a la epistemología y la filosofía como instancias para repensar la construcción del sujeto científico en el marco de la realidad epistemica.

Se señala que la ciencia es una para el sujeto que la concibe, o la ciencia es una sola; y que esta dualidad tiene que ver con el método. Desde el siglo XVII, con el auge y consolidación del método científico ya se indicaba que la ciencia abarcaría tantos espacios que no se podía hablar de ciencia sino de ciencias, o en todo caso de disciplinas científicas; y que hay una cierta unidad en cuanto al espíritu científico (lo que Comte llama espíritu positivo).



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En la matemática el grupo Bourbaki reúne todas las ciencias bajo la unidad matemática, solo separadas por pequeñas estructuras. Paulatinamente se va imponiendo la interdisciplinariedad y la transdisciplinariedad a la rigidez del neopositivismo o positivismo lógico.

La tesis de la unidad de la ciencias indica que toda proposición científica podría expresarse en termino fisicalistas, el cual sería el lenguaje universal de las ciencias. Por esta razón Galileo afirmaba que la matemática es el lenguaje con el que Dios había escrito el universo. El establecimiento de este lenguaje a todos los campos del saber ha sido la finalidad del empirismo lógico agrupado en el Círculo de Viena.

En relación a la división de las ciencias el autor, plantea la dualidad entre ciencias puras y aplicadas, históricas y dogmáticas, deductivas e inductivas, particulares, descriptivas, explicativas, nomotéticas e ideográficas.

En cuanto a la matemática y la experiencia, al matematizarce la física, y en general las ciencias naturales, o ciencias de la realidad, se plantea la disyuntiva de cómo es posible que una ciencia que sólo se ha desarrollado al haber abandonado la experiencia sensible, sea ahora la clave para descifrarla. En esta discusión, el empirismo y el racionalismo plantean la cuestión desde su punto de vista, situación que Kant creyó haber superado.

El empirismo lógico del siglo XX hace una separación entre las preposiciones lógicas y la matemática, que son a priori y analíticas; y se niega a deducir la matemática de la experiencia sensible. El neopositivismo toma de Russell la idea de isomorfismo entre las preposiciones de la lógica y la matemática, y de Wittgenstein que los enunciados de la lógica son tautologías (trautatus lógico – filosófico). Esto quiere decir que son proposiciones formales carentes de contenidos. Se desprende que el empirismo lógico actual defiende la idea de una matemática independiente de la experiencia sensible. La discusión en cuanto a la naturaleza y fundamentos de la matemática sigue en pie entre intuicionistas, logicistas y formalistas.

La epistemología al ser relacionada con la filosofía se considera que ésta ha venido afianzándose como una disciplina científica independiente, con objeto de estudio y campos de acción diferenciados de la filosofía, ya que tanto el hecho científico como el conocimiento no son saberes completamente constituidos, sino que están en constante proceso de cambio

La obra de Blanché presenta una mirada desde el positivismo hacia la comprensión del conocimiento. Sustentada en los postulados del Círculo de Viena, sería pertinente plantearse las siguientes interrogantes: ¿por que no contrastar estos planteamientos con los señalados por la Escuela de Frankfurt?, ¿Qué hay de los señalamientos hechos desde la hermenéutica, la decontrucción del discurso, los estudios interpretativos y la teoría crítica?


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UUNN PPOOCCOO DDEE HHUUMMOORR MMAATTEEMMÁÁTTIICCOO

Los Tres Ceritos (O el cuento “Los tres cerditos” versionado matemáticamente)

Versión del cuento autoría de:

David Gutiérrez Rubio (Davidi )

Tomado de: Portal de Pablo

Éranse una vez tres ceritos que vivían en un cuerpo K. Uno era muy listo, otro muy vago, y otro muy confiado.

Un buen día llegó a visitarles su amigo el uno. En muchos cuerpos como éste, era costumbre que el uno hiciera estas visitas cada cierto tiempo característico [la característica de un cuerpo es el menor entero n tal que 1+...+1 (n veces)=0], que dependía del cuerpo donde vivían. Sin embargo, ese día, su amigo les trajo malas noticias.

-"Lo siento amigos míos, pero tendrán que marcharse. El congreso acaba de aprobar una ley conocida como “Teorema de unicidad de elementos neutros para la suma” que prohíbe la estancia en el cuerpo de más de un cero".

-"¡Oh, vaya!, dos de nosotros tendrán que irse", dijo uno de los ceritos.

-"Lo siento, pero el puesto ya fue dado a otro cero que está bien enchufado. Dicen que es primo del famoso Cero de Hilbert. Temo que tendrán que irse los tres".

