Gustavo Arias-fundaciones Elasticas

8/3/2019 Gustavo Arias-fundaciones Elasticas

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FUNDACIONES ELASTICAS

EN MEDIO CONTINUO

Gustavo Arias Albn


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FUNDACIONES ELASTICASEN MEDIO CONTINUO

PRIMERA EDICION

Gustavo Arias Albn

Depsito Legal

Diagramacin: Ana Luisa CesAbaco Arte C.A.

Impreso en Venezuelapor

Caracas 2009

II


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PRESENTACION

El desarrollo de la teora y solucin del problema de fundaciones elsticas segn elplanteamiento de M. Hetenyi [4], mostrado en esta publicacin, es autora del Profesor Alejandro

Segovia Gallegos [1] de la Universidad Central de Quito Ecuador y de la Escuela Politcnica delEjercito Ecuatoriano ESPE. Los apuntes relacionados con el problema de la flexin de vigas,resuelto con su mtodo de Rigideces Sucesivas [2] , [9] y editados por la ESPE comopoligrafiados, fueron generosamente cedidos al suscrito en la dcada del 70. Posteriormente,recibimos manuscritos relacionados con la teora de la torsin [1] que complementaban elproblema de retculos de fundacin y facilitaban la solucin integral.

Lamentablemente, la documentacin citada no se encuentra disponible en las fuentesoriginales, y la posibilidad de consulta, ampliacin, aplicacin o propuesta de soluciones alternas,es prcticamente nula.

El suscrito, ex-alumno del Profesor Segovia Gallegos, siente la inquietud de rescatar tanvalioso trabajo de un tema muy poco tratado en la literatura especializada, mediante un resumenconvenientemente detallado de la solucin de las ecuaciones diferenciales de la flexin y de latorsin, conservando la nomenclatura, presentacin de frmulas, unidades y ejemplos deloriginal, aadiendo la aplicacin del anlisis matricial en la fase donde es aplicable.

La solucin de las ecuaciones diferenciales se plantea con funciones trigonomtricas ehiperblicas y la convencin de signos de resistencia de materiales. La base del procedimientoest en el clculo de las constantes de integracin de cada tramo que dependen de las rotaciones ydesplazamientos de las juntas que, a su vez, se determinan con el mtodo de los desplazamientosempleando las rigideces de barra en suelo elstico deducidas por el autor [1] y la convencin de

signos de estructuras continuas. Las caractersticas en varias secciones de un tramo se calculancon las constantes de integracin mencionadas y la convencin de signos de resistencia demateriales.

Se anexan dos programas de computacin: FUNDAVIGA para anlisis de vigascontinuas y FUNDARETIC para anlisis de retculos, escritos en Rocky Mountain HP Basic deHewlett Packard aplicable al HT Basic para Windows de TRANSERA [8], con los cuales se seincrementa la utilidad de lo expuesto.

No podemos dejar de mencionar los trabajos sobre el tema, del Profesor Andrs Reti [11]de 1951 limitado a vigas continuas y el del Profesor Celso Fortoul P. [12] de 1973 de amplia

aplicacin al computador.

Gustavo Arias Albn

III


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RECONOCIMIENTOS

A la memoria del Profesor Alejandro Segovia Gallegos.

A la Empresa OTIP C.A. por el auspicio de esta versin.

A los colegas y amigos que estimularon la escritura de este resumen.

IV


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CONTENIDO

1. VIGAS DE FUNDACION ELASTICA1.1. Ecuaciones Diferenciales de la Flexin 11.2. Clasificacin de Vigas 21.3. Vigas de Longitud Intermedia 31.3.1. Solucin Homognea 31.3.2. Constantes de Integracin 41.4. Vigas de Longitud Indefinida 41.4.1. Caso de Carga Concentrada 51.4.2. Caso de Momento Aislado 61.4.3. Caso de Carga Uniforme Parcial 71.5. Solucin Particular en Vigas de Longitud Intermedia 91.5.1. Cargas Concentradas y Uniformes Parciales. Ejemplo N 1 91.5.2. Carga Uniforme Total 111.6 Estructuras Continuas 111.6.1 Ecuacin Matricial de una Viga 111.6.2 Vigas Continuas. Ejemplo N 2 121.6.3. Vigas sobre Apoyos Fijos. Ejemplo N 3 15

1.7 Programa FUNDAVIGA 17

1.7.1 Codificacin de Datos 18Programa. 19Ejemplo N 4 25

2. RETICULOS DE FUNDACION ELASTICA

2.1. Ecuaciones Diferenciales de la Torsin 27

2.2. Vigas de Longitud Intermedia 282.2.1. Solucin Homognea 28

2.2.2. Constantes de Integracin 28

2.3. Vigas de Longitud Indefinida 292.3.1. Momento Torsor Aislado 29

V


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2.4 Solucin Particular en Vigas de Longitud Intermedia 302.4.1. Momentos de Torsin Aislados. Ejemplo N 5 302.4.2. Momento Torsor Uniforme en la Viga 31

2.5. Ecuacin Matricial de una Viga 32

2.6. Vigas Esviadas 33

2.7 Ecuacin Matricial de un Retculo 34

2.8 Momento Mximo de Tramo 35

2.9 Programa FUNDARETIC 362.9.1 Preparacin de Datos 362.9.2 Codificacin de Datos 37

Programa. 38Ejemplo N 6 48Ejemplo N 7 51

2.9.3 Salida Resumida. Ejemplo N 8 54

3. ANEXO A 55

Propiedades Mecnicas del ConcretoConsideraciones sobre el Mdulo de BalastoPropiedades Geomtricas de las Secciones

4. ANEXO B 56Convencin de signos de la Estructura y de la FundaciCasos de Combinacin de Solicitaciones

5. ANEXO C 57

Observaciones al Estudio de Suelos

6. BIBLIOGRAFIA. 58

VI


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Fundaciones Elsticas 1

1. VIGAS DE FUNDACION ELASTICA1.1Ecuaciones Diferenciales de la Flexin

En la Fig 1.1 se esquematiza el comportamiento de una viga prismtica de pequea altura

solicitada por una carga, sin deformacin por corte. En las Figs 1.1(a,b,c) constan los vectorespositivos segn la convencin usada en resistencia de materiales: desplazamiento (w) y carga (pt)hacia abajo, giro de la elstica () en sentido horario, momento (m) positivo con traccin en lafibra inferior y corte positivo (V) si el sector a la izquierda de la seccin considerada se desplazahacia arriba.

(a) Elstica (b) Momentos (c) Cortes (d) Viga sobre Suelo Elstico

Fig 1.1Convencin de Signos segn Resistencia de Materiales

Las ecuaciones diferenciales para este tipo de viga son:

dw

dx

2

2

d wm EI

dx

(1.1a, d)3

3

d wV EI

dx

4

4t

d w p EI

dx

Si la viga descansa sobre un medio elstico, Fig 1.1(d), la barra se deforma produciendouna reaccin (q) del suelo que acta verticalmente en direccin opuesta a la deformacin y que,suponemos, es proporcional al desplazamiento de la viga en ese punto.


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Fundaciones Elsticas2

Esta hiptesis implica la condicin de que el soporte es elstico y que su elasticidad puedecaracterizarse por la carga unitaria que produce una deformacin unitaria. Esta constante delmedio soportante (kgf/cm3) se denomina mdulo de la fundacin o coeficiente de balasto ().La reaccin del suelo para la viga de ancho constante (r), ser:

. .q r w

(1.2)

la carga efectiva: . .t p p r w

y la (1.1d) queda:4

4. .

d w EI r w p

dx (1.3)

Ecuacin diferencial lineal con coeficientes constantes cuya solucin consta de dos partes:la particular y la homognea. La primera debe satisfacer la (1.3) sin necesidad de cumplircondiciones de vnculo de los extremos de la pieza, la segunda satisfar la ecuacin homogneaque se obtiene anulando el miembro derecho de la (1.3) y usando el factor 4, por conveniencia dela solucin, o sea:

4

4

44 0

.

EI d ww

r dx (1.4)

introduciendo el concepto de longitud elstica () definida como:1/ 4

4

.

EI

r

(1.5)

y adoptando la variable adimensional (u), tal que:x

u

; .dx du

la (1.4) queda:4

44 0d w w

du (1.6)

1.2Clasificacin de las VigasMatemticamente se demuestra que la solucin de la ecuacin (1.6) representa 4 ondas

amortiguadas, 2 desde cada extremo de la viga, que decrecen conforme se acerca al otro extremo.En la prctica se establece una clasificacin orientada a considerar o no la influencia recprocade los dos extremos de la pieza de acuerdo con el valor de la relacin (L/):

viga de longitud corta: (L/) 1.50, la viga se considera rgida y se analiza como tal.

viga de longitud intermedia: 1.50 < (L/) 5.0, se considera flexible con importante influenciarecproca de las perturbaciones entre uno y otro extremo de la barra por lo que es necesario tomaren cuenta las 4 ondas amortiguadas.

viga de longitud indefinida: (L/) > 5.0, se considera muy flexible con nula o escasa influenciarecproca entre los extremos por lo se toman en cuenta 2 ondas amortiguadas.


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Esta clasificacin no es invariable, existen criterios que sealan lmites diferentes quequedan a juicio del proyectista. El principal objetivo de esta clasificacin es el de llamar laatencin sobre el comportamiento diferente de cada tipo de viga.

1.3 Vigas de Longitud Intermedia

1.3.1 Solucin Homognea

Brevemente se describe la solucin de la (1.6) con base en una forma exponencial, con lasconstantes F y , cuya expresin y su respectiva derivada son:

.uw F e ;

44

4.

ud wF e

du

que reemplazadas en (1.6) dan origen a la ecuacin caracterstica: 4 + 4 = 0cuya solucin, usando funciones hiperblicas, resulta:

w = A1 C.c + A2 S.c + A3 C.s + A4 S.s (1.7)

con la siguiente nomenclatura:

c = cos u ; s = sen u ; u = x / (1.8)

C = cosh u = (eu

+ eu

)/2 ; S = senh u = (eue

u)/2

A1 , A2 , A3 , A4 = constantes de integracin

Por derivacin de la (1.7), segn las (1.1a,b,c), con los trminos correspondientes a lasolucin particular se obtiene el sistema de ecuaciones del CUADRO N 1

CUADRO N 1 VIGAS DE LONGITUD INTERMEDIA (1.5


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1.3.2 Constantes de Integracin:

Las constantes de integracin dependen de las condiciones de borde: rotaciones ydesplazamientos de los extremos de la viga, calculadas con las soluciones homognea yparticular.

Denominando (w1,1) a las deformaciones segn la solucin homognea y (w10,10) a lasde la solucin particular del extremo izquierdo, y (w2,2 , w20, 20) las correspondientes alextremo derecho -(ver Fig 1.5)- , se pueden deducir expresiones de las constantes de integracina partir de las ecuaciones del CUADRO N 1. As, para el extremo izquierdo :x = u = 0 , lasfunciones (S , s ) se anulan y entonces, de las dos primeras ecuaciones del CUADRO N 1 seobtienen:

w1 = w10 + A1

1 10 2 3( )A A

y para el extremo derecho: x = L, u = L/ , de las mismas ecuaciones del CUADRO N 1:

w2 = w20 + A1 C.c + A2 S.c + A3 C.s + A4 S.s

2 =20 + A1(S.cC.s) + A2(C.c-S.s) + A3(C.c+S.s) + A4(S.c+C.s)

resolviendo el sistema que se obtiene al combinar las cuatro expresiones anteriores se obtiene elCUADRO N 2

CUADRO N 2 VIGAS DE LONGITUD INTERMEDIA (1.5 5.0 ; si la vigareposaen un lecho elstico con una carga aplicada en una seccin distante de los extremos y se elige elpunto de aplicacin de la carga como origen de coordenadas, medidas hacia la derecha, losdesplazamientos, giros, momentos y cortes tienden a disminuir con el aumento de la abscisaadimensional (u = x/).


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En tales casos, los trminos con ( eu

) en las funciones hiperblicas de (1.7) debenanularse porque sus valores crecen con el incremento de la abscisa, lo cual es un absurdo fsico, yentonces la solucin (1.7) con la nomenclatura (1.8) para la viga de longitud indefinida queda:

1 2. . . .

u uw D e c D e s (1.10)

donde c = cos u ; s = sen u ; u = x/D1 ,D2 = constantes de integracin que dependen del tipo de carga.

Con derivaciones sucesivas de (1.10), adicionando los trminos correspondientes a lasolucin particular se obtiene el sistema de ecuaciones del CUADRO N 3

CUADRO N 3 VIGAS DE LONGITUD INDEFINIDA (L/ > 5.0 )Valores en cualquier punto para (u = x / )

Solucin

Particular

Factor eu

.c eu

.s

w wo 1 D1 D2

o 1/ -(D1-D2) -(D1+D2)

m mo 2EI/2

D2 -D1

V Vo 2EI/3

-(D1+D2) (D1-D2)

1.4.1 Caso de Carga ConcentradaEn la Fig 1.4(a) se muestra una viga de longitud indefinida con una carga concentrada

aplicada en un punto alejado de los extremos. Tomando como origen de las abscisas el punto deaplicacin de la carga, se esquematizan los diagramas de desplazamientos (w), rotaciones (),

momentos (m) y cortes (V) con sus respectivas propiedades.

Fig 1.4(a)


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Constantes de Integracin: Con carga uniforme nula (p = 0), resulta wo = 0 segn (1.2),y segn (1.1a,d) tambin se anula el resto de la solucin particular. Tomando en cuenta que en elorigen u = 0, de modo que: e

-u.c = 1, e

-u.s = 0, y reemplazando los valores de ( , V) en la 2 y

4 ecuaciones del CUADRO N 3 se obtienen las constantes de integracin y el CUADRO N 4.3

1 2

.

