J-HOMOTECIA Nº 10-2009

EDITORIAL El editorial de la revista HOMOTECIA Nº 6-Año 7

del 2 de Junio de 2009, lo comenzamos con lo

siguiente: “En el pregrado, ¿cuál es el nivel

que debe tener el conocimiento

universitario?”. Además agregamos: “La

pregunta parece absurda pero hay que

hacérsela cuando se habla de formación

docente”. Esta interrogante y este

comentario lo traemos nuevamente a

colación como consecuencia de una

conversación que sostuvimos con un

grupo de docentes de nuestra facultad,

durante el transcurso del recientemente

finalizado Curso de Nivelación y Avance

2009. Estos profesores opinaban en esa

oportunidad que se debía hacer más

énfasis y ser más exigente, en las

asignaturas que estaban dirigidas

propiamente a la formación del

estudiante en la mención de la cual

aspiraban egresar. Consideramos que

innegablemente este énfasis y esta

exigencia tienen que darse por la

naturaleza de la profesión docente; pero

de igual manera lo mismo debe ocurrir

con el resto de las asignaturas del

pensum, ya sean consideradas básicas o

complementarias. No sólo hacen falta las

herramientas específicas de cada

mención sino todas las que puedan ser

posibles de adquirir. Las herramientas

que puedan aportar estas asignaturas

básicas o complementarias proporcionan

fortalezas que permitirán una mejor

accesibilidad y una mejor adquisición de

las herramientas específicas de mención.

Si un docente universitario que forma

docentes asume que su función es

únicamente aportar información para que

un egresado o egresada de una

determinada mención se desenvuelva en

solo esa área, comete un grave error

porque al aceptar que él o ella no deben

desarrollar destrezas en contextos

relacionados, está promoviendo el egreso

de un profesional que no ha podido

superar ciertas debilidades durante la

transición de su formación académica.

Queda así abierto un punto para la

reflexión y discusión académicas.

REFLEXIONES "Obrar es fácil, pensar es difícil; pero obrar según se piensa, es aún más difícil."

Johann W. Goethe

RReevviissttaa HHOOMMOOTTEECCIIAA PPuubblliiccaaddoo ppoorr::

CCÁÁTTEEDDRRAA DDEE CCÁÁLLCCUULLOO

DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA YY FFÍÍSSIICCAA

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

UNIVERSIDAD DE CARABOBO

COORDINADORES DE PUBLICACIÓN

Prof. Rafael Ascanio H. Prof. Próspero González M.

DDaanniieell BBeerrnnoouullllii Daniel Bernoulli nació el 8 de febrero de 1700 y falleció el 17 de marzo de 1782. Se le considera matemático holandés-suizo. Destacó no sólo en matemáticas puras, sino también en las aplicadas. Hizo importantes contribuciones en hidrodinámica y elasticidad.

DANIEL BERNOULLI

(*1700-†1782)

Daniel era hijo del matemático Johann Bernoulli y nació en Groninga (Holanda), donde su padre era entonces profesor. En 1705, su padre obtiene una plaza en la Universidad de Basilea y la familia regresa a la ciudad suiza de donde era originaria.

Por deseo de su padre realizó estudios de medicina en la Universidad de Basilea, mientras que a la vez, en su casa, su hermano mayor, Nikolaus y su padre ampliaban sus conocimientos matemáticos. Daniel finalizó los estudios de Medicina en 1721. En principio intenta entrar como profesor en la Universidad de Basilea, pero es rechazado.

En 1723 gana la competición anual que patrocinaba la Academia de las Ciencias francesa y a su vez Christian Goldbach, matemático prusiano con el que mantenía correspondencia sobre las lecciones aprendidas con su padre, impresionado por el nivel de Bernoulli, decide publicar las cartas escritas por Daniel.

En 1724, las cartas publicadas habían llegado a todo el mundo y Catalina I de Rusia le envió una carta proponiéndole ser profesor en la recién fundada Academia de Ciencias de San Petersburgo, por mediación de su padre, logró que se ampliara la oferta a los dos hermanos: Nicolás y Daniel. Su hermano moriría en San Petesburgo en 1726 de tuberculosis.

En la Academia Daniel trabajó en la cátedra de Física. Como anécdota se dice que en ese tiempo compartió piso con Euler, que había llegado a la Academia recomendado por el propio Daniel y al que ya conocía por ser un aventajado alumno de su padre en la Universidad de Basilea. Daniel I estuvo ocho años en San Petersburgo y su labor fue muy reconocida.

En el año 1732 vuelve a Basilea donde había ganado el puesto de profesor en los departamentos de botánica y anatomía. En 1738 publicó su obra 'Hidrodinámica', en la que expone lo que más tarde sería conocido como el Principio de Bernoulli. Daniel también hizo importantes contribuciones a la teoría de probabilidades.

Es notorio que mantuvo una mala relación con su padre a partir de 1734, año en el que ambos compartieron el premio anual de la Academia de Ciencias de París, Johann lo llegó a expulsar de su casa y también publicó un libro Hydraulica en el que trató de atribuirse los descubrimientos de su hijo en esta materia.

En 1750 la Universidad de Basilea le concedió, sin necesidad de concurso, la cátedra que había ocupado su padre. Publicó 86 trabajos y ganó 10 premios de la Academia de Ciencias de París, sólo superado por Euler que ganó 12. Al final de sus días ordenó construir una pensión para refugio de estudiantes sin recursos. Murió de un paro cardiorrespiratorio.

Tomado de: Wikipedia® Wikimedia Foundation, Inc. 21 Diciembre 2008

LLAASS IIDDEEAASS YY OOPPIINNIIOONNEESS DDEE LLOOSS AAUUTTOORREESS DDEE LLOOSS AARRTTÍÍCCUULLOOSS QQUUEE PPUUBBLLIICCAAMMOOSS EENN HHOOMMOOTTEECCIIAA SSOONN RREESSPPOONNSSAABBIILLIIDDAADD DDEE LLOOSS MMIISSMMOOSS.. SSII AALLGGÚÚNN LLEECCTTOORR TTIIEENNEE OOBBJJEECCIIOONNEESS SSOOBBRREE EESSTTAASS IIDDEEAASS YY OOPPIINNIIOONNEESS PPLLAANNTTEEAADDAASS,, AAGGRRAADDEECCEEMMOOSS NNOOSS HHAAGGAA LLLLEEGGAARR AA TTRRAAVVÉÉSS DDEE NNUUEESSTTRRAA DDIIRREECCCCIIÓÓNN EELLEECCTTRRÓÓNNIICCAA,, [email protected],, SSUUSS CCOOMMEENNTTAARRIIOOSS..

HHOOMMOOTTEECCIIAA Tiraje: 100 ejemplares

CÁTEDRA DE CÁLCULO - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA - FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN - UNIVERSIDAD DE CARABOBO Publicación Periódica Nº 10 - AÑO 7 e-mail: [email protected]

© Rafael Ascanio H. – 2009. Hecho el Depósito de Ley. Depósito Legal: PP200902CA3088 - Valencia, 1º de Octubre de 2009

HOMOTECIA Nº 10–Año 7 Jueves, 1º de Octubre de 2009

2

CCÁÁLLCCUULLOO IINNTTEEGGRRAALL

LLAA IINNTTEEGGRRAALL DDEEFFIINNIIDDAA

INTEGRACIÓN APROXIMADA. VALOR NUMÉRICO APROXIMADO DE ∫b

adxxf )( .

REGLA DE SIMPSON.- Esta regla, llamada también Regla de la Parábola, proporciona una mejor aproximación que la Regla de los Trapecios. Sea la gráfica de la función )(xfy = similar a la que se muestra en la figura bajo el párrafo, enmarcada en el intervalo [a, b]. Sobre

el intervalo [a, b] se realiza una partición de una n cantidad par de subintervalos, todos con una amplitud igual a n

abh −= (partición

regular), con límites para cada subintervalo según el orden bxxxxa n =<<<<= L210. En la gráfica se forman puntos similares a

[ ])(, ii xfx . En la Regla de los Trapecios, cada dos puntos consecutivos de éstos se unen mediante segmentos de recta para formar los n

trapecios. Para utilizar la Regla de Simpson, cada tres puntos consecutivos se unen mediante segmentos de parábola.

Si se toma una de las figuras que genera cada segmento de parábola, se obtendría lo siguiente:

donde ( ) ( ) ( ))(,y)(,,)(, 222111000 xfxPxfxPxfxP === , son puntos de la parábola cuya ecuación es de la forma

CBxAxy ++= 2 . Si se considera que 0)(0)(,0)( 210 ≥≥≥ xfyxfxf y además hxxyhxx 20201 +=+= , es posible

comprobar que el área de la figura generada por el segmento de parábola es igual a: [ ])()(4)( 21031 xfxfxfh ++⋅ .

Comprobación:

Para facilitar la comprobación, considérese la figura generada por el segmento de parábola como se muestra en la siguiente gráfica:

(CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA)


3

(VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR)

Así se tiene que ( ) ( ) ( ))(,y)(,0,)(, 221100 xfhPxfPxfhP ==−= . Siendo la ecuación del arco de parábola CBxAxy ++= 2 , entonces

el valor de ( )∫− ++h

hdxCBxAx2 resulta positivo y como se estudiará en el capítulo correspondiente, es igual al área de la región

determinada por el arco de parábola y las rectas hxhx =−= y .

Así se tiene que ( )∫−++=

h

hdxCBxAxA 2 expresa el área de la figura considerada. Ahora se calcula la integral.

