CAPÍTULO 4 Directrices de la GUM

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INSTITUTO NACIONAL DE METROLOGIA – INM COLOMBIA DIRECTRICES DE LA “GUÍA INTERNACIONAL PARA LA EVALUACIÓN Y LA EXPRESIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE MEDICIÓN”(GUM) De los ejemplos presentados en el capítulo anterior se puede inferir que la determinación del valor de una magnitud, así como la estimación de la incertidumbre de medición correspondiente requiere de un procedimiento que involucre todas las variables de influencia. En el año 1995 fue promulgado un documento en el que se consignaron unas directrices generales para su evaluación y su expresión, que es aplicable a cualquier campo y a cualquier nivel de las actividades metrológicas. Este documento que se denominó “Guía Para la Expresión de la Incertidumbre de Medición”(GUM, por sus siglas en inglés) es el producto del trabajo juicioso, y del posterior acuerdo de todas las organizaciones mas relevantes a nivel mundial relacionadas con la metrología, las cuales se mencionan a continuación: BIPM: Oficina Internacional de Pesas y Medidas OIML: Organización Internacional de Metrología Legal ISO: Organización Internacional para la Normalización IEC: Comité Electrotécnico Internacional IUPAC: Unión Internacional de Química Pura y Aplicada IUPAP: Unión Internacional de Física Pura y Aplicada IFCC: Federación Internacional de Química Clínica. A este documento se le introdujeron algunas correcciones menores en el año 2008, y se promulgó el “JCGM 100:2008- GUM 1995 con correcciones menores” que es el vigente actualmente. 1. EVALUACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE MEDICIÓN A continuación se relacionan los pasos a seguir( contenidos en la GUM) , aplicándolos al ejemplo de la medición de temperatura de un vaso de agua del capitulo “ Fuentes de error en las mediciones” : 1.1. Modelo matemático: Expresar matemáticamente la relación entre la magnitud a medir Y y las magnitudes de entrada X i .

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INSTITUTO NACIONAL DE METROLOGIA – INM COLOMBIA

DIRECTRICES DE LA “GUÍA INTERNACIONAL PARA LA EVALUACIÓN Y LA EXPRESIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE

MEDICIÓN”(GUM)

De los ejemplos presentados en el capítulo anterior se puede inferir que la determinación del valor de una magnitud, así como la estimación de la incertidumbre de medición correspondiente requiere de un procedimiento que involucre todas las variables de influencia. En el año 1995 fue promulgado un documento en el que se consignaron unas directrices generales para su evaluación y su expresión, que es aplicable a cualquier campo y a cualquier nivel de las actividades metrológicas. Este documento que se denominó “Guía Para la Expresión de la Incertidumbre de Medición”(GUM, por sus siglas en inglés) es el producto del trabajo juicioso, y del posterior acuerdo de todas las organizaciones mas relevantes a nivel mundial relacionadas con la metrología, las cuales se mencionan a continuación: BIPM: Oficina Internacional de Pesas y Medidas OIML: Organización Internacional de Metrología Legal ISO: Organización Internacional para la Normalización IEC: Comité Electrotécnico Internacional IUPAC: Unión Internacional de Química Pura y Aplicada IUPAP: Unión Internacional de Física Pura y Aplicada IFCC: Federación Internacional de Química Clínica. A este documento se le introdujeron algunas correcciones menores en el año 2008, y se promulgó el “JCGM 100:2008- GUM 1995 con correcciones menores” que es el vigente actualmente. 1. EVALUACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE MEDICIÓN A continuación se relacionan los pasos a seguir( contenidos en la GUM) , aplicándolos al ejemplo de la medición de temperatura de un vaso de agua del capitulo “ Fuentes de error en las mediciones” : 1.1. Modelo matemático: Expresar matemáticamente la relación entre la magnitud a medir Y y las magnitudes de entrada Xi.