Apenados, los ceritos cogieron sus pertenencias, y se fueron mucho más allá de las extensiones finitas, a un espacio normado propiedad de un multimillonario llamado Hausdorff, amigo de los ceritos, el cual les dejó vivir allí.

Como había mucho terreno libre por habitante, debido a que la topología empleada en la construcción del espacio era muy fina, decidieron construirse una casita para cada uno.

-"Yo me haré una casita con hiperplanos", dijo el cerito más confiado. Dicen que este cerito era tan confiado, que cuando iba al médico a hacerse un análisis matemático, siempre se los hacía sin ningún tipo de rigor.

-"Yo me construiré una casa con matrices", dijo el cerito más vago. Malas lenguas contaban que era tan vago, que en la fábrica de ecuaciones donde trabajaba, sólo producía ecuaciones con solución trivial.

-"Pero deberían hacerse casas más fuertes, pues sé que por aquí ronda una esfera descentrada muy feroz, que se los comerá cuando tenga la oportunidad", dijo el cerito sabio. Cuentan que este cerito era tan sabio que incluso ¡aprendió a dividir números! (según la definición de divisibilidad, el cero no puede dividir a ningún número).

-"¡Bah, no tenemos miedo de esa esfera, nuestras casitas nos protegerán!".

-"Hagan lo que quieran, pero yo me haré una casa fuerte, compacta, y por lo tanto cerrada y acotada", y dicho esto, se marchó.

Al cabo de un tiempo, cada cerito había terminado su casita. El cerito confiado tenía su casita hecha de hiperplanos y el cerito vago su casita compuesta enteramente de matrices.

Al cerito sabio le costó mucho trabajo hacer su casa, pues primero tuvo que comprar un 3-cubo compacto y empezar a parametrizar la casa. Cuando acabó, se dio cuenta de que el tejado tenía algunas discontinuidades evitables que producirían goteras cuando lloviera, así que tuvo que comprar unos cuantos abiertos para recubrir los agujeros por continuidad.

Una vez terminada la casa, comenzó a construirle una cota alrededor (como su casa era compacta, sabía que podría construir una), pero como había tenido la precaución de hacer su casa diferenciable pudo localizar fácilmente los puntos más alejados y a partir de ahí construir la cota.

Como ven, al cerito sabio le fueron muy útiles sus conocimientos sobre derivadas, que aprendió de sus múltiples peregrinaciones por la Ruta Jacobiana.

Pasó el tiempo, y la esfera se percató de ellos.

-"Parece que tenemos aquí comida deliciosa. Me alegro, empezaba a estar harto de alimentarme de restos de divisiones euclídeas".

Y dicho esto, la malvada esfera fue directa a casa del cerito confiado (como estaba descentrada, la malvada esfera podía moverse por donde quisiera). (Al estar centrada, todos los puntos deben distar siempre lo mismo del centro).

No tardó mucho en encontrar al cerito confiado, pues mirara por donde mirara, siempre veía parte de su casa, (una recta y un hiperplano proyectivos siempre se cortan, en este caso, la recta es la mirada de la esfera y el hiperplano el material de que está hecha la casa del cerito confiado) así que fue hacia allí.

(CONTINÚA EN LA PÁGINA SIGUIENTE)


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-"¡Cerito, si no abres la puerta soplaré, soplaré y la casa proyectaré!", amenazó la esfera.

-"No te tengo miedo, esfera cruel, mi casa es toda de hiperplanos dobles y aguantará", respondió el cerito.

Pero lo que no sabía el cerito era que la esfera había perdido un punto en un accidente con un equipo estereográfico (la proyección estereográfica parametriza toda la esfera menos un punto).

Se hinchó por el punto que le faltaba, y sopló tan fuerte, que dualizó la casa del cerito convirtiendo los hiperplanos de ésta en un montoncito de puntos insignificantes. El cerito, asustado, salió corriendo por una sucesión que convergía directamente a casa del cerito vago.

La malvada esfera salió corriendo detrás del cerito, pero nuestro amigo atajó por una subsucesión que le llevó a su destino más rápidamente. Por suerte, la esfera prefirió no adentrarse en la subsucesión por miedo a perderse (aquí se hace patente la ignorancia de la esfera de no conocer el Teorema Fundamental del Límite: En una sucesión que converge, cualquier subsucesión converge al mismo sitio), con lo que el cerito llegó con tiempo de avisar al cerito vago y de resguardarse en la casita hecha de matrices.

Al cabo de un rato llegó la esfera. Gritó:

-"¡Jo, jo, da igual dos ceros que n ceros o uno solo, no pueden nada contra mí, salgan inmediatamente o soplaré, soplaré y la casa reduciré!".