( ) ChAh

AChAh

CxBxAx

dxCBxAxAh

h

h

h2

3

22

3

2

23

33232 +=⇒+=

++=++=

−−∫

Pero como la curva pasa por los puntos [ ] [ ] [ ])(,y)(,0,)(, 221100 xfhPxfPxfhP − , estos satisfacen la ecuación de la parábola. Así que:

CBhAhxfy

CxfyCCBAxfy

CBhAhxfy

++==

==⇒=+⋅+⋅==

+−==

222

112

11

200

)(

)(00)(

)(

De aquí que:

( )

)(2)()(2

)(22)()()(222222)()(

1202

12

2012

12222

2020

xfxfxfAh

xfAhxfxfxfAhyAhCAhCBhAhCBhAhxfxfyy

−+=⇒

+=+⇒+=+=+=++++−=+=+

Esta expresión obtenida se sustituye en la del área calculada previamente, tomando en cuenta que Cxfy == )( 11 :

[ ]

[ ] [ ] [ ])()(4)(3

1)()(4)(

3

1)()(4)(

3

3

)(4

3

)(

3

)()(2

3

)(2

3

)(

3

)(

)(2)(2)()(3

223

23

22

3

2

210210210

1201

120

11202

23

xfxfxfhAxfxfxfhxfxfxfh

hxfxfhxfhhxf

xfhxfhxfh

hxfxfxfxfh

ChAhh

ChhAh

ChAh

A

++⋅=⇒++⋅=++⋅=

=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅−⋅+⋅=

=⋅+−+⋅=+⋅=+⋅=+=

Esta fórmula para calcular el área bajo un arco parabólico se conoce como fórmula prismoidal, y es independiente de la posición con respecto al eje y. Si se suman todas las áreas de las figuras generadas por los segmentos de parábola, se tendrá una aproximación del valor de

∫b

adxxf )( . De aquí que:

[ ] [ ] [ ][ ][ ])()(4)(2)(4...)(2)(4)(2)(4)(

)()(4)(2)(4...)(2)(4)(2)(4)(

)()(4)(...)()(4)()()(4)()(

123432103

1234321031

1231

43231

21031

nnnnnab

nnnn

nnn

b

a

xfxfxfxfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxfxfxfxfh

xfxfxfhxfxfxfhxfxfxfhdxxf

+++++++++⋅=

=+++++++++⋅=

=++⋅++++⋅+++⋅≈

−−−−

−−−

−−∫

Definición: Si la función f es continua en [a, b], n es un número par, y los números bxxxxa n =<<<<= L210 forman una

partición regular de [a, b], entonces:

[ ])()(4)(2)(2)(4)(3

)( 12210 nnn

b

axfxfxfxfxfxf

n

abdxxf ++++++⋅−≈ −−∫ L

FÓRMULA PARA APLICAR LA REGLA DE SIMPSON



4


Error en la Regla de Simpson:

Definición: Si existe la cuarta derivada de la función, )()4( xf , en el intervalo [a, b], entonces el error E en la Regla de Simpson

viene dado por:

[ ])(.180

)( )4(4

5

xfMáxn

abE

−≤

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS.

1.- Utilizando la Regla de Simpson, obtenga un valor aproximado, con cuatro cifras decimales, para ∫ +1

0 1x

dx con n=4.

Solución:

Como n=4, entonces 25,041

401 ==== −−

nabh . Al ser

1

1)(

+=

xxf , se tiene que:

50000,0)(125,075,0

57143,0)(75,025,05,0

66667,0)(5,025,025,0

80000,0)(25,025,00

00000,1)(0

44

33

22

11

00

==+====+===+===+====

xfbx

xfx

xfx

xfx

xfax

En consecuencia:

( ) ( )

6933,01

6933,031906,85,028572,233334,12,315,057143,0466667,028,04131

1

0

121

1214

11

0

≈+

⇒

=⋅=++++⋅=+⋅+⋅+⋅+⋅≈+

∫

∫

x

dx

x

dx

2.- Calcular utilizando la Regla de Simpson, un valor aproximado de dxx

Cosx∫

5,0

1,0 con n=4.

Solución:

Como n=4, entonces 1,041,05,0 === −−

nabh . Se tiene que

x

Cosxxf =)( . Los límites de integración están expresados en radianes.

Luego:

75,1)(5,01,04,0

30,2)(4,01,03,0

18,3)(3,01,02,0

90,4)(2,01,01,0

95,9)(1,0

44

33

22

11

00

==+====+===+===+====

xfbx

xfx

xfx

xfx

xfax

En consecuencia:

( ) ( )

4058,14058,186,4603,0

75,12,936,66,1995,903,075,130,2418,3290,4495,93

1,0

5,0

1,0

5,0

1,0

≈⇒=⋅=

=++++⋅=+⋅+⋅+⋅+⋅≈

∫

∫

dxx

Cosx

dxx

Cosx



5


3.- Calcule el error cometido al utilizar la Regla de Simpson para obtener el valor aproximado de ∫2

1 x

dx con n=10.

Solución: Obteniendo la cuarta derivada:

55)4(432 24

24)(6)(2)()(1

)(x

xxfxxfxxfxxfx

xf ==⇒−=′′′⇒=′′⇒−=′⇒= −−−−

El valor máximo de )()4( xf : En el intervalo [ ]2,1 se verifica que no hay ningún valor que anule a la cuarta derivada (punto crítico).

Entonces buscamos el máximo utilizando los extremos. El valor máximo de )()4( xf en [ ]2,1 es 24)1()4( =f .

Luego: [ ] 000013,0000013,02410180

)12()(.

180

)(4

5)4(

4

5

≤⇒=⋅⋅

−=−≤ ExfMáxn

abE

4.- Determine cuál es el máximo error cometido al calcular el valor aproximado de ∫ +2

1 1 x

dxpor la Regla de Simpson con

n=8. Solución: Obteniendo la cuarta derivada:

( ) ( ) ( ) ( )5

)4(432 )1(

24

)1(

6´´´´

)1(

2´´

)1(

1

1

1)(

xxf

xxf

xxf

xxf

xxf

+=⇒

+−=⇒

+=⇒

+−=′⇒

+=

El valor máximo de )()4( xf : En el intervalo [ ]2,1 no hay ningún valor que la anule (punto crítico). Entonces buscamos el máximo

utilizando los extremos. El valor máximo de )()4( xf en [ ]2,1 es 75,0)1()4( =f .

Entonces:

[ ] 00000102,000000102,075,08180

)12()(.

180

)(4

5)4(

4

5

≤⇒=⋅⋅

−=−≤ ExfMáxn

abE

En el próximo número trataremos otros temas relacionados con la Integral Definida.


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LLAA DDIINNÁÁMMIICCAA DDEELL CCAAOOSS Por: Joaquín González Álvarez

La Dinámica, como es sabido, es la parte de la Física que estudia el movimiento. Por sistemas dinámicos entenderemos en este trabajo, los sistemas físicos, químicos, biológicos y sociales, cuyas propiedades varían con el tiempo y por lo general los estudiaremos mediante sistemas de ecuaciones diferenciales del tipo:

),,(

),,(

),,(

zyxhdtdz

zyxgdtdy

zyxfdtdx

=

=

=

(1

)(1

)(1

)(1

)

a los cuales llamaremos por brevedad, sistemas dinámicos. Para el tratamiento del caos en el contexto de la Teoría del Caos, los sistemas dinámicos serán no lineales.

El climatólogo norteamericano Edward Lorenz desarrolló la Teoría del Caos como hoy la conocemos, motivado por advertir que cuando por medio de sistemas de ecuaciones diferenciales semejantes a (1), intentaba establecer pronósticos de condiciones climáticas, partiendo de determinadas condiciones iniciales, los resultados variaban notablemente con sólo variar ligeramente los valores iniciales de las variables. Se le ha llamado caos a la situación que presenta un sistema dinámico cuando por ligeros cambios en las condiciones iniciales, a partir de ciertos valores de las variables, éstos cambian considerablemente sin presentar ni periodicidad ni aparente orden.

Lorenz modeló matemáticamente la dinámica del caos mediante el siguiente sistema de ecuaciones:

bzxydtdz

xzyrxdtdy

xydtdx

−=

−−=

−=(2

)(2

)(2

)(2

))(σ

La no linealidad la advertimos en los términos xz y xy. σ es el número de Pradtl, r número de Rayleigh y b una constante sin nombre. La resolución de sistemas como (1) y (2), a veces no posible por los métodos generales lo que hace recurrir a métodos numéricos y gráficos, conduce a la posibilidad de determinar en el espacio fásico de las x, y, z o análogas, trayectorias fásicas, conformando un retrato fásico del sistema, cada uno de cuyos puntos representan un estado del mismo. El flujo de trayectorias fásicas, remeda el de un fluido. Los puntos donde eventualmente convergen las trayectorias fásicas se denominan puntos fijos estables o atractores y constituyen estados estacionarios para los cuales los primeros miembros de (1) y (2) se hacen cero. También son iguales a cero los primeros miembros de (1) y (2), para los puntos fijos inestables, esto es, de donde salen trayectorias fásicas, los cuales se denominan focos. En algunos casos las trayectorias que salen de los focos se enrollan en órbitas cerradas las cuales pueden constituir ciclos límites característicos de los procesos oscilatorios.

El sistema de Lorenz (2) es disipativo con lo que el volumen fásico se contrae con el flujo como mostramos a continuación. Consideremos el volumen fásico V contenido en una superficie cerrada que pasa a ser en un tiempo infinitesimal dt, V´. La variación de volumen la calculamos tomando una porción de volumen en la superficie en forma de paralelepípedo infinitesimal de base dA y espesor f.ndt donde f velocidad instantánea (idx/dt+jdy/dt+kdz/dt) y n vector unitario normal a la superficie, de modo que la variación de volumen será:

V´-V=∫(f.n) dtdA y por tanto

dV/dt=(V´-V)/dt=∫(f.n)dA (3) y por el teorema de la divergencia:

dV/dt=∫∇ .f dV

∇ .f=-σ-1-b=C<0 (4)

donde C constante, se tendrá entonces por (3) y (4): V=De-C t. Con D constate, igualdad que nos dice que el volumen se contrae exponencialmente, tendiendo a cero para t tendiendo a infinito, de acuerdo al carácter disipativo del sistema (2) de Lorenz.



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DIAGRAMA DE LA TRAYECTORIA DEL SISTEMA DE LORENZ PARA

LOS VALORES r=28, Σ=10, b=8/3. IMAGEN TOMADA DE WIKIPEDIA.

Si en el proceso descrito se parte de cierto volumen de condiciones iniciales, eventualmente éste se contraerá en un conjunto límite, por lo antes explicado, tendiendo a cero. Todas las trayectorias que partan del volumen inicial terminan en dicho conjunto límite, el cual consistirá de puntos fijos, ciclos límites o en lo que como veremos mas adelante, se denomina atractor extraño, característico del caos.

Mediante el sistema (2) de Lorenz, se muestra que para un valor r= (σ(σ+b+3))/(σ-b-1) con σ-b-1>0, ocurre una bifurcación, esto es, puntos fijos que pierden estabilidad.

Lorenz mostró que para σ=10, b=8/3 y r=28, o sea para un valor de r justo por encima del valor de bifurcación como puede comprobarse por la igualdad última, las trayectorias muestran una fascinante estructura en el espacio de fases, que responde a la solución del sistema y el ploteo a partir de la condición inicial (0,1,0). Se ha llegado a la condición de caos. La forma tridimensional que aparece es un atractor extraño, configuración a la que antes nos referimos, y que como entonces demostramos se confina en un conjunto limitado cuyo volumen tiende a cero.

Proyectada la figura en el plano xz, se observa la trayectoria que partiendo del origen describe un número indeterminado de espirales a un lado del gráfico, para pasar al otro lado describiendo espirales en parecida forma, pasos que ejecuta alternativamente, caóticamente, semejando el conjunto las alas de una mariposa. (Advertimos que no es a esto a lo que se refiere la célebre metáfora del caos:”el aleteo de una mariposa en San Francisco es capaz de provocar un huracán en Beijín”). Es engañosa la aparente unión de las alas de la mariposa sobre el eje z, del Atractor Extraño de Lorenz. En realidad las espiras están en planos distintos sumamente cercanos, adoptando una regularidad fractal. La regularidad aproximada del Fractal de Cantor, el cual se obtiene a partir de un segmento de recta que se divide en tres partes iguales, se suprime la del medio y este proceso se repite en cada porción que se obtiene, una y otra vez llegándose a segmentos tan pequeños que prácticamente son puntos. Los cortes de las espiras por un plano, conforman en el mismo un fractal de Cantor aproximadamente. Notamos así un cierto orden en el caos.

