NDICEDESARROLLO HISTRICO DEL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOSINTRODUCCIN

1. DESARROLLO HISTRICO DEL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOSLa investigacin de los elementos finitos significativa se realiz en la Universidad de California en Berkeley en el perodo 1957-1970. La investigacin inicial fue una extensin directa de los mtodos clsicos de anlisis estructural que anteriormente se haba limitado a los elementos de una dimensin. La mayor parte de la investigacin realizada fue motivada por la necesidad de resolver problemas prcticos en la Ingeniera Aeroespacial, Mecnica y Civil. Durante este corto periodo el mtodo de elementos finitos se extendi a la solucin de los problemas lineales y no lineales asociados a la fluencia, la construccin incremental o excavacin, cierre grieta, la transferencia de calor, el flujo de agua en medios porosos, la consolidacin del suelo, anlisis de respuesta dinmica y el aprendizaje asistido por ordenador de anlisis estructural. Durante los ltimos seis aos de este perodo se unificaron los campos del anlisis estructural y mecnica de medios continuos.Los programas de ordenador desarrollados durante este perodo temprano en Berkeley se distribuyeron gratuitamente en todo el mundo permite a los ingenieros en ejercicio para resolver muchos de los nuevos problemas de mecnica estructural. Por lo tanto, la investigacin se transfiri rpidamente a la profesin de la ingeniera. En muchos casos se utiliz la investigacin profesional con anterioridad a la publicacin de un documento formal.2. INTRODUCCINAntes de 1952 el anlisis estructural se limita a los elementos conectados a slo dos puntos en el espacio. Los ingenieros estructurales utilizan la analoga de celosa, como el desarrollado por Hrennikoff y McHenry , a la membrana de la placa de modelo y las partes de flexin de la estructura. Sin embargo, esta analoga no podra ser aplicada a reas no rectangulares. Ray Clough primero enfrent este problema en los veranos de 1952 y 1953, despus de unirse al programa de la Facultad de verano Boeing. Durante este perodo trabaj con Jon Turner, jefe de la Unidad de Dinmica Estructural, y se le pidi que el clculo de los coeficientes de influencia flexibilidad flexin y torsin en las alas bajas de una nave. Se han obtenido resultados experimentales estticas de la estructura del ala caja de barrido-back se muestra en la Figura 1 y que no est de acuerdo con los resultados producidos por un modelo de anlisis estructural utilizando elementos de una dimensin nica. Este trabajo histrico importante se ha documentado en detalle por Clough en la que Turner se da el crdito principal para concebir el procedimiento para el desarrollo del tringulo de tensin constante.

Triangular Element RequiredTo Model Wing

Bending Loads

Torsional Loads

Figure 1. Swept-back Box Wing Test StructureTurner present el trabajo pionero de Boeing en la reunin del Instituto de Ciencias Aeronuticas en Nueva York en enero de 1954. Sin embargo, el documento no se public hasta septiembre 1956. Adems de la cepa elemento de membrana triangular constante, un elemento de membrana rectangular, sobre la base de patrones de acentuacin de equilibrio, se present que evit bloqueo cizallamiento. El nodo de equilibrioecuaciones se formaron por el mtodo de la rigidez directa. El propsito del elemento de desarrollo de dos dimensiones en Boeing era para modelar con precisin las propiedades de rigidez dinmica y desplazamientos de la estructura, pero no se propone como solucin un mtodo general para el anlisis de tensin de estructuras continuas.En 1956 y 1957 Clough estaba de permiso sabtico en Trondheim, Noruega. Durante este perodo tuvo tiempo para reflexionar sobre su trabajo en Boeing y estudiar los nuevos desarrollos en el campo. La serie completa de documentos por Argyris y Kelsey, publicados en Ingeniera Aeronaves entre octubre de 1954 y mayo de 1955, unificados diferentes mtodos aproximados para la solucin de las dos estructuras de trama continua y unidimensional. Mediante el uso de mtodos de transformacin de la matriz se demostr claramente que los mtodos de anlisis ms structurados podran clasificarse ya sea como una fuerza o un mtodo de desplazamiento.Fue en Noruega, donde Clough lleg a la conclusin de que los elementos de dos dimensiones, conectados a ms de dos nodos, se podran utilizar para resolver los problemas en la mecnica del continuo. Para el elemento triangular de Turner la relacin tensin-deformacin dentro del mismo elemento, la compatibilidad desplazamiento entre elementos adyacentes, y la fuerza de equilibrio sobre una base integral en un nmero finito de puntos de nodo dentro de la estructura estaban satisfechas. Era evidente que la satisfaccin de estas tres ecuaciones fundamentales demostr la convergencia a la solucin exacta elasticidad como del refinado de la malla.

Esta idealizacin elemento discreto fue un enfoque diferente para la solucin de los continuos problemas mecnicos, por lo que Clough acu la terminologa mtodo de los elementos finitos. Por lo tanto, los modelos de anlisis para ambas estructuras continuas y estructuras de marco se modelan como un sistema de elementos interconectados en las uniones o nodos, como se indica en la Figura 2. Otros investigadores en el anlisis estructural pueden haber dado cuenta del potencial de la solucin de problemas en mecnica de medios continuos mediante el uso de elementos discretos, sin embargo, todos estaban usando la terminologa de rigidez directa en ese momento.