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Y = F(X1, X2, …. Xn)

En la anterior ecuación deben ser incluidas todas las correcciones y/o factores de corrección, que puedan contribuir significativamente a la incertidumbre En nuestro ejemplo la ecuación de relación es: t = tin + δtce + δtter + δtet + δtinh + δtres (1)

Donde tin es la temperatura indicada, y δtce ,δtter , δtet , δtinh , δtres son las correcciones por columna emergente(ce), calibración del termómetro(ter), equilibrio térmico(et) , inhomogeneidad (inh), y resolución (res ) respectivamente. 1.2. Hallar el valor xi de cada una de las magnitudes de entrada mencionadas y , con base en ellas, el de la magnitud de salida Y 1.2.1 Temperatura indicada Supongamos que el observador realizó 10 lecturas del termómetro obteniendo los siguientes valores: t(°C)=19,3 19,5 19,3 19,2 19,1 19,2 19,4 19,3 19,4 19,3 Como temperatura indicada se toma el valor medio: tin = tm = 19,3°C 1.2.2. Corrección por columna emergente. Normalmente los termómetros de vidrio son fabricados y calibrados para que indiquen la temperatura correcta cuando están sumergidos por lo menos, hasta el trazo que indique la temperatura(20°C en nuestro caso). Cuando esto no ocurre se induce un error sistemático que se puede corregir mediante la siguiente expresión: δtce = -kN(t1 - t2) (2) Donde: k es el coeficiente de expansión térmica del líquido del termómetro. Para el mercurio k =1,6*10-4°C -1

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N es el número de grados Celsius equivalentes a la columna emergente t1 y t2 son respectivamente la temperatura de la columna emergente, y el líquido. Tomando N=10 y (t1-t2 )=1°C ,la corrección será δtce = -0,0016°C 1.2.3. Corrección por error( de exactitud) del termómetro Esta corrección se puede extraer del respectivo certificado de calibración. Para este caso tomemos δtter = + 0,05°C 1.2.4. Corrección por equilibrio térmico Asumiendo que, en nuestro caso, la temperatura del termómetro es mayor que la del agua, esta se calienta ligeramente al realizar la medición. El valor de la corrección se puede determinar a partir de la diferencia de temperaturas, y de sus respectivas masas y capacidades caloríficas, o se puede estimar con base en la experiencia. Empleando este último método podemos asignarle a la corrección un valor δtet = -0,05°C 1.2.5 Corrección por in-homogeneidad de la temperatura del agua. Como lo que se desea conocer es la temperatura promedio ( tprom ) de líquido el error por esta causa está definido así : Ein = tsen – tprom (3) Donde tsen es la temperatura sensada por el termómetro Este error se podría determinar experimentalmente midiendo la temperatura en muchos puntos del líquido. Pero si este trabajo no ha sido realizado, no existe ninguna razón para asignarle un valor específico para Ein , en este caso se asume que su valor es “0”, y por ende δtinh = 0 1.2.6.Corrección por resolución La lectura tomada de un dispositivo indicador con resolución especificada puede ser diferente de aquella que se tomaría de un dispositivo indicador ideal ( resolución“0” ). Entonces se puede hablar de un error por resolución ( Eres ) que se determinaría así:

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Eres = tin –t in-ideal (4) Pero al no disponer de dicho dispositivo ideal no hay razón para asignarle un valor específico a este error, y por lo tanto δtres =0 1.2.7 Magnitud de salida: Reemplazando los valores encontrados en los ítems 1.2.1 a 1.2.6 en la ecuación de relación (1) se obtiene el valor ( convencionalmente verdadero ) de la magnitud temperatura : t = 19,3 °C - 0,0016 °C + 0,05°C -0,05°C + 0 +0 = 19,2984 ° C 1.3. Evaluar la incertidumbre estándar u( xi ) con que fue estimado cada xi Cuando la incertidumbre estándar se evalúa a partir de varias o muchas mediciones de la magnitud de interés se denomina evaluación tipo A , en caso contrario, evaluación tipo B (ver“ Algunos términos asociados a las mediciones” ) . Veamos , en nuestro ejemplo, cuales serían los valores de u(tin ), u( δtce ), u( δtter ), u(δtet ), u(δtinh ), y u( δtres ) : 1.3.1. Incertidumbre estándar de la temperatura indicada u(tin ), Se dispone de los 10 valores (1.2.1) correspondientes a las lecturas tomadas por el observador, por lo tanto aplica la distribución de probabilidad de Student, por lo que la incertidumbre estándar se evalúa así ( ver “ algunos términos asociados a las mediciones” No.5) : (tin ) = s/√n (5) Donde s es la desviación estándar experimental, y n es el número de mediciones De los datos tomados (1.2.1) se obtiene la desviación estándar experimental: s = 0,1155°C Y su incertidumbre estándar:

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u( tin ) = s/(10)2 = 0,0365 °C 1.3.2. Incertidumbre estándar de la corrección por columna emergente u( δtce ) La determinación matemática de la incertidumbre asociada a la corrección por columna emergente implica conocer las incertidumbres del coeficiente de expansión térmica, de la diferencia de temperaturas y de su número de grados de libertad. Pero, dado que su valor es relativamente pequeño podemos obviar el cálculo estricto asignándole un valor suficientemente grande como para estar seguros de que la corrección (δtce) se encuentre dentro de los límites δtce ± Δtce. Este valor puede ser numéricamente igual al de la corrección misma calculada anteriormente, es decir, Δtce = 0,0016°C Debido a que no existe ninguna razón para asignarle mayor probabilidad a un valor que a otro, dentro de los límites establecidos, se puede asumir una distribución de probabilidad rectangular , y por la tanto, la incertidumbre estándar estará dada por: U(tce )= Δtce/√3 = 0,0093 °C 1.3.3. Incertidumbre estándar de la corrección por inexactitud del termómetrou( δtter ) Supongamos que en el certificado de calibración del termómetro se reporta la incertidumbre de la siguiente forma "El valor de la corrección δtter se ha estimado con una incertidumbre de 0,03°C, siendo esta el resultado de multiplicar la incertidumbre estándar compuesta por un factor de cubrimiento k=2 con lo cual se logra un nivel de confianza de aproximadamente 95%” De la anterior información se puede derivar la incertidumbre estándar así: u(tter )= Uter/2 = 0,015°C Donde U ter es el valor de la incertidumbre expandida reportada en el certificado. 1.3.4. Incertidumbre estándar de la corrección por equilibrio térmico u(δtet ), La corrección de -0,05°C ( ver 1.2.4) fue estimada con base en la experiencia.)pero ¿que tan acertado es este valor?. Dado que no disponemos de suficiente información podemos proceder de forma similar a 1.3.2 para estimar la incertidumbre

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de dicha corrección, es decir, estaremos seguros de que δtet está comprendida entre -0,05°C -Δtet y -0,05°C + Δtet, Debido a que no existe ninguna razón para asignarle mayor probabilidad a un valor que a otro, dentro de los límites establecidos, se puede asumir una distribución de probabilidad rectangular , y por la tanto, la incertidumbre estándar estará dada por: u(tet ) = Δtet /√3 (6) Asignándole a Δtet, un valor de 0,05°C (con base en la experiencia) se obtiene la correspondiente incertidumbre estándar: u(tet ) = Δtet /√3 = 0,029 °C 1.3.5. Incertidumbre de la corrección por inhomogeneidad u(δtinh ) De la experiencia se puede afirmar, que para un pequeño volumen de agua ( como el de un vaso) y en condiciones normales de trabajo en un laboratorio la diferencia entre la temperatura sensada ( tsen ) y la temperatura promedio ( tprom ) es de ±0,1°C , como máximo. De donde se puede evaluar la incertidumbre estándar así: u(δtinh ) =Δtinh /√3 = (0,1 °C) /√3 = 0,058 °C 1.3.6 Incertidumbre de la corrección por resolución u( δtres ) La resolución define los límites (fig.1) dentro de los cuales estaría la indicación si el dispositivo indicador fuera el ideal (resolución “0” ) . Como no existe ninguna razón para asignarle mayor probabilidad a un valor que a otro dentro de los límites ( inferior y superior), se puede asumir una distribución de probabilidad rectangular, por lo tanto la incertidumbre estándar asociada estará dada por : Limite superior Indicación Límite inferior Fig 1

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2/inf)sup()( resLímiteLímitetu res =−

=δ (7)

