Historia Cuantizacion Gravedad

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Historia de la Gravedad Cuntica(History of Quantum Gravity)

Prez Sebastin, Miguel A.Univ. del Pas VascoDpto. de Fsica Terica e Historia de la CienciaApartado 64448080 Bilbao

BIBLID [1137-4411 (1997), 4; 235-252]

En este trabajo proponemos un recorrido histrico a travs de los diversos intentos de describir la gravedad pormedio de una teora cuntica, que han tenido lugar durante los ltimos 60 aos. Aunque ninguno de estos intentos halogrado este propsito de manera completamente satisfactoria, an hoy los fsicos continan trabajando en algunasde las lneas de investigacin que vamos a exponer. Nos referiremos brevemente a los primeros intentos, que datande los aos 30, continuaremos con la denominada teora semiclsica, la teora cannica y el mtodo de las integralesde camino. Asimismo trataremos ciertos aspectos de la cosmologa cuntica y otras teoras surgidas recientementecon el nimo de completar la descripcin de la gravedad.

Palabras Clave: Historia de la ciencia. Gravedad. Teora cuntica. Relatividad general.

Gure lan honetan aken 60 urteetan agertu diren grabitatea teoria kuantikoaren bidez deskribatzeko saiakeren ze-harreko ibilbide historikoa proposatu nahi dugu. Aipatutako saiakerak guztiz asebetegarriak izan ez ba dira ere, gauregun ere zenbait fisikarik azalduko ditugun ikerketa-arloetan lanean jarraitzen du. Hasieran 30. hamarkadan izan zirenlehenengo entseiuetaz arituko gara laburki, gero teoria semiklasiko, teoria kanoniko eta ibilbide integralen metodazmintzatuko gara. Halaber, kosmologia kuantikoaren zenbait aspektutaz eta grabitatea deskribatzeko asmoz agertutakobeste zenbait teoriataz ihardungo dugu.

Giltz Hitzak: Zientziaren historia. Grabitatea. Teoria kuantikoa. Erlatibitate orokorra.

Dans ce travail nous proposons un parcours historique a travers les divers essais de dcrire la gravitation au mo-yen dune thorie quantique qui ont eu lieu pendant les derniers 60 ans. Quoique aucun de ces essais naie abouti defaon compltement satisfaisant, mme aujourdhui les physiciens continuent a travailler dans quelques des lignes derecherche que nous allons exposer. Nous allons mentionner les premiers essais, qui datent des annes 30, et aprsnous tudierons la thorie semiclassique, la thorie canonique et la mthode des integrals de chemin. De mme, nousallons tudier certains aspects de la cosmologie quantique et autres thories proposes rcemment dans lintention deachever la description de la gravitation.

Mots Cles: Histoire de la science. Gravit. Thorie quantique. Relativit gnrale.

Prez Sebastin, Miguel A.

1. INTRODUCCION

La gravedad es una de las cuatro interacciones fundamentales de la naturaleza. Una ca-racterstica importante que la distingue de las dems interacciones es que afecta a toda for-ma de materia y energa de la naturaleza. Ms an, acta con la misma intensidad sobre to-das las formas de materia y energa. Incluso la luz siente su efecto: se ha observado que sutrayectoria es desviada en los alrededores de un cuerpo muy masivo. Nada escapa a su al-cance y, a pesar de ser la interaccin fundamental ms dbil de la naturaleza, es la fuerzadominante a grandes distancias.

La teora que hasta el momento mejor explica el comportamiento de los cuerpos bajo lainteraccin gravitatoria es la relatividad general de Einstein.

La relatividad general recoge esa propiedad del campo gravitatorio: todos los cuerposcaen del mismo modo bajo la accin de la gravedad independientemente de su naturaleza.Localmente el campo gravitatorio es indistinguible de un sistema con aceleracin constante.Esto condujo a A. Einstein a la idea de que el campo gravitatorio puede ser descrito geom-tricamente a travs de la estructura del espacio-tiempo. Nuestra comprensin de la grave-dad identifica las ecuaciones del campo gravitatorio con las ecuaciones geomtricas para elespacio y el tiempo.

Bajo ciertas condiciones generales acerca de la materia puede demostrarse la existen-cia de singularidades en el tiempo, o en el pasado o en el futuro. Esto est demostrado conrigor matemtico en los famosos teoremas de singularidad de R. Penrose y S.W. Hawking.Observaciones como las reflejadas por el fondo csmico de microondas indican que el uni-verso tiene la suficiente materia como para haber producido una singularidad, de acuerdocon los teoremas, en el pasado que podra interpretarse como el comienzo del mismo. El ran-go de energas de los procesos fsicos que tuvieron lugar en los momentos cercanos poste-riores al comienzo del universo (big bang) estn por encima del rango de validez de la teoraclsica de la relatividad general. Normalmente cuando se llegan a energas tan elevadas laintuicin fsica induce a considerar la teora cuntica de la interaccin. Esto ocurre en todaslas interacciones conocidas. Por eso el universo en sus primeros momentos debera ser des-crito a travs de una teora cuntica de la gravedad donde la relatividad general pueda apa-recer como el lmite clsico de esta teora.

Los intentos de describir la gravedad mediante una teora cuntica han sido numerosos.Los primeros tuvieron lugar en los aos 30, cuando los postulados y objetivos de la mecnicacuntica estaban muy recientes. An hoy, ms de medio siglo despus no existe una teoracuntica de la gravedad.

En este artculo proponemos una descripcin histrica de los diferentes modelos cunti-cos para la gravedad que han aparecido a lo largo de estos ltimos 65 aos.

En la siguiente seccin exponemos los primeros intentos de construir la teora cuntica dela gravedad. En la tercera seccin describiremos el comportamiento semiclsico de la grave-dad, que trata sobre el comportamiento de otros campos cunticos bajo el efecto del campogravitatorio clsico. La cuarta seccin est dedicada al formalismo cannico. En la quinta sec-cin describiremos el mtodo de las integrales de camino aplicado al campo gravitatorio y enla siguiente comentaremos las diferentes prescripciones utilizadas para desarrollar una cosmo-loga cuntica. Por ltimo hablaremos de otros modelos importantes que existen actualmente.

