GUM CENAM Incertidumbre

8/7/2019 GUM CENAM Incertidumbre

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CENTRO NACIONAL DE METROLOGA

GUA PARA ESTIMAR LA

INCERTIDUMBRE DE LA MEDICIN

Wolfgang A. Schmid y Ruben J. Lazos Martnez

Revisin 1


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PREFACIOEsta Gua tiene el propsito de unificar criterios en la estimacin de lasincertidumbres de las mediciones y est dirigido a los metrlogos del CENAM, en

primera instancia, y a los responsables de estimar incertidumbres de medicin enlaboratorios de calibracin, laboratorios de pruebas, laboratorios industriales y todosaquellos interesados en el tema.

La necesidad de este documento tiene su origen en las diversas interpretaciones deGuide to the expression of Uncertainty in Measurement, [1] (GUM), dentro y fuera delCENAM que han dado lugar a confusin, y a veces conflicto, entre sus usuarios.

Esta Gua observa los lineamientos establecidos en la GUM, sin embargo no pretendesustituirla como referencia maestra, por lo que se invita al usuario a consultarla en casode duda. Se reconoce que la GUM, y por lo tanto esta Gua, adolecen de debilidadestodava no resueltas formalmente aun en el mbito internacional. Sin embargo, por elmomento no se encuentran otras opciones generalmente aceptadas.

Se ha procurado que el contenido de esta Gua sea tcnicamente correcto, desde los

puntos de vista matemtico y metrolgico, dentro de los lmites de la GUM, aunque nose asegura que puedan resolverse nicamente con ella todas las dudas sobre laestimacin de incertidumbres, por lo que puede ser necesaria la consulta de otrosdocumentos ms especficos. Esta Gua se apega estrictamente a las definiciones dadasen el Vocabulario Internacional de Metrologa, [2] (VIM), considerando el propsitode unificacin de criterios.

Varios metrlogos del CENAM han desarrollado ejemplos siguiendo este documento,los cuales estn disponibles en publicaciones por separado.

Esta Gua refleja los resultados de un grupo de trabajo sobre incertidumbres en elCENAM, obtenidos despus de aproximadamente dos aos de trabajo.

Debe mencionarse el inapreciable valor de las numerosas opiniones de otros colegasdel CENAM y de otros estudiosos de la metrologa, cuyos conceptos seguramenteestn incluidos en esta Gua, pero cuya falta de trazabilidad ntida no permite distinguira sus autores claramente.

La elaboracin de este documento estuvo a cargo de W. Schmid y de R. Lazos quienesagradecen los valiosos comentarios recibidos.El Marqus, Qro., abril de 2000.

NOTA: Este documento ha estado expuesto a las opiniones de los interesados durantecasi un ao antes de esta impresin, lapso en el cual se han recibido algunas


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GUA PARA ESTIMAR LA INCERTIDUMBRE DE LA MEDICIN

NDICE: Pgina

1. Propsitos de la Gua 4

2. El Mensurando 4

3. Modelo Fsico 5

4. Modelo Matemtico 6

5. Identificacin de las fuentes de incertidumbre 7

6. Cuantificacin 7

7. Determinacin de las incertidumbres estndar 11

8. Combinacin 12

9. Correlacin 15

10. Incertidumbre expandida 16

11. Diagrama para la estimacin de incertidumbres de medicin 21

12. Referencias 22

Anexos:

A Clculo de la desviacin estndar para una distribucinrectangular

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1. Propsitos de la Gua

Esta Gua

establece, de forma general, lineamientos para estimar incertidumbres de medicin deacuerdo a la GUM [1], la cual es considerada como la referencia maestra;

subraya aspectos crticos en la estimacin de las incertidumbres de medicin;

aclara algunos puntos que pueden dar lugar a confusiones;

establece un esquema para estimar incertidumbres de la medicin.

2. El MensurandoEl propsito de una medicin es determinar el valor de una magnitud, llamada elmensurando, que de acuerdo al VIM [2], es el atributo sujeto a medicin de un fenmeno,cuerpo o sustancia que puede ser distinguido cualitativamente y determinadocuantitativamente. La definicin del mensurando es vital para obtener buenos resultados dela medicin. En no pocas ocasiones se mide algo distinto al propsito original.