8

PD D

EI

CUADRO N 4. VIGAS DE LONGITUD INDEFINIDA (L/>5.0)Con carga concentrada. Valores en cualquier punto con (u=x/)

Factor e-u

.c e-u

.s

w P3 /8EI 1 1

P2 /4EI 0 -1

m P/4 1 -1

V P/2 -1 0

1.4.2 Caso de Momento AisladoEn la Fig 1.4(b) se muestra una viga de longitud indefinida con un momento aislado

aplicado en un punto alejado de los extremos. Tomando como origen de las abscisas el punto deaplicacin del momento, se esquematizan los diagramas de desplazamientos (w), rotaciones (),momentos (m) y cortes (V) con sus respectivas propiedades.

Fig 1.4(b)

con las mismas consideraciones hechas en el caso de carga concentrada y reemplazando losvalores de (w , m) en la 1 y 3 ecuaciones del CUADRO N 3 se obtienen las constantes deintegracin D1 , D2 , y el CUADRO N 5:


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D1 = 0 ;2

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MD

EI

CUADRO N 5. VIGAS DE LONGITUD INDEFINIDA (L/>5.0)Con momento aislado. Valores en cualquier punto con (u = x/)

Factor e-u

.c e-u

.s

w M /4EI 0 1

M/4EI 1 -1

m M/2 1 0

V M/2 -1 -1

1.4.3 Caso de Carga Uniforme Parcial

Las caractersticas en un punto dado de una viga de longitud indefinida con una carga

uniforme parcial que acta en un sector determinado dependen de la ubicacin del punto respectoa la carga.

Fig 1.4(c)

Punto fuera de la carga: en la Fig 1.4(c) se muestra el punto (1) ubicado a la derecha dela carga uniforme parcial aplicada en el sector AB = a de una viga de longitud indefinida. Eldesplazamiento en dicho punto originado por una carga concentrada elemental: P = p..du sedetermina con el CUADRO N 3, y el efecto de toda la carga se obtiene por integracin entre lospuntos B y A. Las dems caractersticas, de deducen por derivaciones.

4

2 1

1 2 1.cos .cos

8

pw e e

EI

3

1 2

1 1 1 2 2cos sin cos sin

8

pe e

EI

(1.11a,d)

2

1 2

1 1 2sin sin

4

pm e e

1 21 1 1 2 2cos sin cos sin4

pV e e


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Punto dentro de la carga: en la Fig 1.4(d) se muestra el punto (2) dentro de la carga. Paradeterminar el desplazamiento en este punto, se superponen las influencias del sector izquierdo delongitud (a1.) haciendo 1 = a1 y 2 = 0, y del sector derecho de longitud (a2.) haciendo 1 = a2y 2 = 0, utilizando la (1.11a)

Fig 1.4(d)

Las expresiones resultantes son las siguientes:

4

a1 a2

2 1 22 cosa cosa

8

pw e e

EI

3

a1 a2

2 1 1 2 2cosa sin a cosa sina

8

pe e

EI

(1.12a,d)

2

a1 a2

2 1 2sin a sin a

4

pm e e

a1 a22 1 1 2 2cosa sin a cosa sin a4

pV e e

Punto en el centro de la carga: para el punto central (C) de la carga, que se muestra en laFig 1.4(d) se cumple a1 = a2 = a/2 , que reemplazadas en (1.12a,d) resultan:

4

a / 21 .cos a /2

4c

pw e

EI

0c

(1.13a,d)

2

a / 2sin a/2

2

c

pm e

0cV

stas propiedades son similares a las del caso de carga concentrada en cuanto a simetra yantimetra respecto al centro de la carga repartida, excepto el valor del corte que en este caso esnulo.


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1.5Solucin Particular en Vigas de Longitud Intermedia1.5.1 Cargas Concentradas y Uniformes Parciales

En la Fig.(1.5) se muestra una viga de longitud intermedia y seccin constante sobre un

suelo elstico de balasto tambin constante, con cargas arbitrarias entre apoyos que, para elanlisis de estructuras continuas, se suponen empotrados. El problema se resuelve en dos etapas.

Fig.(1.5) Deformaciones: a) Solucin Particular , b) Solucin Homogneac) Reacciones de Empotramiento

En primer lugar, se considera una viga sin restricciones en los apoyos, calculando paralas secciones S1, S2. .Sn, convenientemente escogidas, las caractersticas wo, o, mo, Voproducidas por todas y cada una de las cargas presentes en la viga y luego superpuestas en unasolucin total. Frecuentemente se acepta como solucin particular la que corresponde a una vigade longitud indefinida utilizando el CUADRO N 4 para cargas concentradas el N 5 paramomentos aislados, tomando como origen el punto de aplicacin de la carga o momento conabscisas crecientes (x) hacia la derecha, haciendo uso de las propiedades de simetra o antimetrapara las secciones hacia la izquierda del origen. En el caso de carga uniforme parcial se usar una

de las expresiones (1.11), (1.12), (1.13) segn la ubicacin de la seccin: dentro o fuera de lacarga. Obsrvese la nomenclatura utilizada para las caractersticas en los extremos: w10, 10, m10,V10 en el extremo izquierdo (1) y w20, 20, m20, V20 en el extremo derecho (2)

En segundo lugar, la viga real exige desplazamientos y rotaciones nulos en los apoyos,por lo que con los valores de w10, 10 , w20, 20, haciendo w1= 1 = w2= 2 = 0 porque lasolucin homognea es nula, se calculan las constantes de integracin con el CUADRO N 2 ylas caractersticas adicionales con el CUADRO N 1 que permiten determinar las reacciones deempotramiento en los apoyos.

Ejemplo N.1 [1]

En la figura anexa se muestra una viga con 3 tipos de cargas: uniforme parcial (p),concentrada (P) y momento (M), con 5 secciones escogidas convenientemente, incluidas las delos apoyos. En el cuadro anexo (X) representa la abscisa acumulada de cada seccin a partir delapoyo izquierdo mientras (x), no mostrada en el cuadro, representa la abscisa de una seccinrespecto al origen de la carga en estudio. En la primera columna del cuadro se muestran lascargas P, M con el nmero de la seccin donde estn aplicadas.


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Caractersticas de la viga:

mdulo de elasticidad E = 210 tf/cm2 ; Luz L = 6.00 m ; Balasto = 2.0 kgf/cm3seccin: b = 0.60 m ; h = 0.40 m. ; base r = 0.60 m ; I = 32.0 dcm4

E.I = 6.72 x 103 tf.m2 ; .r = 2 x 0.60 x 10

3 tf/m2 ; = (4 x 6.72 / 1.2 )

= 2.1755 m

Los nmeros en negrilla representan los valores de cada item en el origen de las abscisasparciales o sea la seccin donde est aplicada la carga respectiva

El momento y el cortante presentan dos valores en las secciones donde estn aplicados el

momento y la carga que corresponden a las magnitudes a la izquierda y derecha de la seccin.

Con los valores w10, 10 , w20, 20 y el Cuadro N2 se obtienen las constantes de integracin:

A1 = 0.2600 , A2= -0.1131 , A3 = -0.8898 , A4 = -0.4821

y del CUADRO N 1 los valores finales de w , , Mf, Vf en los apoyos.

X 0.00 1.50 3.00 4.50 6.00

p

M3P4wo

w

0.9292

-1.30580.1166

(w10) -0.26000.0000

2.209

-1.6860.6791.202

3.260

0.0001.6244.884

3.260

1.6862.2987.244

2.2090

1.30581.6236

(w20) 5.13840.0000

pM3P4o

0.7101-0.48370.2346

(10) 0.46100.0000

0.9090.1650.5221.596

0.3942.4280.6753.497

-0.3940.1650.000-0.229

-0.9091-0.4837-0.6745

(20) -2.06730.0000

pM3P4mo

Mf

-1.7482-0.7201-1.1185

(m10) -3.5868

-2.2177

0.687-5.808-1.300-6.451

3.351-15.00 /15.00

0.4435-11.205 / 18.795

3.3515.808

6.52715.686

0.65700.72010.4435

(m20) 1.8206

-25.4097p

M3P4Vo

Vf

0.4093-2.0356-0.3620

(V10) -1.9883-0.9744

3.185-4.8710.288-1.398

0.737-6.8952.323

-3..835

-0.727-4.871

6.000 / -6.000-0.402/ -11.598

-3.1854-2.0356-2.3232

(V20) -7.5442-26.7466


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1.5.2 Carga Uniforme Total

Generalmente, las cargas que actan en el tramo de una viga de fundacin se deben a supeso propio y a una posible reaccin de la losa de piso que constituyen el caso de carga uniforme

en el tramo. El problema puede resolverse aplicando la seccin 1.4.3, sin embargo se presenta lasolucin directa de inmediata aplicacin.

Por accin de la carga uniforme (p) el desplazamiento (wo) es constante porque (p) esconstante, por lo tanto de (1.2) con (1.5) se tiene:

4.

. 4o

p pw

r EI

(1.14)

ahora w10 = w20 = wo , mientras w1= 1 = w2 = 2= 10= 20 = 0, y del CUADRO N 2 las

constantes de integracin resultan:

1 oA w ,

2 o

C cA w

S s

, 3 2A A , 4 o

S sA w

S s

(1.15)

las reacciones de empotramiento, segn el CUADRO N 1, haciendo mo = Vo = 0 tomandoen cuenta la (1.14) , quedan:

2

1 2

( )

2f f

S s M M p

S s

(1.16a,b)

1 2

( )f f

C cV V pS s

momentos con traccin en las fibras superiores de los apoyos y cortes con igual signo.

1.6 Estructuras continuas

Para calcular las deformaciones se aplica el mtodo de los desplazamientos con lanomenclatura y convencin de signos mostrada en la Fig 1.6(1), que coincide con la convencinde signos de la Fig. 1.1 para las rotaciones y desplazamientos. El cambio de nomenclatura

adoptado permite diferenciar el clculo matricial del anlisis por resistencia de materiales.

1.6.1 Ecuacin Matricial de una Viga:La Fig.1.6(1) muestra una viga (m) entre las juntas i-j con coordenadas locales positivas,

numeradas convenientemente para el manejo de este tipo de problemas, con detalles de lasrelaciones entre deformaciones y solicitaciones.


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Fig. 1.6 (1) Coordenadas locales de una viga

la ecuacin matricial resulta:(2i-1) (2i) (2j-1) (2j) * numeracin de las casillas de la matriz

qm = km * dm (1.17)

con las rigideces de una barra en suelo elstico [1]

2 2

2 EI CS csk

S s

2 2

2 2 2

2 EI S sb

S s

3 2 2

4 EI CS cst

S s

(1.18)

2 2

2 EI Cs Sca

S s

2 2 2

4o

EI Ssb

S s

3 2 2

4o

EI Cs Sct

S s

y las funciones :

s = sen (L/) c = cos (L/) S = senh(L/) C = cosh(L/) (1.19)

1.6.2 Vigas ContinuasUna viga continua la forman tramos con longitudes fijadas por las distancias entre

columnas, cambios de seccin o variacin de balasto, es decir que el procedimiento propuesto selimita a tramos con valores constantes de inercia, ancho de la base y balasto aunque pueden ser

diferentes de un tramo a otro.

En cada nodo de unin de dos tramos contiguos pueden actuar momentos y cargasconcentradas, y en cada tramo pueden actuar cargas que producen reacciones de empotramientosegn lo descrito en la Seccin 1.5. Tales cargas producirn una rotacin de la elstica y undesplazamiento vertical que deben ser idnticos para los dos extremos que concurren al nodo yque modifican los resultados de la etapa inicial.


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La ecuacin matricial de la viga continua se construye directamente con las rigideces decada tramo siguiendo la numeracin de las casillas indicadas en el sistema (1.17). En la Fig.1.6(2) se muestra la ecuacin matricial de una viga continua de 3 tramos:

Q = K * D

Fig 1.6(2) Ecuacin Matricial de una Viga de 3 Tramos

Resuelto el sistema D = K-1.Q , se analiza cada tramo independientemente uno de otrocon la convencin original de resistencia de materiales y los valores (-di , di+1) de cada extremo.

Ejemplo N 2: Sea la viga continua formada por un volado y dos tramos con lascaractersticas y cargas nodales que se muestran en la figura anexa, con un mdulo de elasticidadE = 230 tf/cm2 y balasto diferente para cada tramo.

Cargas y Propiedades de la Viga:P

M

B , h .60 x .30 .60 x .30 .80 x .30 m

L 1.60 6.00 8.00 m

E I 3.105 3.105 4.140 (tf.m2).10-3

2.001.794

1.801.842

1.501.927

kgf/cm3m

L/ 0.892 3.26 4.15

Rigideces x 10-3 (segn 1.18)k 7.809 3.380 4.299

a 3.846 0.228 -0.043b 7.438 1.832 2.232

bo 7.183 -0.033 -0.119

t 9.808 1.996. 2.317

to 8.851 -0.170 -0.101


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Matriz de Rigidez K

9.808 7.438 -8.851 7.1837.438 7.809 -7.183 3.846

-8.851 -7.183 11.804 -5.606 0.170 -0.033

7.183 3.846 -5.606 11.189 0.033 0.228

0.170 0.033 4.313 0.401 0.101 -0.119-0.033 0.228 0.401 7.679 0.119 -0.043

0.101 0.119 2.317 -2.232

-0.119 -0.043 -2.232 4.299

Vector de Cargas Q Vector de Desplazamientos Dq1 0.0

q2 0.0

q3=

30.0

q4 20.0q5 60.0

q6 - 40.0q7 40.0

q8 - 25.0

Con el par de deformaciones de cada extremo de un tramo (di , di+1) , (dj , dj+1) seencuentran las constantes de integracin del tramo con el CUADRO N 2 y luego laspropiedades en cualquier punto del tramo, con el CUADRO N 1 .