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Historia de la Gravedad Cuntica

2. PRIMEROS INTENTOS DE CUANTIZAR 1 LA GRAVEDAD

La idea ms difundida entre la comunidad cientfica es que todas las interacciones fun-damentales deben ser descritas por una teora cuntica de campos.

Hoy en da tres de las cuatro interacciones fundamentales (interaccin electromagnti-ca, interaccin fuerte e interaccin dbil) vienen descritas por un modelo cuntico que lasengloba. Este modelo se llama modelo standard y fue presentado por S.L. Glashow, S. Wein-berg y A. Salam a principios de los 70. La teora unificada de la interaccin electromagnticay la interaccin dbil fue descrita por S. Weinberg y A. Salam2 ; la interaccin fuerte descritapor la teora de la quantum chromodynamics (cromodinmica cuntica) se debe a H. Georgiy S.L. Glashow3. La nica interaccin que se resiste a ser descrita en una teora unificadacompleta es la gravedad.

Los primeros intentos de construir una teora cuntica para el campo gravitatorio fueronpresentados entre 1930 y 1932 en dos artculos debidos a L. Rosenfeld4. Curiosamente sonanteriores a los primeros intentos de cuantizar el campo electromagntico debidos tambin aL. Rosenfeld junto con N. Bohr5.

Por otro lado, en 1932 E. Schrdinger6 [6] estudi los efectos de la gravedad sobre cam-pos cunticos. Fue el primer intento de hacer una teora semiclsica de la gravedad como yase conoca, a falta de una teora cuntica completa, para la interaccin electromagntica. Elobjeto de estudio en un modelo semiclsico es el efecto que produce un campo externo cl-sico, que no ser objeto de cuantizacin, (electromagnetismo o gravedad) sobre otros cam-pos cunticos de materia como por ejemplo campos escalares (de espn7 cero) o campos deDirac (de espn semientero).

Adems W. Pauli y M.E. Fierz8 establecieron que el espn del cuanto de gravedad (gravi-tn) deba ser igual a 2.

Despus de la segunda guerra mundial comenzaron a tener lugar intentos ms serios deconseguir una teora cuntica completa de la gravedad, intentos que vamos a describir enlos siguientes apartados.

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1. El verbo cuantizar proviene del ingls to quantize. Se refiere a realizar el paso de una teora clsica a una teo-ra de los cuanta. Algunos autores utilizan cuantificar pero no est aceptado entre la comunidad cientfica como tra-duccin adecuada.

2. Ver Weinberg, S. (1967); Salam, A. (1968)

3. Ver Georgi, H., Glashow, S.L. (1974).

4. Ver Rosenfeld, L. (1930, 1932).

5. Ver Bohr, N., Rosenfeld, L. (1933).

6. Ver Schrdinger, E. (1932).

7. El espn es el momento cintico intrnseco de una partcula, no ligado a su movimiento. En la mecnica cunti-ca fue introducido por W. Pauli en 1927.

8. Ver Pauli, W., Fierz, M.E. (1939).


3. TEORIA SEMICLASICA DE LA GRAVEDAD

En este formalismo el campo gravitatorio es considerado como un campo externo clsi-co sobre el que se sustentan los dems campos cunticos. Tambin se utilizan perturbacio-nes del propio campo gravitatorio como campo cuntico, pero la geometra que sirve de ba-se para los campos de materia no es objeto de cuantizacin. La descripcin de la gravedadcomo campo clsico viene dada por la teora de la relatividad general de A. Einstein.

Para hacer una teora semiclsica debemos desarrollar el campo en pequeas pertur-baciones sobre la geometra plana e intentar cuantizar al estilo de la teora de perturbacio-nes conocida para la quantum electrodynamics (electrodinmica cuntica). Para ello es ne-cesario identificar la constante de acoplo entre el campo gravitatorio y los dems camposde materia. As, combinando las constantes fundamentales que aparecen en la teora: laconstante de gravitacin universal G, la constante de Plank , y la velocidad de la luz c, ob-tenemos una unidad fundamental de longitud: la longitud de Plank y una unidad de tiempo:el tiempo de Plank . Estas unidades fundamentales marcan la frontera a partir de la cual losefectos cunticos son importantes. Si los procesos estudiados involucran escalas de longi-tud o de tiempo de ese orden de magnitud no ser vlida una teora perturbativa de la gra-vedad cuntica debido a que el concepto de expansin en pequeas perturbaciones serompe. En estos casos debe utilizarse una teora completa de gravedad cuntica. Para es-calas de longitud o de tiempo mucho mayores que estos valores los efectos cunticos de lagravedad son despreciables.

Hay un problema bastante grave en este procedimiento. De acuerdo con el principiode equivalencia todas las formas de materia y energa se acoplan con la misma intensi-dad a la gravedad, includa la energa gravitatoria. En el lenguaje cuntico, los gravitonesse acoplan con la misma intensidad a la gravedad que los fotones, de modo que si espe-ramos efectos importantes para fotones, lo mismo debemos esperar para gravitones. Estano linealidad bsica de la gravedad frustra todos los intentos de ignorar la gravedadcuntica a todos los niveles de perturbacin. Otro indicativo de este problema esencial esque al contrario que en la electrodinmica cuntica, el parmetro que aparece comoconstante de acoplo, el cuadrado de la longitud de Planck, tiene dimensiones, lo que cau-sa la aparicin de infinitos en la teora. La gravedad produce teoras no renormalizables 9.A pesar de todo ello es posible proceder en el lenguaje semiclsico siempre que no olvi-demos estos problemas.

En este formalismo perturbativo la mtrica10 del espacio-tiempo se descompone en unaparte que hace de sustento geomtrico (mtrica plana) y un campo cuntico de espn 2 querepresenta perturbaciones lineales de la mtrica del espacio-tiempo. En las ecuaciones deEinstein11 se toma esta perturbacin lineal en el trmino correspondiente al tensor energa-momento, junto con todos los dems campos cunticos de materia.