La imperfeccin natural de la realizacin de las mediciones, hace imposible conocer con

certeza absoluta el valor verdadero de una magnitud: Toda medicin lleva implcita unaincertidumbre, que de acuerdo al VIM, es un parmetro que caracteriza la dispersinde los valores que pueden ser atribuidos razonablemente al mensurando.

Una definicin completa del mensurando incluye especificaciones sobre las magnitudes deentrada relevantes.

Por similitud con la GUM, en esta Gua el trmino magnitud de entrada se usa paradenotar tambin magnitudes de influencia.

El resultado de una medicin incluye la mejor estimacin del valor del mensurando y unaestimacin de la incertidumbre sobre ese valor. La incertidumbre se compone decontribuciones de diversas fuentes, algunas de ellas descritas por las magnitudes de entradarespectivas. Algunas contribuciones son inevitables por la definicin del propiomensurando, mientras otras pueden depender del principio de medicin, del mtodo y del


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posible sus efectos, preferentemente haciendo uso de criterios de aceptacin en lasactividades tendientes a reducir tales efectos.

Por ejemplo, la limpieza de las masas es un aspecto crtico en la calibracin de masas de

alta exactitud, lo cual obliga a observar estrictamente criterios para limpiarlas

apropiadamente.

El principio de medicin es el fundamento cientfico usado para realizar una medicin. Elconocimiento del principio de medicin permite al metrlogo dominar la medicin, esto es,modificarla, disear otra, evaluar su conveniencia, etc., adems es indispensable paraestimar la incertidumbre de la medicin.

El mtodo de medicin y el procedimiento de medicin son descripciones de la manera dellevar a cabo la medicin, la primera genrica, la segunda especfica.

El principio, el mtodo y el procedimiento de medicin son determinantes en el valor de la

incertidumbre de la medicin. Un conocimiento insuficiente de ellos muy probablementeconducir a una estimacin equivocada, o incompleta en el mejor de los casos, de laincertidumbre de la medicin.

Para la aplicacin de este documento se supondr que el principio, el mtodo y elprocedimiento han sido previamente determinados.

La definicin del mensurando usualmente alude, casi siempre de manera implcita, a unaestimacin de la incertidumbre que se requiere. Es notable el alto riesgo que se corre

cuando la definicin del mensurando no es acorde con la estimacin de la incertidumbrerequerida.

Por ejemplo, si se manifiesta al mensurando simplemente como el dimetro de una moneda

de un peso, la incertidumbre requerida es mayor que cuando el mensurando se determina

como el dimetro del crculo que circunscribe la moneda.

3. Modelo fsico

Pretender estudiar el proceso de medicin de manera exacta y completa est usualmente


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b) consideraciones sobre el fenmeno como conservacin de cantidades, comportamientotemporal, comportamiento espacial, simetras;

c) consideraciones sobre propiedades de la sustancia como homogeneidad e isotropa.

Una medicin fsica, por simple que sea, tiene asociado un modelo que slo aproxima elproceso real.

4. Modelo matemtico

El modelo fsico se representa por un modelo descrito con lenguaje matemtico. El modelomatemtico supone aproximaciones originadas por la representacin imperfecta o limitadade las relaciones entre las variables involucradas.

Considerando a la medicin como un proceso, se identifican magnitudes de entradadenotadas por el conjunto

{Xi}

expresin en la cual el ndice i toma valores entre 1 y el nmero de magnitudes de entradaN.

La relacin entre las magnitudes de entrada y el mensurando Ycomo la magnitud de salidase representa como una funcin

Y = f({Xi}) = f(X1, X2, ... , XN) (4.1)

representada por una tabla de valores correspondientes, una grfica o una ecuacin, en cuyocaso y para los fines de este documento se har referencia a una relacin funcional.

Por ejemplo, la viscosidad es proporcional al tiempo de flujo por un viscosmetro capilar

como relacin funcional, en contraste al desconocimiento de su relacin funcional con la

temperatura.

Aunque para el propsito de este trabajo se considerar Ycomo un escalar, puede aplicarseel mismo formalismo para elementos matemticos ms complejos como vectores omatrices.

En este trabajo se denota conxi al mejor estimado de las magnitudes de entradaXi.