Por ejemplo, para el tramo 2, entre las juntas 2 y 3:

junta 2: w1 = d3 = 6.86719 , 1 = d4 = 3.65566junta 3: w2 = d5 = 13.83905 , 2 = d6 = -6.33533

las constantes de integracin se obtienen del CUADRO N 2, con u = L / = 3.26

A1 = 6.86719 ; A2 = - 8.18115 ; A3 = 14.91308 ; A4 = -13.07637

y, las caractersticas en los cuartos de la luz, del CUADRO N 1, con u = x /

x

mu = x / w

mm

Rad*103

m

tf.mV

tfPresintf/m2

0.00 0.00 6.87 3.66 23.95 -22.97 12.361.50 0.814 7.28 -1.07 -1.23 -10.58 13.113.00 1.629 7052 1.98 -8.62 0.77 13.544.50 2.443 12.87 4.19 3.46 16.81 23.176.00 3.257 13.84 -6.34 46.15 40.52 24.91

De (1.9), la presin unitaria =.w

d1

=

0.34468

d2 4.18758d3 6.86719

d4 3.65566d5 13.83905

d6 -6.33533d7 23.40265

d8 6.65549


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1.6.3 Vigas sobre Apoyos FijosSe consideran apoyos fijos aquellos que tienen una gran rigidez axial. En la fig 1.6(3) se

muestra una viga continua de tres tramos con apoyos fijos y tramos sobre suelo elstico. En talcaso los desplazamientos wi son nulos y solo existe la solucin particular con wo > 0, por lo que

la ecuacin matricial se plantea en funcin de momentos y rotaciones en la forma tradicional.

La ecuacin matricial (1.17) del tramo i-j queda:

(1.20)en la que los valores de (mi , mj) corresponden a los de la solucin particular. La ecuacinmatricial para la viga de tres tramos, resulta:

Q = K * D (1.21)

Fig 1.6(3) Ecuacin Matricial de una Viga de 3 Tramos con Apoyos Fijos

Si el apoyo es flexible, su rigidez a flexin se incluye en la diagonal de la matriz.

Conocido el valor de wo= p /.rde cada tramo y las rotaciones de cada junta, entoncesw10 = w20 = wo del tramo respectivo mientras w1 = w2 = 10 = 20 = 0 y las constantes deintegracin del tramo i-j , segn el CUADRO N 2 , se presentan en el CUADRO N 6

CUADRO N 6 VIGAS DE LONGITUD INTERMEDIA CON APOYOS FIJOSConstantes de Integracin con (u = L / )

Factor w 10 i w 20 . j

A1 = 1 1 0 0 0A2 = 1/(S s ) -(CS + cs) -s (Sc + Cs) -Ss

A3 = 1/(S s ) (CS + cs) S -(Sc + Cs) Ss

A4 = 1/(S2s

2) -(S

2+ s

2) -(CScs) 2 Ss (ScCs)

Las caractersticas de cualquier punto del tramo se calculan con el CUADRO N 1.


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Ejemplo N 3 [1]: En el cuadro anexo se muestra una viga de tres tramos sobre apoyosfijos, los dos primeros tramos descansan en el suelo mientras el tercero est libre con el extremoderecho empotrado en el apoyo. Las cargas son del tipo uniforme, diferente de un tramo a otro. Elmdulo de elasticidad es E = 210 tf/cm2.

Cargas y Propiedades de la Viga

b , h 60 x 50 60 x 50 60 x 50 m

L 4.00 4.50 4.00 m

EI 13.125 13.125 13.125 tf.m.10 -3

3.002.3239

3.002.3239

Kgf/cm3m

L/ 1.7212 1.9364

Rigideces x 10-3 (segn 1.18) (viga comn)

k 14.1606 13.0936 13.125a 5.7989 4.7917 6.563

Reac. Empotramiento (s/1.16a,b) (viga comn)

MV

3.766 -3.7665.726 5.726

7.369 -7.36910.041 10.041

2.667 -2.6674.000 4.000

mtf

Matriz de Rigidez (segn 1.21)

14.1606 5.7989

5.7989 27.2542 4.7917

4.7917 26.2186

Vector de Cargas Vector de Rotaciones

M1=

3.7660M2 3.6030M3 -4.7020

Tramo 1: L = 4.00 = 2.3239 ; p = 3.00 ; wo = 1.6666Constantes de integracin: A1 = -1.6667 ; A2 = 1.1724 ; A3 = -0.6701 ; A4 = 0.0000(segn Cuadro N 6)

Caractersticas en los Cuartos de la Luz(segn Cuadro N 1)

x u = x/ w m V Presin0.00 0.00 0.0000 0.2161 0.0004 3.8537 0.00001.00 0.4303 0.1765 0.1062 2.4151 1.0296 0.52952.00 0.8606 0.1860 -0.0834 2.1209 -1.6153 0.55803.00 1.2909 0.0510 -0.1489 -0.8617 -4.3916 0.15304.00 1.7212 0.0000 0.1217 -6.7416 -7.3857 0.0000

Presin Unitaria (kgf/cm2)=.w

1

=0.216131

2 0.121653

3 -0.201572


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Tramo 2: L = 4.50 = 2.3239 ; p = 4.80 ; wo = 2.6667Constantes de integracin: A1 = -2.6666 ; A2 = 2.5166 ; A3 = -2.2339 ; A4 = 1.3869

Caractersticas en los Cuartos de la Luz

x w m V Presin0.000 0.0000 0.1217 -6.7415 9.9361 0.00001.125 0.3062 0.3053 1.4942 4.8129 0.91862.250 0.5117 0.0196 4.3285 0.2967 1.53513.175 0.3395 -0.2951 2.1773 -4.1803 1.01854.500 0.0000 -0.2016 -5.3121 -9.2528 0.0000

Tramo 3: L = 4.00 , p = 2.00

Es una viga apoyada en sus dos extremos de modo que puede tratarse como una vigacomn sin influencia de la elasticidad del suelo. Existen procedimientos numricos que permiten

analizar este tipo de vigas en forma similar a la empleada en los tramos 1 y 2, pero se elige elmtodo ms simple habida cuenta de que se conocen rigideces, cargas y rotaciones, aplicando elprocedimiento comn con la convencin de signos de resistencia de materiales. Los valores deinters: momentos y cortantes en los cuartos de la luz de muestran en el siguiente cuadro.

Caractersticas en los Cuartos de la Luz

x m V

0.00 -5.312 4.9921.00 -1.320 2.9922.00 0.672 0.9923.00 0.664 -1.0084.00 -1.344 -3.008

1.7 Programa FUNDAVIGA

Se presenta un programa de aplicacin prctica a modelos simples: mdulo de balastovariable de un tramo a otro, juntas en los apoyos de las columnas, sin apoyos fijos, y tramos deseccin constante, con cargas concentradas en las juntas y cargas uniformemente repartidas en lostramos. Con esta idea se intenta eludir el laborioso clculo discreto de las soluciones particularesexpuestas en la seccin 1.5 para cargas parciales poco importantes. En los casos de cargasparciales importantes o reacciones de vigas secundarias es posible sustituirlas por cargas

uniformes equivalentes aumentar el nmero de juntas para obtener tramos que satisfagan losrequerimientos expuestos.


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1.7.1 Codificacin de Datos

Cada lnea de datos debe estar precedida de la palabra DATA. La ltima lnea delprograma, incluyendo los datos, debe ser Fin:END. Se prev miembros con seccin transversalarbitraria a fin de incluir el procesamiento de fundaciones imaginarias para estudio

investigacin. En el programa anexo se mantienen los datos del Ejemplo N 4 como muestra decodificacin.

1. Datos Generales

DATA A$ , Ec , Nj , Ntipo , NqA$ : identificacin del trabajo hasta 50 caracteres alfanumricosEc : mdulo de elasticidad longitudinal ( tf/cm2)Nj = N de juntas ; Ntipo = N de tipos de viga ; Nq = N de casos de carga

2. Datos de Geometra (ver ANEXO A)

Para cada tipo de viga:Seccin rectangular: DATA 1 , Bo , Ho = base, altura (m)Seccin T invertida: 2 , Bo , Ho, Bf , Hf= (base, altura) nervio, ala (m)Seccin arbitraria: 3 , Io , Bj = Inercia (dcm4) , ancho de base (m)en cualquier caso: Bsto = mdulo de balasto (kgf/cm3)

Para cada viga : DATA J , J1 , J2 , L , TypJ = N de la viga ; J1 , J2 = N de las juntas de la viga.L = luz (m) ; Typ = nmero del tipo de viga.

3. Datos de Cargas

Para cada caso de Carga:DATA Njq = N de juntas con cargasSi Njq > 0 , Para cada junta cargada: J , Q1 , Mx

J = N de la junta, Q1 = carga vertical (tf), Mx = momento (tf.m)

DATA Ptr = N de vigas con carga uniforme.Si Ptr > 0 , Para cada viga cargada: J , Pt

J = N del tramo, Pt = carga uniforme (tf/m)

4. Archivo de Resultados

Los resultados de todas las vigas se archivan en el arreglo Rest (5, 6*N de vigas). Las 5filas corresponden a las fracciones de la luz: 0, L/4, L/2, 3L/4 cuando L>2.0 m; si L


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100 ! FUNDAVIGA Vigas de Fundacin Elst ica.110 !----- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -120 OPTION BASE 1130 DIM A$[50], L$[130], Tit1$[35], Tit2$[100], Tit3$[85], Tit4$$[120], Tit5$[70], DIM D(50)140 DIM F(50,50), K(50,50), Mb(50,8), Mtyp(50.8), Pjta(20,2), Ptra(20), U(60), X(20.3), W(5,150)150 L$=RPT$(- ,130)

160 RAD ! Declara Radianes170 RESTORE Ejemplo ! Escoge el problema180 READ A$, Ec, Nj , Ntipo, Nq190 Nvt = Nj -1200 Ndj = 2 * Nj

210 REDIM F(Ndj , Ndj) , K(Ndj , Ndj) ,Mtyp(Nvt , 8) , Mb(Nvt , 8) , D(Ndj) , U(Ndj)220 REDIM Mf(2*Nj, 2) , Vf(2*Nj, 2) , Pj ta(Nj , 2) , Ptra(Nj) , W(5, 6 * Nvt)230 MAT K=(0)240 MAT Mtyp=(0)

250 FOR I=1 TO Ntipo260 Bf=0

270 Hf=0280 READ Tipo290 ON Tipo GOTO S_1, S_2, S_3300 ! Seccin Rectangular310 S_1: READ Bo, Ho320 A=Bo*Ho330 Io=Bo*Ho^3/12340 Bj=Bo350 GOTO S_4360 ! Seccin T invert ida370 S_2: READ Bo, Ho, Bf , Hf ! Nervio , Ala (m)380 Bh=Bf-Bo390 A=Bo*Ho+Bh*Hf

400 M=(Bo*Ho^2+Bh*Hf^2)/2410 Io=(Bo*Ho^3+Bh*Hf^3)/3-M^2/A420 Bj=Bf430 GOTO S_4 440 ! Seccin Arbi t rar ia450 S_3: READ Inercia, Bj ! Inercia (dcm4) , Base (m)460 Io=Inercia*1.E-4 ! Inercia (m4)470 S-4: READ Bsto ! Balasto (kgf/cm3)480 Mtyp(I ,1)=Bo490 Mtyp(I ,2)=Ho500 Mtyp(I ,3)=Bf510 Mtyp(I ,4)=Hf520 Mtyp(I ,5)=Io530 Mtyp(I ,6)=Bj540 Mtyp(I ,7)=Bsto550 NEXT I

560 FOR I=1 TO Nvt570 READ J, J1, J2, L, Typ ! N.Viga, Juntas , Luz, N.Tipo580 Io=Mtyp(Typ,5)590 Bj=Mtyp(Typ,6)600 Bsto=Mtyp(Typ,7)


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610 E1=10*Ec*Io ! Rigidez/1000620 Lb=((4*E1)/(Bj*Bsto))^0.25 ! Lambda630 Mb(J,1)=J1640 Mb(J,2)=J2650 Mb(J,3)=L660 Mb(J,4)=Typ670 Mb(J,5)=E1680 Mb(J,6)=Lb690 Mb(J,7)=Bsto700 NEXT I

710 FOR I=1 TO Nvt720 Li=Mb(I ,3)730 Lb=Mb(I ,6)740 E1=Mb(I ,5)750 GOSUB S_10760 Ki=2*E1/(Lb*(K6-K7))770 Ko=Ki*(K5-K8)780 A=Ki*(K3-K2)790 B=Ki*(K6+K7)/Lb

800 Bo=2*Ki*K4/Lb810 T=2*Ki*(K5+K8)/Lb^2820 To=2*Ki*(K2+K3)/Lb^2

830 I2=2*Mb(I ,1)840 I1=I2-1850 J2=2*Mb(I ,2)860 J1=J2-1

870 K(I1,I1)=K(I1,I1)+T ! Tringulo Superior de la Matr iz de Rigidez880 K(I1,I2)=K(I1,I2)+B890 K(I2,I2)=K(I2,I2)+Ko900 K(I1,J1)=-To

910 K(I1,J2)=Bo920 K(I2,J1)=-Bo930 K(I2,J2)=A940 K(J1,J1)=K(J1,J1)+T950 K(J1,J2)=K(J1,J2)-B960 K(J2,J2)=K(J2,J2)+Ko970 NEXT I