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9. Las teoras cunticas pueden ser descritas a travs de teoras perturbativas donde aparecen cantidades infi-nitas. Estas teoras pueden re-normalizarse para eliminar los infinitos de los parmetros de la teora, pero no todas lasteoras cunticas son renormalizables.

10. La mtrica es un tensor que lleva la nocin de distancia entre dos eventos. El campo gravitatorio viene des-crito por las componentes de la mtrica.

11. Ecuaciones dinmicas del campo gravitatorio y de los campos de materia en relatividad general.


B.S. DeWitt12 utiliz esta descomposicin como punto de partida de un mtodo llamadobackground field en el que deriv los diagramas de Feynman13 desarrollando la accin de Eins-tein-Hilbert y de los campos de materia en potencias de las perturbaciones del campo gravitatoriofrente a la mtrica que hace de sustento geomtrico. Como la teora no es renormalizable normal-mente se trunca la expansin a 2 loops (lazos)14 para gravedad pura y a 1 loop en gravedad ymateria acopladas. A este nivel se pueden tratar las divergencias que aparecen en la teora15.

Despus de los trabajos de E. Schrdinger ya comentados surgieron trabajos que inten-taron cuantizar la gravedad pero la investigacin directa de los efectos cunticos en geometr-as curvas comenz con las investigaciones de L. Parker a finales de los aos 60 continuadaspor Ya.B. Zeldovich et al., por S.A. Fulling16, etc. Estas primeras investigaciones trataron sobrelas consecuencias cosmolgicas de efectos cunticos como por ejemplo la creacin de part-culas producida por la expansin del universo. Utilizaron tcnicas sofisticadas desarrolladasen los aos 70 para estudiar el tensor energa-momento de campos cunticos de materia. Es-te tensor es importante por dos razones: por un lado se utiliza para calcular la dinmica de laexpansin del universo producida por los efectos cunticos sobre la geometra, lo que se co-noce como back reaction. Citaremos por ejemplo los trabajos de M.V. Fischetti, J.B. Hartle yB.L. Hu17, etc. Por otro lado da casi toda la informacin sobre la situacin fsica del sistema.

Durante la primera mitad de los aos 70 hubo una gran cantidad de investigaciones rela-cionadas con la teora cuntica de campos en espacios curvos. Pero el impulso importante eneste campo vino tras el descubrimiento por parte de S.W. Hawking18 en 1975 de que los agu-jeros negros radan como cuerpos negros debido a la creacin de partculas en las inmedia-ciones de su horizonte. Casi simultneamente J.D. Bekenstein19 propuso una segunda ley dela termodinmica para los agujeros negros, definiendo la entropa gravitatoria en el horizontedel agujero negro como una cantidad proporcional a su superficie. Otro resultado importanteen este formalismo es el efecto Unruh, descubierto por W.G. Unruh20 en 1976. Estudi el com-portamiento de distintos observadores y descubri que un observador acelerado, incluso enel espacio plano, detectar partculas en el estado vaco de un campo cuntico cualquiera.

Las investigaciones relacionadas con el efecto Hawking permanecen activas actualmen-te tanto en gravedad 2+1 (dos dimensiones espaciales y una temporal) como en la teora ge-neral, igual que los efectos relacionados con la creacin de partculas cerca de la singulari-dad inicial del universo21.

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12. Ver DeWitt, B.S. (1967a).

13. Diagramas que representan el desarrollo perturbativo de la teora.

14. Corresponde al segundo orden del desarrollo perturbativo de la teora.

15. Ver Duff, M.J. (1975); Christensen, S.M., Duff, M.J. (1978, 1979).

16. Ver Parker, L. (1966, 1969); Zeldovich, Ya.B., Starobinskii, A.A. (1972) y Fulling, S.A. (1972, 1973).

17. Ver Fischetti, M.V., Hartle, J.B., Hu, B.L. (1979); Hartle, J.B., Hu, B.L. (1979, 1980); y Hartle, J.B. (1980, 1981).

18. Ver Hawking, S.A. (1975).

19. Ver Bekenstein, J.D. (1974).

20. Ver Unruh, W.G. (1984).

21. Hay una serie de libros donde se recopilan todos estos resultados, de una forma bastante clara: ver Birrel,N.D., Davies, P.C.W. (1982); Fulling, S.A. (1989); y Wald, R.M. (1994).


4. CUANTIZACION CANONICA DE LA GRAVEDAD

Durante los aos posteriores a la segunda guerra mundial la idea dominante consista enimitar los procedimientos que haban tenido xito en la construccin de las teoras cunticasde otras interacciones. El electromagnetismo se haba cuantizado con xito mediante dosprocedimientos: el formalismo cannico y el formalismo de integrales de camino. Para la inte-raccin electromagntica los dos mtodos son equivalentes.

Sin embargo en relatividad general la diferencia entre los dos procedimientos es profun-da. La razn es la misma que separa la relatividad general de las dems teoras de camposen el espacio de Minkowski y complica el anlisis de todos los resultados: en relatividad ge-neral no tenemos una geometra que sustente la teora, es la teora la que define la geome-tra. El espacio no est dado a priori, es el producto final de su evolucin. El campo gravitato-rio (la mtrica del espacio-tiempo) describe tanto los aspectos dinmicos de la gravedad co-mo la estructura geomtrica del espacio-tiempo en s mismo. De hecho para introducir losconceptos bsicos de causalidad, tiempo y evolucin deben resolverse primero las ecuacio-nes dinmicas y construir el espacio-tiempo. Por ejemplo para encontrar si un dato inicial da-do lleva a la aparicin de un agujero negro debe obtenerse primero su evolucin maximal y,usando la estructura causal determinada por esa solucin, preguntarse si el futuro infinito nu-lo tiene un lmite pasado. En la teora cuntica, los problemas son ms serios. Cuantizar elcampo gravitatorio es equivalente a cuantizar la estructura del espacio-tiempo. En la teoracuntica de una sola partcula, debido al principio de incertidumbre, su trayectoria no puedeser bien conocida ya que la evolucin temporal produce slo una amplitud de probabilidadde presencia de la partcula en una regin del espacio ms que una trayectoria. Similarmentepuede decirse en gravedad cuntica: despus de evolucionar desde un estado inicial conuna geometra bien determinada no se estar en un espacio-tiempo fijo. Slo podr decirseque hay una cierta amplitud de probabilidad respecto a una geometra. Por lo tanto, en au-sencia de una geometra determinada, es una contradiccin introducir nociones bsicas co-mo causalidad, tiempo, estados de scattering, etc.