Los valores de las magnitudes de entrada pueden ser resultados de mediciones recientes


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5. Identificacin de las fuentes de incertidumbre1

Una vez determinados el mensurando, el principio, el mtodo y el procedimiento demedicin, se identifican las posibles fuentes de incertidumbre.

stas provienen de los diversos factores involucrados en la medicin, por ejemplo,

los resultados de la calibracin del instrumento;

la incertidumbre del patrn o del material de referencia;

la repetibilidad de las lecturas;

la reproducibilidad de las mediciones por cambio de observadores, instrumentos uotros elementos;

caractersticas del propio instrumento, como resolucin, histresis, deriva, etc.;

variaciones de las condiciones ambientales;

la definicin del propio mensurando;

el modelo particular de la medicin;

variaciones en las magnitudes de influencia.

No es recomendable desechar alguna de las fuentes de incertidumbre por la suposicin deque es poco significativa sin una cuantificacin previa de su contribucin, comparada con

las dems, apoyada en mediciones. Es preferible la inclusin de un exceso de fuentes queignorar algunas entre las cuales pudiera descartarse alguna importante. No obstante,siempre estarn presentes efectos que la experiencia, conocimientos y actitud crtica delmetrlogo permitirn calificar como irrelevantes despus de las debidas consideraciones.

Por ejemplo, en la calibracin de termmetros de mercurio en vidrio aparece una pequeacontribucin de la temperatura ambiente, pero se considera despreciable aquellacontribucin debida a la radiacin electromagntica en el ambiente.

6. Cuantificacin

En la literatura [1] se distinguen dos mtodos principales para cuantificar las fuentes de


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puesto que ambos tipos estn basados en distribuciones de probabilidad. La nicadiferencia es que en una evaluacin tipo A se estima esta distribucin basndose enmediciones repetidas obtenidas del mismo proceso de medicin mientras en el caso de tipoB se supone una distribucin con base en experiencia o informacin externa al metrlogo.En la prctica esta clasificacin no tiene consecuencia alguna en las etapas siguientes paraestimar la incertidumbre combinada.

6.1. Evaluacin tipo A

La incertidumbre de una magnitud de entrada Xi obtenida a partir de observacionesrepetidas bajo condiciones de repetibilidad, se estima con base en la dispersin de losresultados individuales.

SiXi se determina porn mediciones independientes, resultando en valores q1 , q2 , ... , qn ,el mejor estimadoxi para el valor deXi es la media de los resultados individuales:

=

==n

j

ji qn

qx1

1(6.1)

La dispersin de los resultados de la medicin q1 , q2 , ... , qn para la magnitud de entradaXise expresa por su desviacin estndar experimental:

=

=

n

j

j qqn

qs1

2)(1

1)( (6.2)

La incertidumbre estndar u(xi) de Xi se obtiene finalmente mediante el clculo de ladesviacin estndar experimental de la media:

n

qsqsxu i

)()()( == (6.3)

As que resulta para la incertidumbre estndar deXi:

=

=n

k

ki qqnn

xu1

2)(1

11)( (6.4)


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n

sxu

p

i =)( (6.5)

Cabe mencionar que n es el nmero de mediciones repetidas para evaluar qxi = , segn laec. (6.1), mientrassp se determin por un nmero distinto (y grande) de mediciones.

No se puede dar una recomendacin general para el nmero ideal de las repeticiones n, yaque ste depende de las condiciones y exigencias (meta para la incertidumbre) de cadamedicin especfica. Hay que considerar que:

Aumentar el nmero de repeticiones resulta en una reduccin de la incertidumbre porrepetibilidad, la cual es proporcional a n1 .

Un nmero grande de repeticiones aumenta el tiempo de medicin, que puede sercontraproducente, si las condiciones ambientales u otras magnitudes de entrada no semantienen constantes en este tiempo.

En pocos casos se recomienda o se requiere n mayor de 10 (ver Secs. 10.1 y 10.2). Porejemplo cuando se caracterizan instrumentos o patrones, o se hacen mediciones ocalibraciones de alta exactitud.

Para determinar el impacto que tiene n en la incertidumbre expandida puede estimarsesu influencia en el nmero de grados efectivos de libertad, de ser aplicable este

concepto (ver Sec.10.2 ).

Otras fuentes de incertidumbre que se evalan con este mtodo son la reproducibilidad y lasobtenidas al hacer una regresin lineal.