980 FOR I=1 TO Ndj ! Completa la Matr iz990 FOR J=I TO Ndj1000 K(J,I )=K(I ,J)1010 NEXT J1020 NEXT I1030 MAT F= INV(K)

1040 FOR I= 1 TO Ndj ! Minimiza errores de redondeo1050 FOR J=2 TO Ndj1060 F(I ,J)=(F(I ,J)+F(J,I ) ) /21070 F(J ,I )=F(I ,J)1080 NEXT J1090 NEXT I


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1100 Nq1=01110 ! CASOS DE CARGA1120 S_5: Nq1=Nq1+11130 MAT U=(0)1140 MAT Pj ta=(0) ! N Juntas Cargadas1150 READ Njq1160 IF Njq>0 THEN1170 FOR I=1 TO Njq1180 READ J, Q1, Mx ! N.junta , Q , M1190 Pj ta(J ,1)=Q11200 Pj ta(J ,2)=Mx1210 NEXT I1220 END IF1230 MAT Ptra=(0)1240 READ Ptr ! N Tramos cargados1250 IF Ptr>0 THEN1260 FOR I=1 TO Ptr1270 READ J, Pt ! N.Tramo , p(uniforme)1280 Ptra(J)=Pt1290 Li=Mb(J,3)

1300 Lb=Mb(J,6)1310 G=Li/Lb1320 Ch=(EXP(G)+EXP(-G))/21330 Sh=(EXP(G)-EXP(-G))/21340 C1=COS(G)1350 S1=SIN(G)1360 Mf(J ,1)=Pt*Lb^2*(Sh-S1)/(2*(Sh+S1))1370 Mf(J ,2)=-Mf(J ,1)1380 Vf(J ,1)=Pt*Lb*(Ch-C1)/(Sh+S1)1390 Vf(J ,2)=Vf(J ,1)1400 NEXT I1410 END IF

1420 FOR I=1 TO Nj ! Cargas General izadas1430 IF I=1 THEN1440 U(1)=Pjta(1,1)+Vf(1,1)1450 U(2)=Pjta(1.2)+Mf(1,1)1460 ELSE1470 IF I


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1630 Lb=Mb(I ,6)1640 Bsto=Mb(I ,7)1650 Bj=Mtyp(Typ,6)1660 Wo=Ptra(I) / (Bsto*Bj)

1670 D1=D(2*J1-1)-Wo1680 D2=D(2*J1)1690 D3=D(2*J2-1)-Wo1700 D4=D(2*J2)1710 Li=L1720 GOSUB S_10 1730 Dn=K6-K7

1740 A1=D1 ! Constantes de Integracin1750 A2=(-D1*(K5+K8)-D2*Lb*K7+D3*(K2+K3)-D4*Lb*K4)/Dn1760 A3=(D1*(K5+K8)+D2*Lb*K6-D3*(K2+K3)+D4*Lb*K4)/Dn1770 A4=(-D1*(K6+K7)-D2*Lb*(K5-K8)+D3*2*K4+D4*Lb*(K2-K3)) /Dn

1780 Z1=51790 Dx=0.25

1800 IF L=


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2130 K2=C1*Sh2140 K3=S1*Ch2150 K4=S1*Sh2160 K5=Ch*Sh2170 K6=Sh*Sh2180 K7=S1*S12190 K8=C1*S12200 RETURN2210 S_20: ! Para imprinir: Los puntos (..) indi cados en los t tulos , representan

espacios en blanco para su compaginacin con el texto .2220 Tit1$=Unidades NO descr i tas: m , t f 2230 Tit2$[1,47]= .Vig.* . .J1 . .J2 .Tipo . . . .L . . .* . .Tipo . . . .Bo. . . . . .2240 Tit2$[48,100]=Ho.. . . . .Bf.. .Hf . . . . . . Inercia(m4).. . .Base.. . Balasto 2250 Tit3$[1,80]= -2260 Tit3$[13,30]=CARGAS APLICADAS 2270 Tit3$[41,85]=*.. . . .DEFORMACIONES.*PRESIONES* 2280 T i t4$[1,57]=Junta.. .Q. . . . . . . . .M. .. .* .Tramo. . .p t . .* . . . . . .DZ. . . . . . .. 2290 Tit4$[58,80]=RY.* Junta..Ps. .*2300 Ti t4$[81,120]=*...mm.Rad*1000..*.kgf/cm2.* 2310 Tit5$=VIGA... . . .X..FlechaRotacin..Momento.Corte..Presin

2320 RETURN2330 !------ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2340 Exit_1: PRINT USING 54A, 26A, /, 100A; A$, VIGA DE FUNDACION ELASTICA, L$ 2350 PRINT USING #, 35A, 4A, 3D.D, 15A; T i t1$, Ec=;Ec, t f /cm2 2360 PRINT USING 18A, / , 100A;Balasto (kgf /cm3), L$ 2370 RETURN2380 !------ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2390 Exit_2 : PRINT USING 100A, / , 100A;Ti t2$,L$ 2400 FOR I=1 TO Nvt2410 PRINT USING #, 3D, 4A; I , * 2420 PRINT USING #, 3(4D), 4D.3D, 2A; Mb(I ,1) , Mb(I ,2) , Mb(I ,4) , Mb(I ,3) , * 2430 IF I >Ntipo THEN PRINT2440 IF I 0 THEN2520 IF Bf=0 THEN PRINT USING #, 4D, 2(4D.3D), 2(6X, A,X),X;I, Bo, Ho, -,-2530 IF Bf>0 PRINT USING #, 4D, 4(4D.3D), X; I , Bo, Ho, Bf, Hf2540 ELSE2550 PRINT USING #, 4D,4(6X, A, X), X; I , -, -, - , - 2560 END IF2570 PRINT USING 3X,D.6DE,2(6D.2D); Mtyp(I ,5) , Mtyp(I ,6) ,Mtyp(I ,7) 2580 END IF2590 NEXT I2600 PRINT USING 100A; L$ 2610 RETURN2620 !------ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2630 Exit_3 : PRINT USING / , 18A, 2D, / ,79A, A; CASO DE CARGA N, Nq1, L$, *2640 PRINT USING 12X, 17A, 11X, 40A;Ti t3$[13,30] , Ti t3$[41,85]2650 PRINT USING 80A, / , 40X, 50A, / , 79A, A; Ti t4$[1,80] , Ti t4$[81,120],L$, *2660 Pmax=0


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2670 FOR J=1 TO Nj2680 IF J=1 THEN Bsto=Mb(J,7)2690 IF J >1 AND J< Nj THEN Bsto=MAX(Mb(J,7) , Mb(J+1,7))2700 IF J=Nj THEN Bsto=Mb(J-1,7)2710 J1=2*J-12720 Presin= 0.1*D(J1)*Bsto2730 P1=Pjta(J ,1)2740 P2=Pjta(J ,2)2750 P3=Ptra(J)2760 Dj1=D(J1)2770 Dj2=D(J1+1)2780 Prs= Presion2790 IF J < Nj THEN2800 PRINT USING #, 4D,2(7D.2D), 3A, 4D, 4D.2D,3A; J,P1,P2, *, J,P3, * 2810 PRINT USING 2(4D.5D),3A,4D,7D.2D ,2A) ;Dj1, Dj2, *, J , Prs , * 2820 ELSE2830 PRINT USING #, 4D,2(7D.2D), 3A, 11X, 2(3A); J ,P1,P2, *, * 2840 PRINT USING 2(4D.5D),3A,4D,7D.2D, 2A) ;Dj1, Dj2, *, J, Prs , * 2850 END IF2860 NEXT J

2870 PRINT USING 79A,A;L$, * 2880 RETURN2890 !------ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2900 Exit_4 : PRINT USING / , 70A;L$ 2910 PRINT USING 80A; Ti t5$ 2920 PRINT USING 70A ; L$ 2930 FOR I=1 TO Nvt2940 Z1=52950 IF Mb(I ,3)


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Ejemplo N 4 [1] Aplicacin del programa FUNDAVIGA. Viga continua de 4 tramos,con ancho constante, diferentes secciones y balastos, con cargas en los tramos y en las juntas.

Cargas y Propiedades de la Viga

EJEMPLO N 4 [1] VIGA DE FUNDACION ELASTICA

CASO DE CARGA N 1

CARGAS APLICADAS * DEFORMACIONES * PRESIONESJunta Q M * Tramo pt * DZ RY * Junta Ps

tf tf.m * tf/m * mm Rad * 1000 * kgf/cm2

1 0.00 0.00 * 1 3.00 * 4.96538 - 0.17806 * 1 0.99

2 65.00 20.00 * 2 4.00 * 4.64913 - 0.30869 * 2 1.16

3 85.00 35.00 * 3 6.00 * 4.20382 0.30268 * 3 1.05

4 75.00 25.00 * 4 3.00 * 5.92742 0.82457 * 4 1.48

5 0.00 0.00 * 6.96976 0.49638 * 5 1.39

Viga X Flecha Rotacin Momento Corte Presin

1 0.00 4.9654 - 0.1781 0.000 - 0.000 9.9310.75 4.8287 - 0.1945 4.138 10.975 9.6571.50 4.6491 - 0.3087 16.361 21.539 9.298

2 0.00 4.6491 - 0.3087 36.361 - 43.461 11.6231.50 3.9490 - 0.4847 - 10.854 - 20.303 9.8723.00 3.4702 - 0.1063 - 26.863 - 1.589 8.6764.50 3.6521 0.3170 - 16.149 16.085 9.1306.00 4.2038 0.3027 22.887 36.603 10.510

3 0.00 4.2038 0.3027 57.887 - 48.397 10.5101.50 4.2274 - 0.1184 0.143 - 28.593 10.5693.00 4.1895 0.1431 - 28.319 - 9.413 10.4744.50 4.7680 0.6258 - 27.314 11.404 11.9206.00 5.9274 0.8246 8.992 38.325 14.819

4 0.00 5.9274 0.8246 33.992 - 36.675 11.8550.90 6.5136 0.5382 8.729 - 19.152 13.0271.80 6.9698 0.4964 0.000 - 0.000 13.940

Unidades NO Descritas: m , tf Ec = 210 tf/cm2 Balasto (kg/cm3)

Viga J1 J2 Tipo L * Tipo Bo Ho Bf Hf Inercia (m4) Base Balasto

1 1 2 1 1.50 * 1 - - - - 3.00000E-02 1.80 2.002 2 3 2 6.00 * 2 - - - - 4.00000E-02 1.80 2.503 3 4 3 6.00 * 3 - - - - 4.50000E-02 1.80 2.504 4 5 1 1.80 *


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Las cargas generalizadas se encuentran con el mismo procedimiento empleado en elEjemplo N 2, excepto que hay que aadir las reacciones de la solucin particular con signoscompatibles con los de las cargas exteriores aplicadas en las juntas. Las deformacionesgeneralizadas se calculan mediante el mtodo de los desplazamientos, a partir de lo cual seanaliza cada tramo independientemente uno de otro con la convencin de resistencia de

materiales. Para fijar conceptos se describe a continuacin el procesamiento del 2 tramo:

2 Tramo, entre juntas 2 y 3: L = 6.00 m , = 2.079 m , L/ = 2.886 , p = 4.0 tf/m = 2.5 kfg/cm3 , r = 1.80 m , wo = p/(.r) = 0.8889 mm

I = 2 J = 3w10 = wo = 0.8889 0.8889 = w20 = wowi = d3 = 4.6491 4.2038 = wj = d5w10wi = -3.7602 -3.3149 = w20wji = d4 = -0.3087 +0.3027 = j = d6

con las dos ltimas lneas anteriores y el CUADRO N 2 se obtienen las constantes deintegracin:

A1 = 3.7602 , A2 = -3.7393 , A3 = 2.8319 , A4 = -1.8702

con las cuales, y con el CUADRO N 1 se deducen las caractersticas de cada tramo mostradas enla salida del programa.

Conviene hacer referencia a la salida de resultados del programa en lo que se refiere acargas y deformaciones de una Junta (i): se presentan separadas la carga (Pi) del momento (Mi) yel desplazamiento (DZi) de la rotacin (RYi), lo que permite una inmediata identificacin de juntas, acciones y resultados. Es evidente que (DZi) corresponde a valores de la deformacingeneralizada (d2i-1) y (RYi) a (d2i), segn la numeracin de casillas en la ecuacin (1.17).


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2. RETICULOS DE FUNDACION ELASTICA2.1 Ecuaciones diferenciales de la Torsin

En la Fig. 2.1(a) se muestra un segmento de longitud ( dx) perteneciente a un miembro quedescansa en un suelo elstico y que est solicitado por un momento de torsin ( mt) con unarotacin (t). En la Fig. 2.1(b) se muestra la seccin transversal del miembro de ancho ( r), eldesplazamiento (w) y presin (q) en el extremo de la seccin, y la presin total ( P) asumiendoque el suelo es capaz de soportar compresiones y tracciones.

Fig 2.1

De acuerdo con lo asumido en la Seccin 1.1 sobre el comportamiento elstico del suelose tiene para el segmento elemental:

.

2

t r , . .q dx ,.

4

q rP ,

.2

3t

P rdm (2.1a)

reemplazando valores:3

.

12

tt

dm r

dx

(2.1b)

Por otra parte, si G = mdulo de elasticidad transversal y J = constante de torsin se

tiene, de resistencia de materiales: tt

dm GJ

dx

(2.1c)

cuya 1 derivada combinada con (2.1b) resulta:2

3 2

120

.

tt

dGJ

r dx

(2.1d)

introduciendo el concepto de longitud elstica de torsin definida como:

1/ 2

3

12t

GJ

r

(2.2)

y adoptando la variable adimensional: x = u.t ; du/dx = 1/ t

la ecuacin homognea (2.1d) queda:2

20t

t

d

du

(2.3)


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2.2 Vigas de Longitud Intermedia

2.2.1 Solucin Homognea:

Empleando una funcin del tipo: t= B.e

u

, conB y constantes se tiene:

d2t/ du

2=

2.t que reemplazando en la (2.3) se deduce la ecuacin caracterstica:

21 = 0 (2.4)

cuyas races reales permiten escribir la siguiente solucin, usando funciones hiperblicas:

t = F1.Ct+ F2.St (2.5a)

y de (2.1c) mt= (GJ/t) . (F1.St+ F2.Ct) (2.5b)

en las que Ct= cosh (x/t) , St= senh (x/t)

Con valores de u = x / t desde 0 hasta L/ t , se obtienen las rotaciones y momentos encualquier punto intermedio de la viga, como se muestra en el CUADRO N 7, incluyendo unaposible solucin particular.