Actual Frame Finite Element Model

Finite Element ModelActual Dam

Figure 2. The Finite Element Idealization

Cabe sealar que durante la dcada de los aos sesenta hubo muchas actividades de investigacin diferentes que fueron propuestas en Berkeley. En primer lugar, fue el apogeo de la Guerra Fra y el Departamento de Defensa estaba estudiando el costo y la capacidad para reforzar los edificios y estructuras subterrneas para resistir explosiones nucleares. En segundo lugar, un programa muy importante para la Investigacin de Ingeniera Ssmica, incluyendo la construccin de la mesa vibratoria ms grande del mundo, fue iniciado por los profesores Bouwkamp, Clough, Penzien and Seed. En tercer lugar, el Gobierno Federal y el Departamento de Transporte de California estaban expandiendo rpidamente en el sistema de autopistas en el estado y se patrocina la investigacin en Berkeley, dirigido por los profesores Scordelis y Monismith, sobre el comportamiento de los puentes y estructuras de paso superior. En cuarto lugar, el programa espacial tripulado era una prioridad nacional y Profesores Pister, Penzien, Popov, Sackman, Taylor y Wilson estaban realizando investigaciones muy activas relacionadas con estas actividades. En quinto lugar, la perforacin costa afuera de petrleo en aguas profundas y la construccin del oleoducto de Alaska requiere nueva tecnologa para estructuras de acero, la que fue desarrollada por los profesores Popov, Bouwkamp y Powell. Por ltimo, la construccin de reactores nucleares y torres de refrigeracin requiere el desarrollo de nuevos mtodos de anlisis y los nuevos materiales. Adems, los profesores Popov, Scordelis y Lin eran consultores en el diseo y la construccin de muchosestructuras laminares de tramo largo significativos. Apoyar la investigacin y el desarrollo de un nuevo edificio de la ingeniera estructural, Davis Hall, fue construido en el campus de Berkeley y una nueva mesa vibradora, para simular movimientos ssmicos, se construy en la Estacin de Campo de Richmond. El mtodo de los elementos finitos es una herramienta de anlisis que complementa todas estas actividades de investigacin analtica y experimental.

LOS AOS 1957 A 1960

Despus de que Clough volvi de su permiso sabtico en Noruega en 1957 se inici un nuevo programa de investigacin de anlisis estructural en Berkeley. Solicit y recibi una pequea subvencin NSF para apoyar la investigacin en el anlisis informtico de las estructuras. Adems, inici un nuevo curso de postgrado titulado Matriz de Anlisis de Estructuras. Durante el semestre de otoo de 1957 se enumeran varias reas de investigacin de estudiantes graduados posibles. Esta lista contiene los temas de investigacin en el anlisis de elementos finitos de estructuras de tensin plana, Anlisis de Elementos Finitos de Placas y anlisis de elementos finitos de las Conchas.

Un ordenador digital 701 IBM, con 4k de memoria de 16 bits, se haba instalado en la Facultad de Ingeniera del ao anterior. El nmero mximo de ecuaciones que pueden ser resueltos por este equipo fue de aproximadamente 40. Clough trabaj con el grupo de equipos en el campus para el desarrollo de un programa de lgebra de matrices con el fin de que los estudiantes no tendran que aprender de inmediato la programacin con el fin de resolver problemas de elementos finitos. Por lo tanto, mediante el uso de tcnicas submatrix y almacenamiento de cinta se pudo resolver sistemas ms grandes.

Bajo la direccin de Clough, el estudiante graduado Ari Adini utiliza el programa lgebra de matrices para resolver varios problemas de tensin plana con elementos triangulares. Dado que todas las matrices se calcularon con la mano el anlisis, incluso una estructura simple requiere una cantidad significativa de tiempo. Por lo tanto, slo las soluciones de malla gruesa eran posibles, como se muestra en la Figura 3. Sin embargo, este sistema se utiliz para producir todos los ejemplos en el artculo El mtodo de los elementos finitos en anlisis de tensin Plane de Clough, presentado en la segunda Conferencia de ASCE en clculos electrnicos en septiembre de 1960 . Este fue el primer uso de la terminologa de los Elementos Finitos en un artculo publicado fuera del campus de Berkeley y demostr por primera vez que el anlisis estructural

37

187

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Figure 3. First Finite Element Mesh Used for the Analysis of Gravity Dam

Ed Wilson, un estudiante graduado que comparta una oficina con Adini, no estaba satisfecho con la gran cantidad de trabajo necesario para resolver los problemas de elementos finitos mediante el programa de lgebra matricial. En 1958, Wilson, bajo la direccin de Clough, inici el desarrollo de un programa de elementos finitos automatizado basado en el elemento finito tensin plana rectangular desarrollado en Boeing. Despus de varios meses de aprendizaje para programar el IBM 701, Wilson produjo una capacidad, programa de semi-automatizado limitado que se basa en el mtodo de las fuerzas. Un informe de investigacin de la A MS se produce, lo que ha sido desde hace mucho tiempo fuera de lugar, con el ttulo aproximado de anlisis por ordenador de estructuras tensin plana.

En 1959 el equipo IBM 704 se instal en el Campus Berkeley. Tena 32 K de memoria de 32 bits y una unidad aritmtica de punto flotante, que era aproximadamente 100 veces ms rpido que el 701 IBM. Esto hizo posible resolver estructuras prcticas que utilizan mallas finas. Mientras trabajaba en el proyecto NSF Wilson, bajo la direccin de Clough, escribi un programa de anlisis del marco bidimensional con una relacin no lineal, momento-curvatura definida por la ecuacin Ramburg-Osgood clsica. Las cargas se aplicaron progresivamente y produjeron un tipo fcil de convencer de anlisis.

El trabajo de investigacin resultante tambin fue presentado en la Conferencia de 1960 ASCE [9]. El enfoque de carga incremental era general y podra ser utilizado para todos los tipos de sistemas de elementos finitos.Aqu me qyeAdini continu su investigacin de elementos finitos utilizando el programa de lgebra de matrices para resolver los problemas de flexin de placa utilizando elementos finitos rectangulares y demuestra que esta clase de estructuras puede ser modelada con precisin por el mtodo. El trabajo de investigacin que resulta [10] demostraron que los problemas de flexin de placas tambin pueden ser resueltos por el mtodo de los elementos finitos, sin embargo, no fue aceptado para su presentacin en la Conferencia de ASCE 1960, ya que otros dos documentos de Berkeley haba sido aceptada.

Adini resuelto varias estructuras laminares simples utilizando el enfoque de lgebra matricial y comandos adicionales para formar la membrana y matrices de rigidez de flexin de elementos rectangulares. En 1962 complet su doctorado tesis sobre el anlisis de elementos finitos de Shell estructuras [11].