6.2. Evaluacin tipo B

En una evaluacin tipo B de la incertidumbre de una magnitud de entrada se usainformacin externa u obtenida por experiencia. Las fuentes de informacin pueden ser:

- Certificados de calibracin.

- Manuales del instrumento de medicin, especificaciones del instrumento.


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La cuantificacin de una fuente de incertidumbre incluye la asignacin de un valor y ladeterminacin de la distribucin a la cual se refiere este valor. Las distribuciones queaparecen ms frecuentemente son:

a) Distribucin normal

Los resultados de una medicin repetida afectada por magnitudes de influencia que varan

aleatoriamente, generalmente siguen en buena aproximacin una distribucin normal. Enparticular, la distribucin de la media de una serie de mediciones repetidas se aproxima auna normal independientemente de la distribucin de las lecturas individuales3 . Tambin laincertidumbre indicada en certificados de calibracin se refiere generalmente a unadistribucin normal.

b) Distribucin rectangular

En una distribucin rectangular cada valor en un intervalo dado tiene la mismaprobabilidad, o sea la funcin de densidad de probabilidad es constante en este intervalo.Ejemplos tpicos son la resolucin de un instrumento digital o la informacin tcnica sobretolerancias de un instrumento. En general, cuando exclusivamente hay conocimiento de loslmites superior e inferior del intervalo de variabilidad de la magnitud de entrada, lo msconservador es suponer una distribucin rectangular.

c) Distribucin triangular:

Si adems del conocimiento de los lmites superior e inferior hay evidencia de que laprobabilidad es ms alta para valores en el centro del intervalo y se reduce haca los lmites, puede ser ms adecuado basar la estimacin de la incertidumbre en una distribucintriangular.

Por ejemplo, en un bao termosttico, que se utiliza para medir la densidad de un lquido,la temperatura puede tener una ligera deriva. Si se mide la temperatura antes y despus de

la medicin de la densidad (resultando en T1 y T2), se pude suponer para el momento de la

medicin de la densidad una temperatura de (T1+T2 )/2 con una distribucin triangularentre T1 y T2 .


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7. Determinacin de las incertidumbres estndar

Con el fin de combinar contribuciones de la incertidumbre que tienen distribucionesdiferentes, es necesario representar los valores de las incertidumbres originales comoincertidumbres estndar. Para ello se determina la desviacin estndar de la distribucinasignada a cada fuente.

a) Distribucin normal:

La desviacin estndar experimental de la media calculada a partir de los resultados de unamedicin repetida segn la ec. (6.4) ya representa la incertidumbre estndar.

Cuando se dispone de valores de una incertidumbre expandida U y la distribucin delmensurando es o se supone normal, como los presentados por ejemplo en certificados decalibracin, se divide U entre el factor de cobertura k, obtenido ya sea directamente o a

partir de un nivel de confianza dado(ver Sec.10.1):

k

Uxu i =)( (7.1)

b) Distribucin rectangular:

Si la magnitud de entradaXi tiene una distribucin rectangular con el lmite superiora+ y el

lmite inferiora- , el mejor estimado para el valor deXiest dado por:

xa a

i =++ 2

(7.2)

y la incertidumbre estndar se calcula por (ver Anexo A ):

u xa a

i( ) =+ 12

(7.3)

o por

3

2)(

axu i = (7.4)

donde a/2 es el semiancho del intervalo a con


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c) Distribucin triangular:

Como en una distribucin rectangular, para una magnitud de entrada Xi que tiene unadistribucin triangular con los lmites a+ y a- , el mejor estimado para el valor de Xiestdado por:

xa a

i =++

2(7.6)

La incertidumbre estndar se calcula en este caso por:

6

2

24)(

aaaxu i =

= + (7.7)

con a definido por la ec. (7.5).

8. Combinacin

El resultado de la combinacin de las contribuciones de todas las fuentes es laincertidumbre estndar combinada uc(y).

La contribucin ui(y) de cada fuente a la incertidumbre combinada depende de la

incertidumbre estndar u(xi) de la propia fuente y del impacto de la fuente sobre elmensurando. Es posible encontrar que una pequea variacin de alguna de las magnitudesde influencia tenga un impacto importante en el mensurando, y viceversa.