CUADRO N 7 VIGAS DE LONGITUD INTERMEDIA (1.5


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CUADRO N 8 VIGAS DE LONGITUD INTERMEDIA (1.5 < L/< 5.0)CONSTANTES DE INTEGRACION (u = L / t)

t1 t10 t2 t20

F1 = 1 0F2 = -Ct/ St 1 / St

De (2.6b) , (2.6d) con el CUADRO N 8, se obtiene:

1 10 1 10 2 20( ) ( )

t t t t t t t t m m k a (2.7a)

2 20 1 10 2 20( ) ( )

t t t t t t t t m m a k (2.7b)

donde las rigideces a torsin, son: ttt t

CGJk

S ;

1t

t t

GJa

S (2.8a,b)

2.3 Vigas de Longitud Indefinida

Segn lo expuesto en la Seccin 1.4 respecto a la propagacin de solicitaciones ydeformaciones entre los extremos de una viga de longitud indefinida sobre suelo elstico, debeneliminarse los trminos con (eu) en las funciones hiperblicas (2.5a,b) de modo que paracualquier abscisa adimensional (u = x/ t), incluyendo la solucin particular (ot , mot), se obtiene:

1.

u

t ot B e (2.9a,b)

1. .

u

t ot

t

GJm m B e

La constante de integracin B1 , depende del tipo de carga.

2.3.1 Momento Torsor Aislado

En la Fig. 2.2(a) se muestra una viga de longitud indefinida con un momento torsor Mtaplicado en un punto alejado de los extremos y elegido como origen de las abscisas. En las Figs2.2(b,c) se esquematizan los diagramas de rotaciones y momentos.

Fig 2.2

Viga con momento torsor aislado

Rotaciones (t) diagrama simtrico.

Momentos (mt) antimtrico: mt= -Mt/2


36/64


Para este tipo de carga la solucin particular es nula de modo que ot = mot = 0 , y elmomento a la derecha del origen para (u = 0), segn (2.9b), es:

1.

2

t

t

M GJB

y la constante de integracinB1, resulta: 1.

2.

tMBGJ

(2.10)

con lo que las caractersticas de la viga en cualquier punto de abscisa adimensional (u = x/t) a laderecha del origen quedan:

..

2

ut tt

Me

GJ

(2.11a)

.2

utt

Mm e

(2.11b)

las caractersticas a la izquierda del origen se deducen por simetra o antimetra segn el caso.

2.4 Solucin Particular en Vigas de Longitud Intermedia

2.4.1 Momentos de Torsin Aislados

El procedimiento es similar al descrito en 1.5.1 para la flexin de vigas con cargasparciales. En primer lugar se considera una viga solicitada por momentos torsores aislados, sinrestricciones en los extremos. Para todos y cada uno de los momentos se calculan lascaractersticas (to , mto) en las secciones escogidas que se superponen en una solucin total. Seutiliza como solucin particular la que corresponde a una viga de longitud indefinida con el

origen en el punto de aplicacin del momento y abscisas hacia la derecha utilizando el CUADRON 7. Los valores de la zona izquierda del origen se determinan por simetra o antimetra, segnel caso. Nuevamente se llama la atencin sobre la nomenclatura utilizada para los extremos ( t10 ,mt10) en el izquierdo (1) y (t20 , mt20) en el derecho (2).

En segundo lugar, la viga real exige rotaciones nulas en los apoyos, por lo que con losvalores de t10, t20 , haciendo t1 = mt1= t2 = mt2 = 0 porque la solucin homognea es nula,se calculan las constantes de integracin con el CUADRO N 8 y las caractersticas adicionalescon el CUADRO N 7 que permiten determinar los momentos de empotramiento.

Ejemplo N 5

En la figura anexa se muestra una viga con dos momentos torsores aislados, aplicados enlas abscisas indicadas, con cinco secciones, incluidas las de los apoyos, escogidas a conveniencia.En el cuadro anexo (X) representa la abscisa acumulada de cada seccin a partir del apoyoizquierdo, mientras que (x) no mostrada en el cuadro, representa la abscisa de una seccinrespecto al origen de la carga en estudio. En la primera columna del cuadro se muestra elmomento (Mt) con el N de la seccin donde est aplicado.


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Caractersticas de la Viga:Mdulo elasticidad transversal: * G = 84 tf/cm2 ; Luz L= 6.00 m ; Balasto = 2.0 kgf/cm3

seccin: b = 0.60 m ; h = 0.40 m ; base r = 0.60 m ; * J = 75.1 dc

* segn ANEXO A: GJ= 6.310 x 103

tf.m2 , .r3 = 0.432 x 103

tf/m2 , t= 13.24 m

Mt3= 40.0 Mt4= 25.0|------------- |--------------|---------- --------|------------------|S1 S2 S3 S4 S5

X 0.00 1.50 3.00 4.50 6.00

Mt3Mt4

totf

33.454418.6693

(t10)52.12370.000

37.467820.909058.3768

41.962823.417465.3802

37.467826.226763.6945

33.454423.4174

(t20)56.87180.000

Mt3Mt4Mto

Mtf

15.94488.8980

(mt10)24.8428

25.5510

17.85779.9655

27.8232

20.00/-20.0011.1610

31.1610/-8.8390

-17.857712.50/-12.50

-5.3577/-30.3577

-15.9448-11.1610

(mt20) -27.1058

-37.9703

Los nmeros en negrilla representan los valores de cada item en el origen de las abscisasparciales o sea la seccin donde est aplicada la carga respectiva. El momento presenta dosvalores en las secciones donde estn aplicados, que corresponden a la izquierda y derecha de laseccin.

Con los valores t10, t20 se obtienen, del Cuadro N 8, las constantes de integracin:F1= -52.1237 , F2= 1.4860 y del Cuadro N 7 los valores finales de tfy Mtf en los apoyos.

2.4.2 Momento Torsor Uniforme en la Viga

Por la accin de un momento torsor uniforme (mtu) la rotacin es constante porque elmomento es constante. La solucin particular debe cumplir con la ecuacin completa (2.1d) quese escribe en la siguiente forma:

2 3

2

.0

12

tumd r

dx GJ GJ

la solucin particular (to) tambin es constante, la diferencial se anula y por lo tanto:2

.tu tto

m

GJ

(2.12)

que, por ser el nico caso de carga: t10= t20= to mientras t1= t2 = mt10 = mt20 = 0

Con las constantes de integracin del CUADRO N 8 aplicadas al CUADRO N 7 seobtiene el momento de empotramiento del apoyo izquierdo con u = 0 y del apoyo derecho conu = L/t , tales que:

1 2

1.t

tf tf t tu

t

Cm m m

S

(2.13)


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2.5 Ecuacin matricial de una viga:

En la Fig. 2.3 se muestra una viga (m) entre las juntas i, j con la nomenclatura desolicitaciones y deformaciones escogidas en el siguiente orden: cargas en el eje Z, momentos enlos planos ZOX , ZOY que se asocian con la secuencia normalmente observada en el clculo de

edificios, con la convencin positiva de los ejes de referencia. Obsrvese que, por ejemplo, laaccin ssmica en la direccin X produce momentos en el plano ZOX cuya representacinvectorial coincide con el eje Y.

Fig. 2.3 Coordenadas Locales (q,d)

Aadiendo la torsin con la nomenclatura descrita, la ecuacin (1.17) de la viga queda:

(3i-2) (3i-1) (3i) (3j-2) (3j-1) (3j) * numeracin de las casillas de la matriz

q1 t b 0 -to bo 0 d1

q2 b k 0 -bo a 0 d2

q3 0 0 kt 0 0 -at d3

q4 -to -bo 0 t -b 0 d4

q5 bo a 0 -b k 0 d5

q6 0 0 -at 0 0 kt d6

qm = km * dm (2.14)

de la que, por comodidad, se recopila la nomenclatura utilizada hasta ahora.

2 2

2 EI CS csk

S s

2 2

2 2 2

2 EI S sb

S s

3 2 2

4 EI CS cst

S s

4

4

.

EI

r

2 2

2 EI Cs Sca

S s

2 2 2

4o

EI Ssb

S s

3 2 2

4o

EI Cs Sct

S s

tt

t t

CGJk

S

1t

t t

GJa

S

3

12

.t

GJ

r

s = sen (L/) c = cos (L/) S = senh(L/) C = cosh(L/)

S t= senh(L/t) Ct= cosh(L/t)

= *


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2.6Vigas Esviadas:Son vigas que no estn alineadas con los ejes de referencia. Aunque el problema es

conocido [7] se presenta un resumen de la solucin porque la numeracin escogida de lascoordenadas locales difiere de la comnmente utilizada lo que modifica la presentacin de

algunas matrices.

En la Fig 2.4 se muestra una viga (m) entre las juntas (i , j) esviada el ngulo respecto aleje X, con las coordenada locales (q , d) y las globales (Q , D), cuyas relaciones (Q , q) y (D , d)tienen igual representacin. Se denomina Cx , Cy a los cosenos directores de la inclinacin de laviga con los ejes X,Y.

Fig 2.4 Coordenadas Locales (q) y Globales (Q)

Segn el mtodo convencional de proyectar (q) en (Q) se obtienen las siguientesrelaciones:

Qm= Rtm .qm (2.15)

Q1 Rte 0 q1

Qi= Q2 Rtm = qi = q2

Q3 0 Rte q3

Qm = qm =Q4 1 0 0 q4

Qj = Q5 Rte= 0 Cx Cy qj= q5

Q6 0 -Cy Cx q6

Los desplazamientos (d,D) tienen una representacin similar a la (2.15), de modo que:

dm = Rm .Dm (2.16)

reemplazando (2.14) y (2.16) en (2.15) se obtiene:

Qm = Rtm .km .Rm .Dm (2.17)


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y la matriz de transformacin Km = Rtm .km .Rm , expandida resulta:

(3i-2) (3i-1) (3i) (3j-2) (3j-1) (3j)

t b Cx -b Cy -to bo Cx -bo Cy

k Cx2

+ktCy2

(ktk) Cx Cy -bo Cx a Cx2

atCy2

-(a+at) Cx.CyktCx

2+

k Cy

2bo Cy -(a+at) Cx.Cy a Cy

2atCx

2

t -b Cx b Cy

Simtrica k Cx2+ ktCy

2(ktk) Cx.Cy

k Cy2

+ ktCx2

(2.18)2.7 Ecuacin Matricial de un Retculo

El equilibrio de un retculo solicitado por cargas normales a su plano se representa con laecuacin: Q = K.D cuya solucin es: D = K-1.D , donde:

K = matriz de rigidez del retculo formada con el aporte de la matriz Km de cadamiembro siguiendo la numeracin de las casillas correspondientes.

Q = vector de cargas generalizadas ; D = vector de desplazamientos generalizados.

Para cada miembro (m) se determinan los desplazamientos generalizados Dm de las juntasrespectivas y, con (2.16) los desplazamientos locales dm = Rm . Dm , con lo que finaliza el usodel mtodo de los desplazamientos y se retorna a la convencin de signos de resistencia demateriales procesando cada viga independientemente, aplicando los CUADROS N 2 y N 1 para

las caractersticas a flexin y los CUADROS N 8 y N 7 para el clculo de la torsin, cambiandoel signo del momento de torsin en la primera junta de cada viga, de modo que la interpretacinde las caractersticas, segn la resistencia de materiales, es la que se muestra en la Fig. 2.5

Fig. 2.5 Interpretacin de las Caractersticas de una VigaSegn la Teora de Resistencia de Materiales


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2.8 Momento Mximo de Tramo

Para el clculo de las caractersticas en secciones intermedias de cada viga se eligen loscuartos de la luz. Esta eleccin puede ser insuficiente para obtener el verdadero momentomximo del tramo, -entendindose por momento mximo el mayor valor absoluto del momento

calculado-, por lo que habra que adoptar intervalos mas cortos. Si se aplica el criterio segn elcual la ubicacin del momento mximo coincide con la del corte nulo, la determinacin de laabscisa correspondiente se puede encontrar por aproximaciones sucesivas (Newton, Regula Falsi,etc) segn las relaciones (1.1a,c)

Para las cargas previstas, el diagrama de cortes se asemeja al triangular mostrado en laFig. 2.6 con los signos de la Fig. 2.5. Si se cumple la relacin (V2/V1)


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2.9 Programa FUNDARETIC

Las limitaciones expuestas en el art. 1.7 son aplicables a este programa, excepto que elmdulo de balasto se considera constante.

2.9.1. Preparacin de Datos

La numeracin de juntas y miembros de retculos es de libre eleccin del usuario. Sinembargo, para facilitar la lectura de resultados y realizar el diseo de secciones comunes a dostramos contiguos se recomienda lo siguiente:

-Numere las juntas de izquierda a derecha en cada fila paralela al eje X empezando por lams baja en el plano del esquema.

-Numere los miembros de izquierda a derecha en cada fila paralela al eje X empezandopor la mas baja.

-Numere los miembros de abajo hacia arriba en cada eje paralelo al Y empezando por eleje ubicado mas a la izquierda.