En 1960 Clough y Wilson desarrollaron un programa de elementos finitos totalmente automatizado en el que la entrada bsica era la ubicacin de los nodos y los nmeros de nodo donde se unen los elementos de tensin plana triangulares. Las ecuaciones de equilibrio de nodo se almacenan en forma compacta y resuelven usando Gauss-Seidel iteracin con un factor de exceso de relajacin. Por lo tanto, es entonces posible para los ingenieros estructurales, y sin una slida formacin matemtica en la mecnica de medios continuos, para resolver prcticas estructuras tensin plana de geometra arbitraria construida por el uso de varios materiales diferentes. El trabajo necesario para preparar los datos de entrada de ordenador era simple y se pudo completar en unas pocas horas para la mayora de las estructuras. Wilson aadi ms tarde la carga progresiva y capacidad material no lineal de este programa y escribi su tesis sobre este tema [16]

LA PRESA DEL PROYECTO NORFORKAntes del desarrollo del mtodo de los elementos finitos de la Universidad de California en Berkeley tena una larga tradicin de investigacin sobre hormign, tierra y presas de escollera y el ensayo de materiales. En los aos veinte el profesor RE Davis realiz estudios de materiales para la presa Hoover. A finales de los aos cincuenta modelos y material de estudios para el proyecto de la presa Oroville se llevaron a cabo por los profesores J. Raphael, H. Eberhart y D. Pirtz. En ese momento, la mayora de los profesores del Departamento de Ingeniera Civil haba realizado investigaciones significativas en el diseo y construccin de estructuras de las presas. Por lo tanto, no fue sorprendente que la primera aplicacin real del programa de elementos finitos plano de nuevo desarrollo fue a una estructura de la presa.

Por recomendacin del Dr. Roy Carlson, un consultor para la Pequea Distrito Roca del Cuerpo de Ingenieros, Clough present una propuesta para realizar un anlisis de elementos finitos de Norfork presa, una presa de gravedad que tena una temperatura grieta vertical inducida cerca del centro de la seccin. La propuesta contena una solucin de malla gruesa de una seccin del dique que fue producido por el nuevo programa y claramente indica la capacidad del mtodo para modelar estructuras de geometra arbitraria con diferentes propiedades ortotrpicas dentro de la presa y la fundacin. La propuesta de anlisis de elementos finitos Clough fue aceptado por el Cuerpo de Ingenieros a travs de una propuesta de computadora anloga presentada por el profesor Richard MacNeal de Cal-Tech, que en ese momento era considerado como el mtodo del estado de la tcnica para la solucin de tales problemas.

El proyecto de la presa Norfork brind la oportunidad de mejorar los mtodos numricos utilizados en el programa y ampliar el mtodo de los elementos finitos para la solucin no lineal del cierre de grieta debido a la carga hidrosttica. Wilson y un nuevo estudiante de posgrado, Ian King, llevaron a cabo los anlisis detallados que fueron requeridos por el estudio. Los resultados significativos de la ingeniera del proyecto indicaron que la presa agrietada era seguro con la existencia de la grieta vertical, como se indica en la figura

La Figura 4. El anlisis de elementos finitos de Norfork Presa

El comportamiento de cierre grieta, ya que el depsito se incrementa en altura, se resume en la Figura 5. Mirando hacia atrs en el estudio presa Norfork uno est impresionado por la sofisticacin del anlisis teniendo en cuenta que este tipo de comportamiento no lineal rara vez se toma en cuenta en el anlisis de la presa en la actualidad.

Figura 5. Grieta de cierre como se llena Embalse

Adems del informe del Cuerpo de Ingenieros en el anlisis de Norfork presa [13], un documento fue elaborado y presentado en el Simposio sobre el uso de computadoras en la Ingeniera Civil, que tuvo lugar en Lisboa, Portugal, en 1962 [14] . Esta fue la segunda vez que el nombre de los elementos finitos apareci en el ttulo de un artculo publicado externamente al Campus Berkeley. Wilson y Clough presentaron otro documento importante en el Simposio de Lisboa en el paso a paso el anlisis de la respuesta dinmica de los sistemas de elementos finitos [15]. Este documento formulado mtodo de anlisis dinmico en forma de matriz de Newmark y elimin la necesidad de iteracin en cada paso de tiempo.REACCIN DE LA CONTINUIDAD MECNICA DE LA COMUNIDADDurante el proyecto de la presa Norfork Berkeley colega Karl Pister era escptico de la validez del mtodo de elementos finitos y desafi Clough a resolver algunos de los problemas clsicos de anlisis de tensin plana por el mtodo de los elementos finitos [22]. El problema seleccionado fue una placa con un orificio elptico sometido a la carga mostrada en la Figura 6a. Se pidi a un estudiante sin experiencia para establecer la idealizacin de los elementos finitos y para preparar la entrada de ordenador. La nica gua que figura el estudiante fue que pequeos elementos se utilizan en regiones de alto gradiente de presin (alrededor de la abertura) y los elementos ms grandes pueden usar en otros lugares. La malla resultante se muestra en la Figura 6b.

Los resultados de este estudio se presentan en la Figura 6c en la forma de contornos principales de estrs y parcelas de las tensiones normales en los ejes horizontal y vertical. El principal error estaba en la concentracin de tensiones donde la tensin de los elementos finitos es 564 en comparacin con el valor terico de 700.

(c )

La Figura 6. Aproximacin de elementos finitos de la Plata Infinito con el agujero elpticoPister a continuacin, reconoce que el mtodo de elementos finitos era una formulacin especial de la Mtodo de Ritz, donde las funciones de prueba fueron independientes dentro de cada elemento y eran compatibles en los bordes del elemento, y que estaba llevando a cabo activamente la investigacin en el rea dentro de un corto perodo de tiempo. En general, sin embargo, los continuos mecnicos investigadores fuera de la Ingeniera Estructural y Mecnica Estructural grupo en Berkeley eran muy reacios a aceptar el mtodo.