Se determina ui(y) por el producto de u(xi) y su coeficiente de sensibilidad ci (o factor desensibilidad):

u y c ui i i( ) ( )= (8.1)

8.1. Coeficiente de sensibilidad

El coeficiente de sensibilidad describe qu tan sensible es el mensurando con respecto avariaciones de la magnitud de entrada correspondiente (ver Anexo B). Para su


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cf X X

Xi

N

i X x X xN N

== =

( , . . . , )

.. .

1

1 1

(8.2)

b) Otros mtodos de determinacin:

Si la influencia de la magnitud de entradaXi en el mensurando Yno est representada por

una relacin funcional, se determina el coeficiente de sensibilidad ci por una estimacin delimpacto de una variacin deXi en Ysegn:

i

iX

Yc

= (8.3)

Esto es, manteniendo constantes las dems magnitudes de entrada, se determina el cambiode Y producido por un cambio en Xi por una medicin o a partir de la informacindisponible (como una grfica o una tabla).

8.2. Propagacin de la incertidumbre para magnitudes de entrada no correlacionadas

En el caso de magnitudes de entrada no correlacionadas, la incertidumbre combinada uc(y)se calcula por la suma geomtrica de las contribuciones particulares:

u y u yc ii

N2 2

1( ) ( )= = (8.4)

Considerando (8.1) y (8.2) resulta finalmente:

[ ] ==

==

N

ii

i

N

iiic xuX

f

xucyu 1

2

1

2

)()()(

(8.5)

La regla presentada en ec. (8.5) es llamada ley de propagacin de incertidumbre. Note quela ltima expresin en esta ecuacin se aplica cuando se dispone de la relacin funcional


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En la mayora de los casos una magnitud de entrada Xi es afectada por varias fuentes deincertidumbre, que pueden ser por ejemplo la resolucin del instrumento, la dispersin dedatos obtenidas por mediciones repetidas y la incertidumbre de la calibracin delinstrumento. En este caso hay dos maneras equivalentes de calcular la incertidumbrecombinada.

a) Como primera alternativa, se calcula la incertidumbre total (combinada) relacionadacon cada magnitud de entrada Xi por la suma geomtrica de las incertidumbresindividuales:

[ ]=

=iM

j

iji xuxu1

2)()( (8.6)

donde uj(xi) es la incertidumbre estndar de la fuente de incertidumbre nmeroj de lasMi fuentes relacionadas con la magnitud de entrada Xi . Despus se introducen los

valores de u(xi) en la ec. (8.5).

b) Si uno est interesado en ver el efecto particular que tiene cada una de las fuentes en laincertidumbre combinada uc(y), cada fuente puede entrar individualmente en la ec.(8.5), sustituyendo el nmero de magnitudes de entrada N en la suma por el nmerototal de fuentes de incertidumbre. Cabe mencionar que el coeficiente de sensibilidad cies igual para todas las fuentes de incertidumbre relacionadas con la misma magnitud deentradaXi .

[ ] = =

=N

i

M

j

ijic

i

xucyu1 1

22 )()( (8.7)

Cuando el coeficiente de sensibilidad ci es cero o cuando la funcin no admite unarepresentacin lineal adecuada (nicamente con la primera derivada) en el intervalo u(xi)es conveniente y aun indispensable considerar trminos de segundo orden (que dependen delas segundas derivadas) (ver 5.1.2.Nota de [1]).

Por ejemplo, si y = x2

y el valor de x=0, como en un detector de nulos con curva derespuesta cuadrtica, la contribucin de primer orden es nula.


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( )=

=N

i

p

iNiXconstXXf

11 ),...,( (8.8)

donde const es una constante y los exponentes pi son constantes reales (positivas onegativas), el clculo (numrico) de la incertidumbre combinada se facilita utilizandoincertidumbres relativas. Los coeficientes de sensibilidad en este caso son pi , y la ley de propagacin de incertidumbre (8.5) para calcular la incertidumbre combinada relativauc,rel(y) se simplifica:

[ ] ==

===

N

i i

ii

N

i

irelic

relcx

xupxup

y

yuyu

1

2

1

2,

)()(

)()( (8.9)

Un caso particular muy comn es que todos los exponentes pi son +1 o -1, o sea Yes unproducto o cociente de las magnitudes de entrada, puesto que en este caso las coeficientesde sensibilidad son 1 y la incertidumbre combinada relativa uc,rel(y) es la suma geomtrica

de las incertidumbres relativas de las magnitudes de entrada:

[ ]=

=N

i

irelrelc xuyu1

2, )()( (8.10)

8.5. Propagacin de la incertidumbre para magnitudes de entrada correlacionadas

Si algunas de las magnitudes de entrada estn correlacionadas, debe considerarse lascovarianzas entre las magnitudes correlacionadas y la ec. (8.5) se modifica a

=

=

+

=

N

i

N

jiji

jiji

ji

i

i

c XXrxuxuX

f

X

fxu

X

fyu

1 1,

2

),()()()()(

(8.11)

donde r(Xi , Xj) es el factor de correlacin entre las magnitudes de entradaXi yXj.

9. Correlacin


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Desde el punto de vista estadstico, dos variables son independientes cuando la probabilidad asociada a una de ellas no depende de la otra, esto es, si q y w son dosvariables aleatorias independientes, la probabilidad conjunta se expresa como el productode las probabilidades de las variables respectivas

( ) ( ) ( )wpqpwqp =, (9.1)

Frecuentemente, se encuentran magnitudes de entrada que no son independientes. La

independencia lineal de dos variables puede estimarse estadsticamente con el coeficientede correlacin

( )( )

( ) ( )wuquwqu

wqr

=,

, (9.2)

En el denominador aparecen las incertidumbres estndar de las variables aludidas y en elnumerador la covarianza de las mismas.

La covarianza puede ser estimada (ver ejemplo en Sec. H.2 de [1]):

a) por medio de las relaciones funcionales entre ambas variables y la tercera que influyesobre ellas (ec. F.2 de [1]),

b) a partir de un conjunto de n valores de q y w segn:

( )

( )

( ) ( )wwqqnn

wqu k

n

k

k

= =11

1, (9.3)

Un valor de r= 0 indica independencia de q y w. Los valores de r= +1 o 1 indican unacorrelacin lineal total.

10. Incertidumbre expandida

La forma de expresar la incertidumbre como parte de los resultados de la medicin dependede la conveniencia del usuario. A veces se comunica simplemente como la incertidumbreestndar combinada, otras ocasiones como un cierto nmero de veces tal incertidumbre,


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contiene el valor verdadero con una probabilidad p de 68% aproximadamente, bajo lasuposicin de que los posibles valores del mensurando siguen una distribucin normal.

Generalmente se desea una probabilidad mayor de 68%, lo que se obtiene expandiendo esteintervalo por un factork, llamado factor de cobertura. El resultado se llama incertidumbreexpandida U

cukU = (10.1)

La incertidumbre expandida U indica entonces un intervalo, llamado intervalo deconfianza, que representa una fraccin p de los valores que puede probablemente tomar elmensurando. El valor de p es llamado el nivel de confianza y puede ser elegido aconveniencia.

En el medio industrial, a menudo se elige el nivel de confianza de manera tal quecorresponda a un factor de cobertura como un nmero entero de desviaciones estndar enuna distribucin normal. Por ejemplo, k= 1 corresponde ap = 68,27 %, k= 2 corresponde

a p = 95,45% y k= 3 ap = 99,73 %.

La relacin entre el factor de cobertura k y el nivel de confianza p depende de ladistribucin de probabilidad del mensurando.Por ejemplo, en una distribucin rectangularp=57,74 % si k=1, y para logar un nivel de confianza de 95,45 % se requiere multiplicar

por k=1,65.

Cuando es necesaria una estimacin ms rigurosa de la incertidumbre expandida se

consideran las Secs. 10.2 hasta 10.4; cuando no son necesarias estimaciones muy rigurosasde la incertidumbre, como en mediciones de baja exactitud, entonces es suficiente seguircon la Sec. 10.4.

10.2. Distribucin t de Student

Frecuentemente, los valores del mensurando siguen una distribucin normal. Sin embargo,

el mejor estimado del mensurando, la media (obtenida por muestreos de n medicionesrepetidas) dividida entre su desviacin estndar, sigue una distribucin llamada t de Student[5], la cual refleja las limitaciones de la informacin disponible debidas al nmero finito demediciones. Esta distribucin coincide con la distribucin normal en el lmite cuando ntiende a infinito, pero difiere considerablemente de ella cuando n es pequeo.