-Declare como direccin positiva de cada miembro la que resulte ms cmoda para lalectura de resultados, tomando en cuenta que las abscisas de las secciones se miden a partir de laprimera junta del miembro.

-El peso propio de las vigas puede incluirse automticamente.

-El momento mximo de tramo se calcula segn lo indicado en la seccin

En la figura anexa se muestra un ejemplo de la numeracin de juntas y miembros, ascomo la convencin positiva y el orden de declaracin de las solicitaciones.

Numeracin de Juntas y Miembros Solicitaciones


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2.9.2 Codificacin de DatosCada lnea de datos debe estar precedida de la palabra DATA. La ltima lnea del

programa, incluyendo los datos, debe ser Fin:END. En el programa anexo se mantienen los datosde los Ejemplos N 6 y N 7 como muestra de codificacin.

1. Datos Generales

DATA A$ , Ec , Gc , Bsto , Nj , Nvt , Ntipo , NqA$ : identificacin del trabajo hasta 50 caracteres alfanumricosEc : mdulo de elasticidad longitudinal ( tf/cm2)Gc : mdulo de elasticidad transversal ( tf/cm2)Bsto:mdulo de balasto ( kgf/cm3)Nj = N de juntas 0 , Para cada viga cargado: J , Pt

J = N del tramo , Pt = carga uniforme (tf/m)


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4. Archivo de Resultados

Los resultados de todas las vigas se archivan en el arreglo Rest (5, 8*N de vigas). Las 5filas corresponden a cuartos de la luz y la seccin de momento mximo de tramo cuando L>2.0m; si L 1 THEN460 Jt=Bo*Ho^3470 Zi=1/Zi480 ELSE


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490 Jt=Ho*Bo^3500 END IF510 Jt=Jt*(1/3 0.21*Zi*(1-Zi^4 /12))520 GOTO S_4

530 ! Seccin T invert ida540 S_2: READ Bo, Ho, Bf , Hf ( Nervio , Ala )550 Bh=Bf-Bo560 A=Bo*Ho+Bh*Hf570 M=(Bo*Ho^2+Bh*Hf^2)/2580 Io=(Bo*Ho^3+Bh*Hf^3)/3-M^2/A590 Bj=Bf600 Pp=A*2.5610 Hi=Ho-Hf620 Zi=Bo/Hi630 IF Zi >1 THEN640 Zi=1/Zi650 Jt=(1-0.63*Zi)*Bo*Hi^3660 ELSE670 Jt=(1-0.63*Zi)*Hi*Bo^3

680 END IF

690 Zi=Bf/Hf700 IF Zi >1 THEN710 Zi=1/Zi720 Jt=(Jt+(1-0.63*Zi)*Bf*Hf^3)/3730 ELSE740 Jt=(Jt+(1-0.63*Zi)*Hf*Bf^3)/3750 END IF760 GOTO S_4

770 ! Seccin Arbi t rar ia780 S_3: READ Bj, Iz , Jo,A ! Bj(m) , Iz , J0 (dcm4) , A (dcm2)

790 Io=Iz*1.E-4 ! I .Flexin (m4)800 Jt=Jo*1.E-4 ! J .Torsin (m4)810 Pp=A*2.5*1.E-2 ! Peso Propio ( t f /m)820 S_4: E1=10*Ec*Io ! Rigidez.f lexin/ 1000830 E2=10*Gc*Jt ! Rigidez.torsin/1000840 Lb=(4*E1/(Bj*Bsto)) ^ .25850 Lbt=(12*E2/(Bsto*Bj ^ 3)) ^ .50860 Mtyp(J ,1)=Bo870 Mtyp(J ,2)=Ho880 Mtyp(J ,3)=Bf890 Mtyp(J ,4)=Hf900 Mtyp(J ,5)=E1910 Mtyp(J ,6)=Bj920 Mtyp(J ,7)=Lb930 Mtyp(J ,8)=E2940 Mtyp(J ,9)=Lbt950 Mtyp(J ,10)=Pp960 Mtyp(J ,11)=Io970 Mtyp(J ,12)=Jt980 NEXT I

990 FOR I=1 TO Nvt


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1000 READ J, J1, J2, Typ ! N.Viga, Juntas , N.Tipo.Secc1010 Dx=Xo(J2)-Xo(J1)1020 Dy=Yo(J2)-Yo(J1)1030 L=SQR(Dx^2+DY^2)1040 Cx=Dx/L1050 Cy=Dy/L

1060 Mb(J,1)=J11070 Mb(J,2)=J21080 Mb(J,3)=L1090 Mb(J,4)=Typ1100 Mb(J,5)=Mtyp(Typ,5)1110 Mb(J,6)=Mtyp(Typ,7)1120 Mb(J,7)=Bsto1130 Mb(J,8)=Mtyp(Typ,8)1140 Mb(J,9)=Mtyp(Typ,9)1150 Mb(J,10)=Mtyp(Typ,10)1160 Mb(J,11)=Cx1170 Mb(J,12)=Cy1175 Mb(J,13)=Mtyp(Typ,6)

1180 NEXT I

1190 FOR I=1 TO Nvt1200 Li=Mb(I ,3)1210 E1=Mb(I ,5)1220 Lb=Mb(I ,6)1230 E2=Mb(I ,8)1240 Lbt=Mb(I ,9)1250 Cx=Mb(I ,11)1260 Cy=Mb(I ,12)1270 GOSUB S_15 1280 Ki=2*E1/(Lb*(K6-K7))1290 Ko=Ki*(K5-K8)

1300 A=Ki*(K3-K2)1310 B=Ki*(K6+K7)/Lb1320 Bo=2*Ki*K4/Lb1330 T=2*Ki*(K5+K8)/Lb^21340 To=2*Ki*(K2+K3)/Lb^21350 Kt=E2*Cht/(Lbt*Sht)1360 At=Kt/Cht

1370 I1=3*Mb(I ,1)-21380 I2=I1+11390 I3=I2+11400 J1=3*Mb(I ,2)-21410 J2=J1+11420 J3=J2+1

1430 K(I1,I1)=K(I1,I1)+T ! Tringulo Superior de la Matr iz de Rigidez1440 K(I1,I2)=K(I1,I2)+B*Cx1450 K(I1,I3)=K(I1,I3)-B*Cy1460 K(I1,J1)=K(I1,J1)-To 1470 K(I1,J2)=K(I1,J2)+Bo*Cx 1480 K(I1,J3)=K(I1,J3)-Bo*Cy1490 K(I2,I2)=K(I2,I2)+Ko*Cx^2+Kt*Cy^2


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1500 K(I2,I3)=K(I2,I3)+(Kt-Ko)*Cx*Cy1510 K(I2,J1)=K(I2,J1) -Bo*Cx1520 K(I2,J2)=K(I2,J2)+(A*Cx^2-At*Cy^2)1530 K(I2,J3)=K(I2,J3)-(A+At)*Cx*Cy1540 K(I3,I3)=K(I3,I3)+Ko*Cy^2+Kt*Cx^21550 K(I3,J1)=K(I3,J1)+Bo*Cy1560 K(I3,J2)=K(I3,J2)-(A+At)*Cx*Cy1570 K(I3,J3)=K(I3,J3)+(A*Cy^2-At*Cx^2)1580 K(J1,J1)=K(J1,J1)+T1590 K(J1,J2)=K(J1,J2)-B*Cx1600 K(J1,J3)=K(J1,J3)+B*Cy1610 K(J2,J2)=K(J2,J2)+Ko*Cx^2+Kt*Cy^21620 K(J2,J3)=K(J2,J3)+(Kt-Ko)*Cx*Cy1630 K(J3,J3)=K(J3,J3)+Ko*Cy^2+Kt*Cx^21640 NEXT I

1650 FOR I=1 TO Ndj ! Completa la Matr iz1660 FOR J=I+1 TO Ndj1670 IF K(J,I )=0 THEN1680 K(J,I )=K(I ,J)

1690 ELSE1700 K(I ,J)=K(J,I)1710 END IF1720 NEXT J1730 NEXT I

1740 MAT F= INV(K)1750 FOR I= 1 TO Ndj ! Minimiza errores de redondeo1760 FOR J=2 TO Ndj1770 F(I ,J)=(F(I ,J)+F(J,I ) ) /21780 F(J ,I )=F(I ,J)1790 NEXT J1800 NEXT I

1820 Nq1=0 ! CASOS DE CARGA1830 S_5 : Nq1=Nq1+11840 MAT U=(0)1850 MAT Pj ta=(0)1860 READ Njq ! N Juntas cargadas1870 IF Njq>0 THEN1880 FOR I=1 TO Njq1890 READ J, Pj ta(J ,1) , Pj ta(J ,2) , Pj ta(J ,3) ! N.junta , Q , My , Mx1900 U(3*J-2)=Pjta(J ,1)1910 U(3*J-1)=Pjta(J ,2)1920 U(3*J)=Pjta(J ,3)1930 NEXT I1940 END IF1950 MAT Ptra=(0)1960 READ Npp ! Cdigo de peso propio automtico1970 IF Npp>0 THEN1980 FOR I =1 TO Nvt2090 Ptra(I ,1)=Mb(I ,10)2000 NEXT I2010 END IF


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2020 READ Ntr ! N de Tramos Cargados2030 IF Ntr>0 THEN2040 FOR I=1 TO Ntr2050 READ J,Ptra(J ,2) ! N.t ramo , p.uniforme ( t f /m)2060 NEXT I2070 END IF

2080 FOR I=1 TO Nvt2090 Pt=Ptra(I ,1)+Ptra(I ,2) ! Acumula cargas en el t ramo2100 IF Pt>0 THEN2110 J1=Mb(I ,1)2120 J2=Mb(I ,2)2130 Lb=Mb(I ,6)2140 Cx=Mb(I ,11)2150 Cy=Mb(I ,12)2160 Gi=Mb(I ,3) /Lb2170 Ch=(EXP(Gi)+EXP(-Gi)) /22180 Sh=(EXP(Gi)-EXP(-Gi)) /22190 C1=COS(Gi)2200 S1=SIN(Gi)

2210 M1=Pt*Lb^2*(Sh-S1)/(2*(Sh+S1))2220 M2=-M12230 V1=Pt*Lb*(Ch-C1)/(Sh+S1)2240 V2=V1

2250 U(3*J1-2)=U(3*J1-2)+V12260 U(3*J1-1)=U(3*J1-1)+M1*Cx2270 U(3*J1)=U(3*J1)-M1*Cy2280 U(3*J2-2)=U(3*J2-2)+V22290 U(3*J2-1)=U(3*J2-1)+M2*Cx2300 U(3*J2)=U(3*J2)-M2*Cy2310 END IF2320 NEXT I

2330 MAT D=F*U

2340 MAT Qz=(02350 FOR I=1 TO Nvt2360 J1=Mb(I ,1)2370 J2=Mb(I ,2)2380 L=Mb(I ,3)2390 Typ=Mb(I ,4)2400 E1=Mb(I ,5)2410 Lb=Mb(I ,6)2420 Bsto=Mb(I ,7)2430 E2=Mb(I ,8)2440 Lbt=Mb(I ,9)2450 Cx=Mb(I ,11)2460 Cy=Mb(I ,12)2470 Bj=Mb(I ,13)2480 Wo=02490 Pt=Ptra(I ,1)+Ptra(I ,2)2500 IF Pt>0 THEN Wo=Pt/(Bj*Bsto) ! Wo = mm2510 D1=D(3*J1-2)-Wo2520 D2=D(3*J1-1)*Cx-D(3*J1)*Cy


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2530 D3=D(3*J2-2)-Wo2540 D4=D(3*J2-1)*Cx-D(3*J2)*Cy2550 Dt1=D(3*J1-1)*Cy+D(3*J1)*Cx2560 Dt2=D(3*J2-1)*Cy+D(3*J2)*Cx2580 Li=L2590 GOSUB S_15

2600 Dn=K6-K72610 A1=D1 ! Constantes de Integracin2620 A2=(-D1*(K5+K8)-D2*Lb*K7+D3*(K2+K3)-D4*Lb*K4)/Dn2630 A3=(D1*(K5+K8)+D2*Lb*K6-D3*(K2+K3)+D4*Lb*K4)/Dn2640 A4=(-D1*(K6+K7)-D2*Lb*(K5-K8)+D3*2*K4+D4*Lb*(K2-K3)) /Dn2650 At1=Dt12660 At2=Dt2/Sht-Dt1*Cht/Sht2670 Sk=2*Mb(I ,5) /Lb^22680 St=Mb(I ,8) /Lbt2690 Z1=32700 Dx=0.502710 IF L>2.0 THEN2720 Z1=5

2730 Dx=0.25-------- - - M(-) mximo de t ramo ------- - - -

2740 FOR Li=0 TO L STEP L2750 GOSUB S_152760 V2=((A2-A3)*K1+(A1-A4)*K2+(A1+A4)*K3+(A2+A3)*K4)*Sk/Lb2770 IF Li=0 THEN V1=V22780 NEXT Li2790 IF V2/V1 0 THEN2910 IF ABS(V1)>ABS(V2) THEN Ii=Ii+12920 IF ABS(V1)


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3050 Rest(J ,1)=Li3060 Rest(J ,2)=Wo+A1*K1+A2*K2+A3*K3+A4*K43070 Rest(J ,3)=((A2+A3)*K1+(A1+A4)*K2+(A4-A1)*K3+(A3-A2)*K4)/Lb3080 Rest(J ,4)=(-A4*K1-A3*K2+A2*K3+A1*K4)*Sk3090 Rest(J ,5)=((A2-A3)*K1+(A1-A4)*K2+(A1+A4)*K3+(A2+A3)*K4)*Sk/Lb3100 Rest(J ,6)=At1*Cht+At2*Sht3110 Rest(J ,7)=-St*(At1*Sht+At2*Cht)3120 Rest(J ,8)=Rest(J ,2)*Bsto