Hemos dado una idea de lo fundamental de la dinámica del caos tal como se entiende en la llamada Teoría del Caos, la cual como aspecto de la Teoría de la Complejidad, constituye uno de los paradigmas de la ciencia de nuestros tiempos.

OTROS DIAGRAMAS DE LA TRAYECTORIA DEL SISTEMA DE LORENZ

Bibliografía Gleick, J. 1987. Chaos. Penguin Books. New York.

Peitgen-Jurgens-Saupe, 2004.Chaos and Fractals. Springer. New York.

Strogatz, S. 2000. Non Linear Dynamics and Chaos. Perseus Books Group. Cambridge.

Tomado de: casanchi.com. 27 Diciembre 2008


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CCoonn llaa lluuzz qquuee ddee ttii rreecciibbiimmooss……1 Por: Rafael Ascanio Hernández

RESUMEN

Convertida en refulgente usual camino que vierte sobre sus albergados el obsequio de los saberes humanos, en la Universidad de Carabobo subyacen elementos de grandes significados pero que no se reflexionan. Se detalla uno: en la parte superior del Escudo de nuestra Alma Mater aparece la inscripción, en latín, “DEUS LIBERTAS CULTURA” (DIOS, LIBERTAD, CULTURA). ¿Qué razones condujeron a los que lo diseñaron incluir estas tres palabras? He aquí que, especulando sobre estas razones, se proponen definiciones de las mismas relacionándolas con los valores que de ellas deben trascender hacia los egresados, particularmente hacia los graduados en educación.

PALABRAS CLAVE: Universidad, Dios, Libertad, Cultura.

¿Cómo entender lo de Dios, Libertad y Cultura? Para quienes egresan del recinto ucista, estas tres palabras no son para cumplir un formalismo de época sino que encierran los principios que deben regir su comportamiento profesional y personal, en la aceptación de un propósito de vida.

¿Por qué Dios? Aunque parezca un exabrupto esta interrogante, la misma debe ser considerada sumamente pertinente. Por encima de la religiosidad de todo hombre está Dios, porque Dios es más que religión. Dios es amor y es verdad, es fuerza y es vigor. Para ser fuerte espiritualmente sólo es necesario tener fe en Dios y aceptar que la verdad inicial y final del hombre es Dios. Cuando se ejerce la profesión docente se ha asumido una causa por la cual vivir, una causa a la cual servir, que obliga a llenar el corazón de amor. Esto define la vocación y la intensidad de la misma. Es así que la verdad de Dios permite comprometerse, permite vivir ese compromiso con pasión y a cada instante se da la vida por un sueño. Al final, como docentes, debe darse una entrega del ser con amor, con sacrificio y con alegría, sin sentir motivos que conduzcan a la renuncia.

¿Por qué Libertad? En la actualidad, se está viviendo en un entorno social en el que se evidencia una crisis de valores y virtudes. La libertad del docente no va más allá del marco conceptual donde se considera a la educación como herramienta para transmitir principios y fundamentos del sistema de la sociedad. Normas y leyes son barrotes que encierran lo físico y lo material del docente.

Pero el detalle es que no pueden encerrar su pensamiento. Por ello, el docente debe estar casado con la verdad y ese matrimonio encierra como principal responsabilidad, la formación integral del joven que es puesto en sus manos. Este joven, como ciudadano y ser humano, tiene todo el derecho legal y natural de acceder al conocimiento universal y de vanguardia; a que no se le afecte su autoestima dañando su voluntad, sus expectativas y sus aspiraciones. El docente debe procurar que este joven desarrolle su personalidad, su capacidad intelectual, su creatividad y a mantener una actitud positiva y de constante lucha ante las dificultades, que le permita lograrse una mejor preparación, convirtiéndose en un ser capaz de comprometerse y liderar transformaciones.

¿Cómo se debe entender ahora la libertad del docente? En estos tiempos de globalización e informática, de intercambios culturales y económicos entre naciones, de avances vertiginosos en la tecnología y de acercamiento de las naciones, se puede llegar a pensar en una nueva libertad. Y esta se basa en diferenciar dos conceptos: el primero enmarcado en las nociones de Estado y Sistema Político Social; y el otro en las nociones de Nación y Patria, que engloba al primero y lo trasciende.

Cualquier Sistema Político Social, como producto del ser humano, desgasta al Estado cuando deja de ser útil, cuando deja de favorecer al ciudadano. Por lo tanto es finito y lo natural es que sea sustituido por uno nuevo. Encerrarse en el mismo conduce al deterioro social y cultural con una eminente pérdida de valores, al atraso económico y a la pobreza. Por lo contrario, las nociones de Nación y Patria perdurarán en el tiempo mientras exista un grupo humano que las comparta.

Por lo tanto el docente será libre cuando se comprometa con la nación y con la patria; es decir, puede comulgar con una teoría social mientras esta sirva para conseguir transformaciones pero debe tener una firme voluntad para abandonarla cuando la misma no le sirva para avanzar, ni a él, ni al resto de los ciudadanos. Así, libre en conciencia, en lo moral y en lo ético, alcanza su libertad.


1 “Con la luz que de ti recibimos…”: Es la primera línea de la primera estrofa del himno de la Universidad de Carabobo.


9


¿Por qué Cultura? Educar e ilustrar define lo que es culturizar, y esta es la principal función del docente. Toda cultura modela una personalidad individual típica, una estructura sicológica, un comportamiento, unas ideas y una mentalidad particular. Se desvela así lo delicado de enseñar: el contacto del individuo con el mundo real es a través de los sentidos, es decir, perciben trozos de la realidad, sujeto a las limitaciones de cada sentido, por lo que es imposible que perciban la realidad en su totalidad. Los jóvenes que son puestos bajo la tutela de un docente son seres en formación, con personalidades permeables. Un mal manejo de esta condición puede producir interferencias en el desarrollo adecuado de su criterio como adultos.

La cultura es un proceso que desarrolla las facultades humanas, basado en la adquisición de conocimientos científicos, literarios y artísticos, enmarcado en un conjunto de estructuras sociales, religiosas, entre otras, y de manifestaciones intelectuales y artísticas que caracterizan una sociedad. Estas son las principales razones que han llevado a muchos a pregonar la necesidad de la actualización constante del docente pero que, como se puede detallar, no solamente se limita a mejorar su área de conocimiento. El docente está obligado a culturizarse de por vida porque quiera o no, es la principal fuente de información en el inicio de la vida de estos seres cuya gran parte de su formación es puesta en sus manos, y la constante búsqueda de estos jóvenes no se limita al conocimiento matemático, o a la química, la física o a la literatura.

Independiente de esta relación entre docente y alumno, se persigue que el docente se mantenga en la búsqueda continua de su crecimiento cultural que va más allá de ser una obligación inherente a su profesión, y que además, todo esto involucra otra razón: ¿Por qué se produce un sentimiento de admiración cuando a través de un telescopio se puede observar a la Luna, a Júpiter con sus satélites o a Saturno con sus anillos? ¿Por qué se disfruta de la hermosura del lenguaje utilizado en una novela o en una poesía? ¿Por qué se admira la belleza de un cuadro o de una escultura? ¿Cómo explicar el agrado que produce una determinada película o un programa de televisión? ¿Cómo justificar la emoción que se siente cuando se produce la comunicación por medio de un teléfono celular con una persona que, por ejemplo, se encuentra en España? ¿Cómo explicar la exaltación que se produce cuando al sentarse frente a una computadora se puede lograr la creación de un algo imaginado utilizando el Software que en este aparato está instalado?

Esa otra razón involucrada es que el hombre, como género, debe maravillarse de sus logros para que a su vez esta admiración sea el motivo en el alcance de otros. Se evidencia con esto, el valor y la importancia del conocimiento adquirido, y más aún, la práctica de valores que permiten la consecución de la virtuosidad. Estos dos elementos, conocimiento y virtud, deben caracterizar la defensa social de un patrón cultural que busca preservar los más noble valores humanos.

Sin lugar a dudas, incluir en el escudo de la Universidad de Carabobo las palabras “Dios Libertad Cultura” fue más que un simple acierto.

SSÍÍMMBBOOLLOOSS EEMMBBLLEEMMÁÁTTIICCOOSS DDEE LLAA UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD DDEE CCAARRAABBOOBBOO

ESCUDO

HHIIMMNNOO DDEE LLAA UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD DDEE CCAARRAABBOOBBOO

Letra del gran poeta popular Ernesto Luis Rodríguez Melodía del compositor Antonio Lauro.

Coro:

¡Jubiloso a la sombra del canto defenderte sabrá nuestro honor!

¡Como escudos: el pecho y el brazo! ¡Cual banderas: la mente y la voz!

I Con la luz que de ti recibimos y el amor a esta tierra inmortal;

¡Siempre firmes, alegres y unidos ante Dios te juramos lealtad!

II A tu amparo se nutre la vida de moral, de cultura, de fe.

Si del surco levanta la espiga, ¡de tus aulas aflora el saber!

III ¡Adelante! nos dice la patria.

Carabobo nos llama a la acción, y contigo alentamos la marcha

al encuentro de un mundo mejor.

Nota sobre el Himno de la Universidad de Carabobo. El 5 de febrero de 1960 mediante el acuerdo 24 se decretó como Himno Oficial. El estreno se produjo con motivo del segundo aniversario de la reapertura de la Universidad, en concierto realizado en el Ateneo de Valencia el 21 de marzo de ese año. El autor de la música, el maestro Antonio Lauro, dirigió la interpretación con el grupo coral Madrigalistas de Caracas. El rector Humberto Giugni le impuso Medalla de Reconocimiento. En este acto el maestro Lauro hizo entrega de la partitura original y en esa misma semana, dirigido por José María López Vivas, fue montada por el Orfeón Universitario. Desde esa época, su letra y su música no ha dejado de escucharse en un sin número de actividades en los espacios universitarios.

BANDERA

CAMPANA

FACHADA DEL EDIFICIO HISTÓRICO UNIVERSITARIO


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FUENTE: Vera, Francisco (1961). “20 Matemáticos Célebres”. Buenos Aires: Compañía General Fabril Editora. Preparado por Patricio Barros. www.geocities.com/veintematematicoscelebres

PRESENTACIÓN. Las páginas de este libro exponen en forma clara y didáctica la vida y obra de los matemáticos más célebres, ubicándolos como seres de carne y hueso, buscando en el curso paralelo que siguieron sus trabajos, y en otras el contraste u oposición en que se desarrollaron. De esta manera, el lector logrará una fácil comprensión del valor y las influencias de unas tendencias sobre otras, y de sus puntos de convergencia, a veces aparentemente paradójicos. El profesor Francisco Vera de vasta y reconocida autoridad en la materia, ha escrito “20 matemáticos célebres” con un criterio ágil, a la vez que esclarecedor, que posibilita el acceso de vastos sectores de público a una actividad científica realmente fascinadora.