Es interesante observar que la asuncin de campos de deformacin constantes dentro de los elementos es esencialmente equivalente al concepto de descretization regional que se haba propuesto muchos aos antes por Courant [4] y por Prager y Synge [5]. Sin embargo, estas ideas no fueron perseguidos en ese momento debido a la falta de ordenadores de alta velocidad. Es evidente que Clough y el grupo Boeing no eran conscientes de estas referencias matemticos cuando se llevan a cabo su trabajo de desarrollo. No fue sino hasta 1964, despus de que investigadores en mecnica de medios continuos descubrieron estos documentos matemticos tempranos, que el mtodo de elementos finitos fue aceptado como mtodo de solucin de problemas en la mecnica de medios continuos [23]. Tambin en 1965, el mtodo de los elementos finitos fue utilizado para las soluciones de los problemas de transferencia de calor, por lo que la terminologa rigidez directa ya no era el nombre apropiado [19,20,21].EL TRIANGULAR ELEMENTO PlegadorasEn 1960 Jim Tocher, un doctorado estudiante que trabaja bajo la direccin de Clough, comenz la bsqueda de un elemento de placa de flexin triangular prctica. Despus de dos aos de tediosa Tocher trabajo producido una tesis que indican estructuras de placa reales pueden ser modelados por elementos triangulares en los desplazamientos normales se aproxima por un polinomio diez plazo [12]. Sin embargo, el elemento es demasiado flexible y no pudo demostrar que los resultados convergen a la solucin exacta del refinado de la malla. Se hizo indicar, sin embargo, que la compatibilidad pendiente se requiere para los elementos de flexin de la placa.En 1962-1963 Tocher pasado un ao como becario postdoctoral en Noruega y sigui trabajando en el elemento de placa triangular, mientras que en la comunicacin con Clough. Un antiguo alumno de Clough, TK Hsieh, sugiri un mtodo complicado de crear un elemento triangular que cumpla los requisitos de compatibilidad de desplazamiento.Este procedimiento implic el uso de tres polinomios diez plazo dentro de cada regin triangular de un elemento triangular, como se muestra en la Figura 7. Los tres rotaciones normales a los lados 4, 5 y 6 fueron obligados a ser funciones lineales. El desplazamiento normal y dos rotaciones en el nodo 9 se eliminan al exigir las tres rotaciones tangenciales a los lados internos 6, 7 y 8 del tringulo a ser funciones lineales. El elemento de placa de flexin resultante fue implementado y probado por Tocher mientras trabajaba en Boeing. El elemento produce excelentes resultados y fue nombrado el elemento HCT, despus de Hsieh, Clough y Tocher. Los resultados fueron publicados en 1965 en la Conferencia de Wright-Patterson sobre Mtodos matriz [25]. Este elemento fue utilizado por la profesin por ms de veinte aos para resolver los problemas de flexin de placas delgadas. Ms tarde fue sustituido por el elemento DKT.3

6 859

6 71

4 2

Figura 7. La Placa Compatible HCT elemento flexible

APLICACIN A LA CONSTRUCCIN CREEP e incrementales

Durante el proyecto de la presa Norfork que era necesario asumir el estado de estrs dentro de la presa de hormign antes de la aplicacin de la carga hidrosttica. Era evidente que este estado inicial de la tensin dentro de la presa era una funcin de la secuencia de la construccin, donde la geometra, la temperatura cambia debido al calor de hidratacin, y las propiedades de mdulo y la fluencia del hormign era todo una funcin de tiempo. En 1962 Ian King seleccionado este tema para su doctorado tesis [29].King, bajo la direccin de profesores Clough y Rafael, hizo extensas modificaciones al programa de Wilson con el fin de resolver este problema. La investigacin de King fue patrocinado por el Distrito Walla Walla del Cuerpo de Ingenieros y fue utilizado para aproximar la construccin destaca en el 687 pies de alto Presa Dworshak se muestra en la Figura 8. El tiempo necesario para construir un monolito tpico fue de aproximadamente dos aos, y las tensiones trmicas mximas se produjo antes de la finalizacin del monolito.

687 feet

Typical Lift 5 feet

Figura 8. Evaluacin de la Construccin y destaca la fluencia Dworshak PresaEra necesario que el rey de idear una complicada Remallado sistema durante el procedimiento de solucin para que el problema a resolver en los ordenadores centrales de 1964. El proyecto demostr claramente la importancia de la secuencia de la construccin y la fluencia durante la construccin [24]. Sin embargo, para nuestro conocimiento, este tipo de anlisis no se ha llevado a cabo en cualquier otra presa.Ms tarde, en la dcada de los setenta el profesor Scordelis y sus estudiantes de posgrado realizado importantes investigaciones sobre la construccin gradual y lenta de los puentes, conchas y otras estructuras de hormign.

ANLISIS DE ESTRUCTURAS SUBTERRNEASUna fase del proyecto de la presa Oroville iniciado en 1957 fue el anlisis fotoelstico de las centrales elctricas subterrneas bajo la direccin del profesor Eberhart. Varios diseos posibles se investigaron mediante fotoelasticidad, sin embargo, el enfoque experimental fue costoso y consume tiempo. Por lo tanto, despus de la elaboracin del programa de elementos finitos automatizado utilizado para el proyecto de la presa Norfork era posible investigar rpidamente la concentracin de esfuerzos en concreto bajo tierra y estructuras de roca. En 1962 Clough y Rafael recibi una beca de investigacin del Departamento de Recursos del Estado de California para utilizar el mtodo de elementos finitos para la solucin de esta clase de problemas [17]. Un nuevo estudiante de posgrado, Joe Rashid, fue contratado para trabajar en este proyecto.

Adems de trabajar en el proyecto, Rashid termin su Ph.D. trabajar en 1964 bajo la direccin de Pister en el Anlisis de Elementos Finitos de slidos simetra axial [18]. Adems, modific el programa de Wilson para resolver estructuras axisimtricas sometidos a cargas axisimtricas [27].