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Para el caso del termómetro del ejemplo, la resolución puede estimarse en 0,2°C(un quinto de división de escala), por lo que la incertidumbre estándar correspondiente será : u(δtres ) = 0,2 °C /2√3 = 0,058 °C 1.4.Evaluar las covarianzas u(xi ,xj ) de todo par de variables de entrada que estén correlacionadas. En los casos en que algunas de las magnitudes de entrada, incluidas en la ecuación de relación estén correlacionadas, es decir, que exista una dependencia mutua es necesario considerar un parámetro adicional denominado covarianza que da la medida del grado de correlación existente. Este parámetro se puede evaluar de dos maneras: -Experimentalmente, a partir de n pares de observaciones simultaneas e independientes de las magnitudes correlacionadas, en cuyo caso

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−×

+== ∑

=

n

kjjkiikjiji xxxx

nnxxsxxu

1))((

)1(1,),( (8)

Donde ),(),( jiji xxsxxu = es la covarianza n es el número de mediciones efectuadas, xik y xjk son los valores hallados en cada medición de las magnitudes Xi y Xj xi , xj son sus valores medios. - A partir de las funciones F y G que relacionan las magnitudes de entrada correlacionadas Xi y Xj , con variables independientes ql. En este caso la co-varianza se obtiene así:

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)(),( 2

1l

l

L

l lji qu

qG

qFxxu ×∂

∂=∑

=

(9)

En el ejemplo de la medición de temperatura que se está siguiendo todas las variables de entrada son independientes unas de otras, por lo que este ítem no aplica. 1.5.Evaluar la incertidumbre estándar compuesta u (y) a partir de las u(xi ) y las u(xi , x j ) La incertidumbre estándar compuesta ( o combinada) , es decir , la incertidumbre estándar aplicable al valor de da la magnitud sometida a medición( mensurando) se puede evaluar mediante la siguiente expresión :

),(2)()(1

1 111

22

2ji

j

n

i

n

j ii

n

i ic xxu

xF

xFxu

xFyu ×⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂+×⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

∂= ∑∑∑

= +==

(10)

Donde: - F es la función que relaciona la magnitud sometida a medición (Y), con las magnitudes de entrada (X i ) - xi y xj son las estimaciones de las magnitudes Xi y Xj - u(xi ) es la incertidumbre estándar asociada a cada una de las variables de entrada. - u(xi,xj) = u(xj,xi) es la covarianza estimada , asociada a xi y xj para cada par de magnitudes de entrada correlacionadas. Ahora,.. el grado de correlación existente entre dos magnitudes xi y xj se puede cuantificar mediante un parámetro denominado Coeficiente de correlación r(xi,xj) así:

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)()(),(

),(ji

jiji xuxu

xxuxxr = (11)

Empleando este coeficiente en lugar de la covarianza para evaluar la incertidumbre estándar compuesta, se obtiene la siguiente expresión:

( ) ( )( ) ),()()(2)()(1

1 111

222jijij

n

i

n

jii

n

iic xxrxuxuccxucyu ∑∑∑

= +==

+= (12)

Donde ci = (∂F/∂xi ) , cj =(∂F/∂xj ) son los denominados “Coeficientes de Sensibilidad” Ahora bien, en el caso de que no existan magnitudes de entrada correlacionadas la ecuación (11) queda reducida a la siguiente expresión:

( ) )()(1

222i

n

iic xucyu ∑

=

= (13)

Esta última es la que aplica para el ejemplo de la medición de temperatura: Aplicando la ecuación (13) a la (1) se tiene:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2222222 )()()()()()()( restinhtettertcetintc tuctuctuctuctuctucturesinhettercein

δδδδδ δδδδδ +++++= (14) Dado que (1) es una función lineal, todos los coeficientes de sensibilidad son iguales a 1: ctin = ∂t/∂tin = 1 cδtce = ∂t/∂δtin = 1 cδtter = ∂t/∂δtter = 1 cδtet = ∂t/∂δtet = 1 cδtinh = ∂t/∂δtinh = 1 cδtres = ∂t/∂δtres = 1 Y por lo tanto la ecuación (14) queda reducida a : uc

2(t ) = u2(tin) + u2( δtce) + u2( δtter) +u2( δtet)+u2( δtinh) + u2(δtres) (15)