3130 IF Z=1 THEN ! Suma de Cargas/Junta3140 Qz(J1,1)=Qz(J1,1)-Rest(J ,5)3150 Qz(J1,2)=Qz(J1,2)+Rest(J ,4)*Cx+Rest(J ,7)*Cy3160 Qz(J1,3)=Qz(J1,3)-Rest(J ,4)*Cy+Rest(J ,7)*Cx3170 ELSE3180 IF Z=Z1 THEN3190 Qz(J2,1)=Qz(J2,1)+Rest(J ,5)3200 Qz(J2,2)=Qz(J2,2)-(+Rest(J ,4)*Cx+Rest(J ,7)*Cy)3210 Qz(J2,3)=Qz(J2,3)-(-Rest(J ,4)*Cy+Rest(J ,7)*Cx)3220 END IF3230 END IF

3240 NEXT Z3250 NEXT I

3260 GOSUB S_203270 IF Nq1=1 THEN3280 GOSUB Exit_13290 GOSUB Exit_23300 END IF3301 GOSUB Exit_3 3310 INPUT IMPRESION COMPLETA: S/N,S$ 3320 IF S$=S THEN 3330 GOSUB Exit_4 3340 ELSE

3350 GOSUB Exit_5 3360 END IF3370 IF Nq1< Nq THEN S_5 3380 GOTO Fin

3390 ! Funciones3400 S_15 :G=Li/Lb3410 Ch=(EXP(G)+EXP(-G))/23420 Sh=(EXP(G)-EXP(-G))/23430 C1=COS(G)3440 S1=SIN(G)3450 K1=C1*Ch3460 K2=C1*Sh3470 K3=S1*Ch3480 K4=S1*Sh3490 K5=Ch*Sh3500 K6=Sh*Sh3510 K7=S1*S13520 K8=C1*S13530 Gt=Li/Lbt3540 Cht=(EXP(Gt)+Exp(-Gt)) /23550 Sht=(EXP(Gt)-EXP(-Gt)) /2


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3560 RETURN

3570 S_20: ! Para imprinir : Los puntos (..) indicados en los t tulos , representanespacios en blanco para su compaginacin con el texto .

3580 Tit1$=FUNDACION ELASTICA: Balasto= 3590 Tit2$=Unidades: m , tf , desplazamientos = mm , rotaciones = rad*1000 3600 Tit3$=JUNTA.X.Y..*.VIGA.J1.J2..Tipo..L.CX.CY3610 Tit4$[1, 88]=V-TIPOBo..Ho..Bf.....Hf.*..Base.*.....Io.(m4)...Lambda..Jp.(m4)..Lambda_T..*3620 Tit5$[1,100]=Junta.....Q.......MY.......MX.*.Viga.....pt.*.........DZ.........RY.........RX.*.Junta..Presin. *3625 Tit6$[1,120]= 3630 Tit6$[1, 49]=VIGA...J1J2..X....DEFLEXIO....G.FLEXION3640 Tit6$[54, 111]=M.FLEXIONCORTE.G.TORSION.M.TORSION.PRESION3650 Tit7$[1, 47]=VIGAJ1J2. *.XMf.VMt.*3660 RETURN3670 !------ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -3680 Exit_1:PRINT USING 58A, 29A, Z.2D, 10A, /, 100A; A$, Tit1$, Bsto, kgf/cm3,L$3690 PRINT USING 70A, 2(4A, 3D.2D), 7A, /, 100A ; Tit2$, E =, Ec, G =,Gc, tf /cm2,L$3700 RETURN3710 !------ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -3720 Exit_2: Nmax=MAX(Nj,Nvt)

3730 PRINT USING 80A, / , 80A;Tit3$, L$3740 FOR I=1 TO Nmax3750 IF I0 PRINT USING #, 4D, 4(4D.2D), 2A; I , Bo, Ho, Bf , Hf, * 4070 ELSE


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4080 PRINT USING #, 4D, 4(6X, A), 2A; I , -, -, -, -, * 4090 END IF4100 PRINT USING 3D.2D, 2A, 2(2X,D.5DE, 4D.3D, X), 3A; Base, *, Io, Lb, Jp, Lbt, *4110 NEXT I4120 PRINT USING 88A; L$ 4130 RETURN4140 ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4150 Exit_3 :PRINT USING /, 5A, 2D,2X,10A, /,100A; CASO,Nq1,DE CARGA,L$4160 PRINT USING #,16X, 16A, 15X, 4A; CARGAS APLICADAS, * 4170 PRINT USING 49A; DESPLAZAMIENTOS Y ROTACIONES...*PRESIONES.*4180 PRINT USING 100A, / , 100A; Ti t5 $,L$4190 FOR J=1 TO Nj4200 J1=3*J-24210 Pt=Ptra(J ,1)+Ptra(J ,2)4220 Ps=D(J1)*Bsto4230 Q=U(J1)4240 My=U(J1+1)4250 Mx= U(J1+2)4260 D1=D(J1)4270 D2=D(J1+1)

4280 D3=D(J1+2)4290 PRINT USING #, 5D, 3(6D.2D), 2A, 5D, 4D.2D, 2A; J, Q, My, Mx, * , J, Pt,*4300 PRINT USING 3(5D.5D), 2A, 6D, 6D .2D,2A);D1, D2, D3, * , J , Ps , * 4310 NEXT J4320 PRINT USING 100A; L$,4330 RETURN4340 ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4350 Exit_4 :PRINT USING /, 5A, 2D, 2X, 10A, /, 110A;CASO, Nq1,DE CARGA:, L$4360 PRINT USING 1 10A, / , 110A; Ti t 6$, L$4370 FOR I=1 TO Nvt4380 L=Mb(I ,3)4390 FOR J=5*I-4 TO 5*I4400 IF J=5*I-4 THEN

4410 PRINT USING #,4D, 5D, 5D; I , Mb(I ,1) , Mb(I ,2)4420 ELSE4430 PRINT USING #,14X 4440 END IF4450 IF L5*I-2 THEN S_254460 X1=Rest(J ,1)4470 W1=Rest(J ,2)4480 Rf=Rest(J ,3)4490 Mf=Rest(J ,4)4500 Vf=Rest(J ,5)4510 Rt=Rest(J ,6)4520 Mt=Rest(J ,7)4530 Ps=Rest(J ,8)4540 PRINT USING Format1:X1, W1, Rf , Mf, Vf, Rt , Mt,Ps4545 Format1: 6D.2D, 10D.2D,2(7D.5D,9D.3D,7D.3D)4550 S_25 : NEXT J4560 IF I< Nvt THEN PRINT4570 IF I=Nvt THEN PRINT USING 110A;L$ 4580 NEXT I4590 GOSUB Chek4600 RETURN4610 ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


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4620 Exit_5: PRINT USING / , 5A, 2D, 2X, 10A,/ , 100A; CASO, Nq1, DE CARGA , L$4630 PRINT USING #, 15X, 2A, 7X, 15A, 7X, A, 2X; .* , APOYO IZQUIERDO, * 4640 PRINT USING 2(7X, 15A, 7X, A, 2X); TRAMO CENTRAL, *, APOYO DERECHO ,*4650 PRINT USING 48 A, 2(32A), / , 111A; TIT7$[1,48] , TIT7$[17,47] , TIT7$[17,47] , L$4660 FOR I=1 TO Nvt4670 L=Mb(I ,3)4680 J=3*I-24690 IF L >2.0 THEN J=5*I-44700 PRINT USING #, 4D,5D,5D,X;I , Mb(I,1) , Mb(I,2) , * 4710 GOSUB S_30 4720 J=3*I-14730 IF L >2.0 THEN J=Jn(I)4740 GOSUB S_30 4750 J=3*I4760 IF L >2.0 THEN J=5*I4770 GOSUB S_30 4780 PRINT4790 IF I=Nvt THEN PRINT USING 111A;L$ 4800 NEXT I4810 GOSUB Chek

4820 RETURN4830 S_30 : Li=Rest(J ,1)4840 Mi=Rest(J ,4)4850 Vi=Rest(J ,5)4860 Ti=Rest(J ,7)4870 PRINT USING #, 3D.2D, 3(5D.2D), 2A;Li , Mi, Vi , Ti , * 4880 RETURN4890 Chek: PRINT USING/ , 30A,/ , 35A;SUMA DE CARG AS EN LAS JUNTAS,L$ 4900 PRINT USING 5A, 3(8X, 2A),/ , 35A;Junta ,Pz, My, Mx,L$ 4910 FOR I=1 TO Nj4920 PRINT USING 5D,3(7D.2D);I ,Qz(I ,1) ,Qz(I ,2) ,Qz(I ,3) 4930 NEXT I4940 PRINT USING 35A;L$

4950 RETURN4960 ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4970 Ejemplo6: DATA EJEMPLO N 6 RETICULO (Esviado) , 217.37, 86.948, 14980 DATA 4, 4, 1, 249 90 DATA 1. 2.993, 0, 2, 4.993, 2.993, 3, 0, 2.0, 4,2.0,4.993 !coordenadas de juntas49 95 DATA 1, 3, .7, 72.92, 228.87, 28.0 ! tipos de vigas, propiedades5000 DATA 1, 1, 2, 1, 2, 3, 4, 1, 3, 1, 3, 1, 4, 2, 4, 1 ! datos de vigas5010 ! ! CASO 1 DE CARGA5020 DATA 4, 1, 40.0, 7.491, -2.211, 2, 40.0, -0.824, -7.767 ! cargas en juntas5030 DATA 3, 40.0, 0.824 , 7.767 4, 40.0, -7.491, 2.2115040 DATA 0,0 ! pp automtico, t ramos con p.uniforme5050 ! CASO 2 DE CARGA5060 DATA 0,0 ! juntas con carga, pp. automtico5070 DATA 2, 1, 2.0, 2, 2.0 ! N del t ramo, carga.uniforme (p)

5080 ! (Datos del Ejemplo7 en la pg. 51)5200 Fin: END


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Ejemplo N 6. Retculo Esviado [3]

Se analiza el retculo ortogonal estudiado en la Ref [3], rotado un cierto ngulo respecto alos ejes X-Y como se muestra en la figura anexa. El Caso(1) de cargas aplicadas en las juntas serefiere a los momentos M1 = 6.00 , M2 = 5.00 tf.m previstos en el retculo original y sealados

con lneas punteadas en el modelo esviado, cuyas proyecciones segn los ejes X-Y, de acuerdocon la ecuacin (2.15) , tienen los valores mostrados en el cuadro de cargas. El Caso (2) se refierea cargas uniformes en las vigas (1) y (2). Para comparacin de resultados se declaran vigas conancho de base, inercia y constante de torsin iguales a las originales.

CASO 1 DE CARGA

CASO 2 DE CARGA

EJEMPLO N 6. RETICULO (Esviado) FUNDACION ELASTICA (Balasto = 1.0 kgf/cm3)

Unidades: m , tf , desplazamientos = mm , rotaciones = rad * 1000 , E = 217.37 , G = 86.95 t/cm2

Junta X Y Viga J1 J2 Tipo L Cx Cy

1 2.99 0.00 1 1 2 1 3.60 +0.55560 +0.831452 4.99 2.99 2 3 4 1 3.60 +0.55560 +0.831453 0.00 2.00 3 1 3 1 3.60 - 0.83145 +0.55560

4 2.00 4.99 4 2 4 1 3.60 - 0.83145 +0.55560

TIPOS DE VIGAS

Junta Pz My Mx

1 40.00 7.4908 - 2.2107

2 40.00 - 0.8237 - 7.76673 40.00 0.8237 7.76674 40.00 - 7.4908 2.2107

Viga p(tf/m)12

2.002.00

V-Tipo Bo Ho Bf Hf * Base * Io (m4) Lambda Jp (m4) Lambda_t

1 - - - - * 0.70 * 7.29200E-03 3.085 2.28870E-02 26.386


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Unidades: m , tf , desplazamientos = mm , rotaciones = rad * 1000 , E = 217.37 , G = 86.95 t/cm2

CASO 1 DE CARGA

Viga J1 J2 X Flecha G.Flexin M.Flexin Corte G.Torsin M.Torsin Presin

1 1 2 0.00 16.77 - 1.15009 3.999 - 22.177 1.44287 1.241 16.770.90 15.78 - 0.89913 - 11.304 - 11.937 1.38757 1.205 15.78

2.00 15.35 0.18960 - 17.855 - 0.018 1.32210 1.162 15.35

2.70 15.75 0.93829 - 15.230 7.565 1.28176 1.136 15.75

3.60 16.91 1.52392 - 3.862 17.823 1.23112 1.104 16.91

2 3 4 0.00 16.91 - 1.52392 - 3.862 - 17.823 - 1.23112 1.104 16.910.90 15.75 - 0.93829 - 15.230 - 7.565 - 1.28176 1.136 15.75

1.60 15.35 - 0.18960 - 17.855 0.018 - 1.32210 1.162 15.35

2.70 15.78 0.89913 - 11.304 11.937 - 1.38757 1.205 15.78

3.60 16.77 1.15009 3.999 22.177 - 1.44287 1.241 16.77

3 1 3 0.00 16.77 - 1.44287 - 3.759 - 17.823 - 1.15009 2.001 16.770.90 15.68 - 0.86243 - 15.160 - 7.629 - 1.24127 2.032 15.68

1.61 15.33 - 0.10733 - 17.838 0.014 - 1.31383 2.058 15.33

2.70 15.85 0.97498 - 11.374 11.873 - 1.42808 2.101 15.853.60 16.91 1.23112 3.897 22.177 - 1.52392 2.138 16.91