INTERACCIN CON PROFESOR O. C. Zienkiewicz

Cuando Clough present el primer papel utilizando la terminologa de los elementos finitos en 1960 atrajo la atencin de su amigo, el profesor OC Zienkiewicz, que era entonces miembro de la facultad en la Universidad de Northwestern. Unas semanas despus de la presentacin de la ponencia Zienkiewicz invit Clough para presentar un seminario sobre el mtodo de los elementos finitos para sus estudiantes. Zienkiewicz fue considerado uno de los expertos mundiales en la aplicacin del mtodo de las diferencias finitas para la solucin de los continuos problemas mecnicos en Ingeniera Civil, por lo tanto, Clough estaba dispuesto a debatir los mritos relativos de los dos mtodos. Sin embargo, despus de algunas preguntas penetrantes sobre el mtodo de los elementos finitos, Zienkiewicz era casi una conversin instantnea al mtodo.Durante el ao acadmico 1964-1965 Clough fue Profesor Visitante en la Universidad de Cambridge. l ha seguido supervisando el nmero de estudiantes por correo, conoci a otros expertos internacionales en el campo y escribi varios artculos de investigacin sobre terremotosla ingeniera y el mtodo de los elementos finitos. Durante este perodo el Dr. Zienkiewicz, despus se instala como profesor en la Universidad de Gales, en Swansea, pregunt Clough y muchos otros especialistas lderes en el desarrollo de nuevos mtodos de anlisis para participar en una conferencia sobre el anlisis de tensin en la Universidad. Estas conferencias fueron compilados en un libro titulado Anlisis de tensin [26], donde cada captulo ha sido escrito por un experto diferente. Clough, Zienkiewicz y B. Fraeijs de Veubeke escribieron captulos sobre el mtodo de los elementos finitos. De Veubeke referencia a la obra de 1947 Prager y Synge [5] e introdujo los seis nodos plano del elemento triangular, sin embargo, no present ningn ejemplo numrico.

La larga amistad entre el grupo de investigacin de Swansea y el grupo de elementos finitos Berkeley ha sido de mutuo beneficio importante y ha continuado durante los ltimos treinta cinco aos.

LA EXPERIENCIA AEROJET

Wilson acept un puesto, en agosto de 1963, como ingeniero de investigacin de alto nivel en la planta de cohetes de combustible slido en Aerojet General en Sacramento, California, a unos 80 kilmetros de Berkeley, donde continu con el desarrollo del programa informtico y la investigacin sobre la automatizacin del mtodo de los elementos finitos . All trabaj con Stan Dong (ahora profesor emrito de UCLA) y Len Herrmann (ahora profesor emrito de la Universidad de California Davis) ex Ph.D. alumnos del profesor Pister. Por lo tanto, el grupo de Aerojet era una extensin directa de los programas de investigacin de Clough y Pister en Berkeley. Durante los prximos dos aos los campos clsicos de anlisis estructural y mecnica de medios continuos se unifican en Aerojet, Berkeley y Swansea. Este nuevo campo ya que se le ha dado el nombre mecnica computacional.

Uno de los primeros problemas en Aerojet para que Wilson utiliza su programa de elementos finitos de dos dimensiones de Berkeley para resolver, fue el anlisis de estrs de una seccin transversal de un propulsor slido para cohetes, llamado un grano, sometido a presin interna, como se muestra en la Figura 9. Las tensiones se compararon con un anlisis fotoelstico que se haba llevado a cabo previamente. Para su sorpresa, en el punto de esfuerzo mximo, la tensin de los elementos finitos fue de aproximadamente el cinco por ciento ms grande que la tensin obtenida a partir del anlisis fotoelstico. Dado que uno esperara de las tensionesobtiene a partir de un anlisis de elementos finitos basada en el desplazamiento a ser inferior a los resultados exactos, se llev a cabo un nuevo anlisis fotoelstico. Los nuevos resultados estaban ms cerca de los resultados de la computadora, sin embargo, debido a los efectos tridimensionales cerca de la concentracin de esfuerzos fotoelsticos los resultados fueron an un pequeo tanto por ciento menos de las tensiones de elementos finitos. Wilson cre entonces una versin de propsito especial de su programa con la generacin de mallas para realizar automticamente los anlisis de estrs de los motores de cohete slidos de geometra arbitraria [19]. Dentro de los prximos aos en el grupo Aerojet fotoelstico fue reducido de tamao y la mayora de los ingenieros fotoelasticidad estuviera escribiendo o usando programas de elementos finitos.

La Figura 9. Anlisis de Elementos Finitos de Solid Rocket MotorTal vez la clase ms importante de problemas en Aerojet fue el anlisis de los slidos y conchas simetra axial. La adicin de la tensin circunferencial y las propiedades del material dependientes de la temperatura orttropos permiti que el programa de elementos finitos en Berkeley para resolver estos problemas. La tobera de cohete simetra axial se muestra en la figura10 fue el primer problema resuelto. Se ilustra claramente el poder del mtodo de elementos finitos. Dado que cada elemento puede tener diferentes propiedades del material, las ecuaciones de interfaz especiales materiales no se requiere como en el caso de diferencias finitas que era el mtodo de solucin existente utilizado en Aerojet en ese momento. Adems, el modelo de elementos finitos que pareca la estructura real, por lo tanto, el mtodo tena un atractivo inmediato a los ingenieros de diseo. A los pocos meses, varios departamentos diferentes, en tanto las plantas de combustible slido y lquido de Aerojet, estaban utilizando el programa.