Adems hay un problema relativo al distinto papel que juega el tiempo en la formulacinhamiltoniana de una teora cuntica de campos y en relatividad general. En relatividad gene-ral no existe una eleccin del tiempo privilegiada. Esto significa que dicha eleccin no debereflejarse en las predicciones fsicas de la teora. Sin embargo en la teora cuntica de cam-pos slo se pueden hacer predicciones fsicas cuando el tiempo pueda separarse del restode las variables de configuracin.

4.1 Teora de P.A.M. Dirac. Formulacin Hamiltoniana

A principios de los aos 50 se conoca la formulacin hamiltoniana de la relatividad ge-neral. A partir de entonces P.A.M. Dirac22 en la universidad de Cambridge por un lado y P.G.Bergmann et al.23, en la Universidad de Syracuse por otro, comienzaron a desarrollar un m-todo de cuantizar la gravedad siguiendo el procedimiento cannico a pesar de los proble-mas mencionados en el apartado anterior. Definieron los operadores fundamentales de la te-

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22. Ver Dirac, P.A.M. (1950, 1951).

23. Ver Bergmann, P.G., Penfield, R., Schiller, R., Zatzkis, H. (1950).


ora, y a travs de sus relaciones de conmutacin llegaron a obtener el principio de incerti-dumbre para este sistema. La nocin de causalidad viene dada en este procedimiento por elhecho de que ciertos operadores conmutan sobre una variedad espacial de 3 dimensionesfija, es decir, el espacio tridimensional para un instante de tiempo dado. En contextos dondela geometra espacial tridimensional es asintticamente plana, es decir, en los casos dondeno hay fuentes de campo en el infinito, el movimiento generado por el hamiltoniano puede in-terpretarse como la evolucin temporal del sistema.

Dirac y Bergman hicieron nfasis en el carcter geomtrico de la relatividad general,manteniendo la fusin de la geometra y la gravedad como en la teora de la relatividad gene-ral de Einstein.

Asociado al hecho de que no se puedan separar los grados de libertad dinmicos delas variables de configuracin aparece el siguiente problema en este mtodo de cuantizar lagravedad: las ecuaciones de la relatividad general no son todas independientes sino queexisten ecuaciones que las relacionan. Definen por lo tanto un sistema ligado y hasta enton-ces, a principios de los 50, no se conoca un mtodo general que desarrollara una teoracuntica para sistemas con ligaduras. P.A.M. Dirac24 se dedic durante esta dcada a desa-rrollar una teora cuntica general adecuada a sistemas ligados.

4.2. Formalismo ADM. Geometrodinmica

En 1962 R. Arnowitt, S. Deser y C.W. Misner25, usando los mtodos pioneros de Dirac yBergmann obtuvieron una formulacin hamiltoniana (formulacin ADM) satisfactoria de la re-latividad general. Los intentos de cuantizar la teora clsica de la relatividad general a partirde esta formulacin hamiltoniana fueron realizados a partir de 1965 por B.S. DeWitt y K. Ku-char26. Antes de explicar los xitos y problemas de esta teora vamos a sintetizar el programade cuantizacin en el procedimiento cannico.

En el procedimiento cannico inicialmente se escribe la teora clsica en su forma hamil-toniana y se identifican las variables cannicas conjugadas. Una vez identificadas se sustitu-yen las variables cannicas por operadores que satisfagan las relaciones cannicas de con-mutacin. Los estados cunticos del sistema vendrn descritos por un espacio lineal de fun-ciones de onda y por el lgebra de operadores definido sobre este espacio. El hamiltonianoclsico, despus de sustituir las variables cannicas por sus operadores asociados se con-vierte en un operador sobre el espacio de las funciones de onda de modo que se obtieneuna ecuacin dinmica similar a la ecuacin de Schrdinger para la funcin de una partcula.Para finalizar se define un producto interno sobre el espacio de las funciones de onda, solu-ciones de la ecuacin citada anteriormente; esto define un espacio de Hilbert, que lleva auna interpretacin probabilstica de las funciones de onda.

El procedimiento de cuantizacin es complicado debido a la presencia de ligaduras. Estasligaduras son tratadas en el mtodo ADM segn la teora desarrollada por P.A.M. Dirac anterior-

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24. Ver Dirac, P.A.M. (1958, 1959).

25. Ver Arnowitt, R., Deser, S., Misner, C.W. (1959a, 1959b, 1960).

26. Ver DeWitt, B.S. (1967b, 1967c); y Kuchar, K. (1981).


mente. Se separa el espacio-tiempo (supuesto globalmente hiperblico) en una familia de su-perficies de Cauchy27 de 3 dimensiones espaciales y en una coordenada temporal. Se eligecomo variable dinmica fundamental la mtrica asociada a estas geometras tridimensionales.Con esta separacin 3+1 (3 coordenadas espaciales y una temporal) del espacio-tiempo secalculan todos los objetos relevantes en la relatividad general como la curvatura extrnseca, eltensor de Weyl, etc, separando explcitamente la parte temporal de la parte dependiente de lasgeometras tridimensionales. A partir de la accin de Einstein-Hilbert se calcula el momento ca-nnico conjugado de la mtrica tridimensional. Con estas dos variables, la mtrica tridimensio-nal y su momento cannico conjugado, se escribe el hamiltoniano de la gravedad de modo quelas ecuaciones de Einstein describen tanto las ligaduras entre la 3-mtrica y su momento can-nico conjugado, como las ecuaciones de evolucin de estos campos. La teora de la relatividadse reinterpreta como la teora dinmica de las geometras tridimensionales.