Capítulo Quinto CCEELLOOSS MMAALL RREEPPRRIIMMIIDDOOSS

DDEESSCCAARRTTEESS YY FFEERRMMAATT

RENÉ DESCARTES

(1596-1650)

PIERRE DE FERMAT

(1601-1665)

La época a que se contrae este trabajo, primera mitad del siglo XVII, tiene muchos puntos de contacto con la actual. Terminaba entonces el Renacimiento, como termina hoy la Edad Moderna, en el colapso que empezó en 1914, tuvo una recidiva en 1939 y todavía no ha salido de él. En los días que vivieron Descartes y Fermat, protagonistas del presente ensayo, como en los días que vivimos, se hundía rápidamente un estado de cosas y no se había cimentado aún uno nuevo. Como hoy, el mundo estaba incómodo. El siglo anterior había despertado al encanto de las musas griegas redescubiertas, y el ideal medieval de morir para este mundo quedó sustituido por el ideal renacentista de vivir para este mismo mundo, cumpliéndose así la exclamación del Petrarca: "Juliano renace”. Una luz inédita bañó las condiciones de vida; se exaltó el individualismo; la conciencia humana protestó contra la tiranía colectiva; Gutenberg coronó la obra de Colón y, al difundirse las ideas nuevas, todos los valores espirituales se quebrantaron. La Roma papal vio alzarse contra ella la figura de Lutero, y Francisco I de Francia, rey cristiano, combatía al católico Carlos I de España, buscaba la amistad de los protestantes de Alemania y se aliaba con los turcos. El ansia de saber, el apetito de curiosidad que caracterizó al Renacimiento, se prolongó hasta el, siglo XVII, que es el de los grandes matemáticos, cuya primera mitad ilustran especialmente los nombres de Fermat y de Descartes. Nace Descartes en 1596 y Fermat en 1601; muere Descartes en 1650 y Fermat en 1665. Tienen, por tanto, los dos un período común de cuarenta y nueve años: medio siglo fecundo y denso, que vio crear la Geometría Analítica con Descartes y la teoría de números con Fermat. Ambos pertenecían a familias de parlamentarios y ambos estudiaron Jurisprudencia: Descartes en Poitiers, Fermat en Toulouse; pero éste ejerció la abogacía y aquél no. Descartes abrazó la carrera de las armas porque se aburría en París, y Fermat fue magistrado en Toulouse porque tenía espíritu burgués; Descartes fue filósofo y Fermat jurisconsulto y los dos dedicaron a la Matemática sus ratos de ocio. Nada más, ni nada menos. Descartes publicó su Geometría como un ejemplo de su método, y su labor matemática sólo fue un episodio de su carrera de filósofo; Fermat escribió mucho, mas fue su hijo Samuel quien editó la mayor parte de sus trabajos. Ambos se dieron a conocer a través de su correspondencia con los sabios de su tiempo; pero mientras la época de Descartes ha sido adjetivada con su apellido, el nombre de Fermat, aunque parezca extraño, no aparece citado por Voltaire entre los que ilustraron el que, con evidente cortesanía, llamó siglo de Luis XIV. Descartes y Fermat tienen de común su admiración por los griegos, franca en Fermat, oculta en Descartes. Fermat reconstruye los Lugares planos de Apolonio y traduce la Aritmética de Diofanto; Descartes quiere romper con la tradición griega, pero su obra no es, en el fondo, sino un retorno a Grecia, y ambos tienden un puente entre lo abstracto y lo concreto haciendo que la Matemática pierda su rigidez antigua para asumir una categoría intelectual independiente de toda representación empírica, y determinando un nuevo aspecto de la Geometría que proyecta su influencia sobre el monismo de Spinoza y sobre el dualismo de Malebranche, quienes inician una etapa de filosofía matemática empapada de fermatcartesianismo. Spinoza construye su ética more geometrico y espiritualiza la ciencia de la extensión hasta considerarla como la ciencia de las ideas puras, y Malebranche estudia la extensión inteligible "con todas las líneas y figuras que se puedan descubrir en ella", eliminando por completo la imaginación. Spinoza se apoya en el número inconmensurable para descartar las objeciones clásicas contra el infinito actual; Malebranche defiende el concepto de número como relación, y ambos tienden a satisfacer las exigencias de las ideas "claras y distintas", diferenciándose únicamente en que Spinoza dirige su pensamiento hacia el hontanar del que manan las verdades científicas y Malebranche hacía el objeto de la Ciencia. Descartes publica su Geometría en 1637 y Fermat escribe su Isagoge el mismo año, mas no lo da a conocer. Son dos obras de orientaciones distintas, pero de igual contenido técnico. Fermat, fiel a la tradición griega, parte de las proposiciones de los antiguos y les da mayor elegancia y sencillez; Descartes, tomando como punto de arranque su concepción universal de la Ciencia, tiende hacia el automatismo de la producción matemática, y los dos, eruditos Fermat y metódico Descartes, perfeccionan la teoría de las secciones cónicas hasta que los recursos del Cálculo Infinitesimal, ampliando el principio de correspondencia entre las curvas y las ecuaciones, abrieron nuevos horizontes fecundos. Fermat sólo utiliza el Álgebra como auxiliar del estudio de las figuras que son siempre para él objeto de la Geometría; Descartes, en cambio, coloca el Álgebra, con todos sus caracteres específicos, en un primer plano y hace surgir un nuevo mundo geométrico mediante el automatismo a que se presta el método algebraico, independientemente de la intuición directa de las figuras. Tal es, a grandes rasgos, la síntesis del pensamiento de Descartes y de Fermat. En cuanto a sus biografías, poco puede agregarse a lo dicho de Fermat y mucho a lo de Descartes. Fermat contrajo matrimonio con Luisa de Long, prima de su madre, y tuvo cinco hijos, Descartes permaneció célibe. Fermat prefería la belleza a la verdad; Descartes la verdad a la belleza, y así se lo dijo en una ocasión a una dama. Quizá por eso no se casó. A despecho de su escepticismo racionalista, las ideas religiosas de Descartes tenían una sencillez natural y no se comprende cómo sus obras fueron llevadas al Indice a pesar de haber sido permitida su publicación por Richelieu, ignoramos, por cierto, la autoridad que podía tener el omnipotente cardenal para prohibir o autorizar la publicación de los libros de un hombre de Ciencia, y Fermat era un creyente sincero.



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Fermat gustaba de la vida sedentaria; Descartes tenía el alma viajera. Soldado a las órdenes del príncipe Mauricio de Orange, tomó parte en la guerra de los Treinta Años, y cuando se cansó de la vida militar, se marchó a Alemania y al poco tiempo regresó a París. La peste que diezmaba la capital y la guerra contra los hugonotes hacían poco agradable la vida en Francia y se embarcó para la Frisia oriental. Su aspecto de hombre adinerado excitó la codicia de los marineros, quienes, hablando en su lengua materna, tramaron en presencia suya un plan para desvalijarle. Descartes, que conocía el idioma, desenvainó la espada y los obligó a desembarcarle. Visita después Holanda y luego marcha a Roma, donde no intenta ver a Galileo, que acababa de ser condenado por la Inquisición, porque él era también copernicano y el proceso del gran astrónomo le aconsejó ser prudente. Fermat, en tanto, trabaja como magistrado y apenas hace alguno que otro viaje a París, donde conoce en una ocasión a Carcavi, el cual lo presentó al P. Mersenne, en su celda del convento de los mínimos que frecuentaba Descartes, cuya amistad con Mersenne era vieja. Cuando Descartes tenía ocho años, su padre lo envió al colegio de La Flèche, Anjou, que acababan de fundar los jesuitas, y allí estudió idiomas y ciencias exactas y filosóficas, sintiéndose inmediatamente atraído hacia la Matemática porque era la disciplina que le producía más satisfacción espiritual, aunque luego, al correr de los años, la colocase en un plano subalterno respecto de la Filosofía. En La Flèche conoció al P. Mersenne; y en el mismo colegio adquirió una costumbre que conservó hasta sus últimos años: la de levantarse tarde, que los jesuitas le consintieron a causa de su naturaleza enfermiza. Hasta tal punto arraigó en él este hábito que cuando en 1647 le visitó Pascal, le dijo que la única manera de producir un buen trabajo era no recibir visitas por la mañana para no tener que levantarse. La celda del P. Mersenne era una verdadera academia científica. A ella se habían trasladado las conferencias contradictorias semanales que se verificaron en el Bureau d'adresse de Teofrasto Renaudot hasta el 1° de septiembre de 1642 en que, muerto Richelieu, ya no tenía Renaudot quien le defendiera de los ataques de la Facultad de Medicina, y como su otro protector, Luis XIII, no tardó en seguir a la tumba al cardenal, las reuniones fueron presididas en lo sucesivo por el P. Mersenne, hasta la muerte de éste: 1648, que coincidió con sucesos políticos que perturbaron la vida de aquellos coloquios sabios, hasta 1657, año en que se reanudaron en el palacio de Habert de Montmor, mecenas y protector de Gassendi y, finalmente en 1666 y obedeciendo a sugestiones de Perrault y de Colbert, Luis XIV elevó aquella tertulia a la categoría de Academia de Ciencias, cuyos estatutos definitivos se aprobaron en 1669. La Academia fue disuelta en 1793; pero no tardó en renacer como parte principal del Instituto de Francia. Se puede, pues, decir, que la Academia de Ciencias nació en la celda del P. Mersenne, en la que estaba Descartes como en su propia casa, y adonde fue Fermat con una acaso imperceptible timidez provinciana. . Descartes y Fermat contrastaban incluso en el aspecto exterior. Descartes era un elegante: vestía trajes de impecable corte, espada al cinto, y sobre su chambergo de anchas alas cimbreábase una pluma de avestruz. Fermat, en cambio, era descuidado en su atuendo personal y sólo se preocupaba, en punto a coquetería masculina, de su copiosa barba rubia que parecía reírse de la mosca negra que colgaba del labio inferior de Descartes. Fermat era digno de las recias pinceladas de Velázquez y Descartes hubiera sido un magnífico modelo de Van Dyck, mejor que lo fue de Rembrandt. La admiración de ambos por los geómetras de la escuela de Alejandría cristalizó en una reforma de gran trascendencia. Ambos dieron flexibilidad a la rigidez euclídea, haciendo intervenir el tiempo en las consideraciones exclusivamente espaciales de los griegos, hasta el punto de que Descartes pudo decir con orgullo: "Dadme espacio y movimiento y os daré un mundo." Tres siglos después, Einstein invirtió los términos de la concepción cartesiano y dijo precisamente lo contrario: "Sin un mundo no hay movimiento ni espacio", lo que demuestra que la Ciencia es un perpetuo fluir. Las leyes científicas cambian, como todo, y muy especialmente en los días de Descartes y en los días actuales, cosa que no debe sorprendernos. Como entonces, todo está hoy en crisis. El movimiento literario de 1917, que se llamó dadaísmo, acabó con la verborrea ripiosa del siglo XIX y destruyó el concepto clásico de belleza, como cuatro años antes la teoría de la Relatividad había dislocado el concepto de simultaneidad rebajando, por consiguiente, la Verdad en sí; la Sociología ha destronado los conceptos del bien y del mal inmutables, y el Arte, último ídolo romántico contemporáneo, ya no es el fin único de la vida de muchos jóvenes, sino un medio de ganar dinero como cualquiera otro y una actividad que, en el mejor de los casos, tiende al equilibrio goethiano, en cuanto desarrollo armónico de las facultades humanas. Cuando vivían Descartes y Fermat, Europa estaba en guerra y la artillería tenía una importancia superior a la de hoy, perdido su efecto desmoralizador del siglo XIII cuando empezaron a utilizarse los cañones, mejor dicho: las bombardas y las culebrinas de mano, para destruir la moral del enemigo, como hoy los aviones de bombardeo en las poblaciones de la retaguardia. En el siglo XIII nació la que hoy se llama guerra fría; pero en el XVII, generalizado ya el uso de la pólvora, se vio que era la artillería la que decidía las batallas. ¿Cómo determinar la trayectoria del proyectil? ¿Cómo estudiar su movimiento en el tiempo y en el espacio? Por medio de las coordenadas que faltaban en la Geometría de Euclides y que inventaron Descartes y Fermat, las cuales permiten representar gráficamente la marcha de la bala desde que sale del ánima del cañón hasta que da en el blanco. En la vida de Descartes hay una fecha de importancia capital: el 10 de noviembre de 1619. Descartes estaba en Francfort con motivo de las fiestas de la coronación de Fernando II como emperador de Alemania. La noche de ese día, reunido con otros oficiales del ejército del príncipe de Orange, cenó copiosamente, y cuando se retiró a descansar iba un poco mareado por efecto de los vapores de vino. Tuvo tres sueños, que él mismo ha relatado, los cuales decidieron su porvenir. En su onírico delirio adivinó la unión del Álgebra y la Geometría, es decir: la Geometría Analítica, y decidió entonces abandonar la carrera de las armas, que había abrazado no por espíritu bélico, sino porque era un pretexto para viajar. "Yo, que considero el oficio de la guerra como filósofo, dice en una de sus cartas: la CXVIII del tomo III de la colección de 1656, no lo estimo en lo que vale e incluso me cuesta trabajo colocarlo entre las profesiones honorables cuando veo que el ocio y el libertinaje son los dos principales motivos que guían a los hombres para dedicarse a él." Apenas repatriado, conoció al cardenal Berulle, quien admirado de su talento, le aconsejó que se dedicara exclusivamente a la investigación de la verdad. Descartes aceptó esta sugestión y, para llevarla a cabo, se retiró a Holanda y vivió durante veinte años, sucesivamente, en Amsterdam, La Haya y Leyden, y, por último, en el delicioso pueblecito de Egmond, donde se consagró por completo a la Ciencia, que, según él, "se puede comparar a un árbol cuya raíz es la Metafísica y el tronco la Física, y las tres ramas principales son: la Mecánica, la Medicina y la Moral, que constituyen las tres aplicaciones de nuestros conocimientos: al mundo exterior, al cuerpo humano y a la conducta en la vida, respectivamente".