La Figura 10. Anlisis de Elementos Finitos de boquilla RocketEl programa de Berkeley tena varias deficiencias, a saber: la capacidad limitada, no la generacin de mallas y un algoritmo de solucin iterativa impredecible. A continuacin, Wilson escribi un nuevo programa basado en un bloqueado, fuera del ncleo de memoria, resolucin de ecuaciones directa, introduce el elemento cuadriltero formado por cuatro tringulos con la condensacin esttica, y ha aadido una opcin de generacin de mallas de gran alcance. Este nuevo programa fue ms preciso, tena gran capacidad, fue varias veces ms rpido que el programa iterativo anterior, y era fcil de usar.Tanto Dong y Herrmann se dieron cuenta del poder del mtodo de elementos finitos y haban reconocido que era una forma del mtodo de Ritz. Se pondrn de manifiesto para los que era necesario aprender un lenguaje de programacin con el fin de llevar a cabo rpidamente la investigacin y el desarrollo con el mtodo de los elementos finitos. Dong dirigi su investigacin a la solucin de elementos finitos de conchas y Herrmann trabaj en la solucin de elementos finitos de placas y anlisis de grandes deformaciones de los motores de cohete slidos.El grupo de Aerojet obtuvo un contrato con la NASA para el anlisis de estrs trmico de la nave espacial Apollo durante el reingreso a la atmsfera terrestre. El problema podra ser aproximada con una estructura de simetra axial sometido a carga no simtrica al eje. En la sugerencia de Herrmann, Wilson utiliz un enfoque de solucin semi-analtico en el que la estructura se model con elementos de anillo cuadriltero simetra axial y los tres desplazamientos y cargas se ampliaron en la direccin circunferencial por una serie de la siguiente separacin de forma variable de:

Por lo tanto, debido a las propiedades de ortogonalidad de las funciones, que era posible obtener la solucin de anlisis de la tensin trmica en tres dimensiones por la suma de las soluciones de los problemas de dos dimensiones. Por lo tanto, era posible llevar a cabo el anlisis de tensin trmica en tres dimensiones de la nave espacial Apollo escudo trmico, como se muestra en la Figura 11, mediante el uso de los ordenadores relativamente lentos que existan en 1964.

ur (r, z, ) = ur (r, z) cos(n ),n =0Nu z (r, z, ) = u z (r, z) cos(n )n =0Nu (r, z, ) = u (r, z) sin(n )

Heat Shield Made FromAblative Materials

Earths AtmosphereAtmsfera de la Tierraun. La nave espacial Apollo

ELEMENTOS cono truncado

Elementos slidos de revolucin

SUPERFICIE ABLATIVO

TRUNCATED CONE ELEMENTS

AXISYMMETRIC SOLID ELEMENTS

ABLATIVE SURFACE

b. Modelo de Elementos Finitos del escudo trmico

La Figura 11. Anlisis de Elementos Finitos de la nave espacial Apollo Proteccin trmica

La mayor parte del trabajo de investigacin llevado a cabo en Aerojet fue presentada en el "2 Encuentro Ciencia Aeroespacial AIAA" en Nueva York, durante enero 1965 [20]. En la misma sesin Wilson conoci al profesor Pian del MIT, que present un documento mediante el mtodo directo de la rigidez para el anlisis de estructuras laminares axisimtricas [21].

En agosto de 1965, Dong acept un puesto de profesor en la UCLA, Wilson regres a Berkeley como un miembro de la facultad y Herrmann se uni a la facultad en la Universidad de California en Davis y continu consultar por Aerojet para los prximos aos. Es de inters sealar que, pocos das antes de su partida, se recibi la noticia de la NASA que Aerojet ha sido seleccionada como una de las tres principales empresas que sern entrevistados para el desarrollo del programa informtico NASTRAN. Debido a la prdida de personal clave, la propuesta fue retirada Aerojet. La otra finalista, Lockheed Aerospace, tambin retir su propuesta. Por lo tanto, Richard MacNeal de MacNeal-Schwendler Corporacin dedic los siguientes treinta aos en el desarrollo innovador y distribucin del programa de anlisis estructural NASTRAN.

LA CONFERENCIA Wright-Patterson en el 1965En octubre de 1965 se celebr una conferencia sobre mtodos matriciales en anlisis estructural en la Base de la Fuerza Area Wright-Patterson [32]. Reuni a los principales grupos de investigacin de anlisis estructural de muchas zonas del mundo. La mayora de los trabajos utilizan dos elementos tridimensionales para resolver problemas de mecnica de medios continuos. Sin embargo, una sola sesin, que contiene seis artculos en Propiedades del elemento finito y presidido por el profesor Richard Gallagher, se dedic al Mtodo de los Elementos Finitos.A ms impresionante 180 pages papel Continua y discontinua fue presentado por John Argyris y contenan un gran nmero de aplicaciones en el anlisis de slidos, placas y lminas. Adems, present los seis nodo de elemento plano triangular formulado en un sistema de coordenadas del espacio natural y un nodo de elemento tetradrico diez slida formulada en un sistema de coordenadas volumen natural. En el documento no us el elemento finito terminologa para describir su trabajo. Sin embargo, en un seminario presentado poco tiempo despus en Berkeley se refiri al mtodo de los elementos finitos ampliamente. Por lo tanto, no fue sino hasta finales de 1965 que el "mtodo de elementos finitos" nombre fue aceptado como reemplazo de terminologa para el mtodo de la rigidez directa.ELEMENTO FINITOS INVESTIGACIN EN BERKELEY 1965 A 1970La investigacin de los elementos finitos en Berkeley mueve rpidamente en muchas direcciones diferentes durante los aos 1965 a 1970. Muchos profesores del Departamento de Ingeniera Civil participaron y el nmero de estudiantes de posgrado en el departamento aument significativamente durante este perodo. Creemos que muchos excelentes estudiantes de todas partes del mundo se sienten atrados por Berkeley, ya que era conocido como el hogar del mtodo de los elementos finitos. Por lo tanto, slo se presentar un resumen general de la investigacin llevada a cabo durante este perodo.

Trabajando bajo la direccin de profesores Penzien y Popov, ZA Lu complet una tesis en 1965 sobre el "Anlisis de Elementos Finitos de las Conchas finas de revolucin" [28]. l utiliz la solucin exacta para un elemento de la lmina cnica de conchas modelo de revolucin. Dado que el elemento podra ser muy pequea, con simetra axial conchas delgadas de geometra arbitraria podran ser modelados. Profesor Popov tena varios otros estudiantes excelentes que trabajan en estructuras laminares durante los prximos aos.