Debido a las ligaduras, el sistema tiene menos grados de libertad que los que presentanlas diferentes 3-geometras (las geometras espaciales) ya que stas estn relacionadas atravs de la libertad gauge del campo gravitatorio: la invariancia bajo el grupo de difeomor-fismos28. Por lo tanto el espacio de configuracin es el conjunto de las clases de equivalen-cia bajo el grupo de difeomorfismos de las mtricas riemannianas sobre esas 3-geometras.A este espacio se le llam superspace.

Esta descripcin hamiltoniana fue bautizada por J.A. Wheeler como geometrodynamics(geometrodinmica) y constituye el punto de partida de la cuantizacin cannica. Las variables ysus momentos conjugados se sustituyen por operadores. Sobre estos operadores se impionenlas relaciones de conmutacin que llevan al principio de incertidumbre. La ecuacin dinmicaque cumplen los funcionales de las 3-geometras es la ecuacin de Wheeler-DeWitt (ecuacincorrespondiente a la de Schrdinger para la gravedad). Ecuacin que slo se ha podido resol-ver en unos pocos casos con un alto grado de simetra (modelos de minisuperspaces ).

La mayora del trabajo en este procedimiento ha sido realizado de manera meramente formalya que las ecuaciones cunticas de la geometrodinmica involucran productos no regularizadosde operadores de valor distribucional. Incluso a nivel formal, algunos de los principales resultadosque se esperaba obtener permanecen ocultos porque las ecuaciones de ligadura son demasiadodifciles de resolver. El principal problema que presenta esta forma de trabajar es que la teora deDirac no da una prescripcin general para separar las variables cinemticas (tiempo, variablesque definen las 3-geometras) de las variables dinmicas (grados de libertad del sistema), sepa-racin indispensable para poder encontrar los estados fsicos del campo gravitatorio.

4.3. Teora hamiltoniana de Ashtekar

Entre 1986 y 1987 A. Ashtekar29 propuso un nuevo procedimiento cannico basado enla geometrodinmica. La principal diferencia con la teora de R. Arnowitt, S. Deser y C.W.

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27. Superficie donde se establecen las condiciones iniciales necesarias para obtener la evolucin completadel sistema.

28. Un espacio-tiempo puede ser descrito por distintas mtricas que se relacionan a travs de cambios decoordenadas.

29. Ver Ashtekar, A. (1986, 1987).


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Misner es que A. Ashtekar consider como variables dinmicas fundamentales las conexio-nes30 en vez de las mtricas de las geometras tridimensionales -connection dynamics-. Estoaadi nuevas herramientas conceptuales a la teora que no aparecan en la geometrodin-mica. Las nuevas variables cannicas simplifican las ecuaciones de campo tanto en la teoracuntica como en la estructura hamiltoniana clsica de la relatividad general. Con estas sim-plificaciones pueden resolverse de forma exacta las ecuaciones cunticas de ligadura. Estees uno de los principales xitos del mtodo de Ashtekar.

La idea de formular la teora de la gravedad en trminos de las conexiones no era nue-va. Las dems interacciones fundamentales entre partculas elementales tienen lugar a tra-vs de partculas intermediarias (bosones gauge), descritas clsicamente por una conexin.Era natural por lo tanto, intentar formular la gravedad de forma similar a las dems interaccio-nes considerando una conexin. En los primeros intentos se consideraron nuevas teoras dela gravedad basadas en una accin de tipo Yang-Mills31. Como esta accin es cuadrtica enla curvatura, las ecuaciones que aparecen son de orden curtico en la mtrica mientras quelas ecuaciones de Einstein clsicas son de orden inferior en la mtrica. Se sabe que existensoluciones de las ecuaciones obtenidas a travs de la accin de tipo Yang-Mills que no loson de las ecuaciones de Einstein.

En el procedimiento seguido por Ashtekar, sin embargo, no cambian las ecuaciones delcampo gravitatorio. La teora subyacente es la relatividad general de Einstein. Las ecuacionesde Einstein son reinterpretadas como las ecuaciones que gobiernan la dinmica de una cone-xin. La estrategia es viable al menos en relatividad general libre de fuentes: como el tensor deRiemann y el tensor de Ricci pueden construirse usando slo la conexin, la ecuacin de Eins-tein libre de fuentes puede tomarse como una ecuacin para la conexin. En la forma hamiltonia-na, se utiliza la accin de Palatini del formalismo de ttradas y unas conexiones autoduales com-plejas definidas a travs de las conexiones de Lorentz32 sobre la variedad espacio-tiempo. Defi-niendo como variables de configuracin estas conexiones autoduales y sus momentos conjuga-dos, las ecuaciones de Einstein se simplifican considerable-mente, ya que las ecuaciones de li-gadura y las ecuaciones dinmicas son polinomios de estas variables cannicas. An as apare-ce una ligadura como consecuencia de que las variables utilizadas son complejas.

Las ecuaciones de ligadura, escritas de esta forma, pueden resolverse exactamenteconstituyendo un avance considerable frente a la geometrodinmica.

4.4. Cuantizacin cannica en el formalismo de Ashtekar

En el apartado anterior se ha descrito la teora clsica del formalismo de A. Ashtekar. Lacuantizacin de esta teora fue llevada a cabo por T. Jacobson, L. Smolin, C. Rovelli y por elpropio A. Ashtekar33 a finales de los 80. El programa de cuantizacin no ha sido completado

30. Las conexiones son a la curvatura como el potencial elctrico es al campo elctrico.

31. Accin utilizada en cromodinmica cuntica.

32. Construdas a partir de la simetra local del espacio-tiempo. El formalismo de ttradas consiste en utilizar elprincipio de equivalencia: en cada punto se puede definir un sistema de referencia localmente plano definido a travsde 4 vectores ortogonales que conforman la ttrada.

33. Ver Jacobson, T., Smolin, L. (1988); Rovelli, C., Smolin, L. (1988); Rovelli, C. (1990, 1991); y Ashtekar, A. (1991).