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Cuando se combinan las fuentes de incertidumbre con sus respectivas distribuciones paraobtener la incertidumbre combinada uc del mensurando, el Teorema del Lmite Central ([4],Sec. G2.3 de [1]) permite aproximar la distribucin resultante por una distribucin normal.La aproximacin ser mejor mientras ms grande sea el nmero de fuentes deincertidumbre y sus contribuciones sean similares, independientemente de la formaparticular de sus distribuciones.

Nuevamente, la disponibilidad limitada de informacin hace necesario el uso de ladistribucin t de Student para determinar la incertidumbre expandida de manera rigurosa(con la suposicin de que los valores del mensurando obedecen una distribucin normal).El nmero efectivo de grados de libertad vefpara esta situacin se discute en la Sec. 10.3.

Cuando slo es relevante la contribucin de una fuente cuya distribucin no es normal, loms conveniente es estimar la incertidumbre expandida directamente de los parmetros dela distribucin.

Por ejemplo, cuando las lecturas obtenidas con un instrumento de baja exactitud son

idnticas debido a la resolucin del instrumento y las otras fuentes de incertidumbre son

insignificantes, es plausible suponer que el mensurando sigue una distribucin rectangular

cuyos lmites estn determinados por el valor de la escala del instrumento. Entonces puedeestimarse directamente el ancho del intervalo que contiene la fraccin p de los valores que

pueden atribuirse razonablemente al mensurando.

10.3. Grados de libertad

De cierta manera el nmero de grados de libertad asociado a una distribucin de unamagnitud (Xio Y) puede considerarse una medida de incertidumbre de la incertidumbre de

esa magnitud. Entre mayor sea la estimacin de la incertidumbre ser ms confiable.El nmero efectivo de grados de libertad ef del mensurando considera el nmero de gradosde libertad ide cada fuente de incertidumbre.

En la estimacin de incertidumbres por el mtodo tipo A, i depende directamente delnmero de datos considerados y disminuye conforme el nmero de parmetros estimados a


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22

)(

)(

2

1

)(

)(

2

1

=

i

i

i

i

ixu

xu

xu

xu (10.3)

La cantidad u(xi) es una estimacin de la incertidumbre de la incertidumbre u(xi) de lafuente i cuantificada por el metrlogo. Es recomendable aproximar el resultado del clculocon la ecuacin anterior al entero cercano ms bajo.

Por ejemplo, si u(xi) es cero, es decir, el metrlogo est completamente seguro del valor

de u(xi) , el nmero de grados de libertad asociado a esa fuente es infinito. Si el metrlogoconsidera que u(xi) tiene una incertidumbre del 50%, el nmero de grados de libertad es deslo 2, y si la considera del 20% el nmero de grados de libertad asciende a 12.

Se observa tambin que un valor mayor de u(xi) , al ser una estimacin ms conservadora, puede traer consigo un menor valor de u(xi) y por consiguiente un mayor nmero degrados de libertad.

Siguiendo [1], el nmero efectivo de grados de libertad se calcula segn la ecuacin deWelch-Satterthwaite, aun cuando existan observaciones sobre su validez merecedoras deatencin [6]. Esta ecuacin puede escribirse en trminos de la relacin entre la contribucinde la fuente i y la incertidumbre combinada como:

( )( )

=

=N

i i

c

i

ef

yuyu

1

4

1

(10.4)

Si el valor de ef resultante no es entero, generalmente se considera ef como el enteromenor ms prximo.

Un anlisis de la ecuacin anterior muestra el dominio de las fuentes con pocos grados delibertad en el clculo de ef , sobre todo de aquellas cuyas contribuciones son grandes a laincertidumbre combinada. De hecho una fuente cuya contribucin es alta y con pocosgrados de libertad, es determinante del valor de ef .

Por ejemplo, si la repetibilidad contribuye con el 80% de la incertidumbre combinada, seestima con 3 grados de libertad y cada una de las otras fuentes tiene un nmero infinito


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( )efpc tuU =

donde tp(vef) es el factor derivado de la distribucin t de Student a un nivel de confianza py efgrados de libertad y obtenido de tablas [1]. Comparando la ec. (10.1) con la ec. (10.2)es evidente que el factor de cobertura kde la ec. (10.1) corresponde al valor de tp(vef) .