4 2 4 0.00 16.91 - 1.23112 3.897 - 22.177 1.52392 2.138 16.910.90 15.85 - 0.97498 - 11.374 - 11.873 1.42808 2.101 15.851.99 15.33 0.10733 - 17.838 - 0.014 1.31383 2.058 15.332.70 15.68 0.86243 - 15.160 7.629 1.24127 2.032 15.683.60 16.77 1.44287 - 3.759 17.823 1.15009 2.001 16.77

COMPROBACION:

SUMA DE CARGASJunta Pz My Mx

1 40.00 7.49 - 2.212 40.00 - 0.82 - 7.773 40.00 0.82 7.774 40.00 - 7.49 2.21

CARGAS APLICADAS DEFORMACIONES PRESIONES

Junta Q MY MX Viga Pt DZ RY RX Junta Presin

1 40.00 7.49 - 2.21 1 0.00 16.76803 0.56069 1.75790 1 16.772 40.00 - 0.82 - 7.77 2 0.00 16.90552 1.87030 - 0.58306 2 16.913 40.00 0.82 7.77 3 0.00 16.90552 - 1.87030 0.58306 3 16.914 40.00 - 7.49 2.21 4 0.00 16.76803 - 0.56069 - 1.75790 4 16.77


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Unidades: m , tf , desplazamientos = mm , rotaciones = rad * 1000 , E = 217.37 , G = 86.95 t f/cm2

CASO 2 DE CARGA


1 1 2 0.00 1.43 0.11344 - 0.006 1.697 0.11344 0.006 1.430.90 1.52 0.07795 1.126 0.827 0.11325 0.003 1.52

1.80 1.56 - 0.00000 1.496 - 0.000 0.11318 0.000 1.56

2.70 1.52 - 0.07795 1.126 - 0.827 0.11325 - 0.003 1.52

3.60 1.43 - 0.11344 - 0.006 - 1.697 0.11344 - 0.006 1.43

2 3 4 0.00 1.43 0.11344 - 0.006 1.697 - 0.11344 - 0.006 1.430.90 1.52 0.07795 1.126 0.827 - 0.11325 - 0.003 1.52

1.80 1.56 - 0.00000 1.496 - 0.000 - 0.11318 0.000 1.56

2.70 1.52 - 0.07795 1.126 - 0.827 - 0.11325 0.003 1.52

3.60 1.43 - 0.11344 - 0.006 - 1.697 - 0.11344 0.006 1.43

3 1 3 0.00 1.43 - 0.11344 0.006 - 1.697 0.11344 0.006 1.430.90 1.34 - 0.07795 - 1.126 - 0.827 0.11325 0.003 1.34

1.80 1.30 0.00000 - 1.496 0.000 0.11318 - 0.000 1.302.70 1.34 0.07795 - 1.126 0.827 0.11325 - 0.003 1.343.60 1.43 0.11344 0.006 1.697 0.11344 - 0.006 1.43

4 2 4 0.00 1.43 - 0.11344 0.006 - 1.697 - 0.11344 - 0.006 1.430.90 1.34 - 0.07795 - 1.126 - 0.827 - 0.11325 - 0.003 1.341.80 1.30 0.00000 - 1.496 0.000 - 0.11318 0.000 1.302.70 1.34 0.07795 - 1.126 0.827 - 0.11325 0.003 1.343.60 1.43 0.11344 0.006 1.697 - 0.11344 0.006 1.43

COMPROBACION:

SUMA DE CARGAS

Junta Pz My Mx1 0.00 0.00 0.002 0.00 0.00 0.003 0.00 0.00 0.004 0.00 0.00 0.00



1 3.56 1.18 - 1.77 1 2.00 1.42857 0.15735 - 0.03129 1 1.432 3.56 - 1.18 1.77 2 2.00 1.42857 0.03129 0.15735 2 1.433 3.56 1.18 - 1.77 3 0.00 1.42857 - 0.03129 - 0.15735 3 1.434 3.56 - 1.18 1.77 4 0.00 1.42857 - 0.15735 0.03129 4 1.43


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Ejemplo N 7.- Declaracin de datos:

Retculo con vigas de seccin rectangular y seccin T invertida, con dos casos de carga:(1) cargas aplicadas en las juntas, (2) cargas debidas al peso propio. La numeracin de la DATAmuestra que los datos de este ejemplo pueden declararse a continuacin de los del Ejemplo N 6,

includos en el programa. Para procesar el Ejemplo N 7 se debe eliminar el smbolo (!) en lainstruccin 185 y colocarlo en la instruccin 180.

5080 Ejemplo7: DATA EJEMPLO N 7, 238.75, 99.48, 1.505090 DATA 5, 5, 2, 25100 DATA 1, 10, 0, 2, -1.50, 3.0, 3, 0, 3.0, 4, 6.0, 3.0, 5, 10.0, 5.0 !5110 DATA 1, 1,0.30, 0.60, 2, 2, 0.30, 0.60, 0.80, 0.305120 DATA 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 3, 1, 5, 1, 4, 1, 4, 2, 5,4, 5, 2

5130 CASO 1 DE CARGA5140 DATA 4, 1,20.0, 6.0, -12.0, 3, 18.0, 8.0, 0, 4, 50.0, 10.0, 20.0, 5,15.0, -4.0, -3.05150 DATA 0, 05160 CASO 2 DE CARGA5170 DATA 0, 1, 0 ! N.Juntas cargadas , pp automtico , N.Tramos cargados5200 Fin: END

EJEMPLO N 7 FUNDACION ELASTICA (Balasto = 1.50 kgf/cm3)

Unidades: m , tf , desplazamientos = mm , rotaciones = rad * 1000 , E = 217.37 , G = 86.95 tf/cm2

Junta X Y Viga J1 J2 Tipo L Cx Cy

1 10.00 0.00 1 2 3 1 1.50 +1.00000 +0.000002 -1.50 3.00 2 3 4 1 6.00 +1.00000 +0.00000

3 0.00 3.00 3 1 5 1 5.00 +0.00000 +1.000004 6.00 3.00 4 4 1 2 5.00 +0.80000 - 0.600005 10.00 5.00 5 4 5 2 4.47 +0.89443 +0.44721

TIPOS DE VIGAS

V-Tipo Bo Ho Bf Hf * Base * Io (m4) Lambda Jp (m4) Lambda_t

1 0.30 0.60 - - * 0.30 * 5.40000E-03 3.272 3.70786E-03 33.0592 0.30 0.60 0.80 0.30 * 0.80 * 8.36591E-03 2.856 6.49800E-03 10.050


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CASO 1 DE CARGA


1 2 3 0.00 9.36 0.16158 0.000 - 0.00 1.36702 - 0.000 14.050.75 9.48 0.13853 1.190 3.180 1.36737 - 0.003 14.22

1.50 9.54 - 0.02340 4.779 6.393 1.36843 -0.007 14.30

2 3 4 0.00 9.54 - 0.02340 12.779 - 11.607 1.36843 - 0.007 14.301.50 8.82 - 0.68262 0.119 - 5.357 1.37265 - 0.014 13.23

2.93 7.99 - 0.41832 - 3.626 0.013 1.37929 - 0.020 11.984.50 7.61 - 0.15520 0.760 5.513 1.38960 - 0.028 11.41

6.00 7.01 - 0.87251 12.822 10.507 1.40235 - 0.035 10.52

3 1 5 0.00 6.16 0.10095 12.102 - 9.228 1.11212 0.718 9.241.25 5.76 - 0.58283 2.712 - 5.835 0.86955 0.714 8.65

2.50 5.00 - 0.55547 - 2.646 - 2.810 0.62821 0.711 7.503.83 4.51 - 0.15699 - 4.477 0.001 0.37301 0.708 6.76

5.00 4.55 0.20825 - 3.088 2.371 0.14790 0.707 6.82

4 4 1 0.00 7.01 0.14340 28.087 - 25.222 1.64539 3.228 10.521.25 6.46 - 0.76407 3.054 - 14.976 1.03227 3.121 9.693.42 5.38 0.04709 - 12.622 0.013 0.00182 3.050 8.073.75 5.43 0.25541 - 12.260 2.170 - 0.15524 3.051 8.155.00 6.16 0.82912 - 4.287 10.772 - 0.74804 3.088 9.24

5 4 5 0.00 7.01 - 1.40754 1.811 - 14.271 0.86410 1.498 10.521.12 5.52 - 1.15501 - 9.274 - 5.894 0.60976 1.446 8.282.10 4.64 - 0.60484 - 12.062 0.061 0.39204 1.414 6.973.35 4.33 0.06002 - 7.789 6.694 0.12068 1.394 6.504.47 4.55 0.22542 2.984 12.629 - 0.12012 1.394 6.82

COMPROBACION:

SUMA DE CARGASJunta Pz My Mx

1 20.00 6.00 - 12.002 0.00 0.00 - 0.003 18.00 8.00 0.004 50.00 10.00 20.005 15.00 - 4.00 - 3.00

EJEMPLO N 7. FUNDACION ELASTICA (Balasto = 1.50 kgf/cm3)




1 20.00 6.00 -12.00 1 0.00 6.16012 1.11212 - 0.10095 1 9.242 0.00 0.00 0.00 2 0.00 9.36315 0.16158 1.36702 2 14.043 18.00 8.00 0.00 3 0.00 9.53624 - 0.02340 1.36843 3 14.304 50.00 10.00 20.00 4 0.00 7.01287 - 0.87251 1.40235 4 10.525 15.00 - 4.00 - 3.00 5 0.00 4.54769 0.14790 - 0.20825 5 6.82


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EJEMPLO N 7. FUNDACION ELASTICA (Balasto = 1.50 kgf/cm3)


CASO 2 DE CARGA


1 2 3 0.00 1.06 - 0.03225 0.000 0.000 - 0.00220 - 0.000 1.590.75 1.04 - 0.03238 0.007 0.017 - 0.00220 0.000 1.56

1.50 1.01 - 0.03324 0.024 0.026 - 0.00220 0.000 1.52

2 3 4 0.00 1.01 - 0.03324 0.024 0.026 - 0.00220 0.000 1.521.50 0.96 - 0.03828 0.061 0.018 - 0.00221 0.000 1.44

2.07 0.94 - 0.04118 0.068 0.005 - 0.00221 0.000 1.414.50 0.83 - 0.04776 - 0.049 - 0.122 - 0.00223 0.000 1.24

6.00 0.77 - 0.02763 - 0.332 - 0.262 - 0.00225 0.000 1.15

3 1 5 0.00 0.78 0.01837 - 0.094 0.231 0.03950 0.005 1.171.25 0.80 0.01596 0.119 0.112 0.03771 0.005 1.20

2.54 0.81 - 0.00075 0.191 0.000 0.03592 0.005 1.223.75 0.80 - 0.01668 0.128 - 0.105 0.03430 0.005 1.20

5.00 0.77 - 0.02037 - 0.077 - 0.225 0.03267 0.005 1.16

4 4 1 0.00 0.77 - 0.02346 - 0.124 - 0.142 0.01478 0.068 1.151.25 0.74 - 0.01153 - 0.237 - 0.044 0.00165 0.068 1.111.97 0.74 - 0.00260 - 0.252 0.001 - 0.00589 0.068 1.113.75 0.75 0.01696 - 0.153 0.117 - 0.02473 0.069 1.135.00 0.78 0.02058 0.061 0.231 - 0.03839 0.072 1.17

5 4 5 0.00 0.77 - 0.02371 - 0.180 - 0.119 - 0.01437 - 0.068 1.151.12 0.75 - 0.01088 - 0.261 - 0.030 - 0.00267 - 0.067 1.121.57 0.74 - 0.00485 - 0.268 0.001 0.00206 - 0.067 1.113.35 0.75 0.01590 - 0.161 0.123 0.02079 - 0.069 1.134.47 0.77 0.02011 0.030 0.225 0.03283 - 0.071 1.16

COMPROBACION:

SUMA DE CARGAS

Junta Pz My Mx1 - 0.00 0.00 0.002 - 0.00 - 0.00 0.003 0.00 - 0.00 - 0.004 - 0.00 0.00 0.005 0.00 0.00 - 0.00



1 3.05 - 1.29 - 1.87 1 0.45 0.77656 0.03950 - 0.01837 1 1.162 0.34 0.08 0.00 2 0.45 1.06278 - 0.03225 - 0.00220 2 1.593 1.61 1.17 0.00 3 0.45 1.01402 - 0.03324 - 0.00220 3 1.524 5.02 1.22 0.38 4 0.82 0.76536 - 0.02763 - 0.00225 4 1.155 2.88 - 1.18 1.49 5 0.82 0.77441 0.03267 0.02037 5 1.16


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2.9.3. Salida Resumida

Las mximas deformaciones y presiones del suelo en vigas apoyadas en suelo elstico seproducen en las juntas donde se aplican las cargas y constan en el cuadro de salida de Cargas,

Deformaciones y Presiones como se muestra en los ejemplos N 6 y N 7. Estos valores sirvenpara comprobar que los asentamientos y presiones cumplen con las recomendaciones pautadas enel estudio de suelos correspondiente y que, en este aspecto, la estructura propuesta es vlida.

Tomando en cuenta que los puntos crticos son los extremos y el de momento negativomximo absoluto en el tramo, se procede a comprobar si la seccin de la viga en geometra,calidad del concreto y cantidad de refuerzo son, en este otro aspecto, aceptables.

En el programa FUNDARETIC se incluye una salida resumida que el lector puede usarlaa discrecin para aceptar o modificar la estructura. Imprime en una sola lnea los momentos ycortes de las tres secciones descritas, como se muestra en el Ejemplo N 8. Adems, se prev queel usuario pueda imprimir todos los valores para los cuartos de la luz.

Ejemplo N 8.

Retculo del Ejemplo N 7 con el Caso N 1 de carga.

EJ

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