-"No quiero salir, esfera, mi casa es totalmente hermética y aguantará", respondió el cerito.

Entonces la esfera sopló y sopló tan fuerte que redujo todas las matrices de la casa por columnas (si la esfera hubiera soplado hacia arriba o abajo, hubiera reducido las matrices por filas), convirtiendo la casa en un esqueleto compuesto de incógnitas (el cerito vago había usado matrices de ecuaciones sin molestarse siquiera en resolverlas). Por si fuera poco los dos ceritos hubieran salido volando de no ser porque se agarraron a un pivote de una matriz que todavía quedaba en pie.

Pero ¿por qué era tan mala la esfera? Según se cuenta, la esfera estuvo trabajando en una banda criminal llamada La Banda de Moebius, de ahí su carácter retorcido. Pero volvamos a nuestro cuento.

Despavoridos, los ceritos salieron corriendo a casa del cerito sabio. Lo encontraron montado en una tractriz, plantando grafos en su huerto. Corrían tanto que saltaron la cota de la casa de un salto.

-"¡Socorro, socorro, ayúdanos cerito sabio, la esfera quiere devorarnos!".

-"No se preocupen, entren a mi casa, verán cómo la esfera no puede hacernos daño", dijo el cerito sabio. Y dicho esto, se metieron en la casa.

Al cabo de un rato llegó la esfera malvada. No le costó trabajo encontrar el camino porque uno de los ceritos pisó un punto de tinta de modo que sólo tuvo que seguir la cicloide (si una circunferencia rueda sobre una recta, la curva que describe cualquiera de sus puntos se llama cicloide; no olvidemos que los ceritos son redondos) que iban dejando tras ellos.

Una vez que llegó, gritó con todas sus fuerzas:

-"¡Por fin los tengo a los tres juntos, salgan o soplaré, soplaré y la casa despejaré!”.

-"Nunca", dijo el cerito sabio, "mi casa es fuerte y aguantará".

Entonces la malvada esfera sopló y sopló, pero como la casa era compacta, sólo llegaron a ella un número finito de soplidos, lo cual no llegó a afectarle mucho. La esfera, obstinada, sopló y sopló con todas sus fuerzas, pero el cerito sabio había tenido la precaución de hacerse una casa con superficie Gaussiana, con lo cual todos los soplidos de la esfera se repelieron mutuamente.

La esfera quedó exhausta, y el cerito sabio aprovechó ese momento para dejar caer sobre ella un pesado atlas de 6 tomos que recubrieron totalmente a la esfera dejando a ésta aprisionada.

Entonces los ceritos agarraron a la esfera por una de sus geodésicas y tirando, tirando, consiguieron deshilacharla y convertirla en una curva, y hecho esto la llevaron a R2 donde ahora podría llevar una vida con parámetro natural.

Hecho esto, los ceritos agradecieron al cerito sabio su ayuda y prometieron ser más trabajadores y menos confiados.

Y aquí este cuento terminó.


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¡¡SSeegguuiimmooss eenn gguueerrrraa ccoonnttrraa eell AALLZZHHEEIIMMEERR!! Enviado por:

Irma Coromoto Rodríguez Jazpe ([email protected]). Viernes, 24 de julio de 2009 12:37:36 AM. Maestría en Enseñanza de la Matemática – FACE – UC.

Lee en voz alta lo que está escrito en el cuadro de abajo.

Probablemente leíste: 'A bird in the bush ,' (“Un ave en el monte “ en inglés) y....... si eso ES lo que TU haz leído, entonces tu no haz visto que la palabra THE está repetida ¡dos veces! Disculpa, pero míralo nuevamente... Ahora, veamos algunas palabras escrita de forma interesante. ¿Qué es lo que ves aquí?

En negro tú puedes leer la palabra GOOD (bueno en inglés) y en blanco claro la palabra EVIL (malo en inglés) ya que dentro de cada letra negra hay otra letra blanca clara.

¿Y aquí qué ves?

Quizás no lo puedas ver a primera vista, pero en los espacios claros se puede leer la palabra OPTICAL (Óptico en inglés), y como paisaje se lee la palabra ILLUSION (Ilusión en inglés). ¡Míralo nuevamente! Ahora vamos a una ilusión óptica... ¿Qué es lo que ves aquí?

¡Esta no es difícil! La palabra TEACH (Enseñar en inglés) se refleja como LEARN (Aprender en inglés). ¿Y en esta otra qué ves?

Probablemente leas la palabra ME (Yo en inglés) en marrón (o en grises), pero....... cuando mires a través de ME tu verás ¡YOU...! (Tú en inglés). ¿Necesitas mirar nuevamente?