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Su dirección en Holanda sólo la conocía el P. Mersenne, que cuidaba de sus asuntos económicos y recibía su correspondencia científica. Entre tulipanes holandeses, Descartes meditó sobre todas las ramas de la Ciencia: óptica, Química, Física, Astronomía, Medicina, y, sobre todo, Filosofía, y concibió el plan de hacer una obra orgánica para cuya inteligencia era preciso un prólogo, que fue creciendo hasta adquirir proporciones de libro. Tal es el origen del Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la verité dans les sciences, en el que, por lo que toca a la Matemática, dice: "El Análisis de los antiguos y el Álgebra de los modernos, aparte de que sólo se extienden a materias muy abstractas y que no parecen tener ningún uso, el primero está siempre tan constreñido a la consideración de las figuras que no puede actuar sobre el entendimiento sin fatigar mucho la imaginación, y en la segunda se está tan sujeto a ciertas reglas y ciertas cifras que se ha hecho de ella un arte confuso y oscuro que embarazaba el espíritu, en vez de una ciencia que lo cultiva, lo que me obligó a pensar que era necesario buscar otro método que, teniendo la ventaja de estos tres [el tercero a que alude es la Lógica], careciese de sus inconvenientes."

La idea de unir el Álgebra y la Geometría la había apuntado ya en sus Reglas para la dirección del espíritu cuando habla de una Matemática universal que fundiera el Análisis geométrico de los antiguos con el Álgebra de los modernos. "Me parece, dice en la regla IV, que vestigios de esta verdad matemática se ven en Pappo y en Diofanto, los cuales vivieron si no en los primeros tiempos, al menos muchos siglos antes de ahora y me inclino a creer que los escritores mismos la han suprimido por cierta audacia perniciosa, pues así como es cierto que lo han hecho muchos artífices respecto de sus inventos, así ellos temieron quizá que, siendo tan fácil y sencilla, se envileciese después de divulgada; y para que les admirásemos prefirieron presentarnos en su lugar, como productos de su método, algunas verdades estériles deducidas con sutileza, en vez de enseñarnos el método mismo que hubiera hecho desaparecer por completo la admiración.

Ha habido, finalmente, algunos hombres de gran talento que se han esforzado en este siglo por resucitarla; pero ese método que, con nombre extraño, llaman Álgebra, no es otra cosa, al parecer, con tal que pueda desembarazarse de las múltiples cifras e inexplicables figuras de que está recargado a fin de que no falte ya aquella claridad y facilidad suma que suponemos debe haber en la verdadera Matemática", y entiende por Matemática universal "la que contiene todo aquello por lo que otras ciencias se llaman parte de la Matemática".

La Matemática universal de Descartes con reminiscencias lulianas, y el propio Descartes cita al filósofo mallorquín, si bien con el desdén que le inspiraban todos sus antecesores, tiene una doble trascendencia según que se considere desde el punto de vista filosófico o matemático; y tanto en un caso como en otro partiendo del concepto de espacio que, para el cartesianismo ortodoxo, desempeña el doble papel de reducir la cantidad a la cualidad en Física, y la cualidad a las formas abstractas e intelectuales de la cantidad en Matemática.

Creyendo que si publicaba el resultado de sus meditaciones se turbaría su tranquilidad, Descartes se resistió mucho tiempo a dar a la imprenta sus escritos y cuando, por fin, obedeciendo a impulsos de su vocación, se decidió a ello, surgieron los adversarios, las luchas y las persecuciones, distinguiéndose entre éstas la capitaneada por el ministro luterano Voecio, rector de la Universidad de Utrecht, quien, acusando a Descartes de ateo, lo presentó como un individuo peligrosa para la seguridad del Estado.

El famoso Discurso, sobre todo, levantó las más apasionadas discusiones durante tres años que, para su autor, transcurrieron en la ingrata labor de contestar, unas veces directamente y otras por intermedio del P. Mersenne, las objeciones que se le hacían.

Entre sus detractores merece mención especial Juan de Beaugrand, quien, abusando de la alta posición que ocupaba en la corte del rey de Francia, retuvo la Dióptrica durante cuatro meses cuando el P. Mersenne llevó los pliegos impresos en Leyden a la cancillería de París para solicitar el privilegio de impresión. Descartes escribió al P. Mersenne una carta en la que llamaba "geóstato" a Beaugrand, aludiendo a la obra Geostatice, de éste que, dado su escaso valor científico, permanecería ignorada si Descartes no hubiera derivado de ella el remoquete de su autor. Beaugrand pagó en la misma moneda llamándole "metódico" y éste a aquél 'tramposo" porque, terminado el libro, se quedó con un ejemplar y no lo pagó.

Mientras Descartes escribía y meditaba en Holanda, Fermat escribía y meditaba en Toulouse; pero si a aquél le preocupaban todos los conocimientos humanos, a éste le interesaba casi exclusivamente la Aritmética.

Fermat es el creador de la moderna teoría de números, cuyos fundamentos estableció Diofanto.

"No tuvo par en la teoría de números y estaba en posesión, indudablemente, de un método sencillo que desconocemos a pesar de los grandes descubrimientos que ha recibido el Análisis indeterminado", dice Chasles, opinión que sostiene también Libri: "Fermat, escribe el historiador italiano, sabía cosas que nosotros ignoramos, y para llegar a él se precisan métodos más perfectos que los inventados después. En vano se dedicaron a ello los más esclarecidos ingenios y en vano redoblaron los esfuerzos Euler y Lagrange. Sólo Fermat tuvo el privilegio de adelantarse a sus sucesores."

Fermat tenía la costumbre de escribir sus observaciones en las márgenes de los libros que leía y, comentando el problema VIII de Diofanto en la edición de Bachet de Méziriac, que pide la solución de la ecuación 222 ayx =+ , el matemático tolosano escribió en su

ejemplar: "Por el contrario, es imposible dividir un cubo en dos cubos, una cuarta potencia en dos cuartas potencias y, en general, una potencia cualquiera de grado superior al segundo, en dos potencias del mismo grado. He descubierto una demostración verdaderamente admirable [de este teorema general] pero esta margen es muy pequeño para contenerla".

Tal es el llamado último teorema de Fermat, cuya demostración sigue preocupando a los matemáticos. El teorema tiene trampas en las

cuales cayó Cauchy porque al intentar demostrarlo de la manera que parece natural: descomponiendo nnn ayx =+ en factores

primos, admitió que en el campo de los números algebraicos, -a cuyo estudio conduce el recalcitrante teorema, era válida la propiedad ordinaria de ser única la descomposición en factores primos. Después de interesantes pero prematuras comunicaciones a la Academia de Ciencias, Cauchy reconoció su error y dejó el campo libre a Kummer. También éste se equivocó, pero su equivocación fue fecunda porque le condujo a la creación de los llamados números ideales que es uno de los descubrimientos más importantes del siglo XIX. A principios del XX creció el interés por el teorema fermatiano a causa del premio de 100.000 marcos oro que dejó en su testamento el Dr. Wolfskehl, fallecido en 1906, para quien lo demuestra o presente un ejemplo en que no sea cierto, hasta el 13 de septiembre del año 2007 en que se cierra el concurso. Lo primero exige profundos conocimientos de la teoría de números y lo segundo cálculos monstruosos. Está ya demostrado para los números p < 14000, así es que hay que empezar a operar con números extraordinariamente elevados.