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Reemplazando en (15) los valores de las incertidumbres estándar evaluadas anteriormente, y extrayendo la raíz cuadrada, se tiene: uc(t ) = 0,09617 °C 1.6. Definir el nivel de confianza de acuerdo con la criticidad de la medición. El valor hallado para la incertidumbre estándar combinada uc ya es un resultado completo, que se puede reportar así. De hecho es lo que se acostumbra en el campo de la metrología científica. Sin embargo, para fines prácticos es conveniente multiplicarlo por un factor κ con el fin de tener mayor “nivel de confianza” El nivel de confianza depende de que tan graves puedan ser las consecuencias de que el valor convencionalmente verdadero de la magnitud medida se encuentre por fuera de los límites establecidos por la incertidumbre. A nivel internacional se ha generalizado el 95% como nivel de confianza para mediciones y calibraciones en procesos industriales y comerciales. En mediciones relacionadas con la salud o la seguridad humana, se prefiere un nivel mucho mas alto, como por ejemplo, 99,73% En el caso que nos ocupa el nivel apropiado sería, entonces, 95% Ahora bien, para hallar el factor κ apropiado para expandir la incertidumbre de forma que se alcance el nivel de confianza deseado es necesario primero calcular el número efectivo de grados de libertad, para luego, con ayuda de la tabla de Student encontrar su valor. 1.7.Calcular el número efectivo de grados de libertad γef , y el factor de cobertura κ para el nivel de confianza deseado. 1.7.1 Número efectivo de grados de libertad El número efectivo de grados de libertad (γef ) se puede determinar mediante la fórmula de WELCH-SATTERTHWAITE:

{ [ ] }ii

cef yu

yuγ

γ/)(

)(4

4

∑= (16)

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Donde γi es el el número efectivo de grados de libertad de cada contribución ui (y), cuyo valor se obtiene aplicando las siguientes reglas: γi = n -1 Para evaluaciones tipo A con una restricción γi = n-m Para evaluaciones tipo A con m restricciones Generalmente, la incertidumbre estándar tipo A es evaluada a partir de una serie de mediciones independientes mediante la expresión (5), en estos casos solo existe una restricción debida a que la desviación estándar involucra el promedio de los valores obtenidos en las mediciones. Sin embargo, existen otros(“ajuste a rectas” por mínimos cuadrados, por ejemplo) en que el número de restricciones es mayor Para las incertidumbres tipo B , con distribuciones de probabilidad designadas a priori ( excepto para distribuciones de Student) el número de grados de libertad es infinito, siempre y cuando se esté completamente seguro de que todos los valores asignables al mensurando se encuentren en este intervalo. En caso contrario, es decir, cuando se tenga alguna duda de la incertidumbre, este se puede obtener mediante la siguiente fórmula:

(17)

El término )()(

i

i

xuxuΔ es el nivel de inseguridad, expresada en forma relativa, que se

tiene sobre la incertidumbre tipo B que se este evaluando. Ejemplo: cuando se tiene un nivel de inseguridad de 0,05, es decir del 5 %, el número de grados de libertad es 200. Esta es una estimación de carácter subjetivo que se basa en la experiencia y el conocimiento que se tenga con respecto a la forma como se estimó la incertidumbre tipo B en cuestión. En la tabla siguiente se presentan algunos valores de los grados de libertad, para diferentes niveles de inseguridad en incertidumbres tipo B.

2

)()(

21

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ=

i

ii xu

xuγ

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Nivel de inseguridad

Incertidumbre tipo B

Grados de libertad

1 % 5000 5 % 200

10 % 50 20 % 12,5

En el ejemplo de la medición de temperatura de un vaso de agua el número efectivo de grados de libertad γef está dado por: γef = [ ( 0,09617°C)4 ] / {[ (0,037°C)4 /9 ] + 0 +[ ( 0,015°C )4 / 50 ] +0+0 +0} γef = 408, 78 1.7.2. Factor de cubrimiento κ En la tabla de Student (anexa) se desciende a lo largo de la columna correspondiente al nivel de confianza escogido hasta encontrar la fila correspondiente al número efectivo de grados de libertad calculados. El número hallado es el factor de cubrimiento κ En caso de que el γef calculado no se encuentre en la primera columna de la tabla se puede hacer una interpolación, o aproximar al número inmediatamente inferior que sí se encuentre en ella. En nuestro ejemplo, dado que γef se encuentra entre 100 e ∞ , no es posible interpolar, por lo que se acoge la segunda opción. De manera que para el nivel de confianza escogido ( 95%) el factor de cubrimiento será: κ = 1,984 1.8. Hallar la Incertidumbre expandida 1.8.1 Incertidumbre expandida cuando la distribución de probabilidad de la función resultante es aproximadamente Normal Asumiendo que la resultante de la convolución de las distribuciones asociadas a las magnitudes de entrada es una distribución Normal, la incertidumbre expandida U se obtiene así:

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)()( yuyU c×= κ (18) En el caso de la medición de temperatura del vaso de agua el valor de la incertidumbre expandida estaría dada por : U(t) = 1,984×0,09617°C = 0,1908 °C Comentario: Teniendo en cuenta que es difícil distinguir intervalos que tengan niveles de confianza que difieran muy poco entre sí ( hasta en un 2% según la GUM) se acostumbra a hacer, para un numero efectivo de grados de libertad apropiado ( generalmente mas de 50) las siguientes aproximaciones : U = 2× uc y se reporta un nivel de confianza de aproximadamente 95 % U = 3×uc y se reporta un nivel de confianza de aproximadamente 99 % Es claro que la incertidumbre expandida U resulta, de esta forma, ligeramente sobre-estimada ,pero esto es consistente con la política de que es preferible que este parámetro quede sobreestimado y no subestimado. Atendiendo al anterior comentario, la incertidumbre expandida U del ejemplo sería: U = 2× 0,09617 = 0,1923 °C Para un nivel de 95 % aproximadamente, que resulta ligeramente mayor a la calculada sin hacer ninguna aproximación. 1.8.2 Incertidumbre expandida cuando la distribución de probabilidad de la función resultante es aproximadamente rectangular: Cuando dentro de las incertidumbres estándar de las variables de entrada existe una que ha sido evaluada , asumiendo una distribución de probabilidad rectangular , cuyo valor sea considerable mayor que el conjunto de todas las demás, no es aplicable el “Teorema del límite central” , ya que la distribución de probabilidad de la convolución resulta mas parecida a una rectangular que a una Normal (ver capítulo “Distribuciones de probabildad”, gráfica 3. ) . En este caso resulta mas realista multiplicar la incertidumbre estándar combinada, por un factor apropiado

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para lograr el nivel de confianza deseado, de acuerdo con las propiedades de la distribución rectangular. Del capítulo “Distribuciones de Probabilidad “se puede deducir, que para un nivel de confianza de 95 % el factor de cubrimiento sería 1, 65 aproximadamente El problema está en saber cuando una componente de la incertidumbre evaluada de acuerdo a una distribución rectangular es lo suficientemente grande como para no aplicar el teorema del límite central. .. Pues bien, para este propósito se puede aplicar el criterio establecido por la Organización Europea para la Acreditación (EA) en su documento EA-04/02 : En aquellas situaciones en que se pueda identificar un término “dominante” dentro de las variables de entrada de una ecuación de relación, la incertidumbre estándar combinada se puede evaluar mediante la siguiente expresión: u(y ) = [ u2

d (y) + u2 r (y)]1/2 (18)

Donde ud (y) es la contribución de la variable dominante a la incertidumbre y u

r(y) es la resultante de las contribuciones de las demás variables u

r(y) = [ ∑ [ µ2i (y)]1/2 (19)

Ahora bien, si la variable dominante está regida por una distribución de probabilidad rectangular y la relación u

r (y)/ud (y) es menor que 0,3 se puede asumir que la función Y es regida también por una distribución rectangular. Nota: lo mismo aplica cuando la distribución de probabilidad asignable a la componente dominante es triangular, trapezoidal, o en fin, cuando dista mucho de ser Normal o de Student 2. EXPRESIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE MEDICIÓN 2.1. Formas de expresión: Tanto el error como la incertidumbre se pueden expresar en forma absoluta, en cuyo caso es necesario que el valor numérico sea acompañado por la unidad de medida de la magnitud correspondiente. Ejemplo: Al medir una intensidad de corriente eléctrica se obtuvieron los siguientes valores:

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I= 10 A EI = 0,1 A ul = 0,05 A También se pueden expresar en forma relativa, en cuyo caso no aparecen (obviamente) las unidades de medida. Esta forma es útil para formarnos una idea que tan importante es el error cometido, o la duda que se tiene en relación con el valor convencional determinado. EI rel = (0,1A)/10A = 0,01 uI rel = (0,05A)/10A = 0,005 El valor relativo también suele expresarse en porcentajes ya que en muchas veces su manejo resulta más cómodo de esta manera. En este caso los valores de (32) se convierten en: EI % = 1 % uI % = 0,5 % 2.2. Aproximaciones o redondeos El valor de una magnitud, el error o la incertidumbre no deben ser expresados con un número excesivo de cifras. De acuerdo con la GUM se deben tener en cuenta los siguientes lineamientos para expresar los resultados finales(los que se reportan en un certificado) de una medición o calibración: -La incertidumbre debe expresarse, con dos cifras significativas como máximo, y los demás parámetros con tantas cifras, como para que solo las dos últimas estén afectadas por la incertidumbre -Cuando la incertidumbre presenta un mayor número de cifras se debe aproximar por regla general, al número superior. Ejemplo: si de los cálculos se obtiene um = 12,38 g se debe aproximar a um = 13g En algunos casos, por sentido común, será preferible aproximar al número inferior. Ejemplo: si hubiéramos obtenido para la incertidumbre un valor de um=12,03g sería preferible aproximar a um=12g que a um =13g

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-Cuando se trate del error o el valor de la magnitud se tendrán en cuenta, para realizar aproximaciones el método tradicional, es decir, si el dígito siguiente a la última cifra significativa es menor que 5 se aproxima al número inferior y en caso contrario al superior. Nota: El número de cifras, empleadas en los diferentes pasos antes de llegar al resultado final dependerá del número de operaciones a realizar y del "peso" que tenga cada dato en el valor final, por lo tanto, es algo que debe manejar el ejecutor de la medición o la calibración de acuerdo con su experiencia. Aplicando estos criterios a la temperatura y su incertidumbre, en nuestro ejemplo de referencia se obtiene: t = 19,20 °C U(t) = 0,20 °C 2.3. Forma de reportar la incertidumbre de medición: La incertidumbre de medición puede reportarse acompañando al error, la corrección o el valor de la magnitud. Ejemplo: L = (10,025 ±0,010) mm También se puede reportar Independientemente del valor del error, la corrección o la magnitud, en cuyo caso se debe prescindir del signo ± Ejemplo: El bloque presenta una longitud L = 10,025 mm, con una incertidumbre U(L) = 0,010 mm Estos datos se pueden presentar, también en una tabla así: Longitud nominal Longitud Incertidumbre 10 mm 10,025 mm 0,010 mm Además, se debe suministrar, la siguiente información a cerca de la incertidumbre:

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- Tipo de incertidumbre que se reporta : estándar combinada, o expandida - Distribución de probabilidad que aplica - Probabilidad de cobertura(nivel de confianza) del intervalo definido por la

incertidumbre - Factor de cubrimiento - En caso de que aplique distribución de Student se podría reportar el número

de grados de libertad, en lugar del factor de cubrimiento Nota: En caso de que se trate de la incertidumbre estándar combinada, también se acostumbra a reportarla, junto con el valor del error, corrección o magnitud de la siguiente forma: L = 10,025(10) mm Donde el número entre paréntesis es el valor de la incertidumbre aplicado a las dos últimas cifras del valor numérico de la variable correspondiente. O también así: L = 10,025(0,010) mm Donde el número entre paréntesis es el valor de la incertidumbre en las mismas unidades de la variable correspondiente. Volviendo a nuestro ejemplo de referencia el resultado se puede reportar así: t = (19,20 ± 0,20)°C La incertidumbre reportada es la estándar compuesta, multiplicada por el factor de cubrimiento κ = 2 , con lo cual se logra , para una distribución Normal, un nivel de confianza de 95% aproximadamente. O así: t = 19, 20 °C U(t) = 0,20 °C La incertidumbre U reportada es la estándar compuesta, multiplicada por el factor de cubrimiento κ = 2 , con lo cual se logra , para una distribución normal, un nivel de confianza de 95% aproximadamente.

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