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an, debido a que algunos problemas no han podido solucionarse hasta ahora. Sin embargoel avance frente al programa de cuantizacin cannica desarrollado a partir de la geometro-dinmica ha sido muy grande.

Vamos a exponer brevemente el programa de cuantizacin de la gravedad seguido porT. Jacobson, L. Smolin y C. Rovelli.

El procedimiento general de cuantizacin trata inicialmente de encontrar un espaciovectorial complejo que contenga las coordenadas del espacio de fase con el que el procedi-miento de cuantizacin de Dirac para sistemas con ligaduras no d lugar a ambigedades.El candidato para espacio de funciones que acten sobre el espacio de fases es el espaciode funcionales lineales de la conexin y la trada 34, que son las variables dinmicas del sis-tema. La trada es la variable cannica conjugada de la conexin. Con esta eleccin se cons-truye el lgebra de los operadores que actan sobre este espacio vectorial de funcionalesimponiendo las relaciones cannicas de conmutacin. Una vez que es conocido este lge-bra de operadores se busca una representacin lineal del lgebra sobre el espacio de losfuncionales obteniendo as explcitamente los operadores que representan las ligaduras delsistema. Al aplicar estos operadores sobre el espacio vectorial se obtiene la versin cunticade las ecuaciones de ligadura. El problema de este formalismo radica en encontrar el subes-pacio de funciones de onda que cumplan las ecuaciones cunticas de ligadura (ste ser elespacio de los estados fsicos). T. Jacobson y L. Smolin encontraron la solucin de este com-plicado problema. Los objetos que cumplen todas las ecuaciones cunticas de ligadura sonesencialmente los Wilson loops (las trazas de exponenciales ordenadas temporalmente deintegrales de las conexiones alrededor de caminos cerrados). Sin embargo estos objetos noson invariantes bajo difeomorfismos. Estos funcionales solo pueden integrarse formalmentesobre el grupo de difeomorfismos de geometras tridimensionales, deben de ser reconstru-dos a partir de ellos mismos de modo que los funcionales resultantes sean los que cumplentodas las ligaduras. Toda esta integracin que estamos comentando es puramente formal yno puede resolverse de manera explcita.

El proceso de cuantizacin no ha acabado ya que no se ha conseguido definir un pro-ducto interno dentro del espacio de los lazos de Wilson con el que uno podra definir un es-pacio de Hilbert y obtener una interpretacin probabilstica de la teora.

Se han hecho progresos en una teora simplificada en la cual se desarrollan las ligadu-ras alrededor del espacio-tiempo clsico. Esta es una lnea de investigacin no finalizadaactualmente.

4.5. Gravedad en 2+1 dimensiones

En gravedad 2+1, es decir, considerando la geometra del espacio-tiempo es tal que suparte espacial tiene solo 2 dimensiones, E. Witten35 consigui cuantizar completamente lagravedad. Esta es la nica teora que lo ha conseguido hasta ahora.

34. Correspondiente a la ttrada en el espacio de tres dimensiones.

35. Ver Witten, E. (1988).


A. Achcarro y P.K. Townsend36 demostraron que las teoras de gravedad en 2+1 dimen-siones pueden ser interpretadas como una teora de Chern-Simons. En este caso los gradosde libertad del tensor de Riemann y los del tensor de Ricci coinciden de manera que no exis-ten ondas gravitatorias como solucin de las ecuaciones de campo con estas dimensionesdel espacio fsico. Con ello E. Witten escribe la accin de Einstein-Hilbert de forma topolgi-ca, es decir, describiendo el espacio de forma global, al estilo de las teoras de Chern-Si-mons que s se saben cuantizar. Reduce las ecuaciones de ligadura y obtiene un espacio desoluciones con el que se puede continuar el mecanismo de cuantizacin. Este espacio desoluciones est constitudo por los lazos de Wilson de nuevo, pero al estar considerando slo2 dimensiones espaciales se tiene la ventaja de que todas las geometras son planas bajouna transformacin conforme37.

El desarrollo de la teora cuntica de la gravedad no ha finalizado ya que no se sabe sies posible la generalizacin de estos resultados obtenidos en 2+1 dimensiones al caso fsi-co, de dimensiones 3+1. A pesar de ello se espera que este tipo de teoras en dimensionesdiferentes a las dimensiones fsicas ayuden a entender el comportamiento del universo real.

5. MTODO DE LAS INTEGRALES DE CAMINO

Cualquier teora cuntica de campos puede ser planteada de forma completa-mente sa-tisfactoria utilizando el formalismo de path integrals (integrales de camino). Este formalismoes un concepto diferente de entender los procesos cunticos ya que se trabaja directamentecon amplitudes de probabilidad sin necesidad de recurrir a los espacios de Hilbert de unapartcula ni a otros conceptos fundamentales en el formalismo cannico. Sin embargo los dosformalismos son completamente equivalentes.

El mtodo de las integrales de camino ha dado resultados muy importantes desde queR.P. Feynman desarrollara la electrodinmica cuntica a partir de este formalismo en los aos4038.

S.W. Hawking39 a finales de los aos 70 y principios de los 80 comenz a construir unateora cuntica de campos para la interaccin gravitatoria aplicando el formalismo de las in-tegrales de camino. Ms adelante J.J. Halliwell y J.B. Hartle40 continuaron junto a S.W. Haw-king desarrollando esta teora y logrando obtener una interpretacin fsica de los resultadosparciales conseguidos hasta entonces. Tambin este formalismo aplicado a la gravedad pre-senta problemas que no han sido solucionados completamente hasta el momento como ocu-rra en el formalismo cannico.

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36. Ver Achcarro, A., Townsend, P.K. (1989).

37. Transformacin de reescalado local (depende del punto donde se realiza) manteniendo las distancias angulares.

38. Un libro a nivel de carrera donde se describe completamente el formalismo de integrales de camino en me-cnica cuntica es: Feynman, R.P., Hibbs, A.R. (1965)Quantum Mechanics and Path Integrals . 1Edicin. Mc-GrawHill, New York.