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Chequea tu Cerebro

TEST VISUAL DE ALZHEIMER:

Cuenta todas las ' F ' del siguiente texto:

FINISHED FILES ARE THE RESULT OF YEARS OF SCIENTIFIC STUDY COMBINED WITH THE

EXPERIENCE OF YEARS... (“Los archivos terminados son el resultado de años de estudio científico combinados con la experiencia de años...” en inglés). (VEA ABAJO) ¿CUÁNTAS F contó? ¿3? EQUIVOCADO, SON 6. Con seguridad.

¡LEA NUEVAMENTE!

Realmente, Vuelva e Intente encontrar las 6 F antes de seguir...

La razón de esto está explicada a continuación: El Cerebro no consigue procesar 'OF'. Increíble ¿no? Vuelva a mirarlo nuevamente. Aquellos que han logrado contar las 6 'F'' a la primera tienen el cerebro procesando en muy buenas condiciones.

Más cosas del cerebro. De la Universidad de Cambridge . Sloo prseoans epxertas cnsoiugen leer etso. Yo no cnogsíeua pensr que relmante pídoa etndeer lo que etbsaa lnyedo. El pdoer fdamuetanl de la mntee huamna, de aercudo con una invtesaigicon de la Unvireisadd de Cmabrigde, no ipmrota el odren en que las lteras etsen en una plabara, la úcina csoa ipmotratne es que la piremra y la útimla ltreas etsén en el lguar crotreco. El rseto pduee etasr en ttaol eenrdo y tú aún pdorás leer sin prolbmea. Etso pruqoe la mtene haunma no lee cdaa lreta idnvidailuemtne, snio que tmoa la pbrlaaa cmoo un tdoo. ¿Ipessrinaonte? Y yo que smirepe psené que el odern era ipmorantte! Si tu pdues leer esto, ¡flecitacioens!


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PPrraaccttiiccaarr eell ppeennssaammiieennttoo LLaatteerraall oo DDiivveerrggeennttee ttaammbbiiéénn aayyuuddaa ccoonnttrraa eell AALLZZHHEEIIMMEERR

Por: Iliana Rodríguez

Docente FACE - UC

"Un buen problema de pensamiento lateral o divergente es aquél cuya respuesta es la que tiene más sentido, la más apta y la más satisfactoria".

A continuación presento algunos problemas cuyas respuestas ameritan la utilización del pensamiento divergente:

A) EL HOMBRE EN EL ASCENSOR. Un hombre vive en un edificio en el décimo piso (10). Todos los días toma el ascensor hasta la planta baja para ir a su trabajo. Cuando vuelve, sin embargo, toma el ascensor hasta el séptimo piso y hace el resto del recorrido hasta el piso en el que vive (el décimo) por las escaleras. Si bien el hombre detesta caminar, ¿por qué lo hace?

B) EL HOMBRE EN EL BAR. Un hombre entra en un bar y le pide al barman un vaso de agua. El barman se arrodilla buscando algo, saca un arma y le apunta al hombre que le acaba de hablar. El hombre dice “gracias” y se va. ¿Por qué?

C) EL HOMBRE QUE SE “AUTOESTRANGULÓ”. En el medio de un establo completamente vacío, apareció un hombre ahorcado. La cuerda alrededor de su cuello estaba atada a un andamio en el techo. Era una cuerda de tres metros. Sus pies quedaron a un metro de altura del piso. La pared más cercana estaba a siete metros del muerto. Si escalar las paredes o treparse al techo es imposible, ¿cómo hizo?

D) HOMBRE EN UN CAMPO ABIERTO CON UN PAQUETE SIN ABRIR. En un campo se encuentra un señor tendido, sin vida. A su lado hay un paquete sin abrir. No hay ninguna otra criatura viva en el campo. ¿Cómo murió?

E) EL BRAZO QUE LLEGÓ POR CORREO. Un hombre recibió un paquete por correo. Lo abrió cuidadosamente y encontró el brazo de un hombre adentro. Lo examinó, lo envolvió nuevamente y lo mandó a otro hombre. Este segundo hombre examinó el paquete que contenía el brazo muy cuidadosamente también, y luego, lo llevó hasta un bosque en donde lo enterró. ¿Por qué hicieron esto?

F) DOS AMIGOS ENTRAN A COMER EN UN RESTAURANTE. Los dos lograron sobrevivir al naufragio de un pequeño barco en donde viajaban ambos y el hijo de uno de ellos. Pasaron más de un mes junto en una isla desierta hasta que fueron rescatados. Los dos ordenan el mismo plato del menú que se les ofrece. Una vez que el mozo les trae la comida, comienzan a comer. Uno de ellos, sin embargo, ni bien prueba el primer bocado sale del restaurante y se pega un tiro. ¿Por qué?