Anil Chopra trabaj con Penzien y Clough en 1964/65 para incluir la interaccin represa / embalse, durante los terremotos, tanto en la tierra y presas de hormign [30,31]. Se utiliza el tringulo tensin constante y un mtodo de solucin tiempo dominio de la frecuencia. Este trabajo llam la atencin de los profesores Brekke, Duncan, Lysmer and Seed en el grupo geotcnico Berkeley en Ingeniera Civil. Dentro de unos aos sus estudiantes estaban usando el mtodo de los elementos finitos para la solucin de problemas en suelos y mecnica de rocas.

Despus de Clough volvi de Cambridge en 1964, Carlos Felippa, un nuevo doctorado estudiante, comenz a trabajar en la aplicacin de la orden de seis nodo de elemento plano triangular superior para problemas donde el comportamiento no lineal y el pandeo eran importantes. l era una persona muy creativa con una excelente formacin en mecnica, mtodos numricos y programacin de computadoras. l claramente ilustrado, para el mismo nmero de ecuaciones a resolver, que el uso de seis tringulos nodo produce resultados ms precisos para ambos desplazamientos y destaca en comparacin con el uso de tres tringulos nodo. l introdujo las propiedades del material no lineal y resuelto varios ejemplos. l form la masa constante y la rigidez geomtrica y resolver problemas de pandeo elementales. Todo el trabajo se formul en el rea natural

sistema de coordenadas y se presentaron varias nuevas frmulas de integracin numrica[35].

Wilson ha desarrollado un avin y un programa de transferencia de calor transitoria axisimtrico mientras trabajaba en Aerojet [22], sin embargo, no se haba completado un documento formal sobre el trabajo. En 1966 Bob Nickell, que ms tarde complet su Ph.D. con Sackman [71], elaborado ejemplos adicionales y se formula el mtodo en forma variacional. Antes de la aceptacin por la Revista de Ingeniera y Diseo [33] Nuclear el documento fue sometido a ingeniera mecnica Heat Transfer Diario y fue rechazado porque era lo mismo que las diferencias finitas. No fue sino hasta unos siete aos despus de que los investigadores de la transferencia de calor clsico apreciado plenamente el potencial de la utilizacin del mtodo de los elementos finitos.

En 1965-1966 profesores Robert Taylor y Colin Brown utilizan el mtodo de elementos finitos para desarrollar un procedimiento numrico para la solucin de problemas bidimensionales de flujo de fluidos en medios porosos [34]. Se introdujeron un mtodo para resolver para la superficie libre en slidos parcialmente saturados iterativo.

Profesores Pister, Herrmann, Taylor y Sackman tenan un gran grupo de estudiantes que trabajan en la aplicacin de elementos finitos para diferentes problemas de la mecnica, que incluyen materiales casi incompresibles, grandes desplazamientos y materiales no lineales. Algunas de estas actividades se resumen en las referencias [36,39,41,49,56,71]

En 1967 Clough tena tres estudiantes graduados completan sus grados de doctor. Phil Johnson combina el elemento de flexin HCT con un elemento de membrana triangular para resolver las estructuras de concha de la geometra arbitraria [42]. Athol Carr combina vigas y elementos de lmina delgada para resolver los depsitos sometidos a cargas tanto estticas como dinmicas [38]. Ojars Greste utiliza el elemento de capa delgada para estudiar el comportamiento de las juntas de acero en las estructuras off-shore [37]. Asimismo, desarroll una generacin automtica de malla prctica para el cruce de tubos de acero grandes de diferentes tamaos.

En 1967 Dave Murray, bajo la direccin de Wilson y Clough, utiliza el elemento de flexin HCT y el tringulo de deformacin constante para resolver fuera de plano de pandeo de placas [45]. Adems, solicit cargas incrementales de resolver para el puesto de pandeo comportamiento de las placas. Por equilibrio satisfactorio en la posicin deformada para cada carga

incrementar mostr que los mismos resultados se obtienen con o sin el uso de la rigidez geomtrica. El uso de la rigidez geomtrica para cada incremento de carga se increment la velocidad de convergencia.

Wilson sigui llevando a cabo la investigacin sobre la construccin, los esfuerzos trmicos y fluencia en estructuras de hormign en masa. R. Sandhu trabaj en esta rea que se resumen en las referencias [40,44,47,52]. Adems, Wilson y yo Farhoomand realizaron una investigacin sobre el anlisis dinmico (explosin) lineal y no lineal de estructuras subterrneas [48,59,69]. Adems, Peter Smith complet su disertacin sobre la determinacin de las formas de membrana de estructuras laminares [68].

Profesor Popov supervisado a varios estudiantes que trabajaron en el anlisis esttico y dinmico de estructuras laminares. ZA Lu trabaj en conchas simetra axial [28], como se mencion anteriormente. Ph.D. de Juan Abel tesis sobre el anlisis esttico y dinmico de conchas sndwich con amortiguamiento viscoelstico [50]. La disertacin de S. Yaghmai estaba en el anlisis incremental de gran deformacin de conchas axisimtricas [53].

Profesor Scordelis realiz una investigacin experimental y analtica sobre el comportamiento de las estructuras de grandes luces, incluidas las cscaras de hormign armado y puentes, durante el perodo 1963-1970. Kam Lo complet una tesis sobre el anlisis de elementos finitos de caja puentes de vigas [72]. De Ngo termin el trabajo sobre el anlisis de elementos finitos de vigas de hormign armado [73]. Arthur Nilson complet un doctorado disertacin sobre la interaccin no lineal entre el acero de refuerzo y concreto [74]. La disertacin de Andy Franklin estaba en el comportamiento no lineal de vigas de hormign armado y paneles [75]. Kasper Willam termin el trabajo sobre el anlisis de las placas dobladas y las estructuras celulares [62,64] y Christian Meyer estaba trabajando activamente en su investigacin de doctorado [63] sobre las estructuras que combinan elementos de viga con elementos de plancha.

Adems, Scordelis y Bouwkamp realizaron anlisis de elementos finitos y experimental de las juntas tubulares [51]. Bajo la direccin de Bouwkamp, Mike Mehrain complet un doctorado disertacin en el anlisis de elementos finitos de puentes sesgar [43].