39. Ver Hawking, S.W. (1979).

40. Ver Halliwell, J.J., Hawking, S.W. (1985); y Hartle, J.B. (1988).


Con las integrales de camino se obtienen resultados interesantes ya que se evitan algu-nos problemas que aparecen en el procedimiento cannico. De hecho esta formulacin noprecisa de espacio de Hilbert, ni de estados asintticos (esenciales en el procedimiento co-variante con la matriz de scattering), ni de operadores de campo ni de hamiltoniano: esteprocedimiento de cuantizacin trata directamente con amplitudes de probabilidad, que sonlas cantidades fsicas de mayor inters. Adems el lmite clsico y el semiclsico swe obtie-nen de manera simple a travs del desarrollo perturbativo, es decir, cuando la accin es mu-cho mayor que la constante de Plank.

An as existe un problema importante: no hay una prescripcin general para definir unamedida apropiada en relatividad general sobre los posibles estados del campo gravitatorio, osea, sobre las posibles geometras. En la integral de camino los estados vienen descritos porlas variables de configuracin, en nuestro caso, las coordenadas del espacio-tiempo. Comose ha comentado anteriormente en relatividad general no puede separarse de forma trivial eltiempo de las variables espaciales. El tiempo no juega ningn papel especial frente a cual-quier otra coordenada.

Aunque el problema de la medida es esencial, en la mayor parte del trabajo puede igno-rarse. Se ha demostrado que no existe ninguna medida no trivial que sea invariante bajo difeo-morfismos en el espacio de configuracin (que es el espacio de las diferentes geometras de3 dimensiones en este caso). Lo que se hace entonces es usar una estructura ms sencillaque una medida, una medida intermedia, con la que se espera poder resolver el problema.

La formulacin de integrales de camino comienza con la accin clsica. La accin utili-zada en gravedad es la accin de Einstein-Hilbert pero puede usarse otra accin con mejorcomportamiento a cortas distancias para la cual la teora de la relatividad general de Einsteinsea un lmite de baja energa.

Los principales elementos de este formalismo son los siguientes: por un lado est elconjunto de observables que describen los resultados de todos los posibles experimentos.Son las posibles historias. Se definir la amplitud de probabilidad de que tenga lugar unahistoria particular como la exponencial de veces la accin funcional real de cada historia.Por otro lado deben conocerse los observables que constituyen una historia y que se clasifi-can en tres grupos: condiciones, observables fijados por las condiciones del experimento;observaciones, observables que son medidos; e inobservables, partes de la historia que nicondicionan ni son medidos. Con ellos se define la probabilidad condicional de obtener cier-to conjunto de observaciones una vez que el sistema ha evolucionado a partir de un conjuntode condiciones. Se obtendr una interpretacion probabilstica si podemos encontrar un con-junto completo de observaciones para un slo conjunto dado de condiciones.

Para aplicar este formalismo a una teora particular debemos especificar las posibleshistorias, la accin funcional, las reglas de la suma previa (la medida) y el conjunto completode observables. Por ejemplo, en el caso de una partcula las historias son las posibles tra-yectorias que puede seguir la partcula para ir desde una posicin determinada a otra (con-diciones) y el conjunto completo de observaciones son las posiciones de la partcula en to-dos los tiempos intermedios.

En la teora de la gravedad, las historias son los diferentes espacio-tiempos, cada unode ellos es una variedad de 4 dimensiones representada por una mtrica de signatura Loren-

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tziana. Se puede sumar sobre las historias teniendo en cuenta los cambios de topologa entrediferentes variedades, es decir, teniendo en cuenta las diferentes estructuras globales de di-chos espacios. En este formalismo no est permitida la descomposicin de la geometra delespacio-tiempo en una parte espacial tridimensional y una parte temporal como se haca enel mtodo cannico. La accin utilizada es la accin de Einstein-Hilbert modificada con untrmino de constante cosmolgica y un trmino de superficie que, aunque no interviene enlas ecuaciones de movimiento, produce contribuciones esenciales en este formalismo.

Se define la amplitud de probabilidad condicional de que en el espacio-tiempo tenga lu-gar una superficie espacial tridimensional descrita por una 3-mtrica determinada habiendopartido de otra superficie tridimensional espacial como la suma de las amplitudes de proba-bilidad de todos los espacio-tiempos distintos fsicamente posibles que tomen los valores deesas mtricas tridimensionales sobre dos piezas de su frontera.

En la teora de la gravedad es muy difcil identificar el completo de observables y, por lotanto identificar la medida sobre la que hacer esta suma. En este formalismo debe tenerse encuenta adems la ligadura sobre la medida debida a la simetra gauge que posee la grave-dad, lo que complica las cosas ms an.

J.J Halliwell41 logr identificar la ecuacin de Wheeler-DeWitt para las funciones de esta-do escritas en el formalismo de integrales de camino presentando la conexin con el forma-lismo cannico.

5.1. Gravedad cuntica euclideana

En teoras de campos sobre un espacio plano suele utilizarse una variante del formalis-mo de integrales de camino: la continuacin analtica al espacio complejo de la coordenadatemporal: . Con este cambio se consigue una nueva variedad (espacio-tiempo) de signaturaeuclideana. En esta geometra algunas cantidades importantes, como por ejemplo la accin,estn bien definidas. Una vez obtenidas ciertas predicciones fsicas se deshace el cambiorealizado para la continuacin analtica recuperndose los resultados en el espacio fsico.

S.W. Hawking propuso la continuacin analtica en el formalismo de integrales de cami-no para la gravedad. Sin embargo con este cambio no se resuelven todos los problemas de-bido a que la accin euclideana (la accin de Einstein-Hilbert tras hacer la continuacin ana-ltica en la coordenada temporal) no est bien definida en una geometra general como en elcaso plano. Se sabe que est bien definida en mtricas asintticamente euclideanas (concurvatura nula).