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El incidente entre Descartes y Beaugrand tuvo como consecuencia una polémica entre aquél y Fermat. Beaugrand no sólo cometió la indelicadeza de retener los pliegos de la Dióptrica, sino que se los dio a leer a Fermat, quien, en abril de 1637, envió al P. Mersenne, para conocimiento de Descartes, ciertas objeciones a su teoría de la reflexión de la luz, le pedía al propio tiempo algunas obras del solitario de Egmond, el cual contestó a aquéllas el 5 de octubre. El recuerdo de estas fechas es oportuno porque la Geometría cartesiano apareció en Leyden el 8 de junio del mismo año, y el 1° de noviembre Fermat vuelve a escribir a Mersenne sin aludir para nada a ella, lo que permite sospechar que no la conocía, ya que el perfil moral de Fermat no autoriza a creer en una ocultación maliciosa de sus lecturas. Al mismo tiempo, Fermat había encargado a su amigo Carcavi que hiciera llegar a manos de Descartes sus principales obras matemáticas y varias cartas de éste a Mersenne demuestran que De locis planis et solidis y De maximis et minimis habían sido leídas por Descartes en febrero de 1636, lo que comprueba que estas obras no pudieron ser inspiradas por su Geometría. El mismo mes Fermat pidió al P. Mersenne la opinión de Roberval sobre su Isagoge y su Appendix, de modo que, además de aquellos libros, Fermat debió encargar a Carcavi que también éstos fueran remitidos a Descartes y, por tanto, si la Geometría vio la luz pública antes que los escritos de Fermat, éste había encontrado simultáneamente, por lo menos, lo que constituye la esencia de la Geometría Analítica, sin pretender con ello sustituir a la griega. Fermat creía en el progreso ininterrumpido de la Ciencia. "Si este descubrimiento, dice, luego de exponer su método, hubiese precedido a nuestra ya antigua restitución de los dos libros de los Lugares planos, la construcción de los teoremas y lugares hubiera sido más elegante; pero no lamentamos esta producción porque es muy importante poder contemplar plenamente los progresos ocultos del espíritu y el desarrollo espontáneo del arte: artem sese ipsam promoventem." Fermat, como todos sus antecesores, consideraba que los problemas relativos a las figuras son geométricos y en ellos interviene el Álgebra como medio auxiliar, mientras que con Descartes el Álgebra figura en primera línea como técnica, como método de combinación y construcción, de tal modo que es el cálculo algebraico el que legitima los resultados de la nueva Geometría, destruye los escrúpulos de los griegos relativos a la definición de las curvas y hace inútil la teoría de la construcción geométrica, que queda sustituida por la síntesis de la construcción algebraica. Liard, que ha calado profundamente en el pensamiento matemático cartesiano, ha hecho observar que Descartes pretendió construir un Álgebra más que una Geometría. "Descartes, dice fue el primero en ver que la forma de una figura resulta de la posición de los puntos que la componen por medio de magnitudes, abstracción hecha de toda idea de forma, de modo que reduce la forma a la magnitud mediante la posición". Descartes, que alude muchas veces a su Geometría, insiste en los resultados obtenidos que refiere siempre a su método, el cual no debe confundirse con el procedimiento analítico de representar las líneas por ecuaciones; y así escribe Mersenne: "Con la Dióptrica y los Meteoros he querido únicamente convencer de que mi método es mejor que el ordinario y creo que lo he demostrado con mi Geometría." Se comprende, pues, el efecto que le produjeron las objeciones de Fermat, tanto más cuanto que Descartes profesaba un profundo desprecio no sólo por sus antecesores, sino también por sus contemporáneos. Era ególatra y vanidoso; pero, a pesar suyo, no pudo prescindir de unos ni de otros, lo que demuestra, una vez más, que el pensamiento matemático evoluciona lentamente y que la Geometría Analítica, como todos los capítulos nuevos de la Matemática, tuvo una laboriosa gestación, cuyo feliz resultado no hubiera sido posible sin el análisis geométrico de los griegos y el análisis algebraico de Viéte. Descartes era, además, oscuro escribiendo. "He prescindido en mi Geometría, dice, de muchas cosas que pueden servir para facilitar la práctica lo he hecho y deliberadamente, excepto en el caso de la asíntota, que lo olvidé. Había previsto que ciertas gentes, que se vanaglorian de saberlo todo, no hubieran dejado de decir que yo no había escrito nada que ellos no supieran si lo hubiese hecho en forma más inteligible", soberbias palabras que denuncian su carácter, el cual no podía tolerar la crítica fermatiana de sus investigaciones aunque fuese guiada por la noble idea de aportar perfeccionamientos a una teoría. Entre ambos matemáticos se cruzaron carteles de desafíos en forma de problemas para resolver y teoremas para demostrar, mezclados con palabras irónicas y descorteses por parte de Descartes, quien no podía disimular sus celos. Algo bueno resultó de esta discusión: un notable progreso en el conocimiento de la parábola y de los sólidos engendrados por su rotación; varias e interesantes cuestiones relativas a la teoría de números, y el principio de las investigaciones sobre la cicloide cuya historia es muy embrollada a causa de la intervención del propio Descartes en otra disputa entre Roberval y Torricelli, quienes se acusaron mutuamente de plagiarios. Descartes tuvo dos discípulas de regia estirpe: la princesa palatina Isabel, a quien conoció en Francfort siendo niña y que vivía con su madre, exilada en Holanda, donde recibió de aquél lecciones que mitigaron el dolor de unos amores contrariados, y sostuvo con él una copiosa correspondencia científica cuando el filósofo abandonó su retiro de Egmond para ser maestro de la reina Cristina de Suecia. Esta interesante mujer, de diecinueve años, un poco masculina, amazona, cazadora, tuvo el deseo de legar al mundo algo más que una fecha en la cronología de los reyes y llamó a Descartes, quien, gracias a la habilidad de Chanut, embajador de Francia en Suecia, accedió a ir a Estocolmo adonde llegó en el otoño de 1649, siendo objeto de una fastuosa recepción. Poco duró su estancia en la capital sueca. La reina tenía caprichos absurdos. Insensible al frío, jamás cerraba las ventanas de sus habitaciones, por lo cual sus ministros siempre estaban de acuerdo con ella. Cuando acudían a despachar tiritaban, y lo único que querían era marcharse cuanto antes. A Cristina no le pareció mejor hora para recibir las lecciones de Descartes que la de las cinco de la mañana: terrible suplicio para aquel hombre que no estaba acostumbrado a madrugar y una pulmonía le causó la muerte el 11 de febrero de 1650, a los cinco meses de haber comenzado a iniciar a su regia discípula en los secretos de la Matemática y de la Filosofía. Diecisiete años después, cuando Cristina ya había perdido la corona, los restos de Descartes fueron trasladados a París, excepto los huesos de la mano derecha que conservó el representante de Francia como recuerdo por el éxito de sus negociaciones. Fueron inhumados el 24 de junio de 1667 en la iglesia de Santa Genoveva, de donde pensó trasladarlos la Convención, por decreto de 4 de octubre de 1793, al Panteón, y, mientras llegaba este momento, fueron llevados al jardín del Elíseo. Acordada poco después la desaparición de éste, los despojos de Descartes encontraron reposo, esta vez parece que definitivo, en la iglesia de Saint-Germain-des-Prés, donde se encuentran actualmente. Mucho viajó Descartes en vida y no poco después de muerto. Fermat, en cambio, apenas viajó en vida y tampoco muerto. Su alma sencilla se desprendió de su cuerpo el 12 de enero de 1665, en Chartres, donde ejercía a la sazón su profesión de jurisconsulto.


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Discusiones de Postgrado

EEPPIISSTTEEMMOOLLOOGGÍÍAA DDEE LLAA EEDDUUCCAACCIIÓÓNN MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA

En el número anterior comenzamos la publicación de los artículos que se originaron de los ensayos pensatorios conclusivos producto de las sesiones de lectura y discusión crítica entre los participantes cursantes de la asignatura conducente “Epistemología de la Educación Matemática”, de la Maestría en Educación Matemática, ofertada por la Dirección de Estudios de Postgrado de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo, durante el periodo lectivo 1-2009 (enero-abril).

Se iniciaron las discusiones con la lectura del libro de Robert Blanché, “La Epistemología”.

En este libro, el autor nos presenta algunas posiciones muy particulares sobre la epistemología y refuerza las mismas confrontando los aportes de otros autores, a los cuales se les reconoce mundialmente su condición de epistemólogos.

A continuación presentamos el siguiente de ellos, cuya autora es la participante Cristina Kudinow.

LLAA EEPPIISSTTEEMMOOLLOOGGÍÍAA Por: CRISTINA KUDINOW

C.I. Nº: 13.899.884

La epistemología, como la define el autor, es la teoría de la ciencia y sobre ésto versó la discusión en la jornada correspondiente. La primera parte del libro de Blanché, la Epistemología, presenta un resumen histórico acerca de la introducción de este vocablo y su significado e impacto desde el punto de vista filosófico.

La epistemología es un análisis superior de la ciencia, pero se diferencia de la metaciencia porque mantiene un carácter filosófico mucho más acentuado. El hecho de pensar sobre los procedimientos y teorías que sustentaban a la ciencia, ya demarcaba un gran progreso desde el punto de vista del conocimiento, en lo referente a cambios de paradigmas en el pensamiento y de empezar a analizar las posibles fallas de lo que para el momento se consideraba lo perfecto.

Llama la atención como se comienza a debatir la relación existente entre la epistemología y la filosofía, cómo algunos estudiosos establecen que se debe desligar totalmente una de la otra, afirman que sólo el conocimiento científico es válido y excluyen a la filosofía porque no puede ser sometida al análisis a través del método científico. Sin embargo, aunque se intente limitar a la epistemología a una reflexión plena de la ciencia, no se puede desprender por completo de la filosofía pues ésta se encarga de problemas fundamentales relacionados con cuestiones tales como la existencia, el conocimiento, la verdad, y el lenguaje a través de métodos críticos y búsqueda de argumentos racionales.

Por otra parte se presenta la comparación entre, la epistemología y la metodología. Tal como las muestra Robert Blanché, no hay confusión entre ambas, pues se delimita bien el papel que juega cada una de ellas en torno al conocimiento científico, “La epistemología no es propiamente el estudio de los métodos científicos, que es objeto de la metodología y forma parte de la lógica; sino que la epistemología es esencialmente el estudio crítico de los principios, hipótesis y resultados de las diversas ciencias” (Vocabulario de Lalande).