ELEMENTOS isoparamtricosEn 1968, Irons y Zienkiewicz presentado la formulacin isoparamtrica de matrices de rigidez de elementos finitos y este trabajo tuvo un impacto inmediato y significativo en la investigacin de los elementos finitos que se realizan en Berkeley. Profesor Taylor fue el primero en la programacin de esta nueva formulacin en Berkeley y de demostrar el poder de este nuevo tipo de formulacin de elementos. En un perodo muy corto de tiempo, muchos otros miembros de la facultad y los estudiantes estaban usando este nuevo tipo de elemento, como se muestra en la Figura 12.

4 node plane element9 node plane element

8 node solid element20 node solid element

4 nodo del plano de elemento 9 nodo de elemento plano8 nodo de elemento 20 nodo de elemento slido slidoFigura 12. Ejemplos de elementos isoparamtricos

En 1969, William Doherty, trabajando bajo la direccin de Taylor, desarroll el primer programa para el anlisis de tres dimensiones, el flujo de estado estacionario de fluidos en medios porosos utilizando el ocho nodo de elemento isoparamtrica. En la actualidad, varias empresas siguen utilizando una versin de este programa para predecir las presiones hidrostticas bajo presas. Aproximadamente al mismo tiempo, Kenneth Kavanagh, trabajando bajo la direccin de Clough, utiliza los ocho elemento slido nodo para el anlisis estructural de los slidos tridimensionales [57].Uno de los problemas significativos con el uso de los cuatro elemento de plano de nodo y el nodo de ocho elemento slido fue de bloqueo cizalladura cuando los elementos fueron sometidos a flexin pura. Taylor y Wilson experimentaron con integracin reducida [56] y los modos de desplazamiento incompatibles [70] para eliminar el problema.

EL SMIS y programas SAP

En 1963 Wilson y Clough desarrollado un sistema simblico Matriz interpretativo, SMIS, para el propsito de ensear el anlisis esttico y dinmico de las estructuras. El propsito de este programa es reducir la brecha entre los mtodos de clculo y los mtodos tradicionales de la mano de la matriz de anlisis estructural. Este programa FORTRAN se distribuye libremente y se modific varias veces diferentes en diferentes universidades. La ltima versin de este programa es CAL 91 y todava se utiliza para la enseanza de anlisis estructural moderno [76].

Durante los primeros aos de la investigacin de los elementos finitos en Berkeley cada alumno desarrolla su propio programa de ordenador o modificado el programa de otro estudiante para resolver un determinado tipo de estructura. A menudo, estos programas no fueron documentados y no pueden ser utilizados por cualquier persona, pero el desarrollador. En muchos casos, los miembros de la profesin de ingeniero no podan utilizar la investigacin sin grandes costes de desarrollo. Por estas razones Wilson, en 1969, inici el desarrollo del programa de uso general esttica y dinmica estructural Anlisis de SAP.

El programa SAP utiliza la tecnologa existente de la poca. Cada nodo o conjuntas podran tener de cero a seis desplazamientos grados de libertad. Dentro de SAP una matriz de punteros entero fue creado que era seis veces el nmero de nodos. Esta matriz permite que cada nodo tiene un nmero diferente de desplazamientos. Por lo tanto, durante el montaje de la rigidez del elemento se formaron slo las ecuaciones de equilibrio para los desplazamientos desconocidos. Por lo tanto, el programa fue tan eficiente como los programas con fines especiales que tenan un nmero fijo de desplazamientos por nodo.

En menos de un ao Wilson y tres estudiantes desarrollaron el primer programa SAP [66]. Se distribuye gratuitamente a todos los estudiantes y miembros de la profesin y se convirti en el programa bsico de partida para muchos proyectos diferentes elementos finitos. En

1973, el Dr. Jurgen Bae actualiza las opciones de respuesta dinmica y desarrollada documentacin adicional para producir SAP IV [77]. En el momento de la finalizacin SAP IV fue uno de los programas de anlisis estructural ms rpidos y mayor capacidad en el mundo. La distribucin gratuita de este programa sirve como un medio eficaz para la transferencia de la investigacin de los elementos finitos desarrollado en Berkeley para la profesin y para otras universidades.

CONSIDERACIONES FINALES

En este trabajo hemos intentado resumir las primeras investigaciones de la Universidad de California en Berkeley 1957-1970. La mayor parte de esta investigacin se llev a cabo hace ms de treinta aos. Por lo tanto, ha sido difcil de recrear con precisin toda la investigacin y para presentar el material en la secuencia apropiada. Pedimos disculpas a aquellos individuos cuyas actividades de investigacin es posible que hayamos omitido o no se inform con precisin.

Profesores Devogelaere y Parlette del Departamento de Matemticas de UC ensea mtodos numricos, servido en numerosos comits de tesis de la CE y son una parte importante de los esfuerzos de investigacin de los elementos finitos temprano. No fue hasta aproximadamente 1970 que un curso formal sobre el mtodo de los elementos finitos, en el Departamento de Ingeniera Civil, se introdujo, en su lugar, un intercambio libre y abierto de las actividades de investigacin exista entre todos los profesores y los estudiantes. Adems, no haba ningn instituto oficial de investigacin sobre mecnica computacional en Berkeley, donde se llev a cabo la investigacin. Creemos que este ambiente informal fue la principal razn para la alta productividad de la investigacin durante este perodo inicial.

Aproximadamente el 50 por ciento de los estudiantes, despus de recibir grados de su mdico durante este perodo, obtuvo cargos docentes en las principales universidades y sigui haciendo importantes contribuciones en el rea general de la mecnica computacional. Este hecho ha sido de gran satisfaccin personal de los autores y de otros miembros de la facultad en la Universidad de California en Berkeley.

Muchas de las referencias en este documento son de la Ingeniera Estructural yStructural Mechanics serie de informes, UCB / SESM. Las copias de estos informes pueden serobtenido de NISEE en el Centro de Investigacin de Ingeniera Ssmica de la Universidad de California, Berkeley. Algunos de los informes se resumen en lnea en www.eerc.berkeley.edu