S.W. Hawking y G. Gibbons42 propusieron la siguiente prescripcin para conseguir resol-ver las integrales de camino en gravedad cuntica: dividir el espacio de todas las mtricasen clases de equivalencia bajo difeomorfismos. Se elige en cada clase de equivalencia lamtrica para la cual la curvatura intrnseca es nula y se integra sobre todas las clases deequivalencia. Con ello consiguieron continuar el programa de cuantizacin pero an no sehan resuelto todos los problemas que aparecen en el formalismo.

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41. Ver Halliwell, J.J. (1987, 1988).

42. Ver Gibbons, G., Hawking, S.W. (1977).


6. COSMOLOGIA CUANTICA

Se sabe que actualmente los efectos cunticos en cosmologa son despreciables por-que no tienen lugar procesos en los que se involucren escalas de energa del orden de la es-cala de Planck. Por eso el universo a gran escala est descrito con exactitud por la teoraclsica de la relatividad general.

Sin embargo la teora clsica predice una singularidad en el pasado donde la curvaturaes infinita y la fsica clsica no puede aplicarse. Cerca de la singularidad tienen lugar proce-sos que involucran campos muy fuertes, de gran energa (cerca de las escalas de Planck)donde los efecos cunticos sern importantes. Por lo tanto las condiciones iniciales de lacosmologa clsica deben ser determinadas por la gravedad cuntica.

La especificacin de las condiciones de contorno (iniciales) del universo es equivalentea dar una prescripcin para el estado cuntico inicial del universo.

Actualmente el estado del universo es un estado de baja excitacin. Esto se deduce dela homogeneidad e isotropa a gran escala y de las estimaciones de la entropa de la materiaque existe en el universo. Se postula como estado cuntico del universo el estado de excita-cion mnima.

Durante los aos 80 S.W. Hawking y A. Vilenkin43 proponen dos prescripciones para cal-cular este estado inicial:

Prescripcin de Hawking: El estado cuntico del universo est definido por una integralde camino sobre todas las mtricas euclideanas compactas. La idea es que el universo seaautocontenido: la condicin de contorno del universo es que no tiene contorno.

Prescripcin de Vilenkin: El estado cuntico del universo es el que proviene por efectotnel de la nada.

Existen otras prescripciones para calcular el estado inicial del universo pero stas sonlas ms utilizadas actualmente.

7. OTRAS TEORIAS PARA LA GRAVEDAD

Los intentos de hacer una teora unificada completa de todas las interacciones fsicascontinan sin dar resultados globales debido a la imposibilidad de encontrar una teora cun-tica de la gravedad, como hemos visto.

Hay dos tipos de teoras que parecen ms satisfactorias en este sentido: las teoras decuerdas y las teoras de supergravedad.

Las teoras de cuerdas44 nacen a finales de los aos 60 en los modelos duales para expli-car la interaccin fuerte. Sin embargo en estos modelos duales aparecan partculas de masanegativa - taquiones 45 - y adems no describan adecuadamente los fenmenos observados

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43. Ver Hartle, J.B., Hawking, S.W. (1983); Hawking, S.W. (1984); Vilenkin, A. (1982, 1986, 1988).

44. Las teoras de cuerdas consideran los cuantos como unidimensionales.

45. Son partculas que viajan a ms velocidad de la luz.


en la difusin inelstica de alta energa. Por estos motivos y porque a mediados de los aos70 apareci la teora de la cromodinmica cuntica, que s incorporaba estos fenmenos, seabandon como teora de las interaccines fuertes. Ahora bien, entre las partculas sin masaque haban sido predichas en estos modelos apareca una de espn 2, es decir, el gravitn,por lo que surgi la sospecha de que estas teoras podan ser buenos candidatos para lacuantizacin de la gravedad. Esta impresin qued reforzada con la introduccin de la super-simetra en los modelos duales (teora de supercuerdas ), que elimin el taquin de la teora.

Hoy en da, aunque la promesa que encerraban estos modelos, la unificacin de todas lasinteracciones fundamentales, no ha sido realizada por completo siguen siendo estos modelosduales unos de los ms firmes candidatos para una descripcin fundamental de la gravedad46.

Las teoras de supergravedad fueron descubiertas a mediados de los aos 70 por D.Z.Freedman, P. van Nieuwenhuizen y S. Ferrara47. Son unas teoras de campos en las cuales elgravitn est considerado como parte de un multiplete de partculas donde se incluyen tam-bin fermiones y bosones. Se define un nuevo campo de espn semientero, el gravitino, deforma que desaparecen de la teora las divergencias ultravioletas que tenan las dems teor-as de gravedad cuntica vista como una teora de campos.

8. CONCLUSIONES

Como hemos visto, an se est muy lejos de conseguir una teora cuntica de la grave-dad. Algunos fsicos creen que los problemas que resultan de la teora de la gravedad formu-lada en trminos geomtricos son insalvables. Incluso algunos opinan que no es necesariauna teora cuntica de la gravedad. Sin embargo todos los modelos aparecidos hasta ahora,a pesar de no haber conseguido el objetivo original, han contribudo a un conocimiento msprofundo de las leyes de la naturaleza.

Hoy en da la teora cuntica de la gravedad contina siendo un reto apasionante paralos fsicos. Se sigue avanzando a travs de los modelos que hemos descrito en este trabajo:el formalismo cannico de Ashtekar, el mtodo de las integrales de camino, los modelos dua-les y la supergravedad. La carrera hacia la descripcin unificada de todas las interaccionesfundamentales no ha terminado.

Agradecimientos

Quiero dar las gracias a los profesores del Departamento de Fsica Terica e Historia dela Ciencia de la Universidad del Pas Vasco (UPV/EHU) J. Llombart, por proponerme la reali-zacin de este trabajo; A. Feinstein, por su ayuda en la realizacin del mismo; I. Egusquiza yA. Achcarro, por sus comentarios y sugerencias. Tambin quiero agradecer a mis compae-ros su ayuda y apoyo.

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46. Como referncia general, que a pesar de estar escrita en 1987, contiene muchsima informacin vlida hastala fecha: M.B. Green, J.H. Schwartz, E. Witten (1987).

47. Ver Freedman, D.Z., van Nieuwenhuizen, P. y Ferrara, S. (1976).


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