Frecuentemente, cuando ef es suficientemente grande, no se encuentra diferenciasignificativa en los resultados numricos obtenidos con la ec. (10.2) para un p dado deaqullos obtenidos con la ec. (10.1) tomando kde la distribucin normal para el mismo p.Una buena prctica es realizar el clculo riguroso con la ec. (10.2) y entonces decidir sobrela conveniencia de usar simplemente la ec. (10.1).

10.5. Expresin de la incertidumbre

En el CENAM, la poltica [8] es expresar los resultados de sus mediciones con un nivel deconfianza no menor al 95%, en vista de la costumbre en laboratorios similares.

Es difcil asegurar un valor preciso de la incertidumbre debido a las mltiplesaproximaciones realizadas durante su estimacin. Por ello, generalmente los valores detp(vef)parap = 95% se aproximan por los que corresponden a tp(vef)parap = 95,45% con el

fin de obtener un valor de k= 2,00 en el lmite de una distribucin normal.Los valores de tp(vef)para p=95,45% se muestran en la siguiente tabla

5:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 50 100

tp(vef) 13,97 4,53 3,31 2,87 2,65 2,52 2,43 2,37 2,32 2,28 2,13 2,05 2,025 2,000

La expresin de la incertidumbre expandida U incluye su indicacin como un intervalocentrado en el mejor estimado y del mensurando, la afirmacin de que p es del 95% (o elvalor elegido) aproximadamente y el nmero efectivo de grados de libertad, cuando searequerido Una manera de expresar el resultado de la medicin es


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11. Diagrama para la estimacin de incertidumbres de medicin

Definir el mensurando Y

Establecer el modelo fsicoIdentificar las magnitudes de entradaXi

Establecer el modelo matemtico

Cuantificar la variabilidad de cada fuentey asociarle una distribucin

Determinar la incertidumbre estndaru(xi)

Identificar las fuentes de incertidumbre

Estimar correlaciones

Calcular la incertidumbre estndar combinada uc

Elegir el nivel de confianzap

2

3,4

5

6

7

9

8

Calcular el nmero efectivode grados de libertad ef

S NOCuantificarel nmero de

grados

Estimar los grados de libertad i

10.1, 10.5

10.3

10.3


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12. Referencias

[1] NMX-CH-140-IMNC-2002 Gua para la Expresin de la Incertidumbre de lasMediciones equivalente a Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement,BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAP, IUPAC, OIML (1995).

[2] International Vocabulary of Fundamental and General Terms in Metrology, BIPM,IEC, IFCC, ISO, IUPAP, IUPAC, OIML (1993).

[3] dSaverio, E. et al, XIV IMEKO World Congress, Tampere, Fin., Vol V, (Jun 1997)

[4] Papoulis, A., Probability, Random Variables and Stochastic Processes, Mc Graw HillCo. (1965)

[5] Hoel, P. G., Introduction to Mathematical Statistics , J. Wiley & Sons (1971).[6] Eberhardt, Memorias de Workshop on Statistics in Intercomparisons, Londres,

(1999).

[7] Castelazo, I, Comunicacin personal.

[8] Poltica para la Declaracin de Incertidumbres en el CENAM. No. 100-AC-P.013(octubre de 1999).

[9] Schmid W. A., Lazos Martnez R. J. y Trujillo Jurez S. Incertidumbre en lacalibracin de viscosmetros capilares, CENAM, (julio de 2000).


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Anexo A: Clculo de la desviacin estndar para una distribucin rectangular

Como ejemplo se presenta el clculo de la desviacin estndar de una distribucinrectangular. Para obtener la desviacin estndar de otra distribucin, hay que aplicar elmismo esquema de clculo con esa distribucin.

Segn la ec. (6.2), la desviacin estndar (experimental) de una serie de datos x1 , x2 , ... , xn, se calcula por:

sn

x xkk

n

=

=

1 12

1

( )

El cuadrado de la desviacin estndars2 es llamado varianza. Si el nmero de datos n esmuy grande y si los datos estn distribuidos de manera continua, la suma puede sersustituida por una integral, y se obtiene la varianza como:

= dxxpxxs )()(22

dondep(x) es la funcin de densidad de probabilidad deXiy x es la media de los datos

= dxxpxx )(

Para una distribucin rectangular cada valor de x dentro del intervalo [a- , a+] tiene lamisma probabilidad, o sea la de densidad de probabilidadp(x) es constante:

>

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