G) UN HOMBRE VA BAJANDO LAS ESCALERAS DE UN EDIFICIO cuando advierte súbitamente que su mujer acaba de morir. ¿Cómo lo sabe?


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Algunos de los fenómenos naturales extraños del planeta, son extremadamente efímeros y además enormemente localizados y altamente inalcanzables. Estamos presentando desde el Nº 4-2009, de uno en uno, siete de las increíbles anomalías de la naturaleza que han sido observadas.

LLaass nnuubbeess mmaammmmaattuuss

SU APARICIÓN ES PRONÓSTICO DE GRANDES TORMENTAS

La aparición de este tipo tan peculiar de nubes es un presagio nefasto de la llegada de fuertes tormentas o climatología adversa crítica. Estas nubes contienen principalmente cristales de hielo capaces de extenderse en una línea que puede medir centenares de kilómetros. Algunas formaciones de estas nubes pueden permanecer estáticas durante un tiempo de 10 a 15 minutos.


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GALERIA

GEORGI VORONÓI (1868-1908)

Georgy Voronoy (en ruso: Вороной Георгий Феодосьевич). Nació el 28 de abril de 1868 y falleció el 20 de noviembre de 1908. Matemático. Descendiente de una familia de matemáticos ucranianos. Es mayormente conocido por haber definido los diagramas de Voronoi.1

Estudió desde 1889 en la Universidad de San Petersburgo donde fue alumno de Andrei Markov. En 1894 se convierte en profesor de la Universidad de Varsovia, donde trabajó en fracciones continuas.

Referencias.

1. ↑ G.F. Voronoi (1908). "Nouveles applications des paramétres continus á la théorie de formas quadratiques.". J Reine Angew Math 134: 198-287.

Fuente: Wikipedia. 23 Diciembre 2008

JOHN BACKUS (1924-2007)

John Backus, matemático y experto en informática estadounidense. Nació en Filadelfia, el 3 de diciembre de 1924 y falleció en Oregón, el 17 de marzo de 2007. Ganador del Premio Turing en 1977 por sus trabajos en sistemas de programación de alto nivel, en especial por su trabajo con FORTRAN.

Para evitar las dificultades de programación de las calculadoras de su época, en 1954 Backus se encargó de la dirección de un proyecto de investigación en IBM para el proyecto y realización de un lenguaje de

programación más cercano a la notación matemática normal. De ese proyecto surgió el lenguaje FORTRAN, el primero de los lenguajes de programación de alto nivel que tuvo un gran impacto, incluso comercial, en la emergente comunidad informática.

Tras la realización de FORTRAN, Backus fue un miembro muy activo del comité internacional que se encargó del proyecto de lenguaje ALGOL. En ese contexto propuso una notación para la representación de las gramáticas usadas en la definición de un lenguaje de programación (las llamadas gramáticas libres de contexto). Tal notación se conoce como BNF, o Forma de Naur y Backus (Backus-Naur Form) y une al nombre de Backus al de Peter Naur, un informático europeo del comité ALGOL que contribuyó a su definición.

En los años 1970, Backus se interesó sobre todo por la Programación funcional, y proyectó el lenguaje de programación FP, descrito en el texto que le sirvió para ganar el premio Turing, "Can Programming be Liberated from the Von Neumann Style?" Se trata de un lenguaje de uso fundamentalmente académico, que sin embargo animó un gran número de investigaciones. El proyecto FP, transformado en FL, se terminó cuando Backus se jubiló en IBM, en 1991.

John Backus falleció el sábado 17 de marzo de 2007, a la edad de 82 años en su casa en Ashland, Oregón por causas naturales, de acuerdo la declaración de su familia.1

TARJETA UTILIZADA PARA EL LENGUAJE FORTRAN. ERA PERFORADA MEDIANTE UNA MÁQUINA Y LUEGO SE INSERTABA EN EL COMPUTADOR PARA SU LECTURA. LA CÁTEDRA DE CÁLCULO DEL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA DE LA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN DE LA UNIVERSIDAD DE CARABOBO, TIENE A LA DISPOSICIÓN DE LOS LECTORES, PARA SU OBSERVACIÓN, UNA DE ESTAS TARJETAS.

Referencias.

1. Lohr, Steve (19 de marzo de 2007). John W. Backus, 82, Fortran Developer, Dies. New York Times.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/John_Backus". 23 Diciembre 2008.

HOMOTECIA Nº 9-2009

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