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Sin embargo, en la discusión se hizo énfasis en esta parte en cuanto a que la epistemología surge en momentos de crisis, cuando ha sido necesario analizar, si los métodos de obtención del conocimiento son los más acertados o es necesario repensar las bases de la ciencia para adaptarlos a los requerimientos del momento y de esta manera solucionar las crisis presentes. Ejemplo de ello lo vemos en los grandes avances y cambios que se dieron a partir de las guerras mundiales, desde el punto de vista científico y a partir de ése momento hasta ahora los pasos han sido agigantados en cuanto al avance de la ciencia que se conoce hoy en día y a sus métodos.

En cuanto a la epistemología y las ciencias del hombre, la reflexión epistemológica nace directamente de las dificultades que se presentan en el quehacer del trabajo científico; ésta se ve grandemente influenciada por el espíritu y métodos de las ciencias, lo que demuestra su estrecha relación; pero que por su naturaleza se distinguen una de la otra, al momento de delimitar su papel como se hizo con la epistemología y la metodología. Es aquí que el autor presenta un análisis desde el punto de vista histórico de la posición de la epistemología en cuanto a las ciencias del hombre, es decir el lugar que se le ha dado junto a ellas en el paso del tiempo y aclara que se le ha puesto al mismo nivel en ocasiones que a las ciencias morales o humanas.

Otra distinción es en cuanto a la historia de las ciencias, es cierto que la epistemología se basa en la historia, pero su finalidad es distinguir, gracias a los datos que le proporciona el estudio de su pasado, los elementos que han contribuido a la formación de la ciencia y del ideal científico. La epistemología está muy ligada a la historia de la ciencia, ya que, la historia tiene también parte de filosófica, puesto que el desarrollo temporal se entiende como movimiento dialéctico. Por otra parte está la epistemología genética y la psicología del niño que buscan explicaciones de los procesos intelectuales del infante a través del análisis de su formación.

La psicología genética es a su vez una de las disciplinas fundamentales que contribuyen al establecimiento de una epistemología genética, en esta parte el principal aporte a la epistemología genética es dado por Piaget, y se presenta a lo largo del discurso mostrando cómo sus trabajos permiten trasladar al terreno de la experiencia todos los problemas de epistemología relacionados con la génesis.

La idea del autor es establecer claramente la diferencia entre epistemología y otros vocablos, ésta fue también la finalidad de la sesión de discusión y del discurso llevado durante su desarrollo, cumpliéndose el objetivo propuesto.

La discusión acerca de la segunda parte del libro de Blanche, se comenzó hablando sobre la organización de las ciencias. En el siglo XVII Descartes afirmó que la ciencia es única; pero posteriormente en el siglo XVIII Augusto Comte estableció una clasificación dividiéndola en seis (6) ciencias fundamentales y de allí en adelante se ramificaron en ciencias más específicas, de acuerdo a su objeto de estudio y a los métodos empleados. Sin embargo, durante la discusión se puso en evidencia que en ocasiones a medida que transcurría el tiempo y de acuerdo a las necesidades de la época era necesario según algunos filósofos volverlas a agrupar (Bourbaki), y esto gracias a que aunque se diversificaban, siempre había algo en común entre ellas.

Vale la pena destacar que desde el punto de vista de éstos filósofos la matemática no era considerada una ciencia, sino un instrumento muy poderoso y valedero para hacer ciencia ya que, era utilizada durante el desarrollo del método científico por su rigurosidad y exactitud; pero no permitía según ellos conocer la naturaleza por su nivel de abstracción. Posteriormente se discutió acerca de cómo eran estudiadas algunas ciencias y ubicadas en los pensum de estudio en algunas universidades de la época.



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En algunos casos se tomó a la lógica y a la matemática como elaboraciones de carácter puramente lingüístico.

Sin embargo, según el parecer del autor, definitivamente las posturas extremas (rígidas) respecto a ciertos puntos de vista sobre algunas cosas a la larga siempre ha traído confrontaciones, de lo que se infiere que debería existir un punto de equilibrio entre ellas para que no se sucedan contradicciones. Muestra de ello se da en expresiones como “ir de lo simple a lo complejo” que con el paso de los años y los avances el hombre se ha visto en la necesidad de “ir de lo complejo a lo simple”.

Según el autor, cada día pueden ramificarse aún más las ciencias de acuerdo a las nuevas disciplinas y por otra parte, el orden jerárquico de las establecidas en ocasiones no es respetado cuando la situación lo amerita.

Se tiene como cierto que, y dándole un mayor grado de importancia, todas las ciencias dependen de la matemática sin que otras sean intermediarias. En principio la forma de obtener el conocimiento y de aplicar las primeras ciencias conocidas era ligada a elementos sensoriales, muy cualitativa, sin embargo el autor plantea la matematización de la física, que se dio en aquellos tiempos con la idea de dar un aspecto más formal al estudio de la naturaleza, antes de éste acontecimiento el empirismo como forma de obtener conocimiento reinaba entre las posturas filosóficas.

Tal fue la importancia dada a la matemática durante el proceso científico, que ésta se constituyó prácticamente en la base para hacer ciencia, pero a la larga esto no fue siempre del todo lo mejor. Se vuelve a hacer énfasis en algunas posturas filosóficas (Russell, Helmholtz) que afirmaban que la matemática correspondía a una elaboración lingüística que trataba de expresar el entorno pero bajo un idioma muy particular axiomático y abstracto.

Esto ha traído otra complicación consigo, porque se ha dicho que la matemática es simplemente un lenguaje donde se escogen símbolos de manera caprichosa para designar algunas cosas, y esto lleva con el tiempo en la época moderna a cuestionar sus bases desde el punto de vista filosófico. ¿Por qué es entonces necesario el estudio de la epistemología de la matemática? Considero que su estudio diario es importante, día a día deben analizarse y repensarse las bases de la matemática como cualquier ciencia fundamental para ajustarla a las necesidades actuales, pero para ello, es necesario conocer muy bien sus principios, sus orígenes, su filosofía inicial y la final. Esto corresponde a los sabios del presente siglo, ahora llamados científicos (nosotros) ya que, la ciencia está al alcance de todos, esto conlleva a una gran responsabilidad en el caso de nuestro desempeño como docentes porque debemos participar del proceso del pensamiento matemático en nuestro quehacer diario en el aula de clases.

Si queremos realmente ser críticos, analíticos y buenos formadores de un conocimiento matemático firme y con bases sólidas (abstractas, axiomáticas, y no menos importante históricas) debemos permanecer en constante estudio.


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MMÁÁSS HHUUMMOORR MMAATTEEMMÁÁTTIICCOO

PPii--88 (O el cuento “Pinocho” versionado matemáticamente)

Versión del cuento autoría de:

David Gutiérrez Rubio (Davidi)

Tomado de: Portal de Pablo

Érase una vez un matemático muy bueno, llamado Galoisetto, al que le gustaba mucho hacer construcciones con regla y compás. Quienes lo conocían afirmaban que había construido de este modo toda la colección de números racionales, que sólo enseñaba a sus mejores amigos.

Un buen día, mientras paseaba por el plano afín, se encontró un viejo polinomio ciclotómico de orden 72

2 .

-"Vaya, ¿qué tenemos aquí?, con esto podré construir un estupendo 72

2 - gono", dijo Galoisetto. Así, después de muchos días de trabajo, separando y etiquetando las raíces, consiguió construir, usando solo su vieja regla y su

compás, un hermoso 72

2 - gono regular. Galoisetto estaba muy contento con su creación. Cuando pensó qué nombre ponerle, recordó entonces que lo había hecho a partir de un polinomio que encontró en el plano afín, concretamente en el punto (π ,8).

-"Entonces te llamaré Pi-8.", dijo Galoisetto alegremente.

Cansado de tanto trabajar se fue a la cama, y como contaba ovejas usando sus amplios conocimientos de combinatoria, no tardó en quedarse dormido. Entonces apareció Gauss, el Hada Buena.

-"No me gusta que Galoisetto esté tan solo, te daré vida para que le hagas compañía", dijo el Hada Buena a Pi-8.

Y dicho esto, el Hada Buena sacó su varita mágica con perfecta forma de símbolo integral, y arrojando unos diferenciales mágicos sobre Pi-8, le aplicó la única solución de la secreta ecuación diferencial de la vida, con condiciones iniciales apropiadas para Pi-8.

Una vez acabado el hechizo, el Hada Buena liberó a un pequeño grafo que había quedado enredado en el álgebra engendrada por alguna malvada araña.

-"¿Cómo te llamas?", preguntó el Hada Buena.

-"Pepito Grafillo, para servirla", dijo el pequeño grafo.

-"Tú serás el encargado de cuidar de Pi-8. Vigílale bien y sobre todo que nunca diga mentiras".

-"Sí, Hada Buena'', dijo Pepito Grafillo.

Y dicho esto, el Hada Buena se multiplicó por i (unidad de los números imaginarios), desapareciendo instantáneamente.

Galoisetto se alegró mucho de tener a Pi-8 pues éste le hacía mucha compañía. Un buen día, llegó el momento de ir a la escuela.

-"Pórtate bien, todo el mundo debe saber los axiomas y las demostraciones".

-"Sí, papá Galoisetto".

Cuando Pi-8 y Pepito Grafillo llegaron al Instituto Cantor (llamado así por los grandes cantores que estudiaron allí), la profesora, una matriz definida negativa muy antipática, les presentó al resto de la clase.

La primera clase que dieron le pareció muy interesante a Pi-8, pues estuvieron viendo las distintas propiedades que cumplían los elementos del conjunto vacío. Sin embargo, la segunda clase le pareció más aburrida, pues se limitaron a decir en voz alta todos los ordinales.

En el descanso, un travieso alumno al que no le gustaban nada las Matemáticas, llamado Nobel, se le acercó.

-"Hey, poligonillo, ¿qué tal si nos vamos por ahí y no saltamos las siguientes clases?", dijo el mal estudiante.

-"Nada de eso", intervino Pepito Grafillo, "Pi-8 ha de portarse bien y nunca decir mentiras".

-"Hey Grafillo, no le des tantas vueltas al asunto, deberías quitarte esos ciclos que tienes en la cabeza".

Y así, con sus malas artes, el travieso alumno convenció a nuestro amigo para faltar a las siguientes clases.

Cuando regresaron a la escuela, la profesora estaba muy alterada, y sus autovalores estaban rojos de la ira. Con uno de sus pivotes, apuntó acusadoramente a Pi-8.

-"¿Dónde estaban?", preguntó furiosa. (CONTINÚA EN LA PÁGINA SIGUIENTE)


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Pi-8 estaba muy asustado y no sabía qué decir, ya que habían estado espiando a unas bellísimas cuádricas degeneradas. Entonces mintió:

-"Estuvimos demostrando la cuadratura del círculo".

Pero entonces pasó algo increíble: una de las raíces primitivas de Pi-8, 27, comenzó a crecer en módulo desmesuradamente. La profesora, asombrada, corrió a llamar al Director del Instituto, mientras todos los compañeros de Pi-8 se reían y hacían burlas. Pero he aquí que el Director del Instituto no era otro que Stromboli, el Catedrático Malvado. Cuando Stromboli vio a Pi-8, se dio cuenta enseguida de cómo podía usar a nuestro amigo para su propio beneficio. El terrible Catedrático agarró a Pi-8 y se lo llevó corriendo al complejo simplicial que utilizaba como guarida. Pepito Grafillo se lamentó: Si Pi-8 no se hubiera portado mal, esto no hubiera pasado.

Pensó cómo encontrar a Pi-8, ya que la guarida del malvado Stromboli era secreta.

Pensó y pensó, hasta que de repente se dio cuenta de que, en el forcejeo con Stromboli, Pi-8 había perdido una de sus raíces, 13. Pepito Grafillo estaba de suerte: como dicha raíz era primitiva, sólo tendría que preguntar en todos los cuerpos intermedios entre Q y Q [13], y en alguno seguro que obtendría información sobre el paradero de Pi-8. Efectivamente, en uno de los cuerpos, una base le dio las coordenadas (respecto esa misma base, claro) del lugar donde se encontraba nuestro amigo.

Mientras tanto, Pi-8 se encontraba muy asustado. El malvado Stromboli le había inmovilizado poniéndole pesadas etiquetas a todas las raíces menos a 27, ya que para ella tenía perversos planes.

El feroz Catedrático obligó durante varias horas a Pi-8 a recitar sus malvados teoremas. Así, sólo con observar el crecimiento de 27, podía saber si los teoremas eran o no ciertos, sin apenas trabajar.

Stromboli estaba muy contento con su descubrimiento y no paraba de obligarle a decir teoremas sin control alguno. Pi-8 estaba muy asustado pues sabía muy bien lo que le pasaría si Stromboli le obligaba a recitar un teorema indecidible.

Por fortuna, esa noche, cuando Stromboli dormía sobre un montón de exámenes suspensos, apareció Pepito Grafillo. Como nuestro pequeño amigo no contenía a C5 ni a C (3,3), pudo colarse fácilmente por debajo de la puerta y llegar hasta donde estaba Pi-8.

Pepito Grafillo intentó con todas sus fuerzas mover las pesadas etiquetas de las raíces pero fue en vano. Cuando ya no sabía qué hacer, apareció entonces Gauss, el Hada Buena.

-"Como veo que estás arrepentido, te liberaré si y solo si me prometes no decir más mentiras", le dijo a nuestro inmovilizado amigo.

-"Sí, Hada Buena", dijo Pi-8, muy asustado.

Entonces el Hada Buena invocó un famoso hechizo suyo, el Periodo de Gauss, llamado así porque las palabras del conjuro forman una sucesión de periodo 2i. Con dicho hechizo logró que todas las raíces de Pi-8 se anularan momentáneamente permitiendo a éste escapar de las pesadas etiquetas que le había puesto el cruel Catedrático.

Entonces Pi-8 le dio las gracias al Hada, y ésta se proyecto hasta el infinito, desapareciendo en el acto.

Así, nuestros amigos consiguieron escapar de las garras del terrible Stromboli. Se orientaron hacia la casa de Galoisetto y emprendieron el viaje.

Mientras tanto, Galoisetto, desesperado por la pérdida de Pi-8, salió a buscarle, y la mala suerte quiso que una monstruosa superficie compacta se lo tragara, pero la casualidad (ya que tenía probabilidad estrictamente positiva) hizo que esa misma superficie compacta se tragase a nuestros amigos en su camino de regreso.

Cuando Pi-8 se encontró a Galoisetto dentro de la superficie, éste se puso muy contento.

-"Pero ahora nunca podremos salir de esta monstruosa superficie", dijo apenado Galoisetto.

Pero Pi-8 no se daba por vencido. El problema tiene alguna solución, se dijo. Se acomodó en un punto de silla de la superficie, y pensó y pensó hasta que de repente, se le ocurrió una idea.

Eligió un punto adecuado de la superficie y, tirando entre los tres, consiguieron arrancar el vector binormal en ese punto. Luego, eligieron otro punto cualquiera de la superficie, e incrustaron el vector forzando a que sea ortogonal con los otros 3 vectores que ya había. Esto obligó a la superficie a entrar localmente en R4, momento que aprovecharon nuestros amigos para escapar fácilmente del interior de la superficie.

Una vez que volvieron a casa, Pi-8 le prometió a Galoisetto que sería bueno y no diría más mentiras. Y fueron felices, y calcularon generatrices.

Y aquí este cuento terminó.


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Algunos de los fenómenos naturales extraños del planeta, son extremadamente efímeros y además enormemente localizados y altamente inalcanzables. Estamos presentando desde el Nº 4-2009, de uno en uno, siete de las increíbles anomalías de la naturaleza que han sido observadas.

LLooss AArrccooss II rr iiss ddee ffuueeggoo

SON EXTREMADAMENTE DIFÍCILES DE VER POR LAS CONDICIONES

REQUERIDAS PARA SU FORMACIÓN

Las probabilidades de observar uno de estos arcos iris tan peculiar son extremadamente bajas. Se producen por una convergencia rara de los rayos del sol en algunas nubes que deben de tener una posición específica. Al reflejar la luz del sol, los cristales de hielo de estas nubes producen rayos visibles de diferentes espectros. Como es extremadamente insólito ver fotografías de este fenómeno, no es muy popular y si se logra tomar una instantánea es una gran suerte.

GALERIA

KRISTEN NYGAARD

(*1926-†2002)

Kristen Nygaard, matemático noruego, nacido en Oslo el 27 de agosto de 1926 y fallecido por infarto de miocardio el 10 de agosto de 2002. Fue un, pionero de la informática y político.

Nygaard obtuvo su título de máster en matemáticas en la Universidad de Oslo en 1956. Su tesis sobre teoría de probabilidad abstracta se tituló "Theoretical Aspects of Monte Carlo Methods" (Aspectos Teóricos de los Métodos de Monte Carlo). Entre 1948 y 1960 Nygaard desarrolló diversas tareas en el Departamento de Defensa noruego, incluyendo labores investigadoras. Fue co-fundador y primer presidente de la Sociedad Noruega de Investigaciones Operacionales (1959-1964). En 1960 fue contratado por el Centro Noruego de Computación (NCC, por sus siglas en inglés), como responsable para establecer el NCC como un importante instituto de investigación en los 60. Allí, junto con Ole-Johan Dahl, desarrolló los lenguajes SIMULA I (1961-1965) y SIMULA 67.

Trabajó para los sindicatos noruegos sobre planificación, control y procesamiento de datos, todo ello evaluado en función de los objetivos de la mano de obra organizada (1971-1973, junto con Olav Terje Bergo). Finalmente, también dedico algo de esfuerzo al estudio del impacto social de las tecnologías de la computación, así como al lenguaje general de descripción de sistemas DELTA (1973-1975, junto con Erik Holbaek-Hanssen y Petter Haandlykken). Nygaard fue profesor en Aarhus, Dinamarca (1975-1976), para pasar a ser nombrado profesor emérito en Oslo (a tiempo parcial desde 1977, y a tiempo completo durante 1984-1996).

Programación orientada a objetos.

Kristen Nygaard es reconocido internacionalmente como co-inventor de la programación orientada a objetos y el lenguaje de programación Simula, junto con Ole-Johan Dahl en los años 1960.

OLE-JOHAN DAHL Y KRISTEN NYGAARD

Las variantes del lenguaje fueron consideradas los primeros lenguajes de programación orientada a objetos, presentando los conceptos fundamentales en que la POO se basaría: objetos, clases, herencia, etc. Los sistemas informáticos que conforman los cimientos de la moderna sociedad de la información son unos de los objetos más complejos creados por la mente humana. Gracias, en parte, a los resultados de su investigación, es posible controlar tal complejidad.

Reconocimientos.

A lo largo de su carrera, Nygaard recibió multitud de galardones, entre los que destacan:

• En junio de 1990 recibió el doctorado honoris causa por la Universidad de Lund, Suecia, y en junio de 1991 fue la primera persona en hacer lo propio por la Universidad de Aalborg, Dinamarca.

• Miembro de la Academia Noruega de las Ciencias

• En febrero de 2001, de nuevo junto con Ole-Johan Dahl, recibió el Premio Turing de la Association for Computing Machinery (ACM), "por sus ideas fundamentales para el nacimiento de la programación orientada a objetos, mediante el diseño y desarrollo de los lenguajes de programación Simula I y Simula 67."

• En noviembre de 2002, recibió junto con Dahl la Medalla John von Neumann del IEEE "por la introducción de los conceptos subyacentes de la programación orientada a objetos, a través del diseño e implementación de SIMULA 67".

Actividad política.

Nygaard fue bastante activo en la política de Noruega. A mediados y finales de los años 60 fue miembro del comité ejecutivo nacional del partido liberal Venstre. Durante la intensa campaña electoral previa al referéndum de 1972 sobre la adhesión de Noruega a la Unión Europea, trabajó como coordinador de muchas organizaciones de jóvenes que apoyaron el rechazo.

De 1971 a 2001 Nygaard fue miembro del Partido Laborista Noruego, y participó en comités sobre política investigadora en dicho partido. En noviembre de 1988, lideró otro movimiento contrario a la integración europea de Noruega, llamado Nei til EU (literalmente, "No a la UE"), que diseminaba información sobre la relación de Noruega con el Mercado Común, y coordinando los esfuerzos para mantener a Noruega fuera de la unión. Nei til EU se convirtió en la mayor organización política del país (145.000 miembros en 1994, de entre una población de 4 millones). En el referéndum del 28 de noviembre de 1994, "Nei til EU" triunfó: un 52.2% del electorado votó "No", con la mayor participación en unas elecciones en el país nórdico - 88.8%. Además de rechazar la unión de Noruega con Europa, también formó parte, entre 1996 y 1997, de un movimiento europeo en contra del Tratado de Maastricht.

Pese a su frontal rechazo a la Unión Europea, y especialmente a la integración de Noruega en la organización, durante los años 80 fue presidente del comité de dirección del Cost-13 (un proyecto de investigación financiado por la Comisión del Mercado Común Europeo sobre las extensiones a los lenguajes de nicho que serían necesarias para cuando la inteligencia artificial y las tecnologías de la información formasen parte del mundo profesional.

Familia.

Kristen Nygaard se casó con Johanna Nygaard en 1951. Johanna Nygaard trabajaba en la Agencia Noruega de Ayuda a Países en Desarrollo. Estaba especializada en reclutar y dar apoyo administrativo a colaboradores en África Oriental. Johanna y Kristen tuvieron tres hijos y siete nietos.

Tomado de: Wikipedia®Wikimedia Foundation, Inc. Consulta: 23 Diciembre 2008.

J-HOMOTECIA Nº 